Tudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató!

Átírás

1 Kérdések és feladatok rezgőmozgásokból Dr. Horváth András 0.1-es változat Tudnivalók Kedves Hallgató! Az alábbiakban egy válogatást közlünk az elmúlt évek vizsga- és ZH-feladataiból. Időnk és energiánk nincs egy lektorált, szerkesztett feladatgyűjtemény megjelentetésére, ezért a feladatok sorrendje önkényes. Több szak azonos témához tartozó feladatai is keverednek itt, így előfordulhat, hogy egy-egy témából van feladat, de a kedves Olvasó kurzusán az a téma nem kerül elő sem előadáson, sem vizsgán. Az azonban biztos, hogy ebben a formában is sokat könnyít a vizsgára való készülésben, mert a főiskolai szakokon a témakört szinte 100%-osan lefedi. A következő dolgokat figyelembe kell venni az olvasáskor: 1. Az elméleti és kidolgozott feladatok egy megoldását adjuk. Természetesen tartalmilag azonos, de más megfogalmazású, illetve a részeredményekhez más sorrendben eljutó megoldásokat is elfogadunk. 2. A kidolgozott feladatok megoldása csak a legfontosabb részleteket tartalmazza. Nincsenek pl. a részletszámítások, képletátrendezések lépései kiírva. (Elképesztően sok munka lenne begépelni.) A számonkérés során természetesen a részletszámításoknak rajt kell lenni a beadott papíron, azaz egy számolós feladat megoldása vizsgán vagy ZH-n az itt közölteknél bővebb kell legyen. 3. A számszerű végeredmények néha függenek a számítások során elkövetett kerekítési hibáktól. Kisebb-nagyobb eltérések ebből is adódhatnak. 4. A gyűjteményt időnként javítjuk és bővítjük. Érdemes néha utánanézni, van-e frissebb változat. A bővítéskor a feladatok sorszámozása átrendeződhet. Kérjük ezt figyelembe venni. Szigorúan tilos :-) bemagolni az itt közölt megoldásokat. Ez nem vezet a megértéshez, viszont több veszélye is van. Pl. a vizsgán szereplő kérdés lehet, hogy középtájon egyetlen szóban különbözik csak az itteni kidolgozott kérdéstől. Ekkor a bemagolt válasz teljesen rossz lehet. Másik veszély: a magolás nyomán leírt megoldás nem fogja tartalmazni a részletszámításokat. Ezek nélkül a megoldás értéke 0 pont, hisz a vizsgázó nem mutatja meg, hogy egyedül is képes megoldani a feladatot puskát készíteni ebből a gyűjteményből. Ezt nem kell bizonygatni :-). 1

2 3.... szidni a tanárt, miért nem csak innen válogat a vizsgán. Ez a feladatgyűjtemény elősegíti a tanulást. Aki ez alapján megérti az adott témát, az minden feladatot képes megoldani. Az azonban elfogadhatatlanul csökkentené a színvonalat, ha csak ebből a gyűjteményből adnánk feladatokat szidni a tanárt, miért nem dolgozott ki ilyen feladatgyűjteményt minden témához. Energiáink végesek. Ha látjuk a feladatgyűjtemény pozitív hatását a diákok tudására, akkor még jelen feltételek mellett (ingyenmunka) is folytatni fogjuk a munkát. Kérjük, jelezzék, ha hibát találnak a feladatgyűjteményben. Jó tanulást: Dr. Horváth András Elméleti kérdések E-1.: Egy test egyenes mentén mozoghat. Rajzoljon fel egy F (x) grafikont (azaz az erőt a hely függvényében) úgy, hogy pontosan három egyensúlyi helyzete legyen a testnek, melyek közül kettő körül (A és B) kialakulhasson rezgés, a harmadik körül (C) nem. (A, B és C szerepeljen az ábrán!) Válasz: F A C B x E-2.: Mondjon példát a gyakorlati életből olyan egyensúlyi helyzetre, mely körül nem alakulhat ki rezgés! Válasz: Egy lehetséges válasz: Kis domb tetejére helyezett labda ott egyensúlyban van, de bármelyik irányban kitérítve legurul onnan, azaz nem alakul ki rezgőmozgás. E-3.: Harmonikus rezgőmozgás periódusidejét kétszeresére szeretnénk növelni. Hogyan változtassuk a rezgő test tömegét? Válasz: Mivel m T = 2π D azaz a periódusidő a test tömegének négyzetgyökével arányos, ezért T kétszerezéséhez at m tömeget négyszerezni kell. 2

3 E-4.: Egy test először 1 cm, majd utána 2 cm amplitudóval végez harmonikus rezgőmozgást azonos felfüggesztés mellett. Melyik esetben nagyobb a frekvenciája? Válasz: A harmonikus rezgés frekvenciája független az amplitudótól, csak a test tömegétől és a felfüggesztés rugóállandójától függ. Ezért mindkét esetben azonos lesz a frekvencia. E-5.: Rugón rezgő test csillapodó rezgőmozgásánál mi történik a rezgő test kezdeti energiájával? Válasz: A közegellánálláson és a súrlódáson keresztül hővé alakul. E-6.: Egy rugóra akasztott testet kitérítünk egyensúlyi helyzetéből, majd elengedjük. A test ezután nem rezgőmozgást végez, hanem lassan visszatér az egyensúlyi helyzetbe. Milyen körülmények közt lehetséges ez? Válasz: Akkor, ha a testre nagyon erős csillapítőerő is hat. (Lineáris csillapítóerő esetén akkor, ha β > ω 0.) Ilyen eset pl. sűrű folyadékba merüléskor képzelhető el. E-7.: Egy függőleges rugó alsó végéhez egy test van rögzítve. A rugó felső végét függőleges irányban kis amplitúdóval mozgathatjuk. Milyen körülmények közt lehetséges, hogy a felső véget csak 1 mm amplitúdóval mozgatjuk, de a test 10 cm-es, állandó amplitudójú rezgéseket végez? Válasz: Ez akkor lehetséges, ha a gerjesztő erő frekvenciája, azaz a felső vég mozgatásának frekvenciája közel egyenlő a test rezonanciafrenvenciájával, valamint a közegellenállás csillapító szerepe viszonylag kicsi. E-8.: Rajzoljon fel egy rezonanciagörbét! Röviden magyarázza meg, milyen mennyiségek találhatók a tengelyeken! Válasz: A g ω g : a gerjesző erő frekvenciája A g : a gerjeszett rezgőmozgás hosszú távon megmaradó komponensének amplitudója ω 0 : a rendszer sajátfrekvenciája E-9.: Mikor lesz két egyirányú szinuszos rezgés eredője nem periódikus? ω 0 Válasz: Ha a két rezgés frekvenciájának aránya nem racionális. E-10.: Milyen rezgés lesz két azonos frekvenciájú, egyirányba eső harmonikus rezgés eredője? Válasz: Azonos frekvenciájú harmonikus rezgés. Az eredő amplitudó a két rezgés amplitúdójától és a fáziskülönbségtől függ, de mindig a két amplitudó összege és különbsége közt lesz. ω g 3

4 E-11.: Lehetséges-e, hogy két 5 cm amplitúdójú, egyirányú harmonikus rezgés eredője is 5 cm amplitúdójú lesz? Válaszát indokolja röviden. Válasz: Igen. A két rezgés fáziskülönbségétől függően az eredő rezgés amplitúdója a két amplitúdó összege (jelenleg 10 cm) és különbsége (jelenleg 0 cm) közt van, és ebben az intervallumban minden érték lehetséges. A kérdezett 5 cm eredő amplitúdó pedig ebben az intervallumban van, így lehetséges. E-12.: Két egyirányú harmonikus rezgés eredőjét vizsgáljuk. Lehet-e az eredő amplitudó a két amplitudó összegénél nagyobb? Miért? Lehet-e az eredő kisebb amplitudójú, mint a kisebbik amplitudó? Miért? Válasz: Az összegnél nagyobb amplitudó sohasem alakulhat ki, mert a legnagyobb erősítéskor (azonos fázis) esetén is csak az amplitudók összege alakul ki. Kisebb amplitudó lehetséges, hisz ellentétes fázis és azonos amplitudók esetén az eredő amplitudó 0 lesz. (Teljes kioltás.) E-13.: Mi lesz három, azonos frevkvenciájú, egy irányba eső szinuszos rezgés eredője? Válaszát indokolja! Válasz: Az összegzést részenként is megtehetjük, mivel az összeadás asszociatív művelet. Így az első kettő összegeként egy ugyanolyan frekvenciájú szinuszos rezgést kapunk, és ehhez a harmadikat adva ismét csak egy ugyanilyen frekvenciájú szinuszos rezgéshez jutunk. (Ennek amplitudója és fázisa a három rezgés adataitól függ bonyolult módon.) Tehát az eredő az eredeti reszgésekkel megegyező frekvenciájú, szinuszos rezgés lesz. E-14.: Két egyirányú szinuszos rezgés eredőjének amplitúdója lassan, periódikusan váltakozik. Mit mondhatunk a két rezgés frekvenciájáról? Hogyan nevezzük ezt a jelenséget? Válasz: A két rezgés frekvenciája közel egyenlő, de biztosan nem teljesen egyforma. A jelenség neve: lebegés. E-15.: Milyen mozgásfajták alakulhatnak ki két, azonos amplitúdójú és frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgés eredőjeként? Mi határozza meg, melyik eset áll fenn? Válasz: Ebben az esetben az eredő lehet egyenes, ellipszis vagy kör. Azt, hogy melyik eset valósul meg, a rezgések fáziskülönbsége határozza meg. Kidolgozott feladatok K-1.: Egy 4 kg-os test egyenes mentén mozoghat, és SI-egységekben az alábbi erő hat rá: F (x) = 2x 3 4,5x. Hol vannak a test egyensúlyi helyzetei? Melyik(ek) körül alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis rezgések periódusideje? Megoldás: A test egyensúlyi helyzeteiben F (x) = 0, azaz 2x 3 4,5x = 0 (1) Ennek legnyilvánvalóbb megoldása: x 1 = 0 4

5 Ez ettől különböző megoldások keresésekor a továbbiakban feltételezhetjük, hogy x 0, ezért (1) leosztható x-szel. Az így kapott 2x 2 4,5 = 0 másodfokú egyenlet gyökei nyilvánvalóan: x 2 = 1,5, és x 2 = +1,5 Rezgés olyan egynesúlyi helyzetek körül alakulhat ki, ahol F (x) monoton fogyó. Ezt a grafikon felrajzolásával vagy deriválással lehet eldönteni. /Mindegyik jó megoldás./ Eredmény: Csak x 1 = 0 körül fogyó F (x), tehát e körül alakulhat ki rezgés. A kis rezgések körfrekvenciája: ω = 1 m F (x 1 ) = 1 4 (6x2 1 4,5) = 4,5/4 = 1,06 1 s Ebből a kérdezett periódusidő: T = 2π ω = 5,93 s K-2.: Egy 3 kg tömegű test rugalmasan van rögzítve valahol. Kis kitérések esetén másodpercenként pontosan 2 rezgést végez, de a rezgések amplitúdója 3 s alatt megfeleződik. Mekkora a csillapítási tényező és a befogást jellemző rugóállandó? Megoldás: A másodpercenkénti 2 rezgés azt jelenti, hogy a csillapított rezgések frekvenciája: A 3 s alatti amplitúdófeleződés miatt: ω cs = 2π 0.5 s = 4π 1 s Innét a csillapítási tényező: A(3) = A 0 2 = A 0 e β 3 β = ln2 3 = s A csillapítatlan és a csillapított frekvencia közti összefüggés alapján: ω 0 = ω 2 cs + β 2 = s Tudjuk, hogy: Innét a kérdezett rugóállandó: ω 0 = D m D = mω 2 0 = 468 N m 5

