Kísérletek tervezése és értékelése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kísérletek tervezése és értékelése"

Átírás

1 STATISZTIKAI ALAPOK I. STATISZTIKAI ALAPOK Adatok ábrázolása Yogi Berra: "You ca observe a lot by watchig." I. STATISZTIKAI ALAPOK

2 Mérési adatok ábrázolása: Pot ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y 9 3 Y I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 Sok adatra a dotplot em elég iformatív Dotplot for Y Y I. STATISZTIKAI ALAPOK 4

3 Pulzus példa Egy társaság mide tagjáak megmérték a pulzusát (PULSE), majd kisorsolták ki fusso és ki em (RAN). Futás utá újból mérték a pulzust (PULSE). A résztvevık éháy jellemzıjét (doháyzás, em, stb.) a pulzus adatokkal együtt táblázatos formába rögzítették. A táblázatba egy sor egyazo személy adatait tartalmazza. I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 4 Histogram of PULSE; categorized by RAN Pulse.sta 8v*9c 6 4 Bo Plot of PULSE grouped by RAN Pulse.sta 8v*9c No of obs PULSE PULSE RAN: RAN: RAN Media 5%-75% No-Outlier Rage Outliers Etremes I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 3

4 6 Bo Plot of PULSE grouped by SEX; categorized by RAN Pulse.sta 8v*9c 4 PULSE SEX PULSE/RAN: PULSE/RAN: Outliers I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Scatterplot of WEIGHT agaist HEIGHT Pulse.sta 8v*9c 9 8 WEIGHT HEIGHT Iclude se Iclude se Other I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 4

5 Dobozos ábra és hisztogram szimmetrikus eloszlásból vett mitára Ma 63 Mi 37 75% % 44.8 Media % 5% % 5% % 5% 3% rel. gyak. I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 Dobozos ábra és hisztogram aszimmetrikus eloszlásból vett mitára Ma 5 Mi. 75% 7.6 5%. Media 4.4 outlier % 5% % 5% % 5% frequecy I. STATISZTIKAI ALAPOK 5

6 I. STATISZTIKAI ALAPOK D. G. Altma, BMJ, 98 Studet, 93 I. STATISZTIKAI ALAPOK 6

7 Mérési skálák évleges (omial, categorical) sorredi (ordered categorical) itervallum (iterval) aráyos (proportioal) I. STATISZTIKAI ALAPOK y Sopro Gödöllõ Nyíregyháza Város 9 8 y T I. STATISZTIKAI ALAPOK 4 7

8 Alapfogalmak (vázlat) Véletle jeleség Sokaság és mita Valószíőségi változó: diszkrét vagy folytoos Sőrőség- és eloszlásfüggvéy Függetleség fogalma I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 Az igadozás, bizoytalaság elkerülhetetle a gyártott termékpéldáyok külöbözek az ismételt mérési eredméyek em azoosak ha egy tételbıl többször veszük mitát, a talált selejtaráy változik ha másik mitát veszük a vízbıl, em lesz teljese azoos ha másik apo veszük mitát, em lesz ugyaolya I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 8

9 Sokaság és mita a sokaság érdekel a mita va a kezükbe az egy év alatt gyártott darabok sokasága (mi a mita?) a lehetséges mérési eredméyek sokasága (mi a mita?) a lehetséges gyártott darabok sokasága (mi a mita?) I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Diszkrét valószíőségi változó Dobjuk föl egy pézérmét kimeetel: fej/írás (véletle) Kísérlet: dobjuk föl a pézérmét -szer eredméy: #fej,,,,9, valószíőségi függvéy, eloszlásfüggvéy p() I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 9

10 Diszkrét valószíőségi változó p() F() ( k) P( k) F( k ) P( k) p( i ) p k I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 i Folytoos valószíőségi változó.4 f() rel. gyak. a b P ( a < b) f ( ) b a d sőrőségfüggvéy I. STATISZTIKAI ALAPOK

11 Folytoos valószíőségi változó..8 F() F() kum.rel.gyak eloszlásfüggvéy F( i ) F I. STATISZTIKAI ALAPOK i i ( ) P( ) f ( ) i i d Paraméter és statisztika sokaság mita várható érték: számtai átlag: E( ) µ N N i i mediá variacia tapasztalati mediá szóráségyzet (korrigált) Var ( ) N σ ( ) s i N i I. STATISZTIKAI ALAPOK

12 Várható értékre és variaciára voatkozó azoosságok [ ] ce [ ] Var [ c] c Var [ ] E c I.. példa Egy lombikba töltött folyadék térfogatáak várható értéke.5cm 3, a térfogat variaciája 4-4 (cm 3 ). Mekkora a várhatóérték és a variacia mm 3 -be? Jelölje a térfogatot cm 3 be. [ ] E E ( ) [ ] Var Var A várható érték.5 3 mm 3, a variacia 4 (mm 3 ). I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 Függetle valószíőségi változókra voatkozó azoosságok [ + + ] [ ] + [ ] + [ ] E E E E 3 3 [ + + ] [ ] + [ ] + [ ] Var Var Var Var 3 3 Ha midegyik i azoos eloszlású és függetle: [ ] E[ ] és Var [ ] Var [ ] E i [ ] [ ] [ ] [ ] E E Var Var... i mide i-re Példa azoos eloszlású függetle változókra: ismételt mérések. A mérések függetlesége ebbe az esetbe a hibák függetleségét jeleti. I. STATISZTIKAI ALAPOK 4

13 Módusz, mediá, várható érték módusz várható érték 8 mediá I. STATISZTIKAI ALAPOK 5 A legfotosabb folytoos eloszlás: ormális eloszlás f ( ) µ ep πσ σ Két paramétere va: µ és σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 6 3

14 µ külöbözı f() σ külöbözı I. STATISZTIKAI ALAPOK 7 Várható értéke és variaciája: E ( ) µ Var( ) σ Rövid jelölése: ( µ,σ ), N pl. N (,) A ormális eloszlás sőrőségfüggvéye (f()) aalitikusa em itegrálható, ezért az eloszlásfüggvéy (F()) értékét umerikusa kell kiszámoli. A umerikus itegrálás eredméyei táblázatos formába redelkezésre állak az N(,) eloszlásra. Mi a teedıµ és/vagy σ eseté? Célszerő traszformációt keresük I. STATISZTIKAI ALAPOK 8 4

15 Normalizált (stadardizált) ormális eloszlás z µ σ f z ( z) ep π E ( z) Var ( z) Megjegyzés: A magyar szakirodalomba a stadard ormális eloszlású változó jelölésére a z mellett az u is elterjedt. I. STATISZTIKAI ALAPOK 9 I.. példa Határozzuk meg aak valószíőségét, hogy az ormális eloszlású valószíőségi változó a µ±σ, µ±σ illetve µ±3σ itervallumba esı értéket vesz fel! (Pl. azt kérdezzük, hogy milye valószíőséggel esik a ±.5 itervallumba, ha µ, σ.5) ( µ σ < µ + σ ) ( µ + σ ) ( µ σ ) P P P alsó fölsı -re ics táblázat, csak z-re traszformáció z µ σ z alsó µ σ µ µ + σ µ z fölsı σ σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 5

16 P( µ + σ ) P( µ σ ) µ σ µ - µ +σ z z µ σ ( µ σ µ σ ) ( ) P < + P < z F() F( ) I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 ( µ σ < µ + σ ) ( ) ( < ) P P P fölsı alsó alsó fölsı ±σ ±σ ±3σ F( ) P( ) fölsı fölsı F( ) P( ) alsó alsó P( < ) alsó fölsı I. STATISZTIKAI ALAPOK 3 6

17 I.3. példa Határozzuk meg, hogy egy µ σ.5 ormális eloszlású valószíőségi változó értékei milye szimmetrikus itervallumba vaak 95 %-os, ill. 99 %-os valószíőséggel! α.5. -α α/ z α/ α.5. alsó fölsı.98.9 ( ) P µ z σ < µ + z σ α α / α / alsó fölsı I. STATISZTIKAI ALAPOK 33 α/ α/ alsó -z α/ µ fölsõ z α/ z I. STATISZTIKAI ALAPOK 34 7

18 A számtai középérték ( ) i E ( ) [ E( ) ] E( ) µ ( ) Var σ Var( ) σ I. STATISZTIKAI ALAPOK 35 Cetrális határeloszlási tétel Bármilye eloszlású sokaságból vett miták számtai középértéke közelítıleg ormális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, variaciája pedig σ /. Tehát a számtai átlag közelítıleg N(µ, σ /) eloszlású. I. STATISZTIKAI ALAPOK 36 8

19 PARAMÉTERBECSLÉS ÉS KONFIDENCIA- INTERVALLUM Becslésél a sokaság tulajdoságára (paraméterére) következtetük a mita adatai (jellemzıi) alapjá. A becslés a mitából kiszámított statisztika (pl. a várható érték egyik lehetséges becslése lehet a mitaelemek számtai középértéke). II. PARAMÉTERBECSLÉS 37 A becslés valószíőségi változó f ( Θɵ ) a b c a jobb becslés mit b, mert kisebb az igadozása c-re a várható érték em a Θ paraméter paraméter Θ II. PARAMÉTERBECSLÉS 38 Θ ɵ 9

20 Torzítatla becslés: E( Θ ) A becslések tulajdoságai ɵ Θ. torzítás: E( ɵθ ) Θ korrekció: Θ E( Θɵ ) Aszimptotikusa torzítatla becslés: E( Θ ) lim ɵ Θ. II. PARAMÉTERBECSLÉS 39 torzítatla ( ) Θ E ˆ Θ Példa: Θ µ µˆ E ( ) µ torzítatla i i ˆ µ 4 E( 4 ) µ torzítatla II. PARAMÉTERBECSLÉS 4

21 A becslés hatásosságáak mértéke a variaciája. Miél kisebb a variacia, aál hatásosabb (efficiesebb) a becslés. Példa µˆ Var( ) ˆ 4 σ µ ( ) Var 4 σ hatásosabb kevésbé hatásos II. PARAMÉTERBECSLÉS 4 Kozisztes becslés: P( ) Θˆ Θ lim Θɵ Θ > ε. A mita elemszámáak övelésével a becslés a paraméter igazi értékéhez tart, potosabba övelésével egyre csökke aak valószíősége, hogy Q-tól jeletıse eltérje. µˆ ˆ µ 4 kozisztes em kozisztes Mea square error ( ˆ ) ( ˆ ) MSE E Θ Θ Var Θ + bias II. PARAMÉTERBECSLÉS 4

22 Becslési módszerek legkisebb égyzetek módszere: a mért adatok és a becslés közötti eltérések égyzetösszegét miimalizálja, pl. ( i ɵ µ ) mi maimum-likelihood módszer: azt a sőrőségfüggvéyt, illetve paramétereit fogadjuk el becsléskét, amelybıl a legagyobb valószíőséggel kapák a téylegese kapott mérési adatokat. i II. PARAMÉTERBECSLÉS 43 i N f f f3 Normális eloszlás és kostas σ eseté a maimum-likelihood és a legkisebb égyzetek módszer azoos becslést eredméyez. II. PARAMÉTERBECSLÉS 44

23 A becslés kivitelezése Potbecslés (egyetle értéket ad meg) Itervallumbecslés: kofidecia itervallum, amely bizoyos valószíőséggel magába foglalja a paraméter igazi értékét: kétoldali megbízhatósági itervallum egyoldali megbízhatósági itervallum (alsó vagy fölsı határérték) II. PARAMÉTERBECSLÉS 45 Pl. a várható értékre egy L és U határolta itervallum: ( U) P L µ α A A ( α ) ( α ) %-os alsó L határ: ( ) P L µ α %-os fölsı U határ: P ( U ) µ α II. PARAMÉTERBECSLÉS 46 3

24 II.. példa A tömegmérés variaciája s - g és az eloszlás ormális. a) Adjuk 99%-os kétoldali kofidecia-itervallumot az eloszlás várható értékére egyetle darab alapjá, melyre a mérés eredméye 5 g! P( z < z z ).99 α / α / α z II. PARAMÉTERBECSLÉS 47 ( σ µ σ ) P z < + z α / α /.99 α.-hez z α/ P ( < µ ). 99 II. PARAMÉTERBECSLÉS 48 4

25 b) Adjuk 99%-os kétoldali kofideciaitervallumot az eloszlás várható értékére több alkatrész átlaga alapjá! P( z < z z ).99, z α / α / α P ( < µ < ). 99 ( ) P < µ. 99 II. PARAMÉTERBECSLÉS 49 A kofideciaitervallum félszélessége az ismétlések számáak függvéyébe z α / / / σ II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 5

26 II.. példa Adjuk a I.. példába szereplı mérési eredméyek várható értékére 95 %-os megbízhatóságú alsó határt! s. 894 s. 965 P( L µ ). 95 t s µ II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 P( µ ). 95 A ν szabadsági fokhoz t.5 P( µ ). 95 II. PARAMÉTERBECSLÉS 5 6

27 II.3. példa Milye értéket em halad meg a I.. példába szereplı mérési eredméyek variaciájára 95 %-os valószíőséggel! s. 894 s. 965 ( U ). 95 Pσ s χ σ ν II. PARAMÉTERBECSLÉS 53 P( σ ).95 A ν szabadsági fokhoz χ alsó P( σ ).95 II. PARAMÉTERBECSLÉS 54 7

28 HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK Statisztikai következtetés: a sokaság érdekel, de a mita va a kezükbe. Az alapsokaságra voatkozóa valamilye feltevéssel élük (pl. µ és/vagy σ értéke) és azt statisztikai próbával elleırizzük. Jöhetek-e az adatok olya eloszlásból? Pl.: H : µ µ H : µ µ ullhipotézis ellehipotézis III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 55 z-próba H : µ µ H : µ µ z µ σ z µ próbastatisztika σ Ha H igaz, z ~ z Ha z olya értékeket vesz föl, amilyeeket z szokott, elfogadjuk H -t. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 56 8

29 ( < z z ) α P -z a a H α/ elutasítás -z α/ elfogadás α/ z α/ z elutasítás P -z µ < z H α σ a a µ α / / + α / σ z σ < < µ z / z σ < µ < z / α / / + α / σ a kofidecia-itervallum tartalmazza a µ értéket III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 57 z-próba kiszámítjuk a próbastatisztika aktuális értékét: z σ µ µ µ µ + σ σ értéke, ha H igaz H : µ µ z-eloszlású H : µ µ, vagy H : µ < µ, vagy H : µ >. µ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 58 9

30 kijelöljük az elfogadási tartomáyt az elıírt α szigifikaciaszithez Pl. H : µ µ eseté P -z µ µ < z a α σ P z σ a a megvizsgáljuk, hogy a próbastatisztika kiszámított értéke az elfogadási tartomáyba va-e ha ige, elfogadjuk a ullhipotézist III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 59 A statisztikai programcsomagok kiszámolják p értékét Pl. H µ > eseté : µ ( z ) p P > z ha p > α, elfogadjuk a ullhipotézist p z III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 3

31 A statisztikai programcsomagok kiszámolják p értékét Pl. H µ eseté : µ (-z < z z ) P( z ) p P > z ha p > α, elfogadjuk a ullhipotézist p/ p/ -z z III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 Elsı- és másodfajú hiba dötés ullhipotézis a H hipotézist elfogadjuk elutasítjuk H igaz helyes dötés elsıfajú hiba (α) H em igaz másodfajú hiba (β) helyes dötés III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 3

32 A másodfajú hiba valószíősége f(z H ) f(z H ) α/ β α/ (µ -µ )/(σ / ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 63 Mőködési jelleggörbe (OC-görbe ) β µ µ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 64 3

33 III.. példa Táramérlege égy ismételt tömegméréssel határoztuk meg egy tárgy tömegét. A 4 mérésbıl álló mita számtai középértéke 5.5 g. Korábbi mérésekbıl tudjuk, hogy a mérés variaciája s -4 g. El kell döteük, hihetı-e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5. g. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 65 : µ 5., H : µ 5. H 5.5, σ 4, 4, α.5 z σ µ z a III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 66 33

34 III.. példa Egy ayag miısége egyértelmőe jellemezhetı a sőrőségével, melyek kíváatos értéke kisebb, mit.54. A gyártás sorá szerzett eddigi ismeretek szerit a mérés potosságára jellemzı variacia égyzetgyöke σ.3. A vizsgálat meete a következı: -szer mitát veszük a miısítedı legyártott tételbıl, midegyik mita sőrőségét megmérjük, átlagoljuk: az így kapott átlagos sőrőség. Ha az átlagos sőrőség meghalad egy bizoyos * határértéket, az adagot rosszak, ha kisebb ála, jóak miısítjük. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 67 Hogy a jó tételt majdem midig elfogadjuk, a rosszakat majdem midig elutasítsuk, a következı kíváalmakat adjuk meg: ha µ.5, 99 % legye a valószíősége, hogy jóak miısítsük, ha µ.54, 98 % legye a valószíősége, hogy rosszak miısítsük az adagot. A ullhipotézis és az ellehipotézis: H : µ µ. 5 H : µ µ. 54 (a tétel jó); (a tétel rossz). III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 68 34

35 Az elsıfajú hiba megegedett valószíősége α., A másodfajú hiba megegedett valószíősége β.. A kimutatadó, jeletısek miısítedı külöbség:.4. A feladat: határozzuk meg a veedı miták számát és az * határértéket. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 69 Kritikus értékek az elsı- és másodfajú hibához H β -z β H α z α.5.54 sőrőség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 35

36 36 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Fejezzük ki azt az határt, amelyet -α valószíőséggel em halad meg, ha H igaz (az ábra alsó része): * ( ) α σ µ α α H z P H u z P ( ) ( ) ( ) α µ ασ α + * H P z P H z z P z σ µ α + * H III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Másodfajú hibát akkor követük el, ha H az igaz ( ), de mivel, elfogadjuk a H hipotézist. Eek valószíősége: z σ µ β * H z α z µ µ 54. ( ) ( ) P H P H z z P σ µ σ µ β α * * β σ µ β z P /

37 A kimutatadó, jeletısek miısített külöbség: µ µ A két egyelet jobb oldalát egymással egyelıvé téve, majd átredezve: µ ( zα + z ) σ µ β ( z + z ) α ( µ µ ) β σ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 73 Esetükbe: z α z β * 5. σ. 3 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 74 37

38 Egymitás t-próba H :µ µ H :µ µ t µ µ + µ µ t + µ µ s s s s P -t a < µ t s a α III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 75 III.3. példa Egy aalitikai módszer torzítatlaságáak vizsgálatára 5 ismételt mérést végeztek egy 3.5% ismert kocetrációjú muka-stadarddel. Az eredméyek: 3.5, 3.7, 3.4, 3.6 és 3.4. Elfogadva, hogy az adatok közelítıleg ormális eloszlásúak, elleırizzük 5%-os szigifikaciaszite a torzítatlaság hipotézisét! s H : H : µ s t t α / III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 76 38

39 Statisztikai próba és kofidecia-itervallum Kétoldali eset Elfogadási tartomáy: t < t < t α α Átredezve µ t s -t s < µ t a a s -t s < µ + t a a s A µ várható érték -α valószíőségő kofidecia-itervalluma -t s < µ + t a a s III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 77 -t s < µ + t a a s Elfogadjuk a ullhipotézist (µ µ ), ha a kofideciaitervallum tartalmazza a µ feltételezett várható értéket. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 78 39

40 Statisztikai próba és kofidecia-itervallum egyoldali esetre H µ µ H : µ > µ : t µ µ µ µ µ µ + t + s s s s Az elfogadási tartomáy: µ s t α t α µ P s s µ t α H α A ullhipotézist akkor fogadjuk el, ha µ bee va a várható érték -α valószíőségő alsó egyoldali kofidecia-tartomáyába. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 79 III.4 példa : µ µ 5µg kg : µ > µ 5µg kg H Meg kell tauluk potosa kérdezi H Ha elutasítjuk H -t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél több va bee. Ha elfogadjuk H -t, semmit em látuk bizoyítva. : µ µ 5µg kg : µ < µ 5µg kg H H Ha elutasítjuk H`-t, azt látjuk bizoyítva, hogy a megegedettél kevesebb va bee. Ha elfogadjuk H`-t, semmit em látuk bizoyítva. Mit akaruk bizoyítai? III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 4

41 Egyoldali ellehipotézis III.5. példa Az aflatoi-példa folytatása: Háy ismételt aalízis szükséges ahhoz, hogy kimutassuk, ha 5µg/kg helyett 5.5µg/kg a kocetráció? H : µ µ H : µ > µ 5µg 5µg kg kg H III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 Null Hypothesized Mea (Mu) True Populatio Mea (Mu) Populatio S.D. (Sigma) Stadardized Effect (Es) Type I Error Rate (Alpha) Power Goal Actual Power for Required N Required Sample Size (N) Sample Size Calculatio Oe Mea, t-test H: Mu < Mu Value III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 4

42 3 Sample t-test: Sample Size Calculatio Oe Mea, t-test (H: Mu < Mu) Sample Size vs. Es (Alpha.5, Power Goal.9) 5 Required Sample Size (N) Stadardized Effect (Es) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 83 Egy ayagba a szeyezés ma. megegedett kocetrációja.%. Adjuk meg a ullhipotézist és az ellehipotézist! III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 84 4

43 J. H. Steiger, R.T. Fouladi: Nocetrality Iterval Estimatio ad the Evaluatio of Statistical Models, Chapter 9 i: L.L. Harlow, S.A. Mulaik, J.H. Steiger: What if there were o sigificace tests? Mahwah, NJ: Erlbaum (997).8 Mea; Whisker: Mea±.95 Cof. Iterval I II III IV III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 85 χ -próba a variacia vizsgálatára :σ σ H H :σ > σ Ha H igaz, akkor a következı kifejezés χ -eloszlású, szabadsági foka: ν χ s ( ) ( ) σ, P s σ χα α III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 86 43

44 III.6. példa TABLE 4.3. Data o the amout of wear measured with two differet materials A ad B, boy s shoes eample* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L) (L) 4.(R) (R).8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R) (R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 87 Elleırizzük a fiúcipı-példa A talpayagára α.5-os szigifikaciaszite, hogy elfogadható-e az az állítás, mely szerit a sokaság szórása (s) legfeljebb.5! Descriptive Statistics (Fiucipo.sta) Valid N Std.Dev. Cofidece SD Cofidece SD Variable -9.% +9.% TALPA III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 88 44

45 Mekkora eltérést tudák kimutati? α.5, β., Power vs. Var. Oe Variace: Power Calculatio Chi-square Variace Test (H: Var < 6.5) Power vs. Populatio Variace (Alpha.5, Df 9) Power Populatio Variace (Var) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 89 Mekkora mita kellee.5 4 szórás kimutatásához? Variace uder H (Var) Populatio Variace (Var) Type I Error Rate (Alpha) Power Goal Actual Power for Required Df Required Degrees of Freedom (Df) Sample Size Calculatio Oe Variace, Chi-Square Test H: Var < Var Value III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 45

46 III.7. példa A III.3. példa adatai alapjá elleırizzük α.5-os szigifikaciaszite, hogy elfogadható-e az az állítás, mely szerit a mérési módszer variaciája (s ) legfeljebb -4 (%). III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 s.338 s.7-4 H H : : χ 5, ν χ... ( ν ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 46

47 Két szóráségyzet összehasolítása (F-próba) :σ σ H A próbastatisztika: F ; (, ) s s Egyik oldali ellehipotézis eseté: H Akkor utasítjuk el a ullhipotézist, ha s / s > F α :σ > σ III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 93 Kétoldali ellehipotézis eseté: H Akkor utasítjuk el a ullhipotézist, ha :σ σ s s < F -a/ vagy s s < F a/ s / s elég az elfogadási tartomáy fölsı határát elleırizi 95 %-os egyoldali szit a 9 %-os kétoldali szitek III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 94 47

48 III.8. példa Elleırizzük, hogy a fiúcipı-példa A és B talpayaga kopásáak variaciája megegyezik-e α.-es szigifikaciaszite! T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 95 Mekkora aráy kellee ahhoz, hogy észrevegyük a külöbséget? α.5, β., III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 96 48

49 Power vs. Ratio. F-test o Two Variaces: Power Calculatio F-test o Two Variaces (H: Var Var) Power vs. Variace Ratio (Df 9, Df 9, Alpha.5) Power Variace Ratio ( Var/Var ) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 97 Kétmitás t-próba Adott a két függetle mita elemszáma ( és ), s s és szóráségyzetük ( és ). Tételezzük fel, hogy a két sokaság variaciája megegyezik. (Ezt F-próbával elleırizi kell!) d ( ) ( ) ( ) E d µ µ Var d Var σ / + σ / III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 98 49

50 s s s + d [ s ( ) s ( ) ] A következı kifejezés t-eloszlású t d E d s d ( ) d E( d) s +, ν + III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 99 µ µ H : E d, ekkor ( ) A próbastatisztika: t d- s d s d +, ν ( ) + ( ) A σ σ feltevést F-próbával elleırizzük III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5

51 Két mita összehasolítása III.9. példa Két cipıtalp-ayag kopását hasolítjuk össze, - fiú lábá, a haszálat sorá. Vizsgáljuk meg.5-os szite, va-e külöbség a két ayag kopása között! átlag szóráségyzet A B III. STATISZTIKAI PRÓBÁK H : H : F F. 5 (, ) ν ν ν ν H : H : t t 5 ( ). ν ν Kofidecia-itervallum σ -re: III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5

52 Feltételezhetjük, hogy a két sokaság variaciája megegyezik? (Fpróba!) H µ µ : H µ µ : T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 3 T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p t separ. df p Group vs. Group Group Group var.est. -sided TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 4 5

53 3. Bo & Whisker Plot TALPA vs. TALPB TALPA TALPB Mea Mea±SE Mea±.96*SE T-test for Idepedet Samples (Fiucipo.sta) Note: Variables were treated as idepedet samples Mea Mea t-value df p Valid N Valid N Std.Dev. Std.Dev. F-ratio p Group vs. Group Group Group Group Group Group Group Variaces Variaces TALPA vs. TALPB III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 A próba ereje ( β ) Idepedet Sample t-test: Power Calculatio Two Meas, t-test, Id. Samples (H: Mu Mu) Power vs. Es (N, N, Alpha.5) Power µ µ A σ B Stadardized Effect (Es) III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 6 53

54 . OC görbe.8 β.6 σ σ valódi külöbség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 7 Páros t-próba ( d ) H : E d i i y i.... y összefüggı (em függetle) miták III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 8 54

55 Páros t-próba ( ) ( ) H : E i E y d y i ( ) ( ) ( ) E d E E y i i i A párokéti eltérés átlagértéke: d szóráségyzete: s d ( di-d) i i i di d i i - - i d i III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 9 A következı kifejezés t-eloszlású: ( ) t d E d s / d A próbastatisztika: t d s / d III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 55

56 III.. példa TABLE 4.3. Data o the amout of wear measured with two differet materials A ad B, boy s shoes eample* boy material A material B B A differece d 3.(L) 4.(R).8 8.(L) 8.8(R).6 3.9(R).(L) (L) 4.(R) (R).8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R).3 8.8(L).3(R) (R) 9.3(L).5 3.3(L) 3.6(R).3 average differece.4 III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 3 wear boys material A material B FIGURE 4.. Data o two differet materials A ad B, used for makig soles of boy s shoes. III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 56

57 s d. 49 s d s d t B - A FIGURE 4.3. Differeces B A for data i Figure 4.., boy s shoes eample boys III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 3 T-test for Depedet Samples (Fiucipo) Marked differeces are sigificat at p <.5 Mea Std.Dv. N Diff. Std.Dv. t df p TALPB TALPA III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 4 57

58 , OC görbe a fiúcipı példához,8 β,6 σ ( mitás),4, σ.88 ( mitás) σ.75 (páros) σ.66 (páros), valódi külöbség III. STATISZTIKAI PRÓBÁK 5 Illeszkedésvizsgálat A feladat aak eldötése, hogy a mita egy adott eloszlású sokaságból származik-e. Ha a ormális eloszláshoz való illeszkedés a kérdés, ormalitásvizsgálatról beszélük. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6 58

59 Illeszkedésvizsgálat H : a mita egy adott eloszlású sokaságból származik pl. ormalitásvizsgálat statisztikai próbával agy mitára χ -, Kolmogorov-Szmirov-próba, kisebb erı kisebb mitára Aderso-Darlig, Rya-Joier (Shapiro Wilk), agyobb (hasoló) erı grafikusa Probability plot IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 7 IV.. példa Az valószíőségi változóra redelkezésükre álló összese elemő mitát soroljuk osztályokba, ahogy a hisztogram készítéséél szokás. Jelölje r az osztályok számát. Az i-edik osztályba esı mitaelemek számát jelölje i (i,,..., r). Az i-edik osztály alsó és fölsı határát jelöljük ia -val ill. if- fel. Egy 5 elemő mita ilye csoportosítását mutatja a következı ábra és táblázat. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 8 59

60 6 Variable: Adatok, Distributio: Normal Kolmogorov-Smirov d.673, Chi-Square test , df (adjusted), p No. of observatios Category (upper limits) IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 9. 6 s. 896 z if if s ia if i i F ( if ) i j j z ia z if F( ia ) F( if ) < IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6

61 Illeszkedésvizsgálat statisztikai próbával Az elıfordulások i számából kiszámítjuk az i / relatív gyakoriságokat és a tapasztalati F () eloszlásfüggvéyt (az egyes i-edik osztályokbeli elıfordulások kumulált relatív gyakoriságát). A ormális eloszlásból kiszámíthatjuk az egyes osztályokba várható elıfordulások számát: ( ) ( ) ( ) p P < F F i ia if if ia IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT Az elméleti F() eloszlásfüggvéy értékeit a z változó keresztül számítjuk: z µ σ melyhez természetese szükség va a µ várható érték és a σ variacia becslésére. Esetükbe: ɵ µ. 6 σ ɵ s IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6

62 A Kolmogorov Szmirov-próba próbastatisztikája: ( ) ( ) d F F D ma d elméleti eloszlásfüggvéy tapasztalati eloszlásfüggvéy Mide osztály if fölsı határához kiszámítjuk a d eltérést és a maimális eltérést (D) összevetjük az a szigifikaciaszithez a Függelék táblázatából leolvasható kritikus értékkel. Az adott eloszláshoz való jó illeszkedést (ullhipotézis) elfogadjuk, ha D kisebb a kritikus értékél. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 ia if F ( if ) i j j F( ia ) F( if ) p i d i < D D.5 (5).88 A Kolmogorov Szmirov-próbához miél több osztályba kell soroli az adatokat, de legalább 5 osztály szükséges. Szokás ezért úgy is eljári, hogy mide egyes i adat külö osztály legye, midegyikre kiszámítható z i, F( i ) és a D próbastatisztika. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 4 6

63 A χ -próba próbastatisztikája: r i ( p ) i p i i ahol ( ) ( ) p F F i if ia Az osztályokba sorolást úgy kell elvégezi, hogy mide osztályba az elméleti eloszlásból számított elıfordulási szám (p i ) agyobb legye 5-él. Példák szeriti osztályba sorolásál ez az., 6., és 7. osztályra em teljesül, azokat tehát össze kell voi. Az összevoás utái 5 osztályt vastag voal jelzi. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 5 A próbastatisztika elég agy r eseté jó közelítéssel χ - eloszlású, r szabadsági fokkal, ha az eloszlás paraméterei adottak. Ha a paramétereket is becsülük kell, akkor r -et még a mitából becsült paraméterek számával csökketei kell. Normális eloszlásál két paraméter, a µ és σ becsüledı a mitából, a szabadsági fok így r 3. A próbastatisztika kiszámított értéke 3.743, a szabadsági foka 5 osztályra 5 3, a táblázatbeli kritikus érték az elsõfajú hiba α.5 megegedett valószíőségéhez 5.99, tehát a ullhipotézist (hogy az adatok ormális eloszlásból származak) elfogadjuk. IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 6 63

64 Shapiro Wilk-próba A statisztikai programokba alkalmazott moder próba. Az irodalom szerit a Shapiro Wilk-próba erısebb (kisebb valószíőséggel vét másodfajú hibát), mit sok más próba. A próbastatisztika: W k i ( ) a y y i+ i+ i ( yi y) i ahol k, ha páros; k, ha páratla IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 7 Illeszkedésvizsgálat grafikus módszerrel 3 Normal Probability Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Epected Normal Value Adatok: SW-W , p.4observed Value IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 8 64

