A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa"

Átírás

1 Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy az eredeti feladat helyett előzör egy jóval egyzerűbb problémát kezdük vizgáli. Mi a helyzet, ha a potok záma, 3, 4, Ha ézrevezük valami zabályoágot, akkor azt megpróbáljuk igazoli, majd alkalmazi az eredeti problémába zereplő agy zámokra. Termézetee általáo ikolai zite agyo gyakra megelégzük a ejté megfogalmazáával é alkalmazáával, é em mide eetbe kell hogy törekedjük a bizoyítára. Vaak azoba calóka feladatok. Olyaok, amelyekbe látzólag em olya agy zámok zerepelek: yolczög cúcai, idiá, építőkocka. Cábító, hogy azoal az eredeti problémával kezdjük foglalkozi, ez azoba agyo okzor regeteg eet vizgálatával jára. Ilye eetekbe okkal ehezebbe adódik az előbbi ötlet: próbálkozhatuk ilyekor i kiebb zámokkal, egyzerűbb eetek vizgálatával. Előadáomo ilye jellegű problémákat zereték bemutati.. feladat Egy építőkézletbe háromféle zíű építőkocka található: a árgák é a kékek cm magaak, a piroak cm-eek. Háyféle cm maga toroy építhető, ha mide zíből kellő zámú elem áll redelkezére? (3 cm maga toroyból 5 féle építhető: PPP, PK, KP, PS, SP.) A probléma émi kombiatorikai imerettel yíltiako rohammal i támadható. Vizgáljuk az eeteket a cm-e darabok záma zerit, ez lehet 5, 4, 3,, é. Midegyik cm-e darab kétféle zíű lehet, így ha a cm-e darabok záma k, k akkor ezek zíezée -féle lehet. Ha a cm-e darabok záma k, akkor az cmeeké -k, vagyi az öze darabok záma -k. Ezek közül a cm-e darabok helyét kell kiválaztai, aháyféleképpe ezt megtehetjük, ayi a lehetége k orredek záma, vagyi. A cm-e toryok záma tehát k 5 k= k k k = = 683. Ez a megoldá azoba a biomiáli együtthatók imeretét igéyli, általáo ikolai zite ehéz. Vizgáljuk hát rekurzíve, mi a helyzet, ha a toroy em ilye

2 Erdő Gábor: A rekurzív módzer maga? Jelöljük az cm maga toryok zámát t -el, kereük t értékét. Nyilvá t =, t = 3, é mit a feladatál zereplő példából látzik, t 3 = 5. Nyugodta próbálkozhatuk tovább, felírva az öze eeteket érettégibe, kompeteciaméréek orá látzik, okakak em i olya egyzerű módzeree özegyűjtei az öze lehetége eetet. Hagyjuk a gyerekeket, míg rá em jöek valami zabályoágra, egedjük, hogy gyűjteek újabb eeteket, de egítük abba, hogy midezt módzeree tegyék! Mi azoba mot megpróbálhatjuk megmodai az eddigiek alapjá, háy 4 cm-e toroy va. Milye zíű lehet a legfelő darab? Lehet piro. Háy ilye 4 cm-e toroy va? A piro alatt egy zabályo 3 cm-e toroy látható. Mit láttuk, ilyeből 5 va, vagyi piro tetejű 4 cm-e toroyból i 5 va. É kék tetejűből? Ez alatt egy cm-e toroy va, ami cak háromféle lehet, vagyi ilyeből 3 va, mit ahogy árga tetejűből i. Vagyi a 4 cm-e toryok záma. Midezt úgy kaptuk, hogy t4 = t3 + t. Ez a rekurzív formula általáoítható, azaz t = t + t. A kezdeti értékekből a orozat elő éháy eleme egyzerű zámítáal megkapható:, 3, 5,,, 43, 85, 7, 34, 683. Nem várható el általáo ikolai zite az általáo képlet megejtée, de a máodfokú rekurzióál hazálato módzerrel megkapható, hogy A képlet középikolába telje idukcióval igazolható. t = ( ) feladat Az ABCDEFGH zabályo yolczög cúcait 3 zíel zíezzük úgy, hogy a zomzédo cúcok e legyeek azoo zíűek. Háy külöböző zíezé va? Két zíezé külöböző, ha bármely betűvel jelölt cúc a két zíezébe külöböző zíű. Itt i létezik kombiatoriku megoldá, ami ezúttal em köyű. Legye előkét az A pot piro, é vizgáljuk az eeteket azerit, hogy eze kívül háy piro pot va még. Ha ic, akkor a B pot kétféle lehet, ha vizot ezt kizíeztük, akkor ie kezdve a C, D, potok zíezée egyértelmű, hize felváltva kell imétlődie a két máik zíek, azaz ilye zíezé va. Ha még egy piro pot va, akkor az lehet a C, D, E, F vagy a G, ez eddig 5 eet, midegyik eetbe a piro potok közti két íve a többi pot zíe - féle lehet, így ekkor 5 az eetek záma. Ha még két piro pot va, akkor ezek lehetek a C é az E, a C é az F, a C é a G, a D é az F, a D é a G, valamit az E é a G, ez 6 eet, a többi potok zíét az előző módo zámolva 6 3 = 48 eetet találuk. Végül további három piro pot cak =