6 K-3.: Egy rezgő test légüres térben (csillapítás nélkül) 32.5 Hz-es körfrekvenciával rezeg. Levegőben frekvenciája 31.9 Hz-re csökken. Mekkora a csillapítási tényező értéke itt? Mennyi idő alatt csökken a csillapított rezgés amplitúdója az eredeti 1/10 részére? Megoldás: A szokásos jelölésekkel: ω 0 = 32.5 ω cs = 31.9 Tudjuk, hogy ahonnét a csillapítási tényező: β = ω cs = ω 2 0 β 2 ω 2 0 ω 2 cs = s Az amplitúdó csökkenését megadó összefüggést alkalmazva az 1/10-részre csökkenő esetre: A 0 10 = A 0 e βt Innét: t = 1 ln 10 = 0.37 s β Tehát kb s alatt csökken a rezgések amplitúdója az eredeti 10-ed részére. K-4.: Egy csill. rezgőmozgás amplitúdója kezdetben 13 cm, 20 s múlva már csak 9 cm. Mekkora a csillapítási tényező? A kezdettől számítva mennyi idő múlva csökken az amplitúdó 5 mm alá? Megoldás: Tudjuk, hogy az amplitúdó időfüggése: A(t) = A 0 e βt ahol A 0 = 13 cm, a kezdeti amplitúdó, β pedig a csillapítási tényező. t 1 = 20 s-ra alkalmazva ezt: A 1 = A 0 e βt 1 Innét egyszerű átrendezésekkel: β = 1 t 1 ln A 1 A 0 = s A második kérdésre a válasz az alábbi módon határozható meg: Legyen az ismeretlen időpont t 2. Tudjuk, hogy t 2 -kor az amplitúdó A 2 = 0.5 cm. Azaz: A 2 = A 0 e βt 2 Innét: t 2 = 1 β ln A 2 A 0 = s Tehát s szükséges az amplitúdó 0.5 cm alá csökkenéséhez. 6

7 K-5.: Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitudója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitudójú gerjesztett rezgések jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: A feladat megoldásához a gerjeszett rezgések amplitudóját megadó alábbi összefüggésből kell kiindulni: a 0 A g (ω g ) = (ω 2 0 ω 2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g A sajátfrekvencián kialakuló rezgések amplitudója ezért: A g (ω 0 ) = a 0 (ω 2 0 ω 2 0) 2 + 4β 2 ω 2 0 = a 0 2βω 0 Az igen kis frekvenciákon kialakulóké pedig: A g (0) = a 0 (ω ) 2 + 4β 2 0 = a 0 2 ω0 2 Ezek arányát kérdezi a feladat, azaz a következő mennyiséget: A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β Innen egyedül a β csillapítási tényező értéke nem ismert. Ez viszont könnyen megkapható abból a tényből, hogy a rezgés amplitudója t = 3,2 s alatt feleződik meg: ahonnét A kérdezett arány tehát: A 0 2 = A 0 e βt β = ln 2 t = 0,217 1 s A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β = 28,6 Tehát a rezonanciafrekvencián kialakuló rezgések amplitudója 28,6-szor nagyobb a kis frekvenciák mellett kialakuló amplitudónál. K-6.: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 10 V-os, ha csak a másik, akkor 6 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 11 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! Megoldás: A feladat szövege szerint azonos frekvenciájú harmonikus rezgések egyirányú eredőjével kell számolnunk. Azt tudjuk, hogy a két rezgés A 1 = 10 V és A 2 = 6 V-os amplitúdójú, az eredő pedig A = 11 V-os. Ismert, hogy ebben az esetben: A = A A A 1 A 2 cos ϕ Innét a kérdezett fáziseltérés koszinusza: cos ϕ = A2 A 2 1 A 2 2 2A 1 A 2 =

8 Azaz a fáziseltérés: ϕ = ±1.696 = ±97.2 o (A fáziseltérés előjele a feladat adataiból nem határozható meg.) Gyakorló feladatok Gy-1.: Egy 4 kg-os test egyenes mentén mozoghat, és SI-egységekben az alábbi erő hat rá: F (x) = 10 2/x 2. Hol vannak a test egyensúlyi helyzetei? Melyik(ek) körül alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis rezgések periódusideje? Gy-2.: Egy csillapított rezgőmozgás amplitúdója kezdetben 17 cm. 20 s múlva már csak 4 cm. Mekkora a csillapítási tényező? A kezdettől számítva mennyi idő múlva lesz az amplitúdó 5 mm? Gy-3.: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 10 V-os, ha csak a másik, akkor 6 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! 8