A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

Átírás

1 Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy az eredeti feladat helyett előzör egy jóval egyzerűbb problémát kezdük vizgáli. Mi a helyzet, ha a potok záma, 3, 4, Ha ézrevezük valami zabályoágot, akkor azt megpróbáljuk igazoli, majd alkalmazi az eredeti problémába zereplő agy zámokra. Termézetee általáo ikolai zite agyo gyakra megelégzük a ejté megfogalmazáával é alkalmazáával, é em mide eetbe kell hogy törekedjük a bizoyítára. Vaak azoba calóka feladatok. Olyaok, amelyekbe látzólag em olya agy zámok zerepelek: yolczög cúcai, idiá, építőkocka. Cábító, hogy azoal az eredeti problémával kezdjük foglalkozi, ez azoba agyo okzor regeteg eet vizgálatával jára. Ilye eetekbe okkal ehezebbe adódik az előbbi ötlet: próbálkozhatuk ilyekor i kiebb zámokkal, egyzerűbb eetek vizgálatával. Előadáomo ilye jellegű problémákat zereték bemutati.. feladat Egy építőkézletbe háromféle zíű építőkocka található: a árgák é a kékek cm magaak, a piroak cm-eek. Háyféle cm maga toroy építhető, ha mide zíből kellő zámú elem áll redelkezére? (3 cm maga toroyból 5 féle építhető: PPP, PK, KP, PS, SP.) A probléma émi kombiatorikai imerettel yíltiako rohammal i támadható. Vizgáljuk az eeteket a cm-e darabok záma zerit, ez lehet 5, 4, 3,, é. Midegyik cm-e darab kétféle zíű lehet, így ha a cm-e darabok záma k, k akkor ezek zíezée -féle lehet. Ha a cm-e darabok záma k, akkor az cmeeké -k, vagyi az öze darabok záma -k. Ezek közül a cm-e darabok helyét kell kiválaztai, aháyféleképpe ezt megtehetjük, ayi a lehetége k orredek záma, vagyi. A cm-e toryok záma tehát k 5 k= k k k = = 683. Ez a megoldá azoba a biomiáli együtthatók imeretét igéyli, általáo ikolai zite ehéz. Vizgáljuk hát rekurzíve, mi a helyzet, ha a toroy em ilye

2 Erdő Gábor: A rekurzív módzer maga? Jelöljük az cm maga toryok zámát t -el, kereük t értékét. Nyilvá t =, t = 3, é mit a feladatál zereplő példából látzik, t 3 = 5. Nyugodta próbálkozhatuk tovább, felírva az öze eeteket érettégibe, kompeteciaméréek orá látzik, okakak em i olya egyzerű módzeree özegyűjtei az öze lehetége eetet. Hagyjuk a gyerekeket, míg rá em jöek valami zabályoágra, egedjük, hogy gyűjteek újabb eeteket, de egítük abba, hogy midezt módzeree tegyék! Mi azoba mot megpróbálhatjuk megmodai az eddigiek alapjá, háy 4 cm-e toroy va. Milye zíű lehet a legfelő darab? Lehet piro. Háy ilye 4 cm-e toroy va? A piro alatt egy zabályo 3 cm-e toroy látható. Mit láttuk, ilyeből 5 va, vagyi piro tetejű 4 cm-e toroyból i 5 va. É kék tetejűből? Ez alatt egy cm-e toroy va, ami cak háromféle lehet, vagyi ilyeből 3 va, mit ahogy árga tetejűből i. Vagyi a 4 cm-e toryok záma. Midezt úgy kaptuk, hogy t4 = t3 + t. Ez a rekurzív formula általáoítható, azaz t = t + t. A kezdeti értékekből a orozat elő éháy eleme egyzerű zámítáal megkapható:, 3, 5,,, 43, 85, 7, 34, 683. Nem várható el általáo ikolai zite az általáo képlet megejtée, de a máodfokú rekurzióál hazálato módzerrel megkapható, hogy A képlet középikolába telje idukcióval igazolható. t = ( ) feladat Az ABCDEFGH zabályo yolczög cúcait 3 zíel zíezzük úgy, hogy a zomzédo cúcok e legyeek azoo zíűek. Háy külöböző zíezé va? Két zíezé külöböző, ha bármely betűvel jelölt cúc a két zíezébe külöböző zíű. Itt i létezik kombiatoriku megoldá, ami ezúttal em köyű. Legye előkét az A pot piro, é vizgáljuk az eeteket azerit, hogy eze kívül háy piro pot va még. Ha ic, akkor a B pot kétféle lehet, ha vizot ezt kizíeztük, akkor ie kezdve a C, D, potok zíezée egyértelmű, hize felváltva kell imétlődie a két máik zíek, azaz ilye zíezé va. Ha még egy piro pot va, akkor az lehet a C, D, E, F vagy a G, ez eddig 5 eet, midegyik eetbe a piro potok közti két íve a többi pot zíe - féle lehet, így ekkor 5 az eetek záma. Ha még két piro pot va, akkor ezek lehetek a C é az E, a C é az F, a C é a G, a D é az F, a D é a G, valamit az E é a G, ez 6 eet, a többi potok zíét az előző módo zámolva 6 3 = 48 eetet találuk. Végül további három piro pot cak =

