I. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

Átírás

1 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév I. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Mértékegyég-átváltáok I./1. Végezze el az alábbi értékegyég-átváltáokat! a) 18 c = k = = b) 16 g = kg = g = µ g c) 1 = = n = d) 7,4 C = K e) kg g 1580 = c kn f) 56 = Pa c 1 g) 1 = Hz in k ) 7 = Vektorűveletek I./. Végezze el grafikuan az alábbi vektorűveleteket! I./. Adja öze grafikuan az alábbi két erővektort! I./4. Száíta ki az alábbi vektorok vízzinte é függőlege koponeneit, a a 0 a vízzinteen jobbra utató irányt jelöli! a) F = (4 N, 0 ) c) a = (15, 1 ) b) v = (4, 10 ) d) v = (0, 90 ) I./5. 1 Az alábbi koponenek ieretében adja eg a vektorok nagyágát é irányát! v =1 ; v = 1 a) x y b) Fx= 10 N; F y= 45 N v = 6,1 ; v = 4 c) x y a = 15 ; a =1 d) x y 1

2 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév I./6. Legyenek a (, 7, 6), b (,, 5) é c (6, 0,1). Száíta ki a következőket! a) a b) a+ b d) ( b a) + c g) a e) 4a+ b c ) ea = c) b a f) 6a-b-9c a a A éré ibája I./7. Egy távoli tárgy távolágát zeretnénk egatározni két darab éterrúd é egy érőzalag egítégével. A éterrudakat úgy fektetjük a földre, ogy azok a tárgy felé utaanak é négy végpontjuk egy egyenlő zárú trapézt alkoon (a éterrudak leznek a trapéz zárai). A trapéz felénk eő, illetve túloldali alapját 100 c-nek, illetve 96 c-nek érjük. Milyen eze van az egyik éterrúd felénk eő végétől a tereptárgy? Milyen pontoággal atározatjuk eg a tereptárgy távolágát, a -t tévedetünk a kiebb alap ozának éréekor? Vizgáljuk eg a távolág egatározáánál elkövetett ibát, a a trapéz rövidebb oldalát 96 c elyett 99 c nek érjük! Függvénytani alapieretek I./8. I./9. Egy derékzögű ározög két befogója 5 c é 6 c ozú. Mekkora a ározög átfogója? Jelölje α az 5 c ozú befogóval zeben lévő egye zöget. Száolja ki tgα, ctgα, inα é coα értékét! Egy derékzögű ározögben jelölje a, b é c rendre a ározög két befogóját é átfogóját. Ha a ározög α zögét úgy válaztjuk eg, ogy inα =, fejezze ki coα, tgα é in(90 α ) értékeit. a c I./10. Ábrázolja é jelleezze értelezéi tartoányuk, értékkézletük, enetük é zélőértékeik zepontjából az alábbi függvényeket! a) f x ( ) = x b) f( x) = x+ 5 e) f ( x) = x f) f ( x) = inx i) f ( x) = cox j) f( x) = co( x π) c) f ( x) = 1,5x g) f ( x) = inx k) f( x) = tg x d) f ( x) = x ) f ( x) = inx l) f ( x) = lgx I./11. Adja eg a következő függvények értékkézletét, ajd ábrázolja őket. Van-e közöttük olyan függvény, aely ne folytono a egadott értelezéi tartoányon? Az elő két eetben atározza eg a függvények eredekégét i. a) f( x) = 5x+ 4 ( x [ 5;10] ) 1 b) f( x) = x+ 5 ( x [ ;0] ) e) f( x) = tg x ( x [ 90 ;60 ]) c) f( x) = co x ( x [ 90 ;60 ]) d) f( x) = inx ( x [ 90 ;60 ]) I./1. Egy autó által egtett út egyeneen arányo az eltelt idővel. Tudjuk, ogy az elő 0 perc alatt k utat tett eg. Özeen ekkora utat agyott aga ögött a gépjárű, a 4 óra 0 perccel ezelőtt indult el? Ábrázolja a egtett utat az idő függvényében!

3 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév I./1. Egyetlen állandó nagyágú erő atáát vizgáljuk. A tetek gyoruláa fordítottan arányo azok töegével. Tudjuk, ogy egy 10 kg töegű tetet 0,5 gyoruláal ozgat az erő. Mekkora gyoruláal ozgatja ez az erő az 5 kg, a 8 kg, illetve a 1 kg töegű tetet? Ábrázolja a gyorulát a töeg függvényében! Határérték- é differenciálzáítá I./14. Tanulányozza a következő záorozatokat: ábrázolja a orozat eleeit egy záegyeneen, állapíta eg, ogy leet-e atárértékük a orozatoknak? a) 1 ( n) = 1,,,,,...,,..., 4 5 n b) n 1 ( n) = 1,,,,,...,,..., 4 5 n c) n ( ) 1 ( ) 1 n n = n I./15. Száíta ki a következő függvények differenciálányadoait! a) f ( x) = x d) f x x x x ( ) = g) f( x) = tgx b) f( x) = x+ 4 e) f ( x) = x inx ) f ( x) = e -x c) f ( x) = x f) f ( x) = cox inx i) - f ( x) = e x x j) f( x) = x tgx I./16. Egy függőlegeen felajított tet talajzinttől ért z agaága időben a következő özefüggéel írató le: g z() t = z0 + v0 t t. Az egyenletben a független változót t jelöli, a jobb oldalon zereplő többi ennyiég kontan (paraéter). Határozza eg a tet pályájának legagaabb pontját telje négyzetté alakítáal, ill. a differenciálá felaználáával. Milyen fizikai tartala van a differenciálányado-függvénynek? I./17. A következő példák egyene vonalú pályán ozgó tetek ely idő függvényei, x é t a ely- é időváltozó. Határozza eg a dx x dt = é d x = x dt függvényeket (aol x az x(t) függvényt jelöli). Milyen ozgátípuokat írnak le az egye függvények? a) x() t = a t+ b b) x() t = a t + b t+ c e) x(t)=a in ( ωt π ) -βt f) x(t)=a e coωt c) x() t = A int d) x(t)= A inω t -βt g) x(t)=a e in ( ωt+ ϕ)

4 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév II. KINEMATIKA EGYSZERŰ MOZGÁSTÍPUSOK Egyene vonalú egyenlete ozgá, egyenlete körozgá II./1. Száíta ki, ány éter 1 fényév! (A fény terjedéi ebeége vákuuban közelítőleg k/). II./. A Föld é a Nap közepe távolága 150 illió k. Hány perc alatt érkezik a fény a Napról a Földre? II./. Egy anyagi pont alatt egyene vonalú egyenlete ozgáal az (1,5 ; ) pontból a (0 ; 0,5 ) pontba jutott. Határozza eg a ebeégvektort é a ebeég nagyágát! Mekkora volt a tet elozduláa? II./4. Egyenleteen aladó gépkocikonvojt egy 45 k nagyágú, egyenlete ebeéggel aladó otoro 7 perc alatt előz eg. A otoro vizafelé jövet ugyanakkora ebeéggel perc alatt alad el a gépkocik ellett. Milyen ozú volt a konvoj é ekkora egyenlete ebeéggel aladt indvégig? II./5. Mennyi idő úlva érkezik eg egy ato által kibocátott foton a tőle 450 n távolágra lévő kétatoo olekuláoz? II./6. 5 khz iétléi frekvenciával űködő ipulzuüzeű lézerrel vágatot kézítünk egy olyan intán, aelyet a fényfolt alatt c ebeéggel ozgat egy intatovábbító aztal. Milyen távol leznek egyától a fényipulzuok által létreozott foltok középpontjai? II./7. Egy vezélye anyagot gyűjtő tartályban a folyadékzint agaágának figyeléére ultraangipulzuokat aználnak. Az ultraangipulzuok 0 ebeéggel terjednek a levegőben, a érénél egy kiugárzott é a vizavert jelcoport közötti időkülönbéget atározzák eg. Mennyivel eelkedett a folyadékzint, a az időkülönbég 0 -al cökkent? II./8. Egy autó 5 k-t alad keleti, ajd 8 k-t ézaki, utána k-t nyugati, végül 1 k-t déli irányba. Határozzuk eg az elozdulávektort grafikuan é algebrai úton i! Mekkora az elozdulá nagyága? Mennyit ozdult el az autó ézaki é keleti irányba? Mekkora zöget zár be az elozdulávektor a keleti iránnyal? II./9. Egy 810 k ebeéggel aladó repülőgép 10 k ugarú körpályán ozog. Mekkora a repülőgép zögebeége, keringéi vagy perióduideje, ekkora a centripetáli gyoruláa? Mennyi idő alatt tez eg egy félkört a repülőgép? II./10. Egy gépkoci 108 k ebeéggel alad, kerekeinek átérője 75 c. Mekkora a kerekek zögebeége? Mekkora a kerék pereébe ágyazódott kavic ebeége, aikor a talajjal érintkezik, illetve aikor a talajtól legtávolabb van? II./11. Egy töegpont ozgáegyenletei : x = A in ω t é y = A co ω t, aol A = 4 é ω = π 1. Milyen pályán ozog a tet? Mekkora a ebeége é a gyoruláa az x = elyen? Mekkora erő at rá, a a töege 0,1 kg? II./1. Mekkora az ultracentrifuga tartályának ugara, a benne a axiáli gyorulá 694 g (g a neézégi gyorulá értékét jelöli), a centrifuga percenkénti fordulatzáa pedig ? Egyene vonalú egyenleteen gyoruló ozgá II./1. Egy lejtőn leguruló golyó állandó gyoruláa 5. Mekkora utat tez eg az 1.,.,. é 4. áodpercek alatt? Hogyan aránylanak egyáoz a egtett utak? Mennyivel változik eg az indulá után úlva ért ebeég újabb elteltével? II./14. Egy autóval gyorulái próbát végeztek. Mekkora az átlago gyoruláa az egye eetekben, a a) az autó álló elyzetből indulva 19, alatt érte el a 80 k ebeéget? b) álló elyzetből kiindulva 4,5 alatt tett eg 400 távolágot? c) 15 alatt növekedett a ebeége 60 k ebeégről 90 k -ra? 4

5 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév II./15. A gyoruláal induló gépkoci a 6 ebeéget elérve egyenleteen alad tovább. Milyen ezire jut az indulától záított 8 alatt? II./16. Az alábbi grafikon elezéével jelleezze a tet ozgáát a 0 é a 80 közötti időintervalluban! Kézíte el a ozgá gyorulá idő grafikonját, é atározza eg a tet elozduláának nagyágát! v (/) t () II./17. Egy 54 k ebeéggel aladó vonat 0,4 gyoruláal laul. Mennyi idő alatt cökken a ebeége a kezdeti ebeég egyaradára, é ekkora utat tez eg ez idő alatt? II./18. Mennyi idő alatt ér földet egy 1 agaágban elejtett tet? Milyen ebeéggel capódik a földbe? II./19. 0 ély kútba követ ejtünk. Mennyi idő úlva alljuk a cobbanát? (A ang terjedéi ebeége levegőben 40.) II./0. 0 kezdőebeéggel függőlege irányba feldobunk egy labdát. A kezdeti elyzetéez képet ilyen agaan lez 10 a ebeége? II./1. Egy nyugvó elyzetből induló otoro járű 0 -ig gyoruláal ozog egyene vonalú pályán, ajd 10 nagyágú állandó lauláal továbbra i egyene vonalú pályán alad, aíg eg ne áll. Az elindulától a egálláig ekkora utat tett eg a járű? II./. Egy rézecke folyadékban úgy ozog egyene pályán, ogy éréi adataink zerint ebeége v = t ( ), aol t-t áodpercben kell érni. A kezdőponttól záítva ilyen távol lez úlva a rézecke, a álló elyzetből indul? II./. Egy tet ebeége a vt () = + dt egyenlettel adató eg, aol d=0,6. Hol lez a tet a t = időpillanatban, a ebeége indvégig páruzao az y tengellyel, é kezdetben (t = 0 ), a P( ; 4, ) pontban volt? Hajítá, ne egyenleteen gyoruló ozgá, gyoruló körozgá II./4. Egy zurdok zéléről vízzinteen egy követ elajítunk 0 kezdőebeéggel. Hol lez a tet úlva, feltételezve, ogy elég ély é elég zéle a zurdok? II./5. Egy kici férézecke lefelé ozog egy folyadékban, elyben a gravitáció ezőn é a közegellenálláon kívül egy ágnee ező i at rá úgy, ogy a elyzetét az y = (15t t) özefüggé írja le (t-t áodpercben érjük). Határozzuk eg a rézecke elozduláát a t 1 = é a t = 4 között, továbbá a rézecke ebeégét a t = 5 időpillanatban (elég közelítő egoldát kereni)! II./6. Egy levegővel ajtott ultracentrifuga egyenleteen gyorulva a axiáli, percenkénti fordulatzáát 0 alatt éri el. Hány fordulatot tez eg eközben? 5

6 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév III. A TÖMEGPONT DINAMIKÁJA Egyene vonalú ozgá III./1. Egy 80 kg töegű eber talpára az induló lift padlója 700 N erővel at. Mekkora gyoruláal é ilyen irányba ozog a lift? III./. 70 kg töegű eber áll a liftben. Mekkora erőt fejt ki a lift padlójára, aikor a lift egyenleteen ozog, valaint aikor gyoruláal ozog lefelé, illetve felfelé? III./. Egy 1 tonná vontatóajó áro, egyenként 0 tonná uzályt vontat állandó, 4 nagyágú ebeéggel. A vontatóajónak le kell győznie a víz ellenálláa iatt keletkező erőket (ez az erő az egye uzályok eetén kn, íg a vontatóajó eetén 1,5 kn nagyágú). Ha az utoló uzály vontatókötele elzakad, ekkora gyoruláal alad a vontatóajó? III./4. Mennyire laítja a N nagyágú fékezőerő az 100 kg töegű gépkocit? III./5. Egy 0 -o ajlázögű, úrlódáente lejtőn felfelé 8 ebeéggel elindítunk felfelé egy tetet. Mekkora utat tez eg vizaérkezééig a tet? Mennyi idő telik el eközben? III./6. Egy 1, kg töegű ellökött tet 5 alatt áll eg, iközben a vízzinte útteten 4,5 utat tez eg. Mekkora erők atottak a tetre a ozgáa orán? Mekkora ebeéggel löktük eg, é ekkora a cúzái úrlódái együttató a tet é az úttet között? III./7. Egy teerautó vezélye anyagot tartalazó ládát zállít. A láda é a teerautó platója között a tapadái úrlódái együttató 0,. Legfeljebb ekkora lauláal fékezet a járű, ogy a láda ne cúzon eg? III./8. Egy 0 -o ajlázögű lejtőre fel akarunk úzni egy 40 kg töegű tetet. A lejtő íkjával páruzao irányban ekkora erőt kell kifejtenünk, a a) a úrlódá elanyagolató, b) a cúzái úrlódái együttató 0,4. III./9. Dezkalapra egy aábot elyezünk. A dezka egyik végét laan eelve azt tapaztaljuk, ogy a aáb akkor kezd lefele cúzni, aikor a dezkának a vízzinteel bezárt zöge elérte a 0º-ot, é ugyanezen zög ellett 4 utat 4 alatt tez eg. A egfigyelt adatok alapján atározza eg a dezka é a aáb közötti tapadái é cúzái úrlódái együttatót! Körozgá III./10. Mekkora ugarú körben fordulat eg egy ugárajtáú repülőgép, aelynek ebeége 1500 k, a a fellépő centripetáli erő ne aladatja eg a neézégi gyorulá 10,-zereét? Mekkora a 75 kg-o pilótára ató centripetáli erő? III./11. Geotacionáriu pályán lévő űoldak ilyen távol vannak a Föld felzínétől? III./1. Egy 100 zéle folyó két oldalát doború körív alakú íd köti öze. A íd által egatározott körzelet agaága 10. Mekkora axiáli ebeéggel aladat át a ídon egy 600 kg töegű autó úgy, ogy a íd tetején ég ne eelkedjen el az úttól? III./1. Egyenlete körozgát végző tet ebeége, zögebeége Hány fordulatot tez eg 1 alatt? Mekkora a tet töege, a 15 N nagyágú erő zükége a körozgá fenntartááoz? III./14. Síko aztalon egy rugóoz kötött korong ozog, éppen körpályán. A korong egy ki darabja lereped (úgy, ogy a két darab ne löki eg egyát). Hogyan ódoul a pálya: a körtől kifelé, vagy befelé kanyarodik a korong? III./15. Hogyan változik a körpályán tartáoz zükége erő, a a körpályán ozgó tetet kiceréljük egy 1,5- zör nagyobb űrűégű, de azono térfogatú áik tetre? III./16. Egy 5,1 kg töegű golyót,4 ozú fonálra függeztünk. Az így kapott ingát a függőlege elyzettől α zöggel kitérítve, vízzinte íkban körozgára kéztetjük (kúpinga). Mekkora zöget zár 6

7 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév be a fonál a vízzinteel, a a fonálerő 60 N? Mekkora a golyó kerületi ebeége? Mekkora a perióduidő? kg III./17. Mekkora erő at egy vízben lévő 1 l térfogatú, 1500 űrűégű zecére, a a víz fordulatzáal forgó tartályban van, é a zece a forgátengelytől c távolágban lebeg? Erők özeadáa é koponenekre bontáa III./18. Egy vízzinte elyzetű, ozú dezka a közepén legfeljebb 60 kg töegű tetet tud tartani anélkül, ogy lezakadna. Milyen aga lejtőt kell kézíteni belőle, ogy a közepére elyezett 75 kg-o tetet elbírja? III./19. Az ábrán egy tet két kötélen függ. Az A kötélben ébredő erő N. Száíta ki a B kötélben ébredő erőt é a tet töegét! III./0. Egy vízzinteen kiúzott kötélen függ egy lápa. A kötélben ébredő erő ogyan függ annak belógáától? 7

8 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév IV. TÖLTÖTT RÉSZECSKE SZTATIKUS ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES TÉRBEN IV./1. IV./. Két pozitív pontzerű Q é 4Q tölté egyától L távolágra van rögzítve. Hol kell elelyezni egy áik pontzerű Q töltét, ogy egyenúlyban legyen? Mekkora erő at két proton, ill. két neutron között, a távoláguk 1 n? (Q el = -1, C, γ=6, N, k= N, neutr =1, kg) kg C IV./. Két pontzerű tölté közötti távolág aradára cökken. Hogyan változik a köztük ató erő? (SZE.) IV./4. Az óra zálapján az egéz órákat jelölő pontokra -q, -q, -q,..., -1q töltéeket elyezünk el. Hány órakor utat a kiutató a középpontban uralkodó térerőég irányába? IV./5. IV./6. IV./7. 90 c ozú zigetelű rúd két végén azono előjelű, 10-8 C é C nagyágú töltéek vannak. A rúdra fűzött töltött gyöngy cúzáenteen ozogat a két végpont között. Mely pontban van egyenúlyban a gyöngy? Mikor tabil é ikor intabil az egyenúlyi elyzet? (SZE 1.) Egyenlő oldalú ározög cúcaiban azono előjelű é egyenlő nagyágú Q töltéek vannak. Mekkora é ilyen előjelű tölté van a ározög zietriacentruában, a ind a négy tölté egyenúlyban van? Két egyától é a külő környezettől elzigetelt vékonyfalú, fégöb koncentrikuan van elelyezve. A belő göb ugara 5 c, a külő göb ugara 10 c. A belő é a külő göbnek i C többlettöltée van. A göbök közelében ninc á tölté, e féfelület. Határozzuk eg a két göbön elelyezkedő töltéek elektroo terét! a. Mekkora tölté van a göbök külő é belő felületén? b. Mekkora a térerőég a göbök külő é belő felzínénél? c. Ábrázolja grafikonon az elektroo térerőég nagyágát a göbök középpontjától ért távolág függvényében! IV./8. IV./9. Síkkondenzátor leezei 1 c ugarú körlapok. A leezek távolága 0. A kondenzátorra kapcolunk egy 4 V fezültégű telepet, ajd a leezek közé betolunk egy töltetlen, é ugyancak 1 c ugarú, vatag féleezt, aelyet az egyik oldalon 10, a áik oldalon 6 vatag levegőréteg válazt el a kondenzátor leezeitől. a)mekkora lez a térerőég a betolt leez egyik é áik oldalán? b)mekkora fezültég alakul ki a betolt leez é a kondenzátor egyik, illetve a áik leeze között? A levegő dielektroo állandója 8, A. (felv. 1991) V Egy katódugárcő eltérítő leezeinek adatai: l= c, d= 0,5 c. Az ernyő távolága a leezek végétől: L= 19 c. A gyorító fezültég 1000 V, az eltérítő fezültég 100 V. Az elektronok az eltérítő leezpároz a leezekkel páruzaoan, azoktól egyenlő távolágra érkeznek. a) Mekkora ebeéggel érkeznek az elanyagolató kezdőebeégű elektronok az eltérítő leezpároz? b) Mekkora az elektronok ebeégének a leezpárra erőlege özetevője akkor, aikor kilépnek az eltérítő leezek közül? c) Mekkora az ernyőn ért D kitéré? Az elektron fajlago töltée: 1, C/kg. (felv. 1998) IV./10. Egy elektron 10 4 k/ ebeéggel lép be 6000 V/ térerőégű oogén elektroo térbe, az erővonalakra erőlegeen. Mekkora lez a ebeége 5 c út egtétele után? (SZE 6.1.) IV./11. Elektroo térben két pont között 0,5 V potenciálkülönbég van. Mennyivel változik eg a 10 5 C/kg fajlago töltéű rézecke kezdeti 500 / ebeége, a egyik pontból a áikba kerül? (SZE 6..) IV./1. Hoogén elektroo tér térerőége 1000 N/C, iránya függőlegeen felfelé utat. Ebbe a térbe egy 10 g töegű, 10-5 C töltéű golyót elyezünk. Mekkora a golyó gyoruláa? Mekkora lez a ebeége után? (SZE 9.) 8

9 Fizika érnököknek záolái gyakorlat / I. félév IV./1. Két egyától l távolágra levő, egyenlő ugarú vezető göbön Q 1 = 10-9 C illetve Q = C azono előjelű tölté van. A göböket özeérintjük, ajd iét l távolágba elyezzük egyától. Igazoljuk, ogy a göbök ot nagyobb erővel atnak egyára, int özeérintéük előtt. IV./14. Protonok é deuteronok (deutériu ionok) egy vákuu-karába lépnek, aol oogén ágnee tér van. Minden rézeckét ugyanazzal a potenciál különbéggel gyorítottak, így azok ozgái energiája azono. Ha az ion-ugár a ágnee indukcióra erőlegeen lép a karába, akkor a protonok körpályájának ugara 15 c. Mekkora a deuteronok pályájának ugara? (Budó 004/05) IV./15. Időben állandó 0,0 V indukciójú oogén ágnee ezőbe lövünk be 800 V fezültéggel felgyorított elektronokat. Az elektronok ebeégének iránya erőlege az indukcióvektor irányára. a. Mennyi idő alatt térül el az elektronok ebeégének iránya 0º-kal? b. Mekkora erőégű elektroo ezővel leetne elérni, ogy a belőtt elektronok a két ező együtte atáára irányváltoztatá nélkül aladjanak? Az elektron töltée: 1, C, töege: kg. IV./16. Ha egy q töltéű, töegű, v ebeégű rézecke B indukciójú ágnee térbe jut, akkor rá F = qv B ágnee Lorentz-erő at. Milyen ozgát végez, a a rézecke v 1 kezdeti ebeége erőlege az indukcióvektorra? Határozza eg a jellező adatokat! IV./17. Egy töltött rézecke kezdeti ebeége erőlege a oogén ágnee tér indukcióvektorára. ilyen görbén ozog a rézecke é elyek ennek a görbének a paraéterei, a a rézecke kezdeti ebeége 0000 /, az indukcióvektor nagyága 10 - T, a fajlago tölté pedig 1, C/kg? (SZE.) 9