Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika"

Átírás

1 Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole ( ) fogalmazott meg matematkalag, azon a feltételezésen alapszk, hogy valamely elem egy halmaznak vagy eleme, vagy sem. A kettő között átmenet nem létezk. A vlág, amelyben élünk, ettől kssé eltér. Vegyük például az alább, mndenk által smert összetett mondatot: Ha végre tt a nyár és meleg az dő, az ember strandra jár. Amennyben ez a mondat a kétértékű logka szernt lenne érvényes, akkor a strandnak nem kellene a nyár napforduló előtt knytna, mert senk nem látogatná őket. Esős nyár napon szntén nem kellene knytna, mert ugye nem szép az dő. A nyár van és szép az dő csak akkor gaz, ha mndkettő egydejűleg teljesül. Pedg a valóság ettől merőben eltér. A strandok május elsejére knytnak, mert ugyan még nncs nyár, de ha szép dő van, akkor özönlk a tömeg a strandra. Mért s van ez? Mert a már nyár van és a még nncs nyár között átmenetek vannak. Mert a szép dő van nem mndenknek jelent pontosan ugyanazt. Apuka felhős dőben s szívesen megssza sörét a medence mellett, de anyuka csak akkor vsz szívesen a gyerekeket strandra május elején, ha egyetlen felhőt sem lát az égen. Szóval a strandnak érdemes knytn akkor s, ha már eléggé nyár van, és elég esély van jó dőre. Vegyük például a nyár van állítást. Magyarországon pl. júlus 15.-én ez teljes mértékben teljesül és december 24.-én egyáltalán nem. De vajon mennyre van nyár május 29.-én? Vagy szeptember 19.-én? Az lyen mennységek leírására hozta létre 1965-ben Lotf A. Zadeh a fuzzy logkát. A fuzzy logka szernt egy elem egy halmaznak nulla és egy között mértékg eleme lehet. Az x elem A halmazhoz való tartozásának mértékét a µ A (x) fuzzy tagságfüggvény adja meg, melynek értéke a [0,1] ntervallum valamely eleme. Például, ha egy útkönyv azt írja, hogy Lengyelországban 5 zloty egy lter benzn, az nem azt jelent, hogy mndg és mndenhol pontosan anny. A lengyel benzn az 5 zlotys benznek halmazához bzonyos fuzzy tagságfüggvény által leírt mértékg tartozk hozzá. Ez a tagságfüggvény sokféle lehet. Az 1. ábra smertet néhány példát a leggyakrabban használt fuzzy tagságfüggvény alakokból. 1. ábra. Néhány gyakran alkalmazott fuzzy tagságfüggvény alak. Mndegyk a körülbelül öt halmazt írja le

