HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK. Hipotézisvizsgálat_Statisztikai próbák
|
|
- Klára Farkas
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
2 Hipotézivizgálat alapgodolata A okaág érdekel, de a mita va a kezükbe. Elmúlt előadáoko: tatiztikai következteté (beclé) mita (méréi eredméyek) okaág paramétereiek beclée Hipotézivizgálat: Az alapokaágra voatkozóa valamilye feltevéel élük (pl. m é/vagy értéke) é azt a méréi adatokból zámolt tatiztikai próbával elleőrizzük. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
3 Szemléltető ábra a hipotézivizgálat alapgodolatához 4 3 y x Jöhetek-e az adatok olya elozlából, hogy: m m 3,5? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
4 z-próba alapelve H : m = m ullhipotézi z x m z x m próbatatiztika értéke, ha H igaz z x m x m z-elozláú m m Ha H igaz, z ~ z Ha z olya értékeket vez föl, amilyeeket z zokott, elfogadjuk a ullhipotézit Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
5 z-próba meete. Nullhipotézi felíráa: H : m = m. Ellehipotézi megfogalmazáa: H : m m, vagy H : m m,vagy H : m m. 3. Próbatatiztika aktuáli értékéek kizámítáa: z x m Próbatatiztika tulajdoágai: kizámítható a mitából elozláa H igazága eeté imert Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
6 4. Elfogadái tartomáy kijelölée az előírt a zigifikaciazithez: Pl. H : m m eeté z z a P -z a a H P -z a x m z H a a a a -z a/ z a/ z m z x m z / a / / a / elutaítá elfogadá elutaítá emlékeztetőül a kofidecia-itervallum: x z m x z / a / / a / 6
7 5. Döté: megvizgáljuk, hogy a próbatatiztika kizámított értéke az elfogadái tartomáyba va-e ha ige, elfogadjuk a ullhipotézit ha em, elutaítjuk a ullhipotézit Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
8 . példa Táramérlege égy imételt tömegméréel határoztuk meg egy tárgy tömegét. A 4 méréből álló mita zámtai középértéke 5,5 g. Korábbi méréekből tudjuk, hogy a méré variaciája = -4 g. El kell döteük, hihető-e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5, g. : m m 5, : m m 5, H H z x m,5 ha α=,5 z a,96 Döté? ha α=, z a,58 É itt? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
9 Döté a tatiztikai programokkal (p-érték) A tatiztikai programcomagok z -hoz egy ú. p értékét zámolak. Pl. H : m m eeté p z z Pz P -z z ha p > a, elfogadjuk a ullhipotézit p/ p/ Az. példába: p P -,5 z,5 Pz,5 *(,99379),4 -t t Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 9
10 Döté a tatiztikai programokkal (p-érték) A tatiztikai programcomagok z -hoz egy ú. p értékét zámolak. Pl. H : m m eeté p P z z ha p > a, elfogadjuk a ullhipotézit p z Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
11 Elő- é máodfajú hiba döté: a H ullhipotézi a H hipotézit elfogadjuk elutaítjuk igaz helye döté előfajú hiba (α) em igaz máodfajú hiba (β) helye döté Előfajú hiba valózíűége előzetee imert (mi adjuk meg), de a máodfajú hiba valózíűége em! Mit jelet H elfogadáa?: redelkezére álló adatok alapjá em tudjuk H -t elutaítai ( fail to reject ) Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
12 A máodfajú hiba valózíűége Mitől é hogya függ?: f(z H ) f(z H ) a a (m -m )/( / ) Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
13 . példa Számítuk ki a máodfajú hiba valózíűégét az. példára! Legye a zigifikaciazit (α) é kimutati kívát külöbég (Δ) i,! H : m m H : m m 5, 5, Egy kokrét ellehipotézihez zámoluk! x m m m z z z H P z z m m P a / a / a / a / / / m m m m, P z,58,58 a / z za / P z / /,/ 4,,/ 4 P 4,58 z,58, 74 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
14 . Működéi jelleggörbe (OC-görbe) ha a, Δ, σ é imert β zámítható m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
15 3. példa Egy ayag miőége egyértelműe jellemezhető a űrűégével, melyek kíváato értéke kiebb, mit,54. A gyártá orá zerzett eddigi imeretek zerit a méré potoágára jellemző variacia égyzetgyöke =,3. A vizgálat meete a következő: -zer mitát vezük a miőítedő legyártott tételből, midegyik mita űrűégét megmérjük, átlagoljuk. Ha az átlago űrűég meghalad egy bizoyo határértéket, az adagot rozak, ha kiebb ála, jóak miőítjük. A feladat: határozzuk meg a veedő miták zámát é a határértéket ( x). * * x x A tétel jó, átvehető x * x A tétel roz, em vehető át Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
16 Hogy a jó tételt majdem midig elfogadjuk, a rozakat majdem midig elutaítuk, a következő kíváalmakat adjuk meg: ha m,5 99 % legye a valózíűége, hogy jóak miőítük, ha m,54 98 % legye a valózíűége, hogy rozak miőítük az adagot. Özegezve tehát a feladatot: A ullhipotézi é az ellehipotézi: H : m m,5 (a tétel jó) H : m m,54 (a tétel roz) Az előfajú hiba megegedett valózíűége: a =, A máodfajú hiba megegedett valózíűége: =, A kimutatadó, jeletőek miőítedő külöbég: D =,4 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 6
17 Kritiku értékek az elő- é máodfajú hibához H -z H a z a,5,54 * x Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
18 x * Fejezzük ki azt az határt, amelyet -a valózíűéggel em halad meg, ha H igaz (az ábra aló réze): x P P z z a a H a H a a x x m m * z z P z H P x z P x H a H x * m za Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
19 9 Máodfajú hibát akkor követük el, ha H az igaz (μ μ =,54), de mi elfogadjuk a H hipotézit (azaz z z a ). Eek valózíűége: z x m * x x P H x x P H z z P m m a * * m z x P / H Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
20 A kimutatadó, jeletőek miőített külöbég: D m m A két egyelet jobb oldalát egymáal egyelővé téve, majd átredezve: m m = ( za z ) D za z m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
21 Eetükbe:,36 z a,54 z,8 D,4 x *,5,3 azaz itt a, β, Δ é σ volt imert zámítható é mivel itt a é β értékét i rögzítettük H elfogadáa eeté i tudjuk a hibá döté valózíűégét Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
22 4. példa Egyoldali próbák Egy bizoyo vegyzer kg-jába legföljebb 5, g idege ayag lehet. Négy elemzé eredméyéek átlagára 5,5 g-t kaptuk. Korábbi méréekből tudjuk, hogy a meghatározá variaciája σ = -4 g. Eldötedő 5%-o zigigfikaciazite, hogy hihető-e, hogy az elemzéi eredméyek várható értéke (azaz az igazi idegeayagtartalom) em haladja meg az 5 g-o határt. : m m 5, H : m m 5, egyoldali próba! H z x m,5 próbatatiztika em változott! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák
23 4. példa folytatáa H : m m 5, Az elfogadái tartomáy vizot változik. z x m x m m m m m z ha H igaz, akkor > azaz az elfogadái tartomáyra felő határ kell P z z a a H Döté: Mivel mot,5 z za,65 elutaítjuk a ullhipotézit.,65 z a Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
24 Egyoldali próbák: Melyik hipotézipárt válazuk? H : H m m H : m m : m m H : m Ha elutaítjuk H -t (azaz elfogadtuk H -t), azt modhatjuk, hogy az adatok a zigifikaciazite elletmodaak aak a feltételezéek, hogy a várható érték a μ határérték alatt va. Azaz azt bizoyítottuk (mert cak p a a valózíűége aak, hogy tévedük), hogy a várható érték μ határérték felett va. Ha H -t em tudjuk elutaítai, em tuduk emmit, mert vagy igaz a ullhipotézi (azaz várható érték a μ határérték alatt va) vagy cak em volt elég iformációk (ki mitaelemzám é/vagy agy variacia). Godoljuk át a feti két eetet a H é H hipotézipárra i! Taulág: az ellehipotézibe legye, amit bizoyítai akaruk, mert akkor imerjük a tévedéük valózíűégét. m 4
25 5. példa Egyoldali próbák: Melyik hipotézipárt válazuk? Egy vállalat fütgáz kibocátááak NO-tartalmát vizgálják. Adott egy hatóági határérték a maximália kibocátható NO meyiégére, ezt túllépve a vállalatak bírágot kell fizetie. Melyik hipotézipárt válaztaá: - ha Ö a hatóág képvielője lee? - ha Ö a vállalat vezérigazgatója lee? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
26 5. példa folytatáa - Hatóág képvielőjekét: H : m m H : m m Ha elutaítjuk H -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél több va bee (azaz jogoa bírágolhat a hatóág). Ha elfogadjuk H -t, em bizoyított, hogy a határértéket meghaladja. - Vállalt képvielőjekét: H : m m H : m m Ha elutaítjuk H' -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél keveebb va bee (é ez a kibocátó kötelezettége). Ha elfogadjuk H -t, em tudjuk bizoyítai, hogy a határérték alatt va. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 6
27 Egymitá t-próba kétoldali eet H : m = m H : m m t x m x m m m t m m P -t a x m t a a a -t a / t a / a t elutaítá elfogadá elutaítá Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 7
28 6. példa Egy aalitikai módzer torzítatlaágáak vizgálatára 5 imételt mérét végeztek egy 3,5% imert kocetrációjú muka-tadarddel. Az eredméyek: 3,5; 3,7, 3,4; 3,6 é 3,4. Elfogadva, hogy az adatok közelítőleg ormáli elozláúak, elleőrizzük 5%-o zigifikaciazite a torzítatlaág hipotéziét! H : m m 3,5 H : m m 3,5 x t x m Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 8
29 Tet of mea agait referece cotat (value) (Tet.ta) Mea Std.Dv. N Std.Err. Referece t-value df p Variable Cotat mert táblázattal t x m oftware f(t) a/ a/ p/ p/ -t a/ t a/ -t t t,5 4, 776 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 9
30 p érték értelmezée Amit zereték: Ami kizámítható: PH adatok? Padatok H? p aak valózíűége, hogy a kapott vagy még zélőégeebb adatok adódjaak, ha H igaz. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
31 6. példa folytatáa: Mekkora valózíűéggel tudák egy adott torzítát kimutati? Próba ereje (power) = - a máodfajú hiba valózíűége (-β), azaz aak valózíűége, hogy ézrevezem a külöbéget Emlék : a, β, Δ é σ é közül egyik zámítható tadardized effect (E) = kimutatadó külöbég (torzítá) / zigma E D Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
32 6. példa folytatáa: Háy elemű mitát kell veük, hogy egy adott torzítát 9%-o valózíűéggel kimutauk? Emlék : a, β, Δ é σ (vagy E= Δ/σ ) é közül egyik zámítható mot adott a próba ereje (power) = -β =,9 é E értéke é a kérdé Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 3
33 6. példa folytatáa: Hogya függ a próba ereje a kimutatadó külöbégtől? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 33
34 7. példa Egy élővíz zeyezettek miőül, ha a zeyezőayag kocetrációja egy adott határérték felett va. A kérdé eldötéére mitát vezük az élővízből. Elváráuk: Ha (valóba) zeyezett a víz, azt 95%-o biztoággal miőítük i aak. Kérdé: Hogya fogalmazzuk meg a vizgáladó hipotézipárt? Az elvárából következik, hogy arra a hibá dötére, hogy a zeyezett vizet tévee megfelelőek miőítük, 5%-o valózíűéget egedük. Ezt rögzítjük tehát az előfajú hiba valózíűégéek. Eek pedig az alábbi hipotézipár felel meg: H : m m H : m m Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 34
35 35 Ha H igaz, akkor a következő kifejezé c -elozláú, zabadági foka: c a c c a a / / P Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák c -próba a variacia vizgálatára kétoldali eet egyoldali eet : H : H : H : H Elfogadái tartomáyok a két eetbe: a c a P
36 8. példa Egy termék gyártáa orá a variacia legfeljebb 4 lehet. elemű mitát véve a zóráégyzet 4-ek adódott. Elfogadjuk-e 5%-o zigifikaciazite azt a feltételezét, hogy a variacia em agyobb, mit 4? Bizoyítottuk ezzel azt az állítát, hogy a variacia 4 alatt va? H : 4 H : 4 c c a Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 36
37 H H : : Megjegyzé: Ha Két zóráégyzet özehaolítáa (F-próba) Próbatatiztika: F Akkor utaítjuk el a ullhipotézit, ha F -a/ vagy / Szabadági fokok: F a/,, elég az elfogadái tartomáy fölő határát elleőrizi! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 37
38 Adott a két függetle mita. Kétmitá t-próba Elemzámuk ( é ), é zóráégyzetük ( é ). Tételezzük fel, hogy a két okaág variaciája megegyezik. (Ezt F-próbával elleőrizi kell!) Legye: d x x E( d) m m Var d = Varx x Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 38
39 39 d - + A következő kifejezé t-elozláú d E d d E d t= d Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák Kétmitá t-próba (folytatá) az egyeített zóráégyzet ahol
40 Kétmitá t-próba (folytatá) H : m m ekkor: Ed A próbatatiztika: t = d d x x Előtte a feltevét F-próbával elleőrizi kell! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
41 9. példa Két laborba végezzük el ugyaazt a mérét adott méréi leirat zerit. a) Eldötedő %-o zigifikaciazite, hogy megegyezik-e a két laborba a méréi hibák variaciája? b) Eldötedő 5%-o zigifikaciazite, hogy megegyezik-e a két laborba a méréek várható értéke? 4 5 x 53,8 5,8 x 5, 3, Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
42 a) F-próba H F : H : 5,8 3,,8 F felő F,5 (3,4) 6,59 F aló F,95(3,4) F (4,3) 9,,5, Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 4
43 b) kétmitá t-próba H : m m H : m m t 53,8 5, = x x 4,3 5 4, ,83 3,4 45 4,3 t a / ( 7),365 Döté? Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 43
44 . példa Cipőtalp ayagáak kopáállóágát vizgálták. Ehhez kiválaztottak véletlezerűe - fiút, akik egy héte át vielték az a A ill. B ayagból kézült cipőket. Vizgáljuk meg 5%-o zigifikaciazite, hogy va-e külöbég a cipőtalpak átlago kopáába! A két mita tatiztikái: átlag zórá A,6,45 B,4,5 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 44
45 Kétmitá t-próba, ELŐTTE F-próba! H : F F 5,. H : t = t 5. Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 45
46 Statitic > Baic Statitic/Table > t-tet, idepedet, by variable T-tet for Idepedet Sample (fiucipo) Note: Variable were treated a idepedet ample Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group v. Group Group Group Group Group Group Group Variace Variace TALPA v. TALPB,63,4 -,3689 8,76498,4536,58465,5558,9376 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 46
47 Külöböző variacia-aráyokat mekkora valózíűéggel vezük ézre? a=.5, = = Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 47
48 . példa (. példa módoítva) Cipőtalp ayagáak kopáállóágát vizgálták. A kíérlethez mot fiút válaztottak ki véletlezerűe, majd midegyikükél kiorolták, hogy melyik lábuko melyik cipőtalpayagból kézült cipőt vielik. Vizgáljuk meg 5%-o zigifikaciazite, hogy va-e külöbég a cipőtalpak átlago kopáába! Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 48
49 Fiúcipő példa adatai TABLE 4.3. Data o the amout of wear meaured with two differet material A ad B, boy hoe example* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L) (L) 4.(R) (R).8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R) (R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 49
50 5 3 wear 9 7 material A boy material B FIGURE 4.. Data o Hipotézivizgálat_Statiztikai two differet material próbák A ad B, ued for makig 5
51 Páro t-próba Két özefüggő (em függetle) mita özehaolítáára.. fiú. fiú. fiú. fiú i. fiú i. fiú A cipőtalp x i B cipőtalp y d i E y i H : E x i d Ey Ex H i : E i y E i x i d i i Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 5
52 5 A párokéti eltéré átlagértéke: d d i i d d i i d Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák Páro t-próba (folytatá) / d E d t= d A próbatatiztika: / d = t d A következő kifejezé t-elozláú: i i i x y d zóráégyzete:
53 . példa folytatáa d,4 d,387 t d,4,387 d t a / ( 9),6 3,349 Döté? d i Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 53
54 Statitic > Baic Statitic/Table > t-tet, depedet ample Variable TALPA TALPB T-tet for Depedet Sample (fiucipo) Marked differece are igificat at p <,5 Mea Std.Dv. N Diff. Std.Dv. Diff. t df p Cofidece -95,% Cofidece +95,%,63,453,4,585 -,4,387-3,3489 9,854 -,687 -,33 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 54
55 55
56 Hipotézivizgálat_Statiztikai próbák 56
A várható érték vizsgálata u és t statisztika segítségével
A várható érték vizgálata u é t tatiztika egítégével Feltételezzük hogy ormáli elozláú alapokaágból vett véletle mita/miták alapjá vizgáljuk hogy az imeretle várható érték milye feltételezett értékel egyel
RészletesebbenWilcoxon-féle előjel-próba. A rangok. Ismert eloszlás. A nullhipotézis megfogalmazása H 1 : m 0 0. A medián 0! Az eltérés csak véletlen!
0.0.4. Wlcoxo-féle előel-próba ragok Példa: Va-e hatáa egy zórakoztató flm megtektééek, a páceek együttműködé halamára? ( zámok potértékek) orzám előtte utáa külöbég 0 0 3 3-4 4 5 3 6 3 3 0 7 4 3 8 5 4
Részletesebben2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés)
. gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenSTATISZTIKA (H 0 ) 5. Előad. lete, Nullhipotézis 2/60 1/60 3/60 4/60 5/60 6/60
Hioézi STATISZTIKA 5. Előad adá Hioéziek elmélee, lee, Közéérék-özehaolíó ezek /60 /60 Tudomáyo hioézi Nullhioézi feláll llíáa (H 0 ): Kémiá hioéziek 3/60 4/60 Mukahioézi (H a ) Nullhioézi (H 0 ) > 5/60
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenMINİSÉGBIZTOSÍTÁS 6. ELİADÁS Március 19. Összeállította: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár
MINİSÉGBIZTOSÍTÁS Özeállította: Dr. Kovác Zolt egyetemi taár 6. ELİADÁS 011. Márciu 19. NyME FMK Terméktervezéi é Gyártátechológiai Itézet http://tgyi.fmk.yme.hu NYME FMK TGYI 006.08.8. 1. fólia Kézült
RészletesebbenKísérletek tervezése és értékelése
STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y
RészletesebbenSTATISZTIKA. Excel INVERZ.T függvf. ára 300 Ft/kg. bafüggvény, alfa=0,05; DF=76. Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.
Egymiá -r róba STATISZTIKA 0. Gyakorla Közéérék-özehaolíó ezek Tezelhejük, hogy a valóz zíűégi válozók éréke megegyezik-e e egy kokré érékkel. Megválazhajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ Feléel:
RészletesebbenPopuláció nagyságának felmérése, becslése
http:/zeu.yf.hu/~zept/kuzuok.htm Populáció agyágáak felméée, beclée Becült paaméteek: - az adott populáció telje agyága (egyed, pá, tb) D- dezitá (űűég), egyégyi felülete/téfogata zámított egyedzám (egyed/m,
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
RészletesebbenGyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Kísérlettervezés témakör
Gyakorló feladatok a Kíérletek tervezée é értékelée c. tárgyól Kíérlettervezé témakör. példa Nitrálái kíérleteken a kitermelét az alái faktorok függvényéen vizgálták:. a alétromav-adagolá idee [h]. a reagáltatá
Részletesebben9. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK SPSS-BEN FELADATOK
9. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK SPSS-BE FELADATOK A feladatokhoz mentük aját gépünkre a példa adatokat tartalmazó fájlokat a tanzéki honlapról: www.hd.bme.hu/mota/m/p1.av www.hd.bme.hu/mota/m/p2.av www.hd.bme.hu/mota/m/p3.av
RészletesebbenZárthelyi dolgozat 2014 B... GEVEE037B tárgy hallgatói számára
Zárthely dolgozat 04 B.... GEVEE037B tárgy hallgató zámára Név, Neptu kód., Néháy oro rövd léyegre törő válazokat adjo az alább kérdéekre! (5pot) a) Számítógépe mérőredzerek elépítée (rajz) (33.o.) b)
Részletesebbenξ i = i-ik mérés valószínségi változója
EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív
RészletesebbenSTATISZTIKA. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfiloz. szetfilozófia fia matematikai alapelvei, 1687) Laplace ( )
STATISZTIKA 8. Előad adá Megbíhat tartomáyok (Kofidecia itervallumok) (Kofidecia itervallumok) Sir Iaac Newto, 1643-177 177 Philoohiae Naturali Priciia Mathematica (A terméetfilo etfiloófia fia matematikai
RészletesebbenKépletgyűjtemény a Gazdaságstatisztika tárgy A matematikai statisztika alapjai című részhez
Buaet űzak é Gazaágtuomá Egetem Gazaág- é Táaalomtuomá Ka Üzlet Tuomáok Itézet eezmet é Vállalatgazaágta Tazék Tóth Zuzaa Ezte Jóá Tamá Kéletgűtemé a Gazaágtatztka tág A matematka tatztka alaa című ézhez
RészletesebbenTermékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet
Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
RészletesebbenANOVA. Egy faktor szerinti ANOVA. Nevével ellentétben nem szórások, hanem átlagok összehasonlítására szolgál. Több független mintánk van, elemszámuk
Egy faktor zernt NOV Nevével ellentétben nem zóráok, hanem átlagok özehaonlítáára zolgál Több független mntánk van, elemzámuk,...,,, r y,...,, y, y,..., yr;,, r H : r NOV. élda (Box-Hunter-Hunter: Stattc
RészletesebbenVolumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)
oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenMintapélda. Szivattyúperem furatának mérése tapintós furatmérővel. Megnevezés: Szivattyúperem Anyag: alumíniumötvözet
Szivattyúperem fratának mérée tapintó fratmérővel A mnkadarab: A mérőezköz: Megnevezé: Szivattyúperem Fratmérő Anyag: almínimötvözet EV 0,5 1,5 m Spec.: 85 kj Lin 3 m (T = 35 m) Tapintó (DIN 897-1) Mérétartomány:
Részletesebbenbiometria I. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Alapfogalmak
Kíérlettervezé - bometra I. oglalozá előadó: Pro. Dr. Rajó Róbert Alapogalma Véletle jeleége: mde jeleéget az oo egy bzoyo redzere hoz létre. Ha az oo mdegyét gyelembe tudá ve a jeleég leolyáa azoból egyértelműe
RészletesebbenSTATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.
Egymiá u-róba STATISZTIKA 0. Előad adá Köéérék-öehaolíó eek Teelhejük, hogy a való íűégi váloók éréke megegyeik-e e egy kokré érékkel. Megválahajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ 0 Feléel: el:
RészletesebbenSTATISZTIKA. Terjedelem. Forgalom terjedelem. R=MAX(adatok) MIN(adatok) kvartilis eltérés : Qe
Terjedelem STATISZTIKA 6. gyakorlat Szóródá mutatók A zóródá terjedelme a tatztka or legagyobb é legkebb eleme között k külöbég. R ma m ggvéyek Függvéykategóra: Statztka RMAX(adatok) MI(adatok) Forgalom
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
Részletesebben5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás
5. gykorlt Kofdec tervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttektée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormál elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy zázlék
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenÓ Ó É ü É ü ü
É Ó É Ú ü ű ú ú ü ü ü Ó Ó É ü É ü ü Ó ü ü ü É ü ü Ó É É ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Ó Ó ü ü ü ü ü ü ü É ü ü É ü ü ü ü ü ü Ó ü ü ü ü ü ü ü ü É Ó ü ü É Ó Ó ü ü ü ü ü É ü ü ü É ü ü ü ü ü Ó Ó ú ü ü ü ü ü ü Ó
Részletesebbenű ű ű Ö ű ű ű Ú ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű
ű Ö É ű É Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ú ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ú Ú Ú Ü É É É É ű É Ú É ű É Ó Ö É É ű ű ű É ű Ö Ö ű Ö Ú ű ű ű Ú ű ű ű Ö ű ű ű É ű ű ű Ó Ü É É Ú Ú Ü Ü Ö Ó ű Ü Ü ű ű É Ó Ó ű ű Ü Ö Ó Ö Ü Ü ű
RészletesebbenÓ ú É ú É É É Ő ú ú ű Ó Ö É É ú Ü ú É ú
É Ó Ö É Ü ű ú Ü ÉÚ É ú ú ű ú Ó ú É ú É É É Ő ú ú ű Ó Ö É É ú Ü ú É ú Ó ú Ü Ü ú ű Ü Ö Ó ú ú ú ú É Ü ú ú Ü Ü Ó Ó É ú ú É É É É Ú Ü Ü ú Ü ú ú É Ő Ő ú É Ó Ó É Ő Ü Ó Ő ú Ó Ó É É ú Ü Ó Ó Ó É ú Ü Ú Ö Ü É ú Ó
RészletesebbenÚ Ú Ü Ü ű ű ű É Ú É ű
É Ó ű ű Ö Ú Ú Ü Ü ű ű ű É Ú É ű É ű ű ű Ü ű É ű Ű Ö ű ű ű Ú Ú É É Ó Ó Ú ű ű É Ú É Ü Ü Ú ű Ú Ó É Ü ű É ű ű ű Ö ű ű ű Ö Ö Ú ű Ü Ú Ö ű Ü ű Ü ű ű Ü Ö ű ű ű Ú Ü Ú Ó ű ű É É ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű
RészletesebbenÓ Ó ú ú ú ú ú É ú
É Ö É ű ú É Ó É ú ú ú Ó Ó ú ú ú ú ú É ú Ó Ó ú É ú É ú Ó Ö É Ó Ó ú É ú Ö Ó Ó ú ú É É É ú Ó Ó É ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú É Ú É Ó Ó ú ú Ó Ó Ö Ö É É É ú É É ú ú É É Ó Ó É Ű ú É Ó Ó Ű Ú ú ú É Ú Ú É Ú Ó Ó Ó É É É
Részletesebbenű ő ű ű ű ö ő ú ö ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ő ő ü ü ő ü ü ő ú ü ő ő ü ü ü ő ú ü
Ö ü ö ő ú ö ü ű ö ö ö ö ő ő ö ő ü ö ö ő ö ö ü ú ö ü ő ő ö ú ő ü ü ü ű ű ű ő ű ű ű ö ő ú ö ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ő ő ü ü ő ü ü ő ú ü ő ő ü ü ü ő ú ü ő ü ü ő ő ü ü ő ő ú ő ú ő ü ü ő ü ő ú ü Ü ő ő ö ő ü ő ü
RészletesebbenCserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel-
ACÉLOK KÉMIAI LITY OF STEELS THROUGH Cserjésé Sutyák Áges *, Szilágyié Biró Adrea ** beig s s 1. E kutatás célja, hogy képet meghatározásáak kísérleti és számítási móiek tosságáról, és ezzel felfedjük
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenRANGSOROLÁSON ALAPULÓ NEM-PARAMÉTERES PRÓBÁK
RANGSOROLÁSON ALAPULÓ NEM-PARAMÉTERES PRÓBÁK Sorrendbe állítjuk a vzgált értékeket (a mntaelemeket) é az aktuál érték helyett a rangzámokat haználjuk a próbatatztkák értékenek kzámítáára. Egye próbáknál
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenA m becslése. A s becslése. A (tapasztalati) szórás. n m. A minta és a populáció kapcsolata. x i átlag
016.09.09. A m beclée A beclée = Az adatok átlago eltérée a m-től. (tapaztalat zórá) = az elemek átlago eltérée az átlagtól. átlag: az elemekhez képet középen kell elhelyezkedne. x x 0 x n x Q x x x 0
RészletesebbenStatisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
RészletesebbenParaméteres eljárások, normalitásvizsgálat, t-eloszlás, t-próbák. Statisztika I., 2. alkalom
Paraméere eljáráok, normaliávizgála, -elozlá, -próbák Saizika I.,. alkalom Paraméere eljáráok Becülik a populáció egy paraméeré Alkalmazáuknak zámo feléele van (paraméerek é a válozó elozláa Cak normál
RészletesebbenDIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN
DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN be Redzer folyaat t differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
Részletesebben5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás
5. gykorlt Kofideci itervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttekitée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormáli elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenStatisztika gyakorló feladatok
. Konfidencia inervallum beclé Saizika gyakorló feladaok Az egyeemiák alkoholfogyazái zokáainak vizgálaára 995. avazán egy mina alapján kérdıíve felméré végezek. A vizgál egyeemek: SOTE, ELTE Jog, KözGáz.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenA rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa
Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenIngatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1
Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés
Részletesebbené ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü é é é ü é é ó é ü ó ö é
Ó Ö é ü ó ö é é ü é é ó ö é ü ü é é ó é é é é é é ö é é é é é é é ó ö ü é é é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenSTATISZTIKA. Terjedelem. Forgalom terjedelem. R=MAX(adatok) MIN(adatok) rtékek a sokaság g elemeinek k. méri. Leggyakrabban a számtani. 3.
Változékoyág g (zóródá) ) STATISZTIKA. Előad adá Szóródá mutatók A középértk rtékek a okaág g elemeek értékagyágbel gbel külöbk béget eltakarják. k. A változv ltozékoyág g az azoo tulajdoágú, de eltérő
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenIf Japan can why can t we? NBC News Folyamatos fejlesztés (continuous improvement) A management szerepe. 6 sigma 1. 6 sigma 2
The Origin of Six Sigma Excerpted from Harry, Mikel, and Schroeder, Richard,"Six Sigma - The Breakthrough Management Strategy Revolutionizing Corporation", Doubleday, New York, 2000, pp.9-11. Motorola,
RészletesebbenVARIANCIAANALÍZIS (ANOVA) véletlen faktorok esetén
VRINCINLÍZI (NOV) véletlen faktorok eetén Varancakomponen-elemzé BIOMETRI_NOV_3 1 Rögzített faktorok: znteket a kíérletekhez megválazthatuk é beállíthatuk. Kérdé: van-e különbég a faktor különböző znte
RészletesebbenÓ é é Ó Ó ő ű Ó Ö ü Ó é Ó ő Ó Á Ö é Ö Ó Ó é Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó ű Ö Ó Ó Ó é Ó Ó ö Ö Ó Ö Ö Ó Ó Ó é ö Ö é é Ü Ó Ö Ó é Ó é ö Ó Ú Ó ő Ö Ó é é Ö ú Ó Ö ö ű ő
É Ó Ű Á Ó É Ó Á É Ó Á ő ű Ó ú Ö ú é Ö Ó Ö ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Ó ű é ű ű Ó Ó ú ű ű é é Ö ö Ö Ö Ó ű Ó Ö ü ű Ö Ó ő Ó ő Ó ú Ó ő Ó é Ó ű Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ö Ó Ó ö ő ü é ü Ö é é é Á é Ó Ó ú ú ű é Ö é é é Ó é é Ó Ó
RészletesebbenÚ ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű
Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Á Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú Á ű Ó ű Ú É É Ú Ú ű É ű ű ű ű É ű Ő ű Ő ű ű ű ű ű É ű É Á ű ű Ü Á Ó ű ű ű Ú ű ű É ű ű Ú
Részletesebbenó ő ő ó ő ö ő ő ó ó ó ö ő ó ó ó ö ő ó ő ő ö Ö ő ö ó ő ö ő ő ú ö ö ü ö ó ö ö ö ő ö ö Ö ú ü ó ü ő ő ő ő ó ő ü ó ü ö ő ö ó ő ö ő ö ü ö ü ő ö ö ó ö ő ő ö
ü ö ő ö ő ó ö ő ü ü ö ő ó ó ü ő ö ő ö ő ö ü ö ő ö ő ó ö ü ü ö ő ő ő ö ő ö ü ö ő ó ő ö ü ö ő ő ű ő ö ö ő ű ő ü ö Ő ó ö ö ő ü ó ü ú ű ú ő ó ó ó ő ö ő ő ö ó ö ö ő ő ö ö ó ú ő ő ö ó ö ó ö ü ó ő ő ö ó ő ő ó
RészletesebbenÁ Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö
ű É É Á Á Á É Ó É É Á ö ő ő ö ő ő ő Ó ő ö ő ö ő ú ő ü ö ő ü ö Á É ű Á É É É Ö ö Á É É ő ő ö Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö É É Á Ö ő ú ő ű Ö ü Ő É Ó É É Á Ó É Á É Ü É Á Ó É ő ő ö ö ő ö ö ö
RészletesebbenÁ Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö
Ó ú ú ú ú ű ű ű ú Á Ö ű Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö Ú ű ú É Á Ó Ó É Ó Ó ú ű ű ű ú Ö Ó Ö ú ú Ö ú Ü ú Ü É Ö Á Á Á Á ú Ó Ö ú ú ú Ü Ö ú ú ú ú ú ú Ö ú Ö Ó ű
RészletesebbenÓ Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö
É Ó ö É Á ű Ü Ü ö Ú ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ú ú ú ú ú ú ü ú ú ö ö ű ö ü ú ö Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö Á Ó ú ö Á ö Á ö ú ú ö ö ö ö ü ü Ü ú
Részletesebbenű Ú ű ű É Ú ű ű
ű ű ű ű Ú Á É Ú ű Ú ű ű É Ú ű ű ű Á ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű Á Á ű ű ű É ű ű ű Ú É ű ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Ö Ü ű É ű ű Ö É Ü Ú ű Ó ű É Ó Ó Ó ű É Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű Á Á ű Ú ű Ú ű ű Ó ű ű Ü Ü
RészletesebbenÁ Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú
Ö ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú ű ű Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ö Ó Ú ű ű ű ű Ü Ó Ú ű É É Ó É É Ó É É É É Ó ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű Á ű Ú Á Á Ö É Á Á Ö É Ü ű ű Ü
Részletesebbenű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É
Ü ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É É ű Ö Ö Á É ű Ö Ö Á Ü Á ű ű Ó Ó Á Á É Ü É ű Ó Á Ó Á ű Ö ű ű É Ü Ö ű É Ö ű ű Ó ű ű Ú ű ű ű ű ű É ű É Ú Ö Á É ű ű Ó ű ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű ű ű É ű ű Ü Ü ű ű Ő Á Á Á ű ű ű Ó Ó Ó ű
Részletesebbenü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü
ü ü É ű ű É É ű ü ű ü ü ü Á ü ü ü ü ü ű É ü ű É ű ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü ü Á ü ü ü ü ü Ú ü ü ű É ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü É ü ü ü ü ü ü ü ü É ű ü Á ü ü ü ü ü Á Ö É ü ü ű Ú ü ü ü ű
Részletesebbenű Ö ű Ú ű ű ű Á ű
ű ű Ó É É ű Ó ű Ü ű ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű É ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű ű Ö Ü Ö É ű ű Ü Ü ű É Á Ú É É ű ű ű Ö É ű É Ó É Á Á É ű ű Á ű ű ű Á É ű Ö Á ű ű ű Á ű Á É Ö Ó Ö ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Á ű ű ű Á ű ű ű
Részletesebbenő ű É Ó Ü É É É É Ü Ö É É É ű É Ö É Ü É Ú Ó ő Ó
Ú Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ú Ú Ú Ü É Ü Ü ő ű É Ó Ü É É É É Ü Ö É É É ű É Ö É Ü É Ú Ó ő Ó Ö ű Ú É É Ö Ö ű Ó Ö ű Ü Ü Ü Ú É É ő ő ő Ó Ó Ó Ű Ű Ü Ü ő Ü Ö Ó Ö Ó ő Ó ő ő ő ő ű ő ő ű ű É ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő Ö Ö Ö ő Ü Ö ő ő
RészletesebbenÓ Ó ó ö ó
É ó ö É Á ó ó ü ó Ü ó ö ú ű ö ö ö ü ó Ó Ó ó ö ó Ó Ó ö ö ö ü Ó Ó ö ö ü ö ó ó ü ü Ó Ó Ó Ó ó ö ó ö ó ö ó ö ü ö ö ü ö ó ü ö ü ö ö ö ü ü ö ü É ü ö ü ü ö ó ü ü ü ü Ó Ó ü ö ö ü ö ó ö ö ü ó ü ó ö ü ö ü ö ü ö ó
Részletesebbenú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á
ú ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á Á ú á ú á Á ö á ö ö ö ú á á ö ö ö ö á ű Ü ú ö Ü ű ö ú ű á á á ú á ú ú á ö ö ú ö ú ú ö ö ú ö ö ö á ö ö ö á á ö ú ö á á Ú á ö ö ö Ü ú Á á ű ö Ü ö ú Á á ö á ö
Részletesebbenü ú ú ü ú ú ú ú
ú ú ú ü Ü ú ú ű ú ú ü ú ü ü ú ú ü ú ú ú ú ü ú Ö ü ü ü ú ü ú Ó ü ü ű ü Á Ü ü ű ü ű ü ű ű ü Ó ű ú ú ű ú ü ü ú ű ű ú ű ü ú ű ű ü ü ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ű ü ű Ó ü ü ü ú Á Ü ú ü ű ü Á Ü Ö Ú Á Á
Részletesebbenö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú
ő ű ű ő ö ö Á ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú ő ö Á Ó ő ő ü ú ő ő ő ő Á ő ú ű ő ő ő ü ú ő ő ő ő ő ő ő ő ö ü ú ő ő ő ő ű ű ő ő ö ű ü ő ő ő ö ö
Részletesebbenó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó
É ó ú ó ú ó Á ó ó ú ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ó ó ó ú ó ó ú ó ó ó ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó Ö ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Ü ó ű ú ú ó ó ó ó ó ó ó É ó É ó É ó ó ó ó ó ó É ó ú ó ó É ó ó ó ó É ó
RészletesebbenÉ Á Á Ö Á
É Á Á Ö Á Á É Á Ü ű Á É Ü ű Ú ű ű É É ű ű Á ű ű ű ű ű É ű ű ű Á É É É ű Á É É Á É Á É Ü Ü ű Á Á Á ű Á Á Á Á Á Á Á Á Ü ű Á ű Ü É É Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á Á É É ű É ű Ő ű É Ő Á É É ű ű Ú Á
Részletesebben