körsugár kapcsolata: 4 s R 8 m. Az egyenletből a B test pályakörének sugara:

Átírás

1 8 évi Mikola forduló egoldásai: 9 gináziu ) Megoldás Mivel azonos és állandó nagyságú sebességgel történik a ozgás a egtett utak egyenlők: sa sb vat vbt 4 π s 4π 57 s Ha a B testnek ne nulla a gyorsulása csak akkor lehet állandó nagyságú a sebessége ha a gyorsulás-vektor erőleges a sebesség-vektorra Ha ezen felül az is igaz hogy a gyorsulás nagysága állandó akkor csak egyenletes körozgás jöhet létre! Vagyis a B testre állandó nagyságú sebességére erőleges erőnek is kell hatni (Eredetét a feladat ne kérdezi) Az A test tehát egyenes vonalú egyenletes ozgást a B test pedig egyenletes körozgást végez Kérdés hová jutott ezalatt a találkozási helytől a B test? Határozzuk eg a pályájának sugarát! Iseretes a centripetális gyorsulás a sebesség és a körsugár kapcsolata: a cp v R Az egyenletből a B test pályakörének sugara: 4 v v s R 8 a cp a cp s Mekkora szögelfordulás tartozik ehhez a két adathoz? Az ív és sugár kapcsolata: sb 4π π rad = rad Tekintsük a kör középpontját origónak A két pont távolsága R 8 koordinátáik különbségének négyzetösszegéből vont négyzetgyökeként (egyszerűbben szólva a Pitagorasz-tétel alkalazásával) kapható: Határozzuk eg az egyes koordinátákat! Tekintsük az ábrát! A B A B d x x y y y v A vb s A xa- xb A ab R d s B R B x

2 xa s A 57 A keresett távolság az adott időpillanatban: x R 8 B y A yb 8 d xa xb ya y B ) Megoldás A dinaika alaptörvényét alkalazzuk a pontrendszerre a két esetben: g 4 x a x g 4 x a Fogalazzuk eg a két gyorsulás közötti kapcsolatot: a a Az egyenletrendszert egoldva választ kapunk az és kérdésekre: x 3 a Az x töegű test a kocsival együtt a gyorsulással ozog ezt a tapadási erő biztosítja: xg xa 4 7 3) Megoldás g = cρ levav = 4 3 πρ vízr 3 g v = 8πρ vízr 3 g 3cρ lev A 7 g a 7 g = 8ρ vízrg 3cρ lev = 444 s 3 Ha a csepp töege (és így a térfogata is) a kétszeresére nő akkor a sugara szorosa lesz Így az előző összefüggés alapján az új sebesség: 3 v v 5 s = 6- c) Az esőcseppre ható erők eredője nulla ert a csepp szélben is egyenes vonalú egyenletes ozgást végez A függőleges nehézségi erőt csak úgy tudja kiegyenlíteni a közegellenállási erő ha a csepp vízszintes irányban felveszi a szél sebességét Tehát ilyenkor a csepp eredő sebessége: v 3 = v + v szél = s Megjegyzés: A cseppre a levegő felhajtóereje is hat de az elhanyagolható a csepp súlyához képest

3 4) Megoldás Adatok: D = N/ M = kg = kg l 4 Töegpont egyensúlyának feltétele hogy a testre ható erők eredője nulla legyen A fonálban ébredő erő: K Dl M g 5 N A fonál elvágását követően a M + töegű testre csak a nehézségi erő és két rugóerő hat A testek gyorsulása az induláskor: Dl ( M ) g 5 a 667 M 3 s s c) A testek akkor érik el a legnagyobb sebességüket aikor a gyorsulásuk nullára csökken azaz a rájuk ható erők eredője nullára csökken Ekkor a rugók összenyoódása: M g l 5 D A testek legnagyobb sebességének eghatározásakor használhatjuk a echanikai energiák egaradásának törvényét: D l D l M gl l M vax A fenti egyenletből a legnagyobb sebesség kifejezhető A behelyettesítést követően: vax 4 s d) Az apró test akkor fogja elhagyni a lapot aikor a rugók deforáltsága eltűnik Megint használhatjuk a echanikai energiák egaradásának törvényét: D l M g l M v A fenti egyenletből a keresett sebesség kifejezhető A behelyettesítést követően: v 63 s

4 Gináziu ) Megoldás A láda csúszva indul eg a szalagon gyorsulása: F a ( cos sin ) g s v sz Ezzel a gyorsulással t 5 salatt éri el a szalag sebességét és eközben a vsz t s 55 -t halad A hátralévő 45 távolságot egyenletes ozgással teszi eg a láda a szalaggal együtt t 45 s alatt A láda tehát t t t 755 s alatt ér fel a futószalag tetejére A futószalag által kifejtett csúszási súrlódási erő és a test szalaghoz viszonyított relatív elozdulásának szorzata adja a súrlódási hőt: ) Megoldás: Q W g cos s g cos v t s 66 5 J s rel sz Adatok: p = 6 5 Pa; v = /s; A = 8 c ; p = 35 5 Pa; A = 3 c ; A3 = c A főágon és az elágazás utáni vastagabb ágon átenő egyik áravonalra írjuk fel a Bernoulli-egyenletet hogy egkapjuk a vastagabb ágbeli áralási sebességet: p + ρv = p + ρv v = ρ (p p ) + v = 3 s Az elágazásba befolyó és kifolyó vízre alkalazzuk az anyagegaradást kifejező kontinuitási egyenletet hogy egkaphassuk a vékonyabb ágbeli áralási sebességet: A v = A v + A 3 v 3 v 3 = A v A v A 3 = 35 s Alkalazzuk újra a Bernoulli-egyenletet a főág és a vékonyabb ág egyik áravonalára: p + ρv = p 3 + ρv 3 p 3 = p + ρ(v v 3 ) = Pa Megjegyzés: Felhasználtuk hogy a víz sűrűsége hozzávetőlegesen kg/ 3 A vízhoza (térfogat/idő) így írható fel: V = Av Ennek segítségével az egyes ágakon kifolyó vízennyiség: t

5 V = A v t = 54 3 = 54 liter és V 3 = A 3 v 3 t = 4 3 = 4 liter Megjegyzés: Eredényünket úgy ellenőrizhetjük ha kiszáítjuk a főág vízhozaát is: V = A v t = 96 3 = 96 liter (= 54 liter + 4 liter) 3) Megoldás Írjuk fel az állapotegyenletet indkét gázra: p V RT p 3V RT M M A fenti egyenleteket vizsgálva adódik: p 3p A két tartályban uralkodó nyoások különbségéből adódó erő tart egyensúlyt az töegű p p A p A dugattyúra ható nehézségi erővel: p p A g g g Legyen az alsó gáz nyoása kezdetben p ajd a felelegítés után az állapotjelzői: V xv! Hasonlóan legyen az felső gáz nyoása kezdetben p ajd a felelegítés után az állapotjelzői: p V 4 x V! Az töegű dugattyú indkét állapotban egyensúlyban van: p A g p A p A g pa Ezekből: () p p p p Az alsó és felső gázok töege és hőérséklete egyenlő ezért a BoyleMariotte-törvényből: p 3V p p V x V p p 4 xv Ezeket ()-be beírva: 4 x p p x p () x p x p 3p 4 x p x p

6 Írjuk fel a felső térrészben lévő gáz két állapotára az egyesített gáztörvényt! p 3V T p p T p 4 x V T 3T 4 x p (3) 4 x p 5 () és (3) összehasonlításából: x x Ezt egoldva: 5 4 x x 3x 3 x 3 V 4 x 5 A keresett arány: V x 3 4) Megoldás A rúd gyorsulásának csökkenése akkor kezdődik aikor a rúd alsó pontja a lapok közé lép A sebesség axiális ha: F Az előzőt részletezve: Q g E x ahol x a rúd leezek közé került részének a hossza l A példa szövege alapján: EQ = g így x = l A sebesség axiu az előző folyaatra felírt unkatétellel határozható eg: ΣW = E kin g 3 l +E Q l = v ax g 3 l g l 4 = v ax Az egész folyaatra felírva a unkatételt: vax = 5lg vax = 5 s ΣW = E kin g(l + l) +EQ l EQl = v

7 g3l gl gl = v v = s c) Az időintervallu két azonos hosszúságú részből áll ivel a két részben a gyorsulás és a egtett utak egegyeznek a kezdő és végsebességek pedig felcserélődnek: t = t lefelé + t felfelé t = t felfelé A felfelé ozgást eleezve: ΣF = a EQ g = a g g = a a = g Mivel a ozgás konstans gyorsulással történik: l = a t felfelé t felfelé = l g t felfelé = s így t = 4s

8 Szakgináziu ) Megoldás A keresett távolság háro útszakasz összege: d s s s3 Az egyes útszakaszok: s a t 4 35 s =45 s s v t a t t 4 35 s 5 s 7 s s 3 v t3 a t3 4 4 s 3 4 s = 3 s s Tehát a két egálló d s s s távolságra van egyástól A villaos a egállóba /s sebességgel érkezik és rögtön gyorsít ásodperc alatt /sról 6 /s-ra gyorsul a járű ai 4 utat jelent ajd 5 s alatt egáll iközben az átlagsebessége 3 /s tehát a lassulási szakaszon az útja 45 Vagyis a troli 85 éterrel fut túl a egállón ) Megoldás Legkisebb tapadási súrlódási együttható esetén a tapadási súrlódási erő axiua kiegyensúlyozza a testre ható nehézségi erőt: F g ny A testre ható Fny nyoóerő és a F ágneses erő együtt felelős a test egyenletes körozgásáért: F F f R ny π A fenti két egyenletből a tapadási súrlódási együttható ár száolható: g F πf R A dinaika alapegyenletét az új helyzetre alkalazva a következő két egyenlet adódik: / F g ny F F f R / ny π A fenti két egyenletből az új fordulatszá ár száolható: F f π R R π g 5 Hz 6 Hz

9 3) Megoldás A pénzére a legkisebb 3 /s sebességét az asztal szélén éri el A ozgás során az ére gyorsulását egkapjuk kineatikai vizsgálattal: v v v s a v 4 a s s A pénzére gyorsulását dinaikai vizsgálattal is egkaphatjuk ajd a csúszási súrlódási együtthatót is: Fs a g a a g 4 Az asztalt elhagyva a pénzére ozgása vízszintes hajítás A becsapódás előtti pillanatban a sebessége: v vx v vx vy vx g t t 4 s g Az asztal agassága ost ár könnyedén száolható: g h t 8 c) Két ilyen helyzet is van Az egyik aikor az ére ég az asztalon van: 5-4 v v t s s =5 s a 4 s A ásik ilyen helyzet a vízszintes hajítás közben van Először határozzuk eg az asztalon való ozgás idejét: 5-3 v t s s =5 s a 4 s Majd az esés idejét határozzuk eg: 4-3 s s 4 vx gt t = 6 s s g A ásik helyzet időpontja: t t t 5 s + 6 s = 76 s

10 4) Megoldás A pillanatszerű ütközésre alkalazható a lendület-egaradás törvénye: v ( 3 ) v v v 8 5 s Dinaikai és kineatikai vizsgálat: A töegű test gyorsulása: a g 4 s A 3 töegű test gyorsulása: a g s v vt A töegű test t s idő alatt áll eg s 8 úton a v vt A 3 töegű test t 4 s idő alatt áll eg s 6 úton a A hátul lévő ( töegű) test t idő alatt áll eg Ekkor az elöl lévő (3 töegű) test ég ozog Ebben a pillanatban a távolságuk az általuk egtett utak különbségével egyenlő: a d vt t s 4 c c) A két test távolsága aikor indkét test ár áll: d s s 8 c