Kényszerrezgések, rezonancia

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kényszerrezgések, rezonancia"

Átírás

1 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az ilyen ezgéseet szeben a oábban tágyalt szabad ezgéseel ényszeezgésene nevezi A ülső énysze soféle lehet, itt a legegyszeűbb esetet vizsgálju, aio a ülső hatás étée időben szinusz vagy oszinusz függvény szeint változi Kényszeezgés echaniai ezgő endszeben A ényszeezgés jellegzetességei, a ezonanciafevencia A legegyszeűbb eset egy pontszeűne teinthető test ényszeezgése, ait egy egyszeű íséleti elendezéssel odellezhetün KÍSÉRLET: A ísélet vázlata az ábán látható A ét függőleges ugó özött elhelyezedő töeget az egyensúlyi helyzetéből itéítve és elengedve a töeg szabad ezgése jön léte Kényszeezgést úgy tudun egvalósítani, hogy az ábán látható excente fogatásával az R udat és így az alsó ugó végét peiodiusan fel-le ozgatju Ezáltal a endszee áényszeítjü a úd végéne ezgését, és az töeg ényszeezgést végez A ugóhoz éintett súlódó testtel a ezgést csillapítani is tudju Ha az excente szögsebességét, vagyis a ényszeezgés (öfevenciáját növeljü, ao jól egfigyelhető, hogy ezdetben az töeg ezgéséne aplitúdója icsi, ajd egye nő, és soszoosan eghaladja a ezgető úd végéne aplitúdóját Egy bizonyos szögsebességnél az aplitúdóna axiua van, a szögsebesség további növelésével az töeg ezgéséne aplitúdója csöen, és igen nagy szögsebességenél gyaolatilag á nincs ezgés Jól egfigyelhető a csillapítás hatása is: inél eősebben szoítju a ugóhoz a csillapító testet, annál isebb lesz a axiális aplitúdó Ha a csillapítás icsi, ao a axiális aplitúdó a töegpont szabad ezgéséhez özeli fevencián övetezi be Hasonló íséletet végezhetün el egy toziós ezgést végző testtel

2 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 14 KÍSÉRLET: Az alábbi ábán látható, ézből észült, fogatható oonga (az ábán feete egy spiálugó van szeelve, ai iatt a oong az egyensúlyi helyzetéből (az ábán a utató M helyzete való itéítéso szabad toziós (fogási ezgésbe jön Kényszeített toziós ezgést itt is egy excentees egoldással az R úd segítségével tudun létehozni A csillapítást itt az E eletoágnes ágneses eőteével tudju szabályozni, aely a ozgó ézoongban övényáaoat elt, és ezzel féezi a oong ozgását, vagyis csillapítja a ezgést Az excente fevenciájána növelésével itt is az előző íséletben á tapasztalt jellegzetességeet találju: az aplitúdó függ a énysze fevenciájától, és egy bizonyos fevenciánál axiua van A csillapítás növelése csöenti a axiális aplitúdót, is csillapításnál a axiu itt is a oong szabad ezgéséne fevenciája özelében van Bá a észletee vonatozóan evés infoációt ad, egyszeűsége és szeléletessége iatt édees egnézni ég az alábbi, ingáal egvalósított íséletet is KÍSÉRLET: Közös fonála felfüggesztün ülönböző hosszúságú, önnyű ingáat (ües öö, és egy nagyobb töegű ingát (A, aelyne hosszúsága tehát lengési fevenciája egegyezi a többi inga egyiével (B Ha a nehéz A ingát lengésbe hozzu, ao az a ötél özvetítésével eglengeti a többi ingát is Azt tapasztalju, hogy jelentős aplitúdóval csa az azonos hosszúságú B inga leng, vagyis az, aelyne a sajátfevenciája egegyezi a ényszeítő inga fevenciájával A B A fenti ísélete özös tanulsága az, hogy a ezgése ényszeített endsze aplitúdója függ a énysze fevenciájától, és axiua van a endsze sajátfevenciája özelében A axiu léte azt utatja, hogy egy bizonyos a endsze adataitól függő fevencián a endsze ezonál a ülső ényszee, ezét ezt a jelenséget ezonanciána nevezi Eze után nézzü eg, hogy hogyan lehet a ezonancia jelenségét a fiziai tövénye segítségével ételezni

3 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 15 Az egyszeűség edvéét tegyü fel, hogy egy csillapodó ezgést végző töegponta egy F F sint ülső ényszeítő (gejesztő eő hat Eo ozgásegyenlete így ódosul: d x( t dx( t Dx( t + F sint Az töeggel osztva és alalazva a csillapodó ezgésnél használt jelöléseet, a itéés időfüggését egadó x(t függvénye az alábbi egyenletet apju: d x( t dx( t F + β + x( t sint Az egyenlet ég a csillapodó ezgés egyenleténél is bonyolultabb, de a tapasztalato alapján itt is egpóbálhatju italálni a egoldást A tapasztalat szeint egy ilyen endsze egy bonyolult beezgési folyaat után a gejesztő eő fevenciáján ezeg, a gejesztő eő tehát áényszeíti a endszee a fevenciáját A beezgési folyaat oa az, hogy ha egy endszet az egyensúlyi helyzetéből iozdítun, indig elindul a endsze sajátezgése is, ai összetevődi a ényszeezgéssel A sajátezgés azonban a csillapítás iatt egy idő után elhal, és csa az állandósult ényszeezgés aad Mateatiailag ez azt jelenti, hogy az egyenlet általános egoldása ét ezgést leíó függvény összege lesz, aelyene egyie az egyszeű csillapodó ezgés fevenciáját, a ási pedig a gejesztő eő fevenciáját tatalazza A beezgési folyaat elhalása után a töegpont haonius ezgést végez a gejesztő eő öfevenciájával, tehát a itéés időfüggését haonius függvénnyel íhatju le Ilyen lehet például az x( t Asin( t ϕ függvény Itt egyelőe iseetlen a ezgés A aplitúdója, továbbá a ezgő endszeés a gejesztő eő ezgése özötti ϕ fázisülönbség (a fázisszög negatív előjele azét célszeű, et a ezgés általában ési a gejesztő eőhöz épest Az iseetlen állandóat ugyanúgy hatáozhatju eg, int a csillapodó ezgés esetén tettü: a feltételezett egoldást behelyettesítjü a ezgés diffeenciálegyenletébe, és egvizsgálju, hogy ez az elített ennyisége ilyen étéeinél lesz valóban egoldás A száolást a deiválta iszáításával ezdjü: dx( t A cos( Kt ϕ d x( t A sin( Kt ϕ F Behelyettesítés és a b jelölés bevezetése után az alábbi egyenletet apju A sin( t ϕ + βa cos( t ϕ + Asin( t ϕ bsin t K K

