2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés)

Átírás

1 . gyakorlat. Méréi adatok feldolgozáa méréi eredméy megadáa... Matematikai tatiztikai alapimeretek (kiegézíté) A matematikai tatiztika tárgya az hogy a tapaztalati adatokból következtee a telje okaág vagy elleőrizedő gyártátétel má eetekbe a gyártái (zolgáltatái) folyamat elméleti valózíűégi elozlááak imeretle jellemzőire. Mide méréi eredméy tartalmaz hibát a valódi méretet cak közelítjük becüljük több keveebb hibával. A méréi eredméyt befolyáoló meyiégek lehetek például a mérőezköz hőméréklete (hozméré) a ehézégi gyorulá (egye mérlegekél) frekvecia légyomá portartalom tb. A várható (valódi) érték beclééél a okzor imételt méré célja a véletle hibák cökketée. A méréek többzöri imétléével kapott eredméyeket méréi orozatak evezzük. A méréi orozat elemei elemi eeméyek. A várható (valódi) érték tehát a véletle hibáktól mete eredméy. Vége zámú méréél a valódi méretet potoa em lehet meghatározi de lehetége olya itervallum (tartomáy) megadáa mely tetzőlege valózíűéggel tartalmazza a várható értéket. A változatla körülméyek között mért méréi orozat zámú méréből áll. A mért értékeket jelöljük a következőképpe:. i. Az eredméy a várható érték általuk legvalózíűbbek tartott beclée valamit körülötte egy itervallum mely tetzőlege valózíűéggel tartalmazza a várható értéket. A várható érték legjobb beclée a orozat átlaga vagy egye eetekbe a mediá vagy a móduz. Átlag: = = i i= ahol: - a méréi orozat átlaga - méréek záma - a mért értékek Az átlag körüli zóródát véletle hatáok okozzák redzere é durva hiba em lép fel. Az átlag az a zám amelytől az egye mért értékek külöbégéek özege zéru. Vagyi ha az átlagtól agyobb értékek midegyikéből kivojuk az átlagot é a külöbégeket özeadjuk akkor ez a zám egyelő az átlag é a áláál kiebb értékek külöbégéek özegével. Az átlag az a zám amely biztoítja azt hogy a tőle vett külöbégek égyzetözege miimáli. Emiatt alkalma az átlag a valódi várható érték becléére ezért evezik a legvalózíűbb értékek. Mediá: a orozat középő eleme (vagy páro zámú mért érték eetébe a két középő elem zámtai közepe) jele: Me. A mediá két rézre oztja a mitát az aló réz mediája a 5%-o aló kvartili a felő réz mediája a 75%-o felő kvartili. agyobb meyiégű adat birtokába meghatározhatók a percetiliek (zázalék). A percetili érték egy olya zázaléko érték ami kifejezi hogy a vizgált egyedekek legfeljebb mekkora háyadára jellemzõ az adott érték. Móduz: a legagyobb gyakoriággal (legtöbbzör) előforduló elem jele: Mo. A mért adatok zóródáa. A zóródá legikább jellemezhető a terjedelemmel (jele: R) vagy a becült zóráal (jele: vagy ). Terjedelem: R= ma mi ahol: ma - a legagyobb mért érték mi - a legkiebb mért érték R - a terjedelem. Szórá beclée má éve becült zórá:

2 A zóráégyzet (variacia) beclée: σˆ = = ± i i= ˆσ = = i i= ahol: vagy σˆ - a becült zórá (tadard eltéré) Az téyező evezője a orozat zabadágfoka. A zabadágfokot úgy kapjuk meg hogy a orozat tagzámából levojuk azokat a orozat elemeiből zármaztatott tagokat amelyeket felhazáltuk. A zórá zámítááál elemű mitáál - az oztó mivel a zámítá orá az átlagot felhazáltuk. Az átlag zóráa A külöböző időpotokba vagy má zemélyek illetve körülméyek között azoo daraboko végzett méréek átlagértékei általába em azooak. Ezért célzerű megadi olya véletle helyzetű itervallumot amely agy valózíűéggel tartalmazza a becüli kívát paramétert pl. ormáli elozlá eetébe a μ várható értéket. Eek határai az ú. kofidecia határok. Ezeket azokból az adatokból kell meghatározi amelyből az átlagot becülték. Az zámú méréi eredméy középértékéek (átlagáak) zóráa egyelő az egye értékek zórááak i -ed rézével azaz = ahol: - az átlagérték zóráa i - az egye értékek zóráa - a méréek záma Aak valózíűége hogy egy változóak az átlagtól való eltérée a zórá -zoroáál agyobb legye kiebb mit λ azaz P( λ ) λ Máképpe fogalmazva: az ± λ tartomáyo belül megtalálható az öze eeméy - λ zeree. Tetzőlege elozlá eeté például az ± 3 itervallumba megtalálható legalább az öze méré 8/9-ed réze 889 %-a. ormáli elozláál ez a biztoág agyobb (9973%). A ormáli elozlát két paraméter határozza meg: a μ várható érték é a σ zórá. ormáli vagy má éve Gau-elozláak evezük mide olya elozlát amelyek űrűégfüggvéye μ f() = e σ σ π ahol μ - az a várható érték amely felé az értékek átlaga ( ) közelít ha a méréek záma a végtelehez tart ( ) é σ - zórá amely felé a ˆ becült tapaztalati zórá közelít ha a méréek záma a végtelehez tart ( ). A ormáli elozlá űrűégfüggvéye - -től tart + -ig maimuma a μ várható értékél va zimmetriku az ifleió potok távolága a μ várható értéktől (a függőlege tegelytől) - σ é + σ. A zórá a várható érték é az elozlá ifleió potja közötti távolággal egyelő. Ha a görbe alatti

3 területet özegezzük é ezt ábrázoljuk a koordiátaredzerbe a - -től idulva kapjuk a függvéy F() elozlágörbéjét. Az f () űrűégfüggvéy alatti terület a (- + ) itervallumba -gyel egyelő. Ez azt jeleti hogy F( )=. A ormáli elozlá űrűégfüggvéye A ormáli elozlá elozlágörbéje A μ várható értékű é σ zóráú elozlát ( μ σ) jelöli a zakirodalomba. Az ehhez tartozó F() elozláfüggvéy értékeit táblázatból kell meghatározi. A táblázatot a zakköyvek tartalmazzák. A táblázatot az u. tadardizált ormáli elozlára adják meg amelyek várható értéke μ = 0 zóráa pedig = jelölée (0) elozláfüggvéyét pedig Φ() jelöli. Az (mσ) elozlát úgy vezetjük viza a tadardizált elozlára hogy bevezetjük az m u = σ helyetteítét é ekkor F () = Φ m ez lez a tadardizált ormáli elozlá elozláfüggvéye. Bármely ormáli elozlá eetébe eek táblázatából az elozláfüggvéy értéke meghatározható. Ebből a táblázatból az i meghatározható hogy milye valózíűéggel eik a megfigyelé (méré) eredméye az (m - k.σ; m + k.σ) zakazba (k zorzó téyező). Az tegely értékeiek függvéyébe a területeket táblázat tartalmazza épp úgy mit a ormáli elozlá értékeit. A következő ábra zemlélteti ezeket a valózíűégeket; az értékek: k=-re 0686 (686%) k=-re (9544%) k=3-ra (9973%).

4 .. Méréi adatok feldolgozáa feladat A feladat célja: A méréi adatok feldolgozááak gyakorláa. Elméleti imeretek A méretet megbízhatóa megbecüli cak több méré eredméyéből lehet. A kíérletorozat vagy gyártá eredméyéek meghatározáa kiértékeléi feladat mely matematikai tatiztikai feldolgozára ad lehetőéget. Két módzert hazálak: a kimiták módzerét melyek legagyobb mitaagyága 0 db a agymiták módzerét melyek legkiebb mitaagyága 40 db. A kimita módzer zerit meghatározzuk a méréi eredméyek tatiztikai jellemzőit: A mita átlaga = i i= ahol: - átlag é a mita elemeiek agyága A mita zóráégyzete: = i ebből a zórá: = i= A megbízhatóági határokat a következőképpe határozzuk meg. A kofidecia-itervallum (megbízhatóági tartomáy) a ormáli elozláú változó várható értéke körüli tartomáyt ad meg meghatározott valózíűéggel. Ez azt jeleti hogy a mért érték megbízhatóági határai mekkorák az előírt megbízhatóági zit eeté. Ha a megbízhatóági korlátokat é vel jelöljük é az -p jelölét megbízhatóági zitek (valózíűégek) evezzük akkor Imert zórá eeté a korlátok: σ az aló határ α = u p σ a felő határ α = +u p ahol: az imert zórá értéke é az u p téyező értékeit a táblázat tartalmazza: Valózíűégi zit Hibaaráy Az u p téyező értéke 90 % % % % 0 39 Imeretle zórá eeté két módo határozhatjuk meg a korlátokat.. Imerjük a tapaztalati zórá () értékét ekkor az a imeretle várható értékéek megfelelő kofidecia itervallum t a + az aló határ α = t a felő határ α = + t ahol t a Studet-faktor agyága a táblázatba található: t

5 A ormáli elozlá várható értékéek itervallumát az (-p) megbízhatóági zit é f = - érték függvéyébe meghatározó Studet-faktor f = p f = -p A mitaterjedelem alapjá i meghatározható az -p megbízhatóági zithez az a várható érték kofidecia-itervalluma ha q R a +q R az aló határ: a felő határ: α = q R α ; = +q R A q téyező értékeit az átlag kofidecia-itervallumáak zámítáához a táblázat tartalmazza. a mitaagyág q téyező ha a megbízhatóági zit a mitaagyág q téyező ha a megbízhatóági zit Kofidecia itervallum a ormáli elozláú változó zóráára a tapaztalati zórá alapjá. Megadjuk az -p megbízhatóági zitet majd az tapaztalati zórá értékét a mitából kizámítjuk. Az 4.7 táblázat a téyezőket adja meg a ormáli elozláú változó zórááak aló é felő kofidecia határához az - p megbízhatóági zit é az f = függvéyébe. Az - p é az f = értékekhez (zabadágfok) a táblázatból a é téyezőket kikereük. A téyezők egítégével tudjuk a kofidecia itervallum A aló é F felő határait a következő képlettel meghatározi: σ A = Ψ é σ F = Ψ A zóráégyzetekre érvéye kofidecia-itervallumot ezek égyzetre emeléével kapjuk: σ A σ σ F

6 -p f

7 ÓE BGK AGI Hozmérétechika abor. gyakorlati feladatlap A gyakorlat tárgya: Méréi eredméy megadáa hibaterjedé zámítá feladat A gyakorlat időpotja:.feladat A feladat célja: A méréi eredméy megadá gyakorláa A feladat leíráa: év évf.:... Állítuk öze mérőhaábból a.méretet a legkeveebb elem felhazáláával a táblázat adataiak felhazáláával! Írjuk be a táblázatba a méret özeállítáához felhazált mérőhaábok évlege méreteit () ha imerjük a redzere hibákat (H) é a mérőhaábok megegedett eltéréeit a táblázat felhazáláával ( a valódi hoz bizoytalaága a helye érték bizoytalaága)! i [mm] = = 3 = 4 = 5 = H i i Számítuk ki a mérőhaáb-kombiáció redzere hibáját a hozát é a hoz bizoytalaágát! A mérőhaáb-kombiáció redzere hibája: H = H + H + H 3 + H 4 + H 5 = A valódi hozt helyetteítő helye érték vagy a korrigált érték: = ( ) + H =.. A korrigált érték bizoytalaága a hibaterjedéi törvéy zerit zámítva: = ± = A mérőhaábok megegedett eltéréei a középmérettől é a párhuzamoágtól évlege méret [mm] potoági oztályú mérőhaáb megegedett eltérée [m] felett -ig Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól Középmérettől Párhuzamoágtól Adjuk meg a mérőhaáb-kombiáció özeállítááak eredméyét a mértékegyég feltütetéével! X = =

8 . feladat Módzer: külöbég méré Elv: optomechaiku Méré módja: éritkezée Mérőezköz: optiméter ( m) A méréi folyamat leíráa A mukadarab méretéek megállapítáa közelítő méréel kegyele mikrométerrel. A közelítő méret imeretébe mérőhaáb-kombiáció özeállítáa. A mérőezköz ullára állítáa a mérőhaáb-kombiáció egítégével. Az özeállított mérőhaáb-kombiáció mérée 0-zer. A mért értékek a következők: 0; ; 0; -; ; ; ; 0; -; 0 m. A mukadarab méretéek mérée 0-zer. A mért értékek a következők: ; 3; -; ; -3; 0; ; 3; ; 3 m. A méréi eredméy megadáa. A mukadarab közelítő mérete kegyele mikrométerrel mérve: =.. mm. A zükége mérőhaáb-kombiáció mérete: =.mm. A mérőhaáb-kombiáció tagjai: =..mm =..mm 3 =..mm 4 =..mm 5 =..mm. Írja be az alábbi táblázatba a mért értékeket eltéréeket a beállított 0-tól m Méréek záma (k) Átlag Mérőhaáb eltéré a 0 helyzettől Mukadarab eltéré a 0 helyzettől A mért értékek tatiztikai feldolgozáa A mérőhaáb-kombiáció mért értékeiek zóráégyzete k 0 i i A mukadarab mért értékeiek tapaztalati zóráégyzete k 0 i i Az egye bizoytalaágok jellegük zerit redzere é véletle hibák melyek rézbizoytalaágokat tartalmazak. ahol mh a mukadarab mérééek bizoytalaága a mérőhaáb-kombiáció mérééek bizoytalaága mh a mérőhaáb-kombiáció méretéek bizoytalaága.

9 ahol valamit K é K - a mérőműzer (optiméter) legagyobb bizoytalaága a műzerhez tartozó hazálati leírá alapjá a telje méréi tartomáyba = 0 m; K é K a mukadarab illetve a mérőhaáb méré megbízhatóági (kofidecia) itervalluma: K t k ahol t a Studet elozlá paramétere (k-) = 9 zabadági fokzám eeté értéke 6; 95%-o valózíűégi zite. K t k Tehát mh H T ahol H = H + H + H 3 + H 4 + H 5 Jelöléek: Tehát valamit ahol: H = E + F =.. H = E + F =.. H 3 = E 3 + F 3 =.. H 4 = E 4 + F 4 =.. H 5 = E 5 + F 5 =.. H a mérőhaáb-kombiáció bizoytalaága (hibakorlátja) melyet a gyárilag megadott két bizoytalaág (E é F ) alapjá zámítuk E a mérőhaáb megegedett eltérée a középmérettől (ld.. oldal) F a mérőhaáb megegedett eltérée a párhuzamoágtól (ld.. oldal) H T a hőméréklet eltéréből adódó hiba ha a mukadarab é a mérőhaáb hőtágulái együtthatói ill. hőmérékletei em azooak. Számítáa: ahol Tehát T =. T. T a 0 o C-tól mért külöbég külöbég a hőtágulái együtthatók között. Példákba T elhayagolható mértékű. mh mh A méréi eredméy: X = + = hallgató aláíráa gyakorlatvezető aláíráa

10 Özefoglaló kérdéek. Mi a okzor imételt méré célja?. Mi a méréi orozat? 3. Tartalmaz-e véletle hibát a valódi érték? 4. Vége zámú méréél mi tartalmazza a várható értéket? 5. A várható érték beclééek módzerei. 6. Mit jelet: kvartili? 7. Mit jelet percetili? 8. Mivel jellemezhető a zórá? 9. Hogya becüljük a variaciát? 0. Hogya özegezzük a redzere hibákat ha imerjük agyágukat é előjelüket?