3 Maga zitű matematikai tehetéggodozá úgy lehet, ha ezek a C, az E é a G, a máik égy pot zíe miatt ez 4 = 6 újabb eet. Özee tehát = 86 olya eet va, amikor az A pot piro. Nyilvá ugyaeyi eetet találuk, ha az A pot zíe a máik két zí valamelyike, így az öze megegedett zíezéek záma 3 86 = 58. Nézzük mot a rekurzív megoldát! Sokzög helyett tekitük egy körvoalat, amelye potot kell zíezi a megadott módo, jelöljük a zíezéek zámát c - el! Az elő éháy érdeke eetbe c = 3 = 6 é c 3 = 3 = 6. Mi a helyzet, ha a potok záma, ahol 4? Válazuk ki az egyik potot (P), eek két zomzédja legye Q é R. Ha Q é R külöböző zíű, akkor P zíére cak lehetőég va, a harmadik zí, vizot P-t elhagyva egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Ha Q é R azoo zíű, akkor P zíe kétféle lehet, továbbá ha P é Q potokat elhagyjuk, akkor egy zabályoa zíezett ábrát kapuk pottal, ez c eet. Mide eetet potoa egyzer zámoltuk, így c = c + c kifejezéhez jutuk. Az előző feladatál tárgyalt módo kapjuk a c orozat elemeit a máodiktól kezdve: 6, 6, 8, 3, 66, 6, 58. Itt akár meg i ejthető egyfajta általáo képlet, hize em ehéz ézrevei, hogy a hatváyaiál felváltva -vel agyobb vagy kiebb zámokat látuk, azaz ( ) c = +. Az özefüggé telje idukcióval igazolható. Eek a megoldáak a zépége, hogy a rekurzív formula akkor i hazálható, ha a zíek c p c + ( p c, melyből általáoa = ) záma em 3, haem p, ekkor ( ) c ( p ) + ( p ) ( ) = adódik. Nem rézletezzük, de az eredeti feladat általáoítáából adódik például a következő özefüggé: k= k k+ =. k 3 3. feladat Egy kerek aztal körül -e ülek. Háyféleképpe foghat hat pár kezet egymáal úgy, hogy a kézfogáok e kereztezzék egymát? (Egyzerre mideki cak egyvalakivel fog kezet.) Ha az emberek záma, akkor jelölje k azt, hogy az zámú kézfogát háyféleképpe lehet kereztbeyúlá élkül megtei. Feladatuk a k 6 meghatározáa. Nyilvá k = k é k. Az = 3 eetbe az egyik ember, = =