2 Most pedg hasonlítsuk össze a hagyományos kétértékű és a fuzzy logka alapfogalmat. Mndkét esetre tekntsük az A és B halmazokat, melyek az X alaphalmaz részhalmaza. A hagyományos logka szernt az A halmazt leírhatjuk a A : X {0,1 } karaktersztkus függvénnyel, mely defnícó szernt bármely x X esetén A( x) 1 x A és A( x) 0 x A. A fuzzy logkában a karaktersztkus függvény értéktartománya változk meg: A : X [0,1], és így bármely x X esetén az x elem A halmazhoz tartozásának mértékét a karaktersztkus függvény A (x ) értéke fogja meghatározn, melyet az x elem A halmazhoz vszonyított fuzzy tagságfüggvényének nevezünk. A halmazokon végzett egyszerűbb műveletek összehasonlítására tekntsük meg az alább táblázatokat: Művelet Hagyományos kétértékű logka szernt Üres halmaz ( ) 0 Komplemens halmaz ( x) 1 ( x) x X Egyesítés A B( x) max{ A( x), B( x)} x Metszet ( x) mn{ ( x), ( x)} ( x) ( x) A A X A B A B A B x X Művelet Fuzzy logka szernt Üres halmaz ( ) 0 Komplemens halmaz ( x) 1 ( x) x X Egyesítés Általánosan: A B( x) max{ A( x), B( x)} x X Mamdan szernt: A B( x) max{ A( x), B( x)} x X Larsen szernt: A B ( x) 1 (1 A( x)) (1 B ( x)) x Metszet Általánosan: A B( x) mn{ A( x), B( x)} x X Mamdan szernt: A B( x) mn{ A( x), B( x)} x X Larsen szernt: ( x) ( x) ( x) x A A X A B A B X A fent táblázatokban megfgyelhető, hogy vannak olyan műveletek, amelyeket nem csak egyféleképpen lehet értelmezn. A Mamdan és Larsen-féle fuzzy logka csak kettő a sok értelmezés közül. Ezek között különbséget látn fogjuk a továbbakan. A fuzzy partícó A fuzzy logka tagságfüggvénye lehetővé teszk, hogy különböző elemeket különböző mértékg soroljunk bele valamely halmazba. Ezt a lehetőséget felsmertve, Ruspn [3] ben bevezette a valószínűség fuzzy partícó fogalmát, mely szernt ha az X alaphalmaz elemet A 1, A 2 A c halmazokba kívánjuk besoroln, akkor a 1( x) 2 ( x) c ( x) 1 lesz. Így azt s mondhatjuk, hogy valamely A osztályhoz tartozást leíró (x) fuzzy tagságfüggvény megmutatja, hogy az x elem mlyen valószínűséggel tartozk az osztályhoz. A fuzzy Ruspn-féle valószínűség fuzzy partícót alkalmazásaképpen, 1981-ben Bezdek [4] bevezette az ún. fuzzy c-means (FCM) klaszterező (csoportosító) algortmust, melynek segítségével az X alaphalmaz vektoráls (vagy sajátos esetben skalárs) adatat optmálsan csoportosíthatjuk egymáshoz hasonló egyedek halmazára. Az FCM algortmus előre eldönt, A

3 hogy hány osztályba fogja soroln az adatokat, ezt jelöljük c-vel. Mnden osztálynak lesz egy reprezentatív eleme vagy prototípusa ( v, 1c ), amely az adott osztályba tartozó bemenet adatoknak egy súlyozott átlaga lesz. Az x k ( k 1n ) bemenet adat v osztály prototípushoz való hasonlóságát vagy különbségét jellemezhetjük a kettő között távolsággal, melyet vektoráls környezetben normaként értelmezünk: d x v. Eukldesz távolságot használva ezt így s írhatjuk: d x v x v ) ( x v ). k k k T ( k k Az FCM algortmus egy optmáls valószínűséget számít k, egy négyzetes célfüggvény mnmumának meghatározásával. A célfüggvény a következő: k J FCM c n 1 k 1 m k c n x v d (1) k 2 1 k 1 m k 2 k ahol az egyszerűség kedvéért használtuk a k ( x k ) jelölést az x k adat -dk osztályhoz való tartozás fuzzy tagságfüggvényéhez, továbbá m jelöl a Bezdek-féle fuzzy ktevőt, melynek értékével ( m 1) az algortmus fuzzy jellegét lehet szabályozn. A célfüggvény mnmumának megkeresése során azt várjuk, hogy a v osztály prototípusok olyan helyre álljanak be, ahol sok bemenet adathoz közel lehetnek, továbbá olyan fuzzy partícót kapjunk, melyben egy osztály prototípushoz közel eső adatok nagy valószínűséggel tartozzanak az adott osztályhoz, míg a távol eső adatok alacsony tagságfüggvény értéket kapjanak. A célfüggvény mnmumát a Ruspn-féle valószínűség megkötés megtartása mellett hajtjuk végre. Bezdek a célfüggvény parcáls derváltjanak zérus átmeneteből, Lagrange szorzók alkalmazásával határozta meg az teratív mnmumkereső eljárás smétlődő lépéset: 2 ( m1) dk k c 2 ( m1) d jk j 1 1c k v n k 1 n k 1 m k x m k k 1 n (2) 1c (3) A (2) és (3) egyenletekben leírt számításokat addg kell smételn, amíg az osztály prototípusok konvergencája bekövetkezk. Végül a kalakult partícót defuzzyfkálhatjuk, azaz meghatározhatjuk, melyk bemenet adat melyk osztályhoz tartozk legnkább. Ez matematkalag így fogalmazható meg: k 1n esetén x k vektort abba a j-dk osztályba soroljuk be, amelyre j arg max{, 1c} k (4) Vzsgáljuk meg egy kcst a (2)-es formulát: az x k vektornak az -dk osztályhoz való tartozását leíró fuzzy tagságfüggvény értékét egy tört formájában számítjuk k. A tört számlálója a d x v távolságnak egy negatív hatványa, azaz mnél közelebb van az k k x k vektor a v osztály prototípushoz, annál nagyobb fuzzy tagságfüggvénnyel fog az -dk

4 osztályhoz tartozn. Amennyben xk és v egybeesk, a k tagságfüggvény értéke aszmptotkusan tart az 1-es érték felé, míg az összes több jk nulla lesz ( j ). A (3)-as formula a bemenet vektoroknak egy-egy súlyozott átlagaként számítja k az osztály prototípusok új értékét, ahol a súlyok a legutóbb kszámított fuzzy tagságfüggvényeknek az m-dk hatványa. Most pedg egy konkrét példa segítségével fgyeljük meg, hogy az FCM algortmus mlyen fuzzy tagságfüggvényeket számít k különböző m fuzzy ktevők esetén. Egy tanár tesztet íratott a dákjaval, majd az elért pontszámokat FCM algortmussal csoportosította 5 osztályba, és ezeket mnősítette elégtelen, elégséges, közepes, jó és jeles osztályzattal. A 4. ábrán megfgyelhetjük, hogy különböző m értékek esetén hogyan néznek k az egyes osztályok fuzzy tagságfüggvénye: m 2 esetén a Gauss-féle haranghoz, m 3 esetén háromszöghöz, míg m 2 ktevőnél a trapézhoz hasonló tagságfüggvényenk lesznek. Ugyanakkor megfgyelhetjük, hogy az m 1 fuzzy ktevőnél a kétértékű, hagyományos logkát közelítjük, ahol mnden elem egyetlen osztályhoz tartozk hozzá, 1-es tagságfüggvény értékkel. Ha pedg a fuzzy ktevőt nagyon megnöveljük, mnden fuzzy tagságfüggvény értéke tart 1 c felé. Ez utóbb eset nem vezet elfogadható osztályozáshoz. 2. ábra. Az FCM algortmus eredményeként kapott, változatos fuzzy tagságfüggvény alakok A fuzzy nferenca Három fuzzy jóbarát mndg a város valamely étteremében találkozk, és egy vacsora elfogyasztása mellett megvtatják legújabb fuzzy felfedezéseket. Szokás szernt a vacsora után az ételt s és a kszolgálást s egy-egy 0 és 10 közé eső osztályzattal mnősítk, majd ezekből a számokból fuzzy nferencával számolják k, hogy hány százalék borravaló jár a személyzetnek az [5,25] ntervallumból. A barát társaság fuzzy szabályrendszere a következőkből áll:

5 1. Az ételt négyféle fuzzy tagságfüggvénnyel kategorzálják. A besorolás szernt az étel lehet ehetetlen, ehető, fnom és ízletes. 2. A kszolgálás mnőségét három fuzzy halmazba sorolják: a kszolgálás lehet rossz, közepes és jó. A 3. ábrán megteknthetjük a bemenet adatok kategorzálását leíró fuzzy tagságfüggvényet. 3. ábra. Fent: étel mnőségét leíró fuzzy tagságfüggvények. Lent: a kszolgálás mnőségét leíró fuzzy tagságfüggvények 3. Négyféle fuzzy osztály jellemz borravalót (lásd 4. ábra), amely lehet skót, magyar, német, és mllomos. 4. ábra. A borravaló fuzzy tagságfüggvénye 4. A bemenet adatok (étel és szolgáltatás mnősége) fuzzy tagságfüggvénye és a kmenő adat (borravaló) fuzzy tagságfüggvénye között fuzzy szabályokkal teremtenek kapcsolatot, az alább formában: HA az étel ehető ÉS a kszolgálás jó AKKOR a borravaló magyar 5. Ha az egyk bemenő adatnak 4, a másknak pedg 3 fuzzy osztálya van, akkor elvleg 4 3=12 fuzzy szabályt kell felírnunk ahhoz, hogy mndegyk lehetséges bemenetre megoldást szolgáltassunk. Jelen konkrét feladat 12 fuzzy szabályát az alább

