Mottó: "Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!." (angol közmondás) Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú. (spekuláns tapasztalat)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mottó: "Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!." (angol közmondás) Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú. (spekuláns tapasztalat)"

Átírás

1 Mottó: "Ne akj de toját ugyaabba a koába!." (agol közodá) M a hozú távú befekteté? z elotott övd távú. (ekulá taaztalat) 4. Fejezet otfóló-elélet fejezet célja, beutat:. eutat a hozazáítá fajtát. Ietet a otfólókalakítá éháy azív ódzeét 3. éldá keeztül beutat, hogya lehet a otfólóelélet taulágat a vállalat tőkeköltégveté dötéekbe alkalaz. z előző fejezetekbe e foglalkoztuk a kockázattal, feltételeztük, hogy az általuk becült ézáaokak c alteatívája. gazdaág változók azoba a jövőbe ecak egy étéket vehetek fel, hae általuk előe e látható ódo változhatak, ódoulhatak. Következékée a beuházáuk NV-je e egyetle étéket vehet fel, hae külöböző eeéyek függvéyébe zéleebb, kekeyebb ávba ozoghat. Gazdaág dötéek zeotjából az a téy, hogy az NV az általuk legjobb becléhez kéet lye étékbe téhet el, egyáltalá e közöbö. Majd kéőbb lát fogjuk, a váható étéktől való eltéé lez a befekteté kockázatáak éőzáa. Melőtt azoba egézék azt, hogya lehet kezel a tőkeköltégveté dötéekbe a kockázatot, eg kell ekedük a kockázatkezelé alaódzeevel, at ézügy befektetéek eetébe fejleztettek k eek eve a otfólóelélet -, é a fazíozá dötéek ódzeevel, at a következő fejezetbe tágyaluk. Előzö eg kell hatáozuk, hogy t étük otfóló alatt, vel az utóbb dőbe több ecak ézügy ételebe hazálják ezt a fogalat. Mde eetbe külöböző dolgok özeégét étk alatta. ézügy ételebe otfóló külöböző vagyotágyak özeége. Ebbe a fejezetbe külöböző, tőzdé jegyzett étékaíok özeégét étjük alatta. otfólóelélet aa kee a válazt, hogy lye ódo kobáljuk ezeket az étékaíokat, hogy az egye befektető zeotjából az otál otfólót kajuk. Mt kell otalzál? befektető háo jellevoá alajá alkot ítéletet egy befektetéől. Ezek a következők:. Hoza befekteté ekkoa többletézáaot eedéyez a befektetett özege felül. befekteté fajlago hozaát úgy záoljuk k, hogy a hozaot a befektetett tőke zázalékába fejezzük k. Ezt hozaátáak evezzük. Nagyo gyaka a hozaáta helyett hozaot oduk, é cak a zövegköyezetből deül k, hogy abzolút özegől, vagy zázalékól va-e zó. Mvel a ézügy befektetéeket a hozaáta alajá haolítják előoba öze, a köyvbe gyaka fogjuk a hozaot a hozaáta ételébe hazál.. Lkvdtá befektetét lye gyoa é ekkoa költéggel lehet kézéze válta. Mél gyoabba é él keveebb költéggel já ez az átváltá, aál lkvdebb a befekteté. leglkvdebb befekteté ezét a kézéz. 3. Kockázat - befekteté hozaa bzoytala lehet. hoza az előzete elvááakhoz kéet keveebb é több lehet. ézügy befektetéek vlágába akko bezélük kockázato befektetéől, hogyha a befekteté jövőbe váható hozaa egy eghatáozott elozlá zet zóódak, vagy á zóval a befektetéek a jövőbe több keete lehetége. Mél agyobb ávba zóódhatak a jövőbe váható hozaok, aál agyobb a kockázat. acoál befektető eze háo zeot zet zeeté otalzál a otfólóját. Mél agyobb a kockázat é él kebb a befekteté lkvdtáa, a befektető aál agyobb hozaot vá el. Mvel a továbbakba olya befektetéekől lez zó, elyeket a tőzdé fogalazak, így a lkvdtáal, t zeottal e foguk foglalkoz. Feltételezzük, hogy de étékaí agyo lkvd befekteté, azaz a ac áá azoal é költégetee tuduk étékeíte. Ha a lkvdtá, t befekteté zeot kek, cak a kockázat é a hoza vzoyával kell foglalkozuk. hhoz azoba, hogy e két zeot zet otalzál tudjuk a otfólókat, tuduk kell, hogy hogya zázeűítük a hozaot é a kockázatot. 4.. Hoza(áta)záítá z étékaí-ateatkával foglalkozó ézbe (. fejezet) á foglalkoztuk az áfolyazáítáal. kko adott elvát hoza ellett keetük azt a axála elfogadható áat, aeyt hajladóak vagyuk egad az adott aíét. Ebbe a fejezetbe a keeedő aaéte a hoza lez. Hozazáítá eetébe keeük azt a kaatlábat, avel ha befektetjük az étékaí ac áát, az étékaí váható hozaat kajuk eedéyül a hozaok eedékeégéek dőotjába. Mateatkalag kfejezve a fet defícót: (4.) : E( CF ) ( + ) hol, az étékaí ac áa E(CF ) az étékaí -dk dőotba váható ézáaa - éve hozaáta az étékaí jövőbe váható ézáaaak daabzáa fet kélet eetébe a hozaáta jeletéét á ódo egfogalazhatjuk. hozaáta az a kaatláb, aellyel dzkotálva az étékaí jövőbel ézáaat, a ézáaok jeleétéközege az étékaí áfolyaával lez egyelő. 4. Fejezet otóló elélet

2 fet kélet a hozazáítá általáo kélete. Ha a -t átvzük a ák oldala é alkalazzuk a áodk fejezetbe található jelölét, azaz a helyébe -t íuk, a belő egtéülé áta kéletét kajuk. belő egtéülé átáól egelítettük, hogy va égy vezélye tulajdoága, ako félevezető dötéhez vezethet.. Szabálytala ézáaok eetébe e gaz az elfogadá/elutaítá zabálya. Ez e obléa ézügy befektetéek eeté, vel a ézügy befektetéek étékaí váálá, betételhelyezé dg zabályo ézáaúak.. bba az eetbe, ako kölcööe kzáó beuházáokól va zó, helytele lehet az IRR zet agool. Ez e god, vel a ézügy befektetéek e egyát kölcööe kzáó beuházáok. Egyzee vehetek OT é MTÁV ézvéyt, é helyezhetek el euó betétet. 3. fazíozá dötéekél egfodul az elfogadá/elutaítá eeté az előjel. otfólódötéekél dg befektetéekől dötük. 4. záítáál feltételezzük, hogy a befekteté eódu alatt hozaokat ugyaolya hozaal tudjuk úja befektet, t a belő egtéülé áta. külöböző újabefekteté áták obléájával a 4... éz foglalkozk. z elő háo ok att a ézügy befektetéekél az NV é az IRR kozzte eedéye vezet. Mvel a ézügy befektetéek eetébe gyakolat, hogy a hozaátát adják eg godoljuk cak a bakbetétek kaatlábaa ezét az özehaolítá kedvéét a hozaátát, é e az NV-t zokták alkalaz Tőzdé fogó étékaíok hoza(áta)záítáa Tételezzük fel, hogy övd lejáata ( éve belül) fektetjük be ézüket ézvéybe. befekteté dőzak alatt hozauk két ézből áll, az étékaí áfolyayeeégéből (vagy vezteégéből), é az oztalékhozaból. befekteté dőzak alatt elét hoza é a befektetett ézözeg háyadoát dőzak hoza(átá)ak evezzük. Mateatka jelöléekkel kfejezve: + Dv Dv (4.) + hol, a ézvéy eladá áa, a ézvéy vétel áa, Dv egy ézvéye fzetett oztalék agyága, - éve hozaáta, Eze egyzeű kélet cak akko helye, ha az étékaít közvetleül az oztalékfzeté utá adjuk el. Egyéb eetbe az általáo hozazáítá kéletét (4.) kell alkalaz a oto hoza eghatáozáához. d. ozk Sádo: ézügy záítáok 3 4 az étékaí jövőbe váható ézáaaak daabzáa. kélet elő tagja az áfolyayeeég étékét, íg a áodk az oztalékhozaot utatja. tőzdé fogó ézvéyek egyk cootoítá zeotja, hogy jellezőe aga oztalékhozaot, vagy kább váhatóa aga áfolyayeeéget kíálak-e. 4. élda Matáv ézvéyt vette jauá -á 85 Ft-ét. ézvéyt júu -é adta el 9 Ft-ét. Ekko kata eg a ézvéye fzetett Ft oztalékot. Mekkoa volt a befektetée elét dőzak hoza? Helyetteítük be a 4.-e kéletbe. Dv 9 (4.3) + + 7,6% +,8% 8,4% Fejezet otóló elélet befekteté hozaa 8,4% volt, aből 7,6% az áfolyayeeégek,,8% az oztalékhozaak közöhető. Mot tételezzük fel, hogy c oztalékfzeté. Ekko az dőzak hoza kélete a következő kfejezée egyzeűödk. (4.4) 4. élda Rchte ézvéyt vette 5. Ft-ét, eladta 3. Ft-ét. Mekkoa a befekteté dőzaka alatt elét hoza? 3 (4.5) 8% 5 befekteté dőtataa alatt a befektetett özeg 8%-át veztette el. z dőzak hozaak va egy agy háyoága. Nevezetee, hogy e vez fgyelebe azt, hogy lye hozú volt a befekteté eódu. Ne degy, hogy éldául 5% hozaot egy év, vagy egy a alatt ealzálta. külöböző befektetéek hozaaak özehaolítáához a hozaot éve zte zokták egad. (Haolóa a bakok által követett gyakolathoz, ahol, ha azt olvauk, hogy a háo hóao betét kaatlába 7,5%, ez azt jelet, hogy az év 7,5% egyedézét fogják a háo hóa utá a betéte kfzet.) 4... z dőzak hozaáta éveítée z dőzak hozaok éveítéée háo ódze kíálkozk. Mdegyk ögött á feltételezéek állak é eltéő ateatka tulajdoágokkal edelkezek. z egye ódzeek evét, kéletét, alkalazáuk közgazdaág feltételezéet é alkalazáuk köét a 4.-e táblázat tatalazza.

3 4.. Táblázat Megevezé Kélete Feltételezé lkalazá köe Noál vagy leá hoza Effektív vagy exoecál hoza Kaatteztá t t e l t z eedet özeget ( ) fektetjük be úja. Olya bakbetét, elyek kaata a folyózáláa keül. befekteté végé aadt özeget ( ) fektetjük be úja. Mde olya befekteté, elyek hozaa eghatáozott dőzakokét tőkéedk. hoza dőaáyo ézét folyaatoa ealzáljuk. Olya lkvd befektetéekél, ahol a hozaot báko ealzál lehet. hol, a ézvéy eladá áa, a ézvéy vétel áa, - éve hozaáta, t a befekteté eódu évekbe. oál hozazáítá gyakolatlag egy egyee aáyoág. Ha t dőzak alatt a hoza, akko egy év alatt ekkoa lee a hoza. Kélettel kfejezve: (4.6) t t t oál hozazáítá eetébe feltételezzük, hogy dg a kezdet tőkeözeget fektetk be úja, é dg az dőzak hozaot ealzálják. Ha a hozaáta oztív, a hozaot elfogyaztják, ha a hozaáta egatív, a befektetedő tőkét úja feltöltk az eedet özege. Ez a feltételezé általába az olya bakbetéteke jellező, ahol a kaat autoatkua a folyózáláa keül, vagy a befektető zádéka az, hogy a befekteté hozaát felélje. Ha az dőzak hoza tőkéedk, akko alkalazzuk a áodk kéletet. z effektív hozaátát a kaato kaatzáítá kéletéből kajuk. t t (4.7) ( + ) ( + ) 4.7 kélet e á, t a jövőéték-záítá kélete. Khazálva azt, hogy / háyado dg oztív, a következőket íhatjuk: 5 6 t (4.8) + t fet hozazáítát de eetbe alkalazhatjuk, ha feltételezzük, hogy a befektető a befekteté hozaát úja be zádékozk fektet, é egy év alatt dőzakokét ugyaazt az dőzak hozaot ealzálja a befektető. kaatteztá eetébe feltételezzük, hogy a hoza dőaáyo ézét végtele gyakoággal ealzálja a befektető, é fektet be úja. kélet az effektív kaatzáítá kéletéből lehet levezet. Tételezzük fel, hogy egy befektetőek fotja va, é több bak ajálata közül kell válaztaa. bakbetét kaata dehol %, de az bakál évete egyze, bakál félévete, C bakál egyedévete, D bakál havota íják jóvá a betétzálájá a kaat dőaáyo ézét. Ha feltételezzük, hogy a befektető éve hagyja a bakba a ézét é a kaatláb az év folyaá e változk. záítát a 4. Táblázat tatalazza. 4. Táblázat Gyakoág Szá ak Kélet Helyetteíté Eedéy Hoza Évete bak,,,% + + Félévete bak,,5,5% Negyedévet 4 C bak,,38,38% e Havota D bak,,47,47% + + Végtele???? 4. Táblázatból látható, hogy a gyakoág övekedéével ő a hoza. zoba az látzk, hogy a hozaövekedé e leá, hae eőe degezív. Ha évől féléve változk a gyakoág, a hoza övekedée 5 bázot. következő dulázódáál (- ól 4-e) a övekedé á cak 3 bázot (,5%-ól,38%-a). hav gyakoág háozooa a egyedévek, ég a hoza övekedée cak 9 bázot. Va-e a gyakoág övekedéével a hozaak hatáétéke. fet táblázatból á ejthető a válaz, hogy va. (4.9) l + e z e a teézete zá. Közelítő étéke:,7. bázot zázad zázalék. d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

4 z e -t kaateőek evezzük. kaateő egutatja, hogy háyzooáa övekzk a befektetett tőkék, hogyha az éve hoza dőaáyo éze végtele gyakoággal tőkéedk. végtele gyakoágú kaatzáítát folytoo kaatzáítáak evezzük. ehelyetteítve a 4.9-e kéletbe egkajuk a befektető hozaáak hatáétékét., (4.) e, 5 Ha végtele gyakoággal záolák el a %-o éve kaat dőaáyo ézét, akko az év végé,5 Ft-uk lee, a hozauk edg,5%. (,5/-) Látható, hogy ez a hav kaatelzáolához kéet á cak 5 bázoto eelkedét jeletee. 4.3 élda Egy tőzde befektető háo befektetééek az adatat utatja az alább táblázat. vétel é az eladá áfolyaok á tatalazzák a bókecég által levot tazakcó költégeket. Tételezzük fel, hogy a voatkozó dőzakba oztalékfzeté e volt. Mekkoa az dőzak hoza é háy év volt az egye befektetéek dőtataa? Éveíte az dőzak hozaot a háo ódze zet! Megevezé Matáv OT Rchte Vétel Eladá Előzö záoljuk k az dőzak hozaokat! Matáv 84 6,5% 878 (4.) OT Rchte,4% ,3% 6945 Látható, hogy a befekteté eódu alatt a Matáv-o befekteté eedet tőkéje 6,5%-t elveztette, az OT é a Rchte,4%-o, lletve 8,3%-o hozaot ealzált. z e kédé, hogy a voatkozó dőzak alatt a Matáv vezteéget hozott, de vajo elyk volt jobb befekteté, a Rchte vagy az OT? z OT-ek agyobb az dőzak hozaa, t a Rchte-ek, de a befekteté eódu jóval hozabb volt. ak édekébe, hogy eldötheük a kédét, édee éveíte a hozaokat. Előzö azoba záoljuk k a befekteté eódut, agol kaatzáítát hazálva! (4.) t t t Matáv OT Rchte ( ) ( ) ( ) / 365 Mot záoljuk k a oál hozaokat! / 365,97,9 / 365, (4.3) Matáv OT Rchte 6,5% 3,% t t,97,4% 5,4%,83 8,3% 6,5%,9 Ha a befekteté hozaát feléljük, (lletve egatív hoza eeté kótoljuk a vezteéget) továbbá dg az dőzak hoza 4. Ába z dőzak hoza éveítée a oál ódzeel al fektetjük be a Hoza ézüket, éve zte 6,5% 6,5%-o hozaot éük el a Rchteel, 5,4%-o 6% 4% hozaot az OT-vel é 5,4%,4% tőkék 3,%-t veztjük % 8,3% el a Matávval. oál hoza Idő -6,5% gyakolatlag leá -% kvetítée az dőzak -3,% hozaak, at a % ába utat. oál hoza alkalazáa a tőzde befektetéek Év eetébe e életzeű, vel a tőke hozaát újabefektetk. Mot záoljuk k az effektív hozaot! (4.4) Matáv e OT e Rchte e,83 t,9 t,97 ( + ) ( 6,5% ) ( +,4% ) 6,% ( + 8,3% ) 8,98% 7,54% oál hozaátával özehaolítva látható, hogy az effektív hozaáták agyobbak, t a oál hozaáták. Ez azét va, vel az új befekteté eóduba a hozaal kogált étéket fektetjük be. Ha a hoza egatív, akko a következő eóduba keveebb tőkét fektetük be, é keveebbet veztük, t a oál hozaátazáítá eeté. oztív hoza eetébe a következő eóduba d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

5 á a hozaal övelt étéket fektetjük be úja, így a következő eóduba agyobb lez a tőkék övekedée, t oál hozaáta-záítá eetébe. z effektív hozazáítá éveíté ódzeét a 4.. ába utatja. oál é az effektív ho za között külöbég aál agyobb, él agyobb az dőzak hoza abzolút étéke, é él övdebb a befekteté eódu. z effektív hozaot a kée látható velkedée att exoecál hozaak evezk. Látható, hogy az OT eetébe a külöbég cak 6 bázot, íg a Rchte eetébe á 973 bázot. tőzde befektetéek eetébe e célzeű hazál az effektív hozazáítát. befektetők ugya az dőaáyo hozaot ecak eghatáozott dőközökét, hae gyakolatlag báko ealzálhatják. Végül záoljuk k a kaatteztáokat! (4.5) OT l l t t,97 l( +,4% ) 3,%,83 l( + 8,3% ) 59,88%,9 Matáv Rchte 8% 6% 4% % -% -4% 4. Ába Hoza 8,3% z dőzak hoza éveítée az effektív hozazáítá ódzeével -6,5% ( + ) l( 6,5% ) 3,% kaatteztáok adják a legalacoyabb éveített hozaokat, aek az oka az, hogy a hozaok éveítée logatku függvéy zet töték.,4% 8,98% 6,% Idő -7,54% Év 9 z éveített hozaok velkedéét a 4.3 ába utatja. kaatteztá hazálatáak fő teee otoa a tőzde befektetéek (lletve de olya befekteté, ahol a befekteté agyo lkvd é a hoza báko ealzálható). 4.3 Ába kaatteztáak azoba va egy agyo hazo z dőzak hoza éveítée kaatteztáal tulajdoága, a att a otfóló hozaáak kzáoláako cak ez a hozakategóa hazálható. kaatteztá előyö tulajdoágát egy egyzeű éldá keeztül utatjuk be. 4.4 élda Tételezzük fel, hogy két éve vááoltuk egy ézvéyt -ét. év úlva az áa volt, é ot úja lecökket Hoza 8% 6% 4% % -% -4% 8,3% -6,5%,4% 59,88% 3,% Idő -3,% -a. befekteté futadeje alatt oztalékfzeté e tötét. Mekkoa volt a befekteté hozaa az egye évekbe, é ekkoa az átlago hoza? Ha a befekteté dőtataa otoa év, a oál é az effektív hoza egegyezk. z elő eetbe az dőzak hozaot -el kell ozta, az effektív hozazáítá eetébe edg -e kell eel. záítát a 4.3 Táblázat utatja. 4.3 Táblázat Megevezé Noál vagy leá hoza Effektív vagy exoecál hoza Év Kaatteztá Kélete t t e l t. Év % % l()69,3%. Év -5% -5% l(/)-69,3% Átlag (%-5)/5% (%-5)/5% (69,3%-69,3)/% oál é az effektív hozazáítá e adott helye átlagot, hze a való hoza %. -t fektettük be é két é úlva -ét tudjuk elad a ézvéyt. Cak a kaatteztából záolt hozaok záta átlaga adja eg tozítatlaul az átlago hozaot. d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

6 való %-o átlago hozaot egkahattuk vola az effektív hozaokból, cak akko e záta, hae éta átlagot kell alkalaz a következő kélet alajá: j (4.6) g T ( + j ) j t hol j a befekteté j-dk dőzak hozaa, t j a j-dk befekteté eódu hoza évekbe, T a telje befekteté dőtata, a befekteté dőtata alatt a befekteté eóduok záa. ehelyetteítve a 4.6-o kéletbe egkajuk a %-t. t j j (4.7) g T ( + j ) ( + % ) * ( 5% ) % 4.6-o kélettel ecak az a baj, hogy okkal ehezebbe kezelhető. Kéőbb eg fogjuk lát, hogy a befekteté kockázatát a hozaok zóáával éjük, a zóához edg a záta átlaga va zükégük. De láttuk, hogy az effektív hozaokból záolt záta átlag e tozítatla, így a kockázat éőzáa tozított lee, ha ezt a hozazáítát alkalazák Kötvéyek hozazáítáa z előzőekbe olya befektetéek hozazáítáát éztük eg, elyek övd lejáatúak, é cak egy ézáauk va a befekteté lkvdáláako. M va azoba akko, ha a befektetét hozú deg zádékozuk tata (lehet, hogy e tudjuk lejáat előtt étékeíte), áézt a futadő alatt többzö kauk ézáaot? Ee legjellezőbb élda a kötvéyek, elyek áfolyazáítáát az. fejezetbe tektettük át. zoba a kötvéyek ellett ég a zát végű befekteté jegyek, a ut-lked életbztoítáok, a tőzde fogaloba e keülő ézvéyek, az gatlabefektetéek, a hozú lejáatú bakbetétek, azaz de llkvd befekteté eetébe egfogalazható a obléa. fet obléák oto egoldááa a 4. kélet zolgál. zoba auála agyo ehéz kzáíta az özeget, ezét éháy közelítő ódze hazálato hoza(áta)záítá közelítő kélete hozazáítá eetébe tételezzük fel, hogy ejük a eghatáozott, zabályo dőzakokét kaott ézáaláokat, továbbá a befektetett özeget egy özegbe a lejáatko fzetk k az utoló eedéke hozaal. legjellezőbb éldája eek a fx kaatozáú állakötvéy. 4.5 élda 3/J állaaít. jauá -á bocátották k. Félévete fzetett kaatot. Ál -é 4,99%-ot, októbe -é 5,%-ot. kaatfzeté étéke azét volt egy áyalattal kebb az elő dőzakba, vel az októbetől álg tejedő dőzakba keveebb a va (8 a), t az áltól októbeg tató dőtevalluba (83 a). kötvéy lejáata 3. ál. volt. Tételezzük fel, hogy egy befektető. ál -é vááolta eg a kötvéyt 95%-o áfolyao. Mekkoa éve hozaot ealzált a befektetée, ha azt a lejáatg egtatotta? z elő közelítő hozaáta az állaaí évlege hozaa. kötvéye az adott évbe fzetett kaatok agyágát oztjuk a kötvéy év elejé feálló évétékével. Mvel ebbe az eetbe a kötvéyt telje egézébe a lejáatko töleztk, a évétéke a futadő alatt végg %. évlege kaatzáítá záítáa a következő kélet zet töték: I (4.8) N hol, N a kötvéy évétéke (dg %) I a kötvéy -dk dőotba fzetett kaata a évéték %-ba évlege hoza az adott évbe fzetett kaatok záa (féléve kaatfzeté gyakoág eeté ) ehelyetteítve a 4.8-a kéletbe, kajuk: I 4,99% + 5,% (4.9) % N % évlege hoza akko téylege hozaa az adott étékaíak, ha. a kaatfzeté gyakoága éve,. a kötvéyt egy évvel a következő kaatfzeté előtt évétéke vááoljuk eg, 3. a kötvéy tőkeézét egy özegbe lejáatko kajuk eg. z állaaíoka Magyaozágo azoba általába félévete fzetek kaatot (t ebbe az eetbe ), továbbá a kbocátá utá, vel ge lkvd áodlago acok va, ettó, felhalozott kaattól tztított áfolyauk elté a évétéktől. z elő fejezetbe láttuk, hogyha a ettó áfolya a évéték felett va (ázó), akko a téylege hoza alacoyabb, t a évlege, ha a ettó áfolya a évéték alatt va (dzázó), a téylege hoza a agaabb. befektető teézetee a hozaot e a évétéke, hae a befektetett özege vája el. Ha a kötvéye éve zte kfzetett kaatokat a ettó áfolya %-ba fejezzük k, akko kajuk az egyzeű hozaot. d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

7 Kélettel: I (4.) hol, a kötvéy ettó áfolyaa a évéték zázalékába I a kötvéy -dk dőotba fzetett kaata a évéték %-ba egyzeű hoza az adott évbe fzetett kaatok záa évlege hoza akko téylege hozaa az adott étékaíak, ha. a kaatfzeté gyakoága éve,. a kötvéyt egy évvel a következő kaatfzeté előtt vááoljuk eg, 3. a kötvéy öökjáadéko (c lejáata). ehelyetteítve a 4.-a kéletbe, kajuk: I 4,99% + 5,% (4.),5% 95% Mvel a kaat agyágát dg a évéték zázalékába hatáozzák eg, ha évéték alatt ettó áfolyao vááoluk, akko áfolyayeeéget ealzáluk (hze a kötvéy a évétéket fogja vzafzet lejáatko.) z egyzeű hoza eltekt az áfolyayeeégtől (vagy vezteégtől), ezét cak akko ad oto kéet a téylege hozaól, ha az áfolyayeeéget ohae ealzáljuk, azaz a kötvéy öökjáadéko. Ha a kötvéy e öökjáadéko, é tektetbe akajuk ve az áfolyaváltozát a hozaáta-záítá eeté, akko alkalazhatjuk a kogált hozazáítá kéletét. kogált hozazáítá eeté az egyzeű hozaot kogáljuk a lejáatko ealzált áfolyayeeég (-vezteég) egy éve jutó ézével az áfolya zázalékába. Ne degy ugya az éve hoza záítáa zeotjából, hogy az áfolyayeeég háy év között ozlk eg. Mél övdebb az étékaí lejáata, aál jeletőebb az áfolyayeeég zeee. Kélettel: N (4.) c + hol, a kötvéy ettó áfolyaa a évéték zázalékába, N a kötvéy évétéke (dg %), egyzeű hoza, c kogált hoza, 3 d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4 lejáatg hátalévő dő évekbe. ehelyetteítve a 4.-e kéletbe, kajuk: N % 95% 3 (4.3) + c,5% +,7% 95% kogált hoza ohae adhat oto eedéyt, hze azt feltételez, hogy az áfolyayeeég (vagy vezteég) dőaáyo ézét de évbe egkajuk. Mvel ezt cak az étékaí lejáatako ealzáljuk, a kogált hoza egy kct dg felülbecl az áfolyayeeég hatáát. túlbeclé aál jeletőebb, él hozabb az étékaí lejáata. téylege hoza kzáítáához a 4. kéletbe kell behelyetteíteük. következőket íhatjuk: 5,% 4,99% 5,% 4,99% 5,% 4,99% (4.4) 95% : ( + ),5 ( + ) ( + ),5 ( + ) ( + ),5 ( + ) 3 kéletet e tudjuk zát alakba felí. Hazálhatjuk vzot az Excel beéített függvéyét az XIRR függvéyt a feladat egoldááa. z XIRR függvéy a e üteezett ézáaok belő egtéülé átáját k tudja záol. Két beeő aaétee va, a ézáaok tatoáya é a ézáaok eedékeégéek a tatoáya. Ha a kötvéy áfolyaát egatív előjellel vezük fel, teácó eljááal az XIRR függvéy kzáítja a kötvéy belő egtéülé átáját. (z XIRR függvéy űködtetééhez zté zükége az aly Toolack akobővítéy.) záítát a 4.4 Táblázat tatalazza. 4.4 Táblázat ézáaok Névéték %-ba Dátu Áfolya -95%.4. 5,%.. 4,99%.4. Kaatok 5,%.. 4,99%.4. 5,%.. Kaat+Tőke 4,99% 3.4. elő egtéülé áta,4% befekteté téylege hozaa,4%. téylege hoza azét lett agaabb, t a kogált hoza, vel a kaatokat e évete fzetk k, hae félévete é a kélet feltételez, hogy a kaott kaatokat,4%-o hozaal tudjuk úja befektet. téylege hozazáítáa va egy közelítő kélet, ely a évlege hoza é az áfolyayeeég éve jutó özegét oztja a évéték é az áfolya egy úlyozott átlagával. 4. Fejezet otóló elélet

8 úlyok agyágát e táaztja alá tudoáyo doklá, ezét az alább kéletet cak akko alkalazzuk, ha c lehetőégük alkalaz az XIRR függvéyt. téylege hoza közelítő kélete a következő: N + (4.5) IRR e,6* +,4* N hol, a kötvéy ettó áfolyaa a évéték zázalékába, N a kötvéy évétéke (dg %), évlege hoza, lejáatg hátalévő évek záa, IRR e a becült téylege hoza. Helyetteítük be a 4.5-ö kéletbe! N % 95% + % + (4.6) IRR 3 e,3%,6* +,4* N,6*95% +,4 *% kélet ozabb eedéyt adott a téylege hozaa, t a kogált hoza Hozaáta záítá IRR-él külöböző újabefekteté átáál Ha tudjuk, hogy ekkoa a kaott kaatok é tőkeézletek újabefekteté átája, a obléát két ézletbe oldjuk eg:. kötvéy ézáaláat jövőétékzáítáal ele kötvéyé tazfoáljuk 3.. Kzáoljuk az ele kötvéy hozaát. Nézzük eg a záítát egy kokét éldá keeztül! 4.6 élda 3. júlu 5-é vááoltuk egy 5/E állakötvéyt. kötvéy ettó eladá áfolyaa 96,95% volt, a felhalozott kaat agyága,87%. kötvéy kaatlába év 9,5%, at két ézletbe fzetek k: áju -é 4,59%-ot, ovebe -é edg 4,66%-ot. kötvéy 5. áju -é já le. következőt tételezzük fel a kaott kaatok befekteté átájáól. Időzak Újabefekteté áta 7,5% 7,% 6,% 5,5% Mekkoa téylege hozaal fektettük be a ézüket? lakítuk át a kötvéy ézáaláát ele kötvéyé. Ehhez feltételezzük, hogy a hozaokat valóba befektetjük a élda táblázatába zeelő éve kaatlábo. feladat egy jövőéték-záítá, ahol fgyelebe kell ve, hogy külöböző dőzakokba á é á az eléhető hoza. Mekkoa özeg fog a edelkezéüke áll 5. áju - é? 5 6 (4.7) 7,% 6,% 5,5% FV 4,66% * + * + * + + 6,% 5,5% 5,5% 4,59% * + * + + 4,66% * + + 4,59% 5,% + 4,86% + 4,79% + 4,59% 9,34% z elő kaatot 3. ovebe -é kajuk eg, ez háo dőzakot kaatozk. 4. áju -g 7%-al, 4. ovebe -g 6%-al, ajd utáa 5. áju -g 5,5%-al. 4. áju á cak két, a 4 ovebe edg cak egy félévet fog kaatoz. Lejáatko a évétéket é a á eő 4,59%-o kaatot fogjuk egka. Ha becléek otoak bzoyulak, é de fllét azoal befektetük, lejáatko a évéték 9,34%-a fog a edelkezéüke áll. Ez a kötvéy ézáalááak egfelelő ele kötvéy étéke. Ele kötvéy téylege hozaát ezek utá á e ehéz eghatáoz. (4.8) IRR T hol, az ele kötvéy lejáatko étéke, a befektetett özeg (a kötvéy buttó áfolyaa), T a befektetétől a lejáatg eltelt dő évekbe. Hatáozzuk eg a befekteté eódut! Lez egy telje évük 4. áju -től 5. áju -g, é egy töt évük 3. júlu 5-től 4. áju -g. T( )/365 év + év,8 év. ehelyetteítve a 4.7-e kéletbe, kajuk: 9,34% (4.9) IRR,8,5% 98,8% kötvéy téylege hozaa tehát,5% lez, ha az újabefekteté kaatlábaka voatkozó becléek helyeek. zt, hogy hogya lehet a jövőbel hozaátákat egbecül, ajd az 5. fejezetbe fogjuk egvzgál. z ele kötvéyek eetébe édee ég egy hozazáítát egéz. Ez a dzkot kctájegyek hozazáítáa. záítáak az édekeége, hogy lejáatko dg %-ot kauk, ezét -el. dzkot kctájegy dőzak hozaát a 4.3-a kélettel záolhatjuk k. % (4.3) hol, a dzkot kctájegy áfolyaa a évéték %-ba, dőzak hoza, 3 Ele kötvéy olya étékaí, aek cak egy kfzetée va d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

9 4.7 élda Egy dzkot kctájegy áfolyaa júlu 5-é 97,3%. következő év jauá 3-á fog lejá. Mekkoa az dőzak hoza? háo éveíté ódzeel ekkoa hozaokat kauk? Melyk eetbe, elyket alkalazzuk? ehelyetteítve a 4.3-a kéletbe, kajuk: % % 97,3% (4.3) 3,6% 97,3% dzkot kctájegy dőzak hozaa 3,6%. befekteté eódu étéke: ( )/365,66 háo éveíté ódzeel kaott hozaot a 4.5 táblázat tatalazza. 4.5 Táblázat Megevezé Kélete Noál vagy leá hoza t Effektív vagy exoecál hoza Kaatteztá ( + ) l( ) e + t Eedéy 3,6%/,66,5%,36,66 -,% l(,36)/,66,3% Feltétel Hozaot e fogatjuk vza Hozaot vzafogatjuk Folytooa ealzáljuk az dőaáyo éve hozaot. z dőzak hoza változatla aad az év folyaá z átlago hoza kzáítáa 4... alfejezetbe á láttuk, hogy gazából cak a kaatteztá egítégével tudjuk eghatáoz a befektetéek átlago hozaát. Mot azt a obléát vzgáljuk eg, hogyha egy dőzak alatt külöböző befektetéekbe volt a ézük, akko hogya tudjuk kzáol eze befektetéek átlago hozaát é azok zóódáát. 4.8 élda. októbe 3-á vááoltuk lló fotét 9,4%-o áfolyao D88 dzkot kctájegyet. Ezt a kctájegyet a következő év ácu 3-á eladtuk 95,9%-o áfolyao, é vettük D3 dzkot kctájegyet 9,%-o áfolyao. Ezt a kctájegyet lejáatg egtatottuk, ajd vettük D7 kctájegyet 93,4%-ét, at zté lejáatg tatottuk. Ekko 9,85%-o áo vettük D36 kctájegyet, at zté lejáatg tatottuk. Mekkoa volt a befektetée elét átlago hoza? z egye tazakcókat a 4.6-o táblázat utatja: 4.6 Táblázat Vétel dátua Vétel áfolya Eladá Eladá áfolya dátua..3 9,4% ,9% ,%..3 %..3 93,4%..7 %..7 9,85% 3.6. % Előzö záoljuk k a éldát a 4.6 éldába á etetett ódzeel. Kzáoljuk, hogy ézük ekkoa özege övekedett 3. júu -g, ajd behelyetteítük a 4.8-a kéletbe. 95,9% % % % (4.3) FV * * * * 8, 89 9,4% 9,% 93,4% 9,85% Száoljuk k ot a befekteté dőtataát! t ( )/365 +,69 év 8,89 (4.33) IRR t 9,89% Ha az effektív kaatzáítá kéletét alkalazzuk, akko 9,89%-o éve hoza adódk. Hazáljuk ot a folytoo kaatzáítá kéletét! Ekko a következő éve hozaot kajuk. 8,89 l (4.34) 9,44%,69 Ezt a 9,44%-o hozaot az egye eóduok hozaaak átlagakét egkahatjuk. Jelölje t j a j-dk befekteté eódu dőtataát, j a j-dk eóduba elét folytoo hozaot, T a telje befekteté dőtata hozát, j a j-dk eódu kezdet befektetett özeget, j a j-dk eódu vég befektetett özeget, a befekteté eóduok telje záát. Hazáljuk k azt, hogy a eódu vég özeg, egegyezk a következő eódu kezdet befektetett özeggel. l + l *...* + l l...l (4.35) T T T Ha átedezzük a kaatteztá kéletét, kajuk: l (4.36) l * t t ehelyetteítve a 4.35-ö kéletbe a 4.36-o kéletet, kajuk: * t + + t * t... * t j j * T T w j * j J (4.37) d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

10 Látható, hogy az dőzak kaatteztáok úlyozott átlaga egadja ekük a telje befekteté dőzakáa voatkozó kaatteztát. Nézzük ezt eg a kokét éldáko. záítáokat a 4.7-e táblázat utatja: 4.7 Táblázat efekteté Időzak hoza efekteté eódu Kaatteztá Súly Súly * Iteztá I.,9%,44 6,48% 6,4%,6% II. 8,44%,87 9,36% 3,% 3,% III. 7,5%,93 7,56% 34,45%,6% IV. 7,7%,45 6,3% 6,9%,76%,69 9,44% z egye záok kalkulácóját az I. befekteté éldájá utato be:. Időzak hoza 95,9%/9,4%,9%. efekteté eódu ( )/365,44 3. Kaatteztá (+,9%)/,44 6,48% 4. Súly,44/,69 6,4% 5. Súly*Iteztá 6,4%*6,48%,6% otfóló hozaáak kzáítáa z előző alfejezetbe hazált átlaghoza-záítá ódzebe cak a leköté dőtől függött a úly agyága. Ez azét volt, et a ézük. egyzee cak egyfajta ezközbe volt lekötve,. a befektetéek ele kötvéyek voltak, azaz a befekteté dőzakok alatt e ealzáltuk hozaot, 3. a befektetett özeg cak a hozaok att változott. Mot oldjuk fel ezeket a feltételezéeket! Nézzük eg, hogy egy több ezközt tatalazó otfóló eetébe hogya tudjuk kzáíta a otfóló hozaát, lletve eghatáoz azt, hogy az egye ézbefektetéek hogya jáultak hozzá a otfóló hozaához. 4.9 élda efekteté otfólók alakuláát. júlu 5. é 3. júlu 3. között az alább táblázat utatja. táblázat elő ozloa a befekteté ozáát, a áodk az ezköz egevezéét, a haadk a vétel dátuát, a egyedk a befektetett özeget lló fotba, az ötödk a vétel áfolyaot fotba, a agába foglalja a feleülő tazakcó költégeket (bóke díj, kezelé költég, tb.), a hatodk az eladá dátuát, a hetedk az eladá áfolyaot levova belőle a feleülő tazakcó költégeket, íg a hátalévő ozlook az adott ezköze a befekteté eódu alatt fzetett kaatok/oztalékok agyágát é azok eedékeégét utatja. 9 efek-teté Vétel dátua Özeg (MFt) Vétel áfolya (Ft) Eladá dátua Eladá áfolya (Ft) Kaat/ oztalék Rchte.7.5, OT.7.5 5, /I , ,5% 4,49% Kaat/oz -talék dőotja D , akbetét.. 3, ,3 6%* 6 Matáv , % Rchte , Matáv , % Kézéz , Kézéz 3.7., Matáv ,6 Kézéz ,6 95,4 3 4/I ,4 táblázat a következő tötéetet eél el ekük.. júlu 5-é 4 ezközbe fektettük a ézüket. Vettük Rchte ézvéyt () lló fotét, OT ézvéyt () 5 lló fot étékbe, 4/I állakötvéyt (3) 75 lló fotét é 3. júu -é lejáó dzkot kctájegyet (4) 4 llóét. Özee befektettük 65 lló fotot. Időedbe követve az eeéyeket, előzö októbe -é egkatuk az állakötvéyek (3) eedéke kaatát. Eek özege 75/37**4,5%3,8 lló fot volt. (z állaaíok é a dzkot kctájegyek évétéke Ft.) Ezt bakbetétbe helyeztük, é lekötöttük 3. ácu 8-g (5). (Mvel keelt ügyfelek vagyuk a bak zááa, lehetőégük va egyed lejáat teuokat kkötük.) bakbetét kaata év 6%. Mácu 8-á a zálá lévő özeg *6%*( )/365,3 zooáa eelkedett. Mácu 8-á eladtuk OT ézvéyeket é a bakbetétükkel együtt befektettük Matáv ézvéybe (6). Özee 3,8*,3+ 5/4*57,58 lló fotot fektettük be. Ál -é egkatuk az állaaí következő kaatát,75/37**4,49%3,6 lló fotot, aét Rchte ézvéyt vettük (7). Rchte ézvéyeket áju 9-é eladtuk, é vel úgy godoltuk, hogy a Matáv lez a yeő, a Rchte eladáából befolyt özeget (3,6/575*58 + /47*58 5,7 lló fotot) ebbe fektettük (8). Közbe a dzkot kctájegy júu -é leját, de elfelejtkeztük óla, é azóta kézézbe áll a ézük. () z özeg agyága:4/985*43,8 lló fot, ahez jö a Matáv oztaléka, at zté e fektettük be ég (5,7/838**%+57,58/77*%,55) (9-). d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

11 befekteté eódu vég ézözegeket a -3-a ook tatalazzák. Va Matáv ézvéyük 74,6 MFt étékbe (5,7/838*84+57,58/77*84), kézézük (a 9- e é a -e ook özege), továbbá 4/I kötvéyük 75,4 MFt étékbe (75/37/36). Mekkoa volt az elúlt duva egy évbe otfólók hozaa? Melyk befektetéek teljeítettek jobba é ozabbul, t az átlag? kaatteztáal e tudjuk a otfóló eleeek hozaaból özeak a otfóló hozaát, ez keülhet a oál hozaal. Igaz a következő özefüggé: j j * * t j * j j j (4.38) t j t j j * * j * wj T * T j * T J hol, a otfóló étéke a befekteté eódu kezdeté, T a telje befekteté eódu hoza, a otfóló étéke a befekteté eódu végé, a befektetéek daabzáa a befekteté eódu alatt, t j - a j-dk befekteté dőtataa j a j-dk befekteté özege j a j-dk befekteté hozaal övelt özege. otfólók oál hozaát egkahatjuk az egye befektetéek oál hozaaak úlyozott átlagakét. z egye befektetéek úlya edg az adott befekteté dőtataáak é duló özegéek é a telje otfóló duló étékéek é a telje otfóló befekteté eóduáak aáya lezek. Jele eetbe e de befektetéük ele kötvéy, vel d az állakötvéy, d a Matáv ézvéy fzet oztalékot, é azokat úja be tudjuk fektet, a úlyok özege agyobb lez, t. befektetéük oál hozaát a következőkée záolhatjuk k: 95, (4.39) * *,34% T a táblázat az egye befektetéek hozaat utatja: j 4.8 Táblázat Sozá efekteté Özeg Időzak Noál efekteté Súly Hoza (MFt) hoza hoza eódu Rchte,,64% 4,6%,8 3,39% 4,33% OT 5, 8,43% 3,4%,65,3%,57% 3 4/I 75, 9,3% 8,9%, 8,3%,5% 4 D36 4, 7,7% 8,76%,88 3,%,5% 5 akbetét 3,8,58% 6,%,43,5%,3% 6 Matáv 57,58 8,9%,58%,37 7,87%,78% 7 Rchte 3,6 4,94% 5,54%,,%,6% 8 Matáv 5,7 -,4% -,%, 8,45% -,% 9 Kézéz 43,8,%,%,3,5%,% Kézéz,54,%,%,8,8%,% Özee 3,%,34% z dőzak hoza kzáítááól á volt zó az előző táblázat eetébe. oál hozaot úgy kajuk, hogy az dőzak hozaot oztjuk a befekteté eódual. úlyok agyága úgy jö k, hogy a befektetett özeg é a befekteté eódu zozatát oztjuk a telje otfóló dulá étékéek é befekteté eóduáak a zozatával. z elő o eetébe ez (*,8/65/,43,39%). oál hoza é a úlyok zozata adja a hozaot, elyek özege a otfóló telje hozaát adják. úlyok özege azét e, vel volt kaat é oztalékfzeté bzoyo befektetéeke (Matáv, 4/I) Váható hoza kzáítáa z előzőekbe dg últba tötét befektetéek utólago étékeléével foglalkoztuk. a voltuk kívácak, hogy a últba tett befektetéek ekkoa éveített hozaot hoztak záuka. Mot jövőbel befektetéek váható hozaáak kzáoláával foguk foglalkoz. Eek akko va jeletőége, ha befektetéükek a jövőbe többféle hozaa lehetége. Nézzük előzö egy egyzeű éldát! 4. élda Egy otfóló eetébe a következő félévbe váható hozaáták váható elozláát az alább táblázat utatja. Keet I. II. III. Valózíűég 3% 4% 3% Hoza (év) 5% % 5% Mekkoa a váható hozaáta? Ha lló fotot fektetük be a otfólóba, ekkoa özeg váható egy év úlva? Tételezzük fel, hogy a hozaáták oál hozaáták. hozaáták valózíűégekkel úlyozott átlaga adja a váható hozaátát. Kélettel: d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

12 E( ) (4.4) * hol, az -dk keet eeté a befekteté váható oál hozaátája, az -dk keet valózíűége, a keetek záa E( ) a oál hozaáták váható étéke. ehelyetteítve a 4.4-e kéletbe, kajuk: (4.4) E ( ),3*5% +,4* % +,3* 5% 4,5% + 8,% + 7,5% % Ha lló fotot fektetük be, akko félév úlva lló fotuk lez váhatóa. *(+E( )*t) *(+,*,5) lló fot. Ezt az étéket kajuk akko, ha a befekteté váható hozaaak záoljuk k a úlyozott átlagát. *(,3*(+,5*,5)+,4*(+,*,5)+,3*(+,5*,5)). Noál hozazáítá eetébe tehát a hozaok váható étéke (. eet) egegyezk a váható hozaátával záolt hozaal (. eet). Foto tud, hogy a fet özefüggé cak a oál hozazáítá eetébe gaz. Effektív hozazáítá eetébe a következő két étéket kajuk: (4.4) t,5 *( + ) *( + % ) 9,54 * e * t,5,5,5 ( + ) *[,3* ( +,5) +,4 *( +,) +,3* ( +,5) ] 9, 53 e Látható, hogy a hozaok váható étéke kebb, t a váható hozaátával záolt hoza. Ugyaezt taaztalhatjuk fodított előjellel a kaatteztáal záolt hozaok eetébe. (4.43) * e * * t * e * e * t,*,5 *,5,5*,5,*,5,5*,5 (,3* e +,4 * e +,3* e ), 54 z alábbakba özefoglaljuk a hozazáítáal kacolato taulágokat:. Ha egy otfóló dőzak hozaaak átlagát akajuk kzáol, alkalazzuk a folytoo kaatzáítát, azaz a kaatteztá kéletét, vel ez adja eg a hozaok tozítatla átlagát.. Ha egy otfóló adott dőzak hozaáak özetevőt akajuk eleez, alkalazzuk a évlege kaatzáítát, vel az egye ézbefektetéek hozaaak úlyozott átlaga így adja eg a otfóló adott dőzak hozaát Ha egy otfóló jövőbel váható hozaát akajuk kzáol, egt alkalazzuk a oál kaatzáítá ódzeét, vel ez adja eg a jövőbe váható hozaok tozítatla átlagát. 4.. Tőzde étékaí hozaa é kockázata lábbakba óbáljuk eg zázeűíte egy adott tőzde étékaí últbel hozaát é kockázatát. fet fogalakat e fejezet bevezetőjébe á eghatáoztuk, ot ézzük eg, hogy hogya tudjuk őket zázeűíte. z átlago hozaot a a kaatteztáok átlagakét kajuk. z étékaí kockázatát edg a kaatteztáok zóáakét defáljuk. 4. élda Tételezzük fel, hogy va Matáv ézvéyük. z adott ézvéy 3. jauá-febuá hav záóáfolyaadatat az alább táblázat tatalazza: Dátu Záóáfolya d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

13 Dátu Záóáfolya Száoljuk k a Matáv ézvéy átlago hozaát a voatkozó dőzak alatt é zázeűítük a ézvéy kockázatát! Mvel egy adott étékaí dőbel (a) hozaat kell átlagol, a kaatteztá ódzeét válaztjuk. Khazáljuk azt, hogy az l( / ) felíható a két zá logatuáak külöbégekét l( )-l( ). tőzde hozazáítáál a gyakolat az, hogy e vezk fgyelebe a bakzüaokat (evezetee azt, hogy akko az áfolyakülöbégből eedő hoza több a között ozlk eg), hae 5 ao évvel záolak, vel duvá ey ukaa va egy évbe. z átlago hozaáta kzáítááak eete a következő:. Kzáoljuk a záóáfolyaok teézete logatuát.. z előző a záóáfolya logatuát kvojuk a tágya záóáfolya logatuából, így egkajuk az adott a kaatteztát. (Ha tud akajuk, hogy ez ekkoa éve hozaak felel eg, cak egzoozzuk az étéket 5-el.) 3. a kaatteztáokból záolt záta átlag lez az adott dőzakba elét átlago hoza. 4. a kaatteztáok zóáa lez a kockázat éőzáa. záítá eetét a 4.9-e táblázat tatalazza: Táblázat Dátu Záóáfolya Záóáfolyaok logatua Logauok külöbége , 6,7358.a , 6,7546,88% , 6,766,6% , 6,766 -,46% , 6,774-3,4% , 6,74 -,6% , 6,754 -,6% , 6,747,63% , 6,738 -,35% , 6,7334 -,48% , 6,7393,59% , 6,7334 -,59% , 6,76 -,7% , 6,74 -,48% 3.. 8, 6,6983 -,3% , 6,75,68% , 6,75 -,45% , 6,6958 -,47% , 6,698 -,5% , 6,6859 -,5% , 6,6946,87% , 6,6733 -,3% , 6,6846,3% , 6,668 -,64% , 6,6464 -,8% , 6,64 -,3% , 6,663 3,9% , 6,667,38% , 6,6733,63% , 6,67 -,3% , 6,6657 -,63% , 6,6399 -,58% , 6,68 -,8% , 6,6438,57% , 6,63 -,8% d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