65 .4 Probability-Probability Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Distributio: Normal(.6,.896). Empirical cumulative distributio Theoretical cumulative distributio IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 9.5 Quatile-Quatile Plot of Adatok (illeszkedes.sta v*5c) Distributio: Normal Adatok.6+.86* Observed Value Theoretical Quatile IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 65

66 F(z). % 5.8 8% Percet of obs 6% 4% 3. % z % 9,674 9,883 9,946,839,8, Epected Normal Value ,6 9,7 9,8 9,9,,,,3,4 Observed Value IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 A ormális eloszlástól való eltérés okai és kiküszöbölésük strukturált adatok multimodalitás csoportok változó körülméyek kiugró értékek... léyegileg (a jeleség természete miatt) em ormális eloszlású adatok traszformáció pl. logormális: logaritmusa ormális Bo-Co IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 3 66

67 IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 33 IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 34 67

68 (ru charts) IV. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 35 68

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat

Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat Statisztikai alapismeretek (folytatás) 4. elıadás (7-8. lecke) Becslések, Hipotézis vizsgálat 7. lecke Paraméter becslés Konfidencia intervallum Hipotézis vizsgálat feladata Paraméter becslés és konfidencia

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1. Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem. Kabos: Statisztika II. ROC elemzések 10.1 ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás szóhasználatával A riasztóberendezés érzékeli, ha támadás jön, és ilyenkor riaszt. Máskor nem. TruePositiveAlarm:

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis

BIOMETRIA (H 0 ) 5. Előad. zisvizsgálatok. Hipotézisvizsg. Nullhipotézis Hipotézis BIOMETRIA 5. Előad adás Hipotézisvizsg zisvizsgálatok Tudományos hipotézis Nullhipotézis feláll llítása (H ): Kétmintás s hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H ) > = 1 Statisztikai

Részletesebben

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés

Több laboratórium összehasonlítása, körmérés Több oratórium összehasonlítása, körmérés colorative test, round robin a rendszeres hibák ellenőrzése, számszerűsítése Statistical Manual of AOAC, W. J. Youden: Statistical Techniques for Colorative Tests,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Statisztika október 27.

Statisztika október 27. Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A stabilitás vizsgálata: ellenőrző kártyák

A stabilitás vizsgálata: ellenőrző kártyák A miőségszabályozás felaata upper atural tolerace limit ige ige STABIL? em upper specificatio limit (fölső tűréshatár) KÉPES? em lower atural tolerace limit lower specificatio limit (alsó tűréshatár) Méréses

Részletesebben

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik)

H0 hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) 5.4: 3 különböző talpat hasonlítunk egymáshoz Varianciaanalízis. hipotézis: μ1 = μ2 = μ3 = μ (a különböző talpú cipők eladási ára megegyezik) hipotézis: Létezik olyan μi, amely nem egyenlő a többivel (Van

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Minőség-képességi index (Process capability)

Minőség-képességi index (Process capability) Minőség-képességi index (Process capability) Folyamatképesség 68 12. példa Egy gyártási folyamatban a minőségi jellemző becsült várható értéke µ250.727 egység, a variancia négyzetgyökének becslése σ 1.286

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

Varianciaanalízis 4/24/12

Varianciaanalízis 4/24/12 1. Feladat Egy póker kártya keverő gép a kártyákat random módon választja ki. A vizsgálatban 1600 választott kártya színei az alábbi gyakorisággal fordultak elő. Vizsgáljuk meg, hogy a kártyák kiválasztása

Részletesebben

Variancia-analízis (folytatás)

Variancia-analízis (folytatás) Variancia-analízis (folytatás) 7. elıadás (13-14. lecke) Egytényezıs VA blokk-képzés nélkül és blokk-képzéssel 13. lecke Egytényezıs variancia-analízis blokkképzés nélkül Az átlagok páronkénti összehasonlítása(1)

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

Tatisztika? Ammegmi? (Békásmegyeri aluljáró átlagos lakója ) Biostatisztika és informatika alapjai. Változók, kimenetelek

Tatisztika? Ammegmi? (Békásmegyeri aluljáró átlagos lakója ) Biostatisztika és informatika alapjai. Változók, kimenetelek Tatisztika? Ammegmi? (Békásmegyeri aluljáró átlagos lakója ) A statisztika a véletlen tömegjelenségek leírója. Biostatisztika és informatika alapjai 2. előadás: Leíró statisztika 26. szeptember 5. Veres

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

Variancia-analízis (VA)

Variancia-analízis (VA) Variancia-analízis (VA) 5. elıadás (9-10. lecke) VA lényege, alkalmazásának feltételei, adat-transzformációk 9. lecke Variancia-analízis lényege Szórások egyezésének ellenırzése A Variancia-Analízis (VA)

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben