A rezgések dinamikai vizsgálata, a rezgések kialakulásának feltételei

Átírás

1 A rezgések dinaikai vizsgálata a rezgések kialakulásának feltételei F e F Rezgés kialakulásához szükséges: Mozgásegyenlet: & F( & t kezdeti feltételek: ( v t & v( t & ( t Ha F F( akkor az erőtér konzervatív. e egyensúlyi helyzet egléte azaz olyan e pont(ok létezése elyre F(. e e egyensúlyi helyzet stabilitása vagyis az erő egyensúlyi helyzet környezetében az egyensúlyi helyet felé utat. Helyzeti energia: U ( F( ξ dξ e F( U '( A echanikai energia egarad: du d A potenciális energiával egfogalazva: Rezgés akkor jön létre ha U(-nek (lokális iniua van K + U v + U ( E Ez a t t kor is igaz így a teljes energiát a kezdeti feltételek eghatározzák: E K + U v + U ( Haronikus rezgés dinaikus leírása F( Mozgásegyenlet: && U ( & &+ ω a haronikus rezgés differenciálegyenlete ω ( t Asin( + α Az A és α állandókat a kezdeti feltételek határozzák eg.

2 A olekulákat összetartó erők és potenciális energiájuk Az egyensúlyi helyzet körüli kis kitérésekre az erő egyenessel a potenciális energia parabolával közelíthető. Ezért kis kitérésekre a rezgés jó közelítéssel haronikus rezgés Nagyobb kitérésekre anharonikus rezgés alakul ki. Rezgések létrejöttének dinaikai szeléltetése Erő F [N] du 6 F( U '( d 3 [c] 6 A ozgás tartoánya A forduló pontoknál K Ezért itt E K + U U U( E Helyzeti (potenciális energia U [J] 6 E K + U U ( F( ξ dξ e Szeléltetés n_har-rez-.avi [:5] n_har-rez-.avi [:5] n_har-rez-3.avi [:5] U K 3 [c] Kísérlet Pohl-féle készülék nehezékkel ellátva [:]

3 Anharonikus rezgések szeléltetése forgási rezgésekkel U ( ϕ ϕ + g R(cosϕ M U ( ϕ ϕ + gr sin ϕ Mozgásegyenlet: Θϕ && ϕ + gr sin ϕ parabolával közelíthető parabolával közelíthető U( ϕ U( ϕ + U ( ϕ( ϕ ϕ + U ( ϕ( ϕ ϕ U ( ϕ U( ϕ U( ϕ + U ( ϕ( ϕ ϕ

4 A súrlódás hatására csillapodó rezgés alakul ki. U( U( és két egyást követő fordulópont. Munkatétel: v A súrlódási erő unkája indig negatív: v W v & és v & W F + W S A rugalas erő unkája kifejezhető U(-l: U U ( W S W F < ( W S W F U ( U ( < U ( < U ( A aiális kitérés csökken az idővel csillapodás lép fel. Szeléltetés Csill-rez_kicskocsi_rövid.avi [:9] < CsillRez-Pohl_rövid.avi [:] A sebességgel arányos csillapító erő A töegpontra ható erők: Mozgásegyenlet: & F + FS k& Az egyenlet egoldásainak típusai β < ω ( t Ae sin( + α ahol esetén csillapodó rezgés ω ω β Az A és α állandókat a kezdeti feltételek határozzák eg. F rugalas erő && + β& + ω A A/ A/e F S ahol k& súrlódási erő ω és A csillapodásra jellező: τ csillapodási idő β k β Átírható a következő alakba is: ( t c e cos + c e sin A/ τ τ 3τ τ 5τ t β > ω β ω esetén aperiodikus ozgás esetén aperiodikus határeset λt λ t ( t c e + c e λ β ± β ω ( t c e + c te. <

5 A csillapodó rezgés tulajdonságai és jellező ennyiségei A csillapodás értékét a β T csillapítási állandó és a τ A /β csillapodási idő jellezi. T/ A aiális kitérések és a burkoló érintési helyei T/ időközönként követik egyást. Az egyensúlyi helyzeten T/ időnként halad át. Az egyensúlyi helyzetből a aiuig azonban T/-nél rövidebb a aiutól a egyensúlyi helyzetig T/-nél hosszabb idő telik el. 3 5 k + τ Ae 3 5 τ Ae T ( t Ae sin( + α T 6 T T π ω A szoszédos azonos oldali aiális kitérések hányadosa állandó. Ez a K hányados a csillapodási hányados: 3 k k K K és K K T/ T/ k + t Logaritikus dekreentu: K 3 ( t ( t + T Ae Ae β β( t + T Λ ln K t sin( + α sin[ ω( t + T + α] T e β Λ βt Kényszerrezgés rezonancia A rezgő rendszerre rugalas erőn és a sebességgel arányos súrlódási erőn kívül ég egy külső zavaró periodikus erő is hat: F k& F sin. Mozgásegyenlet: & F + F S + FG Kísérleti szeléltetés Töeg-rugó rendszer Pohl-féle készülék Ingák Az egyenlet egoldása: ( t Asin( δ + ( t A k& + F sin cs a ( ω ω + β ω rugalas erő F S &&+ β& + ω a sin ω súrlódási erő k β F G és ahol Kény-rez_Pohl_rövid.avi [:5] gerjesztő erő F a Kény-rez_ingák_rövid.avi [:57] A csillapodó rezgés differenciálegyenletének egoldása bizonyos idő után elhanyagolható (tranziens jelenségek. Állandósult rezgés kényszerrezgés frekvenciája egegyezik a gerjesztés frekvenciájával! Az aplitúdó és a fáziskésés függ a gerjesztés frekvenciájától βω tg δ ω ω

6 A egoldás eghatározása forgó vektorokkal Ha ( t Asin( δ akkor & ( t Aω cos( δ Aω sin( δ + π & & ( t Aω sin( δ Aω sin( δ + π Az & & + β& + ω a sin egyenlet azt fejezi ki hogy a bal oldalán álló haronikus rezgések összege a jobb oldalon látható haronikus rezgés. A rezgések összeadását szeléltető forgó vektorok a következők: tg δ βωa Aω Aω δ ω A a ω A βωa Pitagorasz-tétel: a ( Aω Aω + (βωa A βω tg δ ω ω a ( ω ω + β ω Rezonanciagörbe A [F /] 8 6 Ha Ω ω ω A Q 5 és F ( Ω ω Q β + ( Ω Q Q Q 5 Q jósági tényező ennyiségeket bevezetjük akkor egyszerű száolással: δ [rad] Ω tgδ Q Ω Q Q Q Ω ω/ω.5. Ω ω/ω A rezonanciagörbének Q nagyobb értékeire éles aiua van az ω ω helyen! Ez a rezonancia jelensége ekkor aiális a kialakult kényszerrezgés aplitúdója. Rezonancia akkor lép fel ha gerjesztés frekvenciája egegyezik a rezgő rendszer sajátfrekvenciájával (ω ω. π π

7 Rezonancia katasztrófa Az előző kísérletek és a száolás is azt utatja hogy rezonancia esetén ég az igen kicsi gerjesztés is igen nagy aplitúdójú rezgésekre kényszerítheti a rendszert. Ezt a jelenséget épületek hidak és járűvek (stb tervezésénél figyelebe kell venni! Ilyen külső gerjesztő hatásként léphetnek fel például a szél következtében periodikusan leváló örvények földrengés során a talaj rezgései stb. Tacoa-híd [3:5] A kényszerrezgések fontosabb alkalazásai igen kicsi hatások kiutatása (pl. Eötvös-effektus rezgések frekvenciájának eghatározása (pl. nyelves frekvenciaérő sajátrezgések kiutatása és sajátfrekvenciák eghatározása rezgések regisztrálása földrengések regisztrálása (szeizográf (stb. Csatolt rezgések Kísérlet kiskocsikkal ( [:37] k O O Hogyan agyarázhatjuk a bonyolult ozgást? Mozgásegyenletek && && k( k( Kísérlet kettős-ingával [:] Ekkor a jelenség tanulányozása egyszerűbb ivel a két csatolt rezgő rendszer teljesen azonos a csatolás gyengébb. Szeléltetés Azonos fázisú sajátrezgés Ellentétes fázisú sajátrezgés a ozgásegyenletek egyszerűsödnek A kísérlet értelezése Az ingák ozgása lebegés! Ez azt utatja hogy egyszerre végeznek két különböző de közeli frekvenciájú haronikus rezgést hiszen a lebegés két ilyen rezgés összege. A kezdeti feltételek egfelelő egválasztásával elérhetjük hogy a két rezgés közül csak az egyik utatkozzon eg.

8 A ozgásegyenletek egoldása azonos oszcillátorok esetén && && k( k( ( && + & ( && & + k( + k( && + & ( + + k && & ( & & + ω ahol + & & + ω ahol és és ω ω + k ( t A sin( + α ( t A sin( + α és az u.n. norál koordináták ( + ( A A ( t sin( + α + sin( + α A A ( t sin( + α sin( + α Tehát a töegpontok ozgása két haronikus rezgés összege. Ha a csatolás gyenge ( k «akkor a két frekvencia közeli így lebegés jön létre. Hogyan érhetjük el hogy a ozgásban csak az egyik rezgés jelenjen eg? A -hez vagy -höz tartozó rezgés eltűnéséhez nyílván A vagy A szükséges. A esetén csak az ω körfrekvenciájú rezgés van jelen. ( ( ( ( ( A & ( & ( & ( v ( v( ( t ( A sin( + α ( t ( A sin( + α Azaz indkét töegpont ω körfrekvenciájú vagyis azonos frekvenciájú haronikus rezgést végez és a rezgések fázisa egegyezik! A esetén viszont csak az ω körfrekvenciájú rezgés jelenik eg! A ( ( + ( & ( & ( + & ( ( ( v( v( ( t ( A sin( + α ( t ( A sin( + α Azaz indkét töegpont ω körfrekvenciájú vagyis azonos frekvenciájú haronikus rezgést végez és a rezgések fázisa ellentétes! Sajátrezgések a rezgő rendszer azon rezgései ikor a rendszer inden tagja azonos frekvenciájú haronikus rezgést végez azonos vagy ellentétes fázisban. A sajátrezgések frekvenciáit sajátfrekvenciáknak nevezik. Megutatható hogy általában egy f szabadági fokú rendszernek f darab sajátrezgése van. A rendszer általános ozgása a sajátrezgéseinek az összege (szuperpozíciója.

9 Ne azonos oszcillátorok esetén a ozgásegyenletet nehezebb egoldani azonban ekkor is egutatható hogy a töegpontok ozgása két haronikus rezgés összege ( t c A sin( + α + c A sin( + α ( t c A sin( + α + c A sin( + α A sajátfrekvenciák és a hozzájuk tartozó sajátrezgések ozgáshoz való hozzájárulását leíró c c c és c együtthatók eghatározása nehezebb. A sajátrezgések kísérleti szeléltetése kiskocsikkal (Pasco 5 kg: 39 c Mért adatok: k 373 N/ N/ 5 kg 7 kg V-scope Pasco sín 65 c k 59 N/ Száolt sajátkörfrekvenciák: ω 68 Hz (T 76 s ω 97 Hz (T 5 s Az együtthatók viszonya: c 3333 c c 57 c Azonos fázisú sajátrezgés ( Ellentétes fázisú sajátrezgés ( ( 3333 ( v( 3333 v( ( 57 ( v( 57 v( ( ± 8 c ( ± 6 c v ( v( ( ± 35 c ( 6 c v ( v( Belátható hogy a rezgő rendszer echanikai energiája a sajátrezgések energiáinak összege. haronikus rezgés energiája: E v + ( & + ω A vizsgált rendszer energiája E v + v k ( esetén E & + & k ( Az energiát egadó képletbeli ennyiségeket + ( + kifejezhetjük a norálkoordinátákkal: ( E [ ] [ ] & & + & & + & & & & + & & & + & + + & k + & & [ & + ω ] + µ [ + ω ] E µ & + k & + f Általánosabban f szabadsági fokú rendszer esetén: E µ i ( & i + ωi i i

10 További példák és alkalazások csatolt rezgésekre Wilberforce-inga Paraéteres inga Rezgések csillapítása (hajók: Frah-féle tank felhőkarcolók