6 táblázatban foglaltuk össze. A táblázat szernt, pl. ízletes étel és közepes kszolgálás esetén német borravaló jár. ehetetlen Ehető fnom ízletes rossz skót Skót magyar magyar közepes skót magyar német német jó magyar magyar német mllomos Most pedg alkalmazzuk a barát társaság fuzzy nferencáját három konkrét vacsorájuk esetére. Az 5. ábrán három különböző színnel jelöltük a különböző éttermek osztályzatat. A pros étteremben az étel mnőségének 2,5-es osztályzata lleszkedés mértékkel bír az ehetetlen fuzzy osztályra, valamnt del az ehető osztályra nézve. A kszolgálás mnősége vszont 8,5-es osztályzatot kapott, amellyel csak a jó fuzzy osztályhoz lleszkedk, mértékg. Hasonló módon leolvashatjuk a zöld és kék étterem osztályzatat és lleszkedés mértéket a különböző fuzzy halmazokra nézve. 5. ábra. A három étteremnek adott számszerű osztályzatok és azok lleszkedés mértéke a fuzzy tagságfüggvényekhez Alkalmazzuk a fuzzy szabályokat mndhárom étterem esetében! A zöld étterem esete 1. Ha az étel mértékg fnom és a kszolgálás mértékg rossz, akkor 3 3 a borravaló mn{, } 1 8 mértékg magyar. 2. Ha az étel mértékg fnom és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor 3 4 a borravaló mn{, } 1 3 mértékg német. 3. Ha az étel mértékg ehető és a kszolgálás mértékg rossz, akkor a 4 3 borravaló mn{, } 1 8 mértékg skót.

7 4. Ha az étel mértékg ehető és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor a borravaló mn{ 4, 4} 1 2 mértékg magyar. A 6. ábra felső részén látható a zöld étterem osztályzatának mnd a négy lehetséges esete: a zöld vonalak behatárolják a kmenet fuzzy tagságfüggvényeket a kszámított lleszkedés mértékekg. Ez a grafkus ábrázolás a konkrét feladat fuzzy kmenete. Amennyben egyetlen skalárs értékkel meg akarjuk nevezn a fzetendő borravaló százalékot, defuzzyfkáln kell a kmenetet. Ehhez meg kell határoznunk, hogy a zöld vonalak alatt terület súlypontja hol helyezkedk el a vízszntes tengely mentén. 6. ábra. A fuzzy szabályokat alkalmazva mndhárom étterem esetére, az tt látható fuzzy kmeneteket kapjuk A pros és kék étterem esetén kapott fuzzy kmenetet s megtaláljuk a 8. ábrán. Most határozzuk meg, melyk étteremben mekkora borravalót fzetett a barát társaság. A színes vonalak és a vízszntes tengely által közrezárt terület súlypontja a pros étterem esetében határozható meg a legkönnyebben. Egyszerű geometra műveletekkel belátható, hogy a 2 vízszntes tengely mentén a súlypont 12 -nél, azaz nél helyezkedk el. Ennek 9 megfelelően a vacsoravendégek 12.22% borravalót fzettek a pros étteremben. A másk két esetben a fuzzy kmenetet egy sokkal összetettebb alakzat ír le, melynek súlypontját sokkal nehezebb geometra műveletekkel meghatározn. Sokkal könnyebb lyen esetben numerkus megközelítést alkalmazn. A defuzzyfkált eredmény azt mutatja, hogy a zöld étteremben 13.85%, míg a kék étteremben 19.01% borravalót fzettek a fuzzy vendégek.

8 A fentekben smertetett teljes eljárást, ahogyan a numerkus bemenetekből a bemenet fuzzy tagságfüggvények és a fuzzy szabályok segítségével eljutunk a fuzzy kmenethez, és azt a súlypont módszerével defuzzyfkáljuk, Mamdan-féle nferencának nevezzük. Létezk egy nagyon hasonló, a Mamdan-féle nferencától csupán apró részleteben eltérő nferenca eljárás s, amelyet Larsen vezetett be. A Larsen-féle nferenca sajátossága az, hogy a fuzzy szabály alkalmazásakor a következőképpen jár el. Ha az egyk bemenet mértékg lleszkedk egy bzonyos fuzzy tagságfüggvényhez és a másk bemenet mértékg egy másk fuzzy tagságfüggvényhez, akkor a kmenet nem mn{, }, hanem mértékg fog az adott fuzzy szabály által előírt kmenet fuzzy tagságfüggvényhez lleszkedn. Tehát a Larsen-féle nferencánál a bemenet lleszkedés mértékek összeszorzódnak. Hogy ez mekkora különbséget jelent? Konkrétan, a pros étterem esetében a kmenet dagramon a pros trapéz magassága 12 helyett 512 lenne, és így a borravaló analtkus pontossággal %, numerkus megközelítéssel 12.19% lenne. 342 A fuzzy rendszernek kettőnél sokkal több bemenete s lehet. Ha mndegyk bemenethez hozzárendelünk 3-4 fuzzy tagságfüggvényt, akkor hat bemenet esetén már ezres nagyságrandű fuzzy szabályra lesz szükség, és ez rendkívül körülményessé tehet mnd a fuzzy kmenet kszámítását, mnd pedg a defuzzyfkálás folyamatát. Ezt a problémát kívánja leküzden a Takag-Sugeno-Kang-féle (TSK) nferenca. Egy TSK rendszer ugyanúgy megvzsgálja a bemenetek lleszkedését a különböző fuzzy osztályokhoz, mnt a Mamdanféle rendszer, vszont a fuzzy szabályokat és a defuzzyfkálást egy egyszrűsített eljárással valósítja meg. A TSK rendszer működésének megértésére vegyük megnt a zöld étterem esetét. A bemenet, számszerű mnősítés az étel esetében x 5, míg a kszolgálásé x 4. 5 volt. Most lássuk a fuzzy szabályokat: 1. Ha az étel mértékg fnom és a kszolgálás mértékg rossz, akkor a borravaló mn{, } 1 8 mértékg y f ( x, ) lesz. 1 magyar x 2. Ha az étel mértékg fnom és a kszolgálás 4 1 mértékg közepes, akkor a borravaló mn{, } 1 3 mértékg y f ( x, ) lesz. 2 német x Ha az étel mértékg ehető és a kszolgálás 8 mértékg rossz, akkor a borravaló mn{, } 1 8 mértékg y f ( x, ) lesz. 3 skót x 4 4. Ha az étel mértékg ehető és a kszolgálás 1 mértékg közepes, akkor a borravaló mn{, } 1 2 mértékg y f ( x, ) lesz magyar x Mután az összes nem nulla lleszkedés mérték esetét véggvettük, a végső kmenetet egy egyszerű átlagolással határozzuk meg: y ahol bejárja az összes fennebb tárgyalt fuzzy szabály esetét, jelen konkrét példánál 14. A fuzzy szabályok alkalmazásakor felhasznált függvények ( f skót, f magyar, f német, és f mllomos ) előre meghatározott, legtöbbször lneárs függvények szoktak lenn. y,

