Oktatási Hivatal. az energia megmarad: Egyszerűsítés után és felhasználva a tömegek egyenlőségét, valamint, hogy u A0 = 0 :

Átírás

1 Oktatái Hiatal A 01/013 tanéi FIZIKA Orzágo Középikolai Tanulányi Vereny áodik fordulójának feladatai é egoldáai I kategória A dolgozatok elkézítééhez inden egédezköz haználható Megoldandó az elő két feladat é a 3/A é 3/B orzáú feladatok közül egy zabadon álaztott Cak 3 feladat egoldáára adható pont A 3/A é 3/B feladat közül a több pontot elérő egoldát ezük figyelebe 1 Két, egyenként =,4 kg töegű, könnyen gördülő kikoci áll egy onalban egy ízzinte felületen Az egyik koci (A) tetején az ábra zerint egy ugyancak töegű kiebb téglatet (C) nyugzik egy D = 1,0 N/ direkció erejű könnyű rugónak táazkoda A tetek között a úrlódá elhanyagolható Ennek a kocinak a rajta leő tettel együtt 0 = 0,5 / nagyágú ebeéget adunk, aellyel az a nyugó kocinak (B) ütközik Az ütközé tökéleteen rugala é pillanatzerű Az ütközé után a téglatet előre cúzik a) Milyen táol lez egyától a két koci abban a pillanatban, aikor a rugó a legröidebb? b) Mekkora ebben a pillanatban a tetek gyoruláa? Megoldá a) Az üközé pillanatzerűége iatt cak a két koci között lép fel ütközékor kölcönhatá, hizen úrlódá ninc, a rugó pedig cak akkor kezd erőt kifejteni, aikor ár alaelyet özenyoódott Az egyenlő töegek iatt pedig a két koci között ebeégcere történik A közetlen ütközé utáni kezdőebeégeket jelöljük u 0 -lal! Ezek tehát: u 0, u A0 B0 0 0,5, uc0 0 0,5 Ettől kezde a B koci egyenlete ozgáal, u B = 0,5 / ebeéggel táolodik az ütközé helyétől, é az A koci az ütközé után egy pillanatra egáll A C tet kezdőebeége ütközé után akkora, aekkoráal érkezett, intha ei e történt olna Az AC rendzer lendülete i, echanikai energiája i egarad A toábbi ozgá orán a C tetet fékezi a rugó, az A kocinak pedig nöeli a ebeégét Aikor a rugó a legröidebb, az A é a C tet ebeége egy pillanatra egegyezik Az ehhez a pillanathoz tartozó, az ütközétől záíta eltelt időt é elozduláokat kell kerenünk Az A koci é a C ki tet együtteére: a lendület egarad: AuA0 Cu C0 ( A C ) u k az energia egarad: CuC0 ( A C ) uk D( l ) Egyzerűíté után é felhaznála a töegek egyenlőégét, alaint, hogy u A0 = 0 : 01/013 1 FIZIKA OKTV forduló

2 uc0 u k; (1) D uk ( l) uc0 () Itt u k az A é C tet közö pillanatnyi ebeége, áként a töegközéppontjuk ebeége Ennek nagyága (az egyenlő töegek iatt): u k = 0 / = 0,5 / (1)-et ()-be íra: D,4 kg uk ( l) 4 uk l uk 05 0,5 D N 1, A koci é a ki tet töegközéppontja egyenlete ebeéggel halad, é a töegközépponti rendzerben indkét tet azono perióduidőel haroniku rezgét égez Ebben a rendzerben a rugó középpontja áll, agyi a rugó két, egyenlő hozú zakazra bontható, ainek köetkeztében a perióduidőt eghatározó direkció erő kétzeree a telje hozúágú rugóénak Az ütközétől ére a rugó legröidebb hozának felételéig eltelt idő a perióduidő negyedréze, tehát a kérdée pillanat az ütközét köetően t = T/4 idő úla köetkezik be: t T 1, 4 kg 1, D N 1, Ezalatt az idő alatt a eglökött B koci egyenlete ozgáal SB ubt 0,5 1,57 0, ,5 c utat tez eg, íg az A koci (ha a rugó ne nyoódna öze a töegközéppont útját tenné eg, iel azonban a rugó özenyoódik, annyial keeebbet, aennyi a rugó deforációjának a fele): l l 0,5 SA Sk ukt 0, 5 1,57 0,145 14, 5 c A két koci táolága tehát D SB SA 0,785 0,145 0, c b) A B koci gyoruláa 0, az A koci é a C tet gyoruláa ellentetten egyenlő, független a ozgáállapottól Az A koci haladái irányban, a ki tet azzal ellentéte irányban gyorul Abzolút értékük: a N 1, 0,5 F D l 0,5,4 kg (Megjegyzé: íg a rezgéidő eghatározáánál D-el kellett záolni, addig a gyoruláok záítáához a telje D-t kellett figyelebe enni, hizen a ozgáegyenlet zerint a F /, r é a rugóerő cak a D-től é l-től függ) Egy dugattyúal ellátott tartályban 0,1 liter íz é 1 liter ízgőz található 100 C hőérékleten Ezzel a rendzerrel a köetkező körfolyaatot égezzük: (1) Izoterikuan egnöeljük a térfogatot 1,1 literről,1 literre () Adiabatikuan tágítjuk a rendzert, aíg hőéréklete eléri a 95 C-ot (3) Izoterikuan özenyojuk a rendzert egy egfelelő térfogatra (4) Adiabatikuan özenyojuk a rendzert a kiindulái állapotba a) Vázoljuk a körfolyaatot p-v diagraon! b) Határozzuk eg az állapotjelzők értékeit a körfolyaat neezete pontjaiban! c) Adjuk eg a körfolyaat hatáfokát! 01/013 FIZIKA OKTV forduló

3 Útutatá: A záítá orán égezhetünk ézerű közelítéeket úgy, hogy eredényeink pontoága hozzáetőlegeen 10 %-o hibahatáron belül aradjon A egoldához zükége adatokat együk Függénytáblázatból Miel e a hőéréklet áltozáa, e a nyoá áltozáa ne különöebben nagy, ezért a körfolyaat egye zakazait a p V diagraon egyene zakazokkal közelíthetjük Megoldá a) A körfolyaat a p V diagraon egy parallelograa, elynek cúcai a köetkezők: p 1 = 101,3 kpa p = 101,3 kpa p 3 = 84,5 kpa p 4 = 84,5 kpa V 1 = 1, V =, V 3 = 3, V 4 =, Ezeket az adatokat a köetkező egfontoláok alapján határoztuk eg: Kiindulákor a tartályban íz é ízgőz található egyenúlyi állapotban 100 C hőérékleten Ez azt jelenti, hogy a nyoá 1 at = 101,3 kpa 10 5 Pa Függénytáblázatbeli adatokat haznála egállapíthatjuk, hogy kezdetben a gőz töege 0,6 g, ert 100 C-on a telített ízgőz űrűége 0,5977 kg/ 3 0,6 g/l, íg a íz töege 95,8 g, ert 100 C-on a íz űrűége 958,38 kg/ g/l b) Az (1) () tágulái folyaat orán necak a hőéréklet, hane a nyoá i állandó, hizen a telített ízgőz nyoáa egézen addig 1 at arad, aíg a telje ízennyiég gőzzé ne álik Az izoteriku tágulá égén 1, g gőz lez a tartályban, hizen a térfogat 1 literrel nő eg, tehát 0,6 graal keeebb, agyi 95, g íz arad A íz térfogatának 6 ezreléknél i keeebb cökkenéét elhanyagolhatjuk 95 C-on a rendzer nyoáa a Függénytáblázat adatai alapján 84,5 kpa értékre cökken Ekkor a gőz űrűége nagyjából 0,5 g/liter, a íz űrűége pedig 96 g/liter, a íz é a gőz telje töege az előzőek alapján 96,4 g Ez okféle ódon alóulhat eg, tehát önagában a töegegaradából ne lehet eghatározni a rendzer térfogatát az adiabatiku tágulá után Célraezető izont az elő főtétel alkalazáa A () (3) adiabatiku tágulá orán a rendzer által égzett unkát egy trapéz területeként záíthatjuk ki, ai egyenlő lez a rendzer belő energia áltozáának abzolút értékéel: ( V3 V ) ) ( p p 1 cíz íz T Lf ( V V ) gőz 3 Az egyenlet felíráakor záo közelítét haználtunk A bal oldalon feltettük, hogy a () (3) átalakulá a p V diagraon egyeneel közelíthető (ezt jaaolta a feladat útutatáa) A jobb oldalon elhagytuk a rendzerben léő gőz belő energiájának áltozáát, ert a gőz töege a ízhez képet kiciny, toábbá a gőz fajhője nagyjából harada a íz fajhőjének A íz fajhője i áltozik kié a hőéréklettel, de erre néze nincenek könnyen elérhető adatok, ezért a íz fajhőjét 4, J/(g C) értéknek tekintettük A folyaat orán áltozik a íz ennyiége, áltozik a íz forráhője, é a keletkező gőz űrűége i Ezek ne túlágoan nagy áltozáok, ezért inden eetben a kezdő é a égállapotbeli értékek zátani közepét haználtuk Az egyenlet egoldáa: cízíz T V3 V p p T 3 cíz Lf gőz A egfelelő nueriku értékek behelyetteítée után: 3 3 V3 V 1, ,5 liter 01/013 3 FIZIKA OKTV forduló

4 Tehát az adiabatiku tágulá orán 101,3 kpa értékről 84,5 kpa értékre cökken a nyoá, iközben a térfogat,1 literről 3,6 literre nöekzik Ez azt jelenti, hogy nagyjából 3,5 liter lez a gőz térfogata, ainek a töege kb 1,8 gra, íg a íz töege 95 C-on 94,6 gra, ainek a térfogata alóban közelítőleg 0,1 liter Végül azt kell ézreennünk, hogy az adiabatiku özenyoákor gyakorlatilag ugyanaz történik, int az adiabatiku tágulákor, hizen a 95 C-on történő izoteriku folyaat közben a lecapódó gőz ennyiége 0,1 graon belül egegyezik a kezdeti 100 C-o izoteriku tágulákor elpárolgó gőz ennyiégéel, agyi jó közelítéel ugyanazokat az egyenleteket írhatjuk fel Ez tehát azt jelenti, hogy az izoteriku özenyoákor 1 literrel cökken a térfogat, iközben 0,5 gra ízgőz capódik le Tehát a p V diagraon a körfolyaat alóban parallelograáal közelíthető c) A hatáfok záítáakor a égzett unka a parallelograa területéel feleltethető eg, íg a felett hő 0,6 gra íz elforraláához zükége energiáal egyezik eg A hatáfok: Máodik egoldá: ( V V)( W p Q L p ) 1 3 0,014 1,% fel f gőz Azt a körfolyaatot, aely két adiabatiku é két izoteriku zakazból áll, é így alóít eg egy hőerőgépet két különböző hőérékletű hőtartály között, Carnot-ciklunak neezzük Az ideáli Carnot-gép (aikor tökéleteen izoterikuak, illete adiabatikuak a áltozáok) hatáfoka attól független, hogy ezt ilyen anyaggal alóítjuk eg Ennél nagyobb hatáfokú hőerőgépet ne űködtethetünk periodikuan a két hőtartály között Tehát a feladatot egyzerűen egoldhatjuk a Carnot-gép jól iert axiáli hatáfoka alapján i: T3 1 1,34% 1,3 % T Megjegyzé: A paralelograa alakú körfolyaat cak közelítően igaz, a alódi görbe két párhuzao egyeneből é két íe zakazból áll Döntően ez indokolja, hogy ne kapjuk iza pontoan az ideáli hatáfok értéket 3/A Egy négyzet alakú, 4a kerületű, töegű, függőlege íkú fékeretnek alaekkora kezdőebeéget adunk A keret indégig aját függőlege íkjában ozog a g nehézégi gyoruláú graitáció é a keretre erőlege ágnee térben, toábbá forgó ozgát e égez A ágnee indukcióektor a köetkező özefüggé zerint függ a helytől: B(z) = B(0) + kz, ahol k = állandó A keret elektroo ellenálláa R Mekkora lehet a keret kezdőebeége, ha az elindítá után a keret egyene onalú, egyenlete ozgát égez? 01/013 4 FIZIKA OKTV forduló

5 Megoldá A ágnee tér x irányban ne áltozik, ezért a fluxuáltozát cak a z irányú (függőlege) ozgá eredényezi Tehát a keretnek tetzőlege x irányú kezdőebeéget adhatunk, izont a z irányú kezdőebeég cak eghatározott értékű lehet Ha a keret z ebeéggel ozog lefelé, akkor a pillanatnyi fluxu: B( 0) kz B( 0) ( kz a) a a B() 0 k z a Itt úgy tekintettük, hogy a keret teteje an a z zinten Miel a ágnee indukció lineárian nöekzik z irányban, ezért lehet a keret tetején é az alján érhető indukció ektorok nagyágának zátani közepét enni a fluxu kizáítáakor A fluxuáltozában cak az játzik zerepet, hogy a z koordináta áltozik, ai éppen a kereett z ebeég Tehát a fluxuáltozá így írható fel: ka z t A fluxuáltozá adja a keretben indukálódó fezültéget, aiből a keretben folyó állandó nagyágú ára eghatározható: Δ Δt ka z I R R A keret aló ízzinte oldalára nagyobb erő hat, int a felőre (a két függőlege oldalra ható erő kiejti egyát), őt az aló élre felfelé utató, a felő élre lefelé utató erő hat Ezeknek az eredője tart egyenúlyt a nehézégi erőel: ka 4 F = ka ai = z g, R aiből gr z 4 ka Hallgatólagoan feltételeztük, hogy k > 0, ai azonban intabil egoldát ad Stabil egoldát cak a k 0 eet eredényez, azonban ez i intabillá álik, ha B előjelet ált A feladat egoldáa tehát az, hogy a keret kezdőebeége: 0 x z ahol x tetzőlege nagyágú lehet, z pedig cak a fenti érték 01/013 5 FIZIKA OKTV forduló

6 Máodik egoldá: A feladat utoló réze energetikai egfontoláal i egoldható A keret agaági helyzeti energiájának cökkenée egyenlő a keretben keletkező Joule-hőel: ka gz t I R t x R t, R aiből a fentiel azono z irányú ebeég adódik 3/B Függőlege helyzetű, igen hozú, R = 5 c ugarú egyene tekerc belejét rel = 500 relatí pereabilitáú ötözet tölti ki A tekerc enetűrűége n = 000/, ohiku ellenálláa elhanyagolható A tekerc ellett, annak közepe táján egy elhanyagolható töegű L = 10 c hozú zigetelő zálra egy = 0,01 g töegű, q = C töltéű kiéretű fégöböt függeztettünk fel a tekerc tengelyétől r = 6 c-re A tekercen t = 0,001 alatt az addig állandó erőégű ára erőégét egyenleteen 5 A-ről 0-ra cökkentjük Mekkora zöggel térül ki a fonál? Megoldá A rendkíül röid idő iatt az erőlöké alatt ég alig ozdul eg a ki tet, cak lendületet kap: F t F t (, ui 0 0) Az erő a áltozó ágnee tér keltette elektroo ezőtől zárazik, aelynek nagyága F qe i, ahol E i az indukált ező térerőége, aely az adott időtartaban állandó Az indukció törénye zerint: O BA N I A n I E r 0 r 0 r A g t t l t t A fégöb táolágában egy elektroo erőonal entén záola E nagyága állandó léén: n I n I E r A E A t r t Ezzel a ki göböcke kezdőebeége: 0 r 0 r n I V V Aq t F t Eq t n I n I n I r r r 0 r 7 7 r r r t 0 r Aq A Aq A Aq 01/013 6 FIZIKA OKTV forduló

7 Beíra az adott értékeket: V 1 A 0, A 0, C 5 0,06 10 kg A ki elektroztatiku inga kilendül, az elért agaágot az energiatételből kapjuk: h 0,6545 g 10 0,014 =,14 c A zögelfordulá kozinuzára írhatjuk: co l h 10,14 l 10 0, 786, é a kereett zögelfordulá: arcco0,786 38, /013 7 FIZIKA OKTV forduló