A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa"

Átírás

1 Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy az eredeti feladat helyett előzör egy jóval egyzerűbb problémát kezdük vizgáli. Mi a helyzet, ha a potok záma, 3, 4, Ha ézrevezük valami zabályoágot, akkor azt megpróbáljuk igazoli, majd alkalmazi az eredeti problémába zereplő agy zámokra. Termézetee általáo ikolai zite agyo gyakra megelégzük a ejté megfogalmazáával é alkalmazáával, é em mide eetbe kell hogy törekedjük a bizoyítára. Vaak azoba calóka feladatok. Olyaok, amelyekbe látzólag em olya agy zámok zerepelek: yolczög cúcai, idiá, építőkocka. Cábító, hogy azoal az eredeti problémával kezdjük foglalkozi, ez azoba agyo okzor regeteg eet vizgálatával jára. Ilye eetekbe okkal ehezebbe adódik az előbbi ötlet: próbálkozhatuk ilyekor i kiebb zámokkal, egyzerűbb eetek vizgálatával. Előadáomo ilye jellegű problémákat zereték bemutati.. feladat Egy építőkézletbe háromféle zíű építőkocka található: a árgák é a kékek cm magaak, a piroak cm-eek. Háyféle cm maga toroy építhető, ha mide zíből kellő zámú elem áll redelkezére? (3 cm maga toroyból 5 féle építhető: PPP, PK, KP, PS, SP.) A probléma émi kombiatorikai imerettel yíltiako rohammal i támadható. Vizgáljuk az eeteket a cm-e darabok záma zerit, ez lehet 5, 4, 3,, é. Midegyik cm-e darab kétféle zíű lehet, így ha a cm-e darabok záma k, k akkor ezek zíezée -féle lehet. Ha a cm-e darabok záma k, akkor az cmeeké -k, vagyi az öze darabok záma -k. Ezek közül a cm-e darabok helyét kell kiválaztai, aháyféleképpe ezt megtehetjük, ayi a lehetége k orredek záma, vagyi. A cm-e toryok záma tehát k 5 k= k k k = = 683. Ez a megoldá azoba a biomiáli együtthatók imeretét igéyli, általáo ikolai zite ehéz. Vizgáljuk hát rekurzíve, mi a helyzet, ha a toroy em ilye

2 Erdő Gábor: A rekurzív módzer maga? Jelöljük az cm maga toryok zámát t -el, kereük t értékét. Nyilvá t =, t = 3, é mit a feladatál zereplő példából látzik, t 3 = 5. Nyugodta próbálkozhatuk tovább, felírva az öze eeteket érettégibe, kompeteciaméréek orá látzik, okakak em i olya egyzerű módzeree özegyűjtei az öze lehetége eetet. Hagyjuk a gyerekeket, míg rá em jöek valami zabályoágra, egedjük, hogy gyűjteek újabb eeteket, de egítük abba, hogy midezt módzeree tegyék! Mi azoba mot megpróbálhatjuk megmodai az eddigiek alapjá, háy 4 cm-e toroy va. Milye zíű lehet a legfelő darab? Lehet piro. Háy ilye 4 cm-e toroy va? A piro alatt egy zabályo 3 cm-e toroy látható. Mit láttuk, ilyeből 5 va, vagyi piro tetejű 4 cm-e toroyból i 5 va. É kék tetejűből? Ez alatt egy cm-e toroy va, ami cak háromféle lehet, vagyi ilyeből 3 va, mit ahogy árga tetejűből i. Vagyi a 4 cm-e toryok záma. Midezt úgy kaptuk, hogy t4 = t3 + t. Ez a rekurzív formula általáoítható, azaz t = t + t. A kezdeti értékekből a orozat elő éháy eleme egyzerű zámítáal megkapható:, 3, 5,,, 43, 85, 7, 34, 683. Nem várható el általáo ikolai zite az általáo képlet megejtée, de a máodfokú rekurzióál hazálato módzerrel megkapható, hogy A képlet középikolába telje idukcióval igazolható. t = ( ) feladat Az ABCDEFGH zabályo yolczög cúcait 3 zíel zíezzük úgy, hogy a zomzédo cúcok e legyeek azoo zíűek. Háy külöböző zíezé va? Két zíezé külöböző, ha bármely betűvel jelölt cúc a két zíezébe külöböző zíű. Itt i létezik kombiatoriku megoldá, ami ezúttal em köyű. Legye előkét az A pot piro, é vizgáljuk az eeteket azerit, hogy eze kívül háy piro pot va még. Ha ic, akkor a B pot kétféle lehet, ha vizot ezt kizíeztük, akkor ie kezdve a C, D, potok zíezée egyértelmű, hize felváltva kell imétlődie a két máik zíek, azaz ilye zíezé va. Ha még egy piro pot va, akkor az lehet a C, D, E, F vagy a G, ez eddig 5 eet, midegyik eetbe a piro potok közti két íve a többi pot zíe - féle lehet, így ekkor 5 az eetek záma. Ha még két piro pot va, akkor ezek lehetek a C é az E, a C é az F, a C é a G, a D é az F, a D é a G, valamit az E é a G, ez 6 eet, a többi potok zíét az előző módo zámolva 6 3 = 48 eetet találuk. Végül további három piro pot cak =

3 Maga zitű matematikai tehetéggodozá úgy lehet, ha ezek a C, az E é a G, a máik égy pot zíe miatt ez 4 = 6 újabb eet. Özee tehát = 86 olya eet va, amikor az A pot piro. Nyilvá ugyaeyi eetet találuk, ha az A pot zíe a máik két zí valamelyike, így az öze megegedett zíezéek záma 3 86 = 58. Nézzük mot a rekurzív megoldát! Sokzög helyett tekitük egy körvoalat, amelye potot kell zíezi a megadott módo, jelöljük a zíezéek zámát c - el! Az elő éháy érdeke eetbe c = 3 = 6 é c 3 = 3 = 6. Mi a helyzet, ha a potok záma, ahol 4? Válazuk ki az egyik potot (P), eek két zomzédja legye Q é R. Ha Q é R külöböző zíű, akkor P zíére cak lehetőég va, a harmadik zí, vizot P-t elhagyva egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Ha Q é R azoo zíű, akkor P zíe kétféle lehet, továbbá ha P é Q potokat elhagyjuk, akkor egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Mide eetet potoa egyzer zámoltuk, így c = c + c kifejezéhez jutuk. Az előző feladatál tárgyalt módo kapjuk a c orozat elemeit a máodiktól kezdve: 6, 6, 8, 3, 66, 6, 58. Itt akár meg i ejthető egyfajta általáo képlet, hize em ehéz ézrevei, hogy a hatváyaiál felváltva -vel agyobb vagy kiebb zámokat látuk, azaz ( ) c = +. Az özefüggé telje idukcióval igazolható. Eek a megoldáak a zépége, hogy a rekurzív formula akkor i hazálható, ha a zíek c p c + ( p c, melyből általáoa = ) záma em 3, haem p, ekkor ( ) c ( p ) + ( p ) ( ) = adódik. Nem rézletezzük, de az eredeti feladat általáoítáából adódik például a következő özefüggé: k= k k+ =. k 3 3. feladat Egy kerek aztal körül -e ülek. Háyféleképpe foghat hat pár kezet egymáal úgy, hogy a kézfogáok e kereztezzék egymát? (Egyzerre mideki cak egyvalakivel fog kezet.) Ha az emberek záma, akkor jelölje k azt, hogy az zámú kézfogát háyféleképpe lehet kereztbeyúlá élkül megtei. Feladatuk a k 6 meghatározáa. Nyilvá k = k é k. Az = 3 eetbe az egyik ember, = =

