Rezgőmozgások. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

Átírás

1 Rezgőmozgások Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

2 , Egyirányú 2 / 66

3 Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés), Egyirányú 3 / 66

4 Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető., Egyirányú 3 / 66

5 , Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x 0, melyre x(t) = x 0 -nak sok megoldása van t-re, akkor ról beszélhetünk. Egyirányú 3 / 66

6 , Egyirányú Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x 0, melyre x(t) = x 0 -nak sok megoldása van t-re, akkor ról beszélhetünk. Ha x(t) periodikus, akkor periodikus ról beszélünk. (Vigyázat! Nem minden periodikus.) 3 / 66

7 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú 4 / 66

8 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van., Egyirányú 5 / 66

9 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta., Egyirányú 5 / 66

10 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda,... így előáll egy rezgés., Egyirányú 5 / 66

11 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda,... így előáll egy rezgés. Matematikailag: Egyensúlyi pont: F(x 0 ) = 0 Visszatérítés jobbról: F(x) < 0, ha x > x 0 és x x 0 < δ Visszatérítés balról: F(x) > 0, ha x < x 0 és x 0 x < δ 5 / 66

12 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Egyensúlyi helyzet rezgéssel: F(x) egyensúly x 0 visszatérítõ erõ x 6 / 66

13 szemléltetés: instabil egyensúly szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Egyensúlyi helyzet rezgés nélkül: F(x) eltérítõ erõ x egyensúly x 7 / 66

14 összefoglalás szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F(x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem., Egyirányú 8 / 66

15 összefoglalás szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F(x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem. Egyszerű példák stabil és instabil egyensúlyi helyzetre: labda dombon és gödörben. instabil egyensúly, Egyirányú stabil egyensúly 8 / 66

16 alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú 9 / 66

17 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki., Egyirányú 10 / 66

18 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó., Egyirányú 10 / 66

19 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre., Egyirányú 10 / 66

20 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre. A mozgás egyenlete: Beírva a gyorsulás jelentését: F = Dx = ma a = D m x d 2 x dt 2 = x = D m x 10 / 66

21 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.), Egyirányú 11 / 66

22 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának negatív konstans szorosa. Ilyenek pl. a sin és cos függvények. ((sinx) = (cos x) = sin x)., Egyirányú 11 / 66

23 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának negatív konstans szorosa. Ilyenek pl. a sin és cos függvények. ((sinx) = (cos x) = sin x). Keressük a megoldást ilyen alakban: x(t) = Asin(B t + C) ahol A, B és C egyelőre ismeretlen jelentésű állandók. Egyirányú 11 / 66

24 ... alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú A sebesség és a gyorsulás: v(t) = x (t) = Acos(B t + C) B, a(t) = x (t) = v (t) = Asin(B t + C) B 2. Kihasználva a(t) = D/m x-et: Asin(B t + C)B 2 = D Asin(B t + C) m Ez csak akkor állhat fenn, ha B 2 = D/m. (A és C tetszőleges.) Elnevezések: B=ω = D/m: körfrekvencia. T = 2π/ω: periódusidő. f = 1/T = ω/(2π): frekvencia. A: amplitúdó. C=ϕ 0 : kezdőfázis. 12 / 66

25 összefoglalás x(t) = Asin(ωt + ϕ 0 ) v(t) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) alapegyenlet az alapegyenlet megoldása a(t) = Aω 2 sin(ωt + ϕ 0 ) összefoglalás energiaviszonyok ω = D m, T = 2π m ω = 2π D f = 1 T, Egyirányú 13 / 66

26 összefoglalás alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú ω = D m, x(t) = Asin(ωt + ϕ 0 ) v(t) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) a(t) = Aω 2 sin(ωt + ϕ 0 ) T = 2π m ω = 2π D f = 1 T Ez a mozgás a középiskolából ismert harmonikus. (Érdekesség: a körfrekvencia nem függ az amplitúdótól, de a tömeg növekedésével csökken.) 13 / 66

27 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik., Egyirányú 14 / 66

28 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is., Egyirányú 14 / 66

29 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ), Egyirányú 14 / 66

30 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) Helyzeti (potenciális) energia: V (t) = 1 2 Dx2 = 1 2 DA2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) Egyirányú 14 / 66

