AZ ÉGIG ÉRŐ PASZULY JACK AND THE BEANSTALK

Átírás

1 AZ ÉGIG ÉŐ PASZULY JAC AND HE BEANSAL Honyek Gyula ELE adnóti Miklós Gyakolóiskola ÖSSZEFOGLALÁS Csodálkoznunk kellene, a a Föld valaely pontján eglátnánk egy kötelet, aelynek az alja ajdne leé a talaja, a teteje eg elveszik a felőkben, int az égig éő paszuly Benedek Elek eséjében? Leetne liftet űködtetni a paszuly végén lévő űálloás és a Föld felszíne között? Miből kellene elkészíteni azt a kábelt, aely bíná a teelést? Mi lenne, a ezt a kötelet jól egángatnánk, aztán vánánk a visszaékező jele? Ez a cikk ezeke a kédéseke keesi a választ. ABSAC Sould we ave to be wondeing if we saw a ope soewee on te Eat toucing alost te suface by its one end wilst te ote end of te ope is fa away in te sky as it appened in te faous Englis faiy tale Jack and te Beanstalk? Is it possible to build a space elevato between te suface of te Eat and a space station? Wat would be te ateial of te space elevato cable wic could sustain te exteely lage load? is pape is seeking te answes fo tese questions. ULCSSZAVA/EYWODS Geostacionáius pálya, űlift, szén nanocső Geostationay obit, space elevato, cabon nanotube. BEVEZEÉS A Földdel együtt ozgó űoldakkal kapcsolatban egkülönböztetjük az úgynevezett geoszinkon, illetve a geostacionáius (GEO) pályákon ozgó űobjektuokat. A geoszinkon pályán ozgó űoldak keingési ideje egegyezik a Föld szideikus fogási idejével, ai 3 óa, 56 pec, 4,1 s ,1 s. (Mivel a Föld a tengely köüli fogása ellett a Nap köül is keing, ezét két delelés között ennél valaivel több idő, éppen 4 óa telik el, ait szinodikus peiódusidőnek nevezünk.) Az egyik nevezetes geoszinkon pálya a undapálya, ainek Földe levetített vetületét az 1. ába utatja. Ezek a pályák általában elnyújtott ellipszis alakúak, ainek az előnye az, ogy ozgásuk soán a Föld bizonyos pontjai felett osszabb ideig lényegében egy elyben tatózkodnak. 1. ába. Geoszinkon unda-pálya.

2 A geostacionáius pályán lévő űoldak a geoszinkon űoldak speciális esetének tekintetők, et ezek necsak a Földdel egegyező keingési idejűek, ane lényegében állandóan a Föld ugyanazon pontja felett állnak. Ezek a űoldak kizáólag az Egyenlítő síkjában elyezetőek pályáa, egatáozott agasságban, vagyis száuka egy képzeletbeli kö alakú gyűű létezik a Föld köül, és a űoldakat ide kell vezetni egatáozott sebességgel. Jelenleg nagyjából 400 geostacionáius űold keing a Földdel együtt ezen a kögyűűn. A GEOSACIONÁIUS PÁLYA ADAAINA ISZÁMÍÁSA özépiskolás ódszeekkel könnyen kiszáítatjuk a geostacionáius pálya adatait. együk egyenlővé a űolda ató gavitációs eőt a centipetális eővel, vagyis íjuk fel a űold ozgásegyenletét a geostacionáius köpályáa, ajd fejezzük ki a pálya sugaát: M γ geo geo π 3 geo γm 4164 k 6,61 tengeszint k. π A keület és a keingési idő ányadosaként száítatjuk ki a geostacionáius pályán ozgó űold sebességét: π k v 3,0746. s GEOSACIONÁIUS ÖÉL ADAAINA ISZÁMÍÁSA Az előzőekben a űoldat töegpontnak tekintettük, vagyis a kitejedésével ne kellett száolnunk. A következőkben atáozzuk eg (a indezideig csak képzeletünkben létező) geostacionáius kötél (égig éő paszuly) pályaadatait. önnyen belátatjuk, ogy a kötél is az egyenlítő síkjában ozogat csak. együk fel, ogy a kötél sugáiányú, a Föld felszínéől indul az ég felé, oogén anyagú, egyenletes, állandó keesztetszetű. A. ábán feltüntettük a kötél egy kicsiny daabját, aie könnyen felíatjuk a gavitációs eőt: M F γ M γ.. ába. Az égig éő kötél elelyezkedése a kötél töegközéppontjának feltüntetésével. A osszúságú teljes kötéle ató gavitációs eőt integálszáítással (vagy a Coulobtövény és a Coulob potenciál közötti analógia alapján) atáozatjuk eg. A teljes

3 gavitációs eőt egyenlővé kell tennünk azzal a centipetális eővel, ait úgy képzeletünk el, ogy a kötél teljes töege a + M d M 1 1 M π F γ γ γ + + ( + ) töegközéppontjában lenne γm összesűítve: ( + ) +. π Vegyük észe, ogy a fenti száítás ásodik soában lévő egyenletet édees a Föld sugaának négyzetével leosztanunk, et így az egyenlet bal oldala egy dienziótlan szá lesz, a jobb oldalon pedig a kötél osszúsága elyett a kötél dienziótlan x elatív osszúsága jelenik eg iseetlenként. Másodfokú egyenlete jutunk, elyet könnyen egoldatunk: γm 3 π 6, x, k. ( 1 + x) 1 + x 1 + Meglepően nagy étéket kapunk; az égig éő paszuly osszúsága a geostacionáius űoldak agasságának több int négyszeese, vagyis a oogén kötél töegközéppontja is több int kétsze agasabban keing a GEO űoldak agasságánál. MEOA EŐ FESZÍI A PASZULY? Az égig éő kötelet a két végének kivételével feszítőeő teeli, ai az inoogén gavitációs té áapálykeltő atása alapján étető eg a legkönnyebben. A kötél alsó észén (a GEO pálya alatt) a gavitációs eők a gyosulásoz szükségesnél nagyobbak, íg a kötél felső észét (a GEO pálya felett) a szükségesnél kisebb gavitációs eők úzzák, iszen a kötél egyes daabjainak gyosulását egyszeűen az ω összefüggés atáozza eg, aol ω a Föld szögsebessége. A kötél ossza entén a () feszítőeőt úgy atáozatjuk eg, a képzeletben elvágjuk a kötelet (3. ába), és egyik daabjának ozgását az egész kötél ozgásáoz asonlóan (lásd a fenti észt) száítjuk ki, és a vágás atását az ottani feszítőeővel vesszük figyelebe: () ρ 3. ába. A kötélben fellépő feszítőeő kiszáításának elvi vázlata.

4 + γm + + π d + (). + ρ Az integálás elvégzése után édees az egyenletben lévő állandók nueikus étékét beelyettesíteni, és úja bevezetni a dienziótlan x elatív osszúságot. A száítások elvégzése után a következő eedénye jutunk: ) 7,5 10 x,6 + 3,6. s 4 ( ( 3,6 x) 4,6 3,6 + x x A fenti összefüggéséből leolvasatjuk, ogy a () feszítőeő csak a elytől és a kötél teljes töegétől függ. Egyszeű beelyettesítéssel belátatjuk, ogy a feszítőeő nulla a kötél két végén, vagyis az x 1 és az x 3,6 elyzetben. Megállapítatjuk, ogy a feszítőeő axiua éppen a geostacionáius pálya elyén van: ax (,61 ) 0,3375. Ne véletlen egyezés ez, ane annak a következénye, ogy a GEO pálya alatt a szükségesnél nagyobb, felette pedig kisebb a gavitációs eő a kötéldaabok szááa szükséges gyosulásnál, teát az áapály eők éppen a GEO pálya elyén a legnagyobbak. Ugyanezt úgy is egfogalazatjuk, ogy a geostacionáius kötél töegközéppontja és súlypontja duván ne esik egybe. A kötél töegközéppontja a közepén, íg súlypontja a geostacionáius pálya elyén van, elyek távolsága kissé nagyobb, int a kötél osszának negyede. VAN-E OLYAN ANYAG, AMIBŐL ELÉSZÍHEŐ A PASZULY? önnyen kiszáítatjuk, ogy ekkoa axiális ecanikai feszültséget kell a paszulynak kibínia. Íjuk fel a kötél töegét az anyagának sűűsége segítségével ( ρ V ρa ). A axiális ecanikai feszültség teát így adató eg: s 6 A ρ σ ax A ax 0,3375 s ρ 0,3375. s ρ Észeveetjük, ogy a axiális ecanikai feszültség csak a kötél osszától és az anyagának a sűűségétől függ. A kötél osszát isejük ( 1, ), teát a axiális feszültség csak az anyagsűűségtől függ. Mai iseeteink szeint a legesélyesebb kötél anyag szén nanocsövekből készülne. Az egyfalú szén nanocsövek anyagának sűűsége 66 kg/ 3, ait a fenti összefüggésbe elyettesítve σ ax 110 GPa étéket kapunk. A szén nanocsövek

5 szakítósziládságát 50 GPa étékűnek tatják, teát ég ebből az anyagból se leetne elkészíteni a paszulyt. Hovát Gábo édekes cikkében [ 1 ] egutatja, ogy égis elkészítető szén nanocsövekből a kötél, a ne agaszkodunk aoz, ogy a kötél állandó keesztetszetű legyen. Ha a kötél keesztetszetét úgy változtatjuk, ogy a benne ébedő feszültség indenol ugyanakkoa legyen, akko eléetjük, ogy a szén nanocsövek kibíják a szükséges teelést. Ilyen esetben pesze a GEO pálya elyén lesz a kötél axiális keesztetszetű, ait Hovát Gábo észletesen levezet [ 1 ]. Jelenleg azonban gondot jelent, ogy szén nanocsövekből közel se tudunk százeze kiloétees osszúságot eléni, iszen anapság ég a osszúság atá a illiéte ezedészénél tat. JELEJEDÉS A ÖÉLBEN Száítsuk ki, ogy ennyi idő úlva ékezne vissza a jel, a egáznánk a kötél végét a Föld felszínén. együk fel, ogy tanszvezális lökésulláot indítunk el, elynek tejedési sebessége a kötélben lévő feszítőeőtől és a kötél egységnyi osszának töegétől függ: v ( ). / Ha ebbe az összefüggésbe beíjuk a feszítőeő elyfüggését kifejező foulát, akko talán eglepődve vesszük észe, ogy a kötélbeli tejedési sebesség csak a elytől függ, ne függ a kötél anyagától. A geostacionáius pálya elyén kapjuk a jelsebesség axiuát: v v ax () / s 7, ,6 ( 3,6 ) 3,6 x + x s x k 330 ( 3,6 x) 4,6 3,6 + x x Ha tudjuk, ogy elyől elye ekkoa a tejedési sebesség a kötélben, akko viszonylag könnyen ki tudjuk száítani azt is, ennyi idő úlva ékezik vissza a kötél égben lévő végéől visszaveődött jel: d v dt fel le fel le dt 4 ( 3,87 10 s) 6, 10 4 dt v 3,6 1 s 17 óa. ( 3,6 x) Ez teát azt jelenti, ogy akáol is találnánk az Egyenlítő entén egy egyenletes keesztetszetű, égig éő kötelet vagy paszulyt, akko az alját jól egázva, a jel 17 óa úlva ékezne vissza ozzánk, akáilyen anyagból is készülne a kötél, feltéve, ogy a kötél égben lévő vége szabad lenne, ne lakna fenn seilyen óiás. fel le s 3,6 4,6 3,6 + x x 1 v

6 VALÓSÁG VAGY ÁBÁND? Ciolkovszkij á 1895-ben felvetette egy égi kastély ötletét, aova liften leetne felenni. A szén nanocsöveke ivatkozva Badley C. Edwads [ ], [ 3 ] félillió dollát kapott az űlifttel kapcsolatos kutatásaia. Jelenleg úgy becsülik, ogy az űliften a szállítási költségek a jelenlegi űepülőgépes egoldásoz képest a század észée csökkennének, íg a kutatásifejlesztési költségeket tíz illiád dollánál is többe tatják. Necsak a Föld köüli geostacionáius pályán keingő űálloásoka tevezik az űliftet, ane a sokkal kisebb gavitációval bíó Hold köüli űeszközök ellátásáa is. A 4. ába egy űlift fantáziaképét utatja. 4. ába. Űlift fantáziaképe. Látatjuk, ogy az űlift egyelőe csak távlati tev, azonban a kipányvázott űoldak (teteed satellites) á kíséleti fázisban vannak. A NASA és az olasz ISA kifejlesztett egy 1,6 átéőjű űszondát, elyet a Colubia űepülőgép vitt agával 1996 febuájában (5. ába). Aiko a Colubia 90 k-es agasságban stabil pályáa állt, elkezdték a szondát a Földdel ellentétes iányba kiengedni. Azt tevezték, ogy a szonda távolodjon el az űepülőgéptől 1 k-e, de aiko az összekötő kábel eléte a 19,7 k-t, a kábel elszakadt, és a szonda odaveszett. A kísélet célja az volt, ogy egvizsgálják, leet-e a Föld dinaóval elektoos enegiát teelni az űálloások szááa? Hát, ai azt illeti, a fenti kíséletben a szakadás előtt a kábelben 3500 V feszültség és 0,5 A áa jött léte, ai ajdne kw! 5. ába. ipányvázott űoldak fantáziaképe (bala) és valódi képe (jobba).

7 IODALOMJEGYZÉ 1. Hovát Gábo: Fizikai Szele, 6., 9, Badley C. Edwads and Eic A. Westling: e Space Elevato: A evolutionay Eatto-Space anspotation Syste, Spageo Inc., San Fancisco CA USA, Badley C. Edwads and Pilip agan: Leaving te Planet by Space Elevato, Lulu.coe, Seattle WA USA, 006. SZEZŐ Honyek Gyula, vezetőtaná, ELE adnóti Miklós Gyakolóiskola, onyek@gail.co.