Oktatási Hivatal. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 05/06. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató. feladat: Vékony, nyújthatatlan fonálra M töegű, R sugarú karikát függesztünk. A karika legfelső pontjából szietrikusan két pontszerűnek tekinthető, M töegű, karikára fűzött gyöngy kezdősebesség nélkül, súrlódásentesen lecsúszik. a) Mekkora az töegű gyöngyök elozdulásának nagysága, aikor a fonálban ébredő erő először nullára csökken? b) Mekkora az töegű gyöngyöknek, valaint a karika középpontjának, illetve a rendszer töegközéppontjának a gyorsulása a fonál ellazulásának pillanatában? Megoldás. a) A szietrikus elrendezés iatt a rendszer töegközéppontja vízszintes irányban ne ozdul el. Határozzuk eg a karika és az egyik töegű gyöngy között ható kényszererő nagyságát! Jelölje h az töegű gyöngyök függőleges irányú elozdulását, a karika középpontjához viszonyított szögelfordulását, N pedig a karika által az töegű testre kifejtett kényszererőt: h R cos. () Alkalazzuk a echanikai energiaegaradás tételét vagy a unkatételt: gh v () Az () és () egyenletekből kapjuk: v gh gr cos. (3) Írjuk fel a dinaika alapegyenletét sugárirányban: g cos N v. (4) R OKTV 05/06. forduló

2 (3) és (4) összefüggések felhasználásával: cos gcos g 3 cos N g g. (5) (5) A karikára az töegű gyöngy N-nel egegyező nagyságú, ellentétes irányú erővel hat, így a fonálerő akkor válik nullává, ha: N cos Mg. (6) (5) és (6) felhasználásával és kihasználva, hogy M kapjuk: g 3gcos cos g, aelyből: cos 8cos 0. (7) Az egyenlet egoldása cos és cos, aelyből a feladat egoldását 6 adja, így 60, tehát ekkor az töegű gyöngyök elozdulása R nagyságú. cos b) A kérdéses helyzetben a fentiek alapján a centripetális és az érintő irányú gyorsulásból száolhatjuk az töegű gyöngyök gyorsulását. Érintő irányban az töegű testre a dinaika alapegyenlete: aiből: a é g sin 60, 3 aé g. A centripetális gyorsulás, felhasználva a (3) összefüggést: v gr cos 60 acp g. R R Így az töegű gyöngyök gyorsulásának nagysága: 3 g 7 a a a g g 4 s 3,.. s cp é A karikára ható kényszererők vízszintes koponensei kiejtik egyást. Írjuk fel függőleges irányban a karikára a dinaika alapegyenletét arra a pillanatra, aikor a fonál eglazul. Jelölje A a karika középpontjának gyorsulását: Mg N cos MA. Az előzőek alapján tudjuk, hogy a fonál ellazulásának pillanatában: N cos Mg, így ebben a pillanatban a karika középpontjának gyorsulása: A 0.. s A rendszerre ható külső erők eredője a nehézségi erő, így a rendszer töegközéppontjának gyorsulása a nehézségi gyorsulással egyenlő: a g. Tkp OKTV 05/06. forduló

3 Megjegyzések:. A rendszer töegközéppontjának a gyorsulását a karika nulla gyorsulásának és a gyöngyök isert gyorsulásainak töegekkel súlyozott átlagaként is kiszáíthatjuk, eredényként g-t kell kapnunk, így ellenőrizhetjük a gyöngyök gyorsulására kapott eredényünket.. A karika töegközéppontjának a gyorsulása a fonál ellazulása előtt is nulla, ait a folyaatosan csökkenő fonálerő biztosít, tehát száolás nélkül is kikövetkeztethetjük, hogy a fonál ellazulása pillanatában is ég nulla a karika gyorsulása.. feladat: Egy kis targoncához erősített hőszigetelő henger és a targonca együttes töege = kg. A hengerben lévő, szintén = kg töegű, könnyen ozgó dugattyú V 0 = 50 liter térfogatú, T 0 = 300 K hőérsékletű, p 0 = 0 5 Pa nyoású levegőt zár el (a levegő töege elhanyagolható a rendszer többi részéhez képest). A rendszer v = 0 /s sebességgel halad egy fal felé, aellyel pillanatszerűen, tökéletesen rugalasan ütközik. A súrlódási veszteségektől eltekinthetünk. A dugattyú jó hőszigetelő, a külső nyoás p 0. a) Mekkora axiális hőérsékletet ér el a hengerbe zárt levegő a folyaat során? b) Az ütközést követően ekkora lesz a bezárt levegő iniális hőérséklete? Megoldás. a) A fallal való ütközés utáni pillanatban a dugattyú ég eredeti sebességével, a henger pedig az eredeti sebességének ellentettjével folytatja ozgását. Ettől a pillanattól kezdjük követni a folyaatot. A száunkra érdekes állapot akkor áll elő, aikor a bezárt levegő térfogata iniálissá válik egy pillanatra. Ez akkor következik be, aikor a dugattyú ne ozog tovább a hengerben, vagyis közös lesz a sebességük. Ez a sebesség pedig egegyezik a henger és dugattyú rendszer töegközéppontjának sebességével. Mivel a henger és a dugattyú töege egegyezik, a közös sebesség éppen nulla lesz! A unkatétel szerint a rendszer ozgási energiájának egváltozása egyenlő a külső és belső erők unkájának összegével: Ugyanezt ás szavakkal úgy fejezhetjük ki, hogy a bezárt levegő belsőenergia-változása egegyezik a rendszer kezdeti ozgási energiájának és a külső levegő által végzett unkának az összegével: A bezárt gáz végső nyoása az adiabatikus összefüggésből: V0 0. p p V Ezt beírva az energia-egyenletünkbe, -vel való szorzás után ezt kapjuk: OKTV 05/06 3. forduló

4 Alakítsuk át az egyenletet egyszerűbb forára: Vegyük észre, hogy inden tag térfogat dienziójú. Egyenletünket dienzió nélkülivé tehetjük, ha inden tagját elosztjuk V 0 -lal: Az egyes tagok szorzófaktorainak értéke:, illetve, tehát a következő egyenlet egoldását kell egkeresnünk: ait kalkulátorral vagy behelyettesítéses közelítéssel tehetünk eg. A feladatnak igen jól egfelel az x = 0,539 érték, ai V = 6,955 7 liter térfogatnak felel eg (az egyenletet egy ásik gyök is kielégíti:, azonban csak az gyök érteles fizikailag). Ekkor a gáz hőérséklete az adiabatikus összefüggés alapján: b) Az előző részben egkaptuk a bezárt gáz iniális térfogatát (7 liter) és axiális hőérsékletét (384 K). Mi történik a későbbiekben? Azt kell észrevennünk, hogy az ütközést követő pillanatban a rendszer töegközéppontja egáll. A dugattyú és a henger szietrikus ozgást végez. Tehát aikor az összenyoott gáz szétlöki a hengert és a dugattyút, akkor az előző folyaatnak a fordítottja játszódik le. Abban a pillanatban, aikor a két egyfora rész egyással ellentétesen 0 /s sebességgel ozog, akkor benne a nyoás éppen újra 0 5 Pa, a hőérséklet pedig 300 K lesz, és éppen ekkor újra ütközik a henger a fallal. Tehát a kiskocsi eltávolodik a faltól 0 /s sebességgel, és a gáz térfogata tovább ne növekszik, hane arad 50 liter, hőérséklete pedig 300 K. Ez lesz a bezárt levegő iniális hőérséklete az ütközés után. Vegyük észre, hogy a gáz lényegében úgy viselkedik, int egy rugó. (Ha ne lennének egyforák a töegek, akkor eglehetősen bonyolult az eset, ert csak a töegközépponti rendszerben van eg az összenyoódás és a szétlökődés szietriája.) OKTV 05/06 4. forduló

5 3. feladat. Mindentől távol lévő, egyáshoz közel elhelyezett +Q pozitív és Q negatív, pontszerűnek tekinthető elektroos töltések által keltett elektroos teret vizsgáljuk. Tudjuk, hogy Q > Q > 0. Az elektroos tér leírására alkotta eg Faraday az erővonal fogalát. A feladatban a pozitív töltésből kiinduló és a negatív töltésbe befutó erővonalakkal foglalkozunk. Használjuk az ábra jelölését, aelyben egy ilyen erővonalhoz húzott érintők, illetve szöget zárnak be a töltéseket összekötő egyenessel. a) Adjuk eg a kapcsolatot Q, Q, és között! b) Mekkora és legkisebb és legnagyobb értéke a 0-tól 80 fokig terjedő intervalluban? c) Határozzuk eg a szög nagyságát, ha Q = Q /, továbbá = 35 o! Útutatás: Az R sugarú göb felületéből kivágott agasságú göbsüveg felszíne: A = R. Megoldás. Isert, hogy Q töltésből 4kQ = Q/ 0 erővonal indul ki, ha a töltés pozitív, és ugyanennyi fut be, ha a töltés negatív. Ha a ponttöltésekhez közel vagyunk, akkor az erővonalak eloszlása egyenletes, ert a essze lévő ásik töltés hatása elhanyagolható. Mivel Q > Q > 0, így a Q töltésből kiinduló 4kQ = Q / 0 erővonal közül csak 4kQ = Q / 0 fut be a negatív töltésbe, a többi elfut a végtelenbe. a) A két töltést összekötő egyenes, int tengely körül forgassuk eg a +Q középpontú és középponti szöghöz tartozó R sugarú körívet. Az így kapott göbsüvegen kívül induló erővonalak ind egérkeznek (és ás ne) azon a Q középpontú göbsüvegen át, elyet úgy kapunk, hogy a középponti szögű körívet a két töltést összekötő egyenes, int tengely körül egforgatjuk (lásd az ábrát). A két elített göbsüvegen átenő erővonalak száa egegyezik: 4R π πr R cos 4R π πr R cos Q Q. 4R π 4 π 0 R 0 A fenti egyenletet rendezve egkapjuk a négy paraéter közötti kapcsolatot kifejező egyenletet: Q cos cos Q. OKTV 05/06 5. forduló

6 b) Az előzőek alapján (akár a fenti egyenlet nélkül is) azonnal eg tudjuk ondani, hogy legnagyobb értéke 80, aihez legnagyobb értéke, vagyis 80 tartozik, valaint az is világos, hogy legkisebb értéke 0. A legkisebb értéket úgy tudjuk eghatározni, hogy kiszáítjuk annak a kicsiny R (elhanyagolható) sugarú göbsüvegnek a nyílásszögét, ai szebe néz a negatív töltéssel, és rajta 4kQ erővonal halad át. Az a) feladatrészből kapott összefüggésből ( Q cos in Q, Q cos in arc. Q A helyzetet jól utatja a következő ábra: c) Ha a negatív töltés abszolút értéke éppen fele a pozitív töltés száértékének, akkor in 90, vagyis a szebe néző göbsüveg egy félgöb. Alkalazzuk az a) feladatrésznél kapott összefüggést: cos Q cos Q. Q Használjuk fel, hogy Q, továbbá 35 : cos cos 0,4. Aiből β 4,47. OKTV 05/06 6. forduló

7 Pontozási útutató. feladat a) A dinaikai egyenletek felírása: 5 pont A echanikai energia-egaradás tételének felírása: pont A száítások elvégzése: 3 pont A nuerikus eredények kiszáítása: pont b) Az töegű testek gyorsulásának eghatározása: 4 pont A karika középpontja gyorsulásának eghatározása: pont A töegközéppont gyorsulásának eghatározása pont összesen: 0 pont. feladat a) Az ütközést követő ozgás helyes értelezése pont A iniális térfogat (axiális. hőérséklet) beálltának helyes értelezése pont A unkatétel helyes felírása pont A belsőenergia-változás helyes felírása pont Az energia-egyenlet az adiabatikus összefüggéssel való helyes felírása pont A kapott egyenlet helyes egoldása 4 pont A axiális hőérséklet nuerikus egadása pont b) A bezárt gáz iniális hőérsékletének egadása indokolással 4 pont összesen: 0 pont 3. feladat Annak kiondása, hogy a töltésekből induló erővonalak száa egyenesen arányos a töltéssel 3 pont A Q -ből induló és Q -be egérkező erővonalak által döfött göbsüvegek leírása szavakkal vagy rajzzal pont A két göbsüveg felszínének helyes felírása pont (Aennyiben ez egvan, az előző pontszá is egadható) A Q és Q elektroos töltések közötti erővonalak száának helyes felírása pont a) A négy paraéter közötti kapcsolatot kifejező egyenlet felírása 4 pont b)és legkisebb értékének helyes felírása 4 pont c) szög eghatározása 3 pont összesen: 0 pont A egoldásban vázoltaktól eltérő száításokra, aelyek elvileg helyesek és helyes végeredényre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszá jár. A nehézségi gyorsulás értékére 9,8 /s vagy 0 /s egyaránt elfogadható, hacsak a feladat áshogy ne rendelkezik. OKTV 05/06 7. forduló