3. 1 dimenziós mozgások, fázistér

Átírás

1 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 3. dienziós ozgások, fázistér 3.. Az dienziós ozgások leírása, a fázistér fogala dienziós ozgás alatt egy töegpont olyan ozgását értjük ebben a jegyzetben, ai egy egyenes entén történik. Így a töegpont pozíciója egyetlen koordinátával jelleezhető, ezt a koordinátát tipikusan -szel jelöljük. A töegpont ozgásegyenlete így a következő alakú: ẍ = F(,ẋ,t), () ahol az F erő egy előjeles skalárennyiség, és az koordinátától, az ẋ sebességtől, valaint a t időtől függhet epliciten. Ha az erő csak a helytől függ: F = F(), továbbá az F() függvény integrálható, akkor indig definiálhatunk egy V() potenciálfüggvényt a következő ódon : V() = 0 F( )d, (2) ahol 0 egy tetszőlegesen választott pont koordinátája. A ozgásegyenletet a potenciál segítségével felírva ẍ = dv() (3) d adódik. Ez átalakítható az alábbiak szerint: ẋẍ = dv() ẋ, (4) d d ( ) 2ẋ2 = dv(), (5) dt dt ( ) d dt 2 ẋ2 +V() = 0. (6) Az elsőből a ásodik sor úgy következik, hogy -et az idő függvényének tekintjük, egy (t) függvénynek, ai a ozgásegyenlet egoldása. Ennek egfelelően az (5) alakban az időderiválás a ténylegesen egvalósuló ozgás során jelentkező időbeli egváltozást írja le. A (6) alak így azt jelenti, hogy a zárójelben lévő ennyiség a egvalósuló ozgás során időben állandó: E := 2 ẋ2 +V() T +V = állandó. (7) Az E ennyiséget echanikai energiának nevezzük. A echanikai energia a T kinetikus és a V potenciális energia összege. A (7) képlet a továbbiak szepontjából eghatározó jelentőségű lesz. Valaely ozgás során a kinetikus és a potenciális energia részesedése a teljes echanikai energiából folyaatosan változik. V -t szükségszerűen eghatározza a töegpont pozíciója, A potenciál általános definíciójában szereplő vonalintegrál dienzióban hagyoányos (Rieann-féle) integrállá egyszerűsödik, ai két pont között indig egyértelű.

2 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 2 így a T kinetikus energia is felírható a hely függvényében, ha az E echanikai energia adott: T = E V(). A kinetikus energiából a töegpont sebessége is adódik: 2 ẋ2 = E V(), (8) 2 ( ) ẋ = ± E V(). (9) Vagyis fel tudtuk írni az ẋ() függvényt, az előjeltől eltekintve egyértelűen. Az előjel, vagyis a ozgás iránya a kinetikus energiából terészetesen ne következhet. AdottE energia ellett ezt a függvényt ábrázolhatjuk is (. ábra, kék, ill. piros görbe az alsó grafikonon). Az ẋ() függvény pozitív és negatív ágára együttesen úgy is tekinthetünk, int V() E 2 E fp (E 2 ) fp (E ) fp2 (E ) fp3 (E ) ẋ. ábra. Egy V() potenciálfüggvény (felső grafikon, fekete vonal), és a példaként tekintett E, ill. E 2 energiaszint ellett lejátszódó ozgás trajektóriája (a kék, ill. a piros görbe) az (,ẋ) síkban (alsó grafikon). A ozgás lejátszódásának az irányát nyíl jelöli. A ozgás fp fordulópontjainak a tulajdonságait a szöveg részletezi. egy görbe az (, ẋ) síkban, ait a (7) egyenlet, vagy annak átrendezett (9) alakja határoz eg, ha E adott. Az (,ẋ) síkot fázistérnek nevezzük. Jelentőségét az adja, hogy ha ebben a síkban kijelölünk egy pontot, és egvizsgáljuk, hogy a pontnak egfelelő és ẋ kezdeti feltételekkel ilyen ozgás ehet végbe, akkor ez a ozgás egyértelű lesz (hiszen a ozgást éppen két kezdeti feltétel határozza eg). Hogyan látjuk a ozgás lejátszódását a fázistérben? Vegyük észre, hogy egy pont kijelölésével eghatározzuk a potenciális és a kinetikus energiát (, ill. ẋ értékén keresztül), és így a teljes E echanikai energiát is. Mivel a echanikai energia a ozgás során állandó, a ozgás a (7) [vagy (9)] egyenlet által eghatározott görbén fog végighaladni a

