A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai. II. kategória

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 008/009. tanévi IZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai II. kategória A dolgozatok elkészítéséez inden segédeszköz asználató. Megoldandó az első áro feladat és a 4./A és 4./B sorszáú feladatok közül egy szabadon választott. Csak 4 feladat egoldására adató pont. Ha valaki 5 feladat egoldását küld be, a 4./A és 4./B feladat közül a több pontot elérő egoldást vesszük figyelebe. Minden feladat teljes egoldása 0 pontot ér. Részletes, egységes pontozás ne adató eg a feladatok terészetéből következően, ugyanis egyegy elyes egoldásoz több különböző, egyenértékű elyes út vezetet. A feladat nuerikus végeredényével egközelítően azonos eredényt kiozó egoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, aennyiben elvileg elytelen úton jut el. izikailag érteles gondolatenet estén a kis nuerikus iba elkövetése iatt (a részfeladat terjedelétől függően) pont vonató le.. Mennyi ideig esett az 5 /s kezdősebességgel vízszintesen elajított test, aely a kidobás elyétől 0 -re került? Megoldás: Adatok: α = 0, v 0 = 5 /s, r = 0 A test elozdulás-vektorának ossza a két koordinátájának négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel egyenlő: r = r + r = x + y, x y (a az origóból dobtuk el a testet). Ezek a koordináták az idő függvényében felíratók, aivel a egadott elozdulás: r = ( v 0t) + gt. Rendezés után: 4 g t + 4v t 4r 0 = 0. Ennek egoldása t -re (csak a pozitív egoldást egtartva):

2 4 4v0 + 6v0 + 6g r v 0 gr t = = +. 4 g g v0 Innen az eltelt idő: 5 4 v 0 g r s 00 s 400 t = + = + =,88 s g 0 65 s v 0 s Ellenőrzés: x = 5 88, s = 94, s y = 5 88, s = 7, 67 s r = x + y = 9, 4 + 7, 67 = 400, 59 = 0, A teljesen őszigetelő falú gáztartályt őszigetelő, könnyen ozgó és rögzítetlen dugattyú osztja ketté, éspedig kezdetben úgy, ogy a dugattyútól jobbra eső gáztérfogat kétszerese a baloldalinak. Mindkét térfogatrészben ugyanaz a gáz van, kezdetben ugyanakkora őérsékleten és ugyanakkora nyoáson. A baloldali részt elanyagolató térfogatú elektroos fűtőszállal leet elegíteni. A fűtőszállal a baloldali gázt felelegítjük annyira, ogy térfogata kétszeresére nő. Hányszorosa lesz a baloldali gáz új őérséklete a jobboldali gáz új őérsékletének? Megoldás: Legyen a kiinduló közös őérséklet T, a indkét oldali nyoás p, a baloldali térfogat V. Mindkét oldali gázra felírjuk az egyesített gáztörvényt, illetve a jobboldali részre adiabatikus változást leíró Poisson-egyenletet. Teát a baloldali részre: p V T p V =, T aol a kettes index a felelegítés utáni állapotjelzőket jelöli. A jobboldali részre egyrészt p V p T TV =, aol T a jobboldali gáz adiabatikus felelegedése következtében beálló őérséklete, ásrészt

3 aol κ a tartályban lévő gáz c c p V κ κ ( V ) p p =, V κ ányadosa. Innen p = p adódik. Ezt a baloldali gázrész κ + egyesített gáztörvényébe beírva, T -re azt kapjuk, ogy T = T. Hasonlóan a jobboldali gázrész egyesített gáztörvényéből T őérsékletre T κ = T adódik. A két utóbbi eredényt egyesítve a feltett kérdésre adandó választ: κ + T T = = = κ T T vagyis T = 4T. Ha teát a baloldali gázrészt annyira felelegítjük, ogy térfogata kétszeresére nő, ás szóval térfogatot cserél a jobboldalival, akkor új őérséklete négyszerese lesz a jobboldali rész beálló őérsékletének. 4,. Vízszintes sínen könnyen gördülő M = 6 kg töegű kocsiról vékony szálon = 4 kg töegű teer lóg le az ábra szerint. A kocsioz kötött, csigán átvetett fonál ásik végére = 8 kg töegű neezék van erősítve, aelyet kezdetben nyugaloban tartunk. A neézségi gyorsulás M g = 0 s. a) Mekkora szöget zárjon be a teer fonala a függőlegessel, ogy a teret és a neezéket egyszerre elengedve ez a szög a ozgás során végig állandó aradjon? b) Mekkora erőt fejtenek ki a fonalak? (Az indításkor a fonalszakaszok egyenesek.) Megoldás. Adatok: M = 6 kg; = 4 kg; = 8 kg. a) Ha a fonál iránya ne változik, a kocsi és a teer egyetlen erev rendszernek tekintető, így gyorsulásuk egegyezik. A ozgásegyenlete a teerre: g K a =,

4 íg a kocsira + neezékre: K = ( M + ) a. (üggőleges irányban a kocsi ne gyorsul.) A fenti két egyenletből a gyorsulásra: M K a + M + = g. adódik. Továbbá aint az az ábráról látató: gtg ϕ = a. g K t ϕ a K g Innen ϕ a 8 4 g + M tg = = = =. Így a keresett szög nagysága: 4 ϕ = arctg 4 9 A neezékre ató fonálerő: ( ) A teerre ató fonálerő pedig ( M + ) ( + ) M + + ( + + ) kg K = M + a= g = 0 44,4 N kg s K t g = = = cosϕ cos 4 4 kg 0 s 4,8 N. 4/A. A Q elektroos töltésű, R sugarú, vízszintes síkú karika szietriatengelyén lévő szigetelőanyagból készült rúdon súrlódás nélkül ozogatnak gyöngyszeek. 4

5 a) A karika középpontjától essziről lassan ozgatunk lefelé egy q elektroos töltésű gyöngyöt. Mekkora a gyöngy töege, a a karika közepétől távolságra ár ne kell tartanunk? Milyen jellegű a gyöngy egyensúlyi elyzete? b) Egy ásik alkaloal a karika középpontjától lassan ozgatunk felfelé egy ásik gyöngyöt, aelynek elektroos töltése szintén q. Mekkora ennek a gyöngynek a töege, a a karika közepétől távolságra ár ne kell eelnünk? Milyen jellegű a gyöngy újabb egyensúlyi elyzete? c) Az töegű, q elektroos töltésű gyöngynek van-e egyensúlyi elyzete a karika szietriatengelyén? Ha van, akkor ol? Ha nincs, akkor iért nincs? Adatok: Q = 0 6 C, R = 0c, q = 0 7 C, =0 c, = c, g = 4, g = 0 s. Megoldás: Először adjuk eg az elektroos töltéssel rendelkező karika elektroos terét a szietriatengelye entén. Osszuk fel a kör kerületét sok pici, Δ Q elektroos töltésű részre. A karika középpontjától távolságra az elektroos térerősséget egkapjuk a Δ Q elei töltések által okozott ΔE elektroos térerősségek Δ E y függőleges koponenseinek összegeként: ΔQ E( ) k R + R + = Az összegből eeljük ki az állandó tényezőket: E ( ) ( R + ) k = ΔQ A ΔQ összeg a kör entén Q-val egyenlő. Így E ( ) = k ( R + ) Q. A agasságban lévő q elektroos töltésre ató elektroos erő felfelé utat, nagysága: ( ) = k Q q. R + ( ) 5

6 Ez az erő a = 0, valaint a = elyen nulla értéket, közben pozitív értéket vesz fel. Vizsgáljuk eg, ol veszi fel a legnagyobb értékét?. ódszer: A -x ( x sokkal kisebb int ) elyen az elektroos erő értéke: Vizsgáljuk külön az: * = ( x) = k x ( R + ( x) ) Q q. ennyiséget. Ha x sokkal kisebb int, akkor után: Kicsi x esetén asználató a ( ) ( ( ) ) ( ) N= R + x = R + x+ x x elanyagolató az összegben, valaint a kieelés N= ( R + ) x R + α x α x közelítés. Így ( ) N = R + + x R +. * A axiu elyen az / ányados értéke kis x értékekre ne tartalazat x-ben lineáris tagot, csak x -tel arányosat. Írjuk fel az. * = k Q q ( x) ( x) ( R + ) ( R + ) k Q q ányadost, ajd asználjuk fel a fenti közelítést. Ekkor x-ben lineáris tagokig bezárólag * x + x. R + Így annak feltétele, ogy ne legyen x-ben lineáris tag az, ogy = 0. + R Ebből értéke könnyedén egkapató: = R. Teát, a = R = 7,07 c agasságban a gyöngyre ató erő axiális, értéke 6

7 ax = k R Q q. Az adatokat beelyettesítve: ax = 0,046 N.. ódszer: A axiu elyet egkapjuk differenciálszáítással is. Milyen esetén lesz az első derivált nulla? / / ( ) = ( ) k Q q = k Q q ( + ) R + R ( ) R + ( R + ) Elég azt vizsgálni, ogy a szögletes zárójelben lévő kifejezés ilyen esetén nulla: ( ) ( ) R = R + +. Az egyszerűsítések és a leetséges összevonás után: = R adódik. (Az * függvény ásodik deriváltja a = R elyen negatív, ai azt jelenti, ogy ezen a elyen valóban axiua van a függvénynek.) 0,05 (N) 0,00 0,05 0,00 0,05 0,00 0,005 0,000-0,005-0,0 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 () Az ( ) = 0,0009 ( 0,0+ ) elektroos erő- ely grafikon Ha a gyöngy olyan elyen van egyensúlyban, aol 0<< R, akkor az elektroos erő elyfüggvénye növekedő, ezért az egyensúlyi elyzet labilis. (Ha a testet kicsit lefelé elozdítjuk, akkor az elektroos erő csökken, így a test tovább esik lefelé.) Ha a gyöngy olyan elyen van egyensúlyban, aol R <, akkor az elektroos erő ely- függvénye csökkenő, ezért az egyensúlyi elyzet stabilis. Ilyen egfontolások után válaszoljunk a feladat kérdéseire: 7

8 a) A karika középpontjától távolságra lévő gyöngy egyensúlyban van, a rá ató elektroos-, és neézségi erő nagysága egyenlő: k Q q = g. ( R + ) Ebből kifejezető: k = Q q = g ( R + ),8 g (A q töltésű gyöngy töege =,8 g.) Mivel a fenti egyenlet egoldása > R, ezen a elyen az elektroos erő elyszerinti függvénye csökkenő, ez a ely stabilis egyensúlyi elyzet. b) A karika középpontjától távolságra lévő gyöngy egyensúlyban van, a rá ató elektroos-, és neézségi erő nagysága szintén egyenlő: Ebből kifejezető: (A q töltésű gyöngy töege =,7 g.) k Q q = ( R + ) k = Q q = g ( R + ) g., g Mivel ekkor < R, ezen a elyen az elektroos erő elyszerinti függvénye növekedő, ez a ely labilis egyensúlyi elyzet. c) Az = 4 g töegű gyöngyre ató 0,04 N neézségi erő nagyobb az elektroos erő ax = 0,046 N legnagyobb értékénél. Ezért ennek a gyöngynek ne lesz egyensúlyi elyzete. 4/B. Egy oogén anyagú, négyzet alapú, egyenes asáb indkét kisebb oldaléle 0 c, a nagyobbik 0 c. A téglatest egyik csúcsával lefelé elelyezve ne csúszik o le a 0 -os lejtőn. a) Legalább ekkora a lejtő és a test között a tapadási súrlódási együttató? 8

9 b) A testet a kisebb lapjával a lejtőre elyezzük. A elyzete a lejtőöz képest véletlenszerű. Az elengedése után ekkora valószínűséggel borul fel a test? (A véletlenszerű lejtőre elyezés lényege a következő: A lejtőre rajzolunk egy kört, elynek átérője egegyezik a test kisebb lapjának átlójával. A asábot inden alkaloal úgy elyezzük a lejtőre, ogy az alsó négy csúcsa a körre illeszkedjen, valaint bárely csúcsa ugyanakkora valószínűséggel kerüljön a körvonal bárelyik c osszú ívére.) Megoldás: o Adatok: α = 0, a = 0 c a) A test a lejtőn egyensúlyban van. Ennek feltétele, ogy a testre ató erők eredője nulla. A lejtőre erőlegesen két erő at a testre: a neézségi erő lejtőre erőleges g cosα koponense, és a lejtő által kifejtett K kényszererő, aelyek ellentétes irányúak és azonos nagyságúak: K = g cosα. A lejtővel páruzaosan szintén két erő at a testre: a neézségi erő lejtővel páruzaos g sinα koponense, és a lejtő által kifejtett tapadási erő. Egyensúlyban tap = g cosα. A szükséges tapadási súrlódási együttató legkisebb értékét akkor kapjuk, a a testre a tapadási erő axiua at, azaz tap = μ 0 ny. A fenti egyenletek, valaint az ny = K feltétel figyelebevételével adódik: μ0 = tg α = 0,58. A tapadási súrlódási együttató legalább 0,58 kell legyen. b) A lejtőre elyezett téglatest akkor ne billen eg, a a rá ató áro (ne páruzaos) erő atásvonala egy pontban etszi egyást. Az tap tapadási erő és a K kényszererő a asáb lejtővel érintkező lapjának valaelyik pontjában etszi egyást. Ezért a egbillenésnek az a feltétele, ogy az g neézségi erő atásvonala a négyzet alakú alaplapon kívül esse a lejtőt. A asáb középpontja a = 0 c-re van a lejtő síkjától. A neézségi erő ebben a pontban at a testre. Hatásvonala r = a tgα = 0, 58 a -ra döfi a lejtőt a asáb lejtőre illeszkedő lapjának középpontjától. Rajzoljuk eg a közös középpontú a oldalú négyzetet, és az r sugarú kört. A asáb akkor borul fel, a a neézségi erő atásvonala a négyzet alakú alaplapon kívül etszi az r sugarú kört. Határozzuk eg az ábrán jelölt β szöget a a cos β = = = β = r a tgα o 0 9

10 β 8 β A felborulás valószínűsége: w = = = 66,7%. Ez azt jelenti, ogy az esetek / részében a o 60 asáb felborul, / részében egáll. 0

11 Oktatási Hivatal Pontozási útutató II. kategória:. feladat Az elozdulás nagyságának a keresett idővel való elyes kifejezése: 8 pont A t ben vegyes ásodfokú egyenlet elyes felírása: 4 pont Az egyenlet t -re való elyes egoldása: pont Az egyenletből t reális értékének elyes kiszáítása: 6 pont. feladat A baloldali részre a gáztörvény felírása: 4 pont A jobboldali részre a gáztörvény felírása:4 pont A jobboldali gáz adiabatikus egyenletének felírása:4 pont A jobboldali rész őérsékletének egadása: pont A baloldali rész őérsékletének egadása: pont A két őérséklet aránya: pont. feladat Annak feliserése, ogy a kocsi és a teer a folyaat alatt erev rendszerként viselkedik: 5 pont A két ozgásegyenlet elyes felírása: 4 pont A gyorsulás-nagyságok egatározása: pont A keresett szög egatározása: 5 pont A két fonálerő elyes egatározása egyenként - pont 4/A feladat A karika szietriatengelyén lévő gyöngyre ató elektroos erő egadása a karika középpontjától ért távolság függvényében: pont Az elektroos erő ely függvény jellezése, a axiu elyének és értékének egadása: 4 pont Az egyensúlyi elyzet ilyenségének (stabilis, labilis) jellezése a ely függvényében: pont a) Az egyensúlyi elyzet dinaikai feltételének egfogalazása: pont A gyöngy töegének kifejezése és nuerikus egadása: pont Az egyensúlyi elyzet jellegének egadása indoklással: pont b) Az egyensúlyi elyzet dinaikai feltételének egfogalazása: pont A gyöngy töegének kifejezése és nuerikus egadása: pont Az egyensúlyi elyzet jellegének egadása indoklással: pont c) Annak feliserése, ogy a gyöngyre ató neézségi erő nagyobb, int az elektroos erő legnagyobb értéke: pont Az egyensúlyi elyzet iányának kiondása: pont

12 4/B feladat a) A lejtőre elyezett test egyensúlyának dinaikai feltétele: pont A tapadási súrlódási együttató legkisebb értékének egatározása: pont b) A téglatest egbillenésének feltétele: 4 pont A neézségi erő atásvonala által a lejtőből kietszett pont és a asáb lejtőre illeszkedő lapjának középpontja közötti r távolság egatározása: 4 pont A téglatest felborulását jellező β szög egatározása: 4 pont A felborulás valószínűségének egadása: 4 pont.