I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
|
|
- Ildikó Péter
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív függvényü és ezeben az eseteben határozd meg a primitív függvényeiet: f ( ) ( ) f + f ( ) + 4 f ( ) f ( ) + 6 f ( ) f ( ) + 8 f ( ) + 9 f ( ) + 0 f ( ) + 5 ( ) f f ( ) 5 f ( ) sh + ch 4 f ( ) sh( ln ) 5 f ( ) sh 6 f ( ) sin 7 f ( ) cos 8 f ( ) sin 9 f ( ) sin cos 4 0 f ( ) tg( + ) f ( ) ctg f ( ) sin + cos ( + π) ( ) 9 f ( ) 4 5 f ( ) 9 f ( ) f ( ) + 9 f ( ) 9 9 f ( ) + 4 f ( ) 4 f ( ) 9 f ( ) 4 Megoldás d d + d + d + d C 4
2 6 A primitív függvény és a határozatlan integrál Az előbbi összefüggés minden esetén érvényes, mert az,, és ifejezéseel értelmezhető függvénye az -en primitiválható és primitiválható függvénye összege is primitiválható, sőt az összegfüggvény primitívje a tago primitívjeine összege A továbbiaban csa a primitíveet írju fel és a maimális intervallumot, amelyen létezne, esetleg röviden hivatozun arra, hogy melyi szabályt használtu 4 + d + + C és D [0, ) 4 + d + C és I D, ahol I egy intervallum Megjegyzés A továbbiaban az I D jelölés azt jelenti, hogy I egy intervallum és a primitívre vonatozó összefüggés I -n érvényes Ha nem szűítjü le egy intervallumra a primitív értelmezését, aor az előbbi feladat megoldása, 0 + C < d + + C, > 0 mert 0 nem tartozi az eredeti függvény értelmezési tartományához d d + d + + C C és D [0, ) d C és I D d d d C 7 + d + ln + C és I D d 8 ln + + C és I D \ + { } 9 ln + d + + C és I D d + + C és D ln 8 d 8 d + ln8 C és D I D és
3 A primitív függvény és a határozatlan integrál 7 5 Az ln 5 5 megjeleni az ln 5 ifejezés deriválásából megapju az 5 ifejezést, de még 5 tag is, tehát -ből ivonva az 5 egy primitívjét, a eresett ln 5 ln függvényt apju Valóban, az F :, F ( ) + C függvény ln 5 ln 5 deriválható és F ( ) f( ),, tehát az f függvény primitiválható az -en és 5 5 f ( ) d + C ln 5 ln 5 sh + ch d ch + sh + C e + C és D ln ln e e ln 4 sh( ln ) d d d + C és 4 D (0, ) 5 sh d ch + C és D 6 sin d cos + C és D 7 cos d sin + C és D 8 A feladathoz hasonlóan részenént megereshetjü a primitív függvényt és így az F :, F () cos+ sin függvényhez jutun Ez deriválható és F ( ) f( ),, tehát az f függvény primitiválható az -en és f ( ) d cos + sin + C 9 + d ctg + tg 4 + C és sin cos 4 4 π ( + ) π I D \ { } 8 0 tg( + ) d ln cos( + ) + C és ( + ) π I D \ 6 π ctg d ln sin + C és I D \ { } Mivel cos( + π) cos( + π) cos, írhatju, hogy
4 8 A primitív függvény és a határozatlan integrál d d sin + cos ( + π ) sin + cos és ez érvényes a D -n d ln + C és D I \{ ± } d C +, d d 4 ln + C ln + C, 4 + I D \ ± d 5 arctg + C és D + 9 d 6 arctg + C és D 7 d ln( + + 9) + C és D d ln 9 + C és D I \[,] 9 9 d 4 ln C és D + 0 d 4 ln + C és D I \, 4 d arcsin + C és D (,) 9 d arcsin + C és D, 4 II Bizonyítsd be, hogy a övetező függvényene van primitív függvénye: arctg, ha 0 f :, f ( ) π, ha 0
5 A primitív függvény és a határozatlan integrál 9 f : f : 4 f : 5 f : sin, ha 0, f ( ), ha 0 ln + ha, ( ), 0 f, ha 0 ( ) e, ha, f ( ) + 0 ln +, ha > 0 f ma,, ( ) { } cos, ha 0 6 f :, f ( ) 0, ha 0 ( + sin ), ha 0 7 f :, f ( ) 0, ha 0 e sin, ha 0 8 f :, f ( ) 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f ( ) arctg 0, ha 0 e sin, ha 0 0 f :, f ( ) 0, ha 0 π arctg, 0 Megoldás Mivel lim arctg, az f :, f ( ) 0 π, 0 függvény folytonos, tehát primitiválható is sin Mivel lim és a feladatban értelmezett függvény folytonos, létezi 0 primitív függvénye -en ln + ln( + ) lim lim, tehát a vizsgált függvény folytonos -en és 0 0 így primitiválható is
6 0 A primitív függvény és a határozatlan integrál ( ) 4 Mivel lim f ( ) lim + e, lim f ( ) lim( ln + ) és 0 0 < 0 < > 0 > 0 f (0), az f függvény folytonos 0 -ban Másrészt f folytonos -on, tehát folytonos -en és így létezi primitív függvénye 5 Az f :, f ( ), és f :, f( ), függvénye folytonosa, tehát az f ( ) ma( f( ), f( )), függvény is folytonos és így létezi primitív függvénye 6 A függvény nem folytonos 0 -ban, ezért más gondolatmenetet használun, megpróbálun előállítani egy olyan függvényt, amelyne a deriváltja tartalmazza a cos ifejezést sin cos, tehát a sin ifejezés deriváltjában megjeleni a cos Pontosabban sin sin + cos, Az itt megjelenő függvényeet megpróbálju folytonosan meghosszabbítani a 0 -ban lim sin 0 lim sin, tehát írhatju, hogy a G :, 0 0 sin, 0 G () sin, és h :, h () 0 függvénye 0, 0 0, 0 ( ) G(0) folytonosa G deriválható -on és li m G lim sin 0, tehát G deriválható 0 -ban és G (0) 0 Ez alapján f ( ) G ( ) + h( ), A h folytonos, tehát létezi primitív függvénye, a G -ne létezi primitív függvénye, tehát az f -ne is létezi primitív függvénye sin, 0 7 A h :, h () függvény folytonos és a G :, 0, 0 sin, 0 G () függvényne létezi primitív függvénye, tehát az összegüne 0, 0 is létezi primitív függvénye Megjegyzés Használhatju az 5 megoldott feladatot (lásd a tanönyv 9 oldalán) 8 A bizonyítást itt is elvégezhetjü a 6 feladat megoldásához hasonlóan, ha a e cos, 0 G :, G () 0, 0
7 A primitív függvény és a határozatlan integrál és e cos + e cos, 0 h :, h () 0, 0 segédfüggvényeet használju ( G h f) Az egyszerűbb gondolatmenet a övetező: a ( e ) sin, 0 h :, h () 0, 0 sin, 0 függvény folytonos és a G :, G () függvényne létezi 0, 0 primitív függvénye, tehát az összegüne is létezi primitív függvénye Megjegyzés Használhatju az 5 megoldott feladatot (lásd a tanönyv 9 oldalán) 9 Teintsü a arctg ( + arctg) sin, 0 h :, h ( ) arctg és 0, 0 arctg ( + ) sin, 0 G :, G ( ) arctg 0, 0 segédfüggvényeet A h függvény folytonos -en, G deriválható -en és f ( ) G ( ) + h( ),, tehát az f primitiválható e e cos sin, 0 0 A h :, h ( ) e függvény folytonos 0, 0 e cos, 0 és a G :, G ( ) e függvény deriválható -en, továbbá 0, 0 f ( ) G ( ) h( ),, tehát az f primitiválható III Bizonyítsd be, hogy a övetező függvényene nincs primitív függvénye: f :, f ( ) sgn f : f :, ha < 0, f ( ) cos, ha 0, f ( ) [ ]
8 A primitív függvény és a határozatlan integrál 4 f :, f ( ) { }, ha 5 f :, f ( ), ha \ sin + cos, ha 0 6 f :, f ( ), ha 0, ha 7 f :, f ( ), ha \ sin, ha 0 8 f :, f ( ) 0, ha 0 cos, ha 0 9 f :, f ( ), ha 0 Megoldás A függvény épe a {,0,} halmaz, tehát nem intervallum Ebből övetezi, hogy f nem Darbou tulajdonságú, tehát nincs primitív függvénye Mivel li m f ( ) lim 0, lim f ( ) lim cos az f függvényne elsőfajú 0 0 < 0 < > 0 < 0 szaadási pontja az 0 Ebből övetezi, hogy a függvény nem Darbou tulajdonságú, tehát nem létezi primitív függvénye Az f függvény épe csa az egész számoat tartalmazza, tehát nem intervallum Ebből övetezi, hogy a függvény nem Darbou tulajdonságú, tehát nem létezi primitív függvénye 4 Mivel lim f ( ) lim{ } 0 és lim f ( ) lim{ } az f függvényne < < > < elsőfajú szaadási pontja az, minden esetén Ebből övetezi, hogy a függvény nem Darbou tulajdonságú, tehát nem létezi primitív függvénye 5 Igazolju, hogy f nem Darbou tulajdonságú Ha és 5, aor f ( ) és f ( ) 5 Az y 4 (,5) érté esetén az f ( ) y egyenletne nincs megoldása az (, ) intervallumban, mert az f () 4 egyenlőség csa az ±4 értée esetén teljesül és eze nincsene a vizsgált intervallumban Eze alapján az (, ) intervallum épe nem intervallum, tehát f nem Darbou tulajdonságú és így nincs primitív függvénye 6 Az f :, sin, 0 f( ) cos, 0 és f :, f ( ) 0, 0 0, 0
9 A primitív függvény és a határozatlan integrál függvényene létezi primitív függvénye, tehát ha f -ne is létezne primitív 0, 0 függvénye, aor az f f f függvény is primitiválható volna Ez, 0 0, 0 viszont ellentmondás, mert az f :, f( ) függvény épe nem, 0 intervallum, tehát a függvény nem Darbou tulajdonságú és így nincs primitívje sem 7 Igazolju, hogy f nem Darbou tulajdonságú Ha 7 és 9, aor f ( ) 7 és f ( ) 9 Az y 8 (7,9) érté esetén az f () y egyenletne nincs megoldása az (, ) intervallumban, mert az f ( ) 8 egyenlőség csa az 8 érté esetén teljesül és ez nincs a vizsgált intervallumban Eze alapján az (, ) intervallum épe nem intervallum, tehát f nem Darbou tulajdonságú és így nincs primitív függvénye sin, 0 8 A h :, h ( ) függvény folytonos, tehát létezi primitív, 0 függvénye Ha az f függvényne létezi primitív függvénye, aor az f g függvény is primitiválható Ez ellentmondás, mert az f g függvény épe nem intervallum cos, 0 9 Az f :, f( ) függvényne létezi primitív függvénye, 0, 0 0, 0 tehát, ha az f is primitiválható, aor az ( f f) ( ) függvény is, 0 primitiválható volna Ez nem lehetséges, mert f f éphalmaza nem intervallum IV Adj példát ét függvényre, amelyene nincs primitív függvénye, de a szorzatuna van Megoldás Az 0, 0 f, g :, f ( ), 0 és g( ), > 0 0, > 0 függvényene nem létezi primitív függvénye, de a szorzatu identiusan nulla, tehát a szorzatna létezi primitívje Adj példát ét függvényre, amelyene nincs primitív függvénye, de az összetett függvényne van
10 4 A primitív függvény és a határozatlan integrál 0, 0 Megoldás Az f, g :, f ( ), 0 és g ( ), > 0, > 0 függvényene nem létezi primitív függvénye, de az összetételüre ( f g)( ),, tehát az f g függvényne létezi primitívje Bizonyítsd be, hogy ha az f :[ a, b] (a, b,a< b) függvényne van primitív függvénye az [ ac, ] és [ cb, ] intervallumoon (c (,) a b ), aor f -ne van primitív függvénye -en Bizonyítás Ha F és F az f primitívje az [ ac, ] és [ cb, ] intervallumon, aor az F( ), [ a, c] F :[ a, b], F () F () F () c F(), c (, c b] + függvény folytonos, deriválható és F ( ) f( ), [ a, b], tehát f -ne létezi primitívje az [ ab,] intervallumon 4 Bizonyítsd be, hogy ha az f : függvényne van primitív függvénye az I, zárt intervallumoon, ahol I, aor f -ne van primitív függvénye -en Bizonyítás Ha I [ a, b], és I, aor bármely Jn a [ n, n] J n n n I n intervallum esetén létezi olyan n, amelyre Jn I Így intervallum felbontható véges so diszjunt belsejű intervallum egyesítésére úgy, hogy az egyes részintervallumo mindegyie valamelyi I intervallum része legyen Az előbbi feladat alapján az f -ne létezi F primitívje a n J n intervallumon Az F :, F () F() + F(0) F(0), J függvény jól értelmezett és teljesül rá az F () f( ), összefüggés, tehát a f függvényne létezi primitív függvénye az halmazon 5 Határozd meg az α paraméter értéét úgy, hogy az π π f :, arctg, ha 0, f ( ) α, ha 0 függvényne legyen primitív függvénye n
11 A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 π π π arctg, 0 Megoldás lim arctg, tehát a g :, 0, g () π, 0 függvény folytonos és így létezi primitív függvénye Ha az f függvény 0, 0 primitiválható, aor az ( f g) ( ) π függvény is primitiválható α, 0 π Enne a függvényne a éptartománya α esetén ét értéet tartalmaz, tehát ebben az esetben a függvény nem Darbou tulajdonságú Ez alapján a vizsgált π függvényne pontosan aor van primitív függvénye, ha α 6 Határozd meg az α paraméter értéét úgy, hogy az sin, ha 0 f :, f ( ) α, ha 0 függvényne legyen primitív függvénye cos Megoldás A sin azonosság alapján írhatju, hogy cos, 0 f ( ) cos, 0 A g :, g () függvény α, 0 0, 0 primitiválható, tehát az f függvény pontosan aor primitiválható, ha α (ellenező esetben az f g ülönbség éptartománya ét pontot tartalmazna) 7 Határozd meg az α paraméter értéét úgy, hogy az sin cos, ha 0 f :, f ( ) α, ha 0 függvényne legyen primitív függvénye 4 Megoldás A sin cos sin cos sin cos azonosság alapján átalaítju a függvényt A 5 sin sin, 0 G :, () + G 5 0, 0 függvény folytonos és deriválható Ha 0, aor
12 6 A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 4 G () sin + sin cos + sin sin cos 5 és G (0) 0 A 5 sin sin, 0 h :, h () 5 0, 0 0, 0 függvény folytonos, tehát létezi primitívje és f ( ) G ( ) + h ( ) +, α, 0 Ez alapján az f pontosan aor primitiválható, ha α 0 8 Bizonyítsd be, hogy ha az f :[0,] [0,] függvényne van primitív függvénye és létezi α (0,) úgy, hogy f ( α ) 0, aor f nem injetív Bizonyítás Ha f primitiválható, aor Darbou tulajdonságú Ha f injetív és Darbou tulajdonságú, aor szigorúan monoton Ez nem lehetséges, mert f (0) (0,] f () (0, ], α (0,) és f ( α ) 0 9 Bizonyítsd be, hogy ha az f : függvény esetén f ( ), > 0, aor f -ne nincs primitív függvénye Bizonyítás Ha f(0) a, aor a li m f ( ) lim összefüggés alapján > 0 > 0 > 0 lim f ( ) Ez alapján létezi olyan I (0, ε] intervallum, amelyre f ( ) > a+, I, tehát a [0, ε ] intervallum épe tartalmazza a -t, tartalmaz a + -nél nagyobb elemeet és nem tartalmaz a és a + özti elemeet Így a [0, ε] intervallum épe nem intervallum, tehát f nem Darbou tulajdonságú, tehát nem létezi primitív függvénye 0 Létezi-e olyan f : függvény, amelyne van primitív függvénye és f f? Megoldás Lásd a feladatot Létezi-e olyan f : függvény, amelyne van primitív függvénye és ( )( ) f f a,, ahol a? Megoldás Ha f primitiválható, aor Darbou tulajdonságú Az f f függvény injetív, tehát f is injetív és így szigorúan monoton Másrészt ha f szigorúan monoton, aor f f szigorúan növevő és ez ellentmondás, mert a g ( ) a, függvény szigorúan csöenő
13 A primitív függvény és a határozatlan integrál 7 Bizonyítsd be, hogy ha az f : függvényne létezi primitív függvénye, a g : függvény folytonosan deriválható, és g( ) 0, esetén, a h : függvény pedig az függvény egy primitív függvénye, aor az g f oh függvényne is létezi primitív függvénye! Bizonyítás Teintsü a K :, K ( ) g ( ) ( F h)( ), függvényt, ahol F az f egy primitív függvénye Mivel g, F és h deriválható függvénye, a K is deriválható és K ( ) g ( ) ( F h) ( ) + ( f h) ( ) Másrészt az F h és g függvénye folytonosa, tehát a g ( F h) függvény is folytonos és így primitiválható, tehát az f h függvény is primitiválható (ét primitiválható függvény ülönbsége) Bizonyítsd be, hogy ha az f :( a, b) függvénye folytonosa és f f,, f (), [, a ] aor az f ( ) b függvényne nincs primitív függvénye! f ( ), [ a, b]\ Bizonyítás Mivel f f létezi olyan c (,) a b, amelyre f() c f() c f() c f( c) Feltételezzü, hogy f () c > f( c) és megszeresztjü az ε > 0 számot folytonos függvénye, tehát létezi olyan δ > 0, amelyre f, f () ( f () c ε, f () c + ε ) és f () ( f () c ε, f () c + ε), ( c δ, c + δ) Ez alapján a ( c δ, c + δ) intervallum épe nem intervallum, mert f() c + ε < f() c ε és az f (( c δ, c + δ)) intervallum tartalmaz elemeet az ( f() c ε, f() c + ε) intervallumból is és az ( f () c ε, f c + ε ) intervallumból is ()
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
Részletesebbenlim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?
FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Részletesebben1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +
. Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenPermutációegyenletekről
Permutációegyenleteről Tuzson Zoltán tanár, Széelyudvarhely Az elemi ombinatoriában n elem egy ermutációján az n darab elem egy meghatározott sorrendjét (sorbarendezését) értjü. Legyen az n darab elem
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenHatározatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)
Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenRégebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
Részletesebbenk n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög
Alapfeladato Megoldás A ombináció értelmezése alapján felírhatju, hogy n, n Ha n páros, aor n és n özött veszi fel értéeit Ha n páratlan, aor n, vagyis > n n+, ami azt jelenti, hogy és n özött veszi fel
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenSpeciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenXL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12
XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenDiszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása
Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás
Részletesebben