14 Dátu Záóáfolya Záóáfolyaok logatua Logauok külöbége , 6,669,99% , 6,659 -,9% , 6,659,% , 6,694 -,35% , 6,67 -,66% , 6,647 -,8% , 6,6 -,35% Átlag -,33% Szóá,6% Relatív -4,9 zóá a kaatteztáok kzáítáát az elő két záóáfolya-adato keeztül utatjuk be. 84 (3. jauá.- adat), eek teézete alaú logatua 6,7358 l(84). jauá a záóáfolya teézete alaú logatua 6,7546 l(858). két adat külöbége 6,7546 6,7358 +,88% a a kaatteztá. több éték ehhez haolóa záítható. kaatteztáok záta átlaga -,33%, a azt jelet, hogy átlagoa aota ekkoa hozaot ealzáluk (egatív hoza eetébe, ekkoa a a vezteégük). záta átlagot az Excel ÁTLG() beéített tatztka függvéyével záolhatjuk k, aelyek aguetua az a tatoáy, a az átlagoladó adatokat tatalazza. Nézzük eg, hogy ez az átlag helye-e. a kaatteztáok záa 4. z átlago kaatteztá egítégével záoljuk k a febuá 8- záóáfolyaot. (4.44) *,33*4 * e 84 * e 735, 4 téylege 736-hoz kéet eltéé az átlag keekítééek következéye. Mot ézzük eg a Matáv ézvéy jauá-febuá hav kockázatát. zóá kéletét alkalazva a hozaoka az alább kéletet kajuk: (4.45) * [ j ] j hol, a hozaok taaztalat zóáa, a a hozaok záa j a j-dk a hozaáta agyága a a hozaok záta átlaga 4 daab adat eetébe a zóá kzáoláa auála eglehetőe dőgéye folyaat. z Excel beéített SZÓRÁS() függvéyével azoba ez köye elvégezhető. 7 8 függvéy egyetle aguetua azo adatok tatoáya, aek a zóááa kívácak vagyuk. 4.9-e táblázat aljá látható a zóá étéke, a,6%. zá jeletée az, hogy a a hoza átlagoa eyvel té el a hozaok átlagától. Mvel a zóá étéke eőe függ az alaadatok agyágedjétől, ezét a befektetéek özehaolíthatóága édekébe a hozaok zóáát ozta zokták a hozaok átlagával. Ekko kajuk a elatív zóát, a a Matáv ézvéy eetébe -4,9 (,6/(-,33)) Két eleből álló otfóló hozaa é zóáa Ha á ejük, hogy hogya tudjuk kzáol egy étékaí hozaát é zóáát, ézzük eg, hogy lehet kzáol egy otfóló hozaát é zóáát. Előzö ézzük a legegyzeűbb eetet; két olya tőzde étékaíból álló otfóló hozaát é zóáát, aelye a voatkozó dőzak alatt e fzetek kaatot é oztalékot. 4. élda Tételezzük fel, hogy otfólók két étékaíból áll. 4 lló fotot fektettük Rchte ézvéybe, é 6 llót fektettük OT ézvéybe. ézvéyeket 3. júlu 5-é vettük, é 3-á adtuk el. ézvéyek vétel, eladá é a közbeeő aoko a záóáfolyaat az alább táblázat tatalazza: Dátu Á OT Rchte efektetett özeg (Ft) Vétel á Záóá Záóá Eladá á 835 Száolja k a két étékaíból álló otfóló hozaát é zóáát! Száoljuk k előzö a 4.-e éldába á beutatott ódo a két étékaí hozaát é zóáát külö-külö. záítáokat a 4. Táblázat utatja: 4. Táblázat Dátu OT Rchte 3.7.8,74%,63% ,68%,49% 3.7.3,5% -,44% Átlag,5%,56% Szóá,%,3% Rel. zóá,33,84 a kaatteztá étékét úgy kajuk, hogy a tágydőzak áfolya logatuából kvoo az előző a áfolya logatuát. Nézzük éldául az OT júlu 3- hozaát. (4.46) l( ) l(9), 5 kaatteztáok záta átlaga a következő: d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

15 (4.47) OT Rchte,74%,68% +,5%,5% 3,63% +,49%,44%,56% 3 kaatteztáok zóáát edg a következőkée záolhatjuk k: (4.48) OT Rchte * [(,75%,5% ) + (,68%,5% ) + (,5%,5% ) ] *,% [(,63%,56% ) + (,49%,56% ) + (,44%,56% ) ],3% elatív zóá a zóá é az átlag háyadoa.,% σ OT,33,5% (4.48),3% σ Rchte,84,56% Egy kockázatkeülő befektető dg aa töekzk, hogy adott kockázat ellett a legagaabb hozaot éje el. Ezét végeedéybe otfólója váható elatív zóáát zeeté cökkete. Majd eglátjuk, ha va a aco kockázatete befekteté lehetőég, a fet egfogalazá úgy alakul át, hogy a acoál befektető az egyégy kockázata jutó kockázat éuot zeeté axalzál. Ha a befektetők úgy godolja, hogy a a últba gaz volt, az a jövőbe gaz lez, é e alkothat otfólót, hae cak aól döthet, hogy OT ézvéyt vagy Rchte ézvéyt vááol a ézéét, akko az alacoyabb elatív zóáú Rchte ézvéyt fogja válazta, é öze ézét ebbe fektet. zoba a ézügy befektetéek cak legtkább eetbe egyát kölcööe kzáó befektetéek. Lehetége az, hogy OT é Rchte ézvéyt vegyük. otfóló hozaa a bee zeelő étékaíok hozaáak úlyozott záta átlaga. otfóló zóáa a bee zeelő étékaíok áokét kovaacáak úlyozott záta átlagáak égyzetgyöke. Kélettel: 9 3 (4.49) w * j w * w * Cov( ; ) Egy eleű otfóló zóáégyzete Étékaí 3.. Σ j hol, a otfóló zóáa, a otfólóba zeelő külöböző étékaíok záa, a otfóló hozaa, w, w j a otfólóúlyok Cov( ; j ) - az -dk é a j-dk étékaí között kovaaca. z -dk étékaí otfólóúlya (w ) az -dk étékaíba fektetett özeg é a otfóló özétékéek a háyadoa. z étékaíok áfolyaáak változáával aga a ofóló étéke, az egye étékaíok étéke változk, így a otfólóúlyok folyaatoa ódoulak. kovaaca egy tatztka éőzá, aely két változó leá együttozgáát é. két étékaí hozaáa voatkoztatva a kovaacát a következő kélet egítégével lehet kzáol: l l (4.5) Co( ; j ) * ( )* ( j j ) hol, Cov( ; j ) az -dk é a j-dk étékaíok hozaa között kovaaca, a egfgyelt hozaok záa, l az -dk étékaí hozaa az l-dk ao, l j a j-dk étékaí hozaa az l-dk ao. Vegyük éze, hogy egy változó öagával vett kovaacája a változó zóáégyzete. Egy otfóló zóáégyzetét a vektoalgeba egítégével köye felíhatjuk. Legye w a otfólóúlyok vektoa, w - a otfólóúlyok vektoáak l 4.4 Ába w * w *w *Cov( ; ) w *w 3 *Cov( ; ) w *w *Cov( ; ) j w *w *Cov( ; ) w *w 3 *Cov( ; ) w * w *w 3 *Cov( ; ) 3 w *w 3 *Cov( ; ) w 3 * 3 w *w *Cov( ; ) w 3 *w *Cov( ; ).... w *w *Cov( ; ) w *w *Cov( ; ) w 3 *w *Cov( ; ) w * d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

16 tazoáltja, Cov a áokét kovaacák átxa. Ekko a otfóló zóáát az alább kélettel lehet leí: (4.5) w'* Cov * w otfóló zóáégyzetét gafkua ábázolhatjuk, at a 4.4 ába utat. kovaacaátxak ugyaay ozloa é oa va. z egye cellákba a áokét kovaacák találhatók egzoozva a két étékaí otfólóúlyával. átx fődagoálába az egye étékaíok zóáégyzete találhatók az adott étékaí otfólóúly-égyzetével zoozva. z ábából vatag voal keít köbe a kételeű otfóló zóáégyzetéek az eleet. z ábából látható, hogy a kételeű otfóló zóáégyzete a két étékaí zóáégyzetéek a otfólóúlyok égyzetével vett zóáa, továbbá kétze a két aí hozaa között kovaaca egzoozva a két otfólóúllyal. Kélettel: (4.5) w * + w * + * w * w * Cov( ; ) kovaaca helyett gyakabba hazálják két változó között leá kacolat ééée a koelácót, vel eek étéke - é között változk, azaz özehaolíthatóvá tez a külöböző változók között leá kacolat zooágát. koelácó e á, t a kovaaca é a két változó zóááak a háyadoa. Ha a koelácót alkalazzuk, a 4.5-e kélet a következőkée ódoul. (4.53) w * + w * + * w * w * * * hol, a otfóló zóáa, a otfóló hozaa, w, w az elő, lletve a áodk étékaí otfólóúlya, a két étékaí hozaa között koelácó,, az elő, lletve a áodk étékaí zóáa e é a 4.5-a kélet egítégével záoljuk k az OT é a Rchte ézvéyből álló otfóló hozaát é zóáát. Előzö a otfólóúlyokat záoljuk k. telje otfóló étéke 6 Ft + 4 Ft Ft. z OT otfólóúlya 6 Ft/ Ft,6, íg a Rchteé 4 Ft/ Ft,4. ehelyetteítve a 4.49-e kéletbe, kajuk: (4.54),6 *,5% +,4 *,56%,536% z OT-ből é a Rchteből álló otfóló átlago a hozaa,536% volt. Mot záoljuk k a két étékaí hozaa között kovaacát, ajd a otfóló zóáát. Előzö a 4.5-e, ajd utáa a 4.5-e kéletbe helyetteítük be. (4.55) 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Cov,74%,5% *,63%,56%,68%,5% *,49%,56% ( ; + OT Rchte ) *,7 (,5%,5% )*(,44%,56% ) + kovaaca az Excel KOVR() függvéyével kzáítható, aek két aaétee va, a két változó étékeek tatoáya. (4.56),6 *,% +,4 *,3% + *,6*,4*,7%,7% Nézzük eg, hogy a otfóló hozaa é zóáa téyleg ekkoa-e. záítáokat a 4.-e táblázat tatalazza. 4. Táblázat Dátu OT Rchte Téylege Száított () () (3) (4) (5) (6) ,55 4,65556,777,69% , ,85556,494 -,% ,9439 4,67778,69,% Átlag,5354%,53539% Szóá,68%,7% táblázat elő ozloa a dátuokat tatalazza, a áodk é a haadk ozlo edg a otfólóeleek étékét az egye aok végé. egyedk ozloba edg a otfóló telje étékét láthatják. otfóló téylege hozaa az étékek teézete alaú logatuaak külöbége. Ezek záta átlaga é zóáa található az ötödk ozlo aljá. hatodk ozloba látható a kéletek alajá kzáított otfóló átlaga é zóáa. Látható, hogy a két éték között ge kc a külöbég. külöbéget két téyező agyaázza:. otfóló két elee között aáy az eltéő hozaok hatááa az dőzako belül elté az duló 6% OT, 4% Rchte aáytól alfejezetbe láthattuk, hogy kaatteztá eetébe a váható hozaátához tatozó hoza kebb, t a váható hozaok átlaga. Mvel tt a hozaáták átlagolááól va zó (cak a úlyok e valózíűégek, hae étékaáyok), az alfejezetbe beutatott eltéé tt jeletkezk. Mdazoáltal a 4. táblázatból látzk, hogy az eltéé ge kc, ezét a gyakolat életbe yugodta alkalazhatjuk a 4.49-e kéletet. otfóló elatív zóáa,7%/,536%,99. Ez az éték ugya jobb, t az OT elatív zóáa, de elaad a Rchteétől. Ha cak az OT-be, a Rchtebe, vagy a fet otfólóba fektetheték a ézüket, é feltételezzük, hogy a jövő ugyaolya lez, t a últ, a Rchte-be fekteték. gyakolatba általába e a otfólók últbel teljeítéyéek elezéée alkalazzák a 4.49-e kéleteket, hae a otfólók jövőbel teljeítéyéek odellezéée. feltalálójáól Makowtz-odellek evezett otfolóodell adatgéye eglehetőe aga. Egy eleű otfóló váható elatív zóááak becléée zükégük va: d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

17 . daab váható hozaa,. daab váható zóáa, 3. *(-)/ áokét váható kovaacáa. Ez odjuk egy eleből álló otfóló eetébe + + *9/ 65 daab adat egbecléét jelet. Láttuk, hogy az előző eetbe a otfóló elatív zóáa kebb volt, t a Rchte-é, azaz e volt édee a ézüket a otfólóba fektet. zoba egy otfóló attaktvtáa (elatív zóááak alzáláa) háo ódzeel javítható.. Olya aíok otfólóba válogatáával, aelyek jövőbe váható áokét kovaácá (koelácó) él kebbek,. a otfólóúlyok változtatáával, 3. a otfólóba zeelő étékaíok zááak öveléével. fet ódzeek beutatááa ézzük egy kotuált éldát. 4.3 élda Egy kételeű otfóló tagjaak váható év hozaát é zóáát külöböző keetek eetébe az alább táblázat tatalazza: Keet Való- Hoza zíűég ézvéy ézvéy I,3 3 II,4 8 III,3 3 3 otfólóúlyok 6% 4% Száolja k a kételeű otfóló váható hozaát, zóáát é elatív zóáát! feladat egoldáához k kell záoluk az é ézvéy váható hozaát, zóáát é a két étékaí között kovaacát, ajd be kell helyetteíteük a 4.49-e kéletekbe. z é ézvéy váható hozaa a keetek hozaáak valózíűégekkel úlyozott záta átlaga lez, ahogy a 4..4-e alfejezetbe á láttuk. E( ),3* +,4 * +,3* (4.57) E( ),3* 3 +,4 *8 +,3*3 6,9 + 7, + 3,9 8 keetek zóáa az eltééek valózíűégekkel úlyozott égyzete átlaga lez. Kélettel: (4.58) *[ E() ] hol, egy étékaí váható zóáa, az -dk keet valózíűége, E() az étékaí váható hozaa, a keetek záa ehelyetteítve a 4.58-a kéletbe, kajuk: (4.59),3*,3* ( ) +,4* ( ) +,3* ( 3 ) 6 ( 3 8) +,4* ( 8 8) +,3* ( 3*8) 5 3, 87 Mt koábba á elítettük, két változó között leá kacolat zooágáak ééée kább a koelácót hazálják, t a kovaacát, vel ez a kovaaca étékét egy -; é között étéke tazfoálja, így a utatók özehaolíthatók lezek egyáal. Száoljuk k a két étékaí hozaa között koelácót! (4.6) R ( ) Cov * ; * [ E( )]* E( ) * hol, R két étékaí hozaa között váható koelácó, az -dk keet valózíűége, E( ) az étékaí váható hozaa, E( ) a étékaí váható hozaa, az étékaí hozaa az -dk keet eeté, a étékaí hozaa az -dk keet eeté, - az étékaí hozaaak zóáa, a étékaí hozaaak zóáa, a keetek záa. Helyetteítük be a 4.6-a kéletbe! (4.6) R,3* [ ] ( ) *( 3 8) +,4 * ( ) *( 8 8) +,3* ( 3 ) * ( 3 8) 7, * 5 két étékaí hozaa tehát otoa elletétee ozog. Mot helyetteítük be a 4.49-e kéletekbe! E,6 * +,4 *8 9, (4.6) ( ) otfóló váható hozaa tehát 9,%. (4.63),6 * 6 +,4 *5 + *,6 *,4 *( 3) 9,6 3, otfóló váható zóáa 3,%, a alacoyabb az é ézvéy zóááál. Eek oka az, hogy a otfóló zóááak haadk özetevője a koelácó egatív étéke att cökket a két zóá úlyozott átlagát. Ne véletle, hogy a otfóló elatív zóáa eze kedvezőbb, t aká az, aká a ézvéy elatív zóáa. háo befekteté jellező adatat a 4. táblázat utatja. d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4. Fejezet otóló elélet

18 4. Táblázat Keet Hoza otfóló ézvéy ézvéy Átlag 8 9, Szóá 7,75 3,87 3, Relatív,39,,6 zóá Látható, hogy az é ézvéy kzáólago btokláa helyett édee a két ézvéyből álló otfólóba fektet a ézüket, vel egyégy váható hozaa ekko ek a legkebb kockázat. Tudjuk-e tovább cökkete a kockázatot a otfólóúlyok változtatáával? válaz az, hogy ge. Ehhez e kell át teük, t az egyk otfólóúly zet devál a otfóló zóááak kéletét, é a devatívot egyelővé téve zéual, átedez a kéletet a otfólóúlya. kélet levezetééél khazáljuk azt, hogy w - w, továbbá ahol a zóáak ua va, ott a zóáégyzetek ua va. Kélettel: (4.64) d dw * w w w * M ( w * + ( w ) * + * w *( w )* Cov( ; ))' * * + * w * + * Cov( ; ) 4* w * Cov( ; ) ( + * Cov( ; )) Cov( ; ) Cov( ; ) + * Cov( ; ) Száoljuk k, lye úlyaáyok ellett lez az adott otfólók ál zóáú. Helyetteítük be a 4.64 kéletbe: M (4.65) w, *3 Ha az ézvéy úlya /3, a ézvéy úlya /3, a otfóló zóáa ál. Nézzük eg, hogy ekkoa a ál zóá étéke. 3 3 (4.66) * 6 + *5 + * * *( 3) + * Látható, hogy aeybe otál úlyaáyba kobáljuk a két ézvéyt, otfólók zóáa zéu lez, azaz egy kockázatete befektetét kauk. zoba hozaot ka foguk, égedg váhatóa /3*+/3*88,67%-ot. Kételeű otfólóból cak akko tuduk kockázatete otfólót létehoz, ha a köztük lévő koelácó együttható ál, azaz ée --el egyelő. 4.5 ába az é ézvéyekből álló otfólókat tatalaz, cak a két ézvéy között koelácó együttható külöbözk. z egye voalak az azoo koelácó együtthatójú ézvéyekből kézett otfólókat kötk öze. z dulóot de eetbe a d. ozk Sádo: ézügy záítáok étékaí hozaa é zóáa (8%; 3,87%), a végot edg az étékaí hozaa é zóáa (%; 7,75%). %-okét övelve az úlyát kajuk a külöböző koelácó együtthatók ellett göbéket. Látható, hogy koelácó együttható ellett, a otfólógöbe egy egyee. Ekko a otfóló létehozáával e tudjuk cökkete a kockázatot. Mél kebb azoba a koelácó együttható agyága, aál haaabb a göbe. zaz kezdetbe eelkedk a hoza, közbe a zóá cökke. ál zóá utá á a hoza, é a kockázat övekzk. --e koelácó együttható eeté a zóá zéua cökke. Sajo ez az ábá e látzk otoa, vel az /3-o aáy a 3% é a 4% közé ek. Hoza 4.5 Ába Ha a koelácó együttható étéke -, akko a 4.64-e kélet leegyzeűödk. (4.67) 9,8 9,6 9,4 9, 9 8,8 8,6 8,4 8, 4. Fejezet otóló elélet M Cov( ; ) + * Cov( ; ) *( + ) ( + ) + w Kételeű otfóló hozaa é zóáa külöböző koelácó együtthatók é otfólóúlyok ellett 8,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Szóá - -,5,5 + * * * * ( ) *( ) ehelyetteítve a 4.67-e kéletbe, ugyaazt az eedéyt kajuk, t koábba.

19 M 3,87 (4.68) w, 333 7,75 + 3,87 Mot ézzük a otfóló javítááak haadk lehetőégét, a otfólóba lévő étékaíok elezááak öveléét. otfólóba lévő befektetéek fajtáak öveléét dvezfkácóak evezzük. Tételezzük fel, hogy a otfólóba zeelő étékaíok zóáégyzete ugyaakkoa σ. áokét kovaacák legyeek ugyaakkoák, étéküket jelölje Cov. z daab étékaíból álló otfólóba zeelő eleek úlya legye ugyaakkoa, azaz /. otfóló zóáégyzetét ekko a úlyozott kovaacaátx eleeek özege adja. Ebbe a kovaacátxba daab zóáégyzet zeeel, é *(-) áokét kovaaca. Mde ele úlya. Kélettel kfejezve: *( ) (4.69) σ * σ + * Cov Mot tato étéke a végtelebe. Nézzük eg, hogy hogya alakul a 4.69-e egyelőég étéke: *( ) (4.7) σ l * σ + * Cov * + Cov + * Cov Cov l σ zaz, a otfólóba övelve az eleek záát, a otfóló zóáégyzete a áokét kovaacákhoz tat. Ha az étékaíok hozaa egyától függetleül alakuláak, a dvezfkácóval tökéletee kockázatete befektetéhez juthaták. valóágba azoba az étékaíok hozaa e koelálatlaok. Vaak olya akoökoóa téyezők, elyek az étékaíok áfolyaát é következékée hozaát, azoo áyba ozgatják. Néháy lye téyező hatáát a 4.3-a táblázat utatja: 4.3 Táblázat Téyező Hatá az Magyaázat áfolyaa ézac Cökkető Ha a kaatlábak övekedek, de jövőbel kaatlábak ézáa jeleétéke cökke, é vel az áfolya övekedée ézáaok jeleétéke, ez cökke. Költégveté defct övekedée Fzeté éleg defct övekedé Gazdaág övekedé Cökkető költégveté költekezé agábeuházáokat zoít k, vagy adóbevétel övelé, vagy kaatlábövekedé váható. Cökkető fzeté éleg egyeúly autoatkua leétékelődéel állhat helye, a leétékel a haza valutába ylvátatott befektetéeket, ha a oetá hatóág el akaja keül a leétékelődét, a kaatok eelkedée váható. Növelő kojuktúa hatááa a cégek által egteelt ézáa váhatóa övekzk. 37 d. ozk Sádo: ézügy záítáok 38 Téyező Hatá az Magyaázat áfolyaa gyouláa otfólóak tehát vaak olya kockázata, aelyek dvezfkácóval cökkethetők, vel az 4.6 egye Ába étékaíok kbocátóak gazdálkodá köüléyetől függeek ezeket egyed kockázatokak evezzük. Vaak olya kockázatok, elyek eltéő étékbe dvezfkácó de étékaí hatáa áfolyaát befolyáolják ezeket ac kockázatokak hívjuk. 4.6 ába gafkua a otfóló kockázatáa jeleít eg a dvezfkácó hatáát. Kockázat Ha azoba a dvezfkácóval jeletőe Egyed cökkethető a kockázat, kockázat akko édee él több étékaíba befektet. z odell adatgéye exoecála eelkedk. elezá övekedéével azoba a Makowtz- ac kockázat Rézvéyek daabzáa Ezét a tudoáyo kutatá é a gyakolat géye új otfólóalkotá odellek kalakuláához vezetett Tőkejavak áodellje (CM) tőkejavak áodelljét Makowtz taítváya Shae alkotta eg a 6-a évek elejé. Iduló adatgéye jóval kebb, t a Makowtz-odellé, azoba több olya feltételezéel él, aelyek a valóágba e, vagy cak többé-kevébé valóulak eg. tőkejavak áodelljéek kdulóotja a hatékoy otfólók göbéje. hatékoy otfólók göbéje azo otfólókat özekötő folyaato voal, aelyek adott kockázat ellett a axál váható hozaot hozzák. 4.5 ábá láthattuk, hogy két étékaí külöböző otfóló egy, a ál zóáú otál egtöő göbe eté helyezkedek el. Ez gaz a több eleből álló otfólóka. hatékoy otfólók göbéje 4.7 ábá a kockázat é hoza koodáta-edzebe zeeelteük az öze lehetége befektetét. lehetége befektetéek bukológöbét voal jelz, eze belül a hatékoy otfólók göbéjét Váható vatagított 4.7 Ába voal. hatékoy otfolók göbéje az otfólóba kezdődő, felfelé é hoza jobba tató voal. z,, C, D D otfólók Hatékoy d otfóló ajta vaak a hatékoy otfólók göbéjé. Látható az, hogy Caz I otfóló G zté göbéje ajta va a otfólók bukológöbéjé, de e hatékoy otfóló, vel d az E, d a F otfóló jobb ála. Ezét e gaz az a egállaítá, hogy hatékoy otfóló az, a E H I 4. Fejezet otóló elélet Szóá

20 adott hoza ellett ál zóáú. z F, G é H otfólók a göbe é a vízzte tegely között helyezkedek el. CM. feltétele ézügy acok legyeek hatékoyak. Hatékoy a ac akko, ha az étékaíok áa azoal é helyee tüköz vza az étékaíoka voatkozó foácókat. Ebbe az eetbe az étékaí áa egfelel az étékaíból záazó ézáaok jeleétéközegéek. Hatékoy aco az öze befekteté döté NV-je zéu. Hze de étékaíét ay ézt kell ad, aekkoa a buttó jeleétéke. Kélettel: * t (4.7) : GV CF * e hol, GV az étékaí belő étéke, avagy az étékaíból záazó váható ézáaok jeleétéke, az étékaíból záazó ézáaok záa, CF az étékaí -dk ézáaa, az étékaí hozaa (folytoo kaatzáítáal), t a jele dőottól az -dk ézáa eedékeégég eltelő dő évekbe, az étékaí áfolyaa. 4.7-e kéletből látzk az, hogy az étékaí áfolyaa é az étékaí hozaa egyáal fodította aáyo. Ha az áfolya cökke, a váható hoza ő é fodítva, ha a több téyező változatla aad. ac hatékoyága háo dolgot jelet.. Ifoál hatékoyág az étékaía voatkozó foácók azoal, dek zááa gyeee hozzáféhetők.. Tazakcó hatékoyág az étékaíok vétele é eladáa jáuléko költégek élkül véghezvhető, ceek étékaítazakcókat tehelő adók, é aká töedékézvéyeket lehet vááol, lletve elad. 3. llokácó hatékoyág a befektetők acoálak (azaz adott hoza ellett a axál hozaú befektetét válaztják), é áelfogadók (azaz egyed váálá é eladá zádékakkal e kéeek befolyáol az étékaí áát). Elő állítá - Ha a ézügy acok hatékoyak, akko a aco létező öze lehetége otfóló állezkedk a hatékoy otfóló göbéjée. Tegyük fel, hogy va egy olya otfóló (éldául az E), a a hatékoy otfólók göbéje alatt található. z foácók ylváoak, tehát a befektetők tudoát zeezek aól, hogy va olya otfóló (a jelű), a ugyaolya kockázat ellett agaabb hozaot bztoít, t az E otfóló. befektetők acoálak, ezét eladják az E otfólót által az E otfóló áfolyaa ek, váható hozaa övekzk é egvááolják otfólót által otfóló áfolyaa ő, váható hozaa cökke. tazakcó hatékoyág bztoítja, hogy a kegyelíté addg folyk, íg a két azoo kockázatú otfóló hozaa azoo e lez. 39 d. ozk Sádo: ézügy záítáok 4 CM. feltétele Létezze a gazdaágba kockázatete befekteté. Kockázatete a befekteté, ha váható hozaáak zóáa zéu. Szté zéu a kockázatete befekteté kovaacája a több befektetéel. Kockázatete akko a befekteté, ha cak egyetle jövőbe váható hozaa lehet. Ha a lejáatg egtatjuk, akko a fx kaatozáú állaaí lye befekteté, vel az állaok zte bzto, hogy teljeítk fzeté kötelezettégeket. zoba az állaaíokak va kaatkockázatuk, azaz a futadejük oá áfolyauk a deko ézac hozaokak egfelelőe gadozhat. Még a gyakolatba a egfelelő lejáatú állaaí hozaát tektk kockázatete hozaak. Ábázoljuk a kockázatete hozaot a koodáta edzebe. Ez a ot az y tegelye fog elhelyezked - vel a zóáa zéu - a kockázatete hoza otjába. Mot húzzuk étő egyeet a kockázatete befektetéből a hatékoy otfóló göbéjéhez! kockázatete befektetéből a hatékoy otfólók göbéjéhez húzott étő egyee eve tőkeac egyee (CML). CM 3. feltétele Mde befektető vehee fel kockázatete kaatlábo htelt a befektetééhez. Máodk állítá kockázatete befektetéből é a hatékoy otfólók göbéjé lévő été otba található otfólóból kéezhető otfólókkal a tőkeac egyee de otja lefedhető. Következékée de egye étékaí (otfóló) á fog llezked a tőkeac egyeee. z egyee kéét a 4.8 Ába utatja. Látható, hogy a tőkeac egyee a C otfóló otjába ét a hatékoy otfóló göbéjét. áodk állítá elő éze azt odja k, hogy eze otfólóból é a kockázatete otfólóból 4.8 Ába kézett otfólókból a CML egyee de otja lefedhető. tőkeac egyee Hogya kézelhető ez el? CML otfólóúlyok változtatáával. Ha de ézüket kockázatete ezközbe tezük, akko az y tegelye vagyuk. Ha de ézüket a C otfólóba fektetjük, akko a CML egyee C été otjába. tőkeac egyee kockázatete befektetée é a C ot közé úgy keülhetük, hogy 4. Fejezet otóló elélet Váható hoza f C D Hatékoy otfóló göbéje Szóá

Portfólióelmélet. Portfólió fogalma. Friedman portfólió-elmélete. A befektetés három jellemzője. A kockázat általános értelmezése (Kindler József)

Portfólióelmélet. Portfólió fogalma. Friedman portfólió-elmélete. A befektetés három jellemzője. A kockázat általános értelmezése (Kindler József) ofólió fogalma ofólióelméle Ké zóeede Lai zó oae hodai, vii Fólió ügy, ia Olaz zó icéek ézácája ofólió ág éelmezée vagyoágyak özeége ofólió zűk éelmezée külöböző, őzdé jegyze éékaíok özeége Fiedma ofólió-elmélee

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Ventilátorok üzeme (16.fejezet)

Ventilátorok üzeme (16.fejezet) Vetilátoro üzee (16.fejezet) 1. Defiiálja vetilátoro tatiu é zyoá veedéét! Vázlato utaa eg az zyoá ooeeie változáát egy egyfoozatú terelőrá élüli a ilééél a járóeré utá diffúzorral ellátott iáli átléű

Részletesebben

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika Dobo Ie Kézletgazálkoá é vizta logiztika Bapeti ovi Egyete Lektoálta: D. eei Józef Dobo Ie ISBN 978-963-503-5-0 (olie) Kiaó: Bapeti ovi Egyete Bapeti ovi Egyete Gazálkoátoáyi Ka Kézletgazálkoá é vizta

Részletesebben

Megint egy keverési feladat

Megint egy keverési feladat Megnt egy keveré feladat Az alább feladatot [ 1 ] - ben találtuk nylván egoldá nélkül Itt azért vezetjük elő ert a egoldáa orán előálló özefüggéek egybecengenek egy korább dolgozatunkéval elynek cíe: Ragaztóanyag

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középzint Javítái-értékeléi útutató 06 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. noveber 6. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fizika középzint

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

1. Gyors folyamatok szabályozása

1. Gyors folyamatok szabályozása . Gyor olyamatok zabályozáa Gyor zabályozá redzerekrl akkor bezélük, ha az ráyított olyamat dálladó máoder, agy az alatt agyágredek. gyor olyamatok eetébe a holtd általába az ráyítá algortmu megalóítááál

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet

Részletesebben

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása Egyeáramú motor kazkád zabályozáa. gyakorlat élja z egyeáramú motor modellje alajá kazkád zabályozó terezée. zabályozá kör feléítée Smulk köryezetbe. zmuláó eredméyek feldolgozáa.. Elmélet beezet a az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy

Részletesebben

GEGET057N DIAGNOSZTIKA ÉS KARBANTARTÁS. MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR GÉPELEMEK TANSZÉKE 3515 Miskolc-Egyetemváros

GEGET057N DIAGNOSZTIKA ÉS KARBANTARTÁS. MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR GÉPELEMEK TANSZÉKE 3515 Miskolc-Egyetemváros MSKOC EGYETEM GÉÉSZMÉRÖK ÉS FORMTK KR GÉEEMEK TSZÉKE 355 Miskolc-Egyeteváos TTÁRGY DOSSZÉ GEGET57 DGOSZTK ÉS KRBTRTÁS Tágyfelelős Saka Feenc Előadó Saka Feenc Gyakolatvezető Miskolc, 7. szeptebe GEGET57

Részletesebben

fizikai-kémiai mérések kiértékelése (jegyzkönyv elkészítése) mérési eredmények pontossága hibaszámítás ( közvetlen elvi segítség)

fizikai-kémiai mérések kiértékelése (jegyzkönyv elkészítése) mérési eredmények pontossága hibaszámítás ( közvetlen elvi segítség) BEVEZEÉS Eladá célja: fzka-kéa éréek kértékelée jegyzkönyv elkézítée éré eredények pontoága hbazáítá közvetlen elv egítég éré technkák egerée alapvet fzka ennyégek pektrozkópa éréek elektrokéa éréek Ma

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék

Részletesebben

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás

5. gyakorlat Konfidencia intervallum számolás 5. gykorlt Kofdec tervllum zámolá. Feldt Cél: Normál elozlá gyor áttektée. Az IQ tezteket úgy állítják öze, hogy tezt eredméye éeége belül ormál elozlát kövee 00 ot átlggl é 5 ot zórál. A éeég háy zázlék

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

A gőztáblázat alapján a gőztáblázat belépő gőz entalpiája 2957 kj/kg, a vízgőz i-s diagramja alapján a távozó gőz entalpiája 2640 kj/kg.

A gőztáblázat alapján a gőztáblázat belépő gőz entalpiája 2957 kj/kg, a vízgőz i-s diagramja alapján a távozó gőz entalpiája 2640 kj/kg. Axál rbá é rezr. Haárzz eg az egy fzaú aó (Laal) rbából ázó gőz ebeégé ha dj hgy a beléő gőz 5 bar yáú é 80 C- é az adaba exazó á ázó gőz edeégarala 5 %. Az álló laár léő laázöge. A fó laár özéáérőjéél

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Egyenletes mozgás. Alapfeladatok: Nehezebb feladatok:

Egyenletes mozgás. Alapfeladatok: Nehezebb feladatok: Alapfeladatok: Egyenlete ozgá 1. Egy hajó 18 k-t halad ézakra 36 k/h állandó ebeéggel, ajd 4 k-t nyugatra 54 k/h állandó ebeéggel. Mekkora az elozdulá, a egtett út, é az egéz útra záított átlagebeég? (30k,

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6

Magdi meg tudja vásárolni a jegyet, mert t Kati - t Magdi = 3 perc > 2 perc. 1 6 JEDLIK korcoport Azonoító kód: Jedlik Ányo Fizikavereny. (orzágo) forduló 7. o. 0. A feladatlap. feladat Kati é Magdi egyzerre indulnak otthonról, a vaútálloára ietnek. Úgy tervezik, hogy Magdi váárolja

Részletesebben

Dinamika példatár. Szíki Gusztáv Áron

Dinamika példatár. Szíki Gusztáv Áron Dinaika példatár Szíki Guztáv Áron TTLOMJEGYZÉK 4 DINMIK 4 4.1 NYGI PONT KINEMTIKÁJ 4 4.1.1 Mozgá adott pályán 4 4.1.1.1 Egyene vonalú pálya 4 4.1.1. Körpálya 1 4.1.1.3 Tetzőlege íkgörbe 19 4.1. Szabad

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Ú Á Ü É ő ö ó ó ő Ü ö Ó ő ú ó ö ő ú ű ű ö ú ö ó ü ö ő öü ő Ú ö Ü ű ó ü ű ő ö ő óü ó ó ő Á Á ó ó Ü ó ó ü Ü ö Á ő ő ó ö ó ü ő ö ó ö ő ó ú ú ó ő ó ó ú ü Ú Á Á É Ü É Ú ü Á É ő ü ÉÉ É Ü ó Ö ó ó ö ö ő óü ó ü

Részletesebben

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben

II.2. A Monte Carlo számítógépes szimuláció

II.2. A Monte Carlo számítógépes szimuláció II.2. A Monte Calo zámítógépe zmulácó Rendezetlen anyag endzeek zmulácójának két alapvet változata meete: a molekulá dnamka MD é a Monte Calo MC módze []. A két módze között alapvet elv különbég a következ.

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás**

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás** IFFK 03 Budapest 03. augusztus 8-30. Tartoáyi szitű stabilitásizsgálat alkalazásáak lehetőségei Győr árosába Stróbl Adrás* Péter Taás** Budapest Uiersity of Techology ad Ecooics Hugary (e-ail*:strobl.ad@gail.co

Részletesebben

í ő ľ ü ó ľ ľ ő ľ ü Ü Ü Ł ľ ü ľ ü ľ ö ľü íľ ő ő ź ő í ó ü ľ ö ü ü ó ő ö ľĺ ó ľó ő ő ö ź í ö ő źą ö í ő ü ö ö ü ő í ľ ó ó ó ü ó ó ó ő ö í ó í ü ö í ő ę í ö ü ą í ľ ó ő í ú í ó ő ö ó ó ő ü í ó ľ í ľź ľ ú

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 1. tétel Imertee a nagy aznkron motorok közvetlen ndítáának következményet! Elemezze a közvetett ndítá módokat! Kalcká motorok ndítáa Közvetlen ndítá. Az álló motor közvetlen hálózatra kapcoláa a legegyzerűbb

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

ó ó ü ľ ó ü ó ľ ü ń ó ó ó ö ę ź ź ö ö ö ö ę ę ö ó ľ ó ę ź ó ö ó ź Ĺ ź ó ť ú ü ű ö ó ź ó ö ó ö ľ ö ľ ń ó ľ ź ű ö ń ó ź ź ť ľ ó ľ ź ü ť ź ó ü ť ö ó źů ý ťü ľ ú ó ď ľ ľ ľ ľ ó ó ľ ń ľ ľ ö ó ľ ó ľ ö ź ó ľ ľ

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny, II. forduló, Megoldások. F f + K m 1 g + K F f = 0 és m 2 g K F f = 0. kg m

Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny, II. forduló, Megoldások. F f + K m 1 g + K F f = 0 és m 2 g K F f = 0. kg m Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny, II. forduló, Megoldáok. oldal. ρ v 0 kg/, ρ o 8 0 kg/, kg, ρ 5 0 kg/, d 8 c, 0,8 kg, ρ Al,7 0 kg/. a) x? b) M? x olaj F f g K a) A dezka é a golyó egyenúlyban van, így

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi szközök étéklés. fladat (kötvény) A vállalat 2 millió fointos buházása mgvalósításának finanszíozásához kötvénykibocsátást tvz, 5 Millió Ft étékbn. A jgyzést lbonyolító

Részletesebben

Membránsebesség-visszacsatolásos mélysugárzó direkt digitális szabályozással

Membránsebesség-visszacsatolásos mélysugárzó direkt digitális szabályozással udapeti Műzaki é Gazdaágtudoányi Egyete Villaoérnöki é Inforatikai Kar TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZT Mebránebeég-vizacatoláo élyugárzó direkt digitáli zabályozáal Kézítetteték: aláz Géza V. Vill., greae@evtz.be.hu

Részletesebben

2010/2011. tanév Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny II. forduló. 2011. január 31.

2010/2011. tanév Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny II. forduló. 2011. január 31. 2010/2011. tanév Szakác enő Megyei Fizika Vereny II. forduló 2011. január 31. Minden verenyzőnek a záára kijelölt négy feladatot kell egoldania. A zakközépikoláoknak az A vagy a B feladatort kell egoldani

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek 75. szám Ára: 2478, Ft TARTALOMJEGYZÉK 2007: LXI. tv. A cég nyil vá nos ság ról, a bí ró sá gi cég el já rás ról és a vég el szá

Részletesebben

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS!

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS! LVII. ÉVFOLYAM 1. SZÁM 1-120. OLDAL 2007. január 9. AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA ÁRA: 1113 FT FELHÍVÁS! Fel hív juk tisz telt Ol va só ink fi gyel mét a köz löny utol só ol da lán köz zé

Részletesebben

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul.

MUNKA, ENERGIA. Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. MUNKA, NRGIA izikai érteleben unkavégzéről akkor bezélünk, ha egy tet erő hatáára elozdul. Munkavégzé történik ha: feleelek egy könyvet kihúzo az expandert gyorítok egy otort húzok egy zánkót özenyoo az

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

7. számú mérés Kétcsatornás FFT analizátor alkalmazása

7. számú mérés Kétcsatornás FFT analizátor alkalmazása 7. zámú méré Kétcatorá FFT aalzátor alalmazáa Auzta redzere átvtel jellemzőe mérée lazu módzereel, M orozatoal, Kétcatorá Gyor Fourer aalzátorral aboratórum gyaorlat Mérö Fzuo zámára Özeállította: dr.

Részletesebben

ö ő ü ó ü ü ő ő ó ľ ö ź ľ ő ľ ľ ľ Ű ľ í ľ ľ í ú ľ í ľ ő ő ó í ó ö ö ź ť ó ľ ü ö ó ü í ő ú í ő ő ű ó í ť ő ü ű ö ľ ő í ő ó ö ó ó ó ő ö ť ľ ó í ľ ę ő ö ľ ľ ü ůź ę ľ ó ó ę ó í ü ő ó öľ ľ ó Á ó ö ó í ő ľ í

Részletesebben

Forgó mágneses tér létrehozása

Forgó mágneses tér létrehozása Forgó mágnee tér létrehozáa 3 f-ú tekercelé, pólupárok záma: p=1 A póluoztá: U X kivezetéekre i=io egyenáram Az indukció kerület menti elozláa: U X kivezetéekre Im=Io amplitúdójú váltakozó áram Az indukció

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK Gépézeti alapimeretek középzint 2 ÉRETTSÉGI VIZSGA 204. máju 20. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fonto tudnivalók

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

ú ľ ľ ä ú ľł Łř äľľ ź ź ó ľ ú Ö ö ó ó ó ź ę ő ö ő ö ó ö ę ó ó óö ö óö ö ő ő ő ő ć ö ó ő ő ó ö Á ľ ö ó ő ő ü ö ű ö ő ö ó ľ ú Ö ü ű ö ö ö ń ź ü ľ ö ľő ő ü ę ö ő ó ö ö ö ę ľü ľ ö ü ö ö ó ü ľ ö ö ú ö ő ő ź

Részletesebben

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép ó- é éé Ú :7000 ééű éé é á áá ó- ó ő é, é áj áááá éá vá é áv üé, á v á á é é íűéé é á é áá ő ó-á é- ávó, űő é ű á,, v ő őé váj áó ó- áó éé á já í Z Ö á éé! Ó- áó 00 -, +4/74/000-000 @ - v ő é: / é é é:

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez H E L L E R MÁRTA DR. FERENCZ CSABA Megjegyzések esteséges holdk háofekvencás Dopple-éésének hbelezéséhez ETO 62.396.962.33.8.46: 629.783: 88.3.6 Mnt z á előző ckkünkből [] s set, kuttás bn és esteséges

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁS

EGYENES VONALÚ MOZGÁS Mértékeyéek átváltáa Tiztelt Diákok! Ha ibát találtok az alábbi dokuentuban, akkor jelezzétek a info@eotvodoro.u eail cíen! EGYENES VONALÚ MOZGÁS 5,2 k = = 4560 = c = 4,5 óra = perc = ec 7200 ec = óra

Részletesebben

ő ĽĽľľ ä ú ľ ľ ő ú Ż Ą Ż ł ľ ľ ľ ő ľ ú Ö ľ ő ó ü ľ ö ľ ł í ó Ü łľ ý ő í ú ľ Ö ľ őł ü ö ö ľó ö Ĺ ľó ó ľ ü ľ ö í ő ö í ő ľ ö ö ľ ľó ó ó Ż Ż ö ľ öľ í ú ő őł ü í Í ö ó ó ő ő Ż ö ú ľ ö ľ ö Ĺ ő ľ í ó ö ľ ľ ő

Részletesebben

A forgalomba belépő gépjárművek többlet károsanyag kibocsátásának számítása a nemzetközi határértékek figyelembe vételével

A forgalomba belépő gépjárművek többlet károsanyag kibocsátásának számítása a nemzetközi határértékek figyelembe vételével Török Ádá, Zöldy Máté Közúti Közlekedés A foraloba belépő épjárűvek többlet károsaya kibocsátásáak száítása a ezetközi határértékek fiyelebe vételével A XX század véé és a XXI század elejé a otorizált

Részletesebben

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése A szállítócsigák néhány eléleti kédése DR BEKŐJÁOS GATE Géptani Intézet Bevezetés A szállítócsigák néhány eléleti kédése A tanulány tágya az egyik legégebben alkalazott folyaatos üzeűanyagozgató gép a

Részletesebben

6. szám. 2006/6. szám HATÁROZATOK TÁRA 51. Budapest, 2006. feb ru ár 13., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 414, Ft. Oldal

6. szám. 2006/6. szám HATÁROZATOK TÁRA 51. Budapest, 2006. feb ru ár 13., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 414, Ft. Oldal 2006/6. HATÁROZATOK TÁRA 51 Budapest, 2006. feb ru ár 13., hétfõ 6. TARTALOMJEGYZÉK 2019/2006. (II. 13.) Korm. h. Az Or szá gos Tu do má nyos Ku ta tá si Alap prog ra mok 2006. évi több - lettámogatához

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ 33. szám Ára: 3887, Ft TARTALOMJEGYZÉK 62/2006. (III. 27.) Korm. r. Az egyes pénzbeli szociális ellátások elszámolásának szabályairól...

Részletesebben

VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se

VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se 711/I/2003. AB eln ki v gz s 1779 711/I/2003. AB eln ki v gz s Az Al kot m ny b r s g el n ke jog sza b ly alkot m ny elle ness g nek ut la gos vizs g la

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE

2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE XIII. ÉVFOLYAM 9. SZÁM 2007. SZEPTEMBER 30. 2007/9. szám TURISZTIKAI ÉRTESÍTÕ 401 AZ ÖNKORMÁNYZATI ÉS TERÜLETFEJLESZTÉSI MINISZTÉRIUM HIVATALOS ÉRTESÍTÕJE A Turisz ti kai Ér te sí tõ Szer kesz tõ sé ge

Részletesebben

Kidolgozott minta feladatok kinematikából

Kidolgozott minta feladatok kinematikából Kidolgozott minta feladatok kinematikából EGYENESVONALÚ EGYNLETES MOZGÁS 1. Egy gépkoci útjának az elő felét, a máik felét ebeéggel tette meg. Mekkora volt az átlagebeége? I. Saját zavainkkal megfogalmazva:

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2005. de cem ber 29., csütörtök 172. szám II. kö tet TARTALOMJEGYZÉK 125/2005. (XII. 29.) GKM r. A köz úti jár mû vek mû sza ki meg vizs gá lá sá ról szóló

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

ć ö ö ö đ ę ť ö ü Í ö ęü ö śđ Ą ö ę ö ď ö ś Ű ö đ ö ü ť Ś Ę ü ä ä ě Ŕ ż ę äí Í Ą ö Ę ń Í ű ö Ĺ ű ń Í ę ű ź ä ű Đ ń ö Ę đ ź Í Í ű ö ę ö Í ú ú ě ú ě Í Í ť Ű ę ŕ Ľ Ą Ż ü ź ě ű Đ Ö Í Í ś Í Á ö Ł ą Í Ł Í Í

Részletesebben

ú ľ ľ ľ Ĺ ľ ľ ľ ú ľ ľ ő É ö ö ľő ő Ĺ Ö ľ ö ľ ő ö ľ ľ ű ö ľ ó ľ öľ ľő ó ó ľ ö ő ö Í ó ľ ö ő ö ľ ľ ľ ű ö ľő ó ó ő ľ ľ ľ ö Ĺ ľ ť ľ ľ ľ ö ľ ľ ő ő ľ Ö ľ ó ó ő ľ ľ Ĺ ö ľ ó ó ö ó ľ Ĺ Ĺ ľ ľ ľ ľ ö ľ ó ć Ĺ ő ö ö

Részletesebben

A környezetvédelmi és vízügyi miniszter 31/2008. (XII. 31.) KvVM rendelete

A környezetvédelmi és vízügyi miniszter 31/2008. (XII. 31.) KvVM rendelete 26734 M A G Y A R K Ö Z L Ö N Y 2008/193. szám A környezetvédelmi és vízügyi miniszter 31/2008. (XII. 31.) KvVM rendelete a környezetvédelmi termékdíjról, továbbá egyes termékek környezetvédelmi termékdíjáról

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda. 93. szám. Ára: 2400, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda. 93. szám. Ára: 2400, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda 93. szám Ára: 2400, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda 93. szám Ára: 2400, Ft TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

Portfólióelméleti modell szerinti optimális nyugdíjrendszer

Portfólióelméleti modell szerinti optimális nyugdíjrendszer MŰHELY Közgazdaág Szemle, LVIII. évf., 011. zeptember (79 805. o.) Szüle Borbála Portfólóelmélet modell zernt optmál nyugdíjrendzer Az optmál nyugdíjrendzer elmélete ránt az utóbb években folyamato érdeklődé

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE TARTALOM

A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE TARTALOM A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE Budapest, 2006. szeptember 20. Megjelenik minden szerdán. IX. évfolyam, 2006/38. szám Ára: 315 Ft TARTALOM Álláspályázatok I. FÕRÉSZ: Személyi és szervezeti hírek A Borsod-Abaúj-Zemplén

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám TARTALOMJEGYZÉK 2008:

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny Szaác Jenő Megyei Fiziavereny 05/06. tanév I. forduló 05. noveber 0. . Egy cillagdában a pihenő zobából a agaabban lévő távcőzobába cigalépcő vezet fel. A ét helyiég özött,75 éter a zintülönbég. A cigalépcő

Részletesebben

A 2004. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY FELADATA: A KEPLER-PROBLÉMA MÁGNESES TÉRBEN

A 2004. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY FELADATA: A KEPLER-PROBLÉMA MÁGNESES TÉRBEN Debecen DEBRECENI EGYETEM Eléleti Fizika Tanszék (Saile Konél MTA oktoa) Izotópalkalazási Tanszék (Kónya József ké. tu. oktoa) KLTE ATOMKI Közös Tanszék (Kiss Ápá Zoltán fiz. tu. oktoa) Kíséleti Fizikai

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

ő ĺ ó ľ ő ü ü ĺ ľ ĺ ĺĺ ľ í ľ ľü ĺ ľ ő ő í őľ ú ö ĺ ľ í ľ ő ő ź ľ ő í ő ö ü í ľ í ó í ó ő ľ ü ő ü ź ű ź Ĺ í ó ö ő ö ľ Ó ő ö źů ö Ĺ ő ź ó ő ö ľ í ź ő ö í ó ź ź ö ö ő ł ü ľ ó ő í ľ ö ó ó ĺí ü ü Á ź ű ú ö

Részletesebben