Változók közötti kapcsolatok vizsgálata

Átírás

1 ) Eseméek függetlesége: p(ab) p(a) p(b) ) Koelácó: vö. az tutív tatalommal Változók között kapcsolatok vzsgálata Akko poztív, ha és átlagosa ugaaa az áa té el a saját váható étékétől, egatív ha elletétes áa. + - koelálatlaság: 9 7 A függetleség az eőse feltétel. Pl. csak a következő potot vzsgáljuk: - - Ekko: M(X), M(Y), és M(XY) koelácó Vszot p(x, Y) de p(x) p(y),*,, azaz X és Y em függetle.

2 Kovaaca Két v.v. egüttes eloszlásáa jellemző métékszám: a váható étékektől vett eltéések szozatáak váható étéke. átalakítás utá A ecslő statsztka: Cov(X,Y) M[(X-M(X)) (Y-M(Y))] Cov(X,Y) M(XY) - M(X) M(Y) Cov(X,Y) ( )( ) számítása alkalmas fomáa (mukaképlet): Cov(X,Y) Étékkészlet: [-, ] Ha a kovaaca poztív, akko a két változó átlagosa ugaaa az áa té el a saját átlagától, X övekedésével átlagosa Y s ő, ha egatív az X övekedésével Y csökke. Ha XY, akko Cov(X,Y) Va (X) Koelácó kovaaca omálva: XY Cov( XY ) Va( ) Va( Y ) ( )( ) ( ) ( ) (poduct momet coelato coeffcet). Étéke: [-, ] tevalluma esk. Megjegzések: a) Akko ételmes, ha X és Y kapcsolata (jó közelítéssel, az adott tatomáo elül) leás. Ha más temészetű a kapcsolat, a koelácós fomula akko s csak a leás kompoesét mé. ) Ha, (lletve ha em külöözk szgfkása a -tól) akko koelálatlaságól (em függetleségől) eszélük.

3 c) A gakolat számolásoka alkalmas képlet (mukaképlet): A koelácós egüttható () eloszlása Elmélet koelácós egüttható: ρ - és közé esk. eek az elmélet étékek a ecslése. ( tt a koelácó ecsült étékét jelet, tehát a ρˆ jelölés s heles lee) eloszlása soha sem omáls, még akko se ha X és Y omáls eloszlású - ρ Ez omalzálható: z, * l ( + ) / ( - ) váható étéke, vaacája / ( - ), azaz csak a mta agságától függ. Hpotézsvzsgálat: szgfkása elté-e -tól? Feltétel: A két változó egüttes eloszlása kétdmezós omál eloszlás. H : ρ H : ρ eltéése ρ-tól a t-eloszlást követ, szóása ˆ t, szaadság fok: t kt (α, - ) s ( ), H szet ρ, tehát a póastatsztka: ( ) Ha t ˆ < t kt, akko H -t elfogadjuk. Ez azt jelet, hog a ecslésől számazó éték em külöözk szgfkása a -tól, ekkoa eltéést még a véletle s gaka okoz. Ha t ˆ > t kt, akko H -t elvetjük az adott szgfkacaszte. Ez esete ola météke külöözk -tól, amt az adott mtaelemszám mellett a mtavétel ha má tká okoza ha a két változó koelálatla lee (t kt - ál ago eltéést a véletle csak α valószíűséggel okoz). Megjegzés: a) Még kéelmese a dolguk, ha edelkezése áll kt tálázat. U. a stadad ha smeetée a koelácós koeffces ktkus étéke tálázata foglalhatók, ahoa közvetleül kézhetjük az kt étékeket, melek csak a -től és α- tól függeek. Ha > kt, akko elvetjük H -t, tehát a póa alapjá aa a megállapítása jutuk, hog szgfkása külöözk -tól, a két változó koelált. ) Ha kcs, akko vszolag ag étékek leszek csak szgfkásak, pl., df, α, eseté kt,. Vags a mta elemszámtól ago függ, hog eldöthető-e a koeláltság.

