Menet. A klasszikus interpretáció. Condorcet kockák, De Mére probléma Pétervári paradoxon

Átírás

1 1Valószínűség

2 Menet Történeti megjegyzések 2 A klasszikus interpretáció Nevezetes Példák Condorcet kockák, De Mére probléma Pétervári paradoxon

3 Történeti megjegyzések A valószínűségszámítás a hazárdjátékok leírásának igényéből fejlődött ki: 3 Az első véletlen-generátorok a történelem előtti időkig nyúlnak vissza astralagus (báránycsont) hazárdjáték az első emberi tevékenységek között? egyiptomi (hazárd)játék pont-táblázatok jól kiegyensúlyozottak kockák a Kairói Múzeumban Tróját ostromló görög katonák kockáztak Érdekes: Görögöknél nincs kísérlet a véletlen jelenséget leíró matematika megalkotására Miért? nincs jó magyarázat

4 Középkor: osztozkodási probléma: (XIV. sz.-ban először említve): Ketten (A, B) játszanak véletlen (azonos esélyű) játékot Megállapodás: Az viszi a tétet aki először nyer N játékot 4 Probléma: hogy osszák a tétet, ha azelőtt befejeződik a játék, mielőtt bármelyik játékos N játékot nyer? Pl. N = 6 A nyer 5 B nyer 3 játékot (Tartaglia, 1556)

5 5 Lehetséges osztozkodások: 5:3 arányban 2:1 arányban mert: A kettővel nyert többet mint B a 2 a szükséges nyerésszám (6) harmada a tét harmada tehát mindenképpen A-t illeti a maradékot pedig osszák egyenlően

6 Egy ilyen kérdés megoldása inkább jogi mint matematikai, s így bármilyen módon osztják is el a tétet, mindig lesz ok a pereskedésre 6 N. Tartaglia: Feneral Trattato de Numeri et Misure (Venice, 1556) Idézve: O. Ore: Pascal and the invention of probability theory American Mathematical Monthly

7 Az osztozkodási probléma 200 évig megoldatlan maradt 7 Végső megoldása: Pascal-Fermat (1654): Osszuk 7:1 arányban! Érvelés: Osztozkodás aránya Annak aránya, hogy milyen valószínűséggel nyeri A és B a tétet

8 Mi az, hogy valószínüség? Válasz klasszikus értelemben: 1. Ha az x 1, x 2,... x n elemi események várhatóan egyenlő eséllyel következnek be egy kísérletsorozatban, akkor 2. egy N kísérletből álló sorozatban bármelyik esemény N 1 n-szor következik be 8 Az a p(x i ) szám, amelynek segítségével N p(x i ) alakban írható, hogy x i esemény N kísérletből hányszor következik be: az x i elemi esemény valószínüsége: N p(x i ) = N 1 n így p(x i ) = 1 n

9 Az x 1, x 2,... x n elemi események egy A részhalmazát össszetett eseménynek hívjuk Egy A összetett esemény bekövetkezik, ha bármely A-ban szereplő elemi esemény bekövetkezik Az a szám, amelynek segítségével N p(a) alakban írható, hogy egy A összetett esemény N kísérletből hányszor következik be: az A esemény valószínüsége: 9 így szavakban: N p(a) = N A elemszáma n p(a) = #(A) n valószínűség = = x i A p(i) kedvező esetek száma összes esetek száma

10 Pl. Mi a valószínűsége, hogy két pénzt dobva két fejet kapunk? Klasszikus interpretáció alapján a válasz: kedvező esetek: (F, F ) összes esetek: 1. két fej két írás 3. egy fej, egy írás összesen: 3 eset p(f, F ) = 1 3

11 Laplace: p(f, F ) = mert: Az esetek összeszámlásánál olyan eseteket kell tekinteni, melyek között nincs okunk különbséget tenni Indifferencia Elve