3 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 3 fázistérben. Ezt a görbét a ozgás trajektóriájának nevezzük. A pozitív ẋ (azaz felső) félsíkon a ozgás jobbra, a negatív ẋ (alsó) félsíkon balra történik (a sebesség definíciója szerint). A (9) képlet szerint a trajtória indig szietrikus az tengelyre. Hol etszi a trajektória az tengelyt? Milyen koordinátánál? Jelöljük ezt fp -vel. A etszéspont definíció szerint ott van, ahol ẋ = 0. Ekkor T = 0, vagyis (7) szerint E = V( fp ). (0) Ez egy egyenlet fp -re, ainek lehet egy vagy több egoldása, akár E-től függően. Fontos, hogy a egoldás értéke indig függ E-től. Az ilyen pontok jelentősége, aint az. ábrán is látható, abban rejlik, hogy ezek határolják a ozgás száára egengedett tartoányt. A ozgás ugyanis csak ott ehet végbe, ahol E V(), () hiszen E V = T = 2 ẋ2 0 kell legyen. A () feltételnek eleget tévő tartoányokat tipikusan (0)-nak egfelelő pontok határolják. A trajektórián lejátszódó ozgás szepontjából ezek fordulópontok: ivel az alsó félsík balra, a fölső félsík pedig jobbra történő ozgást ír le, az egyik félsíkról a ásikra való áthaladás szükségszerűen a ozgás irányának a egváltozásával jár együtt (lásd az. ábrát). 2 Az. ábrán egfigyelhetjük, hogy a ozgás lehet korlátos és ne korlátos. Az előbbi esetben a ozgást balról és jobbról is fordulópont határolja, és a ozgás iután körbeért a trajektórán önagát isétli, azaz periodikus. Észrevehetjük, hogy a fázistérbeli trajektória (7) vagy (9) egyenlete ne hordoz közvetlen inforációt a ozgás időbeli lefolyására vonatkozóan. Azonban ezek az egyenletek valójában egy elsőrendű közönséges differenciálegyenletet képviselnek, ai az (t) függvényre vonatkozik. Kiderül, hogy az inverz t() függvényt könnyebb kifejezni: ẋ d/dt felhasználásával és a (9) alak reciprokát véve: dt d = ± ( ), (2) 2 E V() t t 0 = ± 2 0 E V( ) d. (3) Az előjel a ozgás irányától (ẋ előjelétől) függ. Ez a képlet valójában annak a kiszáítására alkalas, hogy ennyi időbe telik eljutni valailyen 0 koordinátától valailyen ettől eltérő koordinátába. Ha 0 -t egfeleltejük egy periodikus ozgás bal oldali fordulópontjának ( bal ), -et pedig ugyanezen ozgás jobb oldali fordulópontjának ( jobb ), akkor éppen a periodikus ozgás T p periódusidejének kapjuk eg a felét. Azaz: T p = 2 jobb bal E V( ) d. (4) 2 Ha az E = V() egyenlőség ne izolált pontokban (fordulópontokban), hane egy folytonos intervalluon teljesül (ez az egyszerűség kedvéért legyen nyitott intervallu), akkor ezen intervallu tetszőleges pontjában tartózkodhat a töegpont, de a sebessége 0, és tetszőlegesen hosszú ideig 0 is arad, ivel ilyenkor a potenciál hely szerinti deriváltja is 0. Vagyis ilyenkor a töegpont ne ozog.

4 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész A trajektória grafikus felrajzolásáról A fázistérbeli trajektóriát, azaz az ẋ() többértékű függvényt, vagyis az (, ẋ) síkban a (7) egyenlet által eghatározott görbét grafikus alapokon is felrajzolhatjuk, ha iserjük a V() potenciálfüggvény grafikonját, és ugyanezen az ábrán az E energia szintjét. Ebben elsősorban a (7) képlet fog segíteni, ha átrendezzük: T = E V. (5) Tekintsünk valailyen adott, tetszőlegesen választott olyan 0 helyet, ahol () szerint tartózkodhat a töegpont. Nézzük eg, hogy ha innen elindulunk ondjuk jobbra, akkor csökken vagy nő a különbség az E szintje és a V() függvény között, ezt le tudjuk olvasni a grafikonról. Ha csökken, akkor a (5) képlet értelében errefelé a T-nek szintén csökkennie kell, és a 2T ẋ = ± (6) összefüggés (a kinetikus energia definíciója) szerint ebben az irányban az ẋ abszolútértéke is csökken. Eszerint a fázistér felső felébe egy jobbra csökkenő függvényt kell rajzolnunk, az alsó felébe pedig ennek az tengelyre tükrözött párját. A felső és az alsó ág eszerint közeledni fog egyáshoz. Ha az E és a V() közötti különbség ne csökken, hane nő, akkor érteleszerűen T és ezért ẋ is nő, és a rajzon ennek egfelően a trajektória felső és alsó ága távolodni fog egyástól. Ha visszatérünk a választott 0 helyhez, és ne jobbra, hane balra indulunk el, akkor hasonló egfontolások alapján rajzolhatjuk fel a fázistérbeli trajektóriának az 0 -tól balra eső részét. Ha ne írunk beosztást az ẋ tengelyre, akkor indegy, hogy a trajektóriának az 0 -beli értékét ilyen ẋ értékhez rajzoljuk. Mi történik akkor, ha a V() függvény aiuához vagy iniuához érkezünk? Itt T = E V-nek iniua, ill. aiua van, így (6) szerint a fázistérbeli ẋ() függvény is ugyanígy viselkedik. És i történik, ha az E és a V közötti különbség elfogy? Ekkor az ẋ érteleszerűen nullává válik, itt van a ozgásnak fordulópontja. Olyan helyen, ahol a különbség nenulla, seiképpen se találhatunk fordulópontot. Azokon a tartoányokon pedig, ahol E < V, vagyis T negatív lenne, egyáltalán ne tartózkodhat a töegpont, ide ne jut el a fázistérbeli trajektória. Ha figyelünk arra is, hogy ẋ() különböző etréuainak az értéke egyáshoz viszonyítva kisebb vagy nagyobb (ai következik abból, hogy az E és a V közötti különbség kisebb vagy nagyobb), akkor indezen inforációk alapján fel tudjuk rajzolni a fázistérbeli trajektóriát kvalitatíve helyesen (vagyis úgy, hogy a fordulópontjai és a szélsőértékei kvalitatíve jó helyen vannak, és inden részének a onotonitása helyes). A következő hasonlat érthetőbbé teszi a jelen szakaszt, és az egész fejezetet általában véve is: A töegpontnak van valaennyi pénze (E), és ahhoz, hogy valailyen helyen tartózkodjon, V() pénzt letétbe kell helyeznie. A aradék pénzt (T-t) arra fordítja, hogy ẋ sebességgel ozogjon. Miközben elozdul, visszakapja az eredeti helyért adott V() letétet, és elhelyezi az új helyhez rendelt V() letétet. Ha a teljes E pénzét letétbe helyezte, akkor ne ozog. Ott pedig ne is tartózkodhat, ahol a tartózkodáshoz szükséges letétet ne tudja előtereteni (azaz V() > E).

5 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 5 Példa Tekintsük a következő potenciált: V() = 2 k2, ahol k > 0, és legyen E > 0. Adjuk eg a ozgás fordulópontjait! Írjuk fel a fázistérbeli trajektória koordináta-geoetriai egyenletét, és nevezzük eg, ilyen alakzatról van szó! Adjuk eg az = 0 pontban ért ẋ( = 0) sebességet! Mindennek alapján rajzoljuk fel a fázistérbeli trajektóriát! A potenciálfüggvény a következőképpen néz ki (fekete vonal): V() E A echanikai energiának a feladat feltétele szerint felvett, pirossal bejelölt szintjéből leolvasható, hogy a ozgásnak 2 fordulópontja van. A (0) egyenlet szerint: E = 2 k2 fp, fp,2 = k. A fázistérbeli trajektória egyenlete a (7) kifejezésnek egfelelően: 2 ẋ2 + 2 k2 = E. Ez egy ellipszis egyenlete []. A (7) kifejezés használata a (9)-tel szeben gyakran azért előnyös, ert a görbe típusát könnyebb belőle leolvasni. A (9) alakból viszont egyszerű behelyettesítéssel adódik az = 0 pontban ért sebesség: 2 ( ) 2 ẋ( = 0) = ± E V( = 0) = ± (E 2 ) k 02 = ±. Fontos, hogy a sebesség indkét előjelet felveheti. A fázistérbeli trajektória indezek alapján így néz ki (alsó grafikon):

6 Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 6 V() E k k ẋ Hivatkozások [] Koordináta-geoetriai segítség: Ellipszis: (2) egyenlet Hiperbola: (8) egyenlet Fekvő parabola: (5) egyenlet