4. A bolygók mozgása 48 A TESTEK MOZGÁSA

Átírás

1

2 48 A TESTEK MOZGÁSA 4. A bolygók mozgáa Már az õi páztornépek i figyelték az égbolt jelenégeit, változáait. Élénk képzelettel megzemélyeítették a cillagképeket, é igyekeztek magyarázatot találni azok elhelyezkedéének megváltozáára. Ezekben ok volt a meezerû elem. A hajózá fejlõdée tájékozódái pontokat igényelt a parttól távoli utak alatt i. A cak fantáziára épülõ elképzeléeket olyan világképek megfogalmazáa követte, amellyel valóágonak gondolt magyarázatokat lehetett adni az égitetek mozgáára. Az elõ, kéõbb az egyház által i elfogadott é okáig védett világkép Klaudioz Ptolemaioz [ptolemájoz] (85? 165?) nevéhez kapcolódik. Az õ alapgondolata az volt, hogy a világmindenég középpontjában a Föld áll, é körülötte kering az öze égitet, amelyeket a különbözõ távolágra levõ kritályzférák hordoznak. Egy máik lényege eleme ennek a világképnek az, hogy a földi életre a keletkezé, változá é az elmúlá, az égi világra vizont a változatlan öröklét a jellemzõ. A Föld központi zerepe miatt ezeket a ptolemaiozi gondolatokat geocentriku világképnek* nevezzük. Ez a leíró jellegû világkép az okokra meg em kíérel magyarázatot adni. Vénuz Hold F Föld Mar Nap A geocentriku elképzelé zerint a Hold é a Nap egyzerû körmozgát végez a Föld körül, a bolygók mozgáa özetettebb Az 1500 évig igaznak hitt geocentriku világképrõl a mérétechnika fejlõdéével kiderült, hogy hibá, mert alapfeltevée téve. A Föld ugyani nem a világ közepe, hanem cak egy bolygó a ok közül Nikolauz Kopernikuz lengyel cillagáz A fejlõdé következõ állomáa a heliocentriku (Nap középpontú) világkép* volt, amelynek megfogalmazáa a lengyel Nikolau Kopernikuz ( ) nevéhez kapcolódik. Kopernikuz elképzelée zerint: A Nap foglalja el a központi helyet a világban, é körülötte körpályán keringenek a bolygók. Az állócillagok mozdulatlanok, napi mozgáuk látzólago, é cak a Föld forgáának következménye. A heliocentriku világképet é annak hirdetõit kemény támadáok érték (pl. Galilei inkvizíció pere). Ennek oka a látzat (felkel a Nap), a megzoká é fõként az volt, hogy ez az elképzelé megzüntette az éle különbéget a földi é az égi jelenégek között. A fejlõdé következõ átmeneti elemét a dán Tycho de Brahe [tüko bráe] ( ) gondolatai adták. Az 157-ben általa ézlelt nóva (mint új állócillag), illetve az 1576-ban megfigyelt ütökö meggyõzték õt arról, hogy nem cak a földi világ változik. Mivel az ütökö pályája kereztezte a bolygók pályáját, rájött arra, hogy nem létezhetnek az égiteteket hordozó kritályzférák.

3 A BOLYGÓK MOZGÁSA 49 Tycho de Brahe igen jó megfigyelõ é pontoan ( zögperc hibával) mérõ cillagáz volt, ezért ézrevette, hogy egyre több adat cáfolja a geocentriku gondolati rendzert é azon belül a ptolemaiozi világképet. Megalkotott egy kompromizumo világképet, amelyben meghagyta a Föld központi helyét. Így ez a rendzer lényegében a ptolemaiozinak egy változata volt. Ezzel elhárította azokat a támadáokat, amelyek a nyugalomban levõnek gondolt Föld tapaztalata é az egyházi tanítáok alapján érhették volna. Méréi eredményei alapján vizont úgy gondolta, az öze bolygó a Nap körül kering, é a Nap ezekkel együtt kering a Föld körül. Giordano Bruno [dzordánó brúnó] ( ) olaz filozófu nem fogadta el a Nap világközpont zerepét. Felimerte, hogy zámtalan, a Naphoz haonló cillag van, amelyek körül bolygók keringhetnek. Nézeteiért az inkvizíció máglyahalálra ítélte, é Rómában megégette. A heliocentriku világkép leíráát Tycho de Brahe méréi eredményeinek felhaználáával Johanne [johannez] Kepler ( ) német cillagáz három törvénybe foglalva fejleztette tovább. Kepler I. törvénye: A bolygók olyan ellipzipályákon keringenek, amelyek egyik gyújtópontja a Nap középpontjában van. Kepler II. törvénye: A bolygók vezérugara (a bolygó é a Nap közötti zakaz) egyenlõ idõk alatt egyenlõ területeket úrol. Ez azt jelenti, hogy a bolygók napközelben gyorabban mozognak, mint a Naptól távolabb. Kepler III. törvénye: A bolygók keringéi idõinek négyzetei úgy aránylanak egymához, mint az ellipzipályáik félnagytengelyének köbei: T 1 : T = a 1 3 : a 3. Kepler azt írta le három törvényével, hogyan mozognak a bolygók. Arra, hogy miért így mozognak, Iaac Newton [ájzek nyúton] ( ) angol fiziku adott magyarázatot. Kijelentette, hogy a bolygók é a Nap között vonzóhatá van, é ennek az erõhatának az iránya mindig a bolygót é a Napot özekötõ egyenebe eik. Kimutatta, hogy az égitetek, pl. a Hold é a Föld közötti vonzá i gravitáció jelenég, úgy mint a Föld é a közelében levõ tetek közötti vonzá Mi fejezi ki ezen a képen a kopernikuzi világképet? Neptunuz Uránuz Szaturnuz Jupiter Föld Vénuz Mar Merkúr 49.. A bolygók mozgáa a Nap körül r 1 1 A 1 r t A Nap v < r = t = A > > v 1 1 r A A bolygók napközelben gyorabban, távolabb laabban mozognak

4 50 A TESTEK MOZGÁSA Föld típuú bolygók Jupiter típuú óriábolygók 1. Merkúr Vénuz Föld Mar Jupiter Szaturnuz Uránuz Neptunuz. 0,39 0,7 1 1,5 5, 9,54 19, 130, ,4 0,6 1 1,88 11,86 9,46 84,01 161,70 1: a bolygó neve; : a bolygó távolága a Naptól, Nap Föld-távolágban; 3: a bolygó keringéi ideje földi évben A bolygók é a Nap méretarányai, valamint a bolygók özehaonlító adatai A MESTERSÉGES ÉGITESTEK Az emberi tudá lehetõvé tette, hogy a 0. zázad ötvene éveiben meterége égiteteket juttaanak a Föld köré, a Nap köré, majd a Naprendzeren kívülre. Az ember eljutott a Holdra i. A meterége égitetek pályája é mozgáa attól függ, hogy milyen magara juttatták fel, é itt milyen irányú é nagyágú ebeéggel indították el az égitet mozgáát. Ezek megválaztáával elérhetõ, hogy a fellõtt ûrhajó: meterége holdként (mûholdként) keringjen a Föld körül, meterége bolygóként a Nap körüli pályán mozogjon, vagy cillagközi zondaként elhagyja Naprendzerünket. Úgy i Föld körüli pályára lehet juttatni a mûholdat, hogy a Földnek mindig egy meghatározott pontja felett legyen, vagyi együtt forogjon a Földdel. Az ilyen mûholdaknak a hírközlében van zerepük, mert a földi tv-, rádió- é telefonadókból érkezõ elektromágnee hullámokat felfogják, felerõítik, majd vizaküldik a Föld általuk látott rézére. Ilyen mûhold pl. az Atra, az Eutelat, a Hot Bird tb ¼ (kör) 1100 ¼ (parabola) ellipzi 50.. A meterége égitet pályája a fellövé magaágától, a pálya menti ebeég nagyágától é irányától függ A Föld körül keringõ Hubble-ûrtelezkóp háttérben a Földdel

5 A BOLYGÓK MOZGÁSA 51 A GPS (helymeghatározó rendzer) mûködééhez i mûholdakra van zükég. Ahhoz, hogy a Földön egy idõben mindenhol leheen alkalmazni a rendzert, 4 30 mûhold kell. Egy tet helyének meghatározáához ugyani legalább 3, de a pontoág növelée érdekében 4 olyan mûholdra van zükég, amelyik egyzerre látja a kereett tetet. MEGJEGYZÉSEK 1. A geo görög eredetû elõtag a Földdel kapcolato fogalmakban. A helio görög eredetû elõtag a Nappal kapcolato fogalmakban. A centrum latin zó, jelentée: közép, középpont. Az inquiitio latin zó, jelentée: kutatá, (bíróági) vizgálat. A középkorban inkvizíciónak a katoliku egyház eretnekeket üldözõ intézményét nevezték. A nóva olyan új cillag, melynek fénye rövid idõ alatt megnõ, majd fényeége cökken.. Az égitetek különféle módon coportoíthatók: Acillag olyan világító, forró gázgömb, amelyet anyagának gravitáció mezõje tart öze. (A köznyelvben ettõl eltérõen minden olyan égitetet a Hold kivételével cillagnak neveznek, ami éjjel világít. A meteorokat i hullócillagnak mondják.) A bolygók azok az önmaguktól nem világító égitetek, amelyek valamelyik cillag körül keringenek, é annak fényét verik viza. Ahold, máként mellékbolygó, olyan égitet amely egy bolygó körül kering, é kíéri azt. A Nap tehát cillag, a Föld egy bolygó, a Hold pedig mellékbolygó, vagyi hold. 3. Kepler III. törvényét különbözõ könyvek eltérõ fogalmazáal írják le. Van, ahol a nagytengelyének köbével, máhol a félnagytengelyének köbével, elõfordul, hogy a Naptól mért középtávolágának köbével olvaható. A különbözõ megfogalmazáok között ninc érdemi eltéré! Johanne Kepler ( ) 4. A meterége é a termézete égitetek mozgáát ugyanazon egyeteme zabályok é törvények határozzák meg. 5. A GPS (Global Poitioning Sytem, Globáli Helymeghatározó Rendzer) lényege a mûholda távolágmeghatározá. Ha imerjük ugyani néhány mûhold helyét, azoktól mért ponto távolágunkat, aját helyünket i megállapíthatjuk. Egy mûholdtól való távolágunk imerete alapján ugyani azt tudjuk, hogy e mûhold körüli milyen ugarú gömbfelzínen vagyunk. Egy máik mûholdtól mért távolágunk imerete megad egy máik gömbfelzínt, amelynek ugyancak valamelyik pontjában vagyunk. E két távolág alapján kizámítható a két mûhold körüli, imert ugarú, gömbfelzínek kör alakú metzévonala, amelynek valamelyik pontjában vagyunk. A harmadik mûholdtól mért távolág imerete egy olyan gömbfelzínt határoz meg, amellyel két pontra zûkíthetjük a lehetége tartózkodái helyünket. Ez a két pont az elõzõ körnek é ennek a gömbfelületnek a két metzépontja.

6 5 A TESTEK MOZGÁSA E két lehetége pont közül a ténylege tartózkodái helyünket többféle módon i ki lehet válaztani. Például: Általában e két pont közül az egyik a földfelzíntõl tartózkodáunk zempontjából legtöbbzör valózerûtlenül távol van. Egy negyedik mûhold tõlünk mért távolágának meghatározáával megimerhetünk egy újabb olyan gömbfelzínt, amelyen mi rajta vagyunk, de az elõzõ két pont közül cak egy, a valódi tartózkodái helyünk van rajta. A távolágok meghatározáát vizavezetik idõmérére ( = v t). Imerve a rádióhullámok nagyon nagy terjedéi ebeégét, belátható, hogy kb. 0, máodperc pontoágú idõmérére van zükég. Ezért a rendzer minden mûholdján atomóra mûködik. (Az atomóra é a méré technikai rézleteit cak a 11. évfolyamon imerhetjük meg.) GONDOLKODTATÓ KÉRDÉSEK 1. A világképek megfogalmazói anélkül, hogy imerték volna a vonatkozái rendzer fogalmát, valamihez vizonyították az égitetek mozgáát. Mi volt a vonatkoztatái rendzere Ptolemaioznak é Kopernikuznak?. Milyen elven mûködik az ûrhajókat pályára juttató rakéta? Miért mûködik a világûrben i, ahol ninc levegõ? Hogyan változtatják meg a rakéta haladái irányát? 3. Miért mozog az ûrállomá azt követõen i, hogy leállították a rakétáit? Miért marad tartóan Föld körüli pályán az ûrállomá? FELADATOK 1. A Föld é a Nap átlago távolága 1, km. A Mar keringéi ideje 1,881 év. Mennyi a Mar átlago távolága a Naptól?. A Merkúr átlago távolága a Naptól 5, km. Mennyi idõ alatt kerüli meg a Merkúr a Napot? 3. Milyen ebeéggel mozog a Föld a Naphoz vizonyítva? Nyomozz a válazok után! 4. Gyûjtön mindenki híreket, imereteket az ûrkutatáról, é egy kielõadá meghallgatáa után egézítük ki azt, alakítuk ki véleményünket a témáról! Mik voltak az ûrkutatá legfontoabb lépcõi? Milyen elméleti é mûzaki fejleztéek alapozták meg az ûrbejutá lehetõégét? Milyen tudományo é gyakorlati eredményeket hozott az ûrkutatá? Milyen emberi é anyagi áldozatokkal járt eddig? Mit lehet magyar eredményként elkönyvelni? Hogyan ítéljük meg az ûrkutatá jövõjét?

7 5. Kidolgozott feladatok KIDOLGOZOTT FELADATOK A.1. ábra trobozkópo felvétele 0,1 idõközönként rögzíti egy nehezékkel vontatott, zázló kikoci helyét. Elemezzük a mozgát, amirõl a felvétel kézült! MEGOLDÁS: A képen egy rögzített méterrúd i látható, melynek hoza itt 53 mm. A valóágo méretek a képen 1000 mm mérhetõkhöz képet n = =18 87-zer leznek tehát nagyobbak. 53 mm, Mérjük meg é foglaljuk táblázatba a koci egymá utáni 0,1 idõközönként megtett útjait! (Legpontoabban a zázlórudakon mérhetünk. A tizedmillimétereket becüljük.) 0,1 idõközök Út a képen (mm) 1, 3,5 6,0 8,3 9,5 9,5 9,5 8,7 Út a valóágban (cm),3 6,6 11,3 15,7 17,9 17,9 17,9 16,4 Látható, hogy az elõ négy idõközben (amíg a kocit húzó nehezék akadályba nem ütközött) gyorult a koci, hizen egyenlõ idõközönként egyre nagyobb utakat tett meg. Ezután három idõközben egyenleteen mozgott, a negyedik végén már valózínûleg akadályba ütközött. Kézítünk táblázatot, majd ábrázoljuk a koci útját az indulától eltelt idõ függvényében a 7. idõköz végéig! t () 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 (cm),3 8,9 0, 35,9 53,8 71,7 89,6 106,0 Az elõ négy idõközben egyenleteen gyoruló mozgát ejtünk. Ellenõrizzük, hogy az út arányo-e az idõ négyzetével! Az hányadook: t,3 cm = 30 cm ; 0,01 8,9 cm = 3 cm ; 0,04 0, cm = 4 cm ; 0,09 35,9 cm = 4 cm. 0,16 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 t () A kezdeti ki távolágokat cak vizonylag nagy hibával tudtuk leolvani, a kéõbbi értékek relatív hibája kiebb. Így a hányadot állandónak tekinthetjük, melynek értéke: t = 4 cm. A mozgá egyenleteen gyoruló, a zámított hányado a négyzete úttörvény zerint megegyezik a gyorulá felével: a = 4 cm cm, amibõl a gyorulá: a = 448. (cm)

8 54 A TESTEK MOZGÁSA A végebeég kétféleképpen i kizámítható. A gyoruló mozgából: v= a t = 448 cm cm 0, 4 = 179. A gyorító hatá megzûnte utáni egyenlete mozgából: D 17, 9 cm cm v = = = 179 Dt 01,. Ábrázoljuk a ebeéget az idõ függvényében a 7. idõköz végéig! v cm ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 t (). Száraz betonúton, jó mûzaki állapotú autóval (jó gumiabroncok) a fékezéi gyorulá elérheti a 8 ½ értéket. Az akadály ézlelée é a celekvé közötti reakcióidõ átlagoan 0,6. Milyen távolágú akadály eetén tudjuk elkerülni az ütközét, ha a) a lakott területeken belül még megengedett 50» ebeéggel haladunk? b) 100» a ebeégünk? MEGOLDÁS: a) t 1 = 0,6 a = 8 ½ v 0 =50» = 13,9 ¼ akadály =? A reakcióidõ alatt a koci még egyenlete mozgáal halad. Ezalatt a megtett út: m 1= v0 t1= 13, 9 0, 6 = 8, 34 m. Mivel a végebeég v = 0, a laítá ideje: m v v0 v 13, 9 0 t = = = = 17,. a a m 8 A fékút: m v v0 v = +, t = t = 1, 7 = 11, 8 m. A kikerülhetõ akadály minimáli távolága: akadály = 1 + = 8,34 m + 11,8 m = 0,16 m» 0 m. Hava, jege úton a cúzámente fékezénél 1 ½ gyoruláal lehet zámolni!

9 KIDOLGOZOTT FELADATOK 55 b) Ugyanúgy zámolhatunk, mint az a) rézben, cak az elõbbinél -zer nagyobb kezdõebeéggel. De a numeriku zámolá helyett mot inkább arányo következtetéel kereük a válazt! 1 = v 0 t 1. A reakcióidõ változatlanága miatt a reakcióidõ közben megtett út egyeneen arányo a kezdõebeéggel. -zer nagyobb kezdõebeégnél -zer lez nagyobb az út i: A fékezé alatt megtett útra: t 1 = 8,34 m = 16,68 m. v0 v0 = é = t. a Az elõt a máodikba helyetteítve: v =. a 0 Ezerint ugyanolyan fékezéi laulánál a fékút a kezdõebeég négyzetével arányo. -zer nagyobb kezdeti ebeégnél tehát 4-zer nagyobb fékutat kapunk: A telje út: = 4 11,8 m = 47,8 m. akadály = 1 + = 16,68 m + 47,8 m = 63,96 m» 64 m. Jegyezzük meg, hogy a ebeég nagyága nagyon befolyáolja a fékutat! 3. Egy autó az útja elõ rézét 40», a máodik rézét 60» ebeéggel tette meg. 50» lez-e az egéz útra vonatkozó átlagebeég, ha az autó mindegyik ebeéggel a) ugyanakkora útzakazon haladt? b) ugyanannyi ideig haladt? MEGOLDÁS: Oldjuk meg a feladatot általánoan! a) Jelöléek: Elõ zakazra Máodik zakazra Egéz útra Út Idõ t 1 t t Sebeég v 1 v v átl. Özefüggéek: t 1 =, t = ; v v v + v t = t1+ t= + = v v v v ( v+ v1) = ; v v 1 v1 v v1 v vátl. = t = = =. ( v+ v1) ( v+ v1) v + v1 v v

10 106 A NEWTONI DINAMIKA ELEMEI: A TÖMEG ÉS AZ ERÕ A nehézégi erõ é a gravitáció erõtörvény A zabadon eõ tet a gravitáció mezõ hatáára gyorul = ma g Az F n nehézégi erõ F g é F cf eredõje Tengerzint feletti magaág 0km 10 km 50 km 100 km R j F n r = mg j m a 1 F = m w r cf m a Fg Magyarorzágon, ha m =1kg 9,810 N 9,779 N 9,655 N 9,500 N A Föld környezetében a tetet érõ nehézégi erõ függ a tetek tengerzint feletti magaágától Az elejtett tetek, a toronyugró, a fáról lehulló alma gyorulva eik a Föld felé. A függõlegeen feldobott kavic ebeége i folyamatoan változik, laulva emelkedik, egy pillanatra megáll, majd növekvõ ebeéggel eik viza a Föld felé. Errõl a gyoruláról eddig azt gondoltuk, hogy cak a gravitáció mezõ hatáára jön létre é a Föld középpontja felé irányul. Ezért gravitáció gyorulának neveztük, é g-vel jelöltük. Megimerve a tehetetlenégi erõket, valamint figyelembe véve a Föld forgáát, pontoítani kell a g-re vonatkozó imereteinket. A gravitáció erõ iránya a Föld középpontja felé mutat. A Föld forgáa miatt a zabadon eõ tetek azonban nem pontoan a Föld közepe felé enek. Eé közben ugyani a Föld kifordul a zabadon eõ tetek alól. Ezt a nyugvónak gondolt Földön úgy zoktuk figyelembe venni, hogy feltételezzük egy olyan erõ létezéét i (F cf centrifugáli erõ), amely a gravitáció erõvel együtt gyorítja a teteket a zabadeé valódi irányában. A gravitáció é a centrifugáli erõ eredõjét nehézégi erõnek nevezzük. Ha a g é az azt okozó erõhatáok ponto fogalmára akarunk utalni, nehézégi gyoruláról* é nehézégi erõrõl* bezélünk. A nehézégi erõ, amelynek F n a jele, a gravitáció mezõ vonzáa é a Föld forgáa miatt jön létre. Az m tömegû tetre ható F n nehézégi erõ a g nehézégi gyorulá felhaználáával kizámítható: F n = m g. Mivel g-vel a zabadon eõ tetek gyoruláát jelöltük, ezt a jelölét a fogalom pontoítáa után i megtartjuk. Ez az özefüggé a nehézégi erõtörvény*. A Föld körüli gravitáció mezõ gyengül, ha távolodunk a Földtõl. Ezt az bizonyítja, hogy ugyanazt a tetet távolabb kiebb gravitáció erõhatá éri, mint a földfelzínen. Az ugyanakkora tömegû tetet érõ nehézégi erõ nagyága má lehet attól függõen i,

11 KÜLÖNFÉLE ERÕHATÁSOK ÉS ERÕTÖRVÉNYEIK 107 Az 1 kg tömegû tetet érô nehézégi erô a tengerzinten Széleégi fok 0º 0º 40º 50º 70º 90º A tetet érõ nehézégi erõ függ a tetek földrajzi helyétõl hogy a Föld felzínének melyik rézén van a tet. Ennek egyik oka az, hogy a Föld lapultága miatt az Ézaki-ark é a Déli-ark közelebb van a Föld középpontjához, mint az Egyenlítõ pontjai. Egy máik ok az, hogy a tetek különbözõ ugarú körpályán foroghatnak a földrajzi helytõl függõen, é így má lehet a centrifugáli erõ. A gravitáció mezõ a tér különbözõ pontjaiban különbözõ erõégû lehet. Ezt egy mennyiéggel, a gravitáció térerõéggel** (E ) zoká jellemezni. A gravitáció térerõég azt mutatja meg, hogy mekkora gravitáció erõhatá éri az 1 kg tömegû (anyagi pontnak tekinthetõ) tetet a tér egy adott pontjában. A gravitáció térerõég a következõ módon zámítható ki: E m g = = = g. m m A gravitáció mezõt jellemzõ E gravitáció térerõég vektormennyiég. A földi nehézégi erõtérben érvénye (a térnek abban a rézében, ahol a nehézégi erõ érvényeül) é a centrifugáli erõt i magába foglaló F = m g erõtörvény alapján belátható, hogy E = g. Az E é a g a gravitáció mezõnek ugyanazt a képeégét jellemzi, cak má megközelítében. A két mennyiég azonoágát mutatja mértékegyégük azonoága i: 9,7805 N 9,7865 N 9,8018 N 9,8108 N 9,861 N 9,83 N A NEWTON-FÉLE GRAVITÁCIÓS ERÕTÖRVÉNY Minden zabadon eõ tet ugyanazon a helyen ugyanakkora g gyoruláal mozog. Ez cak úgy lehet, ha a gravitáció mezõben (ugyanazon a helyen) ahányzor nagyobb az ott levõ tet tömege, annyizor nagyobb a tetet érõ gravitáció erõhatá, vagyi a tömeg egyeneen arányo a gravitáció erõvel: ~ m. Ezért lehet a tet tömegébõl a tetet érõ gravitáció erõ nagyágára é a tet úlyára következtetni, a úlyából pedig a tetet érõ gravitáció erõt é a tet tömegét kizámítani. Érzékeny mûzerrel kimutatható, hogy nemcak a Földnek, hanem minden tetnek van gravitáció mezõje, így bármely két tet között van gravitáció vonzá. A Cavendih-féle torzió (cavarái) ingával nagyon kici erõhatáok i kimutathatók. A torzió inga fõ alkatréze egy rugalma drótzál, amelynek egyik végét felerõítették, a máik végére pedig egy könnyû pálcát kötöttek. A pálca két végén egy-egy golyót úgy helyeztek el, hogy azok egyenúlyban legyenek. N kg = kg m kg = m Cavendih-féle torzió inga

12 108 A NEWTONI DINAMIKA ELEMEI: A TÖMEG ÉS AZ ERÕ Ha a golyók közelében két nagy tömegû tetet helyeznek el zimmetrikuan, akkor a rendzer elfordul a nagy tömegû tetek felé. Kimutatható, hogy ilyen eetben a golyókat a gravitáció erõhatá forgatta el. A Cavendih-féle torzió inga annál jobban elfordul, minél nagyobb az elfordító erõhatá. Változtatva a tetek tömegét é a golyóktól való távolágát, meghatározható, hogy mitõl függ a gravitáció erõ nagyága. A két tet között fellépõ gravitáció erõ nagyága egyeneen arányo a tetek tömegével é fordítottan arányo a közöttük levõ távolág négyzetével: m m Fg = f 1. r A Föld tömege. A gömb alakúnak tekintett, M F tömegû Földön, az Ézaki-arkon (R = 6378 km) ejtünk el egy m tömegû tetet. Itt a gravitáció erõ megegyezik a nehézégi erõvel, így alkalmazhat- Ez az özefüggé az ún. Newton-féle gravitáció erõtörvény*, amelyben az f gravitáció állandó*, az m 1 é m a tetek tömege, r a közöttük levõ távolág. Mivel a gravitáció vonzá bármely két tet között fellép, é a tetek tömegével arányo, ezért ezt a megállapítát zokták általáno tömegvonzái törvénynek* i nevezni. A gravitáció állandó értékét elõzör Henry Cavendih (olvad kevendi, ) angol fiziku mérte meg: N m f = ,. kg A Newton-féle gravitáció erõtörvény é a dinamika alaptörvényének alkalmazáával kizámítható a Föld é a Nap tömege i. juk a Newton-féle gravitáció erõtörvényt, amit özekapcolhatunk Newton II. törvényével: m M m a= m g= f F. R Egyzerûítéel é átrendezéel kifejezhetjük a Föld tömegét: Az imert adatokat behelyetteítve megkapjuk a Föld tömegét, ami kb.: M F kg. A Nap tömege. Tekintük úgy, mintha a Föld egyenlete körmozgát végezne az M N tömegû Nap körül, ami elég jó közelítéel elfogadható egyzerûíté. Cillagázati megfigyeléek é méréek alapján tudjuk, hogy a Föld középtávolága a Naptól kb. r = km, keringéi ideje T = 1 év, ami kb. 31,6 millió máodperc. Írjuk fel Newton II. törvényét é a Newton-féle gravitáció erõtörvényt úgy, hogy a gyorulá mot centripetáli gyorulá: M Egyzerûítve a Föld tömegével, majd a Nap tömegét kifejezve, é behelyetteítve az imert adatokat, azt kapjuk, hogy: M F r 4 p a= r w = T M M MF a= f F r r 4 p T N = M g R F =. f 3 r 4 p f T M M = f F r 10 kg. A Nap tömege tehát a Föld tömegének kb zeree. N, 30, N. OLVASMÁNY Eötvö Loránd ( ) Eötvö Loránd, Eötvö Józef írónak, az 1848-a elõ felelõ magyar kormány vallá- é közoktatáügyi minizterének fia. Egyetemi tanulmányait Heidelbergben folytatta, ahol világhírû tudóok (Bunen, Helmholtz, Kirchhoff) tanítványaként zerzett fizikai doktorátut. Hazatérve az egyetemi laboratóriumban folytatta a már korábban elkezdett kutatáait ban, Jedlik Ányo nyugalomba vonuláa után elvállalta a kíérleti fizika tanzék, majd az özevont Fizikai Intézet vezetéét. Elõ kutatáai a folyadékok kapillári jelenégeire irányultak. Felfedezte a róla elnevezett Eötvö-zabályt, amely a felületi fezültég hõmérékletfüggéére vonatkozik.

13 KÜLÖNFÉLE ERÕHATÁSOK ÉS ERÕTÖRVÉNYEIK 109 Ezután a gravitáció felé fordult az érdeklõdée. A gravitáció mezõ változáának méréére zerkeztett torzió ingája (1891) Eötvöingaként vált világhírûvé. A mûzer elvi lényege a következõ: a környezeti zavaroktól elzigetelten, zárt térben egy vízzinte rúd függ vékony platinazálon. A rúd egyik végére platinaúly van erõítve, a máik végén platinahenger függ fémzálon. Ha a két tetre ható vonzóerõ nagyágban vagy irányban eltér, akkor a rúd elfordul, é a felfüggeztõ platinazál megcavarodik. A mûzerrel a nehézégi gyorulá olyan kimértékû változáai i kimutathatók, amit a földfelzín alatti rétegek ûrûégváltozáa, így például áványi kincek jelenléte okoz. Az ingával több föld alatti áványmezõt i felfedeztek Magyarorzágon. Az Eötvö-inga évtizedekig a nyeranyagkutató geofizika fõ ezköze lett az egéz világon. Például Amerika legnagyobb kõolajforráait i Eötvö-ingával tárták fel. Magyarorzágon 65 Eötvö-ingát gyártottak külföldiek zámára. Mivel Eötvö tudománytizteletbõl nem védette le találmányát, külföldön i ok Eötvö-inga kézült. Eötvö Loránd ( ) A gazdaági haznoítá mellett nagy jelentõégû tudományo vizgálatok i kapcolódnak az ingához. Newton a gravitáció erõtörvényében kimondta, hogy a tetek gravitáció vonzóképeége arányo a tömegükkel (a tehetetlenégük mértékével), é független az anyagi minõégtõl. Ezt röviden a tehetetlen é a úlyo tömeg arányoágaként zokták megfogalmazni. Egyáltalán nem termézete megállapítáról van zó, amit ponto méréek nem támaztottak alá, é amirõl azóta i vitatkoztak a fizikuok ban a Göttingeni Egyetem pályadíjat tûzött ki ennek a kérdének ponto méréekkel való eldöntéére. Eötvö Loránd a torzió inga egyik változatával végezte azokat a méréeit, melyekkel igen nagy pontoággal igazolta, hogy a kétféle tömeg arányo egymáal é független az anyagi minõégtõl. Ezzel elnyerte a kitûzött pályadíjat. Eintein híre általáno relativitáelméletének kimondáakor i hivatkozott Eötvö méréére. Eötvö Lorándnak ezt a méréét a magyar kíérleti fizika mindeddig legnagyobb teljeítményének tekintik. Eötvö méréi pontoágát cak a közelmúltban ikerült túlzárnyalni. Eötvö-effektuként tartják zámon azt a jelenéget, hogy a kelet felé mozgó teteknek cökken, a nyugat felé mozgóknak nõ a úlya. A jelenég azzal magyarázható, hogy a keleti irányú mozgá ebeége hozzáadódik a földfelzín kerületi ebeégéhez, ezáltal nõ a centrifugáli erõ é cökken a nehézégi erõ. A nyugati irányú mozgá éppen fordítva a nehézégi erõ növekedéét eredményezi. Eötvö a magyarázaton túl egy általa zerkeztett mérleggel ki i mutatta ezt a jelenéget. Miközben az egyenleteen forgatható mérleg egyik karján a úly éppen nyugat felé mozgott, a máikon a úly kelet felé haladt. Közben pedig kimutatható volt, hogy megzûnt a mérleg egyenúlya. MEGJEGYZÉSEK 1. A gravitáció erõtörvényben zereplõ g nehézégi gyorulá (ami a gravitáció mezõtõl függõen különbözõ helyeken má é má lehet, pl. a Holdon 1,57 ½ ) megegyezik egy máik mennyiéggel, a térerõéggel: E = Fn. m. A úly (jele G) függ attól, hogy a tet milyen gyoruláal emelkedik (G = m (g + a)) vagy üllyed (G = m (g a)). Az elhajított vagy zabadon eõ tetnek ninc úlya. Az F n = G megállapítá tehát cak az inerciarendzerhez vizonyítva nyugalomban levõ vagy egyene vonalú egyenlete mozgát végzõ teteknél igaz. 3. Elméletileg, valamint ponto zámítáoknál termézeteen fonto a gravitáció é nehézégi erõ, illetve a gravitáció é nehézégi gyorulá megkülönböztetée. Mivel a kétféle mennyiég földi értékének eltérée nagyágra az 1%-ot em éri el, irányban pedig legfeljebb 0,º-ot jelent, mi ezt a különbéget elhanyagolhatjuk. Nagyobb hibát követünk el ugyani, amikor a g-nél a 9,81-et 10-re kerekítjük.

14 110 A NEWTONI DINAMIKA ELEMEI: A TÖMEG ÉS AZ ERÕ 4. A gravitáció állandó zámértékileg egyenlõ azzal az erõvel, amellyel két 1-1 kg tömegû tet 1 m távolágban levõ gravitáció vonzáát jellemezzük. Mint látjuk, ez az érték nagyon kici. Ezért nem ézleljük a környezetünkben levõ tetek gravitáció vonzáát a mindennapi életben. 5. A gravitáció hatá általáno jellege abból i látzik, hogy ez a kölcönhatá az egéz világmindenégben érvényeül. Ez határozza meg a termézete é meterége égitetek mozgáát i. GONDOLKODTATÓ KÉRDÉSEK 1. Változott-e a holdjáró autó tömege é úlya azáltal, hogy felvitték a Holdra?. Lehet-e két egyenlõ tömegû tetnek különbözõ a úlya? Lehet-e két különbözõ úlyú tetnek egyenlõ a tömege? 3. A tömege vagy a úlya alapján érdeme Norvégiában vagy Egyiptomban eladni a Budapeten váárolt aranytömböt? 4. Lehet-e a úlytalanág állapotában tömeget mérni? Ha igen, hogyan? 5. A tömeg vagy a úly jellemzõ igazán a tetre? 6. Hogyan változik a két tet közötti gravitáció vonzá nagyága, ha a) a változatlan távolágú tetek közül az egyiket kétzer akkora tömegûre ceréljük? b) mindkét tetet kétzer akkora tömegûre ceréljük? c) a változatlan tömegû tetek távolágát megduplázzuk? 7. Az aztalra helyezett tetek kölcönöen vonzzák egymát. Miért nem közelednek egymához? 8. A két tégla közé helyezett papírlapot nem lehet kihúzni, mert a papír elzakad. Ha ez a két tégla zabadon eik, könnyû értetlenül kihúzni a két tégla között levõ papírlapot. Miért? 9. A fürdõzobai mérlegen, amikor gyoran leguggolunk, a mérleg keveebbet mutat, mint amikor nyugodtan álltunk rajta. Miért? Mit mutat a mérleg guggolából gyor felegyeneedéünk közben? 10. Megváltozik-e a tet úlya, ha vízzinte irányban gyorulva mozog? Miért? 11. Egyenleteen gyoruló mozgáal enének-e a km magaból elejtett tetek? Függene-e a gyorulá ekkor a tetek tömegétõl? FELADATOK 1. Két ûrállomá tömege tonna. Mekkora gravitáció erõhatáal vonzzák egymát 1 km távolágból? Mekkora gyoruláal indulnának emiatt egymá felé?. Határozzuk meg a Föld é a Hold közötti vonzóerõt, ha a Föld tömege kb kg, a Hold tömege kb kg é a közöttük levõ távolág km! 3. Milyen irányú é milyen nagyágú a Föld körül T = 7,3 nap keringéi idõvel keringõ Hold gyoruláa, ha mozgáát egyenlete körmozgának tekintjük? (A zükége adatok megkerehetõk az eddig tanult rézekben.) 4. Mekkora a Hold miatti erõhatá a Föld felzínén levõ 1 m 3 -nyi 1030 ûrûégû tengervízre? Milyen jelenégben nyilvánul meg ez a hatá? 5. A Hold tömege 81,3-zor kiebb a Föld tömegénél, átmérõje 3,7-zer kiebb a Föld átmérõjénél. a) Hányzor kiebb a holdi zabadeénél a gyorulá a földinél? b) Kereünk az interneten a Holdra történõ lezálláról kézült felvételeket, é figyeljük meg, mi igazolja a kiebb gravitáció vonzát!

15 A FORGÓMOZGÁS DINAMIKAI VIZSGÁLATA A forgómozgá dinamikai vizgálata A tehetetlenégi nyomaték (Kiegézĺtõ anyag) O k F Ha különbözõ tetek forgáállapotát azono feltételek között akarjuk megváltoztatni, akkor tehát mind az erõkarnak, mind az erõ nagyágának egyenlõnek kell lenni. P A FORGÓ TEST TEHETETLENSÉGE Az erõkar a tengelynek az erõ hatávonalától mért távolága Mint elõzõ tanulmányainkból tudjuk, a tetek forgáállapota i cak környezetük hatáára változhat meg. Forgáállapot-változát cak olyan erõhatá hozhat létre, amelynek hatávonala nem megy át a forgátengelyen, é nem i párhuzamo azzal. Az erõhatá tehát a teteknek nemcak a haladó, hanem a forgómozgáát i megváltoztathatja. Egy tetet (pl. egy ajtót) annál kiebb erõvel lehet elfordítani, minél távolabb van az erõ hatávonala a tet forgátengelyétõl. A tetek forgáállapotát megváltoztató hatáoknál ezért nemcak az erõ nagyágát, hanem hatávonalának a tengelytõl mért távolágát, az ún. erõkart* i figyelembe kell venni (jele: k). Azt könnyû belátni, hogy egy adott tet forgáállapot-változáának gyoraága a tetet érõ külõ hatáoktól függ. Azon vizont érdeme elgondolkodni, hogy a tet valamilyen jellemzõje befolyáolja-e aját forgáállapota megváltozáának gyoraágát. A felemelt teherautó kerekét nehezebb megforgatni, mint a zemélyautóét. Az üre játzótéri forgót könnyebb felgyorítani vagy lefékezni, mint amelyen ülnek. Különbözõ teteknél azt tapaztaljuk, hogy az egyiknek könnyebb, a máiknak nehezebb megváltoztatni a zögebeégét. A különbözõ tetek zögebeég-változáal zembeni tehetetlenége különbözõ lehet. A teteknek ezt a tulajdonágát egy mennyiéggel, a tehetetlenégi nyomatékkal** jellemezzük. (A már többzör i alkalmazott gondolatmenetnek megfelelõen alkouk meg ezt a mennyiéget!) A tehetetlenégi nyomaték a tetek zögebeég-változáal zembeni tehetetlenégének mennyiégi jellemzõje. Jele: Q (théta görög betû). Annak a tetnek nagyobb a tehetetlenégi nyomatéka, amelyen ugyanaz a forgató hatá: ugyanakkora idõtartam alatt kiebb zögebeég-változát hoz létre (ha Δt 1 = Δt é Δw 1 < Δw, akkor Q 1 > Q ), vagy ugyanakkora zögebeég-változát hozabb idõtartam alatt hoz létre (ha Δw 1 = Δw é Δt 1 > Δt, akkor Q 1 > Q ) A teherautó kerekét nehéz megforgatni, mert nagy a tehetetlenégi nyomatéka Legegyzerûbben az anyagi pontnak tekinthetõ tetek tehetetlenégi nyomatékát lehet meghatározni.

16 14 FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA 3. Felhajtóerõ. Arkhimédéz törvénye A FELHAJTÓERÕ A ábrán egy rugóra akaztott tet nyugalomban van (a), mert a gravitáció erõhatá é a rugalma erõhatá kiegyenlíti egymát. Ha a rugó erõmérõre akaztott tetet alulról megemeljük (b), akkor a rugó erõmérõ a tet úlyánál kiebb erõt jelez. Ekkor a változatlan nagyágú gravitáció erõt a kiebb rugalma erõ é az izomerõ együtteen egyenlíti ki. Megfigyelhetõ, hogy a rugalma erõ akkor i kiebb lez (c), ha a rugón levõ tetet vízbe üllyeztjük. A kíérletbõl arra következtetünk, hogy: A folyadékban lévõ tetet felfelé irányuló erõhatá éri. Ezt az erõhatát jellemzõ erõt (mivel a folyadék é a tet egymához vizonyítva mozdulatlan, hidroztatikai felhajtóerõnek, vagy egyzerûen felhajtóerõnek nevezzük, é F f -fel jelöljük. A felhajtóerõ létezéét Arkhimédéz (kb. Kr. e. 87 1) görög termézettudó fedezte fel. A felhajtóerõ a hidroztatikai nyomából zármaztatható. AKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE Vizgáljuk meg, hogy mekkora a felhajtóerõ nagyága! A mérét elõegíti egy felakaztható, henger alakú edény é egy ebbe pontoan beleillõ tömör henger, amely az edény aljára akaztható: ez az úgynevezett arkhimédézi hengerpár. Mérjük meg a levegõben levõ hengerpár úlyát (a), ami egyenlõ nagyágú a nehézégi é a tartóerõvel. Ha az aló, tömör hengert fokozatoan vízbe üllyeztjük (b), az erõmérõ egyre kiebb erõt jelez. A tartóerõ ugyani a hengerpárra ható nehézégi erõ é a felhajtóerõ különbége. Amikor az aló henger teljeen vízbe merül é a felõ, üre hengert teletöltjük vízzel (c), az erõmérõ ugyanakkora erõt jelez, mint (a) eetben, amikor mindkét henger a levegõben volt. Ilyenkor a hengerbe öntött vizet érõ gravitáció erõ kiegyenlíti a felhajtóerõt. Tehát a tetet érõ felhajtóerõ egyenlõ nagyágú az üre hengerbe öntött víz úlyával, vagyi a tet által kizorított víz úlyával (de iránya ellentéte azzal). Megállapítható, hogy emelõ hatá nemcak a folyadékokban, hanem a gázba merülõ teteknél i van. Minden folyadékba vagy gázba merülõ tetre felhajtóerõ hat, amely egyenlõ nagyágú a tet által kizorított folyadék vagy gáz úlyával. Ez Arkhimédéz törvénye. a) b) c) a) b) c) F r1 F r F r1 F r F e F r F e F r F f F f F' g Az erõmérõnkön levõ egyenlõ úlyú tetek, az ábrán látható mindhárom eetben, egyenúlyban vannak 14.. A víz által kifejtett felhajtóerõ egyenlõ a hengerbe töltött víz úlyával

17 FELHAJTÓERÕ. ARKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE 143 r 1 h 1 h A F 1 F r A felhajtóerõ nagyága a közeg ûrûégének é a tet térfogatának imeretében kizámítható A felhajtóerõ nagyágát a kizorított folyadék vagy gáz térfogatának é ûrûégének imeretében i kizámíthatjuk. A felhajtóerõ, elõzõ imereteink alapján, mérõkíérlet nélkül i kizámítható. A haáb A területû felõ lapja h 1 vatagágú é r ûrûégû vízréteg alatt van ( ábra), ahol a nyomá: p 1 = r g h 1, a lefelé irányuló nyomóerõ pedig: F 1 = r g h 1 A. Mivel a tet aló lapja h mélyégben van a vízben, ott a nyomá: p = r g h, a felfelé irányuló nyomóerõ pedig: F = r g h A. A haábot érõ F f felhajtóerõ: F f = F F 1 = r g h A r g h 1 A = = r g A (h h 1 ). Mivel az A (h h 1 ) a haáb térfogata, r a víz ûrûége, elméleti úton i eljutottunk Arkhimédéz törvényéhez. Az ókori elbezéléek zerint Szirakuza királya aranyat adott az ötvööknek, hogy kézítenek belõle koronát. Az ötvöök azonban becapták a királyt, az arany egy rézét ezütre cerélték. A király Arkhimédézhez fordult egítégért, hogy a korona érülée nélkül leplezze le a calát. (Érdeme végiggondolni, hogyan oldhatta meg Arkhimédéz a feladatot.) A MOZDULATLAN TESTEK ÚSZÁSA, LEBEGÉS, ELMERÜLÉS A parafa dugó fennmarad a vízen, a rézhenger elüllyed, a gyertya pedig lebeg benne. Azt, hogy egy tet úzik, lebeg vagy elmerül a folyadékban, a tet é a folyadék ûrûégének egymához vizonyított nagyága határozza meg. Egy tet akkor merül el egy folyadékban, ha a tetre ható gravitáció erõ nagyobb, mint a felhajtóerõ. Ez akkor teljeül, ha a tet ûrûége nagyobb, mint a folyadék ûrûége. A vízben feloldott ó mennyiégének változtatáával elérhetõ, hogy a beletett tojá nem emelkedik é nem i üllyed, hanem bárhol nyugalomban marad, lebeg a folyadékban. Ilyenkor a folyadékban teljeen elmerülõ tetre ható gravitáció erõ egyenlõ nagyágú a felhajtóerõvel. Ez akkor teljeül, ha a tet ûrûége egyenlõ a folyadék ûrûégével. F' f F f 3 F f A kiebb ûrûégû fadarab fennmarad, úzik a víz felzínén, a rézhenger elüllyed, a nehezékkel ellátott gyertya pedig lebeg a vízben A tet é a folyadék ûrûégétõl függ, hogy a felhajtóerõ vagy a nehézégi erõ a nagyobb, tehát úzik, lebeg vagy elmerül a tet

18 144 FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA kamra TORPEDO 007 h 1 r 1 r h A búvárhajó átlagûrûége változhat A ûrûégmérõ merülée Ha a víz alá nyomott fadarabot elengedjük, felemelkedik a vízben, mert a felhajtóerõ nagyobb, mint a nehézégi erõ. Az emelkedé addig tart, míg a felhajtóerõ egyenlõ nem lez a nehézégi erõvel. A vízre helyezett fadarab tehát cak rézben merül el, azt mondjuk, úzik. A nyugalomban levõ tömör tet cak akkor úzik egy folyadék felzínén, ha ûrûége kiebb, mint a folyadék ûrûége. Úzákor a tet a térfogatának cak egy rézével merül a folyadékba. A nagyobb ûrûégû folyadékból ugyani a tet térfogatánál kiebb térfogatnyit kell kizorítani ahhoz, hogy a tet egyenúlyban legyen. A vaból kézült hajó azért úzhat a vízen, mert ürege, é így képe annyi vizet kizorítani, amennyinek a úlya é így a felhajtóerõ egyenlõ a hajót érõ nehézégi erõvel. Ilyenkor a hajótet, a rakomány é az üregek átlago ûrûége kiebb, mint a víz ûrûége. A hajó átlago ûrûégét úgy zámíthatjuk ki, hogy a hajó é a rakomány együtte tömegét eloztjuk a hajótet térfogatával. Ha a hajóra terhet raknak, akkor merüléi mélyége nõ. A hajó oldalán a vízvonal jelzi a megengedett legnagyobb merüléi mélyéget. A búvárhajó átlago ûrûége a kamráiban lévõ víz mennyiégével zabályozható. Ily módon a búvárhajó a vízben úzik, leüllyed vagy lebeg. A folyadékok ûrûége úzó ûrûégmérõvel mérhetõ meg. A folyadék ûrûégére a folyadékban úzó ûrûégmérõ merüléi mélyégébõl lehet következtetni. A nagyobb ûrûégû folyadékból pl. kiebb térfogatút kell kizorítani ahhoz, hogy a ûrûégmérõ úzon a folyadékban. A tetekre a levegõben i van felhajtóerõ. Ennek hatáára emelkedik a léggömb vagy a léghajó mindaddig, míg olyan légrétegbe nem jut, amelynek ûrûége megegyezik átlago ûrûégével. Ebben a légrétegben a léggömb vagy a léghajó lebeg. Ezért olyan gázzal töltik meg õket, vagy úgy felmelegítik kupolájukban a levegõt (hõlégballon), hogy az átlagûrûégük kiebb legyen a földközeli levegõ ûrûégénél A hajók átlagûrûége kiebb a víz ûrûégénél. A merüléi mélyéget a vízvonal jelzi a hajó oldalán A hõlégballonokat i a ûrûégkülönbég miatt fellépõ erõhatá emeli fel

19 FELHAJTÓERÕ. ARKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE 145 GONDOLKODTATÓ KÉRDÉSEK 1. Egy tetet ugyanazon folyadékba elõzör félig, majd teljeen belelógatunk. Melyik eetben kell nagyobb erõvel tartani a tetet? Miért? Haonlítuk öze a felhajtóerõket!. Egy tet elõzör olajban, majd vízben merül el teljeen. Melyik folyadékban nagyobb a felhajtóerõ? Miért? Haonlítuk öze a tartóerõket! Mi a különbég magyarázata? 3. Hogyan lehet kézíteni hurkapálcából ûrûégmérõt? 4. Egyenlõ térfogatú tömör va-, illetve alumíniumtet teljeen elmerült a vízben. Haonlítuk öze a felhajtóerõket! Függ-e a felhajtóerõ az egyenlõ térfogatú tet anyagától? 5. Egyenlõ tömegû tömör va- é alumíniumtetet benzinbe merítünk. Mit tudunk a felhajtóerõkrõl? Ha van, mi a különbég oka? 6. A vízen 100 g tömegû fadarab úzik. Mekkora a felhajtóerõ? Változik-e a felhajtóerõ, ha a fadarab a Holt-tenger vizében úzik? Melyik folyadékban nagyobb a fadarab merüléi mélyége? Milyen irányú erõhatáal tudnánk a fadarabot víz alá nyomni? Hogy zámítható ki ennek a nyomóerõnek a nagyága? 7. Egy tengeralattjáró tartályaiból vizet távolítanak el. Változik-e a gravitáció mezõ hatáa a tengeralattjáróra? Mibõl lehet erre következtetni? Változik-e a felhajtóerõ? (Feltételezzük, hogy a tengeralattjáró teljeen a víz alatt van.) 8. A mellékelt ábra Heron zökõkútjának vázlato rajza. Mûködhetett-e ez a berendezé? Ha igen, akkor miért é meddig? I. 9. Hogyan változik az éde vizû folyóról a ó vizû tengerre úzó hajó merülée? 10. Milyen orrendben helyezkedik el egy edényben az egymáal nem keveredõ víz, olaj é higany? 11. Egy fa- é egy vahordó zínültig van töltve vízzel. Elüllyednek-e, ha vízbe helyezzük õket? II. 1. Vizet tartalmazó edénybe egy fadarabot tezünk. Változik-e ekkor az edény alján a nyomá, ha víz nem ömlött ki közben az edénybõl? Mi a magyarázata az állítáunknak? III. 13. Vizet tartalmazó edényben, a víz tetején egy jégdarab úzik, ami laan elolvad. Változik-e közben az edény alján a nyomá? Miért? 14. Mi a felhajtóerõ ellenereje? Hogyan lehetne ezt kíérlettel kimutatni? FELADATOK 1. Egy acélgerenda úlya 0000 N. Vízbe merítve a tartóerõ N. Mekkora a felhajtóerõ?. Mekkora erõvel tarthatunk víz alatt egy 5 dm 3 térfogatú é,5 ûrûégû követ? 3. Egy 0 dm 3 térfogatú alumíniumtet elmerült a vízben. Mennyi az alumínium ûrûége, ha a tartóerõ 340 N? 3 4. A 4 m maga é m átmérõjû henger alakú tartályt rézéig töltöttek meg vízzel. Mekkora 4 az oldalnyomá 1 m-rel az edény alja fölött? Mekkora az oldalnyomá átlaga? 5. Tömör vagy ürege az a rézgolyó, amelynek úlya 1780 N, vízbe üllyeztve pedig 140 N a tartóerõ? A réz ûrûége 8,9 Â.

20 Tartalom A TESTEK MOZGÁSA 1. Emlékeztetõ Egyene vonalú egyenlete mozgá Változó mozgá A változó mozgát végzõ tet ebeége A gyorulá fogalma A zabadon eõ tet mozgáa Az egyenlete körmozgá A körmozgá é forgómozgá zögjellemzõi A változó forgómozgá (Kiegézítõ anyag) A bolygók mozgáa Kidolgozott feladatok Özefoglalá A NEWTONI DINAMIKA ELEMEI: A TÖMEG ÉS AZ ERÕ 1. Emlékeztetõ A tehetetlenég törvénye é az inerciarendzer A tömeg fogalma A ûrûég Lendület, lendületmegmaradá Erõhatá, erõ Az erõ fogalma Erõ-ellenerõ. A mechanikai kölcönhatá Több erõhatá együtte eredménye Különféle mozgáok dinamikai feltétele Kényzererõk é meghatározáuk Tehetetlenégi erõk (Kiegézítõ anyag) Különféle erõhatáok é erõtörvényeik Rugalma erõ. Lineári erõtörvény Súrlódá. Közegellenállá A nehézégi erõ é a gravitáció erõtörvény

21 Tartalom 11. A forgómozgá dinamikai vizgálata A tehetetlenégi nyomaték (Kiegézítõ anyag) A perdület (Kiegézítõ anyag) A forgatónyomaték Merev tetek egyenúlya A párhuzamo hatávonalú erõk eredõje Tömegközéppont é úlypont. Egyenúlyi helyzetek Kidolgozott feladatok Özefoglalá FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA 1. Emlékeztetõ A zilárd tetek, a folyadékok é a gázok nyomáa Felhajtóerõ. Arkhimédéz törvénye Közlekedõedények. Hajzálcövek, molekulári erõk Gázok é folyadékok áramláa Kidolgozott feladatok Özefoglalá F r1 F r F f F r1 F f F' g ENERGIA, MUNKA 1. Emlékeztetõ Energiaváltozá munkavégzé közben A munka kizámítáa A mozgái energia kizámítáa. A munkatétel Fezítéi munka. Rugalma energia Az emeléi munka é a helyzeti (magaági) energia A mechanikai energia fogalma é megmaradái tétele Teljeítmény, hatáfok Kidolgozott feladatok Özefoglalá MEGOLDÁSOK