4 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 16 Az t ϕ ülönbség szögfüggvényeit ezután iset tigonoetiai összefüggése segítségével olyan alaa hozzu, hogy indenütt a sin t és a cos t jelenjen eg: A sinkt + A cost + βa coskt + + βa sinkt + A sinkt A cost b sint Rendezés után az egyenlet az alábbi alaot ölti: ( A + βa A cos t ( A βa A + b sint Mivel az egyenletne indig teljesülnie ell, az időfüggő észe együtthatóina ell nullána lenni, azaz A + βa A A + βa + A b A fenti egyenletendsze lehetőséget ad a eesett ét iseetlen (A és ϕ eghatáozásáa A ϕ fázisszögne csa egy szögfüggvénye (tgϕ hatáozható eg (úgy hogy az 1 egyenletet elosztju -vel, az A aplitúdó ezután hosszabb száolással özvetlenül egapható a egyenletből A száolást itt ne végezzü el, a végeedényt alább egadju A száolásból ideül, hogy a fent feltételezett x( t Asin( t ϕ ifejezés csa ao egoldása az egyenletne, ha az aplitúdó és a fázisülönbség is függ az ényszefevenciától, az alábbi ódon A A( β tgϕ F ( K + 4β A apott eedény első tanulsága az, hogy a gejesztő eő öfevenciáját változtatva, változi a ezgés A aplitúdója (ez egyezi a íséleti tapasztalatoal Az aplitúdó a öfevencia csöentéseo az F F A( étéhez tat, ai D ugóállandó esetén egfelel az F eő által D oozott sztatius itéésne Az igazi édeesség azonban ao deül i, ha észletesebben is egvizsgálju az aplitúdó fevenciafüggését egadó fenti A függvényt A énysze fevenciájána növeléseo az aplitúdó előszö növeszi, ajd igen nagy fevenciáon nullához tat (utóbbi anna a övetezénye, hogy a töeg á ne épes övetni az eő változásait A függvény vizsgálatából ideül, hogy az aplitúdóna egy bizonyos öfevenciánál axiua van (ába, ai egybevág a íséleti tapasztalatoal A ezonancia jelensége tehát a fiziai tövénye segítségével szászeűen is leíható, és felajzolható az aplitúdó fevenciafüggését egadó göbe, ait ezonanciagöbéne-, a axiális A( ( F /D, β >β 1 β 3 >β 3 1 β 1

5 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 17 aplitúdóhoz tatozó öfevenciána egfelelő f fevenciát pedig a π endsze ezonanciafevenciájána nevezi A ísélete azt utatjá, hogy ha a β csillapítás icsi, ao az aplitúdó igen eedeen változi a ezonancia helyénél (a ezonancia éles, a ezonancia a endsze sajátfevenciája özelében övetezi be (, és a ezgés aplitúdója igen nagy lehet A csillapítás növelésével csöen a ezonanciafevencia, csöen az aplitúdó axiua, és a ezonanciagöbe laposabbá váli (ez is látszi a fenti ábán Mindezeet a tapasztalatoat száítással is alátáaszthatju Az aplitúdófüggvény axiuához tatozó öfevenciát a ateatiából iset ódon, a da( d összefüggésből aphatju eg A száolás eedénye az, hogy ezonancia az β 1 öfevenciánál (vagyis az f β fevenciánál van A fenti π összefüggéseből látszi, hogy a β csillapítás növeléseo a ezonanciafevencia a száításo szeint is csöen Az aplitúdó axiuát a ezonanciafevencia behelyettesítésével apju: F F Aax A( 4 ( + 4β 4β + 4β ( β F 4 4β 4β β F β Kis csillapításnál β <<, ezét ilyeno az aplitúdó axiua özelítőleg az F Aax β ifejezéssel adható eg, vagyis az aplitúdó axiuát (adott ényszeeőnél lényegében a csillapítás hatáozza eg A csillapítás növelésével az aplitúdó-axiu csöenthető, ha viszont a csillapítást csöentjü, ao az aplitúdó-axiu nő Ez az oa anna, hogy is csillapítású ezgő endszeeet a ezonanciafevencián ezgetve igen nagy ezgési aplitúdó alaulhat i, ai bizonyos eseteben hasznos, de néha atasztófához is vezethet Hasznos a ezonancia pl ao, ha egy gyenge ezgést aaun feleősíteni, pl azét, hogy egéjü a fevenciáját A ezonancia áos lehet ezgő vagy fogó alatészeet tatalazó gépenél, hiszen a nagy aplitúdójú ezgés a gép defoációjához vagy töéséhez vezethet Ezét ügyelni ell aa, hogy a fogás vagy ezgés fevenciája a gép ezonanciafevenciáitól 1 távol legyen A ezonancia áos hatásána talán legeghöentőbb esete az észa aeiai Tacoa folyó felett átívelő völgyhíd összeolása a széllöése által oozott ezonancia iatt 1 Kiteje testene több ezonanciafevenciája van

6 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 18 A ényszeítő eő és a ezgés özötti ϕ fázisülönbsége apott π β tgϕ π/ összefüggésből látszi, hogy a fázisszög függ a gejesztő eő fevenciájától Adott csillapításnál a fevenciát csöentve tg ϕ és egyúttal ϕ is nullához tat, vagyis lassú ényszenél a endsze ég szinte ésedele nélül övetni tudja a ényszet, a fevencia növeléseo azonban a endsze egye jobban leaad a ényszetől: tg ϕ és ϕ π növeszi, -nál ϕ, a fevencia további növeléseo pedig a fázisülönbség π-hez tat (ába Utóbbi esetben a endsze és a énysze ellentétes fázisban ezeg, ai a íséletenél is egfigyelhető A ezonanciafevenciát egadó összefüggésből látszi, hogy a fenti egoldás ne lehet évényes, ha a csillapítás olyan nagy, hogy fennáll a β > feltétel, hiszen eo a ezonanciafevenciáa épzetes étéet apun, ai fiziailag ne lehetséges A észletes ateatiai elezés azt utatja, hogy ilyeno nincs ezonancia, hane az aplitúdó a fevencia növelésével onoton csöen A sebességezonancia A ényszeezgést végző töegpont itééséne eghatáozása után önnyen egaphatju a sebessége vonatozó összefüggést is: dx( t π vx( t A( cos( t ϕ v sin( t ϕ + Itt bevezettü v ( A( sebességaplitúdót, aely szintén függ a énysze fevenciájától: F v( ( + 4β Ha ezt a függvényt a F v( ( + 4β alaba íju, ao ögtön látszi, hogy axiua van az öfevencián (itt van iniua a nevezőne A v sebességaplitúdó tehát a endsze sajátfevenciáján a legnagyobb Ezt a jelenséget gyaan sebességezonanciána nevezi A félété-szélesség A ezonanciagöbéből látható, hogy a ezonanciafevencia özelében a endsze aplitúdójána növeedése és csöenése ne egy eghatáozott fevencián

7 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 19 övetezi be, hane egy fevenciaintevalluban Enne a fevenciaintevalluna a szélessége a endsze adataitól függ, és igen fontos szeepet játszi Rezonancia útján töténő fevenciaéésnél pl az a jó, ha a éőűsze csa egyetlen fevenciáa de legalábbis csa egy nagyon szű fevenciaintevallua eagál, vagyis a ezonanciagöbe éles Ha viszont ne aaun jelentős beezgéseet, ao a széles, lapos göbe a ívánatos Ez indoolja egy olyan ennyiség bevezetését, ai a ezonancia élességét, a göbe alaját jellezi Mivel a ezonancia soán a ezgő töeg enegiája is változi, és ez a változás a ezgő töeg és a önyezet özötti enegiaátadást jellezi, a ezonancia szepontjából igen fontos a ezgő töeg enegiájána a énysze fevenciájától 1 1 való függése Ez a függés az E ( v ( DA ( összefüggésből apható eg: 1 F E( v( ( + 4β A függvény vizsgálatából egállapítható, hogy a ezgő töeg enegiája a itéés aplitúdójához hasonlóan szintén ezonanciaszeűen függ a énysze fevenciájától Az összefüggésből látszi, hogy a töegpont enegiája az öfevencián legnagyobb Eo a ezgési enegia étée F Eax E( 8β Az enegia-ezonanciagöbe szélességét, vagyis a ezonancia élességét úgy szoás jelleezni, hogy az E ax agasságú ezonanciagöbén (ába egadjá anna a E( ét öfevenciána ( 1 és a ülönbségét, ahol a függvény étée E ax E ax / Ezt a Δ f 1 Δ f 1,5E öfevencia-tatoányt a ezonanciagöbe ax félété-szélességéne nevezi A félété-szélességet eghatáozó ét öfevencia-étéet az 1 1 E( E( egyenletből száíthatju i Kis csillapításnál ( β << ebből azt apju, hogy 1 β és + β, aiből a félété-szélesség Q ~ Δ f 1 β Látható, hogy a félété-szélesség annál isebb, inél isebb a β csillapítás, illetve inél nagyobb a endsze Q ~ jósági tényezője (Ebből az összefüggésből az is látható, hogy a jósági tényező a félété-szélességgel a Q ~ alaba íható Ezt Δ f

8 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat azét édees egelíteni, et néha ezt az összefüggést használjá a jósági tényező bevezetésée Ha a csillapítást ifejezzü a endsze adataival, ao a félété-szélessége azt apju, hogy Δ f Megjegyezzü, hogy ugyanezt az eedényt apju, ha az aplitúdóezonancia göbéjéne szélességét az A ax / éténél száítju i Enne az az oa, hogy az enegia aányos az aplitúdó négyzetével, így az enegia- és az aplitúdó axiális étéei özött fennáll az E összefüggés (c egy állandóenne egfelelően az / ax ca ax c ( Aax /,5cAax A ax,5 Eax enegia-aplitúdóna felel eg aplitúdóété Paaetius ezonancia Egy endszeben ne csa úgy növelhető a ezgés aplitúdója, hogy egy ülső hatással özvetlenül a ezgés aplitúdóját növeljü eg, hane úgy is, hogy a ezgő endsze egy paaéteét peiodiusan változtatju Ez töténi pl ao, ha egy inga hosszát egfelelő üteben változtatju A elléelt ábán látható elendezésben az inga fonala egy csigán van átvetve, így a fonál hossza az F vég eghúzásával illetve visszaengedésével önnyen változtatható Nyilvánvaló, hogy ez a beavatozás ne özvetlenül a itéést változtatja, hiszen a létehozott elozdulás aa eőleges (A F l' l itéés özvetlen változtatása az lenne, ha az inga töegét változatlan fonálhossz ellett inden peiódusban eglönén 1 3 az éppen atuális ozgásiányban 4 A íséletezés soán ideül, hogy az inga is lengéseit csa ao tudju növelni, ha a fonál hosszát egfelelő üteben változtatju, például az inga szélső helyzetében visszaengedjü, egyensúlyi helyzetében pedig eghúzzu Az inga hosszváltozásaina enetét az ábán láthatju, ahol az egyás utáni lépéseet egszáoztu Mivel ilyeno a iválasztott paaéte (itt az inga hossza peiodius változásána az inga lengési fevenciájához ell igazodnia, ez tulajdonéppen a ezonancia egy sajátos esete, ait paaetius ezonanciána nevezne A onét esetben aól van szó, hogy a fonál eghúzásao és visszaengedéseo az inga töegén ellentétes előjelű unát végzün Mivel pedig az egyensúlyi helyzetben a fonáleő nagyobb, a fonál eghúzásao végzett a ezgő töeg enegiáját növelő una nagyobb, int a visszaengedésnél végzett ellenező előjelű a töeg enegiáját csöentő una Eiatt a fonál hosszána változtatásao a ezgési enegia és így az aplitúdó is nő A paaéte változtatásána fevenciája ebben az esetben étszeese a endsze sajátfevenciájána, hiszen egy peiódusban étsze húzzu eg- és engedjü vissza a fonalat A paaetius ezonancia ási példája a hintázás Anélül, hogy a hintázás echaniájána bonyolult észleteibe beleennén, egállapíthatju, hogy itt a testhelyzetün (pontosabban a töegözéppontun helyzeténe egfelelő üteben

9 TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 1 töténő változtatásával a endsze pedületét változtatju peiodiusan, ai szintén a ezgési enegia növeedését eedényezi (A itéés özvetlen változtatása itt az az eset, aio a hintán ülő ne ozog, hane a hinta itéését egfelelő üteű, a pálya éintőjéne iányába utató löéseel ívülől növeljü eg A ét esetben az a özös, hogy a endsze egy paaéteéne egfelelő üteű változtatásával növelni tudju a ezgési enegiát

t [s] 4 pont Az út a grafikon alapján: ρ 10 Pa 1000 Pa 1400 Pa 1, 024 10 Pa Voldat = = 8,373 10 m, r h Vösszfolyadék = 7,326 10 m

t [s] 4 pont Az út a grafikon alapján: ρ 10 Pa 1000 Pa 1400 Pa 1, 024 10 Pa Voldat = = 8,373 10 m, r h Vösszfolyadék = 7,326 10 m XVIII. TORNYAI SÁNDOR ORSZÁGOS FIZIAI FELADATMEGOLDÓ VERSENY Hódezőásáhely, 04. ácius 8-0. 9. éfolya 9/. feladat: Adatok: a /s, t 6 s, a 0, t 5 s, a - /s, édések: s?, t?, átl?, a átl? [/s] 0 0 0 40 Az

Részletesebben

Egyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye

Egyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye Egyszerű árakörök áraa, feszültsége, teljesíténye A szokásos előjelek Általában az ún fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullá szöghelyzetéhez

Részletesebben

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1 Készlete - Rendelési tételnagyság számítása -1 A endelési tételnagyság meghatáozása talán a legészletesebben tágyalt édésö a észletgazdálodási szaiodalomban. Enne nagyészt az az oa, hogy mind az egyszee

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

Ú Á Ü É ő ö ó ó ő Ü ö Ó ő ú ó ö ő ú ű ű ö ú ö ó ü ö ő öü ő Ú ö Ü ű ó ü ű ő ö ő óü ó ó ő Á Á ó ó Ü ó ó ü Ü ö Á ő ő ó ö ó ü ő ö ó ö ő ó ú ú ó ő ó ó ú ü Ú Á Á É Ü É Ú ü Á É ő ü ÉÉ É Ü ó Ö ó ó ö ö ő óü ó ü

Részletesebben

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat) Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai

Részletesebben

Fizika I. Dr. Gugolya Zoltán egyetemi adjunktus. Pannon Egyetem Fizika Intézet N. ép. II. em. 239. szoba E-mail: gug006@almos.vein.

Fizika I. Dr. Gugolya Zoltán egyetemi adjunktus. Pannon Egyetem Fizika Intézet N. ép. II. em. 239. szoba E-mail: gug006@almos.vein. Fzka I. Dr. Gugolya Zoltán egyete adjunktus Pannon Egyete Fzka Intézet N. ép. II. e. 39. szoba E-al: gug006@alos.ven.hu Tel: 88/64-783 Fzka I. Ajánlott rodalo: Vondervszt-Néeth-Szala: Fzka I. Veszpré Egyete

Részletesebben

Á ü ü Á Á Á ü Á ű ű ű Ö ü ü ü ü ü ü ü ű É É É É Ö Á ű ű ű Á ű ű Á ű Ö Í ű ü ü ü ü Í ü Í Ü Ö ü Ü ü ű ű Ö Ö Ü ü ü ű ü Í ü ü ü Ő Ő Ü ü Í ű Ó ü ű Ú ü ü ü ü ü Ö ü Ű Á Á ű É ü ü ü ü ű ü ü ü ű Ö Á Í Ú ü Ö Í Ö

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája 8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében TÓTH A.: Mágnesség anyagban (kibővített óavázlat) 1 A magnetosztatika tövényei anyag jelenlétében Eddig: a mágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kimutatható, hogy vákuumban gyakolatilag ugyanolyanok

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

1. Kinematika feladatok

1. Kinematika feladatok 1. Kineatika feladatok 1.1. Egyenes vonalú, egyenletes ozgások 1. A kézilabdacsapat átlövője 60 k/h sebességgel lövi kapura a labdát a hatéteresvonal előtt állva. Mennyi ideje van a kapusnak a labda elkapására?

Részletesebben

A Magyar Honvédség állandó telepítésű kommunikációs rendszere továbbfejlesztésének technikai lehetőségei

A Magyar Honvédség állandó telepítésű kommunikációs rendszere továbbfejlesztésének technikai lehetőségei ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM Feete Károly. alezredes A Magyar Honvédség állandó telepítésű ouniációs rendszere továbbfejlesztéséne techniai lehetőségei Dotori (PhD) érteezés Tudoányos vezető: Dr.

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

ö ú ő ó í ö í ő í í ó ő í ó ó ő í í ö ú ó ü Í ó ü ó ö ö ő í ö ú í ó ö ö ö ő ü ö í ó ö ő ü ö ó ü ö ó ő ö ú ő ő ú ó ö ö ú ő ó ó ö ó ö ö í ő í ö ú ó ő í ű ö í ő í ó ú í ü ő ő ó í ő ó ó í ú ó ó ő ő ű ó ö ú

Részletesebben

Á Á Á Á Á ö ő ü Ü ö ő ú ű ő ü ü ő ű ö ű ő ö ö ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ö ö ö ő ő Ü ő ő ű ö ő ő Ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ö ú ü ő ü ű ö ö ü ű ő ö ő ö ő ű ő ö ő ü ö ű ő ö ö Ü ö ö ő ő ö ő ű ő ő ü ö ő ő ú

Részletesebben

É ö í ö í í ű ö ö ú í í ú í ó Ó ö ú í ö ú í ű ö ü ó ü ó í ó ó ű ü í ű ö ó ó í ö Ü Ó í ó ű ó í ó ö ü ó í í ö ö í ó ö ú í ó ó í ó Ü ó í ü ű ö ü ó ó ö ö ö ö í ö ú Ó í í í ü ó ö ü í ó í Á Ó í ó ó ó ú Á ö í

Részletesebben

ű ü ű ű ű ű ö Á ö ö ú ú ö ö ö ü ö ö ö ű ö ú ú ű ö ö ü ö ö ú ö ü ü ö ü ö ű ö ö ü ö ö ü ö ü ü ü ö ö ö ö ű ö ű ü ö ö ü ű ö ü ö ű ü ű ö ö ú ű ö ú ö ö ü ű ű ö ű ü ö ű ö ö ö ú ö ü ö ö ö ö ú ü ü ö ö ü ö ö ö ö

Részletesebben

É á á á ö á á á á á á á á á ű á á á á á á á ű á á á ö á á á á á á á á á á á á á á á ű á ű á á á ö á á ú á á á á á ö ű á ű á á ü á á á É É ú É ü É ü Ú Á É ú Ú Á É Ü É Ú É Ú ű á ű á á ü Í Ú ü Á á É É ű á

Részletesebben

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Negyedik rész

Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Negyedik rész Ujfalussy Balázs Idegsejtek biofizikája Negyedik rész Akciós potenciál és feszültségfüggő ioncsatornák Sorozatunkban egyre esszebb erészkedünk az idegsejtek birodalába. Először egiserkedtünk az egyensúlyi,

Részletesebben

ú ú Ö ĺ ú ś Ż Ż Ż ł Ęą ę ą ą Ę ö ä ĺ ó ú Ö ü ó ü ĺ íĺ ó ĺ ú ö í ĺ Í ĺ íĺ ĺ Í ĺź ĺ ú ú ĺ ćí ĺ ĺ ćĺ Ó ě Ĺ ó í ł ü ó ü ö ú ú ń ú ö ń Í ú ĺ ĺ úđ ú ĺ ĺ ĺ ĺ ĺ ł ĺ ĺ Íł Íó ű ú ú ĺ ć ĺ ĺ ó ó ó öý ó í ł ĺ ćí ĺ

Részletesebben

É Á É Á Á ű ö ö Á ű Á ö ű É É Á ű ű Ó Á ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö Ü ű ö ö ö ö ö ű ö ö ű ö ö ö É ö ö ö ö ö ö ö É ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö É ö ű Á É Á ű ö ö Á É Á Á Á ö ö ö É

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 1. BEVEZETÉS

ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 1. BEVEZETÉS okorádi László ÜZEMELTETÉSI FOLYAMAT GRÁFMODELLEZÉSE 2 Technikai eszközök üzeeltetési rendszerei, folyaatai ateatikai szepontból irányított gráfokkal írhatóak le. A űszaki tudoányokban a hálózatokat, gráfokat

Részletesebben

Vagyonkezelési irányelvek (Befektetési politika tartalmi kivonata) Allianz Hungária Önkéntes Nyugdíjpénztár 2015. február 1.

Vagyonkezelési irányelvek (Befektetési politika tartalmi kivonata) Allianz Hungária Önkéntes Nyugdíjpénztár 2015. február 1. Vagyonkezelési irányelvek (Befektetési politika tartali kivonata) Allianz Hungária Önkéntes Nyugdíjpénztár 2015. február 1. napjától Az Allianz Hungária Nyugdíjpénztár a befektetések során az egyes portfoliók

Részletesebben

1. feladat. 2. feladat

1. feladat. 2. feladat 1. felada Írja á az alábbi függvénee úg, hog azoban ne az eredei válozó, hanem az eredei válozó haéonsági egsére juó érée szerepeljen (azaz például az Y hele az szerepeljen, ahol = Y E L. Legen a munaerőállomán

Részletesebben

ú ű ö Á ü ú ú ű ú Ú Á Á Á Á É Í Á Á Á Á É É É Á ö ő Í Í ő Í Í ö ő ő Í ő ü ö ö ő ő ú Íő ü ö ő ú Í ő ü ö Á É Ö Í ö ö Í Á Á É Ö É ö Á Í É Á ö ö ö ö ő ú ö ü ü Á É É ő ő Í ü ő ú ú ü ő ö ő ő ő ö Ú Ő É Á Á Á

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

7. osztály, minimum követelmények fizikából

7. osztály, minimum követelmények fizikából 7. ozály, iniu köeelények fizikából izikai ennyiégek Sebeég Jele: Definíciója: az a fizikai ennyiég, aely eguaja, ogy a e egyégnyi idő ala ekkora ua ez eg. Kizáíái ódja, (képlee):. Szaakkal: ú oza a egéeléez

Részletesebben

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ. 5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági

Részletesebben

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul.

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. MUNKA, NRGIA izikai érteleben unkavégzéről akkor bezélünk, ha egy tet erő hatáára elozdul. Munkavégzé történik ha: feleelek egy könyvet kihúzo az expandert gyorítok egy otort húzok egy zánkót özenyoo az

Részletesebben

Egyfázisú aszinkron motor

Egyfázisú aszinkron motor AGISYS Ipari Keverés- és Hajtástecnika Kft. Egyfázisú aszinkron otor 1 Egy- és árofázisú otorok főbb jellegzetességei 1.1 Forgórész A kalickás aszinkron otorok a forgórész orony alakjának kialakításától

Részletesebben

ü É Í ü ü ü Í ü ű ü ü ü ű ü ű ű ű ü ü ü ű ü Í ü ű ü ü ü Ű Í É É Á Ő Á Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á Í Á Á Í Í ű Á É É Á Á Ö Í Á Á Á Á Á É Á Á Ó ű Í ü ü ü ű ű ü ü ű ü Á ü ű ü Í Í Í ü Í Í ű ű ü ü ü ü ű ü ű ü ü

Részletesebben

Í Á Á É ö ö ö ö ö ű ü ö ű ű ű ö ö ö ü ö ü í ü í í í ü í ü Á ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö í ö ö ü ö ü í ö ü ű ö ü ö ü í ö í ö ű ű ö ö ú ö ü ö ű ű ű í ö ű í ű ö ű ü ö í ű í í ö í ö ö Ó Í ö ű ű ű ű í í ű ű í í Ü ö

Részletesebben

A kórházakról más szemmel. Vizvári Béla. Eastern Mediterranean University, Famagusta. Összefoglalás

A kórházakról más szemmel. Vizvári Béla. Eastern Mediterranean University, Famagusta. Összefoglalás A órházaról más szemmel Vizvári Béla Eastern Mediterranean University, Famagusta Összefoglalás Az egészségügy reformja és ezen belül a nem jól mőödı órházi rendszer átszervezése régóta napirenden van Magyarországon.

Részletesebben

Függvények közelítése hatványsorral (Taylor-sor) Ha az y(x) függvény Taylor-sorának csupán az elsı két tagját tartjuk meg, akkor az

Függvények közelítése hatványsorral (Taylor-sor) Ha az y(x) függvény Taylor-sorának csupán az elsı két tagját tartjuk meg, akkor az Füvénye özeítése htványsorr (Tyor-sor z heyen többször deriváhtó y( füvényt z pont örnyezetében jó özeíthetjü z dy( d y( d y( y( y( ( ( (! d! d! d véteen htványsorr. derivát értéét z heyen e számítni.

Részletesebben

3. Keverés és keverő berendezések

3. Keverés és keverő berendezések Művelete a émiai és bioémiai folyamatoban. Keverés és everő berendezése.1. A everés művelete A everés ét vagy több egymástól eltérő tuladonságú anyago ényszertett áramlással megszabott arányban való egyesítése.

Részletesebben

ö ö ö ó ö ö ú ö ö ö ö ö ú ő ő ö ő ö ó ó ő ű ó ö őö ő ü ő ő ú ó Á Á Á Á ó ü ó ó ú Á Á Á ő ő ö ő ö ü É Á Á ú ö Á Á É É ö ü ö ö ő Í Á Ő É Ő ú Á É É ö ű ü ő ő ö ü ó ö Á É É ő ó ó ö ő ó Ö ő ó Ő ő ü ö ö ó ö

Részletesebben

ó ü ú ü ú ó ó ú ü ú ü ú ö ö ű ü ö ö ö ú ó ü ö ö ö ü ö ö ö óó ü ö ö ó ó ö ó ö ú ó ó ó ó ű ö ö ó ö ó ó ú ű ü ö ö óó ú ó ö ö ü ó ó ó ó ó ó ó ü ó ú ű ü ó ö ú ű ó ü ö ö ó ó ü Á ó ű ó ü ó ó ú ó ú ó ó ö ö ü ú

Részletesebben

Ö Í Ő Ó ó ö ó ó ő ö ú ö ú ö ö ú Í ó ö őö ő ü É É ő ő ö ö ó ó ö ő ő ő Ü É ü ú Ö Ö É É ő Ü Ö Í É Ó Ö Ó Ü É Ö ú Ó É Ő É É ö ö ü ö Ü ö ö ő ö ő ő Ö Ú Ő É Ő Ú É É ö ű ő ő ö ó ö Ú É É Ő Ó Ó ö Ó ö ó ő ó ő ó ű

Részletesebben

Ó Ó ö ő ő Ü ö Ü ő ö ö Ü Ó ö Ó Ó Ü ö Ó Ó Ü Ó Ü ö ö ő Ü ő ö Ü ő Ó Ü ő ö Ó Ó Ü ö ő Ü Ü Ü Ó ö ö ő Ü Ó Ö ö Ó Ü Ó Ü Ó ő ö ö Ü Ü ő ö Ó Ü Ó ö Ó Ó ö Ü ö ő ö Ó ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ü ő ű ű ö Ó ű ő Ó Ó Ü Ó Ü ő Ü Ó

Részletesebben

Á Á Ó É ö ó ó É í ó ü ó ö ö í ó ö ó í ó í ú Í í ó í ö í ó ű ű ü ó ó ú í ö í ö ü ú í í ü ü ó ó ó ó ó ú í ü í ű ó í í ö ü ü í ű ó í ó ü ö ü í í ü ó ű ó í ü ü ó í ó ó í ó í ú í ó ó í ö ó ö Á óö ö í í ó ó

Részletesebben

ö á é á á á á ö é ő á é é í é ü é í á é ő é í ő á á á á ö é é í á á á á á é ő á á é é ő é á é é ő é é á ő á á í é é é ö ö ö ö é é á í ö í é é éé ö á á á ö á á á é ú é é ö ü ő á é é ű ö é Ó Á Ó é é é É

Részletesebben

Ö Á Í Í ű ű ú ű ű ű ű ú ú ú ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ú ű ú ú ú ű ú Á ú ű ű Ó ú ű ű ű ú Ó ú ű ú É ú ú ú ű ű ú ű ú Ú Á ú É ú Ó ú ú ú ú ű ű ű ú É Á É É ű ű Í ú ú Ó Í ű Í ű ű ú ű ű ű É ű ú Á ű ű ú Í ű Á ű ú ú É

Részletesebben

Á É ö ó ú á ö á ö ű ű ö ő á á ó ú á ó á ő ó á ő á ö á ö á ö Ú ó á á í ó ö ö á ő á á í ó í ú ő ö ö ö ö á á á ó á óí á ő á á á í ü Í á á ű ó ó ó á ó á í í ő í á ú á ő á á á á í á á á í á á á ú á á ö ö ö

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

á á á í ö á ö á á á ó ő ó ö á á á á ő ő á á ö ü Ü ó ő í ó ö ü ö ö í ó ö í ó ö ü Ü ö ü í ö ü ö í á á ö ü á ü ó á ö á í ö á á á á á á ö ó á á á á ő ö á á á á ó á ö á á á í á á ö í ő í ö ü ö ö í á í ö ö á

Részletesebben

REZONANCIA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN. Laboratóriumi gyakorlat

REZONANCIA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN. Laboratóriumi gyakorlat SZÉCHENY STVÁN EGYETEM MŐSZAK TUDOMÁNY KAR ALKALMAZOTT MECHANKA TANSZÉK REZONANCA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN Laboratóriui gyakorlat A érés tárgya: A érés célja: reonancia jelenségének

Részletesebben

a! "a# $%& $'()&,! -. / a 0!o" "a#,2& 7o8a59a: = D= A > F7 > G7 IC59< A TM JK [\]\^ [ _\ c [ _ph $%+ $*+ a 2007-es új Országos épzési jzé szeriti oduláris szaépzéshez: a teljes szaépesítés es öveteléyoduljaia

Részletesebben

Mérés módszere Válasz Eredmény Minősítés Megjegyzés

Mérés módszere Válasz Eredmény Minősítés Megjegyzés Kat. Minősítési kritériu Ellátás Pont -Kategória Fenntartható üzleti irányítási utatók -lkategória Fenntarthatósági alapelvek rendszere 1-lapfeltétel 1-lapfeltétel 3-jánlott szolgáltató a régió országos

Részletesebben

Mérés módszere Válasz Eredmény Minősítés Megjegyzés

Mérés módszere Válasz Eredmény Minősítés Megjegyzés Elvárás típusa Kat. Minősítési kritériu Szállás Pont -Kategória Fenntartható üzleti irányítási utatók -lkategória Fenntarthatósági alapelvek rendszere 1-lapfeltétel 1-lapfeltétel 3-jánlott szolgáltató

Részletesebben

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése Vályogos hooktalaj terepprofl érése Pllnger György Szent István Egyete, Gépészérnök Kar Folyaatérnök Intézet, Járűtechnka Tanszék PhD hallgató, pllnger.gyorgy@gek.sze.hu Összefoglalás A terepen haladó

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

ö ü É ő ó ó Ó Ú Á É ő ü ö ö ú ö ü ő ö ü ü ő ó ó ö ö ű ő ö ú ő ó ó ö ö ú ó ó ó ö ö ő ő ó ü ö ö ó ú ő ú ü ő ö ó Í ó ö ő ö ü ö ó ö ó ö ő ö ó ü ű ő ö ő ö ó ó ü ű ö ő ó ö ő ü ü ö ú ő ö ő ü ű ö ü ó ő ö ó ö ú

Részletesebben

A gazdasági növekedés

A gazdasági növekedés A gazdasági növeedés A rövid- és özéptávú elemzése után tanönyvün övetezı fejezetét a hosszú távú nemzetgazdasági folyamato vizsgálatána szenteljü. Az idıtáv itágítása többféleéppen is elvégezhetı: az

Részletesebben

Információs paradoxon a vállalkozások hitelezésében nem fizető vevő esetén

Információs paradoxon a vállalkozások hitelezésében nem fizető vevő esetén Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 200. április (38 336. o.) SZŰCS NÓRA AVRAN DÁNIEL CSÓKA PÉTER Információs paradoxon a vállalozáso hitelezésében nem fizető vevő esetén Ciünben a vállalozó ülső finanszírozásána

Részletesebben

Ú ó Ó Ú É Á Á É Á É Ó Í É Ö Í Ú ő ó ű é ó ó é é ö ö ő Ú ő ó Ú É Á é é é é ő ó ű é ő é ű é ó ű é é ő ó ű é é ö ö é ó é é é é é é é ó ű é é ű é ó é é é é é ú ű é é é ü é é é é ü ó é é é ö é Í ö ú ü ö ö é

Részletesebben

ü ú ő ö ő őí ü Ő ü ú ő ö ó ó ü ú Í í ó ö Ó ő ö í Ó í Í ü ö ú ö í őí ó ö ő ő ö őí ö ö ű ő í ó ö ö É É É ö ő Íő ő Í őí ó ü ö ö ó ő ü ö í ő ú ö ü ü ő ö ö ő ú ó Ó ö ú ö É É É őí ö ő ő ó ó ő ő Íő ú ó őí ő ú

Részletesebben

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6 JEDLIK korcoport Azonoító kód: Jedlik Ányo Fizikavereny. (orzágo) forduló 7. o. 0. A feladatlap. feladat Kati é Magdi egyzerre indulnak otthonról, a vaútálloára ietnek. Úgy tervezik, hogy Magdi váárolja

Részletesebben

Tudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató!

Tudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató! Kérdések és feladatok rezgőmozgásokból Dr. Horváth András 0.1-es változat Tudnivalók Kedves Hallgató! Az alábbiakban egy válogatást közlünk az elmúlt évek vizsga- és ZH-feladataiból. Időnk és energiánk

Részletesebben

Bokor Mónika. Doktori disszertáció. Témavezető: Vértes Attila Tompa Kálmán 1999.

Bokor Mónika. Doktori disszertáció. Témavezető: Vértes Attila Tompa Kálmán 1999. Molekuláis mozgások vizsgálata hexakisz-(-alkil- H-tetazol)-vas(II) és -cink(ii) bótetafluoid kistályokban multinukleáis magspin-ács elaxáció alapján Boko Mónika Doktoi disszetáció Témavezető: Vétes Attila

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak Fizika I. (Mecanika, áamlástan, eológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszeménök, Szőlész-boász ménök és Bioménök BSc allgatóknak Tatalom D. Fita Feenc Fizika-Automatika Tanszék 05. Statika, kinematika

Részletesebben

7. A technológiai folyamat környezeti, gazdasági és biztonsági problematikája

7. A technológiai folyamat környezeti, gazdasági és biztonsági problematikája A technológiai folyaat környezeti, gazdasági és biztonsági probleatikáa 7. A technológiai folyaat környezeti, gazdasági és biztonsági probleatikáa Mint iseretes, az anyagi avak előállitása, vagyis a terelés,

Részletesebben

ó Á á á ő Á Í ő Á ő á ő ő Á ó Í í Í Í Á ő Í Í Ö ó á Ü é ő á ö á é ő ő í á í Ö á á Ú í á ő á á á á ü é ó á á ú í ó é é é á í á á ü ö ö á á á á é ö á ő á á ő á á ú é ö á ú ú é ö á ú ú é ö á ú ú á

Részletesebben

ÉPÜLETGÉPÉSZ TECHNIKUS SZAKKÉPESÍTÉS SZÁMÁRA KÉPLETGYŐJTEMÉNY 1.0 VERZIÓ PÉCS 2012. SZERKESZTETTE: NÉMETH SZABOLCS

ÉPÜLETGÉPÉSZ TECHNIKUS SZAKKÉPESÍTÉS SZÁMÁRA KÉPLETGYŐJTEMÉNY 1.0 VERZIÓ PÉCS 2012. SZERKESZTETTE: NÉMETH SZABOLCS ÉPÜLETGÉPÉSZ TECHIKUS SZKKÉPESÍTÉS SZÁMÁR KÉPLETGYŐJTEMÉY.0 ERZIÓ PÉCS 0. SZERKESZTETTE: ÉMETH SZBOLCS Éüegéésze Kéegyőjeény ://energeia.s.u II Szereszee: ée Szabocs Éüegéésze Kéegyőjeény KÉPLETGYŐJTEMÉY.

Részletesebben

PhD ÉRTEKEZÉS. Piroska György. A belballisztika fő feladatának numerikus megoldására alapuló modell megalkotása porózus lőporokra

PhD ÉRTEKEZÉS. Piroska György. A belballisztika fő feladatának numerikus megoldására alapuló modell megalkotása porózus lőporokra Zrínyi Milós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai Műszai Kar Katonai Műszai Dotori Isola PhD ÉRTEKEZÉS Pirosa György A belballisztia fő feladatána numerius megoldására alapuló modell megalotása porózus

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

É Á Á Á Ü Á Á ő ő ő ő ő ő É É É É Á Ó Á ő ő ő ő ő ő Ó ő ő Á ű Á Á É ő ű ő Á É Á ő ő Ü Ú É É ő Á ű ő Á ő É Ú Á ő ő ő ő Á Ú Ó Ú ő Á Ú ű ő Ü Á É É Ü É ő ő ű É ő ő ő Ó É É Á É Á Ú Á ő É Á É Á ő ő ő ő ő ű

Részletesebben

ő ü ő ő ő í ő ü í ü Á ő ő ő ű ő ő ő ő ő ő Ó Ó Ö ő ü ő ű ú ü ő ú ü ő ű ű ú ű ő í ő ű ő í ü Ő ő Ö Ö í ő ü ő ő ű ú ú í ú Ö ő Ö ő ü ő Ö í ú ő ú ü ő ű ű ú ő ú ő í ű ő í ü ő ő Ö Ö ő ő Ö Ö ő ű ú ú í ú Ö ő Ö ő

Részletesebben

ú É ú ü ú ü ü ú ú ú Í ü ü ü Í ű ü ü ü ü ü ü ü ű ű ü ü ü Í ű ü ú ü ü ú ú ú É Á Á É Á Ő Á Á Á Á É ü Á É ú ú Ó É É Á Í Á ú ü Ó Á Á ú ü ü Á É Á Ó ú ü ú Í ú ú ú ű Í Í ű ú ú ú Í ü Í ü ü ű ú ú ű Í ü ú ú Í ú ú

Részletesebben

IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI POLLACK PRESS, PÉCS HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat

Részletesebben

Ágoston Kolos Csaba. Hogyan hat a bizonytalanság és a. vev kör nagysága együttesen az árakra?

Ágoston Kolos Csaba. Hogyan hat a bizonytalanság és a. vev kör nagysága együttesen az árakra? Ágoston Kolos Csaba Hogyan hat a bizonytalanság és a vev ör nagysága együttesen az árara? Operációutatás Tanszé Témavezet : Kovács Erzsébet Copyright c Ágoston Kolos Csaba, 2004 Budapesti CORVINUS Egyetem

Részletesebben

A harmonikus rezgőmozgás (emelt szint)

A harmonikus rezgőmozgás (emelt szint) haronikus rezgőozgás (eelt szint) ozgás jellezői: két szélső helzet között égbeenő periodikus (időben isétlődő) ozgás. Jellező enniségek: rezgésidő (periódusidő): eg teljes rezgés (a két szélső helzet

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

VÁROSI VÍZGŐZHÁLÓZAT MODELLEZÉSE ÉS IDENTIFIKÁCIÓJA

VÁROSI VÍZGŐZHÁLÓZAT MODELLEZÉSE ÉS IDENTIFIKÁCIÓJA dr. Szakonyi Lajos VÁROSI VÍZGŐZHÁLÓZAT MODELLEZÉSE ÉS IDENTIFIKÁCIÓJA Doktori (PhD) értekezés Pannon Egyete Vegyészérnöki Doktori Iskola Veszpré 009 VÁROSI VÍZGŐZHÁLÓZAT MODELLEZÉSE ÉS IDENTIFIKÁCIÓJA

Részletesebben

1.3.1. Repülőgép-hajtóművek... 18 1.3.2. Légcsavar... 22 1.3.3. A repülőgép-hajtóművek jellemzői... 62 1.4. Utazó üzemmód jellemzése...

1.3.1. Repülőgép-hajtóművek... 18 1.3.2. Légcsavar... 22 1.3.3. A repülőgép-hajtóművek jellemzői... 62 1.4. Utazó üzemmód jellemzése... rtlo. Repülési tuljdonságo... 8.. Nezetözi Egezénes égör... 8.. A repülőgépe erodinii jellezői....3. Rendelezésre álló tolóerő és teljesítén... 8.3.. Repülőgép-hjtóűve... 8.3.. égsvr....3.3. A repülőgép-hjtóűve

Részletesebben

Ö ú ó Á Ö É É Ö Ú Ú Í É Á Ó Ö Ú Ü ú Á É ó ú ü Í ú Ö ú ő Ú Ü ú Ő Ö Ó É Ö Ú Í É Á Á É É ő Á Á Ö Ö É Ü Ö Ö ó É Ö É É É É Ö Ö ő ő ő ő Ó Ó Ó Á Á É Ö Ö É É É É É É É Ő É É Á Ö É Ú Á Ú Ö É Ö Á Ú Ö É ő ó ő Ö ú

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Í ő ő ó ö ö ö ű ö Ĺ ö Í ü ő ö ő ő ý ü Í ő ö ö ó ü ö Ĺ ő ő ő ó ü ő ó ő Í ő Í ő ó ő ő ö ú Í ń ü ű ö Ü ő ű ó ü ő ő ő ö ő ű ö ü ö ü ó ö ő ó Í ó ő ő ő ű ö ü ű ö ó Ĺ Í ű ó Ĺ ö ó ó ü ű ű ő ü ó ő ö ő ü ű ü Ü ő

Részletesebben

Í É Ő Á Ó Á Á É í ő úí ű ö ő í í ő ő ú í ó í ű ű ö ő ö í Í ő í ő ú í ó í í ű ő ó Ü ű ö ö ó ő ü Ö ű ó ű í ö ő ó ó ű ű ö Á Á ó ü ű ő ú í ó ű ú ű í ü Ö ő ú ő ú í ó ű ő ó ű ű ö ö ő ü ó ó ű ü ű ó ő Ő ö ú ű

Részletesebben

ApTT\7^ 1917 s" B ö ü ü ö ő ü ö ö ü ö ú ú ő ü ü ő ö ö ő ö ö ű ő ö ő ő ő ö ű ö ö ö ú ú ö ő ő ö ő ö ő ö ő ő ü ő ő ü ü ö ö ő ő ő ő ő ő ő ü ő ő ő üö ő ő ü ő ű ö ő ű ö ő ö ö ű ú Á ű ő ő ő ő ő ö ö ű ő ő ő ü

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Egyenletes mozgás. Alapfeladatok: Nehezebb feladatok:

Egyenletes mozgás. Alapfeladatok: Nehezebb feladatok: Alapfeladatok: Egyenlete ozgá 1. Egy hajó 18 k-t halad ézakra 36 k/h állandó ebeéggel, ajd 4 k-t nyugatra 54 k/h állandó ebeéggel. Mekkora az elozdulá, a egtett út, é az egéz útra záított átlagebeég? (30k,

Részletesebben

ú Ĺ ú ő Í ö ű ö ő ő Ĺ Í ő ö í ű ö ó ö ő ó ó ő ö ó ö ő í ö ő ó ó ő ö ú ť ö ő ő Ö ó ó í í Ĺ ö ő ó ó ö ó í Ĺ ť í ú ćą ő ö ö ő Ĺ Ĺ ó ú ó đ ó ń ő í ó í ö ź ń Í Ö ú ę ő ó ö ó ő ö í í ó í ó í ó ű ő ó ź í ö ö

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Í é ö é ő é ő é ű é ó ó é é é ü ő ó é ó é ő ó ő ó ű é ó Í é ü ő ó é ó ü ö ö é ő é ő ó ú é óé ó ó ó é ö é é ó ó é é ó ó ó ó é ö é é ó ü ő ö ő é ő ó ű é ó ó é é ü ó ú ő ó ú é éó ó ú é é é ő ó ű é ó ó é ó

Részletesebben

S z á l l í t ó s z a l a g o k

S z á l l í t ó s z a l a g o k S z á l l í t ó s z a l a g o k Folyamatos működésű anyagmozgató berendezés, amely adott vonalvezetésű pálya mentén darabáruk és ömlesztett anyagok szállítására, bizonyos esetekben rakodására (átadására)

Részletesebben

ľ ő ľü ő ő ü ľ ü ö ő ł ő ü ü ő Á É Á Ú É Ü É ő ú ő ő ľ ő üľ ľ ľ ő ő ľ Á Á É Á Ú Ó É Ü É Á Á ő Ĺ ź ľ ő ľ ő ľ ü ő ő ľ ő ő ľ ő Í ő ő ő ú ľ ő ľ É Í É ő ő ľ ö ő ő ő ľ ľ ő ľ ő ľ ü ö ú ŕ ő ľ ľ ő ő ľ ő ő ľ ő ő

Részletesebben

Készítette Dr. Dóbéné Cserjés Edit Weisz Ilona. Tartalomjegyzék

Készítette Dr. Dóbéné Cserjés Edit Weisz Ilona. Tartalomjegyzék Alapozó laboratóriui gyakorlati feladatok kidolgozása, eljárások elélete, érési leírások. Oldatkészítéssel kapcsolatos száítási feladatok egoldással. Készítette Dr. Dóbéné Cserjés Edit Weisz Ilona Tartalojegyzék

Részletesebben

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015.

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015. Lehetséges minimumkédések Mééstechnika tágyból 015. (A válaszokat póbálja lényege töően megogalmazni, az ábáknál töekedjen a pontosan elidézni, a képletek esetén töekedjen a képletben szeeplő betűk megadásáa.)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben