4. Ingamozgás periodikus külső erő hatására

Átírás

1 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására.1. Fékezetlen ingamozgás periodikus külső erő hatására Fékezetlen lineáris matematikai inga Ha az ''+k =0 egenletre valamilen periodikus külső erő hat, akkor mozgását a következő differenciálegenlet írja le: melnek rendszer alakja: ''+k = A cosnt, '= '=-k + A cosnt. (1) ahol A a külső hatás amplitúdója, n a külső hatás körfrekvenciája. Ismert, hog az inhomogén egenlet általános megoldását a homogén általános megoldása és az inhomogén eg partikuláris megoldásaként kapjuk [1]. Tudjuk, hog a homogén egenlet általános megoldása: Clear@kD; eqn = 9'@tD '@td Ha = Simplif@DSolve@eqn, tdd@@1, C@1D Cos@k td + 1 k C@D Sin@k td Az inhomogén egenlet eg partikuláris megoldása H0L=0 és H0L=0 kezdeti értékek esetén, ha k n :

2 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 17 νd; eqn = 9'@tD '@td + A Cos@ν 0=; IHp = Factor@Simplif@DSolve@eqn, tdd, Trig TrueD@@1, A SinB k t t ν F SinB k t + t ν F ì HHk νl Hk + νll Az inhomogén egenlet általános megoldása tehát az előző kettő összege: C@1D Cos@k td + 1 k C@D Sin@k td + A SinB k t t ν F SinB k t + t ν F ì HHk νl Hk + νll Tetszőleges kezdeti értékekből induló megoldások Hk = 1, A = 1, n = L: Az inhomogén egenlet néhán megoldása különböző kezdeti értékek esetén: H0L=0 H0L=3 H0L=0 H0L= t t ábra Ismert, hog létezik n frekvenciájú megoldás. Ez az alábbi alakú:

3 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 18 eqn = 9'@tD '@td + A Cos@ν A ëik ν 0=; IHp = Simplif@Simplif@DSolve@eqn, tdd, Trig TrueD@@1, HA Cos@t νdlëik ν M A Vegük észre, hog ennek a megoldásnak az amplitúdója, ami arános a k -n külső erő amplitúdójával és fordítottan arános Ik -n M-vel. A hintázás szempontjából tekintve, nagobb erő nagobb kilengést jelent, a hinta sajátfrekvenciáját megközelítő külső körfrekvencia is hasonló eredmént ad. Uganakkor ha n º k, a rezgés (lengés) veszélesen naggá válik, a lebegés, illetve a rezonancia jelenségével találkozhatunk. Az inhomogén egenlet partikuláris megoldása mutatja, hog eg gors és eg lassú rezgés összegződése során alakul ki rezonancia, illetve lebegés SimplifA '@td == + A Cos@ν 0=, tee@@1, HA H Cos@k td + Cos@t νdllëik ν M a coshk tl alakú sajátregzés, illetve a coshn tl alakú gerjesztett rezgés lassan kerül azonos fázisból ellenfázisba. A következő néhán ábra a lebegés jelenségét szemlélteti azokban az esetekben, ha a n konstanst változtatjuk k = 1 körül. Az ábra jól mutatja a rezgések összegződését. A felső ábrákon látható rezgések összegeként létrejövő rezgéseket mutatják az alsó ábrák különböző körfrekvenciájú külső erők esetében (k = 1 körüli frekvenciák). Rezgések összegzése különböző körfrekvenciájú külső erők esetében :

4 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására n= t n= t n= t t t t Ha k = n, azaz a gerjesztés körfrekvenciája azonos a rendszer sajátfrekvenciájával, akkor a megoldások nem korlátosak. Ezt a jelenséget nevezzük rezonanciának. Az egensúli helzetből induló megoldás a következő alakú: Clear@A, kd; eqn = 9'@tD '@td + A Cos@k 0=; Simplif@DSolve@eqn, tdd@@1, HA t Sin@k tdlêh kl Ezt mutatja a következő ábra: k=n=1, A= t ábra A rezonancia komol katasztrófát okozhat. A legismertebb szerencsétlenség az Amerikai Egesült Államokban következett be 190. november 7-én. Az újonnan épített Tachoma-híd eg több napig tartó erős szélben leszakadt. A szél által a hídra gakorolt periodikus lökések körfrekvenciája megegezett a híd lengéseinek sajátfrekvenciájával. A kialakult rezonancia miatt a több méter amplitúdójú, és több órán át tartó rezgések a híd leszakadásához vezettek [3]. Interaktív illusztráció

5 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 0 A következő interaktív vizsgálat az inhomogén egenlet tetszőleges partikuláris megoldásának a külső hatás amplitúdójától való függését szemlélteti. á Javasolt beállítások: Ha a kezdeti értékeket 0-ra, a külső erő körfrekvenciáját és a rugalmassági egütthatót 1-re, az amplitúdót tetszőlegesre állítva a kitérés a végtelenbe tart (rezonancia). Ha most a külső erő körfrekvenciáját 1-hez közeli értékre állítjuk, akkor a lebegés jelensége figelhető meg. Ha csupán a külső hatás amplitúdóját változtatjuk interaktívan láthatjuk, hog a megoldások viselkedését nem befolásolja az amplitúdóváltozás. A függvéngrafikonok aránosan nőnek, ahogan az amplitúdó nő t Külső hatás körfrekvenciája 1 Külső hatás amplitúdója 1 Rugalmasságiegüttható Hk L 1 Kezdeti kitérés 0 Kezdeti sebesség 1 Kicsinítés 3.6 Idő 8. Interaktív illusztráció Ha a különböző frekvenciákat az emberi fül által hallható frekvenciatartománból választjuk, akkor az inhomogén egenlet partikuláris megoldása hallhatóvá válik. Az alábbi animáció két rezgés összegeként létrejövő rezgéseket szemlélteti. Minél nagobbra állítjuk a frekvenciaértékeket, annál magasabb hangot hallhatunk.

6 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 1 Figeljük meg a lebegés jelenségét. A hang ereje fokozatosan erősödik illetve elhalkul. Minél közelebbi értékeket választunk, annál jobban megfigelhető a jelenség a kibocsájtott hang segítségével. VIGYÁZAT! Ha a két frekvenciaértéket egformának választjuk, az inhomogén egenlet partikuláris megoldása a végtelenbe tart, melet az illusztráció nem képes megjeleníteni. á Javasolt beállítások: A=1, k = 130, n értékét pedig változtatjuk k körül t t Amplitúdó 1. Természetes körfrekvencia 000 Külső hatás körfrekvenciája 00 Idő 6. Lejátszás

7 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására ã Fékezetlen nemlineáris matematikai inga A nemlineáris matematikai inga esetében az egenlet a következő alakú: '= '=-k sin + A cosnt. () ahol A a külső erő amplitúdója, n a külső erő körfrekvenciája. A Melléklet 6. tétele alapján tudjuk, hog kis kezdő értékek esetén, ha a homogén, lineáris, periodikus ''=-k egenletnek nincs nemtriviális, n körfrekvenciájú periodikus megoldása, akkor az (.)-nek létezik pontosan eg. Ez az origó körnezetében akkor teljesül, ha n k. Mivel a homogén egenlet megoldásainak rezgése amplitúdó növelkedésével lassul, ezért nem túl nag gerjesző amplitúdó (az átfordulást elkerülendő) és adott n > k körfrekvencia mellett létezik n körfrekvenciájú periodikus megoldás. Interaktív illusztráció A következő interaktív vizsgálat az inhomogén egenlet tetszőleges partikuláris megoldásának különböző paraméterektől való függését szemlélteti. á Javasolt beállítások: Érdemes megfigelni azt a speciális esetet, amikor minden értéket 1-nek választunk, és a kezdeti kitérést pedig interaktívan változtatjuk, illetve ha a külső hatás körfrekvenciáját változtatjuk, ahol H0L=0, minden más érték pedig 1. Az első esetben a kezdeti kitérés megváltoztatásával a mozgás jelentős mértékben változik, az utóbbiban pedig megközelítőleg az 1.3-es értékig a kitérés nag, utánna pedig adott korlátok között mozog. Ha a külső hatás amplitúdóját változtatjuk, látható, hog a matematikai ingától eltérően a megoldások viselkedése nag mértékben változik.

8 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására t - - Külső hatás körfrekvenciája 1.33 Külső hatás amplitúdója 1 Rugalmasságiegüttható Hk L 1 Kezdeti kitérés 0 Kezdeti sebesség 1 Kicsinítés 1. Idő 76. A következő ábrán a javasolt beállítások szerint minden értéket 1-nek választunk, és a kezdeti kitérést változtatjuk H0L= t H0L= t. ábra H0L= t Szintén a javasolt beállítások szerint a kezdeti kitérést 0-nak választva, minden más értéket pedig 1-nek, a megoldásoknak a külsö hatás körfrekveniájától való függését a következő ábra mutatja: n= t - -. ábra n= t

9 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására Az inhomogén egenlet megoldásának változása különböző amplitúdójú külső erők esetén: A=3.07 A=3.1 A= t t t.. Fékezett ingamozgás periodikus külső erő hatására Fékezett matematikai inga Ha a csillapítást is hozzávesszük (.1)-hez akkor kapjuk a következő egenletet '= '=-a -k + A cosnt, (3) ahol A a külső erő amplitúdója, n a külső erő körfrekvenciája. Határozzuk meg az inhomogén egenlet általános megoldását! A 3. fejezetből tudjuk, hog a homogén egenlet általános megoldása, ha feltesszük, hog a csillapítás kicsi, és alkalmazva a m = a - k helettesítést: Clear@a, kd; eqn = 9'@tD '@td k 0=; Ha = SimplifADSolve@eqn, td@@1, 1DD ê. 9, Ia k M µ, 1ë, Ia k M µ= ê. u_ CompleEpand@ u a t µ 0 µ CosB t µ F + Ha 0 + 0L SinB t µ F Láthatjuk, hog a megoldások nem periodikusak, ezért a Melléklet 6. tétele szerint inhomogén egenletnek lesz periodikus megoldása periodikus külső hatás esetén. Az inhomogén egenlet eg partikuláris megoldása H0L=0 és H0L=0 kezdeti értékek esetén: eqn = 9'@tD '@td + A Cos@ν 0=;

10 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására IHp = CollectBSimplifACompleEpandA DSolve@eqn, td@@1, 1DD ê. 9, Ia k M µ, 1ë, Ia k M µ=e, Ha RealsL && Hk RealsL && Hµ RealsLE, a t A a t µ k µ CosB t µ F µ ν CosB t µ F + a k SinB t µ F + a ν SinB t µ F ì Ik + a ν k ν + ν M IA µ I k µ Cos@t νd + µ ν Cos@t νd a µ ν Sin@t νdmmë Ik + a ν k ν + ν M Itt a második tag n körfrekvenciájú, míg az első a homogén egenlet eg megoldása. A rezonancia jelensége itt is megfigelhető, ha a gerjesztés körfrekvenciája azonos a rendszer sajátkörfrekvenciájával, azaz mê = n. Az inhomogén egenlet megoldásai adott kezdeti értékekre Hk = 1, A=1, n = L : 3 H0L=0 H0L=3 6 H0L=0 H0L= t t 80, 3< 80, 6< ábra Az inhomogén egenlet általános megoldása itt is a homogén egenlet általános és az inhomogén egenlet eg partikuláris megoldásának összege. Az inhomogén egenlet partikuláris megoldása függ a külső hatás amplitúdójától

11 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 6 a csillapítatlan esethez hasonló módon Ha = 0., k = 1, H0L = H0L = 0L. A= t - - A= t - 8. ábra A= t A hintázással kapcsolatosan megállapíthatjuk hog mivel mindig fennáll csillapítás, bármilen periodikus kis amlitúdójú hintáztatás esetén a hinta periodikusan mozog. Rezonancia lép fel, ha m/ = n, de ez nem veszéles (kis amplitúdó mellett, mivel a lengés korlátos marad), csupán a leghatékonabb hintázást biztosítja. Interaktív illusztráció A következő interaktív vizsgálat az inhomogén egenlet tetszőleges partikuláris megoldásának különböző paraméterektől való függését szemlélteti. á Javasolt beállítások m ê = n rezonancia körül: a = 0.1, n = , k = 1, a többi értéket tetszés szerint változtatjuk.

12 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására t - - Csillapítás 0. Külső hatás körfrekvenciája Külső hatás amplitúdója 3 Rugalmasságiegüttható Hk L 1 Kezdeti kitérés 0 Kezdeti sebesség 1 Kicsinítés. Idő 198.

13 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 8 ã Fékezett nemlineáris matematikai inga A nemlineáris, csillapított nemlineáris matematikai inga egenletét egészítsük ki eg a rendszerre ható, külső periodikus erővel: '= '=-a -k sin + A cosnt. () Kis kezdeti értékek esetén a mozgás a megfelelő matematikai ingáénak a perturbációja és a Melléklet 6. tétele szerint létezik n körfrekvenciájú periodikus mozgás. Ennek következméne a hintázásra hasonló ahhoz, amit a matematikai inga esetén mondtunk. A m/ = n esetben rezonancia, a mê ºn körüli értékek esetén pedig a lebegés figelhető meg. Túl nag kezdeti értékek esetén az inga mozgása kaotikussá válik [11] és [1]. Ezt a jelenséget Hatvani László vizsgálta az alábbi rendszeren: '= '= sinhl+ coshtl. A külső hatás túl nag amplitúdója, szintén ellenőrizhetetlen mozgást (átfordulásokat) eredménezhet. Interaktív illusztráció A lineáris és nemlineáris inga mozgásának összehasonlítása érdekében nézzük a következő animációt, mel mind a csillapított, mind a csillapítatlan esetet szemlélteti. Az animáció segítségével a fenti példát is megvizsgálhatjuk. A kezdeti kitérést zérusnak tekintve, a kezdeti sebességet pedig kis körnezetében változtatva a megoldás aszimpotikusan periodikus p-vel (a külső erő periódusával). A kezdeti értékek változtatásával megszámlálhatatlanul sok megjósolhatatlan viselkedésű, kaotikus megoldás létezik. Az animáció segítségével azt is láthajuk, hog a kitérés nemcsak a kezdeti értékektől, hanem a külső hatás körfrekvenciájától és amplitúdójától is függ. A nemlineáris matematikai inga kaotikus mozgását a barna színű grafikonok szemléltetik megfelelő paraméterek esetén. á Javasolt beállítások: a = 0.1, k = 1, n = Ebben az esetben m/ = n. Figeljük meg mi lesz, ha a n értéket változtatjuk m/ körül! a = 0.1, k = 1, A=1, n = 1, H0L=0, és H0L-ot változtassuk kis körnezetében. Ekkor Hatvani László katotikus ingájának vizualizációját

14 . Ingamozgás periodikus külső erő hatására 9 kapjuk. Lineáris inga Nemlineáris inga t Csillapítás 0.1 Rugalmasságiegüttható Hk L 1 Külső hatás amplitúdója 1 Külső hatás körfrekvenciája 1 Kezdeti kitérés 0 Kezdeti sebesség Kicsinítés 9 Idő 9.