A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

Átírás

1 A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori megevezései: redrelv, csedrelv, zsarutétel, zsadárszaály, özrefogási elv, szedvicstétel. Ez a tétel sorozatora és függvéyere is egyarát létezi, és ezt feladatmegoldási módszerét is alalmazzu, amire a matematiai aalízise agy szüségü va. El ismertetjü tehát a sorozatora voatozó fogótételt és övetezméyeit:. Tétel: Legyee ( a),( ),( c) valós számsorozato úgy, hogy az ( a),( c) sorozato overgese, és lim a lim c x, x R és a c. Aor a ( ) sorozat is overges, és lim x is igaz. Bizoyítás: Az -os overgecia ritériumot haszálva, 0 eseté léteze olya a és c üszöidexe, hogy ármely max( a, c) eseté a x és c x. Eor, a háromszög egyeltlesége alapjá x c c x c c x ( c ) ( c a) c x a x ami éppe azt jeleti, hogy a ( ) sorozat is overges, és lim x is igaz.. Követezméy (majorálás a -re): Legyee ( a),( ) valós számsorozato úgy, hogya és lim a és. Aor lim is igaz.. Követezméy (miorálás a 0-ra): Legyee ( ),( c) valós számsorozato úgy, hogy 0 cés lim c 0. Aor a lim 0 is igaz. Az eli tétele a redrelv és a töi elevezései a övetez hasolatól aptá a evüet: Ha redr özrefog egy tolvajt, és ha a redr a redrsre megy világos, hogy a tolvaja is velü együtt ugya oda ell meie. El ifolyólag a továiaa mi is a redrelv elevezést fogju haszáli. A továiaa számos reprezetatív, soszí és változatos feladato eresztül szemlélteti fogju a redrelv és övetezméyeie az alalmazási módszereit. si. feladat: Számítsu i az L lim határértéet! si Megoldás: Az erltetett téyez módszerét alalmazva felírható, hogy si si L lim lim si, de a 0-ra való miorálás alapjá 0 lim, si si si si si és 0 lim, de mivel lim 0, ezért lim 0 és lim 0, így L.. feladat: Számítsu i az L lim határértéet. Megoldás: Nyilvávalóa, továá legye a, tehát 0 a, és a, ( ) ( ) ezért a ioméplet alapjá ( a) a a a, tehát a.

2 Tehát 0, és mivel lim 0, ezért a redrelv alapjá L=.!. feladat: Számítsu i az L határértéet. Megoldás: Írju fel redre a övetezet:! 4 4 és mivel lim, ezért a -re való majorálás alapjá L= +.! 4. feladat: Számítsu i az L lim határértéet, ha >0. ( )( )( ) Megoldás: Felírható, hogy!!! 0, de mivel >0, ezért ( )( )( ) (!) (!) lim 0, így a 0-ra való miorálás alapjá L= 0. (!) 5. feladat: Számítsu i az Llim határértéet, ha >0. Megoldás: Redre felírható, hogy: ( ). És mivel lim lim( ), ezért a redrelv alapjá L=.. feladat: Számítsu i az L lim határértéet. Megoldás: Redre felírható, hogy: , és mivel lim 7, ezért a redrelv alapjá L= feladat: Számítsu i az L lim jeleti. határértéet, ha Megoldás: Mide valós x szám eseté xx x, ahol jeleti. Tehát x x x, ezért x x az x valós szám törtrészét x az x valós szám egész részét. De ( ), ha, ezért, tehát x, és mivel lim, ezért L. x x x 8. feladat: Számítsu i az L lim egész részét jeleti, és x 0. Megoldás: Az egészrészre érvéyes a övetez dupla egyeltleség:, ha x az x valós szám a a a, ezért ( ) ( ) y x x x x x x x x

3 ( ) ( ) illetve y x x x x x x x z. x z ( ) () x x Tehát a fogótétel alapjá, mivel lim lim lim x, ezért L. 9. feladat: Ha e!!!, számítsu i az L lim e határértéet. Megoldás: A Newto iomiális éplete alapjá felírható, hogy: S. De,!!! ezért S e(). Másfell ha az összege rögzítjü a -t és megrizzü csa az els (+) i tagot felírható, hogy S S e. Tehát i! lim S e e N * i redrelv értelmée lim e e., ezért lim e e (). De az () alapjá elim S e, így a 0. feladat: Igazolju, hogy a h általáos tagú ú.. harmoius sorozat diverges! Megoldás: Belátható, hogy mide pozitív egész számra létezi olya = ()< szám amelyre h x. Teljes iducióval elátju, hogy x (*). Valóa, ha feltételezzü, hogy (*) igaz, aor x x. Most a (*) alapjá apju, hogy lim x, a végtelere való majorálás alapjá övetezi, hogy lim h.. feladat: Igazolju, hogy ha x, aor Llim x. Megoldás: A feladatra egy teljese elemi megoldás a övetez: a matematiai idució módszerével (hossza számolásoal) igazolható a övetez dupla egyeltleség:. Az egyeltleséglác alapjá x, ezért a redrelv alapjá valóa Llim x. si si si. feladat: Ha, számítsu i az L lim határértéet. Megoldás: A háromszög egyeltlesége alapjá felírható, hogy: si si si és mivel lim 0, ezért a 0-ra miorálás alapjá L= 0.

4 . feladat: Ha Megoldás: Felírható, hogy:, számítsu i az L lim határértéet. a, és c. Ezért, mivel lim a lim c, a redrelv értelmée Llim. 4. feladat: Ha, számítsu i az L lim határértéet. Megoldás: Felírható, hogy a c. Ezért mivel lim a lim c e, a redrelv alapjá Llim e. 5. feladat: Ha si si si, számítsu i az L lim határértéet. Megoldás: Belátható, hogy 0,, és ee az itervalluma a sius függvéy szigorúa övev, ezért: si si si si a és si si si si c. Ezért mivel si x lim, így lim a lim c, a redrelv alapjá Llim. x 0 x. feladat: Ha, számítsu i az L lim határértéet. ( ) ( )() Megoldás: Felírható, hogy: a ( ) ( )() és c, ezért mivel lim a lim c, a redrelv értelmée L. 7. feladat: Ha, számítsu i az L lim határértéet. és 4

5 Megoldás: Észrevehet, hogy a. feladat értelmée 0 határozatla esettel állu szeme. Mivel ( ) Ezért felírható, hogy ( ) a ( ) c. Ezért, mivel lim a lim c, a redrelv értelmée Llim feladat: Ha, számítsu i az L lim határértéet. 4 Megoldás: felírható, hogy: ( )( ) ( )( 5) ( )( ) ( )(). Mivel ( ) ( 4) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) mide,, eseté, ezért c (). ( ) (), valamit az, hogy ( ) ( 5) ( ) ( ) Másfell, és mivel ( )( 4) ( 4)( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) () alapjá, mivel 9. feladat: Legye mide,, eseté, ezért ( ) ( ) a (). Az () és lim a lim c, ezért a redrelv értelmée Llim. a olya pozitív valós számsorozat, amelyre lim a a. Továá, aa a ha A, G a a a, H lim A limg lim H. a a a igazolju, hogy Megoldás: Ismert a számtai, mértai és harmoius özepe özötti egyeltleséglác: A G H, tehát lim A limg lim H. Továá a Stolz-Cesaro lemma alapjá a lim A lim a és lim H ( ) ( ) lim a, ezért a redrelv alapjá lim G a. a Az eddigiee megoldott feladato eseté, a redrelve szerepl a és megválasztása em oozott ülöös ehézséget. Ellee számos olya feladat va, ahol eze megválasztása egyáltalá em magától értet, vagyis izoyos elismeretere va szüségü. Egy lehetség az a és és megállapítására adott függvéye taulmáyozásáól adódi, és ee ereté elül iemelt helyet foglal a Lagrage-tétel alalmazása. Nézzü éháy ilye alalmazást. 5

6 0. feladat: Ha Megoldás: Teitsü az, számítsu i az L lim határértéet. f :, R, f( x) l x függvéyt. A Lagrage tétele értelmée létezi olya c, szám amelyre l( ) l, ahoa felírható, c hogy l( ) l. Ha most összegezzü ezeet az egyeltleségeet mide,,, azt apju, hogy l( ) l (*) vagyis l l, tehát l l, ahoa a redrelv értelmée Llim l adódi. Megjegyzése: ) Az 4 azoosság alapjá, lim l is igaz. 4,, eseté végeztü vola el, aor a jooldali ) Ha az eli (*) összegzést csa egyeltleségl azt aptu vola, hogy h l( ) ahoa lim h adóda, ami egy mási izoyítás a 0. feladatra.. feladat: Ha e, számítsu i az L lim határértéet.. e e Megoldás: Ismert a övetez dupla egyeltleség: e (v.ö. []) x A izoyítása végett teitsü a övetez függvéyeet: f( x) xxl l( x), x és g xlxx xl, f, g: (0,) R. Számolásoal ellerizhet, hogy f (x) x és g (x) szigorúa öveve a (0,) itervallumo, ahoa f '( x) f '(0) 0, f( x) f(0) 0, g'( x) g'(0) 0, g( x) g(0) 0 és az x választással a dupla egyeltleség adódi. Ee alapjá apju, hogy: e e e lim lim e lim, és a redrelv alapjá L.. feladat: Vezessü le az R sugarú ör erületszámolási épletét. Megoldás: A ör erületét szaályos -soszöge erületével özelítjü meg (ezt evezi a ör soszögesítésée) tölettel, és hiáyal. A melléelt ára jelölései alapjá AB R si, így a öréírt -oldalú szaályos soszög erülete K AB R si. Továá BC R tg, így a eírt -oldalú szaályos soszög erülete BC R tg. Ha K

7 a ör erülete, aor K K, és mivel lim lim K R, ezért K R. Megjegyzés: Teljese hasolóa izoyítható a ör területszámolási éplete is, T R. f : 0, R, f( x) x függvéy, az x=0, x= és az Ox. feladat: Határozzu meg az tegely által özrezárt sírész területét. Megoldás: Osszu fel a [0,] itervallumot egyel részre. Ezáltal özelítsü meg a szóaforgó területet téglalapoal tölettel, és hiáyal, a melléelt árá szerit: A agy téglalapo összterülete T ( )(), továá ( )() a is téglalapo összterülete t. A szóaforgó T területre igaz, hogy t T T és mivel limt limt, ezért T. Megjegyzés: Az itegrálszámolásról taulta alapjá tulajdoéppe T x dx feladat: Igazolju, hogy lim Megoldás: Vezessü e a övetez jelölést: 5 () () 4 () ( ) Im si m x dx 0 = (Wallis-éplet). A parciális itegrálási módszerrel reurzív módo, a matematiai idució módszerével levezethet a övetez eredméye: 5 () () I = illetve I 4 () ( ) = Továá mivel mide x [0, ] és N * eseté igaz, hogy si x si x si x amit a [0, ] itervallumo itegrálva, és az elie szerit ehelyettesítve az I, értéeit, rövid számoláso utá apju, hogy: I, I 7

8 5 () () < < 4 () ( ) ahoa a redrelvvel éppe a izoyítadó határérté adódi. Végezetül megjegyezzü, hogy ha egy x valós száma a tizedes formáa való reprezetálása x A, aa a, aor az x' A, aa a tizedes tört hiáyal, az " x A, aa a 0 tizedes tört pedig tölettel özelíti meg az x számot, vagyis x' x x", ami tulajdoéppe szité a fogótételhez apcsolódi. A módszer jo megértése és elmélyítése céljáól, a Tisztelt Olvasóa a övetez válogatott feladatoat javasolju megoldásra: Javasolt feladato A redrelv segítségével számítsu i a övetez határértéeet: si7cos ) lim! L ) L lim ) L lim ( )( )( ) ( )! 4) L lim 5) L lim ( )! ) L lim ( ) () () ) Llim 7) L lim cos cos cos coscos cos 8) Llim 9) L lim!!! 0) L lim ) L lim ( ) ( ) ( )! ) Llim p p p p p ) Llim p 4) lim 5) Llim p p p p p p ) L lim! 7) L lim ( )( )( ) x x x 8) L lim 9) Llim 4 0 C C C 0) Llim C 0 ) L lim C C e ) L lim ) Llim e 4) L lim( ) l * 5) L lim pa i ahol pi, air ) Llim i 7) Llim 8) Llim ( ) ( ) 8

9 9) L lim arc si arc si arc si * 0) L lim ) Llim, pn p Szairodalom: [] Pólya György, Szeg Gáor: Feladato és tétele az aalízis örél, I. Taöyviadó, 980, 54. oldal [] Dragos Popescu, George Ooroceau: Exaecitii si proleme de algera comiatorica si teoria umerelor, EDP, Bucuresti, 979 [] Becze Mihály: Az e számmal apcsolatos egyeltlesége, MaTa /989 [4] Lia Arama, Teodor Moroza: Proleme de calcul diferetial si itegral, Editura Tehica, Bucuresti 978 [5] A. Cordueau és társai: Culegere de proleme de matematica petru admitere i ivatamatul superior, Editura Juimea, 97 9