I. Általános lineáris modellek: Lineáris és nem-lineáris regresszió

Átírás

1 I. Általáo leá modelle: Leá é em-leá egezó A temézettudomáoa az alapvető tövézeűége általáa ülöféle változó özött apcolatoat ada meg. Pl.. Eg elleálláo (pl. ézhuzalo) áthaladó áam é az elleállá ét végpota özött méhető fezültég egeee aáo egmáal. Pl.. Kaláz hoza é a ee található úzazeme záma özt leá apcolat áll fe. Pl. 3. Cüd é zá özépcot hoza aáa álladó. Pl. 4. Izom hoza é tömege valamt a fetett eő. A fet példáo ívül, még ge o eete előfodul, hog valamel függetle változó meghatáozzá valamel függő változó étéét. Ile függvéapcolato mutatááa íéleteet végzü, mele eedmée általáa a övetező tálázattal adható meg: X (aláz hoz) Y (úza zemzám) Ahol az aló de a íélet (megfgelé) ozámát elet. Két zélőége alapeet va:. Tudu mel változó (függetle váltózo) hatáozza meg a máaat (függőváltozóat). A éma, fza-éma, fza é életta gaolatoo általáa le íéletet végzü. Beállítu az étéét é megméü az adott été által váltott hatát, azaz étéét. Azt a édét, hog mel étéee végezzü el a mééeet, a íélettevezé vzgála. M mot em téü ee, de általáa elmodható, hog ugaazo étéel tö íéletet

2 végzü (godolu ca a éma laooo végzett mmum 3, vag 3-ál tö métlée).. Nc emmféle fomácó a változó özött apcolatól, még aa em vagu ztoa, hog a változó özött va-e egáltalá apcolat. A tatzta általáo leá modellet a fet ét alapeet vzgálatáa dolgoztá. Mot azt tételezzü fel, hog az X változó é az Y változó özött függvé apcolat áll fe, fomála Ahol X R é f : X Y m Y R, é m megada a függetle, é függő változó zámát. Temézetee eo a változó való zámoal ellemezhető. Mét a leá függvéel ezdü a vzgálatoat? Ee ét fő o va: : egézől ez a legegzeű függvéapcolat. Ha X é Y egdmezó, ao a leá apcolat ét zámmal ellemezhető, őt é étée ölcööe meghatáozzá egmát (ecó) a. : Máézől a matematáa ól met az az állítá, hog mde foltoo függvé loála leá függvéeel ól özelíthető. Ez azt elet, hogha a X változóa ellőe tatomáát vzgálu, eg adott 0 été öezetée, ao eze été özelée ól ellemezhető a apcolt leá függvéel. De vgázat, má T été öezetée, má lez a ól özelítő leá függvé!

3 I.. Leá modell Tegü fel, hog. az X é Y eg-eg-dmezó változó özött, meetle a é paaméteeel megadható, leá függvéapcolat áll fe.. A íélet oá em tudu zá a véletle háat! Mt méü: Az -ed íélete ét fato hatáozza meg a mét Y étéet:. a X oét étéée a hatáa;. eg véletle ha. Tegü fel, hog mde méé oá ugaazzal a véletle hával ell zámolu (azaz a ha em függ em X oét étéétől, em a íélet ozámától). Tegü fel, hog a ha omál elozláú, ulla váható étéel é meetle zóáal. E feltétele a övetező eete teleüle például. Mde méé oá a ha o,, egmától függetle véletle hatáól tevőd öze (vö. cetál hatáelozlá tétele). A méé módzeü ó, aa az ételeme, hog átlaga ót méü (vö. tozítatla eclé). Íg az -ed íélete mét Y étée a övetezőéppe adód a. Ahol az -ed méée: az általu eállított étéhez az métü é N 0, elöl az -ed méée elövetett hát. étéet I.. Leá egezó ét változóa Idulu a fet leá modellől! Feladat: adu meg a leá apcolatot (azaz léegée ecülü meg az a é étéeet) eg általu elvégzett (>) mééől álló íéletoozat alapá. Nehézég: A íélet oá em tudu zá a véletle háat! 3

4 Nlvá a ha felíható a övetező alaa: a. Mvel feltettü, hog a ha ulla váható étéű, íg a ha zóááa ecléée a égzetözeg zeepel., a Lege égzete elve: azt az lleztét fogadu el, amelél a fet égzetözege felvez a mmumot. Szóá egítégével megfogalmazott tepetácó: Léegée azt tételezzü fel, hog a lehető legoa métü, azaz mmalzáltu a íélete oá a ha zóáát! Geometa tepetácó:. 4

5 5 Matemata feladat: Keeü azt az a é étéet ahol a fet égzetözeg mmál. Tetü a övetező ét-változó függvét ( R R g : ) a a g, :. Vegü éze, hog a g függvée az, páo mete, hze ezeet métü! Íg ha megmételü az íéletől álló mééoozatot má-má été-páoat méü, íg má lez a g függvé. A matemata aalízől met, hog általáa eg étváltozó foltoo függvé a zélőété hele elégít a övetező egeleteet 0, a a g é 0, a g. Továá a zélőété hel mmumhel, ha ee a pota a Hee-mát detemáa poztív, fomála 0,,,, a g a a g a a g a a g. Ném zámolá utá az apu, hog a fet g függvé mmumát a övetező hele vez fel.

6 6 Regezó egüttható: a Megegzé: a egezó egüttható felíható a övetező alaa : ) (, X Va Y X Cov a Ahol Y X Cov, az X é Y valózíűég változó ovaacáa, é ) (X Va az X valózíűég változó vaacáa. Nlvá az llezedé óága em má, mt a ha mmalzált zóááa étée, azaz a. Azét ( )-vel oztu, met mtá va é paamétet ecültü. Temézetee vetőd fel az a édé, hog mee ó az llezté? Ee eg lehetége méőzáma a detemácó egüttható, amel azt feez, hog Y változó vaaltááól, met magaáz az X-től való függé. Mot ézzü meg a vaacá ellemzééhez züége égzetözegeet: Y vaacáa X-től való függé vaacáa a (Vegü éze, az a heleítét!) Ha a Köe látható: a a

7 Detemácó egüttható: D a a Vegü éze, hog a detemácó egütthatóa léegée a ha vaacáa va oztva a függő változó vaacáával. Jellemző ha D = 0, ao X em tatalmaz leá ellegű fomácót Y-a ézve ha D =, ao Y-t leá fomáa telee meghatáozza, ha élül előe elz X I.3. Leá egezó általáa So eete em eg, ha em tö ( daa) függetle változó hatáozza meg mééü eedméét. Ileo, például az -ed méée, daa változó étéét állítu e é eg Y étéet méü, azaz az mééől álló íéletoozat eedmée a övetező tálázattal adható meg X X Y. Temézetee, a méée záma () léegee ago, mt a ecüledő paamétee záma (), (azaz ). Eo a leá függé a övetező alaú a a... a 7

8 Ahol az -ed íélete (méé oá) az,...,, általu eállított étéehez az étéet métü é N0, az -ed méée elövetett ha Feltezü, hog a méé há egmától függetlee. Eo a fet méé tálázat alapá, leá függé eeté apu Xa ε Ahol,.., a függő változó (mét étée);,... X : a... függetle változó (eállított étée); a a a,.., a leá apcolat paamétee, ε,.., az elövetett hatag., A lege égzete elve alapá eeü azt a vetot, amel mmalzála a ha zóáát, a E feladat megoldáa. a a... a a T X X X I.4. Nem leá egezó Azoat az eeteet, amo a változó özött em leá függvéapcolat áll fe, ét alapvető módo lehet ezel: Változó tazfomácóval: tetü például az epoecál függvéapcolatot: a e. A fet egelete mdét oldala véve a logatmuát, apu a övetező leá özefüggét l l a. Pl. Élettaa met, hog o eete a gógzee hatáa epoecál függvéeel íható le. 8

9 Nem leá egezó: M mot ca a övetező polomál apcolatot tetü: Ahol az a,..., a... m 0 a a a m. 0, a, a am paamétee meetlee. A léeg az, hog a ecüledő paaméteee lege leá az özefüggé (függvé). Eo a lege égzete elve ugaca hazálható, hze a em leá étée mete, m íg a em leá tago (,..., ) ca oét met zámo. Me való a (leá lletve em leá) egezó?. Változó özött apcolato özelítéée. Eo vag az met özefüggé paaméteet ecülü meg, vag ha em met a változó özött apcolat, ao a polommal özelítü azt.. Beclé, u. a lege égzete elvével paaméteeet eclü. II. Változó zámáa cöetée: Főompoe- é fatoaalíz A ológáa ozo vetőd fel ola poléma, amo o változó hatáoz meg eg eleéget. Mot tegü fel, hog ce poto fomácó aól, hog az adott íéletoozata potoa mel változó (,..., ) hatáozzá 9

10 meg a vzgált változó () étéét. Eo temézete az a édé, mel változó hatáozzá meg a vzgáladó étéet az adott oét vzgálat oá? A poléma az, hog az (,..., ) változó özül mel mle; lletve mele átzaa léege zeepet az adott vzgálata. II.. Főompoe-aalíz Tegü fel, hog az általu elvégzett vzgálata, a vzgált változó özül émel változó alg-alg változott a méée métlée oá. Ha ezeet otaa vezü, ao a poléma egzeűöd, hze evee változót ell fgeleme ve. Elépzelhető, hog em ege változó álladó, haem azo leá omácóa álladó (pl. ét változó özege t.), lletve az ege változó oelála egmáal. Cél: a (,..., ) változóól átté ola változóa ( z,..., zm ), amele em oelála egmáal. Fomála, m R,, z R, vetoo V R Vz Khagúlozzu, hog ez a mát egelet ugaca leá özefüggé, ezét zoá ezt a módzet az általáoított leá modelle özött tágal. Alapötlet: Ola V tazfomácót eeü, amele, elő oodátááa vaacáa mamál, máodé a máod legago, é íg tová. Az alapötlet az, hog azo özött eeü a ható téezőet, amele em oelála é ag a vaacáu. A V tazfomácó, az vetováltozó ovaaca mátáól adód. A főompoe aalíze ao va ételme, ha a ovaaca máta vaa ag é aátétée. A poléma dmezóa ao cöe, a ovaaca máta va l-daa aátétée, az ezehez tatozó változóat el lehet haagol. 0

11 II.. Fatoaalíz Mot úg cöetü a változó zámát, hog a daa (,..., ) megfgelhető változó helett, haem eél evee zámú úgevezett em megfgelhető változóat (fatooat) vezetü e. Modell: l l, w R, f R, vetoo A R mát é elöle R a megfgelhető változó váható étéét Af w Itt úa eg mát egelettel (leá özefüggéel) va dolgu, ezét zoá ezt a módzet az általáoított leá modelle özött tágal. Cél: Ola w R é amelee gaza a övetező:. w R é l f R egmától függetle vetováltozóat eeü, l f R egmától függetle vetováltozó legee, gegé feltétel elég: evezetee az, hog oelálatlao legee. l. A f R ulla váható étéű é ovaaca máta lege az dettá 3. Az w R ulla váható étéű é ovaaca máta lege dagoál. Belátható, ha a ovaaca máta em elfauló, ao va le felotá. A l w R -ét eged fatoa evezzü. Az f R -et özö fatoa zotá evez, é ca tá va ológa eletée. Alapötlet: az egmáal özefüggő változóól épzü fatooat, úg, hog eze a fatoo e függee egmától. Pl: életmód (táplálozá, zevedéle, pot, laóhel, mua) é gée egütt hatáozzá meg eg etegég alauláát.

12 III. Általáoított leá modelle Az tö dmezó leá modell a övetező volt: a a... a Ahol az -ed íélete (méé oá) az,...,, általu eállított étéehez az étéet métü é N 0, az -ed méé ha. Az általáoított leá modell a övetező alaú: a a a g... Ahol a ha em feltétleül omál elozláól zámaz. A g (,,..., ) R függvé vezét evez l függvée, (zoá : leá pedtoa evez.) f a... a a, Példa l függvée: Fhe (9) utá tetü a övetező hígítá íéletet: ml dulá oldata va N atéum. Ezutá mdg a duplááa hígítu a tözoldatot, azaz,, 4, 8, 6,..., ml téfogatú oldatu va az -ed hígítá utá. Eől ml oldatot véve eoltu eg tel cézét. Kédé: M aa a valózíűége, hog az -ed hígítáól véve a eoltó ml, ez a vett ml, tel, azaz eoltva vele eg tel cézét em apu atéum telepet? (Léegée. meoa hígítá utá hatá előle) Ha a mtavétel adom (az oldat ól evet), ao átlagoa N atéum va ml-e, é ha N em túl ag, ao Poo elozláu va. Íg aa a valózíűége, hog a vett ml-e egetle atéum c P ( 0) e Hog lez eől leá függvé? Lege l függvé a l, hze

13 l l e N l e l N l Azaz a tel cézé záma a övetező leá függvéel ellemezhető l P(0) l N l a l. Néhá l függvé: Ahol a váható étée az elozláa Elozlá Név L fv Fő fv. Nomal Idett Xa Xa Epoetal Gamma Ivee Xa Xa Ivee Gaua Ivee quaed Xa / Xa Poo Log l Xa epxa Bomal Multomal Logt Xa l ep Xa ep Xa Bomál elozlá Vegü a övetező egzeű példát: ahol az -ed íélete,...,, általu eállított étéehez eg őté lepe utódzámát ( ) méü! Eo az elozlá ztoa em omál, hze egéz zámoat vehet fel az Tegü fel, az egzeűég edvéét, hog mde lepe (lehete,, azaz mde lepe ülööző zámú) petét a le, é a elé valózíűégeet (elöle p) efoláolá az,..., hog mde pete azoo, ao az adott!, általu eállított étée. Tegü fel,,...,, étéehez azoo, eg adott p tatoz, íg omál elozlá ada meg a elt heó zámát: 3

14 Mta: P( Y ) p p.,...,, étéeet eállítva a elt heó zámát méü, métléeel! Feladatat: Jellemezü, hoga függ a eállított változótól a elé valózíűég? Ehhez az elő lépée meg ell ecülü a p étéét, eg adott eállított étéhez! Ee pl. a mamum lelhood eclét hazálhatu. (Azt a p paamétet fogadu el, amel mellett mamál az adott mta megfgeléée a valózíűége.) Bomál elozlá eeté a logztu egezó modell a övetező alaú p p log a a... a, Poo elozlá: Eo egéz zámoal íható le a élet meetele, de mot a Poo elozlá ada meg a meetele valózíűégét: P( Y e ).! A módze felépítée telee haoló. Poo elozlát ao váu, ha valamel ta eemé előfodulááa vagu íváca, pl. ta övée eg adott vadáta, mutácó Általáoított addtív modell: a övetező alaú: 0 f 4

15 Ahol a ha em feltétleül omál elozláól zámaz, é f tetzőlege foltoo é deválható (ma) függvée. Ha va a háttéváltozó özött ölcöhatá, ao zoá az oal foma, oa llezthető! f, tagoat fgeleme ve. E modell IV. Vaaca aalíz Fhe vezette ezt a módzet (ANOVA: aal of vaace). Ő gaoa teméátlagoat vzgált, amele lvá o fato va hatáal: pl. tala, műtágá, víz, talaművelé, gomtá t. Ő a övetező zóhazálatot vezette e. A függő változóa ható téezőet fatooa evezte, amele em feltétleül íható le való zámoal. A fatooa ülööző zte vaa. A íélete ülööző fatooat, ülööző ztee alalmazott, é méte a teméátlagot. Temézetee, mde ztomácó tö méét ell végez. Ha mde ztomácó azoo zámú méét végeztü, ao egeúlozott íéletől ezélü. Nem tele íélet tev, ha vaa ola ztomácó, amelee em métü. Vegü pá oét polémát: Pl.. Ugaazt a övétemezté ezelét elvégezve ét úzafatá, mel hoz ago temét? Temézetee, a övétemezté ezelé -hez oolható a tala é a líma. Pl.. Féfao é őö ugaaa a ét gógzee a hatáát vzgálu. Befoláola-e a gógulát, mel dogoal mel emeet ezeltü? Pl. 3. Eg adott etegége zevedő patáoa, háom dogot adu, ülöféle ztomácóo. Va-e léege hatáa a ülöféle omácóa? A hatá elege alapá ét alapmodell va a vaaca aalíze: 5

16 I. modell: A hatá detemztu é ca a hatag oozza a mta zóáát. II. modell. A hatá véletle ellegű, íg em ca a ha, de magáól a eleégől zámaz a zóá. Az ANOVA alapfeltétele, hog a ülööző fatoo hatáa addtív, azaz a A fato -ed zte ( a -vel), é a B fato -ed zte ( ) egüttee a övetező épe övel a függőváltozó étéét. a c Itt a c a ét fato zegetu hatáát feez. Mvel ez alapfeltétel leá függét tételez fel, ematt zoá az ANOVA-t a leá modelle özött tágal. Ugaca megülööztethetü em-heachu, lletve heachu hatát: eo eg adott ezelé ca valamel má ezeléel egütt fet hatáát. Godolu tt az ezmazádoa, é tegü fel A é B fatoo övel a eacó eeégét: A fato B fato Nlvá le eetee, az A-fato má előegíthet a δ-aag épződéét, hze az egít β-aag épződét. Ellee a B-fato egmaga em mde eete fet elető hatát, pl. az elő lépé a eeég meghatáozó lépé a δ- aag épződéée. Ellee, ha a A é B-fatooat egütt adu, ao a B- fato eletőe övelhet az A fato goító hatáát. Alapfeltétele:. A vzgált változo omál elozláúa. Ilee általáa a meég élege a ológáa, azo amele o egmától függetle hatá özegeét álla elő.. A mtá függetle íéleteől zámaz. 3. A zte (lletve ztomácó) zóáa azoo. 6

17 Az ANOVA elvégzée előtt a 3. feltételt elleőz ell! Ee mot ét tatzta póát metetü: Mamál F-póa. Ez léegée a ól met F-póa, mele a legago zóáú zt zóáát haolítu öze a lege zóáú zt zóáával. Balett póa: Lege,,..., N, m. Mta: mde -ed zte vezü mtát.,...,. :, H 0 : D D... D Jelöle az -ed zt zaadág foát f é f : f é f, ahol Ahol, K Döté: f f. Ezeel a elöléeel a Batlett tatzta a övetező:,306 : f log0 f log0 c c : 3 f f H 0 -t elfogadu ha K H 0 -t elvetü ha K. ANOVA I-modell Egzee oztálozá: Mta: eg adott fatot zte vzgálu, az -ed zte, íéletet végzü! Íg a övetező mtát apu: 7

18 . zít.. zt.. -ed zt. Özee átlagát íéletet végeztü el. Jelöle az -ed zt mtáa : É az öze íélet átlagát Modell: : a Ahol a R, az -ed zthez tatozó ezelé hatáa, továá N 0, az - ed zte, a -ed méé oá elövetett ha. Vegü éze, hog ez eg lazu leá modell, hze a ha em függ em a zttől, em a íélet ozámától! Azaz azt tételezzü fel, hog mde méé oá ugaola hát övethetü el. Az ANOVA alapgodolata det: Setéü, az hog a fatoo hata. De em ezt, haem az elleezőét vzgálu, azt hog a fatooa c hatáa! Azaz H 0 : a a... a a. Felhazálva, hog a íélete egmától függetlee, megmutatható, hog. 8

19 H 0 gaz volta mellett, a leá modell matt, a övetező ét égzetözeg egítégével uga aa a háa a zóáát ecülhetü É a a Q :. Q :. É gaz a övetező özefüggé: Q T Q Q. Vegü éze, hog Q em ézée a zte özött eltéée, hze ca a ztee elül gadozát mé! Ezzel zeme, Q em ézée a ztee elül eltééee ca a zte özött eltéét mé. Léegée, Q a aa a tálázata zóáát mé, ahol mde méé helett a zt átlagát tetü:. zít d.. zt d... zt d. Mot hatáozzu meg a zaadág fooat (változó záma míuz a előlü ecült é felhazált változó záma): Q T Q Q Továá az met, hog e égzetözege χ elozláúa ede a fet zaadágfooal, azaz, Q é Q. A H 0 hpotéz gaz volta mellett, az Q é a háa az vaacáát ecül! Ez F-póával elleőzhető: F, Q eclée ugaaa 9

20 (Vegü éze, hog az ANOVA elvégzée előtt, ca azt elleőztü, hog az ege ztee elül zóáo ( daa) azooa! Ez ca at elet, hog a ülööző ztee azoo hával métü, am a leá modellü feltétele.) A fet zámoláoat a övetező tálázata zoá megad a vaaca felotát: Szte özött Q Sztee elül Q Özee QT Négzetözege Szaadág fo Tapaztalat. zóáégzete T Q Q QT Mot tegü fel, hog a hpotézüet el ell vet, azaz va hatá! Eo felvetőd a édé, hoga ellemezhető ez a hatá:. Ha a ezelée em íható le zámoal: Eo a édé a övetező: mel ezelée, zte özött va ülöég? A copoto páoét özehaolítáát, pot hoc-tezteel végezzü. Ee o póa met: m mot páat feloolu: Lege zgfá ülöég, Tue-póa, Duett-póa. Ha a ezelé oá eg aag hatáát vzgáltu ülööző ocetácóo, ao leá lletve em leá egezó lleztét végezhetü. 3. Lege égzete módzeével ecülü a hatát: tetü mot a övetező leá özefüggét: a é eeü azoat a paaméteecléeet, ahol a övetező égzetözeg mmál: a 0

21 ANOVA I-modell étzee oztálozá: A hatá mot detemztu, de mot ét ülööző ezelét (A, B) alalmazu egzee ülööző ztee (,m)! Alapmodellü a övetező t a c t Ahol t az A ezelé -ed zté é a B ezelé -ed zté elvégzett t- ed méé eedmée. Az a az A ezelé -ed ztée hatáa, a B ezelé -ed ztée hatáa c az --ezelé zegetu hatáa é végül t az -ztomácó elvégzett t-ed íélet háa. A vzgált hpotézü úa az hog a fatooa c hatáa: H 0 : a c 0 Az ANOVA elvégzééhez, a ztomácóo elül há zóátáát ell özehaolítau, é he eze azooa tethető ao végezhetü el az ANOVÁ-t. Mot tetü eg egeúlozott íéletet, azaz mde ztomácó uga íéletet végeztü, elöle az ege ztomácóo elvégzett métlée zámát l. A ezelée legee pl. ét dog hatáa ülööző ocetácóo. Má példa memóa tezteléée. A ezelé: lege a gaolá dőtatama, B ezelé lege a feleté dőtatama, t. Az le ellegű íéleteél a övetező méé tálázatot apu B zt B zt A zt A zt A zt,,.., l,.., l,,.., l,.., l,,.., l,,,.., l, B m zt m, m,.., m l m m,.., ml, m, m,.., ml m

22 Ahol az átlagoa a övetező elöléeet vezettü e: Tele átlag: : ml m l t t Soátlag: : t l t l Ozlopátlag: : m t ml t l Sztomácó átlaga: : t l t l Mot a vaaca ellemzéée a övetező égzetözegeet hazálhatu: Vaacát ellemző téező m l Totál Q : t T t A -fato hatáa Q : ml A m B -fato hatáa Q : l B m Szegetu hatá Q : l AB m l Ha Q : t E t Szaadág fo lm m m m l Megmutatható: É Q T Q A Q B Q AB Q E m m ml lm Továá az met, hog a H 0 hpotéz gaz volta mellett e égzetözege χ elozláúa ede a fet zaadágfooal, azaz Q ; Q A B m

23 QAB é E m( l ) m Q é a előlü épzett tapaztalat zóáégzete, ugaaa a háa az vaacáát ecül! Fomála a H 0 hpotéz gaz volta mellett az QA A ; QB m B ; Q AB AB é m Q E E eclée ml ugaaa a háa ecül a vaacáát. Imét F-póát hazálu! Lépcőzete hpotézvzgálat:. Hpotéz: c zegetu hatá: H AB : c 0 mde -ztomácó! AB Elvégzedő póa: F, H AB mellett F F m ; ml. E Mot ét eet lehet:.. Ha F F m ; ml, eo va zegetu hatá, íg az A é B fatoo hata... Ha F F m ; ml, eo c zegetu hatá, eo tová hpotéze vzgálu.. A é B fatoa c hatáa: H A : a 0 mde A-zte H B : 0 mde B-zte. Mvel mot má feltehetü, hog a ztomácó vaacáa ca a ha vaacáát ellemz, ezét ú eclét ézítü a ha vaacááa: Q Q AB E AB, E. m m( l ) Mot ét F-póát végzü: F. AB, E AB, E F A é B A B Ha tö, mt fato hatáát aau vzgál, ao a tözöö (3,4,5 ) teacó ago eloolítá a vzgálatoat. De a módze azoo elve 3

24 alapá épe ezel ezeet az eeteet. A pogamcomagoa általáa 3 zempotú ANOVA-t még tatalmaza. Ha em gaz a H 0 hpotéz, azaz va hatáa a fatooa, ao úa a lege égzete elvével mét ecülhetü a hatát. Mot a paaméteeet a övetező özeg mmalzáával eü. a c, a,, c II. modell egzee oztálozá: Ao a hatá véletle ellegű, azaz a vaaca em ca a ha haem a hatá zotalaágáól zámaz. Eo a modell: Ahol, eg álladó, N0, é N 0, E é függetle valózíűég változó. E függetleég matt met: V V V. A hpotézü az, hog c hatá! Fomála: H 0 : 0. Mta: az adott fatot zte vzgálu, az -ed zte, íéletet végzü! Íg a övetező mtát apu:. zít.. zt.. -ed zt. Vezeü e a övetező elöléeet: 4

25 Tele átlag: Sztátlag: : :. H 0 gaz volta mellett a övetező F póát ell elvégez: F ANOVA általáoítáo: Az ANOVA ét alapfeltétele:. A ha omál elozláú, ulla váható étéel;. azooa a zóáo; 3. a mtá függetlee. Szmultá döté paamétee módzee. Tegü fel, hog a zte (lletve a ztomácó) zóáa em azoo. Eo ANOVA em hazálható. Ee az eete a övetező tezteet lehet hazál: Tue-tezt, Newma-Keul-tet, Scheffé tezt. Repeated Meaue ANOVA H 0 : a ezelée átlaga azoo. De ha mtá má-má feltételeől zámaza (eged, dő, té). Nem gaz, hog a mtá azoo, függetle elozláoól zámaza. Pl. dőe eltolt íélete,. é. fézeal méet mapulácó, eo em gaz, hog a mtá függetlee, hze azoo öltő pá egmát övető fézelé eét vzgálu, pl. epülő fóá átlago úlát, ézzü. Ugaazo az egedeet, tözö hazálu a íélete. Mt a páoított t póáa. Itt em gaz, hog a mtá függetlee. 5

26 Specál zóhazálat: ala (uect) a mta eleme. A fatooat ét copota oztá: wth-uect facto-o, azo a változó, amet azoo öülmée özött változtatu, eze léegée a ezelée, é tt va lehetőég azoo íélete métléée. A etwee-uect facto-o, azo a változo, amelee c hatáu, dő t. Eze copotoat alota. Temézetee mdét fatotípua lehet, vag va hatáa, é ha egzee aau vzgál ezeet, ao ell epeated meaue ANOVA-t hazál. Két alapédé lehet:. A ülööző copotoa azoo-e a ezelée hatáa?. Va-e ölcöhatá a ét fatotípu özött? Tetü eg egzeű íéletet: 5 íélet állato 4 ezelét vzgáltu Kezelé Kezelé Kezelé 3 Kezelé 4 Ala X X X 3 X 4 Ala X X X 3 X 4 Ala 3 X 3 X 3 X 33 X 34 Ala 3 X 4 X 4 X 43 X 44 Ala 5 X 5 X 5 X 53 X 54 S S S S S : : 3 : 4 : 5 : G : G : G : 3 3 S : 4 4 6

27 Mot a copotoat (G ) az azoo ezelée defálá. Míg az alao elül vzgálato (S ), azo, ameleet azoo zeméle vzgáltu. Ezutá léegée, eg ét-zempotú ANOVÁT végzü el, lépcőzete hpotéz vzgálattal. Elő lépé: c ölcöhatá a ét téező özött, t 7

28 V. Nem paamétee póá So eete a mtá em em omál, em em epoecál elozláú mtáól zámaz. Godolu ca omál (pl. va c adato; mofológa éleg azoo vag em azoo) lletve odál (pl. em zámzeűíthető de oa edezhető mta, ótoló zaétő zet oa edezett élelmzee) álá méhető eleégee. Nem omál (é em epoecál) elozláoól zámazó mtáa megfogalmazott hpotéze tezteléée dolgoztá a em paamétee póáat. Előe: ge o eete hazálható: em ell omaltá, olao alalmazhatóa, amo c meetü az elozláo paaméteől (pl. eclée függetleég vzgálat, ag póá). Hátáa: Ha paamétee póa alalmazható, ao a em paamétee póá ca ago ülöége eeté mutatá a ülöéget, azaz a em paamétee póá evéé ézéee. Ee oa evee fomácót hazála, mt a paamétee póá (pl. agoo alapuló elááo, dzetzácó). Kevéé hatéoa, aa az ételeme, hog ago mtáa va züég, mt paamétee póá eeté, léegée az fomácóvezté matt. Taulág, ha lehet, alalmazzu paamétee póáat, ha azo feltétele teleüle. 8

29 V.. χ póa. A χ póa alapeete aa eldötée, hog eg adott íélet oá eövetező eemée valózíűége azoo-e az általu godolttal: Kíélet: N ze megmétlü eg íéletet, é megfgelü a meetelet: A A A - A - E íélete elet az általu megülööztetett meetele zámát, azaz A A A tele eemé edzet alot é íg N, továá az A eemée a gaoága. Nlvá a (,,.. ) -dmezó valózíűég változó elozláa polomál, íg paamétee póa em végezhető. H 0 : P(A )= p Ha a H 0 hpotéz gaz, ao gaoágo elozláa: P N!,..., p,! ' Lege a tatzta: Np ˆ :, Np Igazolható, hog H 0 hpotéz gaz volta mellett a ˆ tatzta tat a elozlához. Mvel em potoa az, ezét azo meg ell métel a íéletet, hog a mmál gaoág legalá 0 lege! Ha ezt em tudu 9

30 elé, ao vou öze úg a megfgelt eeméeet (A ), hog ez a feltétel teleülö! Íg ha N elég ag, ao ˆ ˆ elfogadu H 0 hpotéz elvetü H 0 hpotéz E fet póát a övetezőéppe alalmazhatu: V... Illezedé vzgálat: a) Tzta llezedé vzgálat: Ha mta elozlááa típuáa é aa paaméteee va hpotézü! a).. Dzét eet: Eo azt a hpotézt elleőzzü, hog p p p p H 0 : P p. Előző eet! a).. Foltoo eet: Dzetzálá: Ozu fel, a zámegeet úg, hog mde éz tevalluma legalá 0 megfgelé ee! Eo, lege ez az A eemé azo megfgelée záma, amele potoa az -ed éz tevalluma ee! Fomála az A, tevalluma eő méée záma. 30

31 H 0 : P A F ) F( ) ( Előző eet! ) Beclée llezedé vzgálat: Mot ca az elozlá típuáól (pl. omál, polomál, Poo ) va hpotézü, de aa paaméteet em meü. Elő lépée ecülü meg a paamétet (lletve ha tö va, ao paaméteeet) valamel módzeel, pl. mamum lelhood t. Jelöle a ecült paamétet â. Máod lépée, a ecült paamétee egítégével zámolu az A eemée valózíűégét! Íg apu A p A... aˆ p aˆ... p aˆ p aˆ A A Vegü éze em az - daa valózíűéget ecülü, ca a paaméteeet â é hpotézü (mle elozláú a mtá), egítégével zámolu az eemée valózíűéget! Mot a tatztá: ˆ : Np Np aˆ aˆ Igazolható, hog H 0 hpotéz gaz volta mellett a ˆ tatzta tat a elozlához, ahol a ecült paamétee zámát elöl. 3

32 V.. Homogetá vzgálat Két egmától függetle mtá va. Mdét hele (íélete) ugaazt métü! Ha foltoo a változó, ao dzetzálá utá apu meetele A A A K-hel T-hel t t t Az elő hele N t, míg a máod hele M méét végeztü el. H 0 : a ét valózíűég változó azoo elozláú Statzta: ˆ : NM t N M t H 0 gaz volta mellett ˆ tatzta tat a elozlához, azaz ha N é M elég ag ao hazálhatu a póát. Függetleég vzgálat Emléeztető: ét valózíűég változó ao függetle, ha mde lehetége - páa gaz PA B PA PB,. 3

33 Tetü eg ola N íéletől álló íélet oozatot, amo eg megfgelé oá mde egede (mde ege íélete) változóát, (pl. egtoll zíe, utódo zámát), méü: B B B B M... A A A A M N Itt a B é A egütte gaoága; a B öze gaoága; A öze gaoága, é a magálo a oo ( : ) lletve az ozlopo ( : ) özege. H 0 : PA B PA PB, mde -e. S a) tzta függetleég vzgálat Eo, poto hpotézü va md az A, md a B változó elozlááól. Kédé, hog e ét változó függetle-e? H 0 : PA B PA PB, mde -e,,.., é,,..., Az alalmazadó póa: ˆ : NP NP A PB A PB Eo, ez a ˆ tatzta tat a elozlához. 33

34 a) függetleég vzgálat eclé eeté Eo c metü a változó elozlááól, íg a magáloal ecülü ezeet. ˆ : N N Eo, ez a ˆ tatzta tat a elozlához. Megegzé: a zaadág fo megt a ól met módó zámolható: azaz változó záma ecült függetle paamétee záma -. Megegzé: a - e íélet eledezée otgeca táláat eedméeze. Eo B B A A. N 34

35 35 VI. Ragoo alapuló elááo Két foltoo elozláú valózíűég változó, vag ét ola mta ahol ca agágzet oed ételmezhető! H 0 : ét valózíűég változó azoo elozláú! Fomála: P P. Vegü mtát a ét oaágól, é edezzü azoat agág zet! Mtá íg a övetező: X... : m m Y... : Rau öze a ét mtát agág zet oa: pl. m m m m Ha az egelőtleége mdehol zgoúa, ao az az X mta ozáma m ;...; 6 5; 4; ; 4 3 É az Y mta ozáma: 7;...; 3; ; 3 m m Ha egelőég áll fe a özö oede, ao az egmáal egelő mtá mdege a e megfelelő ozámo átlagát apa! Pl. ha, ao

36 Ha H 0 gaz, azaz a ét valózíűég változó azoo elozláú, ao mde lehetége oed azoo valózíűégű. Továá, a ét mta özevoható, é mde oed azoo valózíűégű, azaz P( a; e H0 ). m U. +m oede aott helől ell válazta daaot. Nlvá, gaz a hpotézü ao a özö oed ól evet. Amo a özö mtáa a változó zepaálta (pl. általáa X e mt Y) ao ez a hpotézü gaz volta mellett valózíűégű eemé, é eo em fogadu el a hpotézüet. Wlcoo-féle póá (t-póá megfelelőe). Wlcoo-féle ag-özeg póa (Ma-Whte - tezt): Feltétele: a mtá, foltoo függetle valózíűég változó, é mdét mtáa legalá 0 mtaelem va (,m>0). P (. H 0 : ) P Póatatztá, ha <m: u, m : ( ) m Az u valózíűég változó,,.,m étéeet vehet fel, é megmutatható, hog 36

37 Ahol M u u D u m N 0, M u az u váható étéét elöl: m M u, míg a zóáát a m m D u :. Megegzé: ha a mtá em függetlee, pl. azoo egedee métü étze (mt a páoított T-póa eeté), ao a Wlcoo-féle előele póa alalmazható. Kual-Wall póa (ANOVA megfelelőe) Háom vag tö mta özehaolítááa zolgál, lege a mtá (ezelée) záma. Jelöle 5 az -ed mta elemzámát, é N mtaelem zámát. Itt a leá modellt hazálu: azaz feltezü, hog öze X, Ahol X az -ed íélet -ed métlée, mde íélete azoo váható été (ez a ezeléetől függetle),, az -ed ezelé hatáa, az az -ed ezelé -ed métlée oá elövetett azoo elozláú, egmától függetle ha. Haolóa, mt az ANOVA eeté a hpotézü az, hog mde mta azoo oaágól zámaz H 0 :

38 Az öze megfgelét agág zet oa edezzü, é az X agát ee a oa -vel elölü. Mot =,,,-a evezetü a övetező elöléeet: Az -ed ezelé R agzámözege. A tatzta lege Hˆ N( N ) R 3N. Ez a tatzta - zaadág foú elozlához tat. Ha Ha H ˆ ao H 0 -t elvetü, H ˆ ao H 0 -t elfogadu. Két változó apcolatáa ellemzée Mot aa vagu íváca, hog X é Y valózíűég változó özött va-e apcolat. Nlvá eo eg íélete méü md a ét változót. Például, aa vagu íváca, hog aa hog egá övée eeté, a cíázá oed é a vágzá oed özött va-e apcolat. A íéelte oá változó páoat méü:. méé. méé 3. méé. - méé. méé X 3 - Y 3. - Emléeztető: ét valózíűég változó apcolatát a oelácó egütthatóval méü: 38

39 39 D Y X D Y M Y X M X M Y X R ) ( ) ( ), (. Amt elozláo eeté Y X R ), ( Hoga feezhető apcoltág ét em zámzeűíthető változó özött? Például, ugoamőítée o zempota va, m mot tetü ettőt: főtt ugoa állaga é íze. Eo eg zaétő, oa aá a ugoa fatáat állag é íz zet. Általáa öthető, hog a oede legee zgoúa!. méé. méé 3. méé. - méé. méé X 3 - Y 3. - Nlvá, általáa a ét oed em azoo, azaz a fatá a ét zempot zet ülööző eedmét ée el. Ha a változó foltooa, ao (, ) páoat méü, é agzámoal heletteítü a oét étéeet. Speama-féle agoelácó egüttható Spema aalóga alapá hazálta e fet épletet agoa é apta:.

40 Ném zámoláal adód, hog d, ahol d. 3 Mot a édé az, mo fogadu el, hog a mtá oelála-e? H 0 : 0, Ha az elemzám c, ao tálázatot hazálu! Ha az elemzám ago, mt a tálázata zeeplő, ao a póatatzta ˆ t, Belátható, ha elég ag, ao a tatztá elozláa a Studet t- elozlá (-) zaadág foal. Kedall-féle függetleég méőzám Legee az (X,Y) é (X,Y ) valózíűég változó páo függetlee é azoo elozláúa, azaz P( X, Y ) P( X, Y ) H (, ). Eo tetü a ( X X )( Y Y ) 0 : P. 40

41 Ola meég, amel zéu, ha az X é Y valózíűég változó függetlee: H (, ) F( ) G( ). A íélete oá változó páoat méü:. méé. méé 3. méé. - méé. méé X 3 - Y 3. - Mde, méé páa, <,< tetü a ha 0 X, Y, X Y :. ha 0 valózíűég változót, é vegü a K : X, Y, X Y feezét. Eo K ˆ. ( ) ( ) ( ) tozítatla eclée -a, K,, ao mamál, ha mde été +, é ao mmál, ha md -. K ao zéó öül été (azaz 0 ) ha az zozat páa a fele +, fele -. De mo ellőe c a Kedall féle méőzám? 4

42 Elő lépée au a mtát X zet övevő oede, mad X zet az - ed elem utá ago edzámú Y eleme zámát elöle C. Lege a tatztá 4 C ˆ. ( ) Ha >40, ao a fet tatzta elozláa özelít a omálhoz. Két valózíűég változó özehaolítááa alalma póá Itt az a édé, hog ét valózíűég változó megegez-e vag em. Kolmogoov-Szmov póa: Ca foltoo valózíűég változóa alalmazható. Tetü ét foltoo elozláú valózíűég változót, a övetező elozláfüggvéeel P( X ) G( ). P( Y ) F( ). M mot, azt vzgálu, hog eze megegeze-e? H 0 : G( ) F( ) Mta: végezü íéletet X-e é m íéletet Y-a! Íg +m függetle mtát apu. 4

43 Elő lépée épezzü az empu elozláfüggvéeet, ameleet elöle: G () é (), mad hatáozzu meg eze eltééée mamumát: F D, m ma G Fm ( ) Illetve az azolút mamumát D ma G F ( )., m m Ha az elle hpotézü eg oldal: Eo az H 0 : G( ) F( ), legalá eg -e, zítű tu tatomát a D, m D, m, H. Ha az ellehpotéz étoldal, azaz H 0 : G( ) F( ), legalá eg -e, Ao a tu tatomá, m, m, H D D. Amele ztée a D D P., m, m, H 0 43

44 Bomál póa Eg, ét meetelű - vag A vag A - íéletet métlü meg -ze. Jelöle A a A-eemé gaoágát. Háom hpotéz lehetége: Kétoldal : H : p p0, ellehpotéz: p p0 Egoldal H : p p0, ellehpotéz: p p0 H 3 : p p0, ellehpotéz: p p0 Mdháom eete az A-eemé gaoága a tatzta. H eeté étoldal ellehpotézü va, íg a zgfaca zteel zámolva a omál elozlá tálázatáól ézzü a p 0 é a -e megfelelő, p é, p zámoat, melee P P, 0, A,, p0 A,, p0 0 Ha c egé zempotu, ao -t válazu! Eo a tu tatomá: A,, p vag A, Q : p 0, 0 Egoldal hpotéze eeté haolóa áu el. Pl. H hpotéz eeté a tu tatomá a 44

45 Q A,, p : 0 ahol,, p - t a P 0 A, p, 0 egelőég hatáozza meg. Ha a gaoág elee a tu tatomáa a hpotézt elvetü, ha em e ele elfogadu. Azmptotu elozláo: Ha ag é p em túl c, 9 ao A ( A) D M A ( A) p0 A p p 0 0 Statzta elozláa tat a tadad omál ( N (0,) ) elozlához. Eo a Nomál elozlá tálázatáól meghatáozhatu a tu tatomát. Mo ó özelíté a omál elozlá? Ee a övetező tálázat ad válazt: Ha p< vag (-p)<, ao a omál elozláa a Poo-elozlá, paaméteel a ó özelítée. p 0,4 vag 0,6 38 0,3 vag 0,7 43 0, vag 0,8 56 0,5 vag 0,85 7 0, vag 0,9 00 0,05 vag 0,95 89 p a 45

46 46