12 Az osztozkodási probléma megoldása valószínűségszámítási megközelítésben: A játék biztosan eldől a következő 3 játékban 3 játéknak 2 3 = 8 lehetséges kimenetele van Az A szempontjából való kimenetelek (1=győzelem, 0= veszteség): 12 Játék Ebből az egyetlen ( ) eset kivételével (azaz ha B a következő mindhárom játékban győz) tehát 7 esetben A nyeri a tétet

13 A valószínűségszámítás születése: Pascal-Fermat levelezés 1654 Fordulópont a történetben mert Szisztematikusan közelít a valószínűségszámítási problémákhoz 13 Tartalmazza több lényeges valószínűségszámítási probéma szisztematikus megoldását (osztozkodási probéma, De Mére probléma) Új, magas matematikai szinten mozog (osztozkodási probéma általános megoldása)

14 A.N. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer Verlag, Berlin, 1933 A modern valószínűségszámításaxiomatikus megfogalmazása 14 valószínűségszámítás (X, S, p) Klasszikus valószínűségi mértéktér Kolmogorovi valószínűségi mező

15 X halmaz S Boole algebra X részhalmazaiból p: S [0, 1] additív mérték p( ) = 0 p(x) = 1 2. p(a ) = 1 p(a) 3. p( i A i ) = i p(a i) if A i A j = (i j)

16 Példa: Kockadobást leíró valószínűségi mértéktér: 16 X 6 = {1, 2,... 6} 6 elemű halmaz (elemi események) S = P(X 6 ) X 6 összes részhalmazainak Boole algebrája ((összetett) események) p({i}) = 1 6 (i = 1, 2,... 6) i valószínűsége p(a) = i A p(i) A valószínűsége

17 A klasszikus interpretációban Van értelme megkérdezni, (mert számítható, hogy) mi egy esemény valószínűsége 17 A számítás jellegzetesen a következőket igényli: 1. Megválaszolni a kérdést Mik az elemi események? 2. Egy A összetett esemény verbálisan adott leírásából azt megállapítani, hogy A-t hány elemi esemény valósítja meg

18 Példák a klasszikus értelmezésre: 18 Condorcet kockák Pétervári paradoxon De Mére probléma

19 Condorcet kockák Két játékos a következő játékot játsza: Asztalon 3 számozatlan kocka Lépés: valamelyik játékos megszámozza a kockákat az 1-18 számokkal mindegyik számot, és csak egyszer, de egyébként tetszőlegesen rajzoljuk a három kockára 2. Lépés: Aki nem számozott, megnézi a számozott kockákat és választ egyet 3. Lépés: Aki számozott, választ egyet a maradék két kockából 4. Lépés: A harmadik kockát félreteszik, és dobnak az általuk választott kockával 5. Lépés: Az nyer, aki nagyobbat dob

20 Kérdés: 20 Melyik játékosnak van előnye a játékban? Annak aki számoz, vagy annak aki először választ?

21 21 Intuíció: Annak a játékosnak van előnye a játékban aki először választ mert ki tudja választani a legjobb kockát (legrosszabb esetben döntetlent tud elérni, ha két egyformán jó kocka van)

22 Az Intuíció rossz: Annak a játékosnak van előnye, aki számoz, mert: Állítás: Létezik a kockáknak olyan számozása, melyre a következő igaz: 22 Annak valószínűsége, hogy az I. kockával nagyobbat dobok mint a II. kockával > 1 2 a II. kockával nagyobbat dobok mint a III. kockával > 1 2 a III. kockával nagyobbat dobok mint az I. kockával > 1 2 A Condorcet kockák körbeverik egymást

23 Ez a számozás ilyen: 23 I. kocka II. kocka III. kocka

24 A valószínűség klasszikus értelmezésében a Tétel ellenőrzéséhez 24 meg kell adni minden valószínűségi kijelentéshez az elemi események halmazát azt kell megmutatni, hogy az elemi események között pl. az I. kockával nagyobbat dobok mint a II. kockával események többségben vannak

25 25 Elemi események: X = {(a I, a II )} a I az I.-es kockán a II a II.-es kockán lévő szám X-nek 36 eleme van I. kocka a I II. kocka a II

26 p(a I > a II ) = #{(a I,a II ):a I >a II } a I a II a II (< a I ) #{(a I, a II ) : a I > a II } ,16,15,4,3,2 6 pár ,3,2 3 pár ,3,2 3 pár 8 4 4,3,2 3 pár 7 3 4,3,2 3 pár 5 2 4,3,2 3 pár összesen 21 pár p(a I > a II ) = #{(a I,a II ):a I >a II } 36 = 21 36

27 Condorcet paradoxon 27 Egy tanulság: Véletlen mennyiségeket nem lehet jól rendezni annak alapján, hogy az egyik 1/2-nél nagyobb valószínűséggel nagyobb mint a másik

28 A várható érték fogalma Játsszuk azt, hogy 2 Ft-ot kapok, ha Fejet (F), és 3 Ft-ot, ha írás (I) a dobás 28 A nyereményemet egy f függvény írja le: f(f ) = 2 (1) f(i) = 3 (2)

29 Ha N dobásból N F a fej és N I az írások száma (N = N F + N I ), akkor N dobás után a nyereségem 29 Nyereség : N F f(f ) + N I f(i) = ( NF f(f ) + N I f(i) ) N = N ( NF N f(f ) + N ) I N f(i) N = ( ) p(f )f(f ) + p(i)f(i) N } {{ } <f> < f > az f várható értéke, az átlagos nyereség: N < f > adja meg, hogy N kísérletben mennyit nyerek

30 Játsszuk a következő játékot: 30 Bank engedi Játékost pénzzel dobni amíg Játékos az első fejet dobja. Ha ez az n-edik dobásban következik be, akkor 2 n forintot fizet a Bank a Játékosnak Kérdés: Hány forintért érdemes a Banknak ezt a játékot árulni úgy, hogy ne veszítsen az üzleten? Nyilván: annyiért, hogy a bank vesztesége (amit kifizet Játékosnak) kisebb legyen mint a nyeresége amit beszed Játékostól

31 Számítsuk ki a Bank veszteségét! A Bank vesztesége N játékban N < f > ahol f a veszteséget leíró függvény: f(i) = 2 i 31 Mivel p(i) = 1 2 (mert az i-edik dobásig a dobásoknak 2 i számú i kimenetele van, ebből csak 1 az az eset, amikor az i-edikben következik be először a fej), ezért: < f > = p(1)f(1) + p(2)f(2) +... p(i)f(i) +... = i 2i +... = = Nincs az a pénz amiért a Banknak megéri ezt a játékot árulni! Pétervári paradoxon

32 Módosított játék: Érdemes-e (és ha igen mennyiért) árulni a Banknak a játákot, ha a Játékosnak kifizetett összeg felső határa 1 000, 000 (egy millió) Ft? A veszteség várható értéke az új játékban (mivel 2 20 > 1000, 000) 32 < f > = p(1)f(1) + p(2)f(2) +... p(19)f(19) + ( ) = Ft-ért árulva a Bank már nyereséggel számolhat!

33 De Mére probéma: A = Egy kockával 4-szer dobva legalább 1-szer 6-ost dobunk p(a) =? X = {(i, j, k, l) : i, j, k, l = 1, 2,... 6} #(X) = A = Egyszer sem tobunk 6-ost négy dobásból A bekövetkezhet 5 4 féleképpen p( A) = #( A) 6 4 = p(a) = 1 p( A) =

34 B = Két kockával 24-szer dobva legalább 1-szer dupla 6-ost dobunk p(b) =? Ugyanannyi mint 1 kockával 4-szer dobva legalább 1-szer 6-os mert 34 az 1 kockával 1-szer 6-os dobás valószínűségge 1 6 a két kockával 1-szer dobva dupla 6-ost dobunk valószínűségge 1 36 = de a 24 dobás épp annyiszor több, amennyiszer kevesebb a dupla hatos dobásának valószínűségge és ez kompenzálja a kisebb valószínűséget.

35 De Mére problémája: Hogyan lehetséges, hogy a nyilvánvalónak tűnő okoskodás nem igaz? Mert nem igaz: X = {(i m, j m ) : i m, j m = 1, 2,... 6, m = 1, 2,... 24} #(X) = B = Egyszer sem tobunk (6,6)-ost 24 dobásból B bekövetkezhet féleképpen p( B) = #(B) 3524 = p(b) = 1 p( B) = p(b) < 1 2 < p(a)

36 De Mére prob léma pontosabban: 36 Hogyan lehetséges, hogy nem a 24 az a minimálisan szükséges (kritikus) dobásszám, ami ahhoz kell, hogy legalább akkora valószínűséggel dobjunk legalább egy dupla hatost, mint amekkora valószínűséggel legalább 1 hatost dobunk 1 kockával 4-szer dobva Pascal-Fermat: úgy lehetséges, hogy ez az eredény adódik, ha a valószínűségeket pontosan kiszámoljuk a klasszikus értelmezés szerint

37 Relatív gyakorisági interpretáció R. von Mises Először a sokaság azután a valószínűség! Minden (X, S, p)-hez tartozik egy Részletesebben (de informálisan): 37 E = {x i : i IN, x i X} (megszámlálhatóan végtelen) esemény sokaság úgy, hogy p(a) = R E (A) = az A relatív gyakorisága E-ben (minden A S esetén) Az E sokaság véletlen: kiválasztva E-nek egy E rész sokaságát, A relatív gyakorisága E -ben ugyanaz mint E-ben: p(a) = R E (A) = R E (A)

38 A relatív gyakorisági interpretációban tisztázandó, részletezendő: Hogyan értelmezendő A relatív gyakorisága egy végtelen sokaságban? Könnyű 38 Hogyan választjuk ki az E részsokaságokat? Nehezebb Létezik-e minden (X, S, p)-hez egy őt interpretáló E sokaság? Legnehezebb minél több E részsokaságot választhatunk, annál nehezebb

39 Részsokaság választás: hely szerinti szelekcióval: (Place selection) 39 Gondolat: Az, hogy az x j E elemet beválasztjuk-e E -be, függjön attól (és csak attól), hogy mik az x j elemet megelőző elemek E-ben, azaz létezzen minden j-re egy f j függvény úgy, hogy x j E akkor és csak akkor ha f j (x 1, x 2,... x j 1 ) = 1 x j E akkor és csak akkor ha f j (x 1, x 2,... x j 1 ) = 0

40 Tehát: E-nek egy hely szerinti szelekcióval meghatározott E rész sokasága megszámlálhatóan végtelen sok függvénnyel van adva: egy szelekció = {f j : 1 X 2 X... j 1 X {0, 1} : j = 2, 3...} 40 Ha egy E véletlen sokságból ki tudunk választani egy E rész sokaságot hely szerinti szelekcióval úgy, hogy p(a) = R E (A) R E (A) akkor azt mondjuk: Létezik nyerő stratégia

41 Az a követelés, hogy p(a) = R E (A) = R E (A) azt jelenti, hogy az a stratégia amivel E -t kiválasztottuk nem nyerő 41 Lehetséges, hogy p(a) = R E (A) = R E (A) de p(a) = R E (A) R E (A) Intuició: a valószínűségszámítás azokban az esetekben alkalmazható, amikor az elképzelhető stratégiák egyike sem nyerő

42 Definíció: Legyen Γ hely szerinti szelekciók (stratégiák) egy halmaza. Az E sokaság egy Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja az (X, S, p)-nek, ha p(a) = R E (A) minden A S esetén 42 p(a) = R E (A) minden olyan E sokaságra, mely E-ből a Γ-ba tartozó valamely hely szerinti szelekcióval (stratégiával) származik Világos: minél nagyobb Γ (minél több stratégiára vonatkozóan követeljük a a sikertelenséget, azaz minél naggyobb a véletlensége a sokaságnak), annál kevésbé nyilvánvaló, hogy létezik Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja egy (X, S, p)-nek Probléma: Létezik-e minden (X, S, p)-nek elég erős véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja?

43 Tétel [Abraham Wald, 1935] : 43 Legyen X véges vagy megszámlálhatóan végtelen. Ha Γ legfeljebb megszámlálhatóan végtelen, akkor létezik (X, S, p)-nek kontinuum sok Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja bármely p: S [0, 1] esetén. Wald tétele érvényes bizonyos nem megszámlálhatóan végtelen X esetén is (pl. X = IR, S = Jordan mérhető valós számhalmazok), de nem érvényes minden megszámlálhatóan végtelen X esetén (pl. pl. X = IR, S = Lebesgue mérhető valós számhalmazok )

44 A szubjektív interpretáció 44 p(a) Egy konkrét személy arra vonatkozó várakozás ának mértéke (hitének foka) hogy az A esemény bekövetkezik (degree of belief) Megjegyzések p(a) változ(hat)(ik) személyről személyre p(a) változ(hat)(ik) időben A egyedi, ismételhetetlen esemény is lehet (ellentétben a relatív gyakorisági interpretációval)

45 Probléma: Egy személy várakozásának mértéke miért viselkedne úgy mint a valószínűség? 45 Válasz: Általában nem is viselkedik úgy, csak akkor, ha a személy racionális Ramsey-deFinetti tétel

46 Hogyan lehet egyáltalán megállapítani, hogy mik egy személy várakozásának mértékei? 46 Gondolat: Fogadási szituációban: p(a) = fogadási hányados = q(a) amellyel hajlandó a Fogadó fogadást kötni az alaábbi feltételek szerint: Fogadó megadja a q(a) fogadási hányadost Bookmaker megadja a tétet S(A) Fogadó fizet Bookmékernek q(a)s(a) összeget azért a jogért, hogy S(A) összeget kapjon, ha A bekövetkezik (és nem kap semmit, ha A következik be)

47 Fontos: Először Fogadó adja meg q(a)-t, utána Bookmaker a tétet (Fogadó nem tudja a tétnek még az előjelét sem amikor q(a)-t megadja) 47 Ha fordítva lenne (először S(A) azutan q(a)), akkor Fogadó tudná úgy adni q(a)-t, hogy számára előnyös legyen a fogadás Pl. Ha Fogadó tudja/sejti, hogy nagyon valószínű A bekövetkezése, akkor ha Bookmaker pozitív tétet ad A-ra, akkor q(a)-t nagyon kicsinek fogja választani ha Bookmaker negatív tétet ad, akkor nagyra (> 1) választja q(a)-t

48 48 Definició: A Fogadó q(a 1 ), q(a 2 ),... q(a n )... fogadási hányadosai koherensek ha Bookmeker nem tud úgy téteket választani, hogy mindenképpen Bookmeker nyer, bármelyik esemény is következik be A 1, A 2,... A n... közül A koherencia egy racionalitási kritérium: megsértése irracionális

49 Koherencia ekvivalens megfogalmazása: 49 Fogadó Dutch Bookolható, ha olyanok a fogadási hányadosai, hogy Bookmaker tud úgy téteket választani, hogy mindenképpen Bookmaker nyer, bármelyik esemény is következik be Dutch Bookolhatóság = irracionalitás

50 Tétel Ramsey-deFinetti tétel 50 Ha egy Fogadó q(a 1 ), q(a 2 ),... q(a n )... fogadási hányadosai egy S Boole algebrát alkotó A 1, A 2,... A n... eseményekre vonatkozóan koherensek akkor (és csak akkor) létezik egy p valószínűségi mérték S-en úgy, hogy p(a i ) = q(a i ) minden i-re Röviden: Fogadási hányadosok akkor és csak akkor koherensek, ha valószínűségek A Ramsey-deFinetti tétel szokásos értelmezése: Megalapozza a valószínűség szubjektív interpretációját

51 Melyik interpretáció a jó? Valószínűleg olyan kérdés mint: Az euklideszi geometria egyenesének mi az interpretációja? Fényjel? Mozgásában nem zavart test pályája? Nádpálca? 51 Az euklideszi geometria mint matematikai elmélet több, különböző jelenségkör modellezésére alkalmas hasonlóan a (X, S, p) valószínűségszámításhoz