31 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) Helyzeti (potenciális) energia: V (t) = 1 2 Dx2 = 1 2 DA2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) Kihasználva, hogy ω 2 = D/m, D helyére mω 2 írható: V (t) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) 14 / 66

32 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = 15 / 66

33 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. 15 / 66

34 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. 15 / 66

35 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: 15 / 66

36 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: maximális kitéréskor E m = 0, V = E 15 / 66

37 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: maximális kitéréskor E m = 0, V = E az egyensúlyi helyzeten áthaladva V = 0, E m = E 15 / 66

38 Egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg?, Egyirányú 16 / 66

39 Egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg? Megoldás: A körfrekvencia: 10 s alatt 23 rezgés: T = 10 s 23 = 0,435 s. ω = 2π T = 14,45 1 s. A kérdezett rugóállandó is meghatározható: T = 2π m D D = 4π2 m T 2 = 52,2 N m. 16 / 66

40 Még egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója?, Egyirányú 17 / 66

41 Még egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója? Megoldás: A v 0 = 5 m/s-os sebesség a test maximális sebessége, azaz Aω = v 0 m/s. ω egyszerűen meghatározható: ω = D/m, így azt állíthatjuk, hogy ahonnét a keresett amplitúdó: v 0 = A D m, A = v 0 m D = 0,129 m. Tehát a test 12,9 cm-es amplitúdójú et fog végezni. 17 / 66

42 kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 18 / 66

43 kis amplitúdójú Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 19 / 66

44 kis amplitúdójú kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. Egyensúlyi helyzet körüli kis esetén közel harmonikus rezgést fogunk kapni, hisz sima F(x) esetén kis szakaszon F(x) grafikonja jól közelíthető érintőjével., F(x) érintõ Egyirányú egyensúly x 0 x x 0 19 / 66

45 ... Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 20 / 66

46 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test., Egyirányú 20 / 66

47 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú frekvenciája: ω = F (x) m = 1 m df dx Egyirányú 20 / 66

48 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú frekvenciája: ω = F (x) m = 1 m Nem tévedés! Stabil egyensúly esetén F(x) monoton fogy x 0 körül, így itt F(x 0 ) < 0, ezért ω képletében a gyökjel alatt pozitív szám áll. df dx 20 / 66

49 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg?, Egyirányú 21 / 66

50 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0,, Egyirányú 21 / 66

51 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: Egyirányú 21 / 66

52 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) 21 / 66

53 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? 21 / 66

54 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: Hol van a test egyensúlyban? F(x) = 5 x 9 Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? Azaz monoton fogyó-e F(x) x 0 egy kis környezetén? 21 / 66

55 ... Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 22 / 66

56 ... kis amplitúdójú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 egy példa egy másik példa, Egyirányú 22 / 66

57 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Egyirányú 22 / 66

58 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: ω = F (x 0 ) m = 16,2 2 2,85 1 s 22 / 66

59 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: ω = F (x 0 ) m = 16,2 2 2,85 1 s A periódusidő: T = (2π)/ω = 2,21 s 22 / 66

60 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy kicsit segíthet, ha felrajzoljuk F(x) grafikonját: /x Látszik, hogy egy egyensúlyi helyzet van, mely stabil. 23 / 66

61 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg?, Egyirányú 24 / 66

62 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x = 0 Egyirányú 24 / 66

63 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x = 0 Nyilvánvaló megoldás az x 1 = 0. Az ezen kívüli megoldásokat keresve eloszthatjuk az egyenletet x-szel: 10x 2 + x 0,2 = 0 24 / 66

64 ... Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 25 / 66

65 ... kis amplitúdójú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. egy példa egy másik példa, Egyirányú 25 / 66

66 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2, Egyirányú 25 / 66

67 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2 F (x 1 ) = 0,2 F (x 2 ) = 0,3 F (x 3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x 1 = 0 körül alakul ki rezgés. 25 / 66

68 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2 F (x 1 ) = 0,2 F (x 2 ) = 0,3 F (x 3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x 1 = 0 körül alakul ki rezgés. ω = F (x 1 ) m 0,169 1 s T = 2π/ω = 37,2 s 25 / 66

69 ... kis amplitúdójú rezgés x + x 0.2 x egy példa egy másik példa 0, Egyirányú nincs rezgés / 66

70 a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 27 / 66

71 a csillapodás oka A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. ( ritka közegben, sűrű közegben) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 28 / 66

72 a csillapodás oka a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. ( ritka közegben, sűrű közegben) Vegyük figyelembe a közeg hatását: F rugó + F közeg = m a Itt F rugó = Dx, a közeg hatását pedig írjuk fel a következő alakban: F közeg = C v Tehát sebességgel arányos fékezőerőt tételezünk fel. Ez pl. kis sebességű mozgásnál jó közelítéssel igaz a közegellenállásra. 28 / 66

73 a csillapított alapegyenlete Az előzőeket folytatva: D x C v = m a a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Átrendezve: a = D m x C m v 29 / 66

74 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0., Egyirányú 29 / 66

75 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Egyirányú 29 / 66

76 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított alapegyenlete: a = ω 2 0 x 2β v 29 / 66

77 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított alapegyenlete: Egyirányú Másképp: a = ω 2 0 x 2β v x = ω 2 0x 2βx 29 / 66

78 ... Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 30 / 66

79 ... a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω 0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω 0 β (nagy csillapítás)., Egyirányú 30 / 66

80 ... a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω 0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω 0 β (nagy csillapítás). Ezek közül a kis csillapítás fordul elő gyakrabban, így ezt tárgyaljuk részletesen., Egyirányú 30 / 66

81 kis csillapítások esete Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete ahol ω cs = ω 2 0 β2 kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 31 / 66

82 kis csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: ahol x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) ω cs = ω 2 0 β2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ω cs < ω 0 ), amplitúdója pedig A 0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. Egyirányú 31 / 66

83 kis csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: ahol x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) ω cs = ω 2 0 β2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ω cs < ω 0 ), amplitúdója pedig A 0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. Maga az amplitúdó időbeli változása: A(t) = A 0 e βt 31 / 66

84 ... x A 0 x(t) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú A 0 t 32 / 66

85 nagy csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Amennyiben ω 0 β, nem is alakul ki, hanem az x(t) függvény monoton csökkenően 0-hoz tart. x erõs csill. nagyon erõs csill., Egyirányú t 33 / 66

86 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 34 / 66

87 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú ahol t = 12 s. A 0 2 = A(t) = A 0e βt 34 / 66

88 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú ahol t = 12 s. Innen egyszerű átrendezéssel: A 0 2 = A(t) = A 0e βt β = ln2 t = 0, s 34 / 66

89 még egy példa Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 35 / 66

90 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz, Egyirányú 35 / 66

91 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy A 1 = A 0 e βt 1 Egyirányú 35 / 66

92 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy innét egyszerű átrendezéssel: A 1 = A 0 e βt 1 β = 1 t 1 ln A 1 A 0 = 0,16 1 s 35 / 66

93 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: 36 / 66

94 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: A 2 = A 0 e βt 2 t 2 = 1 β ln A 2 A 0 = 31,1s (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) 36 / 66

95 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: A 2 = A 0 e βt 2 t 2 = 1 β ln A 2 A 0 = 31,1s (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) A csillapítatlan ω 0 frekvencia a fenti ω cs = ω 2 0 β2 összefüggésből kapható meg: ω 0 = ω 2 cs + β 2 = 1,31 Hz 36 / 66

96 , gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa, Egyirányú 37 / 66

97 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.), gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 38 / 66

98 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik:, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú ahol ma = F rugó + F közeg + F g F g = F 0 sin(ω g t) 38 / 66

99 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik:, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása ahol ma = F rugó + F közeg + F g F g = F 0 sin(ω g t) a rezonancia egy példa Egyirányú A fentiekhez hasonlóan: ahol a 0 = F 0 /m. a = ω 2 0x 2βv + a 0 sin(ω g t) 38 / 66

100 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Kis csillapítások esetén a megoldás: x(t) = A g sin(ω g t + δ) + A e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.), gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 39 / 66

101 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Kis csillapítások esetén a megoldás: x(t) = A g sin(ω g t + δ) + A e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.) x A g t 39 / 66

102 a rezonancia Hosszú távon tehát A g számít. Ennek kifejezése: A g = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú A g nincs csill. gyenge csill. erõs csill. ω 0 ω g 40 / 66

103 ... A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 41 / 66

104 ... A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége. Egyszerű példa: rezgetett végű rugón lógó test. Ez sokszor fellép a gyakorlatban, néha káros, néha hasznos., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 41 / 66

105 egy példa Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon?, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 42 / 66

106 egy példa, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: amplitúdója: A g (ω g ) = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g Egyirányú 42 / 66

107 egy példa, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: amplitúdója: A g (ω g ) = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g A sajátfrekvencián kialakuló esetében ez: A g (ω 0 ) = a 0 (ω 2 0 ω2 0 )2 + 4β 2 ω 2 0 = a 0 2βω 0 42 / 66

108 ..., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Igen kis frekvencián: A g (0) = a 0 = a 0 (ω ) 2 + 4β ω / 66

109 ... Igen kis frekvencián: A g (0) = a 0 = a 0 (ω ) 2 + 4β ω0 2, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Ezek arányát kérdezi a feladat: A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β a rezonancia egy példa Egyirányú 43 / 66

110 ... Mennyi lesz β?, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 44 / 66

111 ... Mennyi lesz β? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A 0 2 = A 0 e βt β = ln2 t = 0,217 1 s, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 44 / 66

112 ..., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Mennyi lesz β? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A 0 2 = A 0 e βt β = ln2 t A kérdezett arány tehát: A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β = 28,6 = 0,217 1 s Tehát a rezonanciafrekvencián kialakuló amplitúdója 28,6-szor nagyobb a kis frekvenciák mellett kialakuló amplitúdónál. (Ez valóban jelentős különbség: a frekvenciától függően tehát kb. 30-szoros eltérés lehet a gerjesztett rendszer amplitúdójában.) 44 / 66

113 , Egyirányú Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 45 / 66

114 A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 46 / 66

115 , A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 46 / 66

116 , A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Egyirányú : Merőleges : eredőjük egyenes menti rezgés. eredőjük síkmozgás. 46 / 66

117 , Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú : eredőjük egyenes menti rezgés. Merőleges : eredőjük síkmozgás. Sőt! Tovább korlátozzuk a vizsgálatokat harmonikus re. 46 / 66

118 Alapvető meggondolások Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ), Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 47 / 66

119 Alapvető meggondolások, Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. Például ha ω 1 /ω 2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 47 / 66

120 Alapvető meggondolások, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. Például ha ω 1 /ω 2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Gyakorlat szempontjából fontos eset: ω 1 = ω 2 = ω 47 / 66

121 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb eseteket! 48 / 66

122 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb eseteket! A 1 = A 2 = 1, ω 1 = ω 2 = 1, ϕ 1 = 0, ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 48 / 66

123 szemléltetés: racionális frekvenciaarány A 1 = A 2 = 1, ω 1 = 1, ω 2 = 2, ϕ 1 = ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 49 / 66

124 szemléltetés: közel irracionális frekvenciaarány Természetesen nem tudunk egzaktul irracionális frekvenciaarányt bemutatni, csak olyat, mely esetén a frekvenciaarány viszonylag nagy számlálójú és nevezőjű törtként áll elő. A 1 = A 2 = 1, ω 1 = 1, ω 2 = 5, ϕ 1 = ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 50 / 66

125 megoldási módszer Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ), Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66

126 megoldási módszer, Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66

127 megoldási módszer, Egyirányú Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás. Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66

128 megoldási módszer, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás. Alapötlet: forogjon egy A hosszúságú vektor úgy, hogy irányszöge ωt + ϕ szerint változzon. Ekkor 2. koordinátája épp egy harmonikus rezgést ír le: A sin(ωt + ϕ) Szinuszos helyett egyenletes körmozgást vizsgálunk. 51 / 66

129 a forgóvektoros ábrázolás Szemléltessük az előzőket:, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Asin(ωt + ϕ) A ωt + ϕ 52 / 66

130 két rezgés Forgóvektoros ábrázolással két rezgés is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók,, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 53 / 66

131 két rezgés, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Forgóvektoros ábrázolással két rezgés is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók, A forgóvektorokat adjuk össze, és az összeg 2. koordinátáját figyeljük. t = 0 A α A A 2 A 2 A 1 A 1 Könnyű belátni, hogy α = π ϕ 2 + ϕ 1 ϕ 1 ϕ 2 53 / 66

132 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α 54 / 66

133 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π ϕ 2 + ϕ 1 ) = Innen az eredő amplitúdó: = A A A 1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) A = A A A 1A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) 54 / 66

134 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π ϕ 2 + ϕ 1 ) = = A A A 1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) Innen az eredő amplitúdó: A = A A A 1A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) Ha a frekvenciája egyenlő, a vektorok ugyanolyan ütemben fordulnak körbe, így az előző ábra vektorait csak elforgatni kell. Ekkor az eredő tiszta szinuszos rezgés lesz a fenti A amplitúdóval. 54 / 66

135 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 55 / 66

136 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Adott A 1 és A 2 esetén ez csak a ϕ = ϕ 2 ϕ 1 fáziskülönbségtől függ. 55 / 66

137 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Adott A 1 és A 2 esetén ez csak a ϕ = ϕ 2 ϕ 1 fáziskülönbségtől függ. Ez a függés monoton: A akkor a legnagyobb, ha ϕ a legnagyobb és viszont. 55 / 66

138 ..., Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 56 / 66

139 ..., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ϕ = π + k 2π, ekkor cos ϕ = 1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 ( 1) = A min = A 1 A 2 (A 1 A 2 ) 2 ) 56 / 66

140 ..., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ϕ = π + k 2π, ekkor cos ϕ = 1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 ( 1) = A min = A 1 A 2 (A 1 A 2 ) 2 ) Az eredő amplitúdó tehát A 1 + A 2 és A 1 A 2 közt bármilyen érték lehet. 56 / 66

141 Egy példa Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 V- os, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését!, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 57 / 66

142 Egy példa, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 V- os, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! Megoldás: Párhuzamos eredőjéről van szó: A 1 = 15 V és A 2 = 12 V, az eredő pedig A = 5 V. A = A A A 1A 2 cos ϕ átrendezésével a fáziseltérés koszinusza: cos ϕ = A2 A 2 1 A2 2 2A 1 A 2 = 0,9556. Innen: ϕ = ±2,842 + k 2π = ±162,9 + k 360, ahol k tetszőleges egész. 57 / 66

143 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? 58 / 66

144 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, 58 / 66

145 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ϕ lassan változik, 58 / 66

146 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ϕ lassan változik, azaz az eredő amplitúdó lassan, periodikusan csökken-növekszik A jelenség neve: lebegés. 58 / 66

147 , Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 59 / 66

148 Merőleges, Egyirányú x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 60 / 66

149 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. 60 / 66

150 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza: Lissajous-görbék. 60 / 66

151 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza: Lissajous-görbék. Ha a frekvenciák aránya irracionális, akkor a pálya sosem záródik. 60 / 66

152 azonos frekvenciák esete Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω., Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 61 / 66

153 azonos frekvenciák esete Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni., Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 61 / 66

154 azonos frekvenciák esete, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. Ha ϕ 1 = ϕ 2 + π/2, akkor: Ez egy körmozgás! x(t) = cos(ωt + ϕ 2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) 61 / 66

155 azonos frekvenciák esete, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. Ha ϕ 1 = ϕ 2 + π/2, akkor: Ez egy körmozgás! x(t) = cos(ωt + ϕ 2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Az előző két eset közti átmenetben a kör és az egyenes átmenetét kapjuk. Bebizonyítható, hogy pontosan ellipszis lesz az alak. 61 / 66

156 ...szemléltetés ϕ = 0 ϕ = (1/4)π ϕ = (1/2)π ϕ = (3/4)π 62 / 66

157 1:2 frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az ω 2 = 2ω 1 esetet. ϕ = 0 ϕ = (1/4)π ϕ = (1/2)π ϕ = (3/4)π 63 / 66