Mechanikai rezgések = 1 (1)

Átírás

1 1. Jellemző fizikai mennyiségek Mechanikai rezgések Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek a körmozgást jellemző mennyiségekkel. a) Periódus Az idő, mely alatt a körmozgást végző test egy teljes kört ír le (a rezgőmozgást végző test egy teljes rezgést végez). Jele: T. Mértékegysége: 1s. b) Frekvencia Az egységnyi idő (általában 1s) alatt megtett körök száma (a végzett rezgések száma). Jele: ν. Mértékegysége: Hz(hertz) vagy fordulat/másodperc. A frekvencia és periódus közötti összefüggés: c) Szögsebesség = 1 (1) A sebességgel rokon fizikai mennyiség, körmozgás esetén a kör középpontjából a testhez húzott sugár egységnyi idő alatt sepert szögét jelenti. Jele: ω. Mértékegysége: radián/s. Észrevehető, hogy a szög mérésére nem a fokot, hanem a radiánt használják. Egy radián annak a középponti szögnek a nagysága, melyhez sugár nagyságú körív tartozik. Ezek szerint egy teljes körhöz pont radián nagyságú középponti szög tartozik. Mivel egy teljes kört pont T idő alatt tesz meg a test, ezért a szögsebesség kiszámítható, mint: = () Egyenletes a körmozgás, ha a szögsebesség nagysága nem változik. Ebben az esetben a megtett szög értéke kiszámítható, mint: = + (3) ahol a kezdeti szög (kitérés). Rezgőmozgás esetén a szög helyett a fázis kifejezést használják: = + (3). Ideális harmonikus oszcilátor Mechanikai rezgések 1

2 A rezgőmozgás periodikus, tehát ismétlődő mozgás egy egyensúlyi helyzet körül. Tanulmá- tehát egy ideá- nyozni egy ideális rugóra akasztott test modell segítségével lehet. Tekintsünk lis (tömegét elhanyagoljuk, tökéletesen rugalmas) k rugalmassági állandójú rugót, mely végére m tömegű anyagi pontot (méreteitől eltekintünk, csak tömege jellemzi) akasztunk. A rugót szabad végén rögzítjük és úgy helyezzük el, hogy a rugó-test rendszerünk függőleges irány- ban végezhessen rezgőmozgást. A rendszerünk egyensúlyi helyzete abban a pontban van ahol a test súlyát kiegyenlíti a rugó rugalmas ereje. Ahhoz, hogy rezgéseket keltsünk, a tes- irányú lesz, tünket ki kell mozdítsuk egyensúlyi helyzetéből. Mivel a mozgás függőleges egyetlen koordinátával meghatározhatjuk a rezgő test helyzetét. Legyen ez az y. A test, miu- erő hatására, tán szabadon engedjük az egyensúlyi helyzet fele fog mozogni egy visszatérítő mely a következő alakú: = (4) ahol - állandó (jelen esetben a rugó rugalmassági állandója), - kitérés-vektor. Az 4-ben is látszik, hogy a visszatérítő erő ellentétes a kitéréssel (a mínusz előjel). Az olyan rezgőmozgá- A legnagyobb sokat, melyekre felírható az 4-es alakú egyenlet harmonikus rezgőmozgások. kitérést A-val jelöljük és amplitúdónak nevezzük. A harmonikus rezgések matematikai leírásához fel- Az egyenletes használjuk az egyenletes körmozgást. körmozgást végző test vetülete az Oy tengelyen egybeesik a tanulmányozott testt mozgásával. Ha a körmozgás szögsebessége és az Ox tengely és a test kezdeti helyzetéhez húzottt sugár közötti szög, akkor t idő alatt = + szöget ír le a sugár. Mivel a körmozgás sugaraa egyenlő az ampli- a követ- túdóval, a pillanatnyi kitérés kiszámítható kező egyenletből: =sin( +) (5) A körmozgást végző test sebessége érintője a köraz s megtett út pályának, nagysága levezethető (körív) és a hozzá tartozó középponti szög α közötti összefüggésből: = (6) A 6-os egyenlet mindkét oldalát osztjuk t-vel (az s út megtételéhez szükséges idővel), kapjuk: =! = (7) A rezgőmozgást végző test sebessége megegyezik a Mechanikai rezgések

3 körmozgást végző test sebességének függőleges vetületével. A mellékelt ábra szerint a sebesség kifejezése: = cos + 8 Végül a rezgőmozgás gyorsulása kiszámítható az egyenletes körmozgást végző test centripetális gyorsulásának függőleges tengelyre vett vetületeként: = sin + 9 A mínusz előjel mutatja, hogy a gyorsulás ellentétes irányítású a kitéréshez képest. A 9-es összefüggés felírásánál használtam a centripetális gyorsulás kifejezését, mely az ábrán lévő sebesség és sugarak által létrejött háromszögek hasonlóságából levezethető: = h+,,, = vagy, felhasználva a 7-es kifejezést: az utolsó összefüggést osztva -vel megkapjuk a gyorsulás kifejezését: = = = 11 = = = 10 Rezgőmozgás esetén a leírt szög kifejezés helyett a fázis kifejezést használjuk. A kitérés, sebesség és gyorsulás kifejezéseiből kitűnik, hogy a kitérés és sebesség fázisai nem azonosak. Felhasználva a: cos + = sin. ++ / 1 trigonometriai összefüggést, azt mondhatjuk, hogy a sebesség és kitérés között 0 vagyis os fáziskülönbség van. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy legnagyobb kitéréskor a sebesség zéró, vagy a legnagyobb sebesség esetén a kitérés zéró. Megfigyelhető még a sin és cos függvények periodikussága miatt, hogy a kitérés, sebesség és gyorsulás értékek egy periódusnyi idő után ismétlődnek. Ha grafikusan ábrázoljuk őket, akkor a mellékelt Mechanikai rezgések 3

4 grafikonokat kapjuk. A harmonikus oszcillátor periódusát kifejezhetjük a 4-es alapfeltételt skalárisan felírva és figyelembe véve a kitérés és gyorsulás egyenleteit: =1 = 1 sin += sin + 13 A 13-as egyenlőségből következik, hogy: vagy a -es és 14-es egyenletet felhasználva: 1 = 14 = = 1 15 Az utolsó egyenlőség szerint a harmonikus rezgőmozgás periódusa nem függ a kezdeti feltételektől és a rezgés amplitúdójától, csak a test tömegétől és a rugó rugalmassági állandójától. 3. A harmonikus oszcillátor energiája Rezgés közben a harmonikus oszcillátornak mechanikai energiája van: mozgási és helyzeti energia. A teljes mechanikai energia a két energia összege. Az energia matematikai kifejezéseit megkapjuk felhasználva a rugó helyzeti energiájának képletét és a mozgási energia képletét: 3 4 = = sin + 16 A 16-os a helyzeti energia kifejezése, és: 3 5 = 1 cos + =1 17 a 17-es a mozgási energia kifejezése. A 17-es kifejezést átalakítva kapjuk: 3 5 = 1 cos + = 1 1 sin + = 18 A két energiafajta kiegészíti egymást: a kitéréssel nő a helyzeti energia és csökken a mozgási energia és fordítva. A két energia összege állandó, mivel a Mechanikai rezgések 4

5 rendszer szigetelt, energiacsere a környezettel nincs. Matematikailag: = + = 19 Ha grafikusan ábrázoljuk a mozgási- és helyzeti energiát a kitérés függvényében, akkor a mellékelt ábrát kapjuk. A grafikonon is megfigyelhető, amit a 19-es kifejezés megerősít, az, hogy a teljes energia, a helyzeti és mozgási energiák összege állandó. 4. Gravitációs inga Legfontosabb összetevői: nyújthatatlan fonal és végén egy m tömegű test. A számítások során elhanyagoljuk a súrlódási erőt. Ha a fonal szabad végét rögzítjük, és a testet kitérítjük egyensúlyi helyzetéből (nem túl nagy szöggel) majd elengedjük, rezgéseket fog végezni az egyensúlyi helyzete körül. Bebizonyítjuk, hogy a test harmonikus rezgőmozgást végez. Az egyensúlyi helyzet felé visszatérítő erő a G t. Értéke kis szögekre (sinα α) a következő: 6 7 =1!sin =1! =1! 8 9 =1! 8 =8 0 9 ahol x a kitérés az egyensúlyi helyzethez képest. Látható, hogy a visszatérítő erő egyenesen arányos a kitéréssel, ami pont a harmonikus rezgőmozgás feltétele. Felhasználva 15-öst és a 0-ast, a gravitációs inga periódusára kapjuk: = = 1 = :9! 1 Tehát a gravitációs inga periódusa csak az inga hosszától (l) és a gravitációs állandótól függ (g). 5. Csillapított mechanikai rezgések Feltételezzük, hogy az energiaátadás történik az oszcillátor részéről a környezet felé, mégpedig súrlódás miatt. Két esetet fogunk tárgyalni: amikor a súrlódás kis mértékű és amikor a súrlódás erőteljes. a) kis mértékű súrlódás esete Ebben az esetben a súrlódás a rezgések csillapodását okozza. Időben a rezgések ampli- Mechanikai rezgések 5

6 túdója csökken, végül a rezgések megszűnnek. Ha grafikusan ábrázoljuk a kitérést az idő függvényében, akkor a mellékelt grafikont kapjuk. A rendszer energiavesztesége arányos az idővel. b) nagymértékű súrlódás Ha a csillapítási tényező (súrlódási erő) mértéke fokozatosan nő, elérünk abba a helyzetbe, amikor a rezgést végző test nem jut át az egyensúlyi helyzeten, már azelőtt megáll. Ebben az esetben aperiodikus mozgásról beszélünk. Grafikus ábrázolása a mellékelt képen található. Súrlódás mindig fellép ezért, csillapítatlan rezgéseket úgy állíthatunk elő, hogy a rezgőrendszer által veszített energiát folyamatosan pótoljuk. 6. Kényszerrezgés, rezonancia. Ha egy oszcillátort rezgésbe hozunk és magára hagyunk, akkor csillapodó rezgéseket fog végezni. Az így létrejött rezgéseket sajátrezgéseknek nevezzük. A sajátrezgés frekvenciáját és periódusát, melyeket a rezgőrendszer fizikai jellemzői egyértelműen meghatároznak, sajátfrekvenciának és sajátperiódusnak nevezünk. Ha egy rezgő rendszerre valamilyen periodikus gerjesztő erő hat, akkor a rendszer rezgéseket végez. Néhány rezgés után a rendszer periódusa és amplitúdója állandósul, a rezgések periódusa megegyezik a gerjesztő rendszer periódusával. Az ilyen rezgéseket kényszerrezgéseknek nevezzük. Tételezzük fel, hogy van egy oszcillátorunk, melynek saját frekvenciája és egy gerjesztő rendszerünk, melynek rezgései állandó A 0 amplitúdójúak és frekvenciájuk változtatható. A gerjesztő rendszer hatására az oszcillátorunk kényszerrezgéseket végez. Ha ábrázoljuk a kényszerrezgések amplitúdóját a frekvencia függvényében, akkor a mellékelt grafikont kapjuk. Azt láthatjuk, hogy a gerjesztő frekvencia függvényében változik a kényszerrezgések amplitúdója. A sajátfrekvenciánál kisebb és nagyobb frekvenciáknál az amplitúdó kicsi. A görbéknek akkor van maximuma, amikor a gerjesztő frekvencia megegyezik a gerjesztett rendszer saját frekvenciájával. Azt a jelenséget, amikor a gerjesztett rendszer amplitúdója maximális, rezonanciának nevezzük. Rezonancia esetén a rezgés amplitúdója a gerjesztő rendszer amplitúdójának sokszorosa lehet. Mechanikai rezgések 6

7 Például, ha egy lengő hintát kimozdítunk egyensúlyi (függőleges) helyzetéből és magára hagyunk, akkor csillapított rezgéseket fog végezni, egyre kisebb amplitúdóval. Ha viszont minden lengés alkalmával kezünkkel lökünk egyet rajta, akkor kényszerrezgéseket fog végezni. Akkor lesz a hinta kitérése a legnagyobb (állandó erősségű lökések mellett), ha a lökések frekvenciája megegyezik a hinta lengési (saját) frekvenciájával. Vagyis lökéseink iránya megegyezik a hinta mozgásirányával. 7. Párhuzamos rezgések összetétele Ha két vagy több oszcillátor rezgés közben össze van kapcsolva (hatnak egymásra), akkor a rezgéseik összetevődnek. Ha rezgésirányaik megegyeznek, akkor párhuzamos rezgések öszszetevéséről beszélünk. A két rezgést leíró egyenlet azonos frekvenciák esetén legyen: ; = ; sin é = sin+ Az eredő rezgés amplitúdója legyen A és kezdőfázisa. Az eredő rezgés frekvenciája megegyezik az összetevő rezgések frekvenciájával. Amplitúdója függ az összetevő rezgések amplitúdójától és azok fáziskülönbségétől: - azonos fázisú rezgések esetén = ; +, és az eredő rezgés fázisa megegyezik az összetevő rezgések fázisával. - ellentétes fázisú rezgések esetén ( = ): = ; és az eredő rezgés fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha ; =, akkor =0, a rezgések kioltják egymást. - általános esetben: = ; + + ; cos é tan = sin ; + cos 3 Az utolsó 3-as összefüggések levezetéséhez a rezgések forgóvektoros ábrázolását használjuk. Legyen vektor egy xoy koordinátarendszerben állandó szögsebességgel forgó vektor. A vektor támadáspontja az O pont. A forgó vektor y tengelyre vett vetülete a rezgőmozgás kitérése. Ha két rezgést tanulmányozunk, akkor mindkét rezgésnek megfelel egy-egy vektor. Az eredő rezgést megkapjuk, mint a két vektor összegét. A t=0 időpillanatban ábrázolva a rezgéseket, a mellékelt grafikont kapjuk. Az a,b és c oldalakkal jelölt háromszögben a cos tételt alkalmazva kapjuk: = ; + ; cos180 = ; + + ; cos 4 Mechanikai rezgések 7

