O k t a t á si Hivatal

Átírás

1 O k t a t á i Hivatal A 01/013. Tanévi FIZIKA Orzágo Középikolai Tanulányi Vereny elő fordulójának feladatai é egoldáai II. kategória A dolgozatok elkézítééhez inden egédezköz haználható. Megoldandó az elő háro feladat é a 4/A é 4/B orzáú feladatok közül egy zabadon válaztott. Cak 4 feladat egoldáára adható pont. A 4/A é 4/B feladat közül a több pontot elérő egoldát vezük figyelebe. 1. Vízzinte, légpárná ínen két különböző töegű lovat (háztető alakú, úrlódáenteen ozgó tetet) ideálinak tekinthető, nyújtatlan, húzó-nyoó rugó köt öze. Az egyik lovat kezünkkel rögzített helyzetben egtartjuk, a áikat eltávolítjuk, ajd elengedjük. a) Mennyi idő úlva é hol áll eg legközelebb az elengedett tet? Abban a pillanatban, aikor az elengedett tet előzör egáll, a áik lovat i elengedjük. b) Ezt követően ikor é hol állnak eg legközelebb a lovaok? Megoldá. Az elengedett tet töege legye 1, a kezdetben rögzített tet töege legyen, a rugóállandó (direkció erő) legyen D, a rugó kezdeti egnyúláa legyen A (ui. a keletkező rezgé aplitúdója). a) Az elengedett tet idő úlva áll eg, iközben A távolágot tez eg a rögzített tet felé. b) Ebben a pillanatban a rugó özenyoottága A. A tetek elengedée után külő erők hiányában a rendzer töegközéppontja helyben arad. Mindkét tet haroniku rezgőozgába kezd. Az (1)-e tet aplitúdója: A ()-e tet aplitúdója: 1

2 A két tet úgy rezeg, intha indkettő egy-egy aját rugóhoz lenne kötve, hizen a töegközéppont helyben arad. A rugóállandó fordítottan arányo a rugó hozával, ha egyébként a rugó anyaga, enetűrűége, fizikai tulajdonágai változatlanok. Az (1)-e tet látzólago rugóállandója: Ugyanígy a ()-e tet látzólago rugóállandója: Könnyen beláthatjuk, hogy a két tet rezgéideje azono: Tehát ezek után egállapíthatjuk, hogy a áodik tet elengedée után indkét tet T/ idő úlva áll eg, az (1)-e tet A 1 távolágot tez eg vizafelé, íg a ()-e tet A távolágot tez eg ellenkező irányban.. Két, egyenként = 0,5 kg töegű, l = 60 c hozú (A é B) haáb nyugzik egy úrlódáente vízzinte felületen. Az A haáb tetején az ábra zerint egy ugyancak töegű kiebb, d = 10 c hozú téglatet (C) nyugzik. A téglatet é a haáb közötti úrlódá együtthatója = 0,4. Ennek a rendzernek v 0 = 4 / nagyágú ebeéget adunk, aellyel az a nyugvó haábnak (B) ütközik. Az ütközé tökéleteen rugala é pillanatzerű. Az ütközé után a téglatet előre cúzik. a) Milyen távol lez egyától a két haáb, aikor a téglatet eleje a haáb áik végéhez ér? b) Mennyi hő fejlődött a folyaat orán? Megoldá. a) Az abzolút rugala, pillanatzerű ütközé alatt lényegében cak az A é B haáb között lép fel kölcönhatá, a C tet által kifejtett erő elhanyagolható az ütközékor keletkező erők ellett. Az ütközé után a B haáb u B = v 0 = 4 / állandó ebeéggel távolodik A-tól, az A haáb egy pillanatra egtorpan, u A0 = 0 lez az egyenlő töegek iatt ( ebeégcere ). Ebben a pillanatban elkezd cúzni a C tet, aelynek u C0 kezdőebeége változatlanul v 0 = 4 / volt, de a úrlódái erő őt fékezni, az A haábot gyorítani (ebeégét növelni) fogja a továbbiak orán indaddig, aíg a cúzá tart. Kereük a cúzái időt é az elozduláokat. Az A é C tet gyoruláának nagyága az egyenlő töegek iatt egegyezik, irányuk ellentéte. Az A haáb útja: 01/013 OKTV 1. forduló

3 a C tet útja: S 1 A gt, (1) 1 S t gt A két út közötti különbég az az út, aelyet a C téglatet tez eg a haábhoz vizonyítva. Mivel a zéléig cúzik, (1) é () beíráával: Özevoná, rendezé után: Innen az eltelt időre adódik: v C v 0. () S S d C A 1 1 0t gt gt d gt v 0t d 0 4 v 0 v ,4 10 0,6 0,1 0 4g d 0,8536 t g 0,410 0,1464 Nyílván cak az egyik érték felel eg a folyaatnak. A helye gyök kiválaztáának egyik ódja a következő: Vizahelyetteítve az A é a C tet végebeég képletébe ezeket az értékeket, az lez a folyaatnak egfelelő adat, aelynél az A tet ebeégére kiebb érték adódik, int a C tet ebeége. A 0,8536 értékkel záolva: ua gt 0,410 0,8536 3,4144, uc v0 gt 4 0, 410 0,8536 0,5856. Vagyi ezzel a ebeéggel ne érhetett a ki tet a haáb túló végére. Ellenőrzé a áodik, a 0,1464 időértékkel: ua gt 0, 410 0,1464 0,5856, uc v0 gt 4 0,4 10 0,1464 3,4144. (Ézrevehetjük, hogy a ebeégértékek tükröek, de cak a áodik idővel záoltak felelnek eg a feladatnak.). v 0 v = u 0 B u C v Tkp u A S A t 01/013 3 OKTV 1. forduló

4 Ezzel a két haáb közötti távolágra 1 1 D SB SA v0t gt 4 0,1464 0, 410 0,1464 0,549 adódik. b) A úrlódái erők unkája a ozgái energia egváltozáával egyenlő. Ez az energiacökkené a tetek felelegedéét okozza. A úrlódái erők ugyan egyenlő nagyágúak, de különböző utakon végzik a unkájukat. Az A tetre ható úrlódái erő unkája pozitív, a C tetre hatóé negatív, de ez utóbbi unkavégzée hozabb úton történik, özunkájuk tehát negatív, így cökken a rendzer ozgái energiája. A fejlődő hő tehát: Q Ekin AuA CuC Cv0 ua uc v0 1 0,5 kg 0,5856 3, ,9997 J 1J. A fejlődő hőt egkaphatjuk a úrlódái unkából i: Q g d 0,4 0,5 kg 10 0,5 1 J. 3. Az ábrán látható függőlege hengerekben azono anyagi inőégű, azono űrűégű, ideálinak tekinthető gázt úrlódáenteen ozgó dugattyú zár el a külő levegőtől, elynek nyoáa p 0 =10 5 Pa. A két gázozlop hoza egyaránt l 0 = 40c, hőérékletük i azono, 7 o C. A zűkebb henger kereztetzete A = 0, d, a áiké ennek duplája. A zűkebb hengerben lévő dugattyú töege = 4 kg. a.) Mekkora a áik hengerben lévő dugattyú töege? b.) Mekkora lez az elő hengerben lévő gázozlop hoza, ha állandó hőérékleten úgy fordítjuk eg, hogy a dugattyúval lezárt vége kerüljön alulra?. c.) Ekkor a két henger dugattyúját egy, a töegükhöz képet elhanyagolható töegű rúddal úgy rögzítjük egyához, hogy közben a gázok eddigi nyoáa ne változzon. Ezt követően az aló hengerbeli gáz hőérékletét 177 o C-ra növeljük, iközben a felőben lévő gáz hőérékletét állandó értéken tartjuk. Mennyivel ozdul el a kettő dugattyú? Megoldá. Az állapotegyenlet alapján: pal = nrt, vagy pv RT, M ahonnan pm RT, V tehát pm = ρrt. 01/013 4 OKTV 1. forduló

5 Mivel azono anyagi inőégűek (M azono), azono űrűégűek (ρ azono) é azono hőérékletűek (T = 300 K azono), ezért nyoáuk i egegyezik. a) A dugattyú egyenúlya iatt p 0 A + g = p a A (p a a dugattyú alatti gáz nyoáa), a tágabb tartályra pedig A kettőt özevetve = = 8kg. p 0 A + g = p a A. b) A tartályt fejre állítáa közben pv ne változik (T = állandó), így pl i állandó. Kezdetben p 0 A + g = p a A volt, az egyenúly feltétele, ahonnan p a = p 0 + g A = 40N 105 Pa + = 1, 10 5 Pa A tartály egfordítáa után a dugattyú egyenúlya iatt p 0 A = g + p f A (p f a dugattyú feletti gáz nyoáa). Ebből p f = p 0 g A = 40N 105 Pa = 0, Pa Mivel p a l a = p f l f (itt l a = l o ) p0 1, lf l0 40 c 60 c. p 0,8 c) A nagyobb tartálybeli gáz elegítée közben pv T f pl állandó, azaz T pl pa l a a 0 x eelkedéét x-zel jelölve: A nyoá zerepet játzik a kettő dugattyú egyenúlyában. A ellékelt ábra a rá ható erőket utatja. Tehát az egyenúlyra: p 0 A + p f A + 3g = p a A, 3g azaz p0 pf pa A (A jelölé a elegíté végi állapotot jelzi.) Az előzőekből p a 5 1,5pl a a 1,5 1, 10 4 l x 4x a (Ha x értékegyége d, akkor a nyoáé Pa.) A felő gáz nyoáa i kell. Ebben az eetben i pl állandó. Tehát p f l f = p f (l f x), Ezekkel a nyoáok közti egyenlet ebből i. Tehát a dugattyú 01/013 5 OKTV 1. forduló p f f f 5 0,810 6 l x 6 x f pl , ,5 1, ,6 10, 6 x 4 x

6 egyzerűbben: 0,8 6 1,5 1, 4 1 0,6, 6 x 4 x 4,8 14, 4 1,6, 6 x 4 x indkét oldalt 1,6-del oztva, ajd törttelenítve é nullára redukálva x 4 x x 14x + 18=0 ennek egyik gyöke nagyobb, int 6, a áik 1,43. A kettő dugattyú tehát felfele ozdul el 14,3c-rel. 4/A Az ábra zerinti kapcolában R = 5 Ω, C = 0,4 μf é az áraforrá állandónak tekinthető kapocfezültége U o = 6 V. a.) Mennyi a kondenzátor töltée, é ennyit utat az árakör ellenálláánál jóval nagyobb belő ellenálláú fezültégérő, ha a kapcoló régóta nyitva van? b.) Mekkora erőégű é ilyen irányú ára folyik át a kapcolón közvetlenül a záráa után? Mennyit utat ekkor a fezültégérő? c.) Mennyit utat a fezültégérő, aikor a kapcoló régóta zárt? Mennyivel változott a kondenzátor töltée a folyaat közben? Megoldá. a) Ha a kapcoló rég nyitva van, akkor a kondenzátor töltée ne változik, tehát a hozzá kapcolt vezetékekben ne folyik ára, vagyi a fezültégérőre nulla volt jut, ennyit i utat. A kondenzátor fezültége így egegyezik a R é a 3R ellenálláokra jutó fezültéggel. Ezek orba vannak kapcolva R-rel i. Az áraforrá fezültége az ellenálláok arányában ozlik eg. A kondenzátor fezültége tehát az áraforrá fezültégének 5/6-a (5V), így töltée 5CU o Q = = μc. 6 b) A kondenzátor töltée bekapcolá közben ne változik, így fezültége 5V arad, ezzel a R ellenállára i 5V jut. A űzeren ne folyik ára, tehát az áraforrá 6V 5V =1V fezültége az R é 3R ellenálláokon ozlik eg, azok arányában. Tehát R-re 0,5V jut, 3R-re 0,75V, a űzer ennyit i utat. 5V A R ellenálláon jobbra I = 50 = 0,1A folyik, a 3R ellenálláon I 3 = 0,75V 75 = 0,01 A folyik jobbra, vagyi a kapcolón felfele I I 3 = 0,09 A folyik. c) Ha a kapcoló rég zárt, akkor a kondenzátor töltée változatlan. Ára ne folyik e a kapcolón, e a kondenzátoron, e a űzer vezetékeiben. Az egye ellenálláokra (a oro kapcolá iatt) rendre 1V, V é 3V jut, ezen utóbbit utatja a űzer. A kondenzátor fezültége 5V V = 3V-tal cökkent, töltée pedig 3 0,4 μf = 1, μc-bal cökkent. Tehát a töltée Q = 1, μc-val változott. 01/013 6 OKTV 1. forduló

7 4/B Elektrooan zigetelő, 60 c hozú fonál egyik végét rögzítjük, áik végére 5 gra töegű, C töltéű, kici göböt erőítettünk. A felfüggeztéi pont alatt 60 c-rel egy ugyancak C töltéű kici göböt rögzítünk. Az inga fonala kezdetben egyene é vízzinte. Az ingát agára hagyjuk a) Mekkora zöget zár be a fonál a függőlegeel, aikor az ingatet ebeége axiáli? b) Mekkora az ingatet legnagyobb ebeége? c) Ebben a pillanatban ekkora a fonálerő? Megoldá. a) Az ingatet ebeége akkor a legnagyobb, aikor a tet érintő irányú gyoruláa nulla kq g in co l in 3 in kq 8gl arcin 3 8 kq gl Innen: arcin 3 N C C ,36 0,5 b) Haználjuk az energia-egaradá törvényt a legnagyobb ebeég eghatározáához: kq kq 1 gl gl l l in 1 co v, v 3,18 / kq 1 1 v gl co l in (3,46 / lenne, ha ne lenne elektroo kölcönhatá.) c) Alkalazzuk ugár irányba a dinaika alapegyenletét: F a cp. v, K g co Fel in l v kq K g co 0,134 N. l 4l in 01/013 7 OKTV 1. forduló

8 Oktatái Hivatal Pontozái útutató a 01/013. Évi fizika OKTV elő fordulójának feladategoldáaihoz II. kategória Minden feladat telje egoldáa 0 pontot ér. Rézlete, egyége pontozá ne adható eg a feladatok terézetéből következően, ugyani egyegy helye egoldához több különböző, egyenértékű helye út vezethet. A feladat nueriku végeredényével egközelítően azono eredényt kihozó egoldó erre a rézfeladatra 0 pontot kap, aennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értele gondolatenet etén a ki nueriku hiba elkövetée iatt (a rézfeladat terjedelétől függően) - vonható le. Ha a egoldó cak paraétereen adja eg a helye gondolatenettel kapott eredényt, (kivéve, ha a feladat cak paraétereen kéri a egoldát) pontot vezít. 1. feladat a) A jelenég elvi leíráa: pont Az idő kizáítáa: A hely kizáítáa: b) A jelenég helye értelezée: A töegközéppont helyben aradáa: pont A töegközéppont helyének kizáítáa: pont A látzólago rugóállandók kizáítáa: Az idő kizáítáa: A hely kizáítáa:. feladat Annak felierée, hogy cak két tet között lép fel kölcönhatá az ütközé pillanatában Az A haáb útjának helye kifejezée A C tet útjának helye kifejezée A ki tet cúzáidejének eghatározáa Az A é B haáb egyától való távolágának eghatározáa a kérdée pillanatban A ozgá közben fejlődő hő eghatározáa pont pont 5 pont 5 pont 3. feladat a) A dugattyú egyenúlyára vonatkozó egyenlet a nyoáokkal A nyoáok azonoágának kiutatáa A kereett töeg egadáa b) A dugattyú egyenúlyára vonatkozó egyenlet a nyoáokkal A pl zorzat állandóágának felierée A kereett hozúág egadáa c) A dugattyú egyenúlyára vonatkozó egyenlet a nyoáokkal pont Az aló tartályban lévő gáz nyoáának felíráa a kezdeti é az új állapot jellezőivel pont A felő tartályban lévő gáz nyoáának felíráa a kezdeti é az új állapot jellezőivel pont A kereett elozdulá egadáa 4 pont 011/01 1 OKTV 1. forduló

9 4/A feladat a) A fezültégérő által utatott érték egadáa A kondenzátor fezültégének kizáítáa A kondenzátor töltéének eghatározáa b) A R-e ellenállára jutó fezültég egadáa A R-e ellenálláon átfolyó ára kizáítáa A 3R-e ellenállára jutó fezültég kizáítáa pont A fezültégérő által utatott érték egadáa A 3R-e ellenálláon átfolyó ára kizáítáa A kapcolón átfolyó ára nagyágának kizáítáa A kapcolón átfolyó ára irányának eghatározáa c) A kondenzátorhoz kapcolódó vezetékekben ne folyik ára A kapcolón át ne folyik ára A fezültégérő által utatott érték egadáa pont A kondenzátor fezültég cökkenéének kizáítáa pont A kondenzátor tölté-változáának kizáítáa 4/B feladat a) Annak felierée, hogy akkor legnagyobb az ingatet ebeége, aikor az érintő irányú gyoruláa nulla pont Az érintő irányú erők helye felíráa pont Annak helye felíráa, hogy az érintő irányú erők eredője nulla pont Az inga fonala é a függőlege által bezárt zög eghatározáa, kizáoláa pont b) Az energia-egaradá törvényének helye alkalazáa 4 pont A legnagyobb ebeég kifejezée é kizáoláa pont c) A ugár irányú erők helye felíráa pont A dinaika alapegyenletének helye alkalazáa pont A fonálerő helye kifejezée é kizáoláa pont 011/01 OKTV 1. forduló