9 Tehát a Mamdan-féle és a TSK nferenca modell a számszerű adatok fuzzyfkálását, valamnt a fuzzy szabályok alkalmazását teljesen azonos módon végzk. A különbség a fuzzy kmenet meghatározásnál és a defuzzyfkálásnál van: a TSK modell fuzzy kmenetet nem állít elő, hanem egyből számszerű kmenetet ad. Egy másk, gyakran alkalmazott megoldás a komplkált fuzzy kmenet kszámításának és defuzzyfkálásának elkerülésére, hogy a teljes fuzzy rendszer vselkedését megtanítják egy neuráls hálózatnak. A neuráls hálózat tanításához tanulás adatok kellenek. Ezeket úgy hozzák létre, hogy sok különféle bemenetre megállapítják a komplkált fuzzy rendszer mlyen kmenetet ad. Ezek a kmenetek lesznek az elvárt értékek a neuráls hálózat tanítása során, amkor ugyanazokat a bemenetet kapja a neuráls hálózat, mnt előzőleg a fuzzy rendszer. Amkor a neuráls hálózat képes a tanulás adatokra megfelelő, a fuzzy rendszerével megközelítőleg azonos kmenetet adn, akkor tovább tesztadatokra s képes lesz modellezn a fuzzy rendszer működését. A kmenet csak megközelítőleg lesz ugyanaz, mnt a fuzzy rendszer esetében, de ezt a kmenetet sokkal gyorsabban k lehet számítan. Az lyen, neuráls hálózattal modellezett fuzzy rendszereket neuro-fuzzy rendszereknek nevezzük. A fuzzy szabályozó fuzzy szabályozó fuzzy szabálybázs - nem fuzzy hba fuzzyfkáló nterfész fuzzy nferenca gép defuzzyfkáló nterfész nem fuzzy kmenet szabályozott szakasz 7. ábra. Szabályozó kör fuzzy szabályozóval A fuzzy szabályozó funkconálsan egy fekete doboz, melynek bemenete az elvárt referenca jel és a kmenet jel különbsége, kmenete pedg a szabályozott szakasznak adott szabályozás parancs. Mnd a bemenet, mnd pedg a kmenet egy-egy nem fuzzy mennység. A szabályozó belsejében vszont megtalálható a nem fuzzy bemenetet fuzzyfkáló nterfész, egy fuzzy nferenca gép, mely a fuzzy szabálybázs alapján előállítja a fuzzy kmenetet, és a defuzzyfkáló nterfész, amelyk a fuzzy kmenetből nem fuzzy kmenetet állít elő. Az nferenca gép bármely smertetett nferenca típust tartalmazhatja.

10 Irodalom [1] Zadeh LA: Fuzzy sets. Inform. Control 8: , 1965 [2] Mamdan EH: Advances n the lngustc synthess of fuzzy controllers. Int. J Man-Mach. Stud. 7:1-13, 1974 [3] Ruspn EH: A new approach to clusterng. Inform. Control 15:22-32, 1969 [4] Bezdek JC: Pattern recognton wth fuzzy objectve functon algorthms. Plenum, New York, 1981

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Számítógép-architektúrák II.

Számítógép-architektúrák II. Várady Géza Számítógép-archtektúrák II. Pécs 2015 A tananyag a azonosító számú, A gépészet és nformatka ágazatok duáls és modulárs képzésenek kalakítása a Pécs Tudományegyetemen című projekt keretében

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Exacontrol E7 C Exacontrol E7R C TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 Szerelés útmutató... 3 1.1 A dokumentácó... 3 2 CE jel... 3 FELSZERELÉS 3 A készülék felszerelése...

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK

BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK Szakértői rendszerek, 14. hét, 2008 Tartalom 1 Bevezető 2 Fuzzy történelem A fuzzy logika kialakulása Alkalmazások Fuzzy logikát követ-e a világ?

Részletesebben

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása Autópálya forgalom árosanyag bocsátásána modellezése és szabályozása Csós Alfréd Budapest, 00. Köszönetnylvánítás Ezúton szeretné öszönetet mondan onzulensemne, Varga Istvánna, atől ezdettől fogva rengeteg

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

Véletlenszám generátorok. 5. előadás

Véletlenszám generátorok. 5. előadás Véletlenszám generátorok 5. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai,

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

1.1 Lemezanyagok tulajdonságai és alakíthatóságuk

1.1 Lemezanyagok tulajdonságai és alakíthatóságuk 1 Lemezanyagok tulajdonságai és alakíthatóságuk 1.1 Lemezanyagok tulajdonságai és alakíthatóságuk A lemezalkatrész-gyártás anyagait részben a szakítóvizsgálatból részben szabványos technológiai próbákból

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600..

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600.. Összeszerelés és kezelés útmutató VdeoTermnal 2600.. Tartalom Készülékleírás...3 Szerelés...4 Az üvegfedél leszerelése...5 Kezelés...5 Normál beszéd üzemmód...6 Hívás fogadása... 6 Érvényesítés funkcó...

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat ENDSZESZINTŰ TATALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TEVEZÉSE MAKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. endszerszntű megfelelőség vzsgálat Dr. Fazekas András István okl. gépészmérnök Magyar Vllamos Művek Zrt. Budapest Műszak és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

2011. NCT-104T ÍRÁSBELI ORSZÁGOS CNC PROGRAMOZÁS ÉS GÉPKEZELÉS SZAKMAI VERSENY. április 14-16. Versenyző száma:

2011. NCT-104T ÍRÁSBELI ORSZÁGOS CNC PROGRAMOZÁS ÉS GÉPKEZELÉS SZAKMAI VERSENY. április 14-16. Versenyző száma: ORSZÁGOS CNC PROGRAMOZÁS ÉS GÉPKEZELÉS SZAKMAI VERSENY április 14-16. 2011. NCT-104T ÍRÁSBELI A kidolgozás időtartama 180 perc Jóváhagyta Apostol Attila Támogatók NCT Kft. NCT Akadémia graphit Kft. ISCAR

Részletesebben

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA. Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens. PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék

BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA. Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens. PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék A fuzzy-logika a kétértékű logika kalkulusának kiterjesztése. Matematikatörténeti

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

Tartalomjegyzék 2. fejezet. Egykomponensű rendszerek kémiai termodinamikája FSz szint

Tartalomjegyzék 2. fejezet. Egykomponensű rendszerek kémiai termodinamikája FSz szint Katay György: Fzka kéma 2. Egykmnenű anyagk kéma termdnamkája / FSz znt artalmjegyzék 2. fejezet. Egykmnenű rendzerek kéma termdnamkája 02 02 FSz znt 2.F.1. A tandard állat 04 06 2.F.2. Elemek tandard

Részletesebben

ÚJ FUZZY ALAPÚ KÉPFELDOLGOZÓ ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA

ÚJ FUZZY ALAPÚ KÉPFELDOLGOZÓ ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA ÚJ FUZZY ALAPÚ KÉPFELDOLGOZÓ ELJÁRÁSOK KIDOLGOZÁSA PhD értekezés tézisei SZILÁGYI LÁSZLÓ Témavezető: PROF. DR. HABIL BENYÓ ZOLTÁN Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai

Részletesebben

A poliolefinek bemutatása

A poliolefinek bemutatása A pololefnek bemutatása Poletlén és polproplén 1. Szntetkus polmerek 1.1. Osztályozás 1.2. Globáls termelés 2. Pololefnek 2.1. A pololefnek családja 2.2. PE típusok és szerkezetek 2.3. PP típusok és szerkezetek

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Napkollektorok SRD. H Vízszntes elhelyezés teraszon és ferde tetőn, karbantartás TRTLOMJEGYZÉK BEVEZETÉS Műszak leírás.... dokumentácó....... készülék

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL 23. ISMEKEDÉS A MŰVELETI EŐSÍTŐKKEL Céltűzés: A műveleti erősítők legfontosabb tlajdonságainak megismerése. I. Elméleti áttentés A műveleti erősítők (továbbiakban: ME) nagy feszültségerősítésű tranzisztorokból

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

ö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Elmélete

Intelligens Rendszerek Elmélete Intellgens Rendszerek Elmélete Dr. Kutor László A mesterséges neuráls hálózatok alapfogalma és meghatározó eleme http://mobl.nk.bmf.hu/tantargyak/re.html Logn név: re jelszó: IRE07 IRE 7/1 Neuráls hálózatok

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HE 24-2012

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS HE 24-2012 HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS GÉPJÁRMŰ-GUMIABRONCSNYOMÁS MÉRŐK HE 24-2012 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA... 5 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK... 6 2.1 Használt mennyiségek... 6 2.2 Jellemző mennyiségi értékek

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

XII. LABOR - Fuzzy logika

XII. LABOR - Fuzzy logika XII. LABOR - Fuzzy logika XII. LABOR - Fuzzy logika A gyakorlat célja elsajátítani a fuzzy logikával kapcsolatos elemeket: fuzzy tagsági függvények, fuzzy halmazmveletek, fuzzy következtet rendszerek felépítése,

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

7. Szisztolikus rendszerek (Eberhard Zehendner)

7. Szisztolikus rendszerek (Eberhard Zehendner) 7. Szisztolikus rendszerek (Eberhard Zehendner) A szisztolikus rács a speciális feladatot ellátó számítógépek legtökéletesebb formája legegyszerubb esetben csupán egyetlen számítási muvelet ismételt végrehajtására

Részletesebben

á ú é é ő é ő á ő ő á á ú ű é é ö ő á ő ú ő ő á é Ü Ü á é á é á é á é á ö ö á é ő á ú ű é é á é é ő á ö ö á á é é ú é é ú á á ő é é é ö ö á á é ű ő á é ű ő ú ő á á é á ú é é á é ö á á ö Ü á á é é ú á á

Részletesebben

Kálmán-szűrés. Korszerű matematikai módszerek a geodéziában 2014.03.10.

Kálmán-szűrés. Korszerű matematikai módszerek a geodéziában 2014.03.10. Kálmánzűré Korzerű matemata módzere a geodézában 4.3.. A Kálmánzűré defnícója Olyan algortmu, amely valamely lneár dnamu rendzerben egzat övetezetét tez lehetővé, amely a rejtett Marovmodellhez haonló

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

É ö ü ú ü ö ú ö ü ö ü ú ü ű ü ü ö ö ö ú ü ö ü ü ö ü ü ü ü ü Ü ü ö ú ü ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ü ö ö ú ö ü ö ü ö ö ö ú ö ö ö ö ú ú ö ü ö ü ú ü Ú É ö ö ö ö ö ú ö ű ö ű ö ú ö ö ú Ú ü ö ö ö ö

Részletesebben

Ü Ú Ú Á Á Ő É é ö é é é é é ü ö é é é é é é é é é é ö é ö ö ö é é é é é é ö é é é é ö é ű é é é ö é é é é éé ö é éö é é ö é é é é ö é ű é é é ö ö é é é é é ö é ö é é ö ö é ö é é é é é é ü é é ö é é é é

Részletesebben

É Ú ű Ö ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű Ú Ü ű Ú Ö ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ö Ö ű É ű Ö ű Ö Ú Ó ű ű Ü Ú ű É Ó ű ű ű Ö ű ű É ű É É Ö É É É É É Ö Ö É Ú É Ó Ú É É Ö Ö Ö ű Ó ű Ö ű ű ű ű

Részletesebben

Á Á É É Ü Á Ú Ü é ő ó ő ő í é Á é é é í ő í ó ó í ü é ó é ő ő ő í í ü ő í ő ü ő í ö ü ő í í ó ő é é é ó é é é é é é é ü é é é é é é ú ó é ö é é é é í ü ü ő é ő é ó é ő é ü ő í ó ü ő í Í ö ő ü ü ő ö é é

Részletesebben

ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú ű ű ű ű Ó ű ű ű ű Ü É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É ű ű ű É Ó Ú Ó Ü Ő Ó Ó ű É ű ű ű É ű É ű ű ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű É É ű Ö ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben