Kísérletek tervezése és értékelése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kísérletek tervezése és értékelése"

Átírás

1 STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK

2 Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 Sok adatra a dotplot em elég iformatív Dotplot for Y Y I. STATISZTIKAI ALAPOK 4

3 Pulzus példa Egy társaság mide tagjáak megmérték a pulzusát (PULSE), majd kisorsolták ki fusso és ki em (RAN). Futás utá újból mérték a pulzust (PULSE). A résztvevık éháy jellemzıjét (doháyzás, em, stb.) a pulzus adatokkal együtt táblázatos formába rögzítették. A táblázatba egy sor egyazo személy adatait tartalmazza. I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 4 Histogram of PULSE; categorized by RAN Pulse.sta 8v*9c 6 4 Bo Plot of PULSE grouped by RAN Pulse.sta 8v*9c No of obs PULSE PULSE RAN: RAN: RAN Media 5%-75% No-Outlier Rage Outliers Etremes I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 3

4 6 Bo Plot of PULSE grouped by SEX; categorized by RAN Pulse.sta 8v*9c 4 PULSE SEX PULSE/RAN: PULSE/RAN: Outliers I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Scatterplot of WEIGHT agaist HEIGHT Pulse.sta 8v*9c 9 8 WEIGHT HEIGHT Iclude se Iclude se Other I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 4

5 Dobozos ábra és hisztogram szimmetrikus eloszlásból vett mitára Ma 63 Mi 37 75% % 44.8 Media % 5% % 5% % 5% 3% rel. gyak. I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 Dobozos ábra és hisztogram aszimmetrikus eloszlásból vett mitára Ma 5 Mi. 75% 7.6 5%. Media 4.4 outlier % 5% % 5% % 5% frequecy I. STATISZTIKAI ALAPOK 5

6 I. STATISZTIKAI ALAPOK D. G. Altma, BMJ, 98 Studet, 93 I. STATISZTIKAI ALAPOK 6

7 Mérési skálák évleges (omial, categorical) sorredi (ordered categorical) itervallum (iterval) aráyos (proportioal) I. STATISZTIKAI ALAPOK y Sopro Gödöllõ Nyíregyháza Város 9 8 y T I. STATISZTIKAI ALAPOK 4 7

8 Alapfogalmak (vázlat) Véletle jeleség Sokaság és mita Valószíőségi változó: diszkrét vagy folytoos Sőrőség- és eloszlásfüggvéy Függetleség fogalma I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 Az igadozás, bizoytalaság elkerülhetetle a gyártott termékpéldáyok külöbözek az ismételt mérési eredméyek em azoosak ha egy tételbıl többször veszük mitát, a talált selejtaráy változik ha másik mitát veszük a vízbıl, em lesz teljese azoos ha másik apo veszük mitát, em lesz ugyaolya I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 8

9 Sokaság és mita a sokaság érdekel a mita va a kezükbe az egy év alatt gyártott darabok sokasága (mi a mita?) a lehetséges mérési eredméyek sokasága (mi a mita?) a lehetséges gyártott darabok sokasága (mi a mita?) I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Diszkrét valószíőségi változó Dobjuk föl egy pézérmét kimeetel: fej/írás (véletle) Kísérlet: dobjuk föl a pézérmét -szer eredméy: #fej,,,,9, valószíőségi függvéy, eloszlásfüggvéy p() I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 9

10 Diszkrét valószíőségi változó p() F() ( k) P( k) F( k ) P( k) p( i ) p k I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 i Folytoos valószíőségi változó.4 f() rel. gyak. a b P ( a < b) f ( ) b a d sőrőségfüggvéy I. STATISZTIKAI ALAPOK

11 Folytoos valószíőségi változó..8 F() F() kum.rel.gyak eloszlásfüggvéy F( i ) F I. STATISZTIKAI ALAPOK i i ( ) P( ) f ( ) i i d Paraméter és statisztika sokaság mita várható érték: számtai átlag: E( ) µ N N i i mediá variacia tapasztalati mediá szóráségyzet (korrigált) Var ( ) N σ ( ) s i N i I. STATISZTIKAI ALAPOK

12 Várható értékre és variaciára voatkozó azoosságok [ ] ce [ ] Var [ c] c Var [ ] E c I.. példa Egy lombikba töltött folyadék térfogatáak várható értéke.5cm 3, a térfogat variaciája 4-4 (cm 3 ). Mekkora a várhatóérték és a variacia mm 3 -be? Jelölje a térfogatot cm 3 be. [ ] E E ( ) [ ] Var Var A várható érték.5 3 mm 3, a variacia 4 (mm 3 ). I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 Függetle valószíőségi változókra voatkozó azoosságok [ + + ] [ ] + [ ] + [ ] E E E E 3 3 [ + + ] [ ] + [ ] + [ ] Var Var Var Var 3 3 Ha midegyik i azoos eloszlású és függetle: [ ] E[ ] és Var [ ] Var [ ] E i [ ] [ ] [ ] [ ] E E Var Var... i mide i-re Példa azoos eloszlású függetle változókra: ismételt mérések. A mérések függetlesége ebbe az esetbe a hibák függetleségét jeleti. I. STATISZTIKAI ALAPOK 4

13 Módusz, mediá, várható érték módusz várható érték 8 mediá I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 A legfotosabb folytoos eloszlás: ormális eloszlás f ( ) µ ep πσ σ Két paramétere va: µ és σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 3

14 µ külöbözı f() σ külöbözı I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Várható értéke és variaciája: E ( ) µ Var( ) σ Rövid jelölése: ( µ,σ ), N pl. N (,) A ormális eloszlás sőrőségfüggvéye (f()) aalitikusa em itegrálható, ezért az eloszlásfüggvéy (F()) értékét umerikusa kell kiszámoli. A umerikus itegrálás eredméyei táblázatos formába redelkezésre állak az N(,) eloszlásra. Mi a teedıµ és/vagy σ eseté? Célszerő traszformációt keresük I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 4

15 Normalizált (stadardizált) ormális eloszlás z µ σ f z ( z) ep π E ( z) Var ( z) Megjegyzés: A magyar szakirodalomba a stadard ormális eloszlású változó jelölésére a z mellett az u is elterjedt. I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 I.. példa Határozzuk meg aak valószíőségét, hogy az ormális eloszlású valószíőségi változó a µ±σ, µ±σ illetve µ±3σ itervallumba esı értéket vesz fel! (Pl. azt kérdezzük, hogy milye valószíőséggel esik a ±.5 itervallumba, ha µ, σ.5) ( µ σ < µ + σ ) ( µ + σ ) ( µ σ ) P P P alsó fölsı -re ics táblázat, csak z-re traszformáció z µ σ z alsó µ σ µ µ + σ µ z fölsı σ σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 5

16 P( µ + σ ) P( µ σ ) µ σ µ - µ +σ z z µ σ ( µ σ µ σ ) ( ) P < + P < z F() F( ) I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 ( µ σ < µ + σ ) ( ) ( < ) P P P fölsı alsó alsó fölsı ±σ ±σ ±3σ F( ) P( ) fölsı fölsı F( ) P( ) alsó alsó P( < ) alsó fölsı I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 6

17 I.3. példa Határozzuk meg, hogy egy µ σ.5 ormális eloszlású valószíőségi változó értékei milye szimmetrikus itervallumba vaak 95 %-os, ill. 99 %-os valószíőséggel! α.5. -α α/ z α/ α.5. alsó fölsı.98.9 ( ) P µ z σ < µ + z σ α α / α / alsó fölsı I. STATISZTIKAI ALAPOK 33 α/ α/ alsó -z α/ µ fölsõ z α/ z I. STATISZTIKAI ALAPOK 34 7

18 A számtai középérték ( ) i E ( ) [ E( ) ] E( ) µ ( ) Var σ Var( ) σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 35 Cetrális határeloszlási tétel Bármilye eloszlású sokaságból vett miták számtai középértéke közelítıleg ormális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, variaciája pedig σ /. Tehát a számtai átlag közelítıleg N(µ, σ /) eloszlású. I. STATISZTIKAI ALAPOK 36 8

19 PARAMÉTERBECSLÉS ÉS KONFIDENCIA- INTERVALLUM Becslésél a sokaság tulajdoságára (paraméterére) következtetük a mita adatai (jellemzıi) alapjá. A becslés a mitából kiszámított statisztika (pl. a várható érték egyik lehetséges becslése lehet a mitaelemek számtai középértéke). II. PARAMÉTERBECSLÉS 37 A becslés valószíőségi változó f ( Θɵ ) a b c a jobb becslés mit b, mert kisebb az igadozása c-re a várható érték em a Θ paraméter paraméter Θ II. PARAMÉTERBECSLÉS 38 Θ ɵ 9

20 Torzítatla becslés: E( Θ ) A becslések tulajdoságai ɵ Θ. torzítás: E( ɵθ ) Θ korrekció: Θ E( Θɵ ) Aszimptotikusa torzítatla becslés: E( Θ ) lim ɵ Θ. II. PARAMÉTERBECSLÉS 39 torzítatla ( ) Θ E ˆ Θ Példa: Θ µ µˆ E ( ) µ torzítatla i i ˆ µ 4 E( 4 ) µ torzítatla II. PARAMÉTERBECSLÉS 4

21 A becslés hatásosságáak mértéke a variaciája. Miél kisebb a variacia, aál hatásosabb (efficiesebb) a becslés. Példa µˆ Var( ) ˆ 4 σ µ ( ) Var 4 σ hatásosabb kevésbé hatásos II. PARAMÉTERBECSLÉS 4 Kozisztes becslés: P( ) Θˆ Θ lim Θɵ Θ > ε. A mita elemszámáak övelésével a becslés a paraméter igazi értékéhez tart, potosabba övelésével egyre csökke aak valószíősége, hogy Q-tól jeletıse eltérje. µˆ ˆ µ 4 kozisztes em kozisztes Mea square error ( ˆ ) ( ˆ ) MSE E Θ Θ Var Θ + bias II. PARAMÉTERBECSLÉS 4

22 Becslési módszerek legkisebb égyzetek módszere: a mért adatok és a becslés közötti eltérések égyzetösszegét miimalizálja, pl. ( i ɵ µ ) mi maimum-likelihood módszer: azt a sőrőségfüggvéyt, illetve paramétereit fogadjuk el becsléskét, amelybıl a legagyobb valószíőséggel kapák a téylegese kapott mérési adatokat. i II. PARAMÉTERBECSLÉS 43 i N f f f3 Normális eloszlás és kostas σ eseté a maimum-likelihood és a legkisebb égyzetek módszer azoos becslést eredméyez. II. PARAMÉTERBECSLÉS 44

23 A becslés kivitelezése Potbecslés (egyetle értéket ad meg) Itervallumbecslés: kofidecia itervallum, amely bizoyos valószíőséggel magába foglalja a paraméter igazi értékét: kétoldali megbízhatósági itervallum egyoldali megbízhatósági itervallum (alsó vagy fölsı határérték) II. PARAMÉTERBECSLÉS 45 Pl. a várható értékre egy L és U határolta itervallum: ( U) P L µ α A A ( α ) ( α ) %-os alsó L határ: ( ) P L µ α %-os fölsı U határ: P ( U ) µ α II. PARAMÉTERBECSLÉS 46 3

24 II.. példa A tömegmérés variaciája s - g és az eloszlás ormális. a) Adjuk 99%-os kétoldali kofidecia-itervallumot az eloszlás várható értékére egyetle darab alapjá, melyre a mérés eredméye 5 g! P( z < z z ).99 α / α / α z II. PARAMÉTERBECSLÉS 47 ( σ µ σ ) P z < + z α / α /.99 α.-hez z α/ P ( < µ ). 99 II. PARAMÉTERBECSLÉS 48 4

25 b) Adjuk 99%-os kétoldali kofideciaitervallumot az eloszlás várható értékére több alkatrész átlaga alapjá! P( z < z z ).99, z α / α / α P ( < µ < ). 99 ( ) P < µ. 99 II. PARAMÉTERBECSLÉS 49 A kofideciaitervallum félszélessége az ismétlések számáak függvéyébe z α / / / σ II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 5

26 II.. példa Adjuk a I.. példába szereplı mérési eredméyek várható értékére 95 %-os megbízhatóságú alsó határt! s. 894 s. 965 P( L µ ). 95 t s µ II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 P( µ ). 95 A ν szabadsági fokhoz t.5 P( µ ). 95 II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 6

27 II.3. példa Milye értéket em halad meg a I.. példába szereplı mérési eredméyek variaciájára 95 %-os valószíőséggel! s. 894 s. 965 ( U ). 95 Pσ s χ σ ν II. PARAMÉTERBECSLÉS 53 P( σ ).95 A ν szabadsági fokhoz χ alsó P( σ ).95 II. PARAMÉTERBECSLÉS 54 7

28 HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK Statisztikai következtetés: a sokaság érdekel, de a mita va a kezükbe. Az alapsokaságra voatkozóa valamilye feltevéssel élük (pl. µ és/vagy σ értéke) és azt statisztikai próbával elleırizzük. Jöhetek-e az adatok olya eloszlásból? Pl.: H : µ µ H : µ µ ullhipotézis ellehipotézis III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 55 z-próba H : µ µ H : µ µ z µ σ z µ próbastatisztika σ Ha H igaz, z ~ z Ha z olya értékeket vesz föl, amilyeeket z szokott, elfogadjuk H -t. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 56 8

29 ( < z z ) α P -z a a H α/ elutasítás -z α/ elfogadás α/ z α/ z elutasítás P -z µ < z H α σ a a µ α / / + α / σ z σ < < µ z / z σ < µ < z / α / / + α / σ a kofidecia-itervallum tartalmazza a µ értéket III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 57 z-próba kiszámítjuk a próbastatisztika aktuális értékét: z σ µ µ µ µ + σ σ értéke, ha H igaz H : µ µ z-eloszlású H : µ µ, vagy H : µ < µ, vagy H : µ >. µ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 58 9

30 kijelöljük az elfogadási tartomáyt az elıírt α szigifikaciaszithez Pl. H : µ µ eseté P -z µ µ < z a α σ P z σ a a megvizsgáljuk, hogy a próbastatisztika kiszámított értéke az elfogadási tartomáyba va-e ha ige, elfogadjuk a ullhipotézist III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 59 A statisztikai programcsomagok kiszámolják p értékét Pl. H µ > eseté : µ ( z ) p P > z ha p > α, elfogadjuk a ullhipotézist p z III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 3

31 A statisztikai programcsomagok kiszámolják p értékét Pl. H µ eseté : µ (-z < z z ) P( z ) p P > z ha p > α, elfogadjuk a ullhipotézist p/ p/ -z z III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 Elsı- és másodfajú hiba dötés ullhipotézis a H hipotézist elfogadjuk elutasítjuk H igaz helyes dötés elsıfajú hiba (α) H em igaz másodfajú hiba (β) helyes dötés III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 3

32 A másodfajú hiba valószíősége f(z H ) f(z H ) α/ β α/ (µ -µ )/(σ / ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 63 Mőködési jelleggörbe (OC-görbe ) β µ µ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 64 3

33 III.. példa Táramérlege égy ismételt tömegméréssel határoztuk meg egy tárgy tömegét. A 4 mérésbıl álló mita számtai középértéke 5.5 g. Korábbi mérésekbıl tudjuk, hogy a mérés variaciája s -4 g. El kell döteük, hihetı-e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5. g. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 65 : µ 5., H : µ 5. H 5.5, σ 4, 4, α.5 z σ µ z a III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 66 33

34 III.. példa Egy ayag miısége egyértelmőe jellemezhetı a sőrőségével, melyek kíváatos értéke kisebb, mit.54. A gyártás sorá szerzett eddigi ismeretek szerit a mérés potosságára jellemzı variacia égyzetgyöke σ.3. A vizsgálat meete a következı: -szer mitát veszük a miısítedı legyártott tételbıl, midegyik mita sőrőségét megmérjük, átlagoljuk: az így kapott átlagos sőrőség. Ha az átlagos sőrőség meghalad egy bizoyos * határértéket, az adagot rosszak, ha kisebb ála, jóak miısítjük. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 67 Hogy a jó tételt majdem midig elfogadjuk, a rosszakat majdem midig elutasítsuk, a következı kíváalmakat adjuk meg: ha µ.5, 99 % legye a valószíősége, hogy jóak miısítsük, ha µ.54, 98 % legye a valószíősége, hogy rosszak miısítsük az adagot. A ullhipotézis és az ellehipotézis: H : µ µ. 5 H : µ µ. 54 (a tétel jó); (a tétel rossz). III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 68 34

35 Az elsıfajú hiba megegedett valószíősége α., A másodfajú hiba megegedett valószíősége β.. A kimutatadó, jeletısek miısítedı külöbség:.4. A feladat: határozzuk meg a veedı miták számát és az * határértéket. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 69 Kritikus értékek az elsı- és másodfajú hibához H β -z β H α z α.5.54 sőrőség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 35

36 36 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Fejezzük ki azt az határt, amelyet -α valószíőséggel em halad meg, ha H igaz (az ábra alsó része): * ( ) α σ µ α α H z P H u z P ( ) ( ) ( ) α µ ασ α + * H P z P H z z P z σ µ α + * H III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Másodfajú hibát akkor követük el, ha H az igaz ( ), de mivel, elfogadjuk a H hipotézist. Eek valószíősége: z σ µ β * H z α z µ µ 54. ( ) ( ) P H P H z z P σ µ σ µ β α * * β σ µ β z P /

37 A kimutatadó, jeletısek miısített külöbség: µ µ A két egyelet jobb oldalát egymással egyelıvé téve, majd átredezve: µ ( zα + z ) σ µ β ( z + z ) α ( µ µ ) β σ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 73 Esetükbe: z α z β * 5. σ. 3 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 74 37

38 Egymitás t-próba H :µ µ H :µ µ t µ µ + µ µ t + µ µ s s s s P -t a < µ t s a α III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 75 III.3. példa Egy aalitikai módszer torzítatlaságáak vizsgálatára 5 ismételt mérést végeztek egy 3.5% ismert kocetrációjú muka-stadarddel. Az eredméyek: 3.5, 3.7, 3.4, 3.6 és 3.4. Elfogadva, hogy az adatok közelítıleg ormális eloszlásúak, elleırizzük 5%-os szigifikaciaszite a torzítatlaság hipotézisét! s H : H : µ s t t α / III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 76 38

39 Statisztikai próba és kofidecia-itervallum Kétoldali eset Elfogadási tartomáy: t < t < t α α Átredezve µ t s -t s < µ t a a s -t s < µ + t a a s A µ várható érték -α valószíőségő kofidecia-itervalluma -t s < µ + t a a s III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 77 -t s < µ + t a a s Elfogadjuk a ullhipotézist (µ µ ), ha a kofideciaitervallum tartalmazza a µ feltételezett várható értéket. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 78 39

40 Statisztikai próba és kofidecia-itervallum egyoldali esetre H µ µ H : µ > µ : t µ µ µ µ µ µ + t + s s s s Az elfogadási tartomáy: µ s t α t α µ P s s µ t α H α A ullhipotézist akkor fogadjuk el, ha µ bee va a várható érték -α valószíőségő alsó egyoldali kofidecia-tartomáyába. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 79 III.4 példa : µ µ 5µg kg : µ > µ 5µg kg H Meg kell tauluk potosa kérdezi H Ha elutasítjuk H -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél több va bee. Ha elfogadjuk H -t, semmit em látuk bizoyítva. : µ µ 5µg kg : µ < µ 5µg kg H H Ha elutasítjuk H`-t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél kevesebb va bee. Ha elfogadjuk H`-t, semmit em látuk bizoyítva. Mit akaruk bizoyítai? III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 4

41 Egyoldali ellehipotézis III.5. példa Az aflatoi-példa folytatása: Háy ismételt aalízis szükséges ahhoz, hogy kimutassuk, ha 5µg/kg helyett 5.5µg/kg a kocetráció? H : µ µ H : µ > µ 5µg 5µg kg kg H III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 Null Hypothesized Mea (Mu) True Populatio Mea (Mu) Populatio S.D. (Sigma) Stadardized Effect (Es) Type I Error Rate (Alpha) Power Goal Actual Power for Required N Required Sample Size (N) Sample Size Calculatio Oe Mea, t-test H: Mu < Mu Value III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 4

42 3 Sample t-test: Sample Size Calculatio Oe Mea, t-test (H: Mu < Mu) Sample Size vs. Es (Alpha.5, Power Goal.9) 5 Required Sample Size (N) Stadardized Effect (Es) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 83 Egy ayagba a szeyezés ma. megegedett kocetrációja.%. Adjuk meg a ullhipotézist és az ellehipotézist! III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 84 4

43 J. H. Steiger, R.T. Fouladi: Nocetrality Iterval Estimatio ad the Evaluatio of Statistical Models, Chapter 9 i: L.L. Harlow, S.A. Mulaik, J.H. Steiger: What if there were o sigificace tests? Mahwah, NJ: Erlbaum (997).8 Mea; Whisker: Mea±.95 Cof. Iterval I II III IV III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 85 χ -próba a variacia vizsgálatára :σ σ H H :σ > σ Ha H igaz, akkor a következı kifejezés χ -eloszlású, szabadsági foka: ν χ s ( ) ( ) σ, P s σ χα α III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 86 43

44 III.6. példa TABLE 4.3. Data o the amout of wear measured with two differet materials A ad B, boy s shoes eample* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L) (L) 4.(R) (R).8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R) (R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 87 Elleırizzük a fiúcipı-példa A talpayagára α.5-os szigifikaciaszite, hogy elfogadható-e az az állítás, mely szerit a sokaság szórása (s) legfeljebb.5! Descriptive Statistics (Fiucipo.sta) Valid N Std.Dev. Cofidece SD Cofidece SD Variable -9.% +9.% TALPA III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 88 44

45 Mekkora eltérést tudák kimutati? α.5, β., Power vs. Var. Oe Variace: Power Calculatio Chi-square Variace Test (H: Var < 6.5) Power vs. Populatio Variace (Alpha.5, Df 9) Power Populatio Variace (Var) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 89 Mekkora mita kellee.5 4 szórás kimutatásához? Variace uder H (Var) Populatio Variace (Var) Type I Error Rate (Alpha) Power Goal Actual Power for Required Df Required Degrees of Freedom (Df) Sample Size Calculatio Oe Variace, Chi-Square Test H: Var < Var Value III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 45

46 III.7. példa A III.3. példa adatai alapjá elleırizzük α.5-os szigifikaciaszite, hogy elfogadható-e az az állítás, mely szerit a mérési módszer variaciája (s ) legfeljebb -4 (%). III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 s.338 s.7-4 H H : : χ 5, ν χ... ( ν ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 46

47 Két szóráségyzet összehasolítása (F-próba) :σ σ H A próbastatisztika: F ; (, ) s s Egyik oldali ellehipotézis eseté: H Akkor utasítjuk el a ullhipotézist, ha s / s > F α :σ > σ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 93 Kétoldali ellehipotézis eseté: H Akkor utasítjuk el a ullhipotézist, ha :σ σ s s < F -a/ vagy s s < F a/ s / s elég az elfogadási tartomáy fölsı határát elleırizi 95 %-os egyoldali szit a 9 %-os kétoldali szitek III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 94 47

48 III.8. példa Elleırizzük, hogy a fiúcipı-példa A és B talpayaga kopásáak variaciája megegyezik-e α.-es szigifikaciaszite! T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 95 Mekkora aráy kellee ahhoz, hogy észrevegyük a külöbséget? α.5, β., III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 96 48

49 Power vs. Ratio. F-test o Two Variaces: Power Calculatio F-test o Two Variaces (H: Var Var) Power vs. Variace Ratio (Df 9, Df 9, Alpha.5) Power Variace Ratio ( Var/Var ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 97 Kétmitás t-próba Adott a két függetle mita elemszáma ( és ), s s és szóráségyzetük ( és ). Tételezzük fel, hogy a két sokaság variaciája megegyezik. (Ezt F-próbával elleırizi kell!) d ( ) ( ) ( ) E d µ µ Var d Var σ / + σ / III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 98 49

50 s s s + d [ s ( ) s ( ) ] A következı kifejezés t-eloszlású t d E d s d ( ) d E( d) s +, ν + III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 99 µ µ H : E d, ekkor ( ) A próbastatisztika: t d- s d s d +, ν ( ) + ( ) A σ σ feltevést F-próbával elleırizzük III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5

51 Két mita összehasolítása III.9. példa Két cipıtalp-ayag kopását hasolítjuk össze, - fiú lábá, a haszálat sorá. Vizsgáljuk meg.5-os szite, va-e külöbség a két ayag kopása között! átlag szóráségyzet A B III. STATISZTIKAI PRÓBÁK H : H : F F. 5 (, ) ν ν ν ν H : H : t t 5 ( ). ν ν Kofidecia-itervallum σ -re: III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5

52 Feltételezhetjük, hogy a két sokaság variaciája megegyezik? (Fpróba!) H µ µ : H µ µ : T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 3 T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p t separ. df p Group vs. Group Group Group var.est. -sided TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 4 5

53 3. Bo & Whisker Plot TALPA vs. TALPB TALPA TALPB Mea Mea±SE Mea±.96*SE T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 A próba ereje ( β ) Idepedet Sample t-test: Power Calculatio Two Meas, t-test, Id. Samples (H: Mu Mu) Power vs. Es (N, N, Alpha.5) Power µ µ A σ B Stadardized Effect (Es) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 53

54 . OC görbe.8 β.6 σ σ valódi külöbség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Páros t-próba ( d ) H : E d i i y i.... y összefüggı (em függetle) miták III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 54

55 Páros t-próba ( ) ( ) H : E i E y d y i ( ) ( ) ( ) E d E E y i i i A párokéti eltérés átlagértéke: d szóráségyzete: s d ( di-d) i i i di d i i - - i d i III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 A következı kifejezés t-eloszlású: ( ) t d E d s / d A próbastatisztika: t d s / d III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 55

56 III.. példa TABLE 4.3. Data o the amout of wear measured with two differet materials A ad B, boy s shoes eample* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L) (L) 4.(R) (R).8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R) (R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 3 wear boys material A material B FIGURE 4.. Data o two differet materials A ad B, used for makig soles of boy s shoes. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 56

57 s d. 49 s d s d t B - A FIGURE 4.3. Differeces B A for data i Figure 4.., boy s shoes eample boys III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 3 T-test for Depedet Samples (Fiucipo) Marked differeces are sigificat at p <.5 Mea Std.Dv. N Diff. Std.Dv. t df p TALPB TALPA III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 4 57

58 , OC görbe a fiúcipı példához,8 β,6 σ ( mitás),4, σ.88 ( mitás) σ.75 (páros) σ.66 (páros), valódi külöbség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 Illeszkedésvizsgálat A feladat aak eldötése, hogy a mita egy adott eloszlású sokaságból származik-e. Ha a ormális eloszláshoz való illeszkedés a kérdés, ormalitásvizsgálatról beszélük. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6 58

59 Illeszkedésvizsgálat H : a mita egy adott eloszlású sokaságból származik pl. ormalitásvizsgálat statisztikai próbával agy mitára χ -, Kolmogorov-Szmirov-próba, kisebb erı kisebb mitára Aderso-Darlig, Rya-Joier (Shapiro Wilk), agyobb (hasoló) erı grafikusa Probability plot IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 7 IV.. példa Az valószíőségi változóra redelkezésükre álló összese elemő mitát soroljuk osztályokba, ahogy a hisztogram készítéséél szokás. Jelölje r az osztályok számát. Az i-edik osztályba esı mitaelemek számát jelölje i (i,,..., r). Az i-edik osztály alsó és fölsı határát jelöljük ia -val ill. if- fel. Egy 5 elemő mita ilye csoportosítását mutatja a következı ábra és táblázat. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 8 59

60 6 Variable: Adatok, Distributio: Normal Kolmogorov-Smirov d.673, Chi-Square test , df (adjusted), p No. of observatios Category (upper limits) IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 9. 6 s. 896 z if if s ia if i i F ( if ) i j j z ia z if F( ia ) F( if ) < IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6

61 Illeszkedésvizsgálat statisztikai próbával Az elıfordulások i számából kiszámítjuk az i / relatív gyakoriságokat és a tapasztalati F () eloszlásfüggvéyt (az egyes i-edik osztályokbeli elıfordulások kumulált relatív gyakoriságát). A ormális eloszlásból kiszámíthatjuk az egyes osztályokba várható elıfordulások számát: ( ) ( ) ( ) p P < F F i ia if if ia IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT Az elméleti F() eloszlásfüggvéy értékeit a z változó keresztül számítjuk: z µ σ melyhez természetese szükség va a µ várható érték és a σ variacia becslésére. Esetükbe: ɵ µ. 6 σ ɵ s IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6

62 A Kolmogorov Szmirov-próba próbastatisztikája: ( ) ( ) d F F D ma d elméleti eloszlásfüggvéy tapasztalati eloszlásfüggvéy Mide osztály if fölsı határához kiszámítjuk a d eltérést és a maimális eltérést (D) összevetjük az a szigifikaciaszithez a Függelék táblázatából leolvasható kritikus értékkel. Az adott eloszláshoz való jó illeszkedést (ullhipotézis) elfogadjuk, ha D kisebb a kritikus értékél. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 ia if F ( if ) i j j F( ia ) F( if ) p i d i < D D.5 (5).88 A Kolmogorov Szmirov-próbához miél több osztályba kell soroli az adatokat, de legalább 5 osztály szükséges. Szokás ezért úgy is eljári, hogy mide egyes i adat külö osztály legye, midegyikre kiszámítható z i, F( i ) és a D próbastatisztika. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 4 6

63 A χ -próba próbastatisztikája: r i ( p ) i p i i ahol ( ) ( ) p F F i if ia Az osztályokba sorolást úgy kell elvégezi, hogy mide osztályba az elméleti eloszlásból számított elıfordulási szám (p i ) agyobb legye 5-él. Példák szeriti osztályba sorolásál ez az., 6., és 7. osztályra em teljesül, azokat tehát össze kell voi. Az összevoás utái 5 osztályt vastag voal jelzi. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 5 A próbastatisztika elég agy r eseté jó közelítéssel χ - eloszlású, r szabadsági fokkal, ha az eloszlás paraméterei adottak. Ha a paramétereket is becsülük kell, akkor r -et még a mitából becsült paraméterek számával csökketei kell. Normális eloszlásál két paraméter, a µ és σ becsüledı a mitából, a szabadsági fok így r 3. A próbastatisztika kiszámított értéke 3.743, a szabadsági foka 5 osztályra 5 3, a táblázatbeli kritikus érték az elsõfajú hiba α.5 megegedett valószíőségéhez 5.99, tehát a ullhipotézist (hogy az adatok ormális eloszlásból származak) elfogadjuk. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6 63

64 Shapiro Wilk-próba A statisztikai programokba alkalmazott moder próba. Az irodalom szerit a Shapiro Wilk-próba erısebb (kisebb valószíőséggel vét másodfajú hibát), mit sok más próba. A próbastatisztika: W k i ( ) a y y i+ i+ i ( yi y) i ahol k, ha páros; k, ha páratla IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 7 Illeszkedésvizsgálat grafikus módszerrel 3 Normal Probability Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Epected Normal Value Adatok: SW-W , p.4observed Value IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 8 64

65 .4 Probability-Probability Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Distributio: Normal(.6,.896). Empirical cumulative distributio Theoretical cumulative distributio IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 9.5 Quatile-Quatile Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Distributio: Normal Adatok.6+.86* Observed Value Theoretical Quatile IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 65

66 F(z). % 5.8 8% Percet of obs 6% 4% 3. % z % 9,674 9,883 9,946,839,8, Epected Normal Value ,6 9,7 9,8 9,9,,,,3,4 Observed Value IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 A ormális eloszlástól való eltérés okai és kiküszöbölésük strukturált adatok multimodalitás csoportok változó körülméyek kiugró értékek... léyegileg (a jeleség természete miatt) em ormális eloszlású adatok traszformáció pl. logormális: logaritmusa ormális Bo-Co IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 66

67 IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 33 IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 34 67

68 (ru charts) IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 35 68

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés Több oratórium összehasonlítása, körmérés colorative test, round robin a rendszeres hibák ellenőrzése, számszerűsítése Statistical Manual of AOAC, W. J. Youden: Statistical Techniques for Colorative Tests,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz

Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Paraméteres statisztikai próbák

Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Paraméteres statisztikai próbák Statisztikai hipotézisvizsgálatok Paraméteres statisztikai próbák 1. Magyarországon a lakosság élelmiszerre fordított kiadásainak 2000-ben átlagosan 140 ezer Ft/fő volt. Egy kérdőíves felmérés során Veszprém

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai változók Adatok megtekintése Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai változók Adatok megtekintése Statisztikai változók A statisztikai elemzések során a vizsgálati, vagy megfigyelési egységeket különbözı jellemzık

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

1., Egy területen véletlenszerűen kihelyezet kvadrátokban megszámlálták az Eringium maritimum (tengerparti ördögszekér) egyedeit.

1., Egy területen véletlenszerűen kihelyezet kvadrátokban megszámlálták az Eringium maritimum (tengerparti ördögszekér) egyedeit. 1., Egy területen véletlenszerűen kihelyezet kvadrátokban megszámlálták az Eringium maritimum (tengerparti ördögszekér) egyedeit. 1., Határozza meg az átlagos egyedszámot és a szórást. Egyedszám (x i )

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Normál eloszlás. Gyakori statisztikák

Normál eloszlás. Gyakori statisztikák Normál eloszlás Átlag jól jellemzi az adott populációt folytonos eloszlás (pl. lottó minden szám egyszer fordul elő) kétkúpú eloszlás (IQ mindenki vagy zseni vagy félhülye, átlag viszont azt mutatja,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Szociológiai Szemle 23(2): 72 88. válaszadó-vezérelt mitavétel megbízhatóságáak vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Kmetty Zoltá Simo Dávid zkmetty@yahoo.com; dr.david.simo@gmail.com Beérkezés: 2013.

Részletesebben

Esetelemzések az SPSS használatával

Esetelemzések az SPSS használatával Esetelemzések az SPSS használatával 1. Tekintsük az spearman.sav állományt, amely egy harminc tehenet számláló állomány etetés- és fejéskori nyugtalansági sorrendjét tartalmazza. Vizsgáljuk meg, hogy van-e

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing) A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1

A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 A gyakorló feladatok számozása a bevezetı órát követı órán, azaz a második órán indul. Gyakorló feladatok megoldásai 1 1. A populációt a számunkra érdekes egységek (személyek, csalások, iskolák stb.) alkotják,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem

13. előadás. Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem 13. előadás Matlab 7. (Statisztika, regresszió, mérési adatok feldolgozása) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Statisztikai alapfogalmak Populáció, hisztogram, átlag, medián, szórás,

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3 5. gyakorlat. Tömegmérés, térfogatmérés, pipettázás gyakorlása tömegméréssel kombinálva. A mérési eredmények megadása. Sóoldat sőrőségének meghatározása, koncentrációjának megadása a mért sőrőség alapján.

Részletesebben

A telefonnal való ellátottság kapcsolata a rádió és televízió műsorszórás használatával a 14 éves és idősebb lakosság körében

A telefonnal való ellátottság kapcsolata a rádió és televízió műsorszórás használatával a 14 éves és idősebb lakosság körében A telefonnal való ellátottság kapcsolata a rádió és televízió műsorszórás használatával a 14 éves és idősebb lakosság körében Kiegészítő elemzés A rádió és televízió műsorszórás használatára a 14 éves

Részletesebben

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE 91 AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE SZENDRŐ ZS., MIHÁLOVICS GY., MILISITS G., BIRÓNÉ NÉMETH E., RADNAI I. Pao Agrártudomáyi Egyetem, Állatteyésztési Kar, Kaposvár

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 8. rész: Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai ismeretek Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Nyolcadik rész Statisztikai eszköztár: Alapfokú statisztikai

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

STATISZTIKA PRÓBAZH 2005

STATISZTIKA PRÓBAZH 2005 STATISZTIKA PRÓBAZH 2005 1. FELADATSOR: számítógépes feladatok (még bővülni fog számítógép nélkül megoldandó feladatokkal is) Használjuk a Dislexia Excel fájlt (internet: http:// starts.ac.uk)! 1.) Hasonlítsuk

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás

Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás Statisztikai programcsomagok gyakorlat Pót zárthelyi dolgozat megoldás A feladatok megoldásához használandó adatállományok: potzh és potolando (weboldalon találhatók) Az állományok kiterjesztése sas7bdat,

Részletesebben

Sztochasztikus kapcsolatok

Sztochasztikus kapcsolatok Sztochasztikus kapcsolatok Petrovics Petra PhD Hallgató Ismérvek közötti kapcsolat (1) Függvényszerű az egyik ismérv szerinti hovatartozás egyértelműen meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást.

Részletesebben