3 Maga zitű matematikai tehetéggodozá úgy lehet, ha ezek a C, az E é a G, a máik égy pot zíe miatt ez 4 = 6 újabb eet. Özee tehát = 86 olya eet va, amikor az A pot piro. Nyilvá ugyaeyi eetet találuk, ha az A pot zíe a máik két zí valamelyike, így az öze megegedett zíezéek záma 3 86 = 58. Nézzük mot a rekurzív megoldát! Sokzög helyett tekitük egy körvoalat, amelye potot kell zíezi a megadott módo, jelöljük a zíezéek zámát c - el! Az elő éháy érdeke eetbe c = 3 = 6 é c 3 = 3 = 6. Mi a helyzet, ha a potok záma, ahol 4? Válazuk ki az egyik potot (P), eek két zomzédja legye Q é R. Ha Q é R külöböző zíű, akkor P zíére cak lehetőég va, a harmadik zí, vizot P-t elhagyva egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Ha Q é R azoo zíű, akkor P zíe kétféle lehet, továbbá ha P é Q potokat elhagyjuk, akkor egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Mide eetet potoa egyzer zámoltuk, így c = c + c kifejezéhez jutuk. Az előző feladatál tárgyalt módo kapjuk a c orozat elemeit a máodiktól kezdve: 6, 6, 8, 3, 66, 6, 58. Itt akár meg i ejthető egyfajta általáo képlet, hize em ehéz ézrevei, hogy a hatváyaiál felváltva -vel agyobb vagy kiebb zámokat látuk, azaz ( ) c = +. Az özefüggé telje idukcióval igazolható. Eek a megoldáak a zépége, hogy a rekurzív formula akkor i hazálható, ha a zíek c p c + ( p c, melyből általáoa = ) záma em 3, haem p, ekkor ( ) c ( p ) + ( p ) ( ) = adódik. Nem rézletezzük, de az eredeti feladat általáoítáából adódik például a következő özefüggé: k= k k+ =. k 3 3. feladat Egy kerek aztal körül -e ülek. Háyféleképpe foghat hat pár kezet egymáal úgy, hogy a kézfogáok e kereztezzék egymát? (Egyzerre mideki cak egyvalakivel fog kezet.) Ha az emberek záma, akkor jelölje k azt, hogy az zámú kézfogát háyféleképpe lehet kereztbeyúlá élkül megtei. Feladatuk a k 6 meghatározáa. Nyilvá k = k é k. Az = 3 eetbe az egyik ember, = =

4 Erdő Gábor: A rekurzív módzer evezzük Jókáak, vagy valamelyik zomzédjával, vagy a zembe ülővel foghat kezet. Ha valamelyik zomzédjával, akkor a máik égy emberek kell a két kézfogát egymá között zabályoa leredezi, erre az előbb már láttuk, hogy midkét eetbe k lehetőég va. Ha a zembe ülővel fog kezet, akkor = kézfogáuk midkét oldalá a két-két ember k = lehetége módo tud kezet fogi, azaz k 3 = k + k k = + = 5. Máképpe: Meggodolható, hogy általába i k = k k + k k + k k = k i k. 3 k = i= i k k i i= i adódik, amivel a orozat elemei redre kizámolhatók:,, 5, 4, 4, 3. A kapott értékeket Catala zámokak evezzük, bizoyítható, hogy általáo alakba k = feladat A hét törpe elhatározza, hogy Mikulákor megajádékozzák egymát. Midegyikük evét felírják egy cetlire, é midegyikük húz egy evet. A orolát akkor evezzük jóak, ha eki em húzza a aját evét. Háy jó orolá lehetége? Kezdjük ezúttal i egyzerűbb problémával, de egyzerre általáoítuk i a kérdét: Ha a törpék záma t, akkor háyféleképpe húzhatja közülük potoa k a aját evét, ahol k értéke lehet,,,, t? Az eredeti kérdé mide t eeté a k = -hoz tartozó érték. Ha t =, akkor yilvá a k = eet em lehetége, a k = pedig egyféleképpe. Haolóa yilvávaló, hogy t = eeté a k = é a k = eetek egyféleképpe lehetégeek, ez azt jeleti, hogy vagy egymá evét húzzák, vagy a ajátjukat. Ugyaekkor yilvá em valóulhat meg a k = eet. Általáoa i megállapíthatjuk, hogy a k = t eet em lehetége, hize ha egy kivétellel mideki a aját evét húzza, akkor már az az egy törpe em tud mát tei, mit hogy a aját evét húzza. Az elő érdeke eet a t = 3. Mit midig, a k = t eet, vagyi ezúttal a k = 3 egyféleképpe lehetége, ha mideki a ajátját húzza, míg az előbb elmodottak miatt a k = eet em lehetége. Ha k =, 3

5 Maga zitű matematikai tehetéggodozá akkor 3-féleképpe tudjuk kiválaztai, ki húzta a aját evét, míg a máik két törpe egymáét húzta, ami egyféleképpe lehetége, amit ezt a t =, k = eetbe már láttuk. Mivel az öze eetek záma yilvá t!, azaz jele eetbe 6, így kizáráo alapo a k = eetre lehetőég maradt. Lépjük tovább, legye t = 4! A k = 4 -re egy, a k = 3 -ra ulla lehetőég va. Ha k =, akkor a aját evüket húzókat = 6 -féleképpe válazthatjuk ki, míg a máik két ember egymáét húzza, ami egyféleképpe lehet, így ez 6 lehetőég. 5 Ha k =, akkor a aját 6 evüket húzókat 7 4 = 4 -féleképpe öz: válazthatjuk ki, míg a máik három ember közül egyik em húzza a aját evét, ez em má, mit a t = 3, k = eet, amire lehetőég va, ez özee 4 = 8 lehetőég. Az eredeti feladat felé haladó t = 4, k = eetre így 4! 6 8 = 9 lehetőég maradt. A feti módzert folytatva a jobb oldali táblázatot ozlopról ozlopra, az ozlopo belül pedig alulról felfelé haladva ki tudjuk töltei. A kitölté elvét, amit yilvá általáo ikolá gyerekekek ebbe a formába em íruk fel, de a jobb megérté miatt itt közlük, a következő özefüggéek adják: t f ( t; k ) = f ( t k;), ha k =,,..., t, k továbbá f ( t; t ) =, f ( t; t ) =, illetve f ( t k ) 4 t ; = t!, ahol f ( t; k ) yilvá azt jelöli, háyféleképpe húzhatja t törpe közül k a aját evét. A táblázat kitöltéét a 7. ozlopig folytatva megkapjuk az eredeti feladatba f 7; = 854. kereett értéket, mely zerit ( ) Egy elég tetzető trükkel é émi kombiatorikai ezközkézlettel direkt rohammal i zép eredméyt kaphatuk. Képzeljük el, hogy megpróbáljuk leülteti a 7 törpét éháy aztalhoz úgy, hogy mideki mellé jobbról ülteük azt, akiek a evét húzza. Az a kérdé, háyféleképpe lehet őket leülteti úgy, hogy eki em ül magába. Két üléred akkor külöböző, ha valakiek má a jobb oldali zomzédja. Ha egyetle aztalhoz ülek le, akkor ezt 6! = 7 -féle módo tehetik meg, hize k =

6 Erdő Gábor: A rekurzív módzer eyi a 7 cikliku permutációiak a záma. Ha egy 4 é egy 3 fő aztalhoz ülek, 7 akkor 3!! = 35 6 = 4 lehetőég adódik, míg ha egy 3 fő é két fő 3 7 4!!! aztaltáraág alakul, akkor = = lehetőég va. Egy eet lehet még, ha egy 5 fő é egy fő aztalt hazáluk, ekkor a lehetőégek 7 záma 4!! = 4 = Az öze lehetőégek = 854. A cikkbe em rézletezett módo újabb megoldához juthatuk zitaformula alkalmazáával: ! 7 6! + 5! 4! + 3!! +!! = = = = feladat Egy 8-a táblát hézagmetee, átfedé élkül lefedük -e domiókkal. Háy külöböző lefedé va? Mi a helyzet, ha -e domiókat i hazálhatuk? Köye végiggodolható, hogy vízzitee cak úgy helyezhető el domió, ha egymá alatt ugyaazt a két ozlopot fedik. Így tulajdoképpe azt kell eldötei, hogy háyféleképpe lehet elhelyezi ozlopot lefedő függőlege domiókkal é ozlopot lefedő vízzite domiópárokkal a 8 ozlopot. Az elő feladatba zereplő elő, direkt módzerek megfelelőe ezúttal i oztályokba orolhatjuk az eeteket pl. a ozlopo párok záma zerit, majd az így kapott értékeket özegezhetjük. Midezt végiggodolva a következőt kapjuk: 4 k= 8 k = = 34. k De ha már megimerkedtük a rekurzív módzerrel, próbáljuk hazáli ebbe a feladatba i. Jelöljük a -e tábla lehetége parkettázáaiak a zámát p -el! 5

7 Maga zitű matematikai tehetéggodozá Nyilvá p = é p =. Mit tuduk modai p -ről? Oztályozzuk a lehetége parkettázáokat azerit, milye parketta va a tábla végé (jobb zélé)! Ha egy ozlopo álló domió, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ilyeből p -féle va. Ha vizot egy ozlopot fedő vízzite domiópár, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ezek záma p. Azt kaptuk, hogy p = p + p. A rekurzív formula adja a orozat elemeit:,, 3, 5, 8, 3, é p 8 = 34. A rekurzív formulából é a kezdőelemekből már látzott, hogy a jól imert Fiboacci-orozat elemeit kaptuk, p = f +. A két megoldáal egy zép általáo özefüggét i bizoyítottuk a Fiboacci-orozat elemei é a Pacal-háromzög között: k + f =. k k= A feladat máodik kérdée a 9--e taévbe az iformatika OKTV programozói kategóriájába az elő fordulóba zerepelt, ahol a orozat., 3., 4., 5., 7. é 8. elemét kellett kizámoli, majd a máodik fordulóba a vereyzőkek programot kellett íriuk, amely a orozat -edik elemét tudja megadi. A ki módoítá kellőe megöveli a feladat ehézégét. Már az elő éháy eetbe i zép é általáo ikoláokak agyo érdeke feladat a lehetége megoldáok özegyűjtée! Nyilvá l (hazáljuk máik evet a orozatra, hize máik = feladatról va zó), de már kevébé yilvávaló megtaláli az l 7 -hez tartozó = eeteket, mégikább az l -höz tartozókat! A következő elemek megtaláláa az 3 = eetek módzere özegyűjtéével már zite reméytele ( l 7 é főleg l 5 = 8 ). Próbáljuk találi egy rekurzív formulát! Milye domiók állhatak a or végé? Ha egy álló -e, akkor ilyeből l eet va, mit ahogy akkor i, ha két -e áll ott. Egyzerű még az az eet, amikor két fekvő -e áll a or végé, ilyeből l eet va. Mi a helyzet, ha a végé felül egy fekvő -e domió va, alatta meg egy -e? A probléma itt kezd érdeke lei. Ha ezt a két domiót elvezük, akkor egy olya alakzatot kapuk, amelyek az aló ora -gyel hozabb, mit a felő. Az ilye alakzatok hoza alatt értük a hozabbik oruk hozát, é a lehetége lefedéek zámát jelöljük 4 = a -el, az olyaokét, amelyekek meg a felő ora hozabb eggyel, b -el! Az utoljára említett eetbe tehát a - féle lehetőég va a lefedére. Végül a fordított eetbe, ha a végé alul egy fekvő -e domió va, felette meg egy -e, akkor b a lehetége lefedéek záma. 6

8 Erdő Gábor: A rekurzív módzer A következő rekurzív formulát kaptuk: l = l + l + a + b Ezt a formulát vizot cak akkor tudjuk hazáli, ha az a é b orozatokra i meghatározzuk a kezdeti elemeket é találuk rekurzív formulát. Szimmetriaokokból yilvá mide -re a = b, az elő két elem pedig a é a = 3. Nézzük meg itt i az utoló, coka ozlopba lévő, azaz az aló orba lévő utoló domiót! Ha ez egy -e, akkor előtte egy hozú ormál tábla áll, ilyeből l -féle va, míg ha -e, akkor ezt elvéve egy hozú, felül hozabb tábla marad, amit b -féle módo lehet lefedi. Az a é így a orozat rekurzív formuláit i megkaptuk tehát: a = l + b é = l + a b. = b Bevezetve a c = a + b jelölét a két rekurzív formula így írható: l c = l = l + l + c + c l, l 7 é c., ahol = = = Ebből a rekurzív defiícióból a két orozat elemei redre kizámíthatók, hize a jobb oldali táblázat cellái ozlopról ozlopra haladva kitölthetők l c Az úgyevezett zimultá rekurzív képletből algebrai ezközökkel kiküzöbölhetjük a c orozatot, így a következő harmadredű rekurzív formula adódik: l. = 3 l + l l 3 Ebből általáo zárt formulát kereée már meze meghaladja még a középikolai zitet i, hize ebbe az eetbe már komplex zámokkal i kell dolgozi. Módzertailag ayi zemélye véleméyt talá hozzáteék, hogy egy OKTV elő forduló zitjét matematikai tartalma miatt meze meghaladja ez a feladat, kitűzéét komoly didaktikai hibáak érzem. 7

9 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 6. feladat Egy 7 oldalú zabályo okzög cúcait zíel zíezzük. Háy külöböző zíezé va, ha a forgatáal egymába vihető zíezéeket em tekitjük külöbözőek? Nézzük itt i egy egyzerűbb problémát, kezdjük egy háromzöggel! Két coportba ozthatók az eetek: egy zít hazálok vagy kettőt. Ha egyet, akkor yilvá eet va, ez több cúc eeté i így va. Ha midkét zít hazálom, akkor egy cúc lez egyik zíű é kettő máik zíű. Ki kell válaztai, melyik zít hazálom cak egy cúcál, ez lehetőég. Az midegy, hogy melyik cúc lez ilye, hize ezek az eetek egymába forgathatók. A háromzög lehetége zíezéeiek záma tehát özee 4. Megézhetjük a égyzetet i, jó gyakorló feladat, akár az öze eet megkereée i, itt egyzíű eet va, olya, amikor egy cúc valamilye a máik három mámilye, illetve olya, amikor kettő ilye é kettő olya, hize itt a két egyzíű cúc lehet zomzédo é zemközti i. Özee 6 eet va. Lépjük tovább az ötzögre! Egyzíűből itt i va. Ha a zíek megozláa + 4, akkor eet va, hize ezek a zíezéek egymába forgathatók. Ha pedig + 3, akkor 4 eet található, hize kétféleképpe tudom kiválaztai, melyik zíűből va kettő, é ezek egymához képet kétféleképpe helyezkedhetek el: vagy zomzédoak, vagy em. Özee 8 a lehetége zíezéek záma. Az vizot látzik, hogy egyre több eetet kell vizgáli a zíek megozláa é az egyzíű potok elhelyezkedée miatt egyarát. Érdeme lee valami olya ézrevételt tei, ami eetleg több cúc eeté i hazálható. Meyi lee a zíezéek záma, ha az egymába forgatható eeteket külöbözőek tekiteék, azaz pl. a cúcokat elevezék? Ekkor cúc eeté a lehetége zíezéek záma lee, hize mide cúc kétféle zíű lehet. Háromzög eeté ez 8 lee, ehelyett mi 4-et kaptuk. Hol vezett el ez a 4 eet? Az egyzíű zíezéekél yilvá em, hize azokat mideképpe cak egyzer zámoltuk, kocetráljuk a kétzíű eetekre. A 8 eetből 6 lee ilye, a mi zámoláuk zerit cak, vagyi a harmada. Miért? Azért, mert midegyik eetet háromzor zámoltuk, hize egy általuk zámolt zíezéhez háromféleképpe lehet megbetűzi a cúcokat (a körüljárái iráyt megtartva perze, hize forgatáokról bezélük, tükrözéről em). A égyzögél kicit má a helyzet: va, amit kétzer zámoltuk, va, amit égyzer, ez boyolultabb. É az ötzögél? A 3 eetből 3 kétzíű, de mi 6 ilye eetet kaptuk, ami az öze eetek ötöde. Ez már érdeke megfigyelé: aháy cúc va, ayizor zámoltuk az egye eeteket. Miért? Azért, mert eyiféleképpe lehet egy ábrát elforgatva má é má betűzéhez juti. Miért működött ez 3-ra é 5-re, é miért em működött 4-re? Eetleg még éháy eetet megvizgálva egy em köyű végiggodolá utá megzületik a válaz: azért, mert a 3 é az 5 prímzámok, a 4 pedig em. Ige, mivel a 4-ek a oztója, így va olya zíezé, ami két forgatá (8 fok) utá 8

10 Erdő Gábor: A rekurzív módzer ömagába megy át. Általáoa kimodható azoba, hogy p oldalú okzög eeté, ahol p prím, mide kétzíű zíezét p külöböző módo lehet megbetűzi, vagyi az öze eetek özezámlálááál, ha az egymába forgatható eeteket megkülöbözteték, mide ilye eetet p-zer zámolák. Ezek alapjá p oldalú okzög eeté a kétzíű zíezéek záma pedig eél -vel több. A feladatba zereplő eetbe tehát =. 7 7 p, az öze zíezéek záma p A feladatot megoldottuk, de éháy érdeke megjegyzé tehető ezzel kapcolatba. Ha a zíek záma em, haem valamely a egéz zám, ahol a, akkor a em a p a egyzíű zíezéek záma. A kifejezé értéke yilvá midig egéz zám p kell legye, hize midig lehetőégek zámát adja meg. Ez azt jeleti, hogy az a p a midig oztható p-vel, mákét megfogalmazva a p a (mod p) Egy evezete zámelméleti állítát bizoyítottuk kombiatoriku módzerrel: em mát, mit a ki Fermat-tételt. 7. feladat Adott a íko egyee. Legfeljebb háy rézre darabolják a íkot? É ík a teret? A legtöbb eetet akkor kapjuk, ha általáo helyzetű egyeeeket rajzoluk a íkra: emelyik kettő em párhuzamo é emelyik három em metzi egymát ugyaabba a potba. Vizgáljuk keveebb egyeet, é jelöljük egyee eeté a keletkező íkrézek zámát -el! Az elő éháy eetet köye megkapjuk: =, = 4 é 3 = 7. Hogya következtetheték ebből a további eetekre? Érdeme a rekurzív lépére kokrét zámokat hazálva rávezeti a taulókat. Nézzük, hogy változik a rézek záma, amikor a egyedik egyeet behúzom! Ezt az 9

11 Maga zitű matematikai tehetéggodozá egyeet az előző 3 egyee 3 potba metzi, ez a 3 pot ezt az egyeet 4 rézre oztja: félegyeere é zakazra. Mid a 4 réz kereztülhalad egy íktartomáyo az eddigiek közül, é azt két rézre oztja, ezzel a íkrézek záma 4-gyel ő, azaz 4 =. Mit ciáluk, amikor rekurzív formulát kereük? Nem mát, mit 3 é 4 helyett végiggodoljuk ugyaezt -re é + -re. Kapjuk, hogy + = +. A kezdeti értékeket hazálva megkaphatjuk a orozat további elemeit egéze a feladatba zereplő tizeegyedikig:, 4, 7,, 6,, 9, 37, 46, 56, 67. Termézetee midig érdeke probléma a zárt formula kereée. Egyik lehetőég az, hogy megejtjük a képletet é a középikolába tauladó ezközt, a telje idukciót hazálva bebizoyítjuk. Va azoba olya módzer i, amit általáo ikolába i alkalmazhatuk. A kizámolt kezdeti érték é a rekurzív formula alapjá felírhatók a következő egyeletek: 3 4 = = + = + 3 = = + ( ) = + Az egyeleteket özeadva émi redezé utá a következő özefüggéhez jutuk: = ( ) + = + ( + ) i = + =. i= + + Felhazáltuk a megoldá orá az elő pozitív egéz zám özegéek közimert, általáo ikolába i többféle módo bizoyítható, vereyeke remekül hazálható képletét. Érdeke megjegyzé, hogy a feti képlet átírható + = + alakúra. A képlet értelmezée: kezdetbe volt = ík, mide egyee behúzáával keletkezik egy új íkréz, ezek záma, továbbá ha 3

12 Erdő Gábor: A rekurzív módzer két egyee metzi egymát, mide metzépot i eggyel öveli a íkrézek zámát, é mivel mide egyee mide máikat metz, a metzépotok záma. Mi a helyzet, ha öveljük a dimeziók zámát, é térbe vizgálóduk? Az darab általáo helyzetű ík (mit i jelet ez?) a teret t rézre darabolja. Nyilvá t = é t = 4. Az előző módo kereük rekurzív formulát! Az +-edik íkot metzi mid az előző ík egy-egy egyeebe, ez az egyee az újoa felvett íkot rézre darabolja. Eze íkrézek midegyike a korábbi térrézek egyikét két rézre oztja, midehol egy új térrézt behozva, így özee térrézek zámát. A következő rekurzív formulához jutuk tehát: t = t el övelve a Az előző feladat eredméyeit felhazálva kizámolhatjuk a orozat elő elemét:, 4, 8, 5, 4, 4, 64, 93, 3, 76, 3. A íkbeli eetél leírt módzer egítégével, az ott bizoyított képletet alkalmazva itt i eljuthatuk a zárt formuláig, ez azoba egyrézt algebrailag i ehezebb, márézt zükég va a égyzetzámok özegéek zárt formulájára i. A bizoyítható képlet a következő: t =. 6 A íkbeli eetél leírtak utá talá em meglepő, hogy a feti képlet émi átalakítáal a következő alakra hozható: t =

13 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 8. feladat Barkochbázuk, de ezúttal a válazokért fizeti kell. Kezdetbe zetouk va, é az ige válazért, a em válazért zetot kell fizeti. Ha már cak zetouk va, em kérdezhetük tovább, hize em válaz eeté adóágba keveredék. Legfeljebb háy zám közül tudjuk biztoa kitaláli a godolt zámot? A feladatot egy Póa Lajo által tartott taártovábbképző előadáo hallottam, de úgy godolom, érdeme továbbadi, hize eze az előadáo elég kevé taár vett rézt. Calóka feladat, a zeto elég kevé ahhoz, hogy az ember hajlamo direkt rohammal próbálkozi, ami valózíűleg kudarcra va ítélve. Kezdjük keveebbel, é vizgáljuk meg, hogy adott zámú zetoal mi az a legagyobb, amelyre igaz, hogy -től -ig bármelyik egéz zámra godolhatak, mi azt zerece élkül ki tudjuk találi. Jelöljük ezt a zámot k -el. Ha zetouk va, akkor em kérdezhetük, tehát cak zám közül tudjuk kitaláli a godolt zámot, azaz k =. Haolóa egyzerűe végiggodolható, hogy k =. Az elő előremutató kérdé, hogy mi a helyzet, ha 3 zetouk va. Ha a feltett kérdére ige lez a válaz, akkor zetouk marad, ami az előbb láttuk, hogy zám közül tudja kiválaztai az igazit. Ha vizot emlege a válaz, akkor cak zám maradhat, hize em tehetük fel újabb kérdét. Vagyi k 3 = + = 3. Nagyo zép é taulágo a probléma, hize egy zélőérték-feladattal va dolguk, é ezzel kapcolatba megtaíthatjuk azt, hogy mi az ilye típuú feladatokál a teedő. Két dolgot kell megvizgáli: több em lehet, ayi vizot ige. Már láttuk, hogy 3-ál több zámból em lehet kitaláli a godoltat. Márézt 3-ra va kotrukció: kérdezzük meg, hogy e között a között va-e. Ha em, akkor megva, hogy a harmadik zámra godoltak, ha ige, akkor meg még egy kérdéel tiztázhatjuk, hogy a kettő közül melyikre. Mi a helyzet 4 zeto eeté? Ha ige válazt kapuk, akkor 3 zetouk marad, ami 3 zámra elég, ha pedig em a válaz, akkor zetoal zám közül találjuk meg a godoltat, azaz k 4 = 3 + = 5. Sokakak talá már kezd gyaú lei a dolog! Valóba, újra a Fiboacci-orozatra bukkatuk. Talá már em i olya ehéz megtaláli a rekurzív formulát. Ha zetouk va, akkor igaz válaz eeté marad, ami k zámra elég, míg ha em a válaz, akkor zetoukkal k zám közül tudjuk megtaláli az igazit. Ez azt jeleti, hogy k = k + k, ami a k = é k = kezdőértékekkel éppe a Fiboacci-orozat elemeit adja, amiből k = 89. 3

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

Kidolgozott minta feladatok kinematikából

Kidolgozott minta feladatok kinematikából Kidolgozott minta feladatok kinematikából EGYENESVONALÚ EGYNLETES MOZGÁS 1. Egy gépkoci útjának az elő felét, a máik felét ebeéggel tette meg. Mekkora volt az átlagebeége? I. Saját zavainkkal megfogalmazva:

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK Gépézeti alapimeretek középzint 2 ÉRETTSÉGI VIZSGA 204. máju 20. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fonto tudnivalók

Részletesebben

Laplace transzformáció

Laplace transzformáció Laplace tranzformáció 27. márciu 19. 1. Bevezeté Definíció: Legyen f :, R. Az F ) = f t) e t dt függvényt az f függvény Laplace-tranzformáltjának nevezzük, ha a fenti impropriu integrál valamilyen R zámokra

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1. Gyors folyamatok szabályozása

1. Gyors folyamatok szabályozása . Gyor olyamatok zabályozáa Gyor zabályozá redzerekrl akkor bezélük, ha az ráyított olyamat dálladó máoder, agy az alatt agyágredek. gyor olyamatok eetébe a holtd általába az ráyítá algortmu megalóítááál

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatákutató é Fejleztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. zázadi közoktatá (fejlezté, koordináció) II. zakaz FIZIKA 1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatákutató é Fejleztő

Részletesebben

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Mindennapjaink. A költő is munkára

Mindennapjaink. A költő is munkára A munka zót okzor haználjuk, okféle jelentée van. Mi i lehet ezeknek az egymától nagyon különböző dolgoknak a közö lényege? É mi köze ezeknek a fizikához? A költő i munkára nevel 1.1. A munka az emberi

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Maradékos osztás nagy számokkal

Maradékos osztás nagy számokkal Maradéko oztá nagy zámokkal Uray M. Jáno, 01 1 Bevezeté Célunk a nagy termézete zámokkal való zámolá. A nagy itt azt jelenti, hogy nagyobb, mint amivel a zámítógép közvetlenül zámolni tud. A termézete

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása Egyeáramú motor kazkád zabályozáa. gyakorlat élja z egyeáramú motor modellje alajá kazkád zabályozó terezée. zabályozá kör feléítée Smulk köryezetbe. zmuláó eredméyek feldolgozáa.. Elmélet beezet a az

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A várható érték vizsgálata u és t statisztika segítségével

A várható érték vizsgálata u és t statisztika segítségével A várható érték vizgálata u é t tatiztika egítégével Feltételezzük hogy ormáli elozláú alapokaágból vett véletle mita/miták alapjá vizgáljuk hogy az imeretle várható érték milye feltételezett értékel egyel

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika emelt zint 08 É RETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utaítáai zerint,

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középzint Javítái-értékeléi útutató 06 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. noveber 6. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fizika középzint

Részletesebben

Jeges Zoltán. The mystery of mathematical modelling

Jeges Zoltán. The mystery of mathematical modelling Jege Z.: A MATEMATIKAI MODELLEZÉS... ETO: 51 CONFERENCE PAPER Jege Zoltán Újvidéki Egyetem, Magyar Tannyelvű Tanítóképző Kar, Szabadka Óbudai Egyetem, Budapet zjege@live.com A matematikai modellezé rejtélyei

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A következő angol szavak rövidítése: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőségtervezésnek szokás nevezni.

A következő angol szavak rövidítése: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőségtervezésnek szokás nevezni. Mi az az APQP? Az APQP egy mozaik zó. A következő angol zavak rövidítée: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőégtervezének zoká nevezni. Ez egy projekt menedzment ezköz, é egyben egy trukturált

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése.

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése. Aktív lgécillapítá. Máodfokú lgrdzr tztlé.. A gyakorlat célja Jármvk aktív lgé cillapítááak modllzé máodfokú lgrdzrkét. Szoftvrfjlzté a rdzr való idj tztléér, a tztrdméyk kiértéklé.. Elmélti bvzt. A máodfokú

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Családi állapottól függõ halandósági táblák Magyarországon

Családi állapottól függõ halandósági táblák Magyarországon Caládi állapottól függõ halandóági táblák Magyarorzágon A házaágok várható tartama, túlélée MÓDSZERTANI TANULMÁNY Központi Statiztikai Hivatal Hungarian Central Statitial Offie Központi Statiztikai Hivatal

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Gyakorló feladatok a mozgások témaköréhez. Készítette: Porkoláb Tamás

Gyakorló feladatok a mozgások témaköréhez. Készítette: Porkoláb Tamás ELMÉLETI KÉRDÉSEK Gyakorló feladatok a mozgáok témaköréez 1. Mit mutat meg a ebeég? 2. Mit mutat meg a gyorulá? 3. Mit mutat meg az átlagebeég? 4. Mit mutat meg a pillanatnyi ebeég? 5. Mit mutat meg a

Részletesebben

1-1. számú melléklet PÁLYÁZATI FELHÍVÁS

1-1. számú melléklet PÁLYÁZATI FELHÍVÁS 1-1. zámú melléklet PÁLYÁZATI FELHÍVÁS A Budapet Józefvároi Önkormányzat megbízáából a Kifalu Józefvároi Vagyongazdálkodái Kft. - a Budapet Józefvároi Önkormányzat Képvielő-tetületének 219/2012.(VII.05.),

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat 2014 B... GEVEE037B tárgy hallgatói számára

Zárthelyi dolgozat 2014 B... GEVEE037B tárgy hallgatói számára Zárthely dolgozat 04 B.... GEVEE037B tárgy hallgató zámára Név, Neptu kód., Néháy oro rövd léyegre törő válazokat adjo az alább kérdéekre! (5pot) a) Számítógépe mérőredzerek elépítée (rajz) (33.o.) b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI. A kérelmező szervezet rövidített neve: CKSE 2Gazdálkodási formakód:521 3Tagsági azonosítószám 1322

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI. A kérelmező szervezet rövidített neve: CKSE 2Gazdálkodási formakód:521 3Tagsági azonosítószám 1322 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: CEGLÉDBERCELI KÖZSÉGI SPORTEGYESÜLET A kérelmező zervezet rövidített neve: CKSE 2Gazdálkodái formakód:521 3Tagági azonoítózám 1322 Áfa

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

ÓRATERV Felhasznált irodalom:

ÓRATERV Felhasznált irodalom: ÓRATERV A műveltégi terület/kompetenciaterület neve: magyar nyelv é irodalom műveltégi terület, magyar nyelvtan tantárgy Az évfolyam: 9. Az óra címe: Az idegen zavak helyeíráa Az óra célja é feladata:

Részletesebben

Stabilitás. Input / output rendszerek

Stabilitás. Input / output rendszerek Stabilitá Iput / output redzerek 006.09.4. Stabilitá - bevezeté egyzerűített zemlélet példa zavará utá a magára hagyott redzer vizatér a yugalmi állapotába kvázitacioáriu állapotba kerül végtelebe tart

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

2015.06.25. Villámvédelem 3. #5. Elszigetelt villámvédelem tervezése, s biztonsági távolság számítása. Tervezési alapok (norma szerint villámv.

2015.06.25. Villámvédelem 3. #5. Elszigetelt villámvédelem tervezése, s biztonsági távolság számítása. Tervezési alapok (norma szerint villámv. Magyar Mérnöki Kamara ELEKTROTECHNIKAI TAGOZAT Kötelező zakmai továbbképzé 2015 Villámvédelem #5. Elzigetelt villámvédelem tervezée, biztonági távolág zámítáa Villámvédelem 1 Tervezéi alapok (norma zerint

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Portfólióelmélet. Portfólió fogalma. Friedman portfólió-elmélete. A befektetés három jellemzője. A kockázat általános értelmezése (Kindler József)

Portfólióelmélet. Portfólió fogalma. Friedman portfólió-elmélete. A befektetés három jellemzője. A kockázat általános értelmezése (Kindler József) ofólió fogalma ofólióelméle Ké zóeede Lai zó oae hodai, vii Fólió ügy, ia Olaz zó icéek ézácája ofólió ág éelmezée vagyoágyak özeége ofólió zűk éelmezée külöböző, őzdé jegyze éékaíok özeége Fiedma ofólió-elmélee

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Hűtő-, és fagyasztókészülékek ActiveGreen technológiával

Hűtő-, és fagyasztókészülékek ActiveGreen technológiával tapaztalat, ami zámít Liebherr, mit a hűtő-fagyaztó kézülékek zakértője már több mit 50 éve következetee tervez é gyárt olya termékeket, amelyek új é meggyőző megoldáokkal büzkélkedhetek. Vevőik bizalma

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész. 1. Melyik sebesség-idő grafikon alapján készült el az adott út-idő grafikon? v.

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész. 1. Melyik sebesség-idő grafikon alapján készült el az adott út-idő grafikon? v. Középzinű éreégi feladaor Fizika Elő réz 1. Melyik ebeég-idő grafikon alapján kézül el az ado ú-idő grafikon? v v v v A B C D m 2. A gokar gyoruláa álló helyzeből12. Melyik állíá helye? m A) 1 ala12 a

Részletesebben

Matematikai Közlemények. I. kötet

Matematikai Közlemények. I. kötet Matematka Közleméyek I kötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág 3 Matematka Oktatá é KUtatá Szemárum (MOKUS 3) Koferecakötet NymE EMK Matematka Itézet Sopro Tudó Táraág Szerkeztők: Dr Závot Józef

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középzint 1513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útmutató utaítáai zerint,

Részletesebben

Készítette a Meracus Consulting a MEME megbízásából. Budapest, 2012. március 30.

Készítette a Meracus Consulting a MEME megbízásából. Budapest, 2012. március 30. A Magyar Elektroiku Műorzolgáltatók Egyeülete (MEME) tagjaiak iterete elérhető, lekérhető médiazolgáltatáaiak elemzée a kikorúak védelméek zempotjából Kézítette a Meracu Coultig a MEME megbízáából Budapet,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

Raiffeisen Bank Zrt. 1054 Budapest, Akadémia u. 6. Raiffeisen Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvárosi Törvényszék Cégbírósága Cégjegyzékszám: 01-10-041042

Raiffeisen Bank Zrt. 1054 Budapest, Akadémia u. 6. Raiffeisen Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvárosi Törvényszék Cégbírósága Cégjegyzékszám: 01-10-041042 Raiffeien Bank Zrt. 054 Budapet, Akadémia u. 6. Raiffeien Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvároi Törvényzék Cégbíróága Cégjegyzékzám: 0-0-0404 Jövedelemigazoláal igényelt ingatlanfedezete hitelek HITEL típua

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. 1.) A pályázaton azok vehetnek részt:

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS. 1.) A pályázaton azok vehetnek részt: PÁLYÁZATI FELHÍVÁS A Budapet Józefvároi Önkormányzat megbízáából a Kifalu Józefvároi Vagyongazdálkodó Kft. - a Budapet Józefvároi Önkormányzat Képvielő-tetületének 381/2013. (X.16) zámú határozata alapján

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés)

2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés) . gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy

Részletesebben

9. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK SPSS-BEN FELADATOK

9. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK SPSS-BEN FELADATOK 9. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK SPSS-BE FELADATOK A feladatokhoz mentük aját gépünkre a példa adatokat tartalmazó fájlokat a tanzéki honlapról: www.hd.bme.hu/mota/m/p1.av www.hd.bme.hu/mota/m/p2.av www.hd.bme.hu/mota/m/p3.av

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

- IV.1 - mozgó süllyesztékfél. álló süllyesztékfél. 4.1 ábra. A süllyesztékes kovácsolás alapelve

- IV.1 - mozgó süllyesztékfél. álló süllyesztékfél. 4.1 ábra. A süllyesztékes kovácsolás alapelve - IV.1 - ALAKÍTÁSTECHNIKA Előadájegyzet Pro Ziaja György IV.réz. TÉRFOGATALAKÍTÁS 4.1 SÜLLYESZTÉKES KOVÁCSOLÁS Az alkatrézgyártában alkalmazott képlékenyalakítái eljáráokat két ő coportra zoká oztani:

Részletesebben