Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Véletlen tömegjelenségek. Történeti áttekintés 1. Modellezés. Történeti áttekintés 3.
|
|
- Gusztáv Fekete
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás Ifo. BSC B-C szakosokak 4/5. félév Zemplé Adrás elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíőségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíőségek kszámítása Irodalom Jegyzet Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíőségszámítás jegyzet programozó szakos hallgatókak Matematka statsztka jegyzet programozó matematkus hallgatókak Taköyvek: Prékopa: Valószíőségelmélet Solt: Valószíőségszámítás Bolla - Kráml: Statsztka következtetések elmélete Pál: A valószíőségszámítás és a statsztka alapja I-II Példatárak Bogáré-Mogyoród-Prékopa-Réy-Szász: Valószíőségszámítás feladatgyőjteméy Arató Mklós, Prokaj Vlmos és Zemplé Adrás: Bevezetés a valószíőségszámításba és alkalmazásaba: példákkal, szmulácókkal (elektrokus jegyzet) Mór-Szedl-Zemplé: Matematka statsztka példatár Számokérés Gyakorlatok gyakorlat jegy: csoportokét zh-k alapjá Vzsga: írásbel, késıbb egyeztetedı dıpotba Lehet vzsgapotot szerez az elıadásoko s (írásba, vllámkérdések megválaszolásával) Elıadások ayaga: Cél Valószíőségszámítás és statsztka alapjaak smertetése Feladatmegoldás készség kalakítása (elsısorba gyakorlato) Alkalmazás lehetıségek bemutatása A valószíőségszámítás tárgya Közap kérdés lehete: mey a valószíősége, hogy holap es fog az esı? Helyzettıl függ: ha jö a hurrká, közel % ha atcklo domál, közel % Azoba maga a kérdés sem helyes, mert egyszer eseméyrıl va szó. Módosítás: Aak a valószíősége, hogy szeptember -é az ELTE dél épületéél legye mérhetı meységő csapadék, már értelmezhetı.
2 Véletle tömegjeleségek Ismételhetı/agy számba végbemeı eseméyek (például: X éves férf/ı mekkora valószíőséggel köt hóapo belül házasságot) Véletle: az smert feltételredszer em határozza meg egyértelmőe az eredméyt (pl. kockadobás). Nem s érdemes determsztkus modellel kísérletez, mert túl boyolult lee. Valószíőségszámítás helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyakorlat alkalmazása: statsztka következtetések levoása (pl.: ha egy érmével dobásból 55 fej jött k, akkor 99.9% valószíőséggel állítható, hogy az érme em szabályos). Modellezés Nem mdegy, hogy mlye valószíőség modellt haszáluk: úgy kell megválaszta, hogy mél potosabba leírja a vzsgáladó jeleséget. Tovább szempotok: Egyszerőség Iterpretálhatóság Törtéet áttektés. Elsı smert feladat 494-bıl: játék dı elıtt abbahagyása eseté hogya osztozzaak? Helyes megoldás több, mt évvel késıbb: Pascal (63 66), Fermat (6 665) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyakorlato) Cardao (54 körül) köyvet írt a kockajátékokhoz kapcsolódó valószíőségszámítás kérdésekrıl Törtéet áttektés. de Wtt, Halley (67): életjáradék-számítás valószíőség alapo Jacob Beroull (73): Ars Cojectad (agy számok törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíőség bevezetése paradoxook XIX.sz: Csebsev, Markov, Ljapuov Törtéet áttektés 3. Axomatzálás: Kolmogorov (933) Moder alkalmazások: Iformácóelmélet (Shao) Játékelmélet (Neuma) Matematka statsztka (Fsher) Sztochasztkus folyamatok Magyar tudósok: Jordá Károly (87-959) Réy Alfréd (9-97)
3 Alapfogalmak Eseméytér Kísérlet egy lehetséges kmeetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméyek összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméyek (A,B,C,...). Eseméy akkor következk be, ha az ıt alkotó elem eseméyek valamelyke bekövetkezk. Példák Kockadobás: Ω{,,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtuk, akkor A{,4,6}. Érmét kétszer feldobva: Ω{II,IF,FI,FF} A{II,IF} az az eseméy, hogy az elsı dobás írás. Érmét addg dobuk, míg fejet em kapuk. Ω{F,IF,IIF,...,ω } ahol ω III. (azaz mde dobás írás) Eseméyek Specáls eseméyek: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméyek összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaból) Mőveletek eseméyekkel: szokásos logka mőveletek halmazmőveletek Mőveletek eseméyekkel A B: vagy A vagy B bekövetkezk (az s lehet, hogy mdkettı) A B: A és B s bekövetkezk A eseméy elletettje: A Tulajdoságok A\ B A B A B A B (De Morga) A A Ω Példák Kockadobás: A{páros számot dobuk} B{legalább 3-ast dobuk} A B{4,6} A B{,3,4,5,6} A\B{} A{,3,5} 3
4 Valószíőség Szemléletes megfelelıje: relatív gyakorság. Ha egymástól függetleül, azoos körülméyek között végrehajtott kísérletbıl az adott A eseméy k-szor következett be, akkor a relatív gyakorság k/. Nagy -re a relatív gyakorság egy fx szám körül gadozk: ezt evezzük az A valószíőségéek. Szmulácók (appletek): Kocka-kísérlet A valószíőség Jele: P(A) A relatív gyakorság tulajdoságaból: Nemegatív: P( A) mde A-ra Egymást kzáró eseméyekre, azaz, ha A B : P ( A B) P( A) + P( B) (addtvtás) P(Ω) (Ω, A,P): valószíőség mezı Tulajdoságok. Addtvtás eseméyre: ha A, A,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor P ( A A... A) P( A) + P( A) P( A) Bzoyítás: dukcóval. P( ). Bzoyítás: Ω Ω felbotásból és az addtvtásból Tulajdoságok. P( A\ B) P( A) P( A B) Bzoyítás: A (A B) (A\B) felbotásból és az addtvtásból P( A B) P( A) + P( B) P( A B) Bzoyítás: A B B (A\B) felbotásból, az addtvtásból és az elızı tulajdoságból. Kolmogorov-féle valószíőség mezı (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíőség mezı, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaak σ-algebrája P : A [,] halmazfüggvéy (valószíőség), melyre. P (Ω). σ-addtvtás: ha A, A,..., párokét kzáró eseméyek, akkor P A A...) P( A) + P( A)... ( + A valószíőség tovább tulajdosága A (Kolmogorov-féle) valószíőség végese s addtív: ha A, A,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor P ( A A... A) P( A) + P( A) P( A) Bzoyítás. A + A + választással alkalmazzuk a σ-addtvtást. Tehát a korábba belátott tulajdoságok a Kolmogorov-féle valószíőség mezıre s érvéyesek. 4
5 Véges valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω }, A P (Ω). Jelölés: p P (ω ). p az addtvtásból. P( A) P( P(ω) P( Ω) ω : ω A ) p : ω A Azaz a p emegatív, összegő számok meghatározzák a valószíőséget. Klasszkus valószíőség mezı p / mde -re (azoos valószíőségőek az elem eseméyek). k Ekkor P ( A) ahol k az A elemszáma, pedg az összes esetszám. Másképpe: P(A)kedvezı esetek száma/ összes esetszám. Klasszkus valószíőség mezı A klasszkus valószíőség mezı alkalmazása elıtt mdg meg kell gyızıd a feltételekrıl! Példa: születésap Sokág a valószíőséget általába s így próbálták defál, de ez em fed le mde esetet. Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: potosa k selejtes va a mtába k k (k,,) M M P( A) k N N azaz a valószíőség kfejezhetı a pm/n selejtaráy segítségével: p k ( p) P( A) k k Mtavétel Vsszatevés élkül mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevés élkül A: potosa k selejtes va a mtába (k,,) Mtavétel M N M k k P ( A) N 5
6 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak. elıadás szeptember 9. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P (Ω). Jelölés: p P (ω ), valószíőségeloszlás: p, az összegük. A σ-addtvtás matt tetszıleges A eseméyre megy a véges esetre látott számítás: P( A) P( ω p : ω A ) : ω A Példa: Háyadkra dobjuk az elsı fejet egy szabályos érmével? p / (,, ) A valószíőség folytoossága Állítás. Ha A A (,, ) és A A... akkor az A A jelöléssel lm P( A ) P( A) Bzoyítás. A A ( A \ A ) ( A \ A3 )... dszjukt felbotás, tehát a P A \ A ) + P( A \ A )... ( 3 + sor koverges. A fet felbotást A -re alkalmazva: P( A ) P( A) + P( A \ A + ) + P( A + \ A + ) +... Eseméyek uójáak valószíősége P( A B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) Példa: Magyar kártyacsomagból kétszer húzuk vsszatevéssel. M a valószíősége, hogy húzuk prosat? A: elsı pros, B: másodk pros P(A)P(B)/4, P(A B)/6 Tehát P(A B)7/6 PA ( B C) PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) PA ( B) PA ( C) PB ( C) + PA ( B C) Szta (Pocaré) formula Képlet az általáos esetre: + P( A A... A ) ( S ahol S ( ) ) P( Aj A j j < j <... < j... A az téyezıs metszetek valószíőségeek összege. ( ) j ) Alkalmazások Ha az egyes eseméyek és metszetek s egyformá valószíőek, akkor + P( A A... A ) ( ) P( A A... A Átfogalmazás metszetekre: P( A A... A ) ) P( A A... A ) (Megállapodás: S.) ( ) S Példa: M a valószíősége, hogy adott (k) számú kockadobásból mde számot legalább egyszer megkaptuk? ( )
7 s s Megoldás A : az számot em dobtuk P( A A... A ) ( ) P( A A... A ) o o o k o o o o k 6 6 ( ) 6 o k o o o o o o Feltételes valószíőség. Az A eseméy valószíőségét keressük. Tudjuk, hogy B eseméy bekövetkezett. A relatív gyakorságokkal: csak azokat a kísérleteket ézzük, amelyekbe B bekövetkezett. Eze részsorozatba az A relatív gyakorsága: r A B / r B d d Feltételes valószíőség. Megfelelıje a valószíőségekre: P( A B) P( A B) P( B) az A eseméy B-re voatkozó feltételes valószíősége (feltétel: P(B)>). Példa: kockadobás. A{páros számot dobuk} B{3-ál agyobbat dobtuk} P(A B)/3. Példák, szmulácók Mtavétel Moty Hall játék: 3 ajtó közül kell a játékosak választaa. Egy mögött yereméy (autó) va, a másk kettı mögött kecske. Mutá választottuk, a mősorvezetı kyt egy másk (kecskés) ajtót. Ezek utá döthetük: ktartuk az eredet választásuk mellett, vagy a harmadk, még bezárt ajtót választjuk kább. M a jó stratéga? Szmulácó Teljes eseméyredszer Defícó. Eseméyek A, A,..., sorozata teljes eseméyredszer, ha egymást párokét kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdoság: P A ) + P( A ) +... ( Legtöbbször véges sok elembıl álló teljes eseméyredszereket vzsgáluk. Teljes valószíőség tétele. Legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A tetszıleges. Ekkor P A) P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B )... ( + Bzoyítás. A ( A B) ( A B )... dszjukt tagokra botás, tehát P( A) P( A B ) + P( A B) +... és P A B ) P( A B ) P( B ) adja a tételt. (
8 Példák Összetett modellek (pl. emtıl függı valószíőségek): a szívakság valószíősége a férfakál., a ıkél. (Tfh. ugyaay a férf, mt a ı.) M a valószíősége, hogy egy találomra válaszott ember szívak? A teljes eseméyredszer: {férf} {ı}. p./+./.55 Bayes tétele Legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A poztív valószíőségő. Ekkor P( A Bk ) P( Bk ) P( Bk A) P( A B ) P( B ) (Vsszakövetkeztetés az elsı lépés eredméyére.) Bzoyítás. A evezı éppe P (A) a teljes valószíőség tétele matt. A számláló pedg P (A B), defícó szert. Példa Ha egy találomra válaszott ember szívak, m a valószíősége, hogy férf? p.5/(.5+.5)/. Ha egy, az egészségesekre 5% eséllyel téves dagózst adó szőrıvzsgálatál betegek tőük, akkor a betegség téyleges valószíősége (p a betegség vszge, {Bbeteg, Eegészséges} a teljes eseméyredszer): P(B poz)p(poz B)P(B)/(P(poz B)P(B)+ P(poz E)P(E)p/(p+.5(-p)) vszg. poztív teszteredméyél Betegség valószíusége vszg az adott populácóba Eseméyek függetlesége Ha a B eseméy bekövetkezése em befolyásolja az A valószíőségét, azaz P(A B)P(A), akkor azt modjuk, hogy az A és B függetleek. Ez így em deáls defícó (em szmmetrkus, P (B)> kell hozzá), ezért Defícó. Az A és B eseméyek függetleek, ha P(A B)P(A)P(B). Példák Húzuk egy lapot egy magyarkártyacsomagból. A: pros B: ász. P (A)/4, P (B)/8, P (A B)/3, tehát függetleek. A függetleség agyo rtka azoos kísérletbıl meghatározott eseméyekél! Tpkus eset függetleségre: A az elsı, B a másodk kísérlet eredméye. Tulajdoságok Ha A és B dszjuktak, akkor csak trváls (P (A) vagy P (B)) esetbe függetleek. Ha A és B függetleek, akkor komplemeterek s függetleek. Ömaguktól csak a trváls eseméyek függetleek. A B eseté csak akkor függetleek, ha legalább az egyk trváls. 3
9 Általáosítás Két eseméyredszer függetle, ha az elsı tetszıleges eleme függetle a másodk tetszıleges elemétıl. eseméy függetle, ha P A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ) ( k k teljesül tetszıleges < < < k dexsorozatra és mde k számra. Megjegyzések Nem elég a fet szorzat-tulajdoságot k-re megkövetel. Ha csak ez teljesül: párokét függetleségrıl beszélük. függetle kísérlet eseté az egyes kísérletekhez tartozó eseméyek függetleek. A gyakorlatba ez a tpkus, fotos elıfordulása eek a függetleségek. Klasszkus valószíőség mezı eseté függetle kísérleteket végezve, a kedvezı és az összes eseméyek száma s összeszorzódk. Példa: szabályos kockával dobva: P(elsı dobás páros és a másodk hatos)3/36. Tovább általáosítás Végtele sok eseméyt függetleek evezük, ha tetszılegese kválasztva közülük véges sokat, függetle eseméyeket kapuk. Végtele sok függetle kísérlethez tartozó valószíőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -edk kísérlethez tartozk, akkor A,A,, A, függetle. Valószíőség változók. A legtöbbször em maga a kísérlet kmeetele (a realzálódott elem eseméy) haem egy számszerősíthetı eredméy az érdekes. Példa: par termelés mıségelleırzés: a kérdés az esetleges selejtesek száma, em pedg az, hogy potosa melyk elemeket s választottuk. Sok gyakorlat esetbe em s adódk természetese az Ω halmaz (pl. dıjárás megfgyelés). Valószíőség változók. Mtavétel példa (folyt). N termék, elemő mta. Ω elemszáma: N Selejtesek száma (X): és között szám. Matematkalag: X : Ω R függvéy Feltétel: legye értelme pl. aak a valószíőségérıl beszél, hogy Xa. Hasolóképpe más természetes feltételek s legye valószíősége. Formálsa: megköveteljük, hogy {ω: X(ω) B} A teljesüljö mde, az tervallumokból megszámlálhatóa sok halmazmővelettel elıállítható B-re. A gyakorlatba általába em jelet problémát. Példák Kockadobás: X a dobott szám. Ω{,,,6}, X (). Értékkészlete: {,,,6}. X az elsı olya dobás sorszáma, amkor 6 jö k. Ω{,,,6} {,,,6} {,,,6}... X értékkészlete: {,, } Ipar termelés: X az elsı selejt gyártásáak dıpotja. X értékkészlete: R +. X egy adott termék hossza. X értékkészlete: R + részhalmaza (em szükséges elızetese korlátoz). 4
10 Dszkrét valószíőség változók Defícó: az X dszkrét valószíőség változó, ha értékkészlete (x,, x ) legfeljebb megszámlálható. A valószíőség változó defícójából adódóa {ω:x(ω) x }{Xx } A azaz p :P (Xx ) értelmes. Ezek meg s határozzák X eloszlását. Véges vagy megszámlálható valószíőség mezı mde valószíőség változó dszkrét. Nem célszerő a természetszerőe folytoos értékkészlető X dszkretzálása (egyszerőbbek a folytoos modellek). Példák dszkrét valószíőség változókra X(ω)c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(Xc). X akkor, ha egy adott, p valószíőségő A eseméy bekövetkezk és külöbe (elevezés: az A eseméy dkátora). P (X)-p P (X)p Példák. A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása Mtavételél legye X a mtába levı selejtesek száma. Vsszatevéses esetbe (bomáls eloszlás): k k M M P( X k) ( k,..., ) k N N Vsszatevés élkül esetbe: M N M (hpergeometra eloszlás) k k P ( X k) ( k,..., ) N p,4,35,3,5,,5,, k Hp.geom (N,M) Bomáls (p.5) Tulajdoságok Ha X dszkrét valószíőség változó, f :R R tetszıleges függvéy, akkor f (X) s dszkrét valószíőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-be. Tegyük fel, hogy P (X8) P (X)/5. T.f.h. az deáls a mm. Ekkor a d X- eloszlása: P (d)/5, P (d) P (d) /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszkrét valószíőség változó, akkor az A {ω:x(ω) x } eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. 5
11 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 6 p A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása k Hp.geom (N,M) Bomáls (p.5) Tulajdoságok Ha X dszkrét valószíőség változó, f :R R tetszıleges függvéy, akkor f (X) s dszkrét valószíőség változó. Példa: X a gyártott termék hossza mm-be. Tegyük fel, hogy P (X8) P (X)/5. T.f.h. az deáls a mm. Ekkor a d X- eloszlása: P (d)/5, P (d) P (d) /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszkrét valószíőség változó, akkor az A {ω:x(ω) x } eseméyek teljes eseméyredszert alkotak. Példák, szmulácók Mtavétel Moty-Hall szmulácó Kocka-érme kísérlet X feltételes eloszlása A eseméyre voatkozóa: q :P (Xx A). Ez s eloszlás: P( X x A) ) q ( P X x A P( A) Valószíőség változók függetlesége X és Y dszkrét valószíőség változók függetleek, ha P ({X x } {Y y k })P (X x )P (Y y k ) teljesül mde,k értékre. (Azaz az X-hez és az Y-hoz tartozó teljes eseméyredszerek függetleek.) Megjegyzés: az elfajult eloszlású valószíőség változó mde valószíőség változótól függetle. Ömagától csak az elfajult eloszlású valószíőség változó függetle.
12 A matematka statsztka tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipar termelés Mezıgazdaság Szocológa (közvéleméykutatások) Természettudomáyok Meteorológa (pl. klímaváltozás) Geetka (chptechológa) Pézügy adatok stb. Törtéet Táblázatokat a bztosítók már többszáz éve haszálak Maga a tudomáy fatal tudomáy, alg éves a múltja Agla mezıgazdaság alkalmazások voltak az elsık Fejlıdése felgyorsult az utóbb évtzedekbe (számítógépek jóvoltából) Populácó Az a sokaság, amek a jellemzıre kvácsak vagyuk. Példák: Gyártmáyok Magyarország szavazópolgára A Ft/Euro árfolyam ap változása Legtöbbször cs mód teljes körő (%-os) adatfelvételre. Mta A populácóból kválasztott részhalmaz, amelyre voatkozóa az adatok redelkezésre állak. Mvel a mtavétel véletle, ezért a mtaelemek valószíőség változók. Fotos szempot a reprezetatvtás. Gyakorlatba legtöbbször feltesszük, hogy a mtaelemek függetleek. Függetleek-e? A ap középhımérséklet Budapeste az dé október -á és jövıre lyekor A sajtóhbák száma egy köyv két külöbözı oldalá Két háztartás áramfogyasztása ugyaazo a apo Két beteg véryomása Egy beteg véryomása két külöbözı vzsgálatál Adatok Mtavétel a populácóból: eredméye a (statsztka) mta A mtavétel módja s léyeges (legegyszerőbb eset: bármelyk elem ugyaakkora valószíőséggel kerül a mtába) A mtavétel eredméye: (statsztka) mta: x,x,,x számsorozat, az X,X,,X valószíőség változó-sorozat realzácója.
13 Matematka statsztka helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert a valószíőségszámítás eredméyere épül. Ugyaakkor a statsztka mdeap alkalmazása em mdg kellıe precíz (teljesülek-e a feltételek?) Ezért léyeges, hogy a valószíőségszámítás eredméyeket alkalmazva fogalmazzuk meg következtetéseket. (Párhuzamosa fogjuk taul a valószíőségszámítást.) Példák. Egy hóapba hurrkát fgyeltük meg. Mt godoluk, mey hurrká lesz jövıre ugyaebbe a hóapba?. Egy közvéleméykutatás sorá azt kaptuk, hogy emberbıl 4 választaá az adott pártot. Mások szert a párt 5%-ot fog kap. Elıfordulhat-e ez? Mekkora eséllyel? Statsztka elemzés lépése Tervezés (mt vzsgáluk, hogya győjtjük az adatokat) Adatgyőjtés Kódolás (ha szükséges) Elleırzés: leíró statsztkákkal Elemzés: matematka statsztka módszerevel Leíró statsztka Nem a véletle hatását vzsgálja, haem a kokrét mta megjeleítése, jellemzıek kszámítása a feladata. Adatok elredezhetık táblázatba (fotos: forrás feltütetése), lletve ábrázolhatók grafkusa. Adatok típusa (skálák) Nomáls: csak gyakorságot tuduk számol (pl. em, emzetség) Ordáls (redezett): pl. értékelés szavakkal (rossz-közepes-jó), sorred egyértelmő, kvatlsek számolhatók Itervallum (pl. hımérséklet: külöbség egyértelmő, de háyados em) Aráy (tt mde matematka mővelet értelmes), ez szerecsére a leggyakorbb Grafkus megjeleítés Ne legye túl Het forgalom, MFt, XXZZ áruház boyolult! 35 3 Példák: 5 oszlopdagram 5 X tegely: csoportok, 5 típusok S/R S/N T/R T/N Y tegely: Forgalom (Mo.Ft) gyakorságok, értékek S/N S/R T/N kördagram T/R 3
14 Potszámok grafkus ábrázolása Hsztogram Adatakat osztályokba soroljuk (mdegyket potosa egybe, pl. az -edk osztály: a x<a + ), a csoportok relatív gyakorsága megegyezek az osztály fölé rajzolt téglalap területével. Összterület: Példák Túl sok osztály (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Frequecy potszám Túl kevés osztály Példák (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Frequecy Potszámok grafkus ábrázolása Példák Jó osztályszám (ha az eloszlás alakjára vagyuk kvácsak) Ncs általáos érvéyő képlet az osztályok számára, általába /3 al lehet aráyos Frequecy 5 5 Potszámok grafkus ábrázolása potszám potszám Frequecy Frequecy Frequecy Hallgató adatok 6 7 Magasság 8 9 cm Cpıméret Utazás apota Frequecy Frequecy Frequecy Testsúly kg Taulás hetete óra Sörök hetete Fgyeljük meg az eloszlások alakját! Középértékek Mtaátlag: x x x: ha az egyes értékek (l) gyakorsága (f) adottak: fl fklk x: Medá: a sorbaredezett mta középsı eleme (ha páros sok eleme va: a két középsı átlaga). Kvartlsek: egyedelıpotok (/4-3/4, lletve 3/4-/4 aráyba osztják fel a redezett mtát) Az átlag érzékey a kugró értékekre, a medá vszot em. 3 4 perc üveg 4
15 boxplot Hallgató adatok V V V3 V4 V5 M. :6. M. : 45. M. :36. F:95 M. :. st Qu.:7. st Qu.: 64. st Qu.:4. N:7 st Qu.:. Meda :78. Meda : 7. Meda :43. Meda : 5. Mea :77. Mea : 7.8 Mea :4.8 Mea : rd Qu.:8. 3rd Qu.: 8.5 3rd Qu.:44. 3rd Qu.: 8. Max. :98. Max. :. Max. :48. Max. :4. V6 V7 M. :. M. :. st Qu.: 6. st Qu.:. Meda : 9.5 Meda :. Mea :4. Mea : rd Qu.:. 3rd Qu.: 5. Max. :36. Max. :34. Az egyes dobozok az alsó kvartlstól a felsı kvartlsg tartaak. Középvoal a medá. Gam A voalak a teljes terjedelmet felölelk, ha ez T5 Norm U5 az egyes ráyokba em agyobb a kvartlsek között külöbség.5- szereséél. Ha eze kívül s vaak potok, azokat külö-külö jeleít meg Példa adatbázs: Nap középhımérséklet között Jauár - középhõmérsékletek A hallgató adatok emekét botásba Magasság Testsúly -5 5 cm perc Férfak Cpıméret Férfak Utazás apota Nık Nık kg óra üveg Férfak Taulás hetete Férfak Sörök hetete Nık Nık Vajo melyk esetbe szgfkás az eltérés? Férfak Nık Férfak Nık Budapest Kompolt Becslések A mtából kszámolt értékek tekthetıek a vzsgált populácóra voatkozó közelítésekek. Ezek tulajdoságat (meyre potosak/megbízhatóak) a valószíőségszámítás eszközevel tudjuk vzsgál. Bomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle kísérletek azoos körülméyek között. P(A)p eseméy, végezzük (rögzített számú) függetle kísérletet. X: az A bekövetkezéséek gyakorsága (potosa háyszor jött k az A). X eloszlása bomáls (,p). X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Ezek az dkátorok függetleek s! 5
16 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 4. elıadás október 3. Bomáls eloszlás alkalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle kísérletek azoos körülméyek között. P(A)p eseméy, végezzük (rögzített számú) függetle kísérletet. X: az A bekövetkezéséek gyakorsága (potosa háyszor jött k az A). X eloszlása bomáls (,p). X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Ezek az dkátorok függetleek s! Geometra (Pascal) eloszlás Függetle kísérletek azoos körülméyek között. P (A)p eseméy, addg végzük kísérletet, míg A be em következk. X: az elsı skeres kísérlet sorszáma. p k P(Xk)p(-p) k- (k,, ) Valóba valószíőségeloszlás (p +p + ) geometra eloszlás Posso eloszlás λ k e λ P( X k) k! (k,,, ; λ> paraméter). Valóba eloszlás. Grafkusa Állítás. Ha a bomáls eloszlás paraméterere úgy, hogy p λ, akkor a határérték éppe a λ paraméterő Posso eloszlás. k k k Bzoyítás. k k λ λ λe p ( p) k k k k! λ A kovergeca a gyakorlatba lehetséges értékek vszg (bom.,p),348678,3874,937 vszg (bom. 5,p),3647,376,858 vszg (bom. 5,p,3674,36867,8438 vszg (Posso), A Posso, és a,8394 bomá,996 3,5,4,3, Alkalmazások Elsı példa: lórugás áldozataak száma a porosz hadseregbe. Posso folyamat: dıbe lejátszódó folyamatál adott [a,b) tervallumba esı eseméyek száma (X a,b ) éppe λ(b-a) paraméterő Posso eloszlású, ha a folyamat homogé: X a,a+t eloszlása csak t-tıl függ; utóhatás élkül: X a,b és X b,c függetleek ha a<b<c; emelfajuló: <P (X a,b )<.
17 x u Bzoyítás-vázlat Legye p t :P (X,t ). A homogetás és a függetleség matt p lletve p / t λt pt p e Aak a valószíősége, hogy egy t hosszúságú tervallumo potosa k eseméy következk be, közelíthetı a λt / k λt( k )/ ( e ) e k kfejezéssel, am a elızıek és λt ( e / ) λt matt éppe a λ(b-a) paraméterő Posso eloszlásál a P(Xk) valószíőség Gyakorlat alkalmazások Balesetek száma Vharok száma Redszer meghbásodásaak száma Tulajdoság: ha kétféle eseméy következhet be a folyamat sorá, akkor külö-külö az egyes eseméyek száma s Posso folyamatot alkot. Összefoglalás (dszkrét eloszlások) Bomáls eloszlás Rögzített számú kísérletél adott eseméy gyakorsága (pl. kockadobásból a hatosok száma) Nagy mtaelemszámra, kcs valószíőségél a Posso eloszlással közelíthetı Pascal eloszlás Addg kísérletezük, míg egy adott eseméy be em következk, az elsı skeres sorszáma (pl. az elsı hatost háyadk kockadobásál kapjuk meg) Hpergeometra eloszlás Vsszatevés élkül mtavételél adott típusú mtaelemek száma (pl. lottóhúzásál az 5 találat valószíősége) Dszkrét valószíőség változók várható értéke Szerecsejátékba a potos yereméy em látható elıre. De: az átlagos yereméyrıl szereték tud. (Kedvezı-e a játék? Far játék: az ár éppe a várható érték.) Példa: Dobókocka: ay a yereméyük, ameyt dobuk. Eek átlagos értéke /6(++ +6)/63.5 De ha em szabályos a kocka, például az egyes helyett s 6 va, akkor az átlagos yereméy /6(+ +5)+6/33/3. Defícó. A p P (Xx ) eloszlással megadott valószíőség változó várható értéke E(X): p x + p x +, ha a sor abszolút koverges. Példák Az elfajult eloszlás várható értéke: E(X)cP(Xc)c. A p valószíőségő A eseméy dkátoráak várható értéke: E(X)P(X) p Az x, x, x számoko egyeletes eloszlás (mdegyk valószíősége /) várható értéke a számok számta közepe. Az (,p) paraméterő bomáls eloszlás várható értéke: k k k k E( X ) k p p p p p k k k k Amerka rulett. Ha k számra teszük, a yereméyük 36/k. A várható ettó yereméy (36/k) (k/38)- - /38. ( ) ( ) p Példák. A hpergeometra eloszlás várható értéke M N M k k E X k ( ) k N k M N M N ( M ) k ( k ) N A Posso eloszlás várható értéke E( X ) λ λ λ k e k e k e kλ λ λλ k k! k ( k )! k ( k )! λ M N
18 Tulajdoságok Nem mde valószíőség változóak va véges várható értéke: P(X k )(/) k k,, eseté E(X)+++. Azaz aak a játékak az ára, ahol k Ft-ot kapuk, ha szabályos érmével k-adkra dobuk elıször fejet: végtele. Ez a Szt.Pétervár paradoxo; gyakorlatba persze em reáls így ez a játék, hsze cs az a bak, amely korlátla pézt tuda fzet. Ha E(X) véges, akkor az abszolút kovergeca matt egyértelmő s. Tulajdoságok. Ha X és E(X) véges, akkor E(X). Ha E(X) véges, akkor E(aX+b)aE(X)+b (a várható érték leárs). Ha X emegatív egész értékő, akkor E (X) P (X )+ P (X )+ Alkalmazás: a Pascal eloszlás várható értéke P(X k)(-p) k-, így E(X)+(-p)+(-p) + /p. Természetes eredméy: átlagosa a hatodk dobásra kapjuk az elsı hatost. Tulajdoság: a Pascal eloszlás örökfjú P ( X > k + l X > l) P( X > k) (k,l tetszıleges természetes számok). Összeg várható értéke X,Y tetszıleges, véges várható értékőek. Ekkor E(X+Y) E(X)+E(Y). Idukcóval: E(X + X + +X ) E(X )+ E(X )+ +E(X ). Alkalmazások A bomáls eloszlás várható értéke: X X + X + X ahol X az -edk kísérletél az A eseméy dkátora. Az elızı tulajdoság alapjá E(X) E(X + X + X ) E(X ) p. Ugyaígy a hpergeometrkus eloszlás várható értéke s p (pm/n a selejtaráy). Névjegy probléma ember bedobja a évjegyét egy kalapba, ezutá mdek húz egyet véletleszerőe. X: azo személyek száma, akk a saját évjegyüket húzzák. X : az -edk ember a saját évjegyét húzza. E(X )P(X ) /. X X + X + X és így a várható érték addtvtása alapjá E(X) E(X + X + X ) E(X ) /. Szmulácó 3
19 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 5. elıadás október. Statsztka alkalmazások A mta: valószíőség változó-sorozat realzácója. A belıle számolt statsztkák eloszlásáak vzsgálatához magukat a valószíőség változókat haszáljuk, em pedg a realzácóál kapott számértékeket. Statsztka: a mta függvéye (val.változó). Példák statsztkára: mmum, maxmum, mtaátlag terjedelem: X () - X () Becslések A mtából kszámolt értékek tekthetıek a vzsgált populácóra voatkozó közelítésekek. Ezek tulajdoságat (meyre potosak/megbízhatóak) a valószíőségszámítás eszközevel tudjuk vzsgál. Becslések tulajdosága Torzítatlaság. θ valós paramétert becslük a T(X) statsztkával. Ez torzítatla, ha, E T (X ) ( ) θ θ mde θ paraméterértékre. Példák torzítatla becslésekre: Valószíőség becslése relatív gyakorsággal. Várható érték becslése mtaátlaggal Posso eloszlás paraméterére: mtaátlag Valószíőség változók szóráségyzete Nem mdegy, hogy mekkora a vzsgált véletle meység gadozása. Jobb, ha a buszok potosa percekét jöek, mtha dıkét 3 jö egymás utá, és aztá 3 percet kell vár. Az gadozás számszerősítése: a várható értéktıl vett átlagos égyzetes eltérés, elevezése: szóráségyzet. Formálsa: D (X):E[(X-E(X)) ]. Kszámítása: D (X) E[X -XE(X)+E (X)] E(X )-E(X)E(X)+E (X) a várható érték leartása matt. Azaz D (X)E(X )-E (X). Tulajdoságok D (X), mert emegatív valószíőség változó várható értéke. D (ax+b)a D (X), mert D (ax+b) E[(aX+b-E(aX+b)) ] E[(aX+b-aE(X)-b) ] E[(aX-aE(X)) ]a E[(X-E(X)) ]. Abból, hogy E(X) véges, még em következk D (X) végessége, hsze ha P(Xk)c/k 3 (egyértelmőe megadható olya c, amre ez eloszlás lesz) akkor E(X) véges, de E(X )c(+/+...+/k+...), am végtele.
20 Példák Az elfajult eloszlás szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X)c -c. Megfordítás: ha D (X), akkor X valószíőséggel kostas. Bz.: (X-E(X)), várható értéke, tehát ı maga s valószíőséggel, azaz XE(X) valószíőséggel. A p valószíőségő A eseméy dkátoráak szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X) p - p p (-p). Azaz p.5 eseté a legagyobb a szóráségyzet. A kockadobás szóráségyzete: D (X) E(X )-E (X)( )/6-49/49/6-49/4 (8-47)/35/. E( X ) Példák. A Posso eloszlás szóráségyzete: k k e k λ k! Ebbıl λ λ k k λ k e kλ λ ( k )! λ k Azaz a Posso eloszlás várható értéke és szóráségyzete megegyezk. k ( k + ) λ λ e + λ λ + λ. ( k )! k D ( X ) λ + λ λ λ. λ e ( k )! Néháy szmulácó és a becslés A geometra/pascal eloszlás Amerka rulett A szóráségyzet torzítatla becslése: Ha smert a várható érték (m): ( x m) + ( x m) + ( x3 m) ( x m ˆ ο ) Ismeretle várható érték eseté (korrgált tapasztalat szóráségyzet): ( x x ) + ( x x) + ( x3 x) ( x x) ˆ ο Összeg szóráségyzete D (X+Y)E[(X+Y-E(X+Y)) ] E[(X-E(X)+Y-E(Y)) ]E[(X-E(X)) ]+E[(Y-E(Y)) ]+ +E[(X-E(X))(Y-E(Y))]D (X)+D (Y)+ +E[(X-E(X))(Y-E(Y))] Példák: XY eseté D (X+Y) D (X)4D (X) X-Y eseté D (X+Y) D () azaz em csak X és Y egydmezós eloszlásától, haem az együttes vselkedésüktıl, azaz az együttes eloszlásuktól s függ az összegük szóráségyzete. A függetle val. változók esete Állítás. ha X,Y függetleek, akkor E(XY)E(X)E(Y). Bzoyítás. E ( XY ) x y P( X x, Y y ) k k, m am a függetleség matt így írható: xk P( X xk ) ymp( Y ym) E( X ) E( Y ). k m Ebbıl: D (X+Y)D (X)+D (Y), ha X és Y függetleek. Idukcóval (párokét függetle val. változókra) : D ( X X És így a bomáls eloszlás szóráségyzete: p(-p). m ) D ( X ) k m A szórás Szóráségyzet mértékegysége az eredet X mértékegységéek a égyzete (azaz pl. a buszok követés dıközéél égyzetperc). Ez em tesz egyszerővé terpretácóját. Szórás: D(X) a szóráségyzet poztív égyzetgyöke. Ez már a megfelelı mértékegységő, D(aX) a D(X).
21 Becslések összehasolítása Torzítatla becslésekre: T hatásosabb becslése a θ paraméterek a T -él, ha D T X ) D T ( X ) teljesül mde θ paraméterértékre. Furcsa példa: azoosa -val becsüljük az smeretle paramétert. Ez ge jó, ha valóba θ. Ezért hatásos becsléseket csak a torzítatla becslések között va reméyük talál. T hatásos, ha mde más torzítatla becslésél hatásosabb. θ ( ) ( ) ( θ Általáos eset Átlagos égyzetes eltérés: E Példa: a mtaátlag hatásosabb becslés a várható értékre mde ( T ( X ) θ) alakú becslésél ( ) θ Példa: A [,θ] tervallumo egyeletes eloszlású mta esete. Itt (+) X () / a hatásos becslés. c c X Becslések kozsztecája T (X) a θ paraméter kozsztes becslése, ha Eθ( T (X )) θ (aszmptotkus torzítatlaság) és Dθ ( T ( X )) Egyre potosabb lesz a becslés a mtaelemszám övelésével! Példák: Relatív gyakorság a valószíőségre Mtaátlag a várható értékre Korrgált tapasztalat szóráségyzet (ez s torzítatla) ( X X) /( ) Az eloszlásfüggvéy Legye F X (z):p(x<z). Az F X (z): R R függvéy az X valószíőség változó eloszlásfüggvéye. Tulajdosága: F X (z) F X (z) mooto övı lm z F X (z), lm z - F X (z) F X (z) balról folytoos. Bzoyítás: Az elsı kettı trváls, az utolsó kettıhöz a valószíőség folytoossága kell: Ha A A... akkor lm P( A ) P( A) ahol A A Bzoyítás Az A (-,-) választással alkalmazva a folytoosságot a Q X valószíőségre adódk a 3. tulajdoság másodk fele. A folytoosságot a komplemeterekre alkalmazva kapjuk, hogy ha A A... és A akkor lm P( A ) P( A) amt A A (, ) választással alkalmazva éppe a 3. tulajdoság elsı felét kapjuk. Végül a 4. tulajdosághoz A (-,x-/) a jó választás, ekkor A (-,x). Példák Tetszıleges -4 tulajdoságú F-hez létezk X, amek F az eloszlásfügvéye (pl. ΩR, P([a,b))F(b)-F(a), X az dedtásfüggvéy A c potba elfajult eloszlás,haz c F( z) eloszlásfüggvéye,haz> c Az dkátorváltozó eloszlásfüggvéye F( z),haz p, ha, ha < z z> 3
22 x Folytoos eloszlások Defícó. X folytoos eloszlású, ha eloszlásfüggvéye folytoos. Példa: egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo:,haz a z a F( z),haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás, haz F( z) λz e, ha < z ahol λ> paraméter l l l u Valószíőségek kszámítása P(a X<b)F(b)-F(a) P(a<X<b)F(b)-F(a+) P(a X b)f(b+)-f(a) P(Xa) F(a+)-F(a), azaz ha F folytoos, mde egyes pot valószíőségő. Abszolút folytoos eloszlások Ha létezk f, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f ( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. f tulajdosága: f, f ( t) dt Ez elég s: mde lye f tegrálfüggvéye eloszlásfüggvéy. Példák Egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo, haz a f ( z), haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás f, hat t λe, ha < t ( t) λ Expoecáls eloszlás Expoecáls eloszlás A sőrőségfüggvéy λ és λ eseté exp(-x) *exp(-*x)
23 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 6. elıadás október 7. Becslések kozsztecája T (X) a θ paraméter kozsztes becslése, ha Eθ( T (X )) θ (aszmptotkus torzítatlaság) és Dθ ( T ( X )) Egyre potosabb lesz a becslés a mtaelemszám övelésével! Példák: Relatív gyakorság a valószíőségre Mtaátlag a várható értékre Korrgált tapasztalat szóráségyzet (ez s torzítatla) ( X X) /( ) Az eloszlásfüggvéy Legye F X (z):p(x<z). Az F X (z): R R függvéy az X valószíőség változó eloszlásfüggvéye. Tulajdosága: F X (z) F X (z) mooto övı lm z F X (z), lm z - F X (z) F X (z) balról folytoos. Bzoyítás: Az elsı kettı trváls, az utolsó kettıhöz a valószíőség folytoossága kell: Ha A A... akkor lm P( A ) P( A) ahol A A Bzoyítás Az A (-,-) választással alkalmazva a folytoosságot a Q X valószíőségre adódk a 3. tulajdoság másodk fele. A folytoosságot a komplemeterekre alkalmazva kapjuk, hogy ha A A... és A akkor lm P( A ) P( A) amt A A (, ) választással alkalmazva éppe a 3. tulajdoság elsı felét kapjuk. Végül a 4. tulajdosághoz A (-,x-/) a jó választás, ekkor A (-,x). Példák Tetszıleges -4 tulajdoságú F-hez létezk X, amek F az eloszlásfügvéye (pl. ΩR, P([a,b))F(b)-F(a), X az dedtásfüggvéy A c potba elfajult eloszlás,haz c F( z) eloszlásfüggvéye,haz> c Az dkátorváltozó eloszlásfüggvéye F( z),haz p, ha, ha < z z> Folytoos eloszlások Defícó. X folytoos eloszlású, ha eloszlásfüggvéye folytoos. Példa: egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo:,haz a z a F( z),haa< z b b a, haz> b
24 x Expoecáls eloszlás, haz F( z) λz e, ha < z ahol λ> paraméter l l l. 5 Valószíőségek kszámítása P(a X<b)F(b)-F(a) P(a<X<b)F(b)-F(a+) P(a X b)f(b+)-f(a) P(Xa) F(a+)-F(a), azaz ha F folytoos, mde egyes pot valószíőségő u Abszolút folytoos eloszlások Ha létezk f, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f ( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. f tulajdosága: f, f ( t) dt Ez elég s: mde lye f tegrálfüggvéye eloszlásfüggvéy. Példák Egyeletes eloszlás [a,b] tervallumo, haz a f ( z), haa< z b b a, haz> b Expoecáls eloszlás f, hat t λe, ha < t ( t) λ Expoecáls eloszlás Expoecáls eloszlás A sőrőségfüggvéy λ és λ eseté exp(-x) *exp(-*x) A sőrőségfüggvéy tulajdosága Létezéséhez szükséges, hogy F folytoos legye. Ha F abszolút folytoos, akkor F f, ahol F derválható. f em egyértelmő (pl. véges sok potba tetszıleges értéket adhatuk ek), ezért a legegyszerőbb, szakaszokét folytoos változatot választjuk. Szemléletes jeletése: b P( a< X < b) f ( t) dt f ( a)( b a) a azaz rövd tervallumokra valószíőség közelíthetı a sőrőségfüggvéy értékéek és az tervallum hosszáak a szorzatával.
25 Szemléletes bevezetés Ha úgy közelítjük az abszolút folytoos eloszlást (pl. az év egy adott apjá órakor Bp-e a hımérséklet), hogy egyre potosabb eszközökkel mérjük meg, akkor P(z<X<z+δ)/ δ f(z), azaz a valószíőségekbıl határátmeettel adódk a sőrőségfüggvéy. g(x) eloszlása Legye g: R R (mérhetı) függvéy. Ekkor g(x) s valószíőség változó. Abból, hogy X eloszlása abszolút folytoos, em következk még g(x) eloszlásáak folytoossága sem: pl. g(x)c eseté g(x) elfajult eloszlású. Példák F ax+b (z) F X ((z-b)/a), ha a> és F ax+b (z) -F X ((z-b)/a), ha a<. Ebbıl adódk, hogy ha X abszolút folytoos, és g(z)az+b, akkor g(x) sőrőségfüggvéye f ax+b (z)f X ((z-b)/a)/ a. Általáos eredméy: ha g szgorúa mooto, folytoosa derválható, g, akkor f fx ( g ( z)) z) g'( g ( z)) g( X )( Stadard ormáls eloszlás A stadard ormáls eloszlás sőrőségfüggvéye: f ( x) e π Valóba sőrőségfüggvéy, mert f> és f ( x) dx x y ( + ) f ( x) dx r r re dϕdr re dr e π a polárkoordátás helyettesítésbıl x f ( y) dy e π + π r dxdy A stadard ormáls sőrőségfüggvéy Abszolút folytoos eloszlású valószíőség változók várható értéke,6,45,3 A stadard ormáls eloszlás sûrûségfüggvéye Az elıbb látott határátmeet segítségével (egyre fomabb felosztással közelítjük a folytoos eloszlást) E(X)ΣzP(z<X<z+δ) Σzδf(z) zf(z)dz Ebbıl a defícó: az abszolút folytoos,5, -3,5 -,75,,75 3,5 eloszlású X várható értéke: ha az tegrál létezk. E( X ) yfx ( y) dy 3
26 Tulajdoságok, példák Mvel a dszkrét esetbıl határátmeettel kaptuk a fogalmat, a tulajdoságok (pl. E(aX+b)aE(X)+b, E(X+Y)E(X)+E(Y) stb.) most s érvéybe maradak. Ha X egyeletes eloszlású az [a,b]-be, akkor b b y y a+ b E( X ) dy b a ( b a) a a Tovább példák Ha X expoecáls eloszlású λ paraméterrel, akkor λy [ ye ] λ y λy E( X ) λye dy + e dy λ Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x E( X ) x e dx e π π Ha a Z változó Q Z eloszlása keverék-eloszlás (azaz pl. p valószíőséggel X-et, -p valószíőséggel Y-t fgyeljük meg), akkor E(Z)pE(X)+(-p)E(Y). A ormáls eloszlás Legye m tetszıleges, σ pedg poztív valós szám. Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor az Y σx+m valószíőség változó (m,σ) paraméterő ormáls eloszlású. Eek sőrőségfüggvéye az f ax+b (z)f X ((z-b)/a)/ a képletbıl ( x m) σ m, σ ( x) e f πσ Függvéy várható értéke és a szóráségyzet Legye X sőrőségfüggvéye f és Yg(X) (g Borel mérhetı). Ekkor E( Y) g( y) fx ( y) dy Bzoyítás az általáos esetre a dszkrét valószíőség változókra voatkozó állításból határátmeettel. A szóráségyzet: Mvel ez a várható értékbıl származtatott meység, most s érvéyes a D (X):E[(X-E(X)) ] defícó, lletve a D (X)E(X )-E (X) számítás módszer. A korábba látott tulajdoságok tt s érvéybe maradak. D ( X ) E( X Példák Ha X egyeletes eloszlású az [a,b] tervallumo, akkor b 3 b y y a + ab+ E( X ) dy b a 3( b a) 3 a E( X b a + ab+ b ) E ( X ) 3 ( a+ b) 4 Ha X expoecáls eloszlású, akkor [ ] λy λy λy ) y λe dy y e + ye dy λ D ( X ) E( X ) E ( X ) λ λ a a ab+ b λ ( a ) b A ormáls eloszlás szóráségyzete Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x x ( E X ) x e dx ( ) x x e dx e dx π π π ebbıl D (X). Tetszıleges (m, σ) paraméterő ormáls eloszlásra D (Y) σ. hsze D ( σx+m ) σ D (X). 4
27 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 7. elıadás ovember 7. Függvéy várható értéke és a szóráségyzet Legye X sőrőségfüggvéye f és Yg(X) (g Borel mérhetı). Ekkor E( Y) g( y) fx ( y) dy Bzoyítás az általáos esetre a dszkrét valószíőség változókra voatkozó állításból határátmeettel. A szóráségyzet: Mvel ez a várható értékbıl származtatott meység, most s érvéyes a D (X):E[(X-E(X)) ] defícó, lletve a D (X)E(X )-E (X) számítás módszer. A korábba látott tulajdoságok tt s érvéybe maradak. D ( X) E( X Példák Ha X egyeletes eloszlású az [a,b] tervallumo, akkor b 3 b y y a + ab+ E( X ) dy b a 3( b a) 3 a E( X b a + ab+ b ) E ( X) 3 ( a+ b) 4 Ha X expoecáls eloszlású, akkor [ ] λy λy λy ) y λe dy y e + ye dy D ( X) E( X ) E ( X) λ λ a a ab+ b λ λ ( a ) b E A ormáls eloszlás szóráségyzete Ha X stadard ormáls eloszlású, akkor x x x ( X ) x e dx ( ) x x e dx e dx π π π ebbıl D (X). Tetszıleges (m, σ) paraméterő ormáls eloszlásra D (Y) σ. hsze D ( σx+m ) σ D (X). Valószíőség vektorváltozók Emlékeztetı: X (X, X,..., X d ): Ω R d függvéy valószíőség vektorváltozó, ha {ω: X(ω) B} A mde B d-dmezós Borel halmazra. (Potosa akkor teljesül, ha X valószíőség változó mde d-re.) Q X (B):P {ω: X(ω) B} az X eloszlása R d Borelhalmaza. Eek megadásához elegedı a F X (z):p(x<z) valószíőségeket megad (z R d ), a < relácó koordátákét értedı, azaz X<z potosa akkor teljesül, ha X <z mde d -re. Ezek meghatározzák Q X (B) értékét tetszıleges B-re (em bzoyítjuk). Együttes eloszlásfüggvéy Az F X (z):p(x<z) R d R függvéy az X valószíőség vektorváltozó együttes eloszlásfüggvéye. Az egydmezós esettel aalóg tulajdosága: F X (z) F X (z) mde koordátájába mooto övı lm F X (z), ha z mde koordátájára z lm F X (z) ha z legalább egy koordátájára z - F X (z) mde koordátájába balról folytoos.
28 Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Téglatestek valószíősége: P(a X < b) mde a < b R d re. Ez kfejezhetı az X eloszlásfüggvéyével: d-re: P(a X < b)f(b,b )- F(b,a )- F(a,b )+ F(a,a ). Tetszıleges, a felsorolt összes tulajdosággal redelkezı F-hez létezk X d-dmezós vektorváltozó, amek F az eloszlásfüggvéye. A peremeloszlások meghatározása lm x F X,Y (x,y)f Y (y) lm y F X,Y (x,y)f X (x) Sőrőségfüggvéy Ha létezk f: R d R függvéy, hogy F elıáll f tegrálfüggvéyekét: F ( z) z f( t) dt akkor azt modjuk, hogy F abszolút folytoos, f sőrőségfüggvéyel. Az tegrál most d-dmezós, értelmezése: F( z) z z zd... f( t, t,..., td) dtd... dtdt A peremeloszlások sőrőségfüggvéye Legye d. Ha (X,Y) abszolút folytoos, f(x,y) együttes sőrőségfüggvéyel, akkor X sőrőségfüggvéye g x) f ( x, y dy Bzoyítás. z X ( X, Y ) f x, y) dydx F ( z, ) P( X < z) X, Y( X, Y Ugyaígy Y sőrőségfüggvéye Y( X, Y h y) f ( x, y) dx A függetleség esete Ha X koordátá függetleek, akkor defícó szert F X (z)p(x <z, X < z,..., X d <z d )F (z )F (z )...F d (z d ) (mde z R d re). Meg s fordítható: F szorzatelıállításából következk a függetleség. Derválva: a függetleség abszolút folytoos változókra ekvvales a sőrőségfüggvéy f X (z)f (z )f (z )...f d (z d ) alakú elıállításával s. Példa: az egységégyzete egyeletes eloszlás sőrőségfüggvéye (f(z) ha <z<) elıáll f (z )f (z ) alakba, ahol f (z ), ha <z < (,), ez éppe a [,] tervallumo egyeletes eloszlás. Kétdmezós ormáls eloszlás A kétdmezós ormáls eloszlás sőrőségfüggvéye ( x µ ) ρ ( y ν) f( x, y) exp + ( x µ )( y ν) πσς ρ ρ σ σς ς ahol az elsı koordáta (µ,σ), a másodk pedg (ν,ζ) paraméterő ormáls eloszlású. <ρ< pedg a kompoesek között korrelácó. Ez az a kvételes eset, amkor ρ elégséges s a függetleséghez. Becslés módszerek Eddg: ad hoc módszerek Általáos eljárás kellee Példa: valószíőség becslése, kísérletbıl. Jelölje k a skeresek számát (X,..., dkátormta) P k k X k p ( p) k Most p függvéyébe ézzük, k rögzített (elevezés: lkelhood függvéy).
29 y y A lkelhood függvéy maxmumhelye logkus választás a valószíőség becsléséek lk e l h o o d fü g g v é y, k 5, m a x. 5 k 5,m a x. 5 k 5,m a x x....3 lk e lh o o d f ü g g v é y, k, m a x. 5 k 5,m a x. 5 k,m a x x A módszer általáosa L( θ; x) fθ( x) fθ( x ) (a lkelhood függvéy) maxmumhelye lesz a θ paraméter maxmum lkelhood becslése. Ha a függvéy derválható, a loglkelhood függvéy l θ; x) lf ( x) lf ( ) maxmumhelye derválással l( θ; x) lfθ( x) θ θ megoldásakét megtalálható ( θ θ x lf θ θ( x ) Példák valószíőségre: relatív gyakorság Posso eloszlás paraméterére: x Expoecáls eloszlás paraméterére: / x Tovább példák ML becslésre Normáls eloszlás várható értékére: x A módszer többdmezós paraméter becslésére s haszálható: N(m,σ ) eseté ( x, ( x x) / ) a maxmum lkelhood becslés. Tulajdoságok Nem mdg torzítatla Ha T(x) a θ paraméter maxmum lkelhood becslése, akkor ψ(t(x)) a ψ(θ) paraméter maxmum lkelhood becslése. Nem mdg lehet derválással meghatároz: példa egyeletes eloszlás a [, θ] tervallumo. Aszmptotkus tulajdoságok Ha a lkelhood függvéy teljesít bzoyos regulartás feltételeket, akkor a maxmum lkelhood becslés létezk aszmptotkusa torzítatla aszmptotkusa hatásos aszmptotkusa ormáls eloszlású. 3
30 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 8. elıadás ovember 4 Kofdecatervallum Olya tervallum, mely legalább -α valószíőséggel tartalmazza a keresett paramétert: P θ ( T X ) < θ < T ( )) α ( X Példa: ormáls eloszlás várható értékére (m, smert szórás eseté) z σ σ α / z α / P m X, X + α ahol z -α/ a stadard ormáls eloszlás -α/ kvatlse Kofdecatervallum a ormáls eloszlás várható értékére Ha a szórás em smert, becsüljük Tulajdoság: ormáls eloszlású mta eseté a mtaátlag és a tapasztalat szórás függetle - szabadságfokú t (Studet) eloszlás: X ( ) ) X X /( eloszlása, ahol X,X,..., X - függetle azoos, stadard ormáls eloszlásúak X t Kofdecatervallum a ormáls eloszlás várható értékére/ ( X µ ) ( X X) ( X X) ( )/( ) eloszlása - szabadságfokú t-eloszlás Ebbıl kofdeca tervallum m-re ( X X) ( X X) )/( ) ( X X) ( X X) ) ; X + t, α /, α / Ha agy, az tervallum az smert szórású esetél látotthoz közelít. /( ) Kofdeca tervallum a valószíőségre Ebbe az esetbe az egyes mtaelemek dkátorok: σ p(-p), tehát p re a következı tervallumot kapjuk (-α megbízhatóságú) z pˆ α / ( pˆ) z α / pˆ( pˆ) X, X + k ahol X pˆ (a relatív gyakorság). Ez csak approxmatív, elég agy kell, hogy legye (pl. >5). Mtaelemszám választás Ahhoz, hogy a várható értékre felírt -α megbízhatóságú tervallum adott d számál rövdebb legye: 4( z α / ) σ d A valószíőség eseté: 4( z ˆ α / ) pˆ( p d ) Mvel p és becslése s smeretle a kutatás tervezésekor, ezért a következı felsı becslés haszálható z α / d
31 χ-égyzet eloszlás Legye X,..., X függetle azoos, stadard ormáls eloszlás s u ru s é g fü g g v é y X X eloszlása szabadságfokú χ eloszlás s z. f. 5 3 Kofdeca tervallum a ormáls elo. szóráségyzetére ( X ) X / σ eloszlása - szabadságfokú χ eloszlás. Ebbıl adódk kofdecatervallum σ -re: P σ ( X X ), h α /, ( X X ) α h α /, ahol h α/,- és h -α/,- az α/, lletve -α/ kvatlse az - szabadságfokú χ-égyzet eloszlásak A kék görbe az elmélet modell, ezt szereték becsül Sőrőségfügvéy becslése hsztogrammal Hstogram Hstogram Parze-Roseblatt módszer/ Tapasztalat eloszlásfüggvéy em derválható, de eze segíthetük, ha az egyes megfgyeléseket em potszerőek, haem az adott érték körül kcs szórású folytoos eloszlásúak képzeljük (ez az eloszlás a magfüggvéy). Eek a folytoos keverékeloszlásak a derváltja jól közelít a sőrőségfüggvéyt. Hátráya: az tervallumbeosztás szubjektív, em a potos értékek szerepelek bee Parze-Roseblatt módszer/ Tétel. Ha a mták egy f(x) sőrőségfüggvéyő eloszlásból származk, a k(y) magfüggvéy egyeletese korlátos és yk(y) határértéke a végtelebe, valamt h olya számsorozat, melyre lm h és lm h, akkor x X f ( x) k h h aszmptotkusa torzítatla, kozsztes becslés az f(x) mde folytoosság potjába. Kovaraca Defícó. Az X és Y kovaracája: cov(x,y):e[(x-e(x))(y-e(y))] Kszámítása: cov(x,y) E[XY-XE(Y)- YE(X)+E(X)E(Y)]E(XY)-E(X)E(Y) A korábba látott, függetle val.változókra voatkozó E(XY)E(X)E(Y) egyelıség értelmébe cov(x,y), ha X és Y függetleek. Megj.: Abból, hogy cov(x,y) em következk, hogy függetleek: legye X szmmetrkus a ra (pl. P(X)P(X-)P(X)/3) és YX. Ekkor cov(x,y)e(x 3 )-E(X)E(X )-, hsze E(X 3 )E(X). A kovaraca szmmetrkus: cov(x,y) cov(y,x) cov(x,x) D (X)
32 Összeg szóráségyzete Láttuk: D (X+Y)D (X)+D (Y), ha X és Y függetleek (elég, hogy cov(x,y)). Általáosa: D (X+Y)D (X)+D (Y)+cov(X,Y) tagú összegre: D ( X X ) D ( X ) + < j cov( X, X ) Spec.: D (X + X + +X ) D (X )+ D (X )+ + D (X ), ha a tagok párokét függetleek. j Korrelácós együttható A kovaraca skálafüggı: cov(ax,by)ab cov(x,y) A változók között leárs kapcsolat erısségét mérı meység a korrelácós együttható: cov( X, Y ) R ( X, Y ) D( X ) DY ( ) Tulajdosága: R(X,Y), ha X és Y függetleek (ez sem fordítható meg) Ez alapjá defícó szert legye R(X,Y), ha X vagy Y elfajult eloszlású. R(X,aX+b), ha a>, mert cov(x,ax+b)ad (X). A korrelácó tulajdosága R(X,Y) és R akkor és csak akkor, ha XaY+b valószíőséggel (a, b R). Ehhez: X E( X ) Y E( Y ) X, Y D( X ) DY ( ) a stadardzált változók. E(X*)E(Y*), D(X*)D(Y*). R(X,Y)E(X*Y*). E (X*±Y*) E(X*) ±E(X*Y*)+E(Y*) ± E(X*Y*), tehát R(X,Y). Ebbıl: R akkor és csak akkor, ha E (X*-Y*), azaz X*Y* valószíőséggel. Ekkor XaY+b, a>. R- akkor és csak akkor, ha E (X*+Y*), azaz X*-Y* valószíőséggel. Ekkor XaY+b, a<. Becslés A kovaraca becslése: tapasztalat kovaraca ( x x)( y y) A korrelácó becslése a mta alapjá: tapasztalat korrelácós együttható ( ( x x x)( y y) x) ( y y) Y közelítése X függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység (Y) potos értékét (pl. holap részvéyárfolyam, vízállás, dıjárás). Va vszot formácók hozzá kapcsolódó meységrıl (X, ma értékek). Feladat: olya f megtalálása, amelyre f (X) a lehetı legjobb közelítése Y-ak. Matematkalag: f a megoldása a me( Y f ( X )) szélsıérték-problémáak (legksebb égyzetes becslés). Ha az együttes eloszlás smert (em teljese reáls, de a megfgyelések alapjá közelíthetı), akkor megoldható a feladat. f Állítás. A A várható érték optmumtulajdosága me( Y a) feladat megoldása ae(y). Bzoyítás. E(Y-a) E(Y )-ae(y)+a a a szert derválva adódk, hogy valóba E(Y) a mmumhely. A mmum értéke D (Y). Ugyaígy: X tetszıleges értéke eseté E(Y Xx) adja a mmumot. 3
33 Feltételes eloszlások Legye d. Ha (X,Y) abszolút folytoos, f X,Y (x,y) együttes sőrőségfüggvéyel,akkor f X Y (x y): f X,Y (x,y)/f Y (y) az X változó Yy feltétel mellett sőrőségfüggvéye. Átredezve: f X,Y (x,y)f Y (y) f X Y (x y). Ezt y szert tegrálva az X sőrőségfüggvéye g X ( X Y x) f ( x y) f ( y) dy A feltételes várható érték poztív valószíőségő feltételre Formálsa: ez a feltételes eloszlás várható értéke xp( X x A) E( X A) Megjegyzés. Ha E(X) létezk, akkor E(X A) s. (a teljes valószíőség tételéek a sőrőségfüggvéyekre voatkozó esete). A teljes várható érték tétele Tegyük fel, hogy E(X) létezk, és legye B, B,..., poztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer. Ekkor E( X ) E( X B ) P( B ) + E( X B ) P( B ) +... Bzoyítás. E ( X B ) P( B ) xkp( X xk B ) P( B ) k Az abszolút kovergeca matt az összegzés sorredje felcserélhetı: x P( X x B ) P( B ) x P( X x ) E( X ) k k k k k k A feltételes várható érték közelítése Nadarajah módszerével rˆ ( x) x X Yk h x X k h A sőrőségfüggvéyre voatkozó regulartás feltételek eseté ez kozsztes becslése az E(Y X) regresszóak. Optmum a leárs függvéyek körébe mey [ ( ax + b)] a, b Egyszerőbbe megoldható Nem kell az együttes eloszlás A megoldás derválással: EY [ ( ax + b)] E( Y ) + a E( X ) + abe( X ) + + b ae( XY ) be( Y ) ae( X EY [ ( ax + b)] ae( X ) + be( X ) E( XY ) a EY [ ( ax + b)] b+ ae( X ) E( Y ) b ) E( XY) be( X ) ae( X b E( Y ) ae( X ) ) E( XY ) ( E( Y ) ae( X )) E( X ) E( XY ) E( X ) E( Y ) E( XY ) E( X ) E( Y ) a b E( Y ) E( X ) E( X ) E ( X ) E( X ) E ( X ) 4
Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom
RészletesebbenPéldák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél
Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás 1 előadás mat. BSc alk. mat. szakráyosokak 2016/2017 1. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://zemple.elte.hu/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
Részletesebben1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél
1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/2014 1. félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemplei/ 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
RészletesebbenIsmétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás f. BC/B-C szakskak. elıadás szeptember. Ismétlés: Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: ptsa k selejtes va a mtába k k k,,
RészletesebbenTeljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele
Teljes eseményrendszer Valószínőségszámítás 3. elıadás 2009.09.22. Defnícó. Események A 1, A 2,..., sorozata teljes eseményrendszer, ha egymást páronként kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdonság: P A ) +
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás 1 előadás al.mat BSc szaosoa 2015/2016 1. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye A félév célja Valószíűségszámítás
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél
Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
RészletesebbenMatematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)
Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
Részletesebben? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
RészletesebbenTapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás
Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.
Részletesebben? közgazdasági statisztika
... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB
RészletesebbenMegállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya
Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosokak 206/207 2. félév Zempléi Adrás. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Matematikai statisztika tárgya Törtéet Alapfogalmak
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenStatisztika október 27.
Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel
RészletesebbenA valószínőség folytonossága
Valószíőségszámítás és statszta elıadás f. BC/B-C szasa. elıadás szeptember 9. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P Ω. Jelölés: p P ω, valószíőségelszlás: p, az összegü. A σ-addtvtás matt
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenIsmérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)
Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)
RészletesebbenStatisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenÁringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév
Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenA MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenHipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenVáltozók függőségi viszonyainak vizsgálata
Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
RészletesebbenÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a
RészletesebbenAZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA
RészletesebbenValószín ségszámítás (jegyzet)
Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenInformációs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Iformácós redszerek elmélet alaja Iformácóelmélet A forrás kódolása csatora jelekké 6.4.5. Molár Bált Beczúr Adrás NMMMNNMNfffyyxxfNNNNxxMNN verzazazthatóvsszaálímdeveszteségcsaakkorfüggvéykódolásaakódsorozat:eredméyekódolássorozatváltozó:forás
RészletesebbenSTATISZTIKA II. kötet
Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy
RészletesebbenValószínűségszámítás. Ketskeméty László
Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
RészletesebbenIzsák János. ELTE TTK Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék. Kézirat
BIOSTATISZTIKAI ALAPISMERETEK Izsák Jáos ELTE TTK Állatredszerta és Ökológa Taszék Kézrat Budapest, 5 Tartalomjegyzék Előszó 4. Valószíűség vektorváltozók 6.. Bevezetés 6.. A többváltozós, specálsa kétváltozós
RészletesebbenSztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától
Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statsztka I. 4. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre KÖZÉPÉRTÉKEK A statsztka sor általáos jellemzésére szolgálak, a statsztka sokaságot egy számmal jellemzk. Számított középértékek: matematka számítás eredméyekét
RészletesebbenTartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
RészletesebbenSzita (Poincaré) formula. Megoldás. Alkalmazások. Teljes eseményrendszer. Példák, szimulációk
s s Valószíűségszámítás és statszta előadás f. BC/B-C szasa. előadás szeptember 7. zta Pcaré frmula Képlet az általás esetre: A A... A ahl Aj A j j j... j... A az téyezős metszete valószíűségee összege.
Részletesebben2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tdomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektm valamlye tlajdoságáról számszerő értéket kapk.
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenTáblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist.
1. Az X valószínőség változó 1 várható értékő és 9 szórásnégyzető. Y tıle független várható értékkel és 1 szórásnégyzettel. a) Menny X + Y várható értéke? 13 1 b) Menny X -Y szórásnégyzete? 13 1 összesen
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika előadás Info. BSC B-C szakosoknak. 1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Cél. Véletlen tömegjelenségek
Valószíűségszámítás és statszta előadás If. S - szasa 008/09. félév Zemplé drás zemple@caesar.elte.hu zemple.elte.hu. előadás: evezetés Irdalm, övetelméye félév céla Valószíűségszámítás tárgya Törtéet
Részletesebbens n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
Részletesebben2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenFüggvénygörbe alatti terület a határozott integrál
Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe
RészletesebbenAdatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék
Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző
RészletesebbenDr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai
Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenA Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
Részletesebben