4 Erdő Gábor: A rekurzív módzer evezzük Jókáak, vagy valamelyik zomzédjával, vagy a zembe ülővel foghat kezet. Ha valamelyik zomzédjával, akkor a máik égy emberek kell a két kézfogát egymá között zabályoa leredezi, erre az előbb már láttuk, hogy midkét eetbe k lehetőég va. Ha a zembe ülővel fog kezet, akkor = kézfogáuk midkét oldalá a két-két ember k = lehetége módo tud kezet fogi, azaz k 3 = k + k k = + = 5. Máképpe: Meggodolható, hogy általába i k = k k + k k + k k = k i k. 3 k = i= i k k i i= i adódik, amivel a orozat elemei redre kizámolhatók:,, 5, 4, 4, 3. A kapott értékeket Catala zámokak evezzük, bizoyítható, hogy általáo alakba k = feladat A hét törpe elhatározza, hogy Mikulákor megajádékozzák egymát. Midegyikük evét felírják egy cetlire, é midegyikük húz egy evet. A orolát akkor evezzük jóak, ha eki em húzza a aját evét. Háy jó orolá lehetége? Kezdjük ezúttal i egyzerűbb problémával, de egyzerre általáoítuk i a kérdét: Ha a törpék záma t, akkor háyféleképpe húzhatja közülük potoa k a aját evét, ahol k értéke lehet,,,, t? Az eredeti kérdé mide t eeté a k = -hoz tartozó érték. Ha t =, akkor yilvá a k = eet em lehetége, a k = pedig egyféleképpe. Haolóa yilvávaló, hogy t = eeté a k = é a k = eetek egyféleképpe lehetégeek, ez azt jeleti, hogy vagy egymá evét húzzák, vagy a ajátjukat. Ugyaekkor yilvá em valóulhat meg a k = eet. Általáoa i megállapíthatjuk, hogy a k = t eet em lehetége, hize ha egy kivétellel mideki a aját evét húzza, akkor már az az egy törpe em tud mát tei, mit hogy a aját evét húzza. Az elő érdeke eet a t = 3. Mit midig, a k = t eet, vagyi ezúttal a k = 3 egyféleképpe lehetége, ha mideki a ajátját húzza, míg az előbb elmodottak miatt a k = eet em lehetége. Ha k =, 3

5 Maga zitű matematikai tehetéggodozá akkor 3-féleképpe tudjuk kiválaztai, ki húzta a aját evét, míg a máik két törpe egymáét húzta, ami egyféleképpe lehetége, amit ezt a t =, k = eetbe már láttuk. Mivel az öze eetek záma yilvá t!, azaz jele eetbe 6, így kizáráo alapo a k = eetre lehetőég maradt. Lépjük tovább, legye t = 4! A k = 4 -re egy, a k = 3 -ra ulla lehetőég va. Ha k =, akkor a aját evüket húzókat = 6 -féleképpe válazthatjuk ki, míg a máik két ember egymáét húzza, ami egyféleképpe lehet, így ez 6 lehetőég. 5 Ha k =, akkor a aját 6 evüket húzókat 7 4 = 4 -féleképpe öz: válazthatjuk ki, míg a máik három ember közül egyik em húzza a aját evét, ez em má, mit a t = 3, k = eet, amire lehetőég va, ez özee 4 = 8 lehetőég. Az eredeti feladat felé haladó t = 4, k = eetre így 4! 6 8 = 9 lehetőég maradt. A feti módzert folytatva a jobb oldali táblázatot ozlopról ozlopra, az ozlopo belül pedig alulról felfelé haladva ki tudjuk töltei. A kitölté elvét, amit yilvá általáo ikolá gyerekekek ebbe a formába em íruk fel, de a jobb megérté miatt itt közlük, a következő özefüggéek adják: t f ( t; k ) = f ( t k;), ha k =,,..., t, k továbbá f ( t; t ) =, f ( t; t ) =, illetve f ( t k ) 4 t ; = t!, ahol f ( t; k ) yilvá azt jelöli, háyféleképpe húzhatja t törpe közül k a aját evét. A táblázat kitöltéét a 7. ozlopig folytatva megkapjuk az eredeti feladatba f 7; = 854. kereett értéket, mely zerit ( ) Egy elég tetzető trükkel é émi kombiatorikai ezközkézlettel direkt rohammal i zép eredméyt kaphatuk. Képzeljük el, hogy megpróbáljuk leülteti a 7 törpét éháy aztalhoz úgy, hogy mideki mellé jobbról ülteük azt, akiek a evét húzza. Az a kérdé, háyféleképpe lehet őket leülteti úgy, hogy eki em ül magába. Két üléred akkor külöböző, ha valakiek má a jobb oldali zomzédja. Ha egyetle aztalhoz ülek le, akkor ezt 6! = 7 -féle módo tehetik meg, hize k =

6 Erdő Gábor: A rekurzív módzer eyi a 7 cikliku permutációiak a záma. Ha egy 4 é egy 3 fő aztalhoz ülek, 7 akkor 3!! = 35 6 = 4 lehetőég adódik, míg ha egy 3 fő é két fő 3 7 4!!! aztaltáraág alakul, akkor = = lehetőég va. Egy eet lehet még, ha egy 5 fő é egy fő aztalt hazáluk, ekkor a lehetőégek 7 záma 4!! = 4 = Az öze lehetőégek = 854. A cikkbe em rézletezett módo újabb megoldához juthatuk zitaformula alkalmazáával: ! 7 6! + 5! 4! + 3!! +!! = = = = feladat Egy 8-a táblát hézagmetee, átfedé élkül lefedük -e domiókkal. Háy külöböző lefedé va? Mi a helyzet, ha -e domiókat i hazálhatuk? Köye végiggodolható, hogy vízzitee cak úgy helyezhető el domió, ha egymá alatt ugyaazt a két ozlopot fedik. Így tulajdoképpe azt kell eldötei, hogy háyféleképpe lehet elhelyezi ozlopot lefedő függőlege domiókkal é ozlopot lefedő vízzite domiópárokkal a 8 ozlopot. Az elő feladatba zereplő elő, direkt módzerek megfelelőe ezúttal i oztályokba orolhatjuk az eeteket pl. a ozlopo párok záma zerit, majd az így kapott értékeket özegezhetjük. Midezt végiggodolva a következőt kapjuk: 4 k= 8 k = = 34. k De ha már megimerkedtük a rekurzív módzerrel, próbáljuk hazáli ebbe a feladatba i. Jelöljük a -e tábla lehetége parkettázáaiak a zámát p -el! 5

7 Maga zitű matematikai tehetéggodozá Nyilvá p = é p =. Mit tuduk modai p -ről? Oztályozzuk a lehetége parkettázáokat azerit, milye parketta va a tábla végé (jobb zélé)! Ha egy ozlopo álló domió, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ilyeből p -féle va. Ha vizot egy ozlopot fedő vízzite domiópár, akkor előtte egy zabályoa parkettázott hozú tábla található, ezek záma p. Azt kaptuk, hogy p = p + p. A rekurzív formula adja a orozat elemeit:,, 3, 5, 8, 3, é p 8 = 34. A rekurzív formulából é a kezdőelemekből már látzott, hogy a jól imert Fiboacci-orozat elemeit kaptuk, p = f +. A két megoldáal egy zép általáo özefüggét i bizoyítottuk a Fiboacci-orozat elemei é a Pacal-háromzög között: k + f =. k k= A feladat máodik kérdée a 9--e taévbe az iformatika OKTV programozói kategóriájába az elő fordulóba zerepelt, ahol a orozat., 3., 4., 5., 7. é 8. elemét kellett kizámoli, majd a máodik fordulóba a vereyzőkek programot kellett íriuk, amely a orozat -edik elemét tudja megadi. A ki módoítá kellőe megöveli a feladat ehézégét. Már az elő éháy eetbe i zép é általáo ikoláokak agyo érdeke feladat a lehetége megoldáok özegyűjtée! Nyilvá l (hazáljuk máik evet a orozatra, hize máik = feladatról va zó), de már kevébé yilvávaló megtaláli az l 7 -hez tartozó = eeteket, mégikább az l -höz tartozókat! A következő elemek megtaláláa az 3 = eetek módzere özegyűjtéével már zite reméytele ( l 7 é főleg l 5 = 8 ). Próbáljuk találi egy rekurzív formulát! Milye domiók állhatak a or végé? Ha egy álló -e, akkor ilyeből l eet va, mit ahogy akkor i, ha két -e áll ott. Egyzerű még az az eet, amikor két fekvő -e áll a or végé, ilyeből l eet va. Mi a helyzet, ha a végé felül egy fekvő -e domió va, alatta meg egy -e? A probléma itt kezd érdeke lei. Ha ezt a két domiót elvezük, akkor egy olya alakzatot kapuk, amelyek az aló ora -gyel hozabb, mit a felő. Az ilye alakzatok hoza alatt értük a hozabbik oruk hozát, é a lehetége lefedéek zámát jelöljük 4 = a -el, az olyaokét, amelyekek meg a felő ora hozabb eggyel, b -el! Az utoljára említett eetbe tehát a - féle lehetőég va a lefedére. Végül a fordított eetbe, ha a végé alul egy fekvő -e domió va, felette meg egy -e, akkor b a lehetége lefedéek záma. 6

8 Erdő Gábor: A rekurzív módzer A következő rekurzív formulát kaptuk: l = l + l + a + b Ezt a formulát vizot cak akkor tudjuk hazáli, ha az a é b orozatokra i meghatározzuk a kezdeti elemeket é találuk rekurzív formulát. Szimmetriaokokból yilvá mide -re a = b, az elő két elem pedig a é a = 3. Nézzük meg itt i az utoló, coka ozlopba lévő, azaz az aló orba lévő utoló domiót! Ha ez egy -e, akkor előtte egy hozú ormál tábla áll, ilyeből l -féle va, míg ha -e, akkor ezt elvéve egy hozú, felül hozabb tábla marad, amit b -féle módo lehet lefedi. Az a é így a orozat rekurzív formuláit i megkaptuk tehát: a = l + b é = l + a b. = b Bevezetve a c = a + b jelölét a két rekurzív formula így írható: l c = l = l + l + c + c l, l 7 é c., ahol = = = Ebből a rekurzív defiícióból a két orozat elemei redre kizámíthatók, hize a jobb oldali táblázat cellái ozlopról ozlopra haladva kitölthetők l c Az úgyevezett zimultá rekurzív képletből algebrai ezközökkel kiküzöbölhetjük a c orozatot, így a következő harmadredű rekurzív formula adódik: l. = 3 l + l l 3 Ebből általáo zárt formulát kereée már meze meghaladja még a középikolai zitet i, hize ebbe az eetbe már komplex zámokkal i kell dolgozi. Módzertailag ayi zemélye véleméyt talá hozzáteék, hogy egy OKTV elő forduló zitjét matematikai tartalma miatt meze meghaladja ez a feladat, kitűzéét komoly didaktikai hibáak érzem. 7

9 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 6. feladat Egy 7 oldalú zabályo okzög cúcait zíel zíezzük. Háy külöböző zíezé va, ha a forgatáal egymába vihető zíezéeket em tekitjük külöbözőek? Nézzük itt i egy egyzerűbb problémát, kezdjük egy háromzöggel! Két coportba ozthatók az eetek: egy zít hazálok vagy kettőt. Ha egyet, akkor yilvá eet va, ez több cúc eeté i így va. Ha midkét zít hazálom, akkor egy cúc lez egyik zíű é kettő máik zíű. Ki kell válaztai, melyik zít hazálom cak egy cúcál, ez lehetőég. Az midegy, hogy melyik cúc lez ilye, hize ezek az eetek egymába forgathatók. A háromzög lehetége zíezéeiek záma tehát özee 4. Megézhetjük a égyzetet i, jó gyakorló feladat, akár az öze eet megkereée i, itt egyzíű eet va, olya, amikor egy cúc valamilye a máik három mámilye, illetve olya, amikor kettő ilye é kettő olya, hize itt a két egyzíű cúc lehet zomzédo é zemközti i. Özee 6 eet va. Lépjük tovább az ötzögre! Egyzíűből itt i va. Ha a zíek megozláa + 4, akkor eet va, hize ezek a zíezéek egymába forgathatók. Ha pedig + 3, akkor 4 eet található, hize kétféleképpe tudom kiválaztai, melyik zíűből va kettő, é ezek egymához képet kétféleképpe helyezkedhetek el: vagy zomzédoak, vagy em. Özee 8 a lehetége zíezéek záma. Az vizot látzik, hogy egyre több eetet kell vizgáli a zíek megozláa é az egyzíű potok elhelyezkedée miatt egyarát. Érdeme lee valami olya ézrevételt tei, ami eetleg több cúc eeté i hazálható. Meyi lee a zíezéek záma, ha az egymába forgatható eeteket külöbözőek tekiteék, azaz pl. a cúcokat elevezék? Ekkor cúc eeté a lehetége zíezéek záma lee, hize mide cúc kétféle zíű lehet. Háromzög eeté ez 8 lee, ehelyett mi 4-et kaptuk. Hol vezett el ez a 4 eet? Az egyzíű zíezéekél yilvá em, hize azokat mideképpe cak egyzer zámoltuk, kocetráljuk a kétzíű eetekre. A 8 eetből 6 lee ilye, a mi zámoláuk zerit cak, vagyi a harmada. Miért? Azért, mert midegyik eetet háromzor zámoltuk, hize egy általuk zámolt zíezéhez háromféleképpe lehet megbetűzi a cúcokat (a körüljárái iráyt megtartva perze, hize forgatáokról bezélük, tükrözéről em). A égyzögél kicit má a helyzet: va, amit kétzer zámoltuk, va, amit égyzer, ez boyolultabb. É az ötzögél? A 3 eetből 3 kétzíű, de mi 6 ilye eetet kaptuk, ami az öze eetek ötöde. Ez már érdeke megfigyelé: aháy cúc va, ayizor zámoltuk az egye eeteket. Miért? Azért, mert eyiféleképpe lehet egy ábrát elforgatva má é má betűzéhez juti. Miért működött ez 3-ra é 5-re, é miért em működött 4-re? Eetleg még éháy eetet megvizgálva egy em köyű végiggodolá utá megzületik a válaz: azért, mert a 3 é az 5 prímzámok, a 4 pedig em. Ige, mivel a 4-ek a oztója, így va olya zíezé, ami két forgatá (8 fok) utá 8

10 Erdő Gábor: A rekurzív módzer ömagába megy át. Általáoa kimodható azoba, hogy p oldalú okzög eeté, ahol p prím, mide kétzíű zíezét p külöböző módo lehet megbetűzi, vagyi az öze eetek özezámlálááál, ha az egymába forgatható eeteket megkülöbözteték, mide ilye eetet p-zer zámolák. Ezek alapjá p oldalú okzög eeté a kétzíű zíezéek záma pedig eél -vel több. A feladatba zereplő eetbe tehát =. 7 7 p, az öze zíezéek záma p A feladatot megoldottuk, de éháy érdeke megjegyzé tehető ezzel kapcolatba. Ha a zíek záma em, haem valamely a egéz zám, ahol a, akkor a em a p a egyzíű zíezéek záma. A kifejezé értéke yilvá midig egéz zám p kell legye, hize midig lehetőégek zámát adja meg. Ez azt jeleti, hogy az a p a midig oztható p-vel, mákét megfogalmazva a p a (mod p) Egy evezete zámelméleti állítát bizoyítottuk kombiatoriku módzerrel: em mát, mit a ki Fermat-tételt. 7. feladat Adott a íko egyee. Legfeljebb háy rézre darabolják a íkot? É ík a teret? A legtöbb eetet akkor kapjuk, ha általáo helyzetű egyeeeket rajzoluk a íkra: emelyik kettő em párhuzamo é emelyik három em metzi egymát ugyaabba a potba. Vizgáljuk keveebb egyeet, é jelöljük egyee eeté a keletkező íkrézek zámát -el! Az elő éháy eetet köye megkapjuk: =, = 4 é 3 = 7. Hogya következtetheték ebből a további eetekre? Érdeme a rekurzív lépére kokrét zámokat hazálva rávezeti a taulókat. Nézzük, hogy változik a rézek záma, amikor a egyedik egyeet behúzom! Ezt az 9

11 Maga zitű matematikai tehetéggodozá egyeet az előző 3 egyee 3 potba metzi, ez a 3 pot ezt az egyeet 4 rézre oztja: félegyeere é zakazra. Mid a 4 réz kereztülhalad egy íktartomáyo az eddigiek közül, é azt két rézre oztja, ezzel a íkrézek záma 4-gyel ő, azaz 4 =. Mit ciáluk, amikor rekurzív formulát kereük? Nem mát, mit 3 é 4 helyett végiggodoljuk ugyaezt -re é + -re. Kapjuk, hogy + = +. A kezdeti értékeket hazálva megkaphatjuk a orozat további elemeit egéze a feladatba zereplő tizeegyedikig:, 4, 7,, 6,, 9, 37, 46, 56, 67. Termézetee midig érdeke probléma a zárt formula kereée. Egyik lehetőég az, hogy megejtjük a képletet é a középikolába tauladó ezközt, a telje idukciót hazálva bebizoyítjuk. Va azoba olya módzer i, amit általáo ikolába i alkalmazhatuk. A kizámolt kezdeti érték é a rekurzív formula alapjá felírhatók a következő egyeletek: 3 4 = = + = + 3 = = + ( ) = + Az egyeleteket özeadva émi redezé utá a következő özefüggéhez jutuk: = ( ) + = + ( + ) i = + =. i= + + Felhazáltuk a megoldá orá az elő pozitív egéz zám özegéek közimert, általáo ikolába i többféle módo bizoyítható, vereyeke remekül hazálható képletét. Érdeke megjegyzé, hogy a feti képlet átírható + = + alakúra. A képlet értelmezée: kezdetbe volt = ík, mide egyee behúzáával keletkezik egy új íkréz, ezek záma, továbbá ha 3

12 Erdő Gábor: A rekurzív módzer két egyee metzi egymát, mide metzépot i eggyel öveli a íkrézek zámát, é mivel mide egyee mide máikat metz, a metzépotok záma. Mi a helyzet, ha öveljük a dimeziók zámát, é térbe vizgálóduk? Az darab általáo helyzetű ík (mit i jelet ez?) a teret t rézre darabolja. Nyilvá t = é t = 4. Az előző módo kereük rekurzív formulát! Az +-edik íkot metzi mid az előző ík egy-egy egyeebe, ez az egyee az újoa felvett íkot rézre darabolja. Eze íkrézek midegyike a korábbi térrézek egyikét két rézre oztja, midehol egy új térrézt behozva, így özee térrézek zámát. A következő rekurzív formulához jutuk tehát: t = t el övelve a Az előző feladat eredméyeit felhazálva kizámolhatjuk a orozat elő elemét:, 4, 8, 5, 4, 4, 64, 93, 3, 76, 3. A íkbeli eetél leírt módzer egítégével, az ott bizoyított képletet alkalmazva itt i eljuthatuk a zárt formuláig, ez azoba egyrézt algebrailag i ehezebb, márézt zükég va a égyzetzámok özegéek zárt formulájára i. A bizoyítható képlet a következő: t =. 6 A íkbeli eetél leírtak utá talá em meglepő, hogy a feti képlet émi átalakítáal a következő alakra hozható: t =

13 Maga zitű matematikai tehetéggodozá 8. feladat Barkochbázuk, de ezúttal a válazokért fizeti kell. Kezdetbe zetouk va, é az ige válazért, a em válazért zetot kell fizeti. Ha már cak zetouk va, em kérdezhetük tovább, hize em válaz eeté adóágba keveredék. Legfeljebb háy zám közül tudjuk biztoa kitaláli a godolt zámot? A feladatot egy Póa Lajo által tartott taártovábbképző előadáo hallottam, de úgy godolom, érdeme továbbadi, hize eze az előadáo elég kevé taár vett rézt. Calóka feladat, a zeto elég kevé ahhoz, hogy az ember hajlamo direkt rohammal próbálkozi, ami valózíűleg kudarcra va ítélve. Kezdjük keveebbel, é vizgáljuk meg, hogy adott zámú zetoal mi az a legagyobb, amelyre igaz, hogy -től -ig bármelyik egéz zámra godolhatak, mi azt zerece élkül ki tudjuk találi. Jelöljük ezt a zámot k -el. Ha zetouk va, akkor em kérdezhetük, tehát cak zám közül tudjuk kitaláli a godolt zámot, azaz k =. Haolóa egyzerűe végiggodolható, hogy k =. Az elő előremutató kérdé, hogy mi a helyzet, ha 3 zetouk va. Ha a feltett kérdére ige lez a válaz, akkor zetouk marad, ami az előbb láttuk, hogy zám közül tudja kiválaztai az igazit. Ha vizot emlege a válaz, akkor cak zám maradhat, hize em tehetük fel újabb kérdét. Vagyi k 3 = + = 3. Nagyo zép é taulágo a probléma, hize egy zélőérték-feladattal va dolguk, é ezzel kapcolatba megtaíthatjuk azt, hogy mi az ilye típuú feladatokál a teedő. Két dolgot kell megvizgáli: több em lehet, ayi vizot ige. Már láttuk, hogy 3-ál több zámból em lehet kitaláli a godoltat. Márézt 3-ra va kotrukció: kérdezzük meg, hogy e között a között va-e. Ha em, akkor megva, hogy a harmadik zámra godoltak, ha ige, akkor meg még egy kérdéel tiztázhatjuk, hogy a kettő közül melyikre. Mi a helyzet 4 zeto eeté? Ha ige válazt kapuk, akkor 3 zetouk marad, ami 3 zámra elég, ha pedig em a válaz, akkor zetoal zám közül találjuk meg a godoltat, azaz k 4 = 3 + = 5. Sokakak talá már kezd gyaú lei a dolog! Valóba, újra a Fiboacci-orozatra bukkatuk. Talá már em i olya ehéz megtaláli a rekurzív formulát. Ha zetouk va, akkor igaz válaz eeté marad, ami k zámra elég, míg ha em a válaz, akkor zetoukkal k zám közül tudjuk megtaláli az igazit. Ez azt jeleti, hogy k = k + k, ami a k = é k = kezdőértékekkel éppe a Fiboacci-orozat elemeit adja, amiből k = 89. 3