4 Leás egesszó Pedkcóa alkalmas: adott -hez meghatáozható az a kettő között függvékapcsolat smeetée. Leás esete a feladat a legjoa lleszkedő egees egeletéek a meghatáozása. Az elmélet egees: α + β, α, az elmélet tegelmetszet ecslése a; β, az elmélet meedekség ecslése, tehát: a + Két alapmodell:. Modell: étéket ögzítjük, ezekek cs statsztkus gadozása. Csak gadozk véletleszeűe. Tehát az étékeket a kíséletező állítja e (pl. dózs-hatás vzsgálatál) vag alkalmas étékkel edelkező mtaelemeket választ. Az étékeke ézve a mtaelemek kválasztása ezét em véletleszeű, ezek em omáls eloszlásúak. Feltételek: Az változó lege omál eloszlású ámel éték mellett és szóása a külööző étékek mellett legeek azoosak. (Ellepélda: ha eg véomást emelő gógsze ago dózsa mellett em csak a véomás átlaga emelkedk, de aak szóása s). A két változó közt kapcsolat lege leás. 7 7 Megkeesedő az a + egelet a és paamétee. Mmalzáladó az M [(Y - a - ) ] váható éték, vags a legkse égzetes hával közelítő egeest hatáozzuk meg. Fgeljük meg, hog az áá a potoktól függőlegese mutatak a lak az egees felé; ez azt jelet, hog az étékek potosa eállítottak, em valószíűség változó. A lak az áú hát (eltéést a leás függvé által meghatáozott kapcsolattól) jelölk. A égzete emelés utá eg hoszzú kfejezést kapuk, melek legtö tagja mdg poztív vag. Mmalzáladó a, a mmum hel.

5 Gakolat kszámítás: Mvel a egesszós egees átmeg az (, ) poto, a. Csak egféle egesszó lehetséges: -ől következtetük -a. Hpotézsvzsgálat az I. modell eseté: a mtáól ecsült meedekség lehet-e eg β elmélet meedekség ecslése? ( a egesszós koeffces szgfkaca póája) H o : a leás egesszó em áll fe, β. A meghatáozott egees tatalom élkül. H : Regesszó va, β. Kvtelezés: Az étékek két okól téek el -tól: met külööző étékekhez tatozak, vags a egesszó matt, met egé téezők s efolásolják étékét em csak, ez tt a véletle gadozás, vags a ha. (Ha em lee ha, akko a potok potosa lleszkedéek az egeese.) Jelöljük Y -vel az étékhez tatozó potját az egeesek (vags az llesztésől kapott étéket): Y a + ( a mét éték) (az -a jellemző eltééségzet) két kompoese otható: a egesszó okozta -a és a ha okozta e -e. ( ) ( Y ) + ( Y ) + e Kszámításuk: és e -. A megfelelő szaadságfokokkal ( és -) osztva a egesszó ll. ha okozta vaacákat kapjuk: e s és se ezek háadosa (mdg a egesszó okozta vaaca va a számlálóa) F eloszlású, és - szaadságfokokkal: Ha ˆ s F >F kt (, -, α) akko elvetjük H -t és megállapítjuk, hog eltéése a -tól szgfkás, le se métékűt a véletle csak tká okoz, ezét a két változó között összefüggést állapítuk meg és pedkcóa haszálhatjuk a leás összefüggést: adott éték mellett jósolható az vát étéke. A pedkcó azoa mdg csak azo a tatomáo elül jogos, ahol a egesszót végeztük! Ez eg egoldalú póa (s s e ), az ANOVA-hoz hasoló, tehát az %-os F-tálázatot kell haszál, ha %-os szgfkacaszte szeeték döte.

6 . Modell: és s valószíűség változó, mdkettő adom gadozással. pl. adott emeek testmagassága és testsúla. Feltételek: A mtaelemek kválasztása véletleszeű, md az md az étékek omáls eloszlásúak. A két változó közt kapcsolat lege leás. 7 α 7 Fgeljük meg, hog az áá a potoktól NEM függőlegese mutatak a lak az egees felé, haem az egeese meőlegese; ez azt jelet, hog azt az egeest választjuk, amele mmáls ezekek a lakak a hossza, vags az és áú ha egüttese a legkse. A meedekség: ν tgα s / s, előjele a előjele. Ezutá a ν Kétféle egesszó lehetséges: -ől következtetük -a, lletve -ól következtetök -e. Ez két külööző egeest ad meg ( lletve meedekségűt). lletve, eől Az íg számított -t helettesítjük e az egelete és számoljuk k a-t. Megjegzés: ha akko