8 Az eredő rezgés kezdőfázisa pedig kiszámítható, ha felbontjuk vízszintes és függőleges összea tevőre az eredő amplitúdót, majd a kezdőfázis tangensét adjuk meg, mint 3-ban. Ha az összegzendő rezgések frekvenciája különbözik, akkor az eredő rezgés általában nem harmonikus, sőt nem is periodikus. Speciális eset akkor, amikor a két rezgés amplitúdója egyenlő és frekvenciáik megközelítőleg egyenlők. Tehát: Felhasználva a: ; =sin( ; é sin ; A 5 sinsinb cos B trigonometriai kifejezést, az eredő rezgés kitérésére kapjuk: sin B = ; + = sin( ; ) sin cos ; sin ; 6 A 6-os kifejezés első része cos C DEC F 7, megfelel egy időben változó amplitúdónak, melynek maximális értékei a cos függvény szerint (átírva frekvenciára) akkor van,ha: cos ; A 7-ből következik, hogy minél közelebbiek a frekvenciák, annál ritkábbakk a maximumok. Felhasználva a 0 összefüggést, az amplitúdó változásának cos ; ; cos 8. Merőleges rezgések összetétele cos ; G1 7 8 Mivel a cos függvénynek egy perióduson belül kétszer van maximuma, ezért az eredő amplitúdó is kétszer lesz maximális, ezért elérésének frekvenciája: ;, amit le- a jelenséget begési frekvenciának nevezünk, pedig lebegésnek. ; sin é 8 sin 9 Legyen két rezgés egymásra merőleges, azonos frekvenciájú, harmonikus rezgés. Egyenlete- ik, feltételezve, hogy az egyik x irányú, a másik y irányú: Ebben az esetben a pont pályája függ az amplitúdók arányától és a rezgések közötti fázis- különbségtől. Speciális esetek: Mechanikai rezgések 8

9 a) 0, azaz a rezgések azonos fázisúak. A két rezgésegyenletet egymással elosztva kapjuk: 8 ;! ; 8 30 ami nem más, mint egy origón átmenő egyenes egyenlete. A test ezen egyenes által meghatározott irányban végez rezgéseket, szögsebességgel és ; amplitúdóval. Ha a 180, akkor az eset hasonló, csak az egyenes iránytényezője ellentétes előjelű. b) = /=90 és A 1 =A. Ebben az esetben a két kitérésegyenlet: = sin é 8 =sin.+ /=cos 31 Az egyenleteket négyzetre emelve és összeadva kapjuk: 8 + = 3 A 3-es egy origóval megegyező középpontú kör egyenlete. A test ezen a körpályán végez egyenletes körmozgást szögsebességgel. Ha a =3 /=70, akkor az előbbihez hasonlóan körpályán mozog a test, azzal a különbséggel, hogy a mozgás ellentétes irányítású (óramutatóval megegyező). c) = /=90 de A 1 A. A kitérésegyenletek ebben az esetben: = ; sin é 8 = cos 33 Ebben az esetben kifejezzük mindkét egyenletből a szögfüggvényeket, négyzetre emeljük őket és a sin 8+cos 8 =1 trigonometriai azonosságot felhasználva kapjuk: 8 + ; = 1 34 A 34-es szerint a test pályája ellipszis melynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel. A tengelyek hossza A 1, illetve A. d) Eltérő frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összetétele esetén, általában bonyolult, nem periodikus rezgés jön létre. Ezek az ún. Lissajous-görbék. Mechanikai rezgések 9