1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

Átírás

1 1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/ félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíőségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíőségek kiszámítása Irodalom Hagyomáyos jegyzet: Baróti-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoródi: Valószíőségszámítás jegyzet programozó szakos hallgatókak Taköyvek: Prékopa: Valószíőségelmélet Solt: Valószíőségszámítás Pál: A valószíőségszámítás és a statisztika alapjai I-II Réyi: Valószíőségszámítás Dekiger: Valószíőségszámítás Példatár: Bogáré-Mogyoródi-Prékopa-Réyi-Szász: Valószíőségszámítási feladatgyőjteméy Arató-Prokaj-Zempléi: Valószíőségszámítás elektroikus jegyzet (késıbb: takoyvtar.hu, most Számokérés Gyakorlatok gyakorlati jegy: csoportokéti zh-k alapjá Vizsga: kombiált írásbeli és szóbeli, késıbb egyeztetedı idıpotba Elıadások ayaga: Cél Valószíőségszámítás alapjaiak megismerése Alapfogalmak készségszitő ismerete Feladatmegoldási készség kialakítása (elsısorba gyakorlato) Alkalmazási lehetıségek bemutatása Matematikai statisztika megalapozása Valószíőségszámítás helye a tudomáyok között Matematikai tudomáy, mert precíze megfogalmazott axiómáxra épül. Gyakorlati alkalmazásai: statisztikai következtetések levoása (pl.: ha egy érmével 1000 dobásból 550 fej jött ki, akkor 99.9% valószíőséggel állítható, hogy az érme em szabályos).

2 2 Törtéeti áttekités 1. Elsı ismert feladat 1494-bıl: játék idı elıtti abbahagyása eseté hogya osztozzaak? Helyes megoldás több, mit 100 évvel késıbbi: Pascal ( ), Fermat ( ) Köye adható szimulációs közelítés (precíz számítás a gyakorlato) Cardao (1540 körül) köyvet írt a kockajátékokhoz kapcsolódó valószíőségszámítási kérdésekrıl Törtéeti áttekités 2. de Mére lovag kérdése: Egy kockával égyszer dobva elıyös arra fogadi, hogy lesz hatos, de 2 kockával 24-szer dobva már em elıyös arra fogadi, hogy lesz (6,6) a dobások között. Megoldás: Pascal, Fermat (1654) Huyges (1657): Az elsı valószíőségszámítás köyv de Witt, Halley (1671): életjáradék-számítás valószíőségi alapo Törtéeti áttekités 3. Jacob Beroulli (1713): Ars Cojectadi (agy számok törvéye) XVIII-XIX. sz: Moivre, Bayes, Gauss, Poisso Buffo: geometriai valószíőség bevezetése paradoxook XIX.sz: Csebisev, Markov, Ljapuov Törtéeti áttekités 4. Axiomatizálás: Kolmogorov (1933) Moder alkalmazások: Iformációelmélet (Shao) Játékelmélet (Neuma) Matematikai statisztika (Fisher) Sztochasztikus folyamatok Magyar tudósok: Jordá Károly ( ) Réyi Alfréd ( ) Véletle kísérletek Olya kísérletekkel foglalkozuk, amelyek eredméyét em tudjuk elıre biztosa megmodai (kockadobás, lottóhúzás, meteorológiai, tızsdei eseméyek stb). Az összes lehetséges eredméy: eseméytér. Alapfogalmak Eseméytér Kísérlet egy lehetséges kimeetele: elemi eseméy, jelölése ω. Elemi eseméyek összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmazai: eseméyek (A,B,C,...). Eseméy akkor következik be, ha az ıt alkotó elemi eseméyek valamelyike bekövetkezik.

3 3 Példák Kockadobás: Ω={1,2,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtuk, akkor A={2,4,6}. Érmét kétszer feldobva: Ω={II,IF,FI,FF} A={II,IF} az az eseméy, hogy az elsı dobás írás. Érmét addig dobuk, míg fejet em kapuk. Ω={F,IF,IIF,...,ω } ahol ω =III. (azaz mide dobás írás) Eseméyek Eseméy: Ω részhalmaza Speciális eseméyek: Ω (biztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméyek összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaiból) Mőveletek eseméyekkel: szokásos logikai mőveletek = halmazmőveletek Mőveletek eseméyekkel A B: vagy A vagy B bekövetkezik (az is lehet, hogy midkettı) A B: A és B is bekövetkezik Tulajdoságok A\ B= A B A B= A B (De Morga) A eseméy elletettje:a A= A Ω= Példák Kockadobás: A={páros számot dobuk} B={legalább 3-ast dobuk} A B={4,6} A B={2,3,4,5,6} A\B={2} A={1,3,5} Valószíőség Szemléletes megfelelıje: relatív gyakoriság. Ha egymástól függetleül, azoos körülméyek között végrehajtott kísérletbıl az adott A eseméy k-szor következett be, akkor a relatív gyakoriság k/. Nagy -re a relatív gyakoriság egy fix szám körül igadozik: ezt evezzük az A valószíőségéek. Kocka-kísérlet

4 4 A valószíőség Jele: A relatív gyakoriság tulajdoságaiból: Nemegatív: 0 mide A-ra Egymást kizáró eseméyekre, azaz, ha A B= : P ( A (additivitás) Ω)=1 (Ω, A,P): valószíőségi mezı Tulajdoságok 1. Additivitás eseméyre: ha A 1, A 2,..., A párokét kizáró eseméyek, akkor P ( A1 A2... A) A1) A2) +... A) Bizoyítás: idukcióval. )=0. Bizoyítás: Ω= Ω felbotásból és az additivitásból Tulajdoságok 2. A\ A Bizoyítás: A= (A (A\ felbotásból és az additivitásból A A Bizoyítás: A B= B (A\ felbotásból, az additivitásból és az elızı tulajdoságból. Eseméytér Nem midig lehet mide A Ω eseméy (pl. agy megszámlálhatóál agyobb Ω eseté), ezért az A eseméy-redszer struktúrája: σ-algebra. 1. Ω A 2. A A A A (azaz A zárt a komplemeter-képzés mőveletére) 3. A zárt a megszámlálható uió mőveletére Példák σ-algebrára A ={,Ω} A ={,A, A, Ω} Ω mide részhalmazából álló halmazredszer (hatváyhalmaz, P (Ω)) Kolmogorov-féle valószíőségi mezı (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíőségi mezı, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaiak σ-algebrája P : A [0,1] halmazfüggvéy (valószíőség), melyre 1. P (Ω)=1 2. σ-additivitás: ha A 1, A 2,..., párokét kizáró eseméyek, akkor P A A...)... (

5 5 Véges valószíőségi mezı Ω={ω 1, ω 2,,ω }, A= P (Ω). Jelölés: p i =P (ω i ). pi = i= 1 i= 1 az additivitásból. ω) Ω) = 1 i i: ω Aωi) = p i i i: ωi A Azaz a p i emegatív, 1 összegő számok meghatározzák a valószíőséget. Klasszikus valószíőségi mezı 1 p i =1/ mide i-re (azoos valószíőségőek az elemi eseméyek). k Ekkor P ( = ahol k az A elemszáma, pedig az összes esetszám. Másképpe: =kedvezı esetek száma/ összes esetszám. Klasszikus valószíőségi mezı 2 A klasszikus valószíőségi mezı alkalmazása elıtt midig meg kell gyızıdi a feltételekrıl! Példa: születésap Sokáig a valószíőséget általába is így próbálták defiiáli, de ez em fed le mide esetet. Visszatevéses mitavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mita visszatevéssel A: potosa k selejtes va a mitába k k (k=0,,) M M = 1 k N N azaz a valószíőség kifejezhetı a p=m/n selejtaráy segítségével: p k ( p) = 1 k k Mitavétel Visszatevés élküli mitavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mita visszatevés élkül A: potosa k selejtes va a mitába (k=0,,) Mitavétel M N M k k P ( = N További lehetıségek Elektrook eergia-szitek közötti megoszlásai, Bose-Eistei statisztika: A lehetıségek száma ( részecske, k eergia-szit) + k 1 w(, k) =