Furfangos fejtörők fizikából

Átírás

1 Furfangos fejtörő fiziából Vigh Máté ELTE Komple Rendszere Fiziája Tanszé Az atomotól a csillagoig 03. április 5.

2 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen hosszú lesz az egyi végénél fogva felfüggesztett sliny? A sliny tömege m, rugóállandója D.

3 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen hosszú lesz az egyi végénél fogva felfüggesztett sliny? A sliny tömege m, rugóállandója D. Mi oozza a fejtörést? A sliny minden pontját más erő feszíti! L L mg D

4 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen hosszú lesz az egyi végénél fogva felfüggesztett sliny? A sliny tömege m, rugóállandója D. Mi oozza a fejtörést? A sliny minden pontját más erő feszíti! L L mg D

5 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen hosszú lesz az egyi végénél fogva felfüggesztett sliny? A sliny tömege m, rugóállandója D. Mi oozza a fejtörést? A sliny minden pontját más erő feszíti! L L mg D Az erő legalul nulla, a felfüggesztésnél pedig mg. Ötlet: osszu fel a sliny-t N darab, egyenlő tömegű részre!

6 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen hosszú lesz az egyi végénél fogva felfüggesztett sliny? A sliny tömege m, rugóállandója D. L Alulról számolva a -adi darabát feszítő erő: A -adi daraba megnyúlása (azaz a hossza): A sliny teljes megnyúlása: F l m N F ND g mg N D l N N mg mg mg N( N ) N D N D N D mg D Olyan, mintha mg/ átlagos erő feszítené a slinyt!

7 . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi, jó özelítéssel öveti a Hooe-törvényt, és már a saját súlya hatására is számottevően megnyúli. Milyen alaot vesz fel egy ilyen rugó, ha a végeit azonos magasságban, egymástól bizonyos távolságban rögzítjü?

8 Rajzolju fel a sliny egy tetszőlegesen iválasztott darabjára az erőet!

9 Rajzolju fel a sliny egy tetszőlegesen iválasztott darabjára az erőet! Hatna a rugalmas erő (érintő irányúa, hiszen a sliny önnyen hajli),

10 Rajzolju fel a sliny egy tetszőlegesen iválasztott darabjára az erőet! Hatna a rugalmas erő (érintő irányúa, hiszen a sliny önnyen hajli), valamint a nehézségi erő, úgy, hogy a forgatónyomatéo eredője nulla legyen.

11 Felismerés: a rugalmas erő vízszintes omponense meg ell egyezzen! Sőt, a feszítőerő omponense a sliny minden pontjában ugyanaora. F (A) (B) F valamint a nehézségi erő, úgy, hogy a forgatónyomatéo eredője nulla legyen.

12 Ötlet: Gondolatban osszu fel a sliny-t függőleges egyeneseel egyenlő tömegű darabára! (Tudju hogyan ell? Nem, de ez nem számít!) Az egyenlő tömegű darabána azonos a rugóállandója. (Ha az egész sliny rudóállandója D, aor az N számú darabána egyenént D*=ND.)

13 Egyetlen is darabára ható erő: A daraba hossza (~megnyúlása) arányos az őt feszítő erővel: l ahol D* a is daraba rugóállandója. F / D A hosszna az -irányú vetülete pedig arányos a feszítőerő -irányú vetületével:, F / D Láttu, hogy F mindenhol ugyanaora, csaúgy, mint a darabá D* rugóállandója, ezért a darabá vetülete is megegyezi!

14 Tehát a sliny-t nem így ell egyenlő tömegű darabára felosztani:

15 Tehát a sliny-t nem így ell egyenlő tömegű darabára felosztani:

16 hanem így: Tehát a sliny tetszőleges (nem feltétlenül icsi) darabjána tömege arányos a darab vízszintes vetületével!

17 F y mg, d itt m a teljes sliny tömege. Másrészt: F D ND Dd A feszítőerő érintőirányú, ezért a sliny meredesége az helyen: y F F y mg Dd Keressü az y() függvényt. Analógia: ez az egyenlet éppen olyan, mint az egyenletesen gyorsuló mozgás sebessége az idő függvényében: v t a t a t y mg Dd y mg Dd

18 Tehát a sliny alaja parabola! y mg Dd

19 It doesn't matter how beautiful your theory is, it doesn't matter how smart you are. If it doesn't agree with eperiment, it's wrong Richard P. Feynman

20 It doesn't matter how beautiful your theory is, it doesn't matter how smart you are. If it doesn't agree with eperiment, it's wrong Richard P. Feynman Nézzü meg, mennyire műödi az elméletün!

21

22 80 cm 90 cm

23 80 cm 90 cm

24

25 Az elmélet szerint parabola alaot várun, azaz: ahol n. n y a, Vegyü mindét oldal logaritmusát! ln y ln a nln Ha tehát ln(y)-t ábrázolju ln() függvényében, egy egyenest ell apnun, amine meredesége megadja az empírius itevőt.

26 Az elmélet szerint parabola alaot várun, azaz: ahol n. n y a, Vegyü mindét oldal logaritmusát! ln y ln a nln Ha tehát ln(y)-t ábrázolju ln() függvényében, egy egyenest ell apnun, amine meredesége megadja az empírius itevőt.

27

28 Az egyenes jól illeszedi, leolvasható az egyenlete: ln y ln ln y ln a nln Az empírius itevő.0! n.0 a ep( 3.06) (cm - )

29 Az egyenes jól illeszedi, leolvasható az egyenlete: ln y ln ln y ln a nln Az empírius itevő.0!

30

31

32

33 Műödi a fizia!

34 Műödi a fizia! 34

35 3. Fejtörő. A sliny-t függőlegesen lelógatju majd elengedjü. Milyen mozgást végez a rugó? Meora lesz a sebessége a teljes összecsuódás után? Vizsgálju meg a mozgás energiaviszonyait!

36 3. Fejtörő. A sliny-t függőlegesen lelógatju majd elengedjü. Milyen mozgást végez a rugó? Meora lesz a sebessége a teljes összecsuódás után? Vizsgálju meg a mozgás energiaviszonyait! A teljes összecsuódásig áll!

37 Modell: teintsü úgy, mintha a sliny N darab egyforma tömegpontból állna, melyeet egyforma rugó ötne össze! Minél nagyobb N, annál jobb a özelítés. m m/ N, D ND

38 Modell: teintsü úgy, mintha a sliny N darab egyforma tömegpontból állna, melyeet egyforma rugó ötne össze! Minél nagyobb N, annál jobb a özelítés. ND D N m m, / Bevezetjü az ábrán látható oordinátáat:, l l

39 Alulról számolva a -adi golyóra ható eredő erő: Modell: teintsü úgy, mintha a sliny N darab egyforma tömegpontból állna, melyeet egyforma rugó ötne össze! Minél nagyobb N, annál jobb a özelítés. ND D N m m, / F F m g a m Bevezetjü az ábrán látható oordinátáat:, l l

40 Alulról számolva a -adi golyóra ható eredő erő: Modell: teintsü úgy, mintha a sliny N darab egyforma tömegpontból állna, melyeet egyforma rugó ötne össze! Minél nagyobb N, annál jobb a özelítés. ND D N m m, / F F m g a m Bevezetjü az ábrán látható oordinátáat:, l l Hooe-törvényt és a rugó hosszát a oordinátáal ifejezve apju: m D m D g a m D g a

41 Ez az egyenlet tömörebben is írható vetoro és mátrio bevezetésével: m D g X X X , 4 3 m D g Kezdetben: D g m D g m D g m l 6 3 0, ) (, ) ( (0) (0) (0) X

42 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani?

43 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani? Numeriusan!

44 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani? Numeriusan! t t t t t t t t t t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X X X X X X Legegyszerűbb, léptető algoritmus:

45 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani? Numeriusan! t t t t t t t t t t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X X X X X X Legegyszerűbb, léptető algoritmus: Mit apun eredményül?

46 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani? Numeriusan! Legegyszerűbb, léptető algoritmus: X( t X ( t t) t) X( t) X ( t) t X ( t) X ( t) t Mit apun eredményül? A menete utoléri egymást és áthaladna egymáson

47 Hogyan lehet egy ilyen bonyolult mozgásegyenletet megoldani? Numeriusan! Legegyszerűbb, léptető algoritmus: X( t X ( t t) t) X( t) X ( t) t X ( t) X ( t) t Mit apun eredményül? A menete utoléri egymást és áthaladna egymáson Vegyü bele a számolásba a menete rugalmatlan ütözését is!

48 SUCCESS

49 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Hová tűnt a hiányzó energia?

50 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Tapasztalat (szimulácóból): az összecsuódó sliny-nél a ezdeti energia fele alaul át csa mozgási energiává.

51 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Tapasztalat (szimulácóból): az összecsuódó sliny-nél a ezdeti energia fele alaul át csa mozgási energiává. A többi a menete rugalmatlan ütözései során hővé alaul. Próbálju meg megérteni részletesebben!

52 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Tapasztalat (szimulácóból): az összecsuódó sliny-nél a ezdeti energia fele alaul át csa mozgási energiává. A többi a menete rugalmatlan ütözései során hővé alaul. Próbálju meg megérteni részletesebben! Osszu fel ismét a rugót N egyenlő tömegű részre! L A -adi daraba megnyúlása (azaz a hossza): l F ND mg N D Az n-edi daraba magassága a legalsó ponthoz épest: n n l n mg N D mg N D n mg N D n( n )

53 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Az n-edi daraba magassága a legalsó ponthoz épest: n mg N D n( n ) A tömegözéppont távolsága a legalsó ponttól: L

54 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Az n-edi daraba magassága a legalsó ponthoz épest: n mg N D n( n ) A tömegözéppont távolsága a legalsó ponttól: H TKP N m N mg n N N n n n( n ) 3 m N n N D n L H mg mg N( N )( N ) TKP N 3 D 3 6 D mg L D Emléeztető: a sliny L hossza:

55 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Az n-edi daraba magassága a legalsó ponthoz épest: n mg N D n( n ) A tömegözéppont távolsága a legalsó ponttól: H TKP N m N mg n N N n n n( n ) 3 m N n N D n L H mg mg N( N )( N ) TKP N 3 D 3 6 D mg L D Emléeztető: a sliny L hossza: Tehát a tömegözéppont H TKP =L/3 magasságban van!

56 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Az n-edi daraba magassága a legalsó ponthoz épest: n mg N D n( n ) A tömegözéppont távolsága a legalsó ponttól: H TKP N m N mg n N N n n n( n ) 3 m N n N D n L H mg mg N( N )( N ) TKP N 3 D 3 6 D mg L D Emléeztető: a sliny L hossza: Tehát a tömegözéppont H TKP =L/3 magasságban van!

57 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben L Tehát a potenciális energia a legalsó ponthoz épest: 3 L E pot mg A rugalmas energia? A övetező: N N N rug D N mg ND l ND l ND E 4 ) ( D mg N N N D N mg E rug 6 ) ( ) )( ( 6 ) ( 3

58 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben Tehát a potenciális energia a legalsó ponthoz épest: A rugalmas energia? A övetező: E pot mg L 3 E rug N ND l N ( mg) NDl ND 4 N D N L E ( mg) ( mg) N( N )(N ) rug 3 N D 6 6 D Emléeztető: a sliny L hossza: mg L D E rug ( mg) 6D mg L 3 Ugyanaora!

59 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben E pot mg L 3 E rug mg L 3 Mennyi a mozgási energia a teljes összecsuódás pillanatában? A TKP szabadon esi L/3 magasságról! v gl E mg L in 3 3 L

60 Energetiai viszonyo az összecsuódás özben E pot mg L 3 E rug mg L 3 Mennyi a mozgási energia a teljes összecsuódás pillanatában? A TKP szabadon esi L/3 magasságról! v gl E mg L in 3 3 L Tehát a menete ütözéseor eletező hő (energiamegmaradás): Q E pot E rug E in mg L 3

61 Érdelődőne ajánlom: KöMaL budapesti diáolimpiai szaör hazai versenye Köszönöm a figyelmet!