Dinamika. F = 8 N m 1 = 2 kg m 2 = 3 kg

Átírás

1 Dinamika 1. Vízzinte irányú 8 N nagyágú erővel hatunk az m 1 2 kg tömegű tetre, amely egy fonállal az m 2 3 kg tömegű tethez van kötve, az ábrán látható elrendezében. Mekkora erő fezíti a fonalat, ha a fonál tömegétől é a úrlódáától eltekintünk? (g 10 m 2 ) 8 N m 1 2 kg m 2 3 kg Az erő hatáára az m 1 tömegű tetnek gyorulnia kell. Mivel a máik tet fonállal öze van kotve az elő tettel, ezért az elő tet a fonálon kereztül elmozdulá pillanatátől kezdve 2 erőt fejt ki, aminek következtében ugyancak gyorulni kezd. Mivel a fonál nem nyúlik, ezért mindkét tetnek ugyanakkora a gyoruláa van. Newton máodik törvénye miatt: 2 m 2 a. Newton harmadik törvénye miatt a máodik tet a fonálon kereztül 2 nagyágú erővel hat az elő tetre, vagyi az elő tetre ható erők együtte hatáa, vagyi eredője határozza meg a gyoruláát: 2 m 1 a. A fenti egyenletből az 2 helyébe beírva az ma-t: Az imert értékeket behelyetteítve: 2 A fonalat 4, 8 N erő fezíti. m 2 a m 1 a m 1 a + m 2 a /m 2 a ( )a / : ( ) a a Így 2 m 2 3 kg 8 N 2 kg + 2 kg 4, 8 N 2. Az ábrán látható rendzert 100 N állandó erővel húzzuk. Mekkora a gyorulá, é mekkora erők fezítik az özekötő fonalakat, ha a úrlódától eltekintünk? 100 N m 1 10 kg m 2 7 kg m 3 3 kg Az elő tetet erővel húzzuk, Az elő tet a máodikat 2 erővel, máodik a harmadikat pedig 3 erővel húzza. Minhárom tetnek ugyanakkora az a gyoruláa, mivel a fonál nem nyúlhat. Newton máodik törvénye miatt 3 m 3 a A máodik tetre két erő hat. Egyik erő az 2, a máik pedik az ellenerő, ami 3 nagyágú, ezért A három tetre ható eredő erő, ezért 2 3 m 2 a 2 m 2 a + 3 m 2 a + m 3 a (m 2 + m 3 )a ( + m 3 )a / : ( + m 3 ) 100 N a + m 3 10 kg + 7 kg + 3 kg 5 m 2

2 A gyorulá tehát a 5 m 2. A harmadik é a máodik tetet özzekötő fonálerő: 3 A máodik é a harmadik tetet özzekötő fonálerő: m 3 3 kg 100 N + m 3 10 kg + 7 kg + 3 kg 15 N 2 (m 2 + m 3 ) (7 kg + 3 kg) 100 N + m 3 10 kg + 7 kg + 3 kg 5 N 3. Mekkora az ábra zerint fonállal egymához kötött m 1, illetve m 2 tömegű tetek gyoruláa é a fonalat fezítő erő, ha (a) az m 2 tömegű tet a vízzinte íkon úrlódá nélkül cúzhat; (b) az m 2 tömegű tet é a ík között a úrlódái együttható µ 0, 2? (A fonál é a ciga tömege elhanyagolható, a fonál nem nyúlik meg, a tengely nem úrlódik, a közegellenállá é a levegőben a felhajtó erő elhanyagolható. Legyen m 1 0, 5 kg, m 2 2 kg, g 10 m 2 ) (a) m 1 0, 5 kg m 2 2 kg g 10 m 2 Az m 1 tetre hat a G m 1 g úlyerő. Az elő tet a máodik tetre a fonálon kereztúl 1 erővel hat. Newton harmadik törvénye miatt a máodik tet az elő tetre ugyanolyan nagyágú erővel hat (lád az ábrát). Mindkét tet gyoruláa ugyanakkora, hizen a fonál nem nyúlik. Ekkor a máodik tet gyoruláára érvénye: Az elő tetre két erő hat, ezek eredőjére: Amiből a gyorulá A fonálerő: 1 (b) µ 0, 2 m 2 a 1 G 1 m 1 a G m 1 a + 1 m 1 a + m 2 a ( )a a m 1m 2 g 0, 5 kg 2 kg 10 m 2 0, 5 kg + 2 kg m 1g 0, 5 kg 10 m 2 0, 5 kg + 2 kg 2 m 2 4 N Cak annyiban fog változni, hogy fellép még az µg 2 µm 2 g úrlódái erő. Ekkor a máodik tetre az 1 fonálerő é az úrlódái erő hat: Továbbá G 1 m 1 a m 1 g m 2 a µm 2 g m 1 a m 1 g µm 2 g m 1 a + m 2 a 1 m 2 a / + 1 m 2 a + 1 m 2 a + µm 2 g / + m 2 a m 1 g µm 2 g ( )a / : ( ) m 1 g µm 2 g a a m 1g µm 2 g 0, 5 kg 10 m 0, 2 2 kg 10 m 2 2 0, 4 m 0, 5 kg + 2 kg 2

3 A fonálerő: 1 m 2(m 1 g µm 2 g) + µm 2 g m 1m 2 g µm 2 2g + µm 1 m 2 g + µm 2 2g m 1m 2 g(1 + µ) m 1 + m2 0, 5 kg 2 kg 10 m 2 ( ) 0, 5 kg + 2 kg 4, 8 N 4. Játékvonat 30 g tömegű vagonja 4 cm ebeéggel gördül a ínen. A következő, 40 g tömegű koci 5 0 cm ebeéggel halad utána, é az elő kocihoz ütközik. Mekkora ebeéggel halad tovább együtt a két koci, ha az ütközékor özekapcolódnak? m 1 30 g v 1 4 cm m 2 40 g v 2 5 cm Mivel a két kocira mozgáuk é ütközéük orán külő erők nem hatnak, cak egymára fejtenek ki erőhatát, ezért az özimpulzuuk nem változik: ( )v m 1 v 1 + m 2 / : ( ) v m 1v 1 + m 2 cm 30 g g 5 cm 30 g + 40 g 4, 6 cm 5. A rakománnyal együtt 1 tonna tömegű vaúti pályakoci vízzinte pályán 10 m ebeéggel halad. Mozgá közben a kocin ülő emberek lelöknek egy 100 kg tömegű índarabot, amely függőlegeen eik a talpfákra. Mekkora ebeéggel halad tovább a pályakoci, ha a úrlódától eltekintünk? m 1 t kg v 10 m m kg m 2 v 2? A mozgó rendzerre külő erő nem hat, ezért az özimpulzu nem változik: m 1 v 1 + m 2 mv / m 1 v 1 m 2 v 2 mv m 1 v 1 / : m 2 v 1 0 m v 2 mv m 1v 1 mv mv kg 10 m 100 kg 0 m m kg kg 11, 1 m 6. Az l hozúágú, m tömegű, a vízhez képet nyugvó cónak egyik végén m 2 tömegű ember áll. Mennyit mozdul el a cónak a vízhez vizonyítva, miközben az ember átmegy a cónak máik végébe? (A víz ellenálláa elhanyagolható.) l m m 2? Mivel a jelenég orán külő erőhatá ninc, vagyi cak belő rők működnek, a rendzer özimpulzua állandó marad: a mozgá előtt (é nyilván akkor a után i) zéru. A cónaknak a vízhez vizonyított elmozduláát () é ebeégét (v 1 ) vegyük pozitív előjellel. Ekkor az ember ezzel ellentéte vízhez vizonyított elmozduláa (l ) é ebeége (v 2 ) ellentéte irányú: Mivel a mozgá egyenlete é t ideig tart, ezért m 1 v 1 m 2 v 2 0 Ezeket a felette lévő egyenletbe behelyetteítve: v 1 l v 2 l t m 1 t m l 2 0 t / t m 1 m 2 l + m 2 0 / + m 2 l ( ) m 2 l / : ( ) m 2l

4 7. Álló vízben két cónak halad egymá felé. A vízhez vizonyított ebeége mindkét cónaknak ugyanakkora, 0, 6 m. Amikor egymá mellé érnek, az egyikről a máikra 60 kg tömegű tetet teznek át. Ezután a máodik cónak eredeti irányában 0, 4 m ebeéggel halad tovább. Mekkora ennek a máik cónaknak a tömege? (A víz ellenálláát elhenyagoljuk.) v 1 v 2 0, 6 m m 1 60 kg v 2 0, 4 m m 2? eltételezzük, hogy egyik cónakban em eveznek, a közegellenállától eltekintünk, ezért a két cónakból álló rendzerre külő erők nem hatnak., vagyi a rendzer özimpulzua állandó: m 2 v 2 m 1 v 1 ( )v 2 m 2 v 2 m 1 v 1 m 1 v 2 + m 2 v 2 / + m 1 v 1 m 2 v 2 m 2 v 2 m 2 v 2 m 1 v 2 + m 1 v 1 m 2 (v 2 v 2) m 1 (v 2 + v 1 ) / : (v 2 v 2) m 2 m 1(v 2 + v 1 ) v 2 v 2 60 kg (0, 6 m + 0, 4 m 0, 6 m 0, 4 m ) 300 kg 8. A 120 g tömegű, 40 cm ebeégű é a 80 g tömegű, 100 cm ebeégű két tet egymáal zemben mozog egy egyene mentén. Teljeen rugalmatlan ütközé után mekkora é milyen irányú ebeéggel mozog tovább? m g v 1 40 cm m 2 80 g v m v? Mivel külő erők nem befolyáolják a mozgát, ezér az özimpulzu állandó: ( )v m 2 v 2 m 1 v 1 / : ( ) v m 2v 2 m 1 v 1 80 g 100 m cm 120 g g + 80 g 16 cm A két tet 16 cm ebeéggel halad tovább a 80 g tömegű tet eredeti ebeégével egyező irányban. 9. A 72 km h ebeéggel vízzinte pályán haladó, 500 tonna tömegű vaúti zerelvényről lezakad a zerelvény 100 tonna tömegű réze. A mozdony zétzakadá után ugyanakkora húzóerőt fejt ki, mint azelőtt. Mekkora távolágban lez egymától a zerelvény két réze a lezakadt réz megálláa pillanatában, ha a úrlódái tényező µ 0, 01? v 72 km h 20 m v m 500 t m t µ 0, 01 g 10 m 2? Előzör meghatározzuk a t időt, ami alatt a 100 tonna tömegű réz megáll. A zerelvényt az 1 úrlódáú erő laítja (a laulá egyenlete, hizen a úrlódái erő nem változik), amelynek nagyága. Newton máodik törvénye miatt 1 m 1 gµ m 1 a 1 1 a 1 1 m 1 m 1gµ m 1 gµ A lezakadt zerelvény kezdő ebeége v, t idő múlva vizont 0: a 1 v t t v a 1 v gµ A zerelvény zétzakadá előtt állandó ebeéggel haladt, emiatt a zerelvény húzóerejének nagyága megegyezik az mgµ úrlódái erő nagyágával: mgµ A zerelvény lezakadáa után a húzó erő változatlan marad, míg a úrlódái erő cökken: 2 ( )gµ A zerelvényre ható eredő erő 2 lez, a 2 gyouláára pedig érvénye, hogy 2 ( )a 2 a 2 2 mgµ ()gµ m 1gµ

5 A lezakadt vonat vonatkozái rendzeréhez képet a tovamenő zerelvény gyoruláa t idő múlva a köztük lévő távolág: 1 2 at2 1 2 a a 1 + a 2 m 1gµ + gµ ( ) ( ) 2 m1 gµ v m 1 v 2 + gµ gµ 2µ( )g + v2 µg 100 t (20 ) m 2 ( ) 20 m 2 2 0, 01 (500 t 100 t) 10 m + 0, m m Egy 180 km h ebeéggel repülő, 5 g tömegű lövedék eltalál egy nyugalomban lévő, 5 kg tömegű fadarabot. Milyen ebeéggre tez zert a rendzer, ha a lövedék a fában marad. A úrlódától tekintünk el. v km h m 1 5 g 0, 005 kg v 2 0 km h m 2 5kg v? Mivel külő erők nincenek, ezért az özimpulzu állandó: ( )v m 1 v 1 v m 1v 1 0, 005 kg 180 km h 0, 005 kg + 5kg 0, 18 km h