4 Erdő Gábor: A rekurzív módzer evezzük Jókáak, vagy valamelyik zomzédjával, vagy a zembe ülővel foghat kezet. Ha valamelyik zomzédjával, akkor a máik égy emberek kell a két kézfogát egymá között zabályoa leredezi, erre az előbb már láttuk, hogy midkét eetbe k lehetőég va. Ha a zembe ülővel fog kezet, akkor = kézfogáuk midkét oldalá a két-két ember k = lehetége módo tud kezet fogi, azaz k 3 = k + k k = + = 5. Máképpe: Meggodolható, hogy általába i k = k k + k k + k k = k i k. 3 k = i= i k k i i= i adódik, amivel a orozat elemei redre kizámolhatók:,, 5, 4, 4, 3. A kapott értékeket Catala zámokak evezzük, bizoyítható, hogy általáo alakba k = feladat A hét törpe elhatározza, hogy Mikulákor megajádékozzák egymát. Midegyikük evét felírják egy cetlire, é midegyikük húz egy evet. A orolát akkor evezzük jóak, ha eki em húzza a aját evét. Háy jó orolá lehetége? Kezdjük ezúttal i egyzerűbb problémával, de egyzerre általáoítuk i a kérdét: Ha a törpék záma t, akkor háyféleképpe húzhatja közülük potoa k a aját evét, ahol k értéke lehet,,,, t? Az eredeti kérdé mide t eeté a k = -hoz tartozó érték. Ha t =, akkor yilvá a k = eet em lehetége, a k = pedig egyféleképpe. Haolóa yilvávaló, hogy t = eeté a k = é a k = eetek egyféleképpe lehetégeek, ez azt jeleti, hogy vagy egymá evét húzzák, vagy a ajátjukat. Ugyaekkor yilvá em valóulhat meg a k = eet. Általáoa i megállapíthatjuk, hogy a k = t eet em lehetége, hize ha egy kivétellel mideki a aját evét húzza, akkor már az az egy törpe em tud mát tei, mit hogy a aját evét húzza. Az elő érdeke eet a t = 3. Mit midig, a k = t eet, vagyi ezúttal a k = 3 egyféleképpe lehetége, ha mideki a ajátját húzza, míg az előbb elmodottak miatt a k = eet em lehetége. Ha k =, 3

5 Maga zitű matematikai tehetéggodozá akkor 3-féleképpe tudjuk kiválaztai, ki húzta a aját evét, míg a máik két törpe egymáét húzta, ami egyféleképpe lehetége, amit ezt a t =, k = eetbe már láttuk. Mivel az öze eetek záma yilvá t!, azaz jele eetbe 6, így kizáráo alapo a k = eetre lehetőég maradt. Lépjük tovább, legye t = 4! A k = 4 -re egy, a k = 3 -ra ulla lehetőég va. Ha k =, akkor a aját evüket húzókat = 6 -féleképpe válazthatjuk ki, míg a máik két ember egymáét húzza, ami egyféleképpe lehet, így ez 6 lehetőég. 5 Ha k =, akkor a aját 6 evüket húzókat 7 4 = 4 -féleképpe öz: válazthatjuk ki, míg a máik három ember közül egyik em húzza a aját evét, ez em má, mit a t = 3, k = eet, amire lehetőég va, ez özee 4 = 8 lehetőég. Az eredeti feladat felé haladó t = 4, k = eetre így 4! 6 8 = 9 lehetőég maradt. A feti módzert folytatva a jobb oldali táblázatot ozlopról ozlopra, az ozlopo belül pedig alulról felfelé haladva ki tudjuk töltei. A kitölté elvét, amit yilvá általáo ikolá gyerekekek ebbe a formába em íruk fel, de a jobb megérté miatt itt közlük, a következő özefüggéek adják: t f ( t; k ) = f ( t k;), ha k =,,..., t, k továbbá f ( t; t ) =, f ( t; t ) =, illetve f ( t k ) 4 t ; = t!, ahol f ( t; k ) yilvá azt jelöli, háyféleképpe húzhatja t törpe közül k a aját evét. A táblázat kitöltéét a 7. ozlopig folytatva megkapjuk az eredeti feladatba f 7; = 854. kereett értéket, mely zerit ( ) Egy elég tetzető trükkel é émi kombiatorikai ezközkézlettel direkt rohammal i zép eredméyt kaphatuk. Képzeljük el, hogy megpróbáljuk leülteti a 7 törpét éháy aztalhoz úgy, hogy mideki mellé jobbról ülteük azt, akiek a evét húzza. Az a kérdé, háyféleképpe lehet őket leülteti úgy, hogy eki em ül magába. Két üléred akkor külöböző, ha valakiek má a jobb oldali zomzédja. Ha egyetle aztalhoz ülek le, akkor ezt 6! = 7 -féle módo tehetik meg, hize k =

6 Erdő Gábor: A rekurzív módzer eyi a 7 cikliku permutációiak a záma. Ha egy 4 é egy 3 fő aztalhoz ülek, 7 akkor 3!! = 35 6 = 4 lehetőég adódik, míg ha egy 3 fő é két fő 3 7 4!!! aztaltáraág alakul, akkor = = lehetőég va. Egy eet lehet még, ha egy 5 fő é egy fő aztalt hazáluk, ekkor a lehetőégek 7 záma 4!! = 4 = Az öze lehetőégek = 854. A cikkbe em rézletezett módo újabb megoldához juthatuk zitaformula alkalmazáával: ! 7 6! + 5! 4! + 3!! +!! = = = = feladat Egy 8-a táblát hézagmetee, átfedé élkül lefedük -e domiókkal. Háy külöböző lefedé va? Mi a helyzet, ha -e domiókat i hazálhatuk? Köye végiggodolható, hogy vízzitee cak úgy helyezhető el domió, ha egymá alatt ugyaazt a két ozlopot fedik. Így tulajdoképpe azt kell eldötei, hogy háyféleképpe lehet elhelyezi ozlopot lefedő függőlege domiókkal é ozlopot lefedő vízzite domiópárokkal a 8 ozlopot. Az elő feladatba zereplő elő, direkt módzerek megfelelőe ezúttal i oztályokba orolhatjuk az eeteket pl. a ozlopo párok záma zerit, majd az így kapott értékeket özegezhetjük. Midezt végiggodolva a következőt kapjuk: 4 k= 8 k = = 34. k De ha már megimerkedtük a rekurzív módzerrel, próbáljuk hazáli ebbe a feladatba i. Jelöljük a -e tábla lehetége parkettázáaiak a zámát p -el! 5

7 Maga zitű matematikai tehetéggodozá Nyilvá p = é p =. Mit tuduk modai p -ről? Oztályozzuk a lehetége parkettázáokat azerit, milye parketta va a tábla végé (jobb zélé)! Ha egy ozlopo álló domió, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ilyeből p -féle va. Ha vizot egy ozlopot fedő vízzite domiópár, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ezek záma p. Azt kaptuk, hogy p = p + p. A rekurzív formula adja a orozat elemeit:,, 3, 5, 8, 3, é p 8 = 34. A rekurzív formulából é a kezdőelemekből már látzott, hogy a jól imert Fiboacci-orozat elemeit kaptuk, p = f +. A két megoldáal egy zép általáo özefüggét i bizoyítottuk a Fiboacci-orozat elemei é a Pacal-háromzög között: k + f =. k k= A feladat máodik kérdée a 9--e taévbe az iformatika OKTV programozói kategóriájába az elő fordulóba zerepelt, ahol a orozat., 3., 4., 5., 7. é 8. elemét kellett kizámoli, majd a máodik fordulóba a vereyzőkek programot kellett íriuk, amely a orozat -edik elemét tudja megadi. A ki módoítá kellőe megöveli a feladat ehézégét. Már az elő éháy eetbe i zép é általáo ikoláokak agyo érdeke feladat a lehetége megoldáok özegyűjtée! Nyilvá l (hazáljuk máik evet a orozatra, hize máik = feladatról va zó), de már kevébé yilvávaló megtaláli az l 7 -hez tartozó = eeteket, mégikább az l -höz tartozókat! A következő elemek megtaláláa az 3 = eetek módzere özegyűjtéével már zite reméytele ( l 7 é főleg l 5 = 8 ). Próbáljuk találi egy rekurzív formulát! Milye domiók állhatak a or végé? Ha egy álló -e, akkor ilyeből l eet va, mit ahogy akkor i, ha két -e áll ott. Egyzerű még az az eet, amikor két fekvő -e áll a or végé, ilyeből l eet va. Mi a helyzet, ha a végé felül egy fekvő -e domió va, alatta meg egy -e? A probléma itt kezd érdeke lei. Ha ezt a két domiót elvezük, akkor egy olya alakzatot kapuk, amelyek az aló ora -gyel hozabb, mit a felő. Az ilye alakzatok hoza alatt értük a hozabbik oruk hozát, é a lehetége lefedéek zámát jelöljük 4 = a -el, az olyaokét, amelyekek meg a felő ora hozabb eggyel, b -el! Az utoljára említett eetbe tehát a - féle lehetőég va a lefedére. Végül a fordított eetbe, ha a végé alul egy fekvő -e domió va, felette meg egy -e, akkor b a lehetége lefedéek záma. 6

8 Erdő Gábor: A rekurzív módzer A következő rekurzív formulát kaptuk: l = l + l + a + b Ezt a formulát vizot cak akkor tudjuk hazáli, ha az a é b orozatokra i meghatározzuk a kezdeti elemeket é találuk rekurzív formulát. Szimmetriaokokból yilvá mide -re a = b, az elő két elem pedig a é a = 3. Nézzük meg itt i az utoló, coka ozlopba lévő, azaz az aló orba lévő utoló domiót! Ha ez egy -e, akkor előtte egy hozú ormál tábla áll, ilyeből l -féle va, míg ha -e, akkor ezt elvéve egy hozú, felül hozabb tábla marad, amit b -féle módo lehet lefedi. Az a é így a orozat rekurzív formuláit i megkaptuk tehát: a = l + b é = l + a b. = b Bevezetve a c = a + b jelölét a két rekurzív formula így írható: l c = l = l + l + c + c l, l 7 é c., ahol = = = Ebből a rekurzív defiícióból a két orozat elemei redre kizámíthatók, hize a jobb oldali táblázat cellái ozlopról ozlopra haladva kitölthetők l c Az úgyevezett zimultá rekurzív képletből algebrai ezközökkel kiküzöbölhetjük a c orozatot, így a következő harmadredű rekurzív formula adódik: l. = 3 l + l l 3 Ebből általáo zárt formulát kereée már meze meghaladja még a középikolai zitet i, hize ebbe az eetbe már komplex zámokkal i kell dolgozi. Módzertailag ayi zemélye véleméyt talá hozzáteék, hogy egy OKTV elő forduló zitjét matematikai tartalma miatt meze meghaladja ez a feladat, kitűzéét komoly didaktikai hibáak érzem. 7

9 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 6. feladat Egy 7 oldalú zabályo okzög cúcait zíel zíezzük. Háy külöböző zíezé va, ha a forgatáal egymába vihető zíezéeket em tekitjük külöbözőek? Nézzük itt i egy egyzerűbb problémát, kezdjük egy háromzöggel! Két coportba ozthatók az eetek: egy zít hazálok vagy kettőt. Ha egyet, akkor yilvá eet va, ez több cúc eeté i így va. Ha midkét zít hazálom, akkor egy cúc lez egyik zíű é kettő máik zíű. Ki kell válaztai, melyik zít hazálom cak egy cúcál, ez lehetőég. Az midegy, hogy melyik cúc lez ilye, hize ezek az eetek egymába forgathatók. A háromzög lehetége zíezéeiek záma tehát özee 4. Megézhetjük a égyzetet i, jó gyakorló feladat, akár az öze eet megkereée i, itt egyzíű eet va, olya, amikor egy cúc valamilye a máik három mámilye, illetve olya, amikor kettő ilye é kettő olya, hize itt a két egyzíű cúc lehet zomzédo é zemközti i. Özee 6 eet va. Lépjük tovább az ötzögre! Egyzíűből itt i va. Ha a zíek megozláa + 4, akkor eet va, hize ezek a zíezéek egymába forgathatók. Ha pedig + 3, akkor 4 eet található, hize kétféleképpe tudom kiválaztai, melyik zíűből va kettő, é ezek egymához képet kétféleképpe helyezkedhetek el: vagy zomzédoak, vagy em. Özee 8 a lehetége zíezéek záma. Az vizot látzik, hogy egyre több eetet kell vizgáli a zíek megozláa é az egyzíű potok elhelyezkedée miatt egyarát. Érdeme lee valami olya ézrevételt tei, ami eetleg több cúc eeté i hazálható. Meyi lee a zíezéek záma, ha az egymába forgatható eeteket külöbözőek tekiteék, azaz pl. a cúcokat elevezék? Ekkor cúc eeté a lehetége zíezéek záma lee, hize mide cúc kétféle zíű lehet. Háromzög eeté ez 8 lee, ehelyett mi 4-et kaptuk. Hol vezett el ez a 4 eet? Az egyzíű zíezéekél yilvá em, hize azokat mideképpe cak egyzer zámoltuk, kocetráljuk a kétzíű eetekre. A 8 eetből 6 lee ilye, a mi zámoláuk zerit cak, vagyi a harmada. Miért? Azért, mert midegyik eetet háromzor zámoltuk, hize egy általuk zámolt zíezéhez háromféleképpe lehet megbetűzi a cúcokat (a körüljárái iráyt megtartva perze, hize forgatáokról bezélük, tükrözéről em). A égyzögél kicit má a helyzet: va, amit kétzer zámoltuk, va, amit égyzer, ez boyolultabb. É az ötzögél? A 3 eetből 3 kétzíű, de mi 6 ilye eetet kaptuk, ami az öze eetek ötöde. Ez már érdeke megfigyelé: aháy cúc va, ayizor zámoltuk az egye eeteket. Miért? Azért, mert eyiféleképpe lehet egy ábrát elforgatva má é má betűzéhez juti. Miért működött ez 3-ra é 5-re, é miért em működött 4-re? Eetleg még éháy eetet megvizgálva egy em köyű végiggodolá utá megzületik a válaz: azért, mert a 3 é az 5 prímzámok, a 4 pedig em. Ige, mivel a 4-ek a oztója, így va olya zíezé, ami két forgatá (8 fok) utá 8

10 Erdő Gábor: A rekurzív módzer ömagába megy át. Általáoa kimodható azoba, hogy p oldalú okzög eeté, ahol p prím, mide kétzíű zíezét p külöböző módo lehet megbetűzi, vagyi az öze eetek özezámlálááál, ha az egymába forgatható eeteket megkülöbözteték, mide ilye eetet p-zer zámolák. Ezek alapjá p oldalú okzög eeté a kétzíű zíezéek záma pedig eél -vel több. A feladatba zereplő eetbe tehát =. 7 7 p, az öze zíezéek záma p A feladatot megoldottuk, de éháy érdeke megjegyzé tehető ezzel kapcolatba. Ha a zíek záma em, haem valamely a egéz zám, ahol a, akkor a em a p a egyzíű zíezéek záma. A kifejezé értéke yilvá midig egéz zám p kell legye, hize midig lehetőégek zámát adja meg. Ez azt jeleti, hogy az a p a midig oztható p-vel, mákét megfogalmazva a p a (mod p) Egy evezete zámelméleti állítát bizoyítottuk kombiatoriku módzerrel: em mát, mit a ki Fermat-tételt. 7. feladat Adott a íko egyee. Legfeljebb háy rézre darabolják a íkot? É ík a teret? A legtöbb eetet akkor kapjuk, ha általáo helyzetű egyeeeket rajzoluk a íkra: emelyik kettő em párhuzamo é emelyik három em metzi egymát ugyaabba a potba. Vizgáljuk keveebb egyeet, é jelöljük egyee eeté a keletkező íkrézek zámát -el! Az elő éháy eetet köye megkapjuk: =, = 4 é 3 = 7. Hogya következtetheték ebből a további eetekre? Érdeme a rekurzív lépére kokrét zámokat hazálva rávezeti a taulókat. Nézzük, hogy változik a rézek záma, amikor a egyedik egyeet behúzom! Ezt az 9

11 Maga zitű matematikai tehetéggodozá egyeet az előző 3 egyee 3 potba metzi, ez a 3 pot ezt az egyeet 4 rézre oztja: félegyeere é zakazra. Mid a 4 réz kereztülhalad egy íktartomáyo az eddigiek közül, é azt két rézre oztja, ezzel a íkrézek záma 4-gyel ő, azaz 4 =. Mit ciáluk, amikor rekurzív formulát kereük? Nem mát, mit 3 é 4 helyett végiggodoljuk ugyaezt -re é + -re. Kapjuk, hogy + = +. A kezdeti értékeket hazálva megkaphatjuk a orozat további elemeit egéze a feladatba zereplő tizeegyedikig:, 4, 7,, 6,, 9, 37, 46, 56, 67. Termézetee midig érdeke probléma a zárt formula kereée. Egyik lehetőég az, hogy megejtjük a képletet é a középikolába tauladó ezközt, a telje idukciót hazálva bebizoyítjuk. Va azoba olya módzer i, amit általáo ikolába i alkalmazhatuk. A kizámolt kezdeti érték é a rekurzív formula alapjá felírhatók a következő egyeletek: 3 4 = = + = + 3 = = + ( ) = + Az egyeleteket özeadva émi redezé utá a következő özefüggéhez jutuk: = ( ) + = + ( + ) i = + =. i= + + Felhazáltuk a megoldá orá az elő pozitív egéz zám özegéek közimert, általáo ikolába i többféle módo bizoyítható, vereyeke remekül hazálható képletét. Érdeke megjegyzé, hogy a feti képlet átírható + = + alakúra. A képlet értelmezée: kezdetbe volt = ík, mide egyee behúzáával keletkezik egy új íkréz, ezek záma, továbbá ha 3

12 Erdő Gábor: A rekurzív módzer két egyee metzi egymát, mide metzépot i eggyel öveli a íkrézek zámát, é mivel mide egyee mide máikat metz, a metzépotok záma. Mi a helyzet, ha öveljük a dimeziók zámát, é térbe vizgálóduk? Az darab általáo helyzetű ík (mit i jelet ez?) a teret t rézre darabolja. Nyilvá t = é t = 4. Az előző módo kereük rekurzív formulát! Az +-edik íkot metzi mid az előző ík egy-egy egyeebe, ez az egyee az újoa felvett íkot rézre darabolja. Eze íkrézek midegyike a korábbi térrézek egyikét két rézre oztja, midehol egy új térrézt behozva, így özee térrézek zámát. A következő rekurzív formulához jutuk tehát: t = t el övelve a Az előző feladat eredméyeit felhazálva kizámolhatjuk a orozat elő elemét:, 4, 8, 5, 4, 4, 64, 93, 3, 76, 3. A íkbeli eetél leírt módzer egítégével, az ott bizoyított képletet alkalmazva itt i eljuthatuk a zárt formuláig, ez azoba egyrézt algebrailag i ehezebb, márézt zükég va a égyzetzámok özegéek zárt formulájára i. A bizoyítható képlet a következő: t =. 6 A íkbeli eetél leírtak utá talá em meglepő, hogy a feti képlet émi átalakítáal a következő alakra hozható: t =

13 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 8. feladat Barkochbázuk, de ezúttal a válazokért fizeti kell. Kezdetbe zetouk va, é az ige válazért, a em válazért zetot kell fizeti. Ha már cak zetouk va, em kérdezhetük tovább, hize em válaz eeté adóágba keveredék. Legfeljebb háy zám közül tudjuk biztoa kitaláli a godolt zámot? A feladatot egy Póa Lajo által tartott taártovábbképző előadáo hallottam, de úgy godolom, érdeme továbbadi, hize eze az előadáo elég kevé taár vett rézt. Calóka feladat, a zeto elég kevé ahhoz, hogy az ember hajlamo direkt rohammal próbálkozi, ami valózíűleg kudarcra va ítélve. Kezdjük keveebbel, é vizgáljuk meg, hogy adott zámú zetoal mi az a legagyobb, amelyre igaz, hogy -től -ig bármelyik egéz zámra godolhatak, mi azt zerece élkül ki tudjuk találi. Jelöljük ezt a zámot k -el. Ha zetouk va, akkor em kérdezhetük, tehát cak zám közül tudjuk kitaláli a godolt zámot, azaz k =. Haolóa egyzerűe végiggodolható, hogy k =. Az elő előremutató kérdé, hogy mi a helyzet, ha 3 zetouk va. Ha a feltett kérdére ige lez a válaz, akkor zetouk marad, ami az előbb láttuk, hogy zám közül tudja kiválaztai az igazit. Ha vizot emlege a válaz, akkor cak zám maradhat, hize em tehetük fel újabb kérdét. Vagyi k 3 = + = 3. Nagyo zép é taulágo a probléma, hize egy zélőérték-feladattal va dolguk, é ezzel kapcolatba megtaíthatjuk azt, hogy mi az ilye típuú feladatokál a teedő. Két dolgot kell megvizgáli: több em lehet, ayi vizot ige. Már láttuk, hogy 3-ál több zámból em lehet kitaláli a godoltat. Márézt 3-ra va kotrukció: kérdezzük meg, hogy e között a között va-e. Ha em, akkor megva, hogy a harmadik zámra godoltak, ha ige, akkor meg még egy kérdéel tiztázhatjuk, hogy a kettő közül melyikre. Mi a helyzet 4 zeto eeté? Ha ige válazt kapuk, akkor 3 zetouk marad, ami 3 zámra elég, ha pedig em a válaz, akkor zetoal zám közül találjuk meg a godoltat, azaz k 4 = 3 + = 5. Sokakak talá már kezd gyaú lei a dolog! Valóba, újra a Fiboacci-orozatra bukkatuk. Talá már em i olya ehéz megtaláli a rekurzív formulát. Ha zetouk va, akkor igaz válaz eeté marad, ami k zámra elég, míg ha em a válaz, akkor zetoukkal k zám közül tudjuk megtaláli az igazit. Ez azt jeleti, hogy k = k + k, ami a k = é k = kezdőértékekkel éppe a Fiboacci-orozat elemeit adja, amiből k = 89. 3

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1. Gyors folyamatok szabályozása

1. Gyors folyamatok szabályozása . Gyor olyamatok zabályozáa Gyor zabályozá redzerekrl akkor bezélük, ha az ráyított olyamat dálladó máoder, agy az alatt agyágredek. gyor olyamatok eetébe a holtd általába az ráyítá algortmu megalóítááál

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

A következő angol szavak rövidítése: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőségtervezésnek szokás nevezni.

A következő angol szavak rövidítése: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőségtervezésnek szokás nevezni. Mi az az APQP? Az APQP egy mozaik zó. A következő angol zavak rövidítée: Advanced Product Quality Planning. Magyarul minőégtervezének zoká nevezni. Ez egy projekt menedzment ezköz, é egyben egy trukturált

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Készítette a Meracus Consulting a MEME megbízásából. Budapest, 2012. március 30.

Készítette a Meracus Consulting a MEME megbízásából. Budapest, 2012. március 30. A Magyar Elektroiku Műorzolgáltatók Egyeülete (MEME) tagjaiak iterete elérhető, lekérhető médiazolgáltatáaiak elemzée a kikorúak védelméek zempotjából Kézítette a Meracu Coultig a MEME megbízáából Budapet,

Részletesebben

Miért kell az autók kerekén a gumit az időjárásnak megfelelően téli, illetve nyári gumira cserélni?

Miért kell az autók kerekén a gumit az időjárásnak megfelelően téli, illetve nyári gumira cserélni? Az egymáal érintkező felületek között fellépő, az érintkező tetek egymához vizoított mozgáát akadályozó hatát cúzái úrlódának nevezzük. A cúzái úrlódái erő nagyága a felületeket özeomó erőtől é a felületek

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Mit keressek? Uccu! könyvtár. Teljes kiírás (hosszú!) L.nY..dEZ

Mit keressek? Uccu! könyvtár. Teljes kiírás (hosszú!) L.nY..dEZ Dugonic Andrá Piarita Gimnázium, Szakképző Ikola, Alapfokú Művézetoktatái Intézmény é Kollégium Az könyvtár haználati útmutatója 1. Az ikolai könyvtár feladatai: 1.1. Alapfeladatok: a gyűjtemény folyamato

Részletesebben

Információs rendszerek biztonságtechnikája

Információs rendszerek biztonságtechnikája Információ rendzerek biztonágtechnikája Vaányi Itván, Dávid Áko, Smidla Józef, Süle Zoltán 2014 A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0104 A felőfokú informatikai oktatá minőégének fejleztée, modernizációja

Részletesebben

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6 JEDLIK korcoport Azonoító kód: Jedlik Ányo Fizikavereny. (orzágo) forduló 7. o. 0. A feladatlap. feladat Kati é Magdi egyzerre indulnak otthonról, a vaútálloára ietnek. Úgy tervezik, hogy Magdi váárolja

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés)

2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés) . gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Mottó: "Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!." (angol közmondás) Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú. (spekuláns tapasztalat)

Mottó: Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!. (angol közmondás) Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú. (spekuláns tapasztalat) Mottó: "Ne akj de toját ugyaabba a koába!." (agol közodá) M a hozú távú befekteté? z elotott övd távú. (ekulá taaztalat) 4. Fejezet otfóló-elélet fejezet célja, beutat:. eutat a hozazáítá fajtát. Ietet

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

A kérelmező szervezet rövidített neve: SRK DSE 2Gazdálkodási formakód: 001. Áfa levonásra a pályázatban igényelt költségek tekintetében

A kérelmező szervezet rövidített neve: SRK DSE 2Gazdálkodási formakód: 001. Áfa levonásra a pályázatban igényelt költségek tekintetében 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Sáropataki Reformátu Kollégium Diákport Egyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: SRK DSE 2Gazdálkodái formakód: 001 3Tagági azonoítózám

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Mechanika. 1.1. A kinematika alapjai

Mechanika. 1.1. A kinematika alapjai Tartalojegyzék Mecanika 1. Mecanika 4. Elektroágnee jelenégek 1.1. A kineatika alapjai 1.2. A dinaika alapjai 1.3. Munka, energia, teljeítény 1.4. Egyenúlyok, egyzerű gépek 1.5. Körozgá 1.6. Rezgéek 1.7.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

VII. félévfolyam, 1. szám

VII. félévfolyam, 1. szám KultúrNyúz ultúrnyúz 2010. október 13. VII. félévfolyam, 1. zám A Tétéká Nyúz Kulturáli Melléklete http://nyuz.elte.hu mailto: nyuz@elte.hu Mobil + Fátima Avagy Szűzanyám, mi az ott?! Mindjárt lekapom

Részletesebben

Fajszi SE. Szilágyi Csaba

Fajszi SE. Szilágyi Csaba 1 Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Fajzi Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Fajzi SE 2 Gazdálkodái formakód: 113 Áfa levonára a pályázatban Nem jogoult

Részletesebben

Felszín alatti hidraulika. Dr. Szőcs Péter, Dr. Szabó Imre Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Felszín alatti hidraulika. Dr. Szőcs Péter, Dr. Szabó Imre Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Felzín alatti hidraulika Dr. Szőc Péter, Dr. Szabó Imre Mikolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanzék 1. A felzín alatti vizek termézete áramláa A földi vízkörforgalom (lád 1. ábra) révén a víz

Részletesebben

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-5852/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Pannonhalma Sportegyesület

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-5852/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Pannonhalma Sportegyesület Ügyiratzám : be/sfphp01-5852/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Pannonhalma Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: PHSE 2Gazdálkodái formakód:521 3Tagági

Részletesebben

Jövedelemigazolással igényelt ingatlanfedezetes hitelek / OKOSkártya igénylôlap és OKOSkártya szerzôdés

Jövedelemigazolással igényelt ingatlanfedezetes hitelek / OKOSkártya igénylôlap és OKOSkártya szerzôdés Raiffeien Bank Zrt. 054 Budapet, Akadémia u. 6. Raiffeien Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvároi Törvényzék Cégbíróága Cégjegyzékzám: 0-0-0404 Jövedelemigazoláal igényelt ingatlanfedezete hitelek / OKOSkártya

Részletesebben

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-6357/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-6357/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI Érkezett :. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: NYÍRGYULAJ KSE A kérelmező zervezet rövidített neve: NYKSE 2Gazdálkodái formakód:52 3Tagági azonoítózám 58 Áfa levonára a pályázatban igényelt

Részletesebben

Iskolánk is elnyerte a Mentoráló intézmény címet

Iskolánk is elnyerte a Mentoráló intézmény címet Ikolánk i elnyete a Mentoáló intézmény címet Újzázi Vöömaty Mihály Általáno Ikola a TÁMOP-3.1.4.B-13/1-2013-0001 KÖZNEVELÉS AZ ISKOLÁBAN kiemelt pojekt keetében a Központ által fenntatott közneveléi intézmények

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Petőfi Sportkör Lipót

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Petőfi Sportkör Lipót 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Petőfi Sportkör Lipót A kérelmező zervezet rövidített neve: Lipót SE 2Gazdálkodái formakód: 521 Tagági azonoítózám 775 Áfa levonára a

Részletesebben

Ügyiratszám : be/sfphp03-7048/2014/mlsz 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Encsencs Sportegyesület

Ügyiratszám : be/sfphp03-7048/2014/mlsz 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Encsencs Sportegyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Encenc Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Encenc SE. 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 216027 A kérelmező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Sportegyesület Bodroghalom Közhasznú Egyesület

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Sportegyesület Bodroghalom Közhasznú Egyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Sportegyeület Bodroghalom Közhaznú Egyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Sportegyeület Bodroghalom 2Gazdálkodái formakód: 521

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Mezőfalvi MEDOSZ SE

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Mezőfalvi MEDOSZ SE 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Mezőfalvi MEDOSZ SE A kérelmező zervezet rövidített neve: Mezőfalvi MEDOSZ SE Gazdálkodái formakód: 51 3Tagági azonoítózám 78 Áfa levonára

Részletesebben

Madocsa Sportegyesület. Madocsa Sportegyesület. Madocsa. 7 0 2 6 Szállás (út, utca) 06209947460 Telefon: Honlap: www.madocsa.hu.

Madocsa Sportegyesület. Madocsa Sportegyesület. Madocsa. 7 0 2 6 Szállás (út, utca) 06209947460 Telefon: Honlap: www.madocsa.hu. 1 Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Madoca Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Madoca Sportegyeület 2 Gazdálkodái formakód: 521 Áfa levonára a pályázatban

Részletesebben

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t Az egészséges evelés KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t 8. Előszó Tartalom Mide felőtt volt egyszer gyerek És felő majd az új gyereksereg:

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 1. tétel Imertee a nagy aznkron motorok közvetlen ndítáának következményet! Elemezze a közvetett ndítá módokat! Kalcká motorok ndítáa Közvetlen ndítá. Az álló motor közvetlen hálózatra kapcoláa a legegyzerűbb

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Cece Polgári Sport Egyesület

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Cece Polgári Sport Egyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Cece Polgári Sport Egyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Cece PSE 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 695 Áfa levonára

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Jobbágyi Honvéd Sportegyesület

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Jobbágyi Honvéd Sportegyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Jobbágyi Honvéd Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Jobbágyi HSE 2Gazdálkodái formakód:521 3Tagági azonoítózám 1173 Áfa

Részletesebben

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Kesztölci Sportegyesület

PISZKOZAT. 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Kesztölci Sportegyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Keztölci Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Keztölc SE 2Gazdálkodái formakód:521 3Tagági azonoítózám 1073 Áfa levonára

Részletesebben

Forgó mágneses tér létrehozása

Forgó mágneses tér létrehozása Forgó mágnee tér létrehozáa 3 f-ú tekercelé, pólupárok záma: p=1 A póluoztá: U X kivezetéekre i=io egyenáram Az indukció kerület menti elozláa: U X kivezetéekre Im=Io amplitúdójú váltakozó áram Az indukció

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Beledi Sportegyesület

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Beledi Sportegyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Beledi Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: BSE 2Gazdálkodái formakód: 521 Tagági azonoítózám 707 Áfa levonára a pályázatban

Részletesebben

A Laplace transzformáció és egyes alkalmazásai

A Laplace transzformáció és egyes alkalmazásai A aplac razormáció é gy alkalmazáai A PTE PMMFK villamomérök zako lvző agozao allgaói zámára kéziraké özállíoa Ki Mikló őikolai adjuku 3 Irodalomjgyzék: Bako Ivá: Elkrocika I-II (KKVMF Budap 969 Duca J:

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Lakiteleki Torna Egylet

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Lakiteleki Torna Egylet 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Lakiteleki Torna Egylet A kérelmező zervezet rövidített neve: Lakiteleki Torna Egylet 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 21

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: ŐCSÉNY SPORTKÖR

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: ŐCSÉNY SPORTKÖR 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: ŐCSÉNY SPORTKÖR A kérelmező zervezet rövidített neve: ŐCSÉNY SK 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 1725 Áfa levonára a pályázatban

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Felsőpakony Községi Sportegyesület

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Felsőpakony Községi Sportegyesület 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Felőpakony Közégi Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: Felőpakony KSE 2Gazdálkodái formakód: 521 Tagági azonoítózám 116

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Egy régi, lapátkerekes gőzös készül kihajózni Leopoldville (a mai Kinshasa)

Egy régi, lapátkerekes gőzös készül kihajózni Leopoldville (a mai Kinshasa) Egy régi, lapátkereke gőzö kézül kihajózni Leopoldville (a mai Kinhaa) vároából, hogy felhajózzon a Kongo folyón a távoli Kinduba, Afrika zívébe. A hajó utaai különböző nemzetek é foglalkozáok képvielői,

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatákutató é Fejleztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. zázadi közoktatá (fejlezté, koordináció) II. zakaz FIZIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 Az írábeli vizga időtartaa: 120 perc Oktatákutató

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-5225/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI. A kérelmező szervezet teljes neve: Marcali Városi Futball Club

PISZKOZAT. Ügyiratszám : be/sfphp01-5225/2014 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI. A kérelmező szervezet teljes neve: Marcali Városi Futball Club 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Marcali Vároi Futball Club A kérelmező zervezet rövidített neve: MVFC 2Gazdálkodái formakód:521 3Tagági azonoítózám 2686 Áfa levonára

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Benzodiazepine Megvonás: Kimenetel 50 Betegnél

Benzodiazepine Megvonás: Kimenetel 50 Betegnél Benzodiazepine Megvoná: Kimenetel 50 Betegnél El z r publikálva: Britih Journal of Addiction (1987) 82, 655-671 Profeor C Heather Ahton DM, FRCP School of Neurocience Diviion of Pychiatry The Royal Victoria

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Nagyközségi Sportklub Sárosd

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Nagyközségi Sportklub Sárosd 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Nagyközégi Sportklub A kérelmező zervezet rövidített neve: NK SC 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 1039 Áfa levonára a pályázatban

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

TÉMAHÉT LEÍRÁS Művészeti ág: A témahét címe Időtartama: Célcsoport: Célmeghatározás: A téma kiválasztásának indoklása: Kompetenciák:

TÉMAHÉT LEÍRÁS Művészeti ág: A témahét címe Időtartama: Célcsoport: Célmeghatározás: A téma kiválasztásának indoklása: Kompetenciák: TÉMAHÉT LEÍRÁS Művézeti ág: néptánc folklór óra A témahét címe: Pünköd Beenyzögön Időtartama: Célcoport: 1-4. évfolyam Célmeghatározá: Népi hagyományok megimerée lakókörnyezetünkben. Gyökereink. A téma

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

Raiffeisen Bank Zrt. 1054 Budapest, Akadémia u. 6. Raiffeisen Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvárosi Törvényszék Cégbírósága Cégjegyzékszám: 01-10-041042

Raiffeisen Bank Zrt. 1054 Budapest, Akadémia u. 6. Raiffeisen Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvárosi Törvényszék Cégbírósága Cégjegyzékszám: 01-10-041042 Raiffeien Bank Zrt. 054 Budapet, Akadémia u. 6. Raiffeien Direkt: (06-40) 48-48-48 Fôvároi Törvényzék Cégbíróága Cégjegyzékzám: 0-0-0404 Jövedelemigazoláal igényelt ingatlanfedezete hitelek HITEL típua

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

ALAPÍTÓ OKIRAT. 4. Az intézmény alapítója: Egészségfejlesztési-Oktatási Alapítvány 5. Az intézmény alapítójának címe: 1125 Budapest, Diós árok 60/D

ALAPÍTÓ OKIRAT. 4. Az intézmény alapítója: Egészségfejlesztési-Oktatási Alapítvány 5. Az intézmény alapítójának címe: 1125 Budapest, Diós árok 60/D ALAPÍTÓ OKIRAT a a 2001., 2002., 2003., 2004., 2005., 2007., 2008., 2010., 2011., 2012., 2013ban kiadott alapító okirat módoítáa egyége zerkezetben Az EgézégfejleztéiOktatái Alapítvány, 2014. máju 20án

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

FIZIKA tankönyvcsaládjainkat

FIZIKA tankönyvcsaládjainkat Bemutatjuk a NAT 2012 é a hozzá kapcolódó új kerettantervek alapján kézült FIZIKA tankönyvcaládjainkat MINDENNAPOK TUDOMÁNYA SOROZAT NAT NAT K e r e t t a n t e r v K e r e t t a n t e r v ÚT A TUDÁSHOZ

Részletesebben

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL csz10 visszhat.qxd 2007. 02. 25. 18:23 Page 141 KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL Civil Fórum, az erdélyi civil társadalom lapja Nyitrai Imre Civil szervezetkét létezi, civilek lei még ma sem köyû Kelet-Európába.

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma,

Részletesebben

Hatvani István Fizikaverseny 2014-15. 3. forduló megoldások. 1. kategória. 7. neutrínó. 8. álom

Hatvani István Fizikaverseny 2014-15. 3. forduló megoldások. 1. kategória. 7. neutrínó. 8. álom 1. kaegória 1.3.1. 1. CERN 2. PET 3. elekronvol. ikloron 5. Porozlay. Fiziku Napok 7. neurínó 8. álom 9. környezefizikai 10. Nagyerdő A megfejé: SZALAY SÁNDOR Szalay Sándor (195-1975) köveő igazgaók: Berényi

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Szanki Olajbányász Sportegyesület

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Szanki Olajbányász Sportegyesület Érkezett :. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Szanki Olajbányáz Sportegyeület A kérelmező zervezet rövidített neve: OBSE 2Gazdálkodái formakód: 52 3Tagági azonoítózám 20322 Áfa levonára

Részletesebben

1. SZAKASZ: Az anyag/keverék és a vállalat/vállalkozás azonosítása

1. SZAKASZ: Az anyag/keverék és a vállalat/vállalkozás azonosítása Biztonági Adatlap Szerzői jogok, 2015, 3M coport. Minden jog fenntartva. Jelen információknak a 3M termékek rendeltetézerű haznoítáa céljából történő lemáoláa é/vagy letöltée megengedett feltéve, hogy:

Részletesebben

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul.

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. MUNKA, NRGIA izikai érteleben unkavégzéről akkor bezélünk, ha egy tet erő hatáára elozdul. Munkavégzé történik ha: feleelek egy könyvet kihúzo az expandert gyorítok egy otort húzok egy zánkót özenyoo az

Részletesebben

MAKING MODERN LIVING POSSIBLE. Hatékony megoldás minden szinten. Hűtő/Fűtő rendszerek hidraulikai szabályozása KÉZIKÖNYV. abqm.danfoss.

MAKING MODERN LIVING POSSIBLE. Hatékony megoldás minden szinten. Hűtő/Fűtő rendszerek hidraulikai szabályozása KÉZIKÖNYV. abqm.danfoss. MAKING MODERN LIVING POSSIBLE Hatékony megoldá minden zinten Hűtő/Fűtő rendzerek hidraulikai zabályozáa abqm.danfo.com KÉZIKÖNYV Tartalom 1.1 Javaolt rendzer kialakítá fűtéi rendzerekhez 4 1.2 Javaolt

Részletesebben

fizikai-kémiai mérések kiértékelése (jegyzkönyv elkészítése) mérési eredmények pontossága hibaszámítás ( közvetlen elvi segítség)

fizikai-kémiai mérések kiértékelése (jegyzkönyv elkészítése) mérési eredmények pontossága hibaszámítás ( közvetlen elvi segítség) BEVEZEÉS Eladá célja: fzka-kéa éréek kértékelée jegyzkönyv elkézítée éré eredények pontoága hbazáítá közvetlen elv egítég éré technkák egerée alapvet fzka ennyégek pektrozkópa éréek elektrokéa éréek Ma

Részletesebben

EUB2010-02AD 1/13 Utasbiztosítási Feltételek

EUB2010-02AD 1/13 Utasbiztosítási Feltételek ÁLTALÁNOS ÉS KÜLÖNÖS BIZTOSÍTÁSI FELTÉTELEK (EUB2010-02AD) Jelen általáno biztoítái feltételek (a továbbiakban: általáno feltételek) é különö biztoítái feltételek (a továbbiakban: különö feltételek) -

Részletesebben

Somogyi Zsolt. elnök. Somogyi Zsolt

Somogyi Zsolt. elnök. Somogyi Zsolt 1 Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Balatonkereztúr-Balatonmáriafürdő Közégek Sport é Kulturáli Egyeülete A kérelmező zervezet rövidített neve: Balatonkereztúr-Balatonmáriafürdő

Részletesebben

Írd le, a megoldások gondolatmenetét, indoklását is!

Írd le, a megoldások gondolatmenetét, indoklását is! 0 Budapest VIII., Bródy Sándor u.. Postacím: Budapest, Pf. 7 Telefon: 7-900 Fax: 7-90. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ 0. április. HARMADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Írd le,

Részletesebben

H-1026 Budapest, Pasaréti út 83. Tel.: +36 1 275 1116, Fax: +36 1 275 1117 E-mail: info@invescom.hu www.invescom.hu www.globalma.

H-1026 Budapest, Pasaréti út 83. Tel.: +36 1 275 1116, Fax: +36 1 275 1117 E-mail: info@invescom.hu www.invescom.hu www.globalma. M&A Navigátor ke ná dá lva cégé r t é á rl ö z e o cég v á á H-1026 Budapet, Paaréti út 83. Tel.: +36 1 275 1116, Fax: +36 1 275 1117 E-mail: info@invecom.hu www.invecom.hu www.globalma.com tőkeb e v o

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

Kós Tagiskola József Attila Kollégium

Kós Tagiskola József Attila Kollégium Trefort Tagikola Zwack Tagikola K Tagikola Jzef Attila Kollégium végzett- zakképzettége tgyakat tanít végzett- zakképzettége tanított tantgy végzetté zakképze tanított tantgy végzettége zakképzettége 1

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Hercegkúti Tornaclub

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Hercegkúti Tornaclub 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Hercegkúti Tornaclub A kérelmező zervezet rövidített neve: HTC 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 193 Áfa levonára a pályázatban

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Csór Truck-Trailer Football Club

1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező szervezet teljes neve: Csór Truck-Trailer Football Club 1Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Truck-Trailer Football Club A kérelmező zervezet rövidített neve: TTFC. 2Gazdálkodái formakód: 521 3Tagági azonoítózám 621 Áfa levonára

Részletesebben

Stratégiai zajtérképezés 2007 Fő közlekedési létesítmények LEÍRÓ DOKUMENTÁCIÓ

Stratégiai zajtérképezés 2007 Fő közlekedési létesítmények LEÍRÓ DOKUMENTÁCIÓ Megrendelő: címe: GKM témazám : GKM ügyiratzám: Kötelezettég-vállalá nyilv. záma: Megbízott: címe: Szervezeti egyég: KTI munkazám: Gazdaági é Közlekedéi Miniztérium 155 Budapet, Honvéd u. 13-15. 1/26.

Részletesebben

ÖSSZEFOGLALÓ A BFT 2012. DECEMBER 20-I ÜLÉSÉRE A BALATONI TURIZMUS 2012. I-IX HAVI EREDMÉNYEI, TAPASZTALATAI

ÖSSZEFOGLALÓ A BFT 2012. DECEMBER 20-I ÜLÉSÉRE A BALATONI TURIZMUS 2012. I-IX HAVI EREDMÉNYEI, TAPASZTALATAI BFT ülé, 2012. ecember 20. 8230, Balatonfüre, Blaha Lujza utca 2. 3. napireni pont ÖSSZEFOGLALÓ A BFT 2012. DECEMBER 20-I ÜLÉSÉRE A BALATONI TURIZMUS 2012. I-IX HAVI EREDMÉNYEI, TAPASZTALATAI 2012. ÉV

Részletesebben

NAGYÍTÁS MOL NÁR ISCSU ISTVÁN RAINER M. JÁ NOS SÁRKÖZY RÉKA A HATVANAS ÉVEK VILÁGA 339

NAGYÍTÁS MOL NÁR ISCSU ISTVÁN RAINER M. JÁ NOS SÁRKÖZY RÉKA A HATVANAS ÉVEK VILÁGA 339 NAGYÍTÁS MOL NÁR ISCSU ISTVÁN RAINER M. JÁ NOS SÁRKÖZY RÉKA A HATVANAS ÉVEK VILÁGA 339 338 A fény ké pe ket a Ma gyar Nem ze ti Mú ze um Tör té ne ti Fény kép tárából (Nép sza bad ságar chí vu m, Ká dár

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Pásztói Sport Klub PSK

Pásztói Sport Klub PSK 1 Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: Páztói Sport Klub A kérelmező zervezet rövidített neve: PSK 2 Gazdálkodái formakód: 521 Áfa levonára a pályázatban igényelt költégek

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben