Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás"

Átírás

1 Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató Témavezető: Dr. Görög Péter Adjunktus BME Építőmérnök Kar, Építőanyagok és Mérnökgeológa Tanszék BME 2011

2 _b`] Z ^ç Г ç Г Г ç ç ç Г çг: ç Г Г ç ç Г Г ç ç ç ç žç ç ç ç ç œç ž ç Г ç ) ç Гç Г çг çг ç Ÿç Ÿ ç çг ç ç çг ç Ÿ ç Г Г ç Г Г ç Ÿ ž ç Г ç ç Ÿ Ÿ ç Г ç Ÿ ç Г:çГ ç Ÿ ç ç Г Г ç Г ç ç ç ç Г Г ç ç ç žœç ž ç žžç ž ç ž ç ç ç: ç Г çг: ç Г Г çççг ç Г ç ) çг: ç ç _` _ \ç _ cb^ç ž ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ a ^çг b ` _ ] ç Ÿ ç ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç ç _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ç _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ž ç ç Г çгг:çг Гç ž ç b[ b _b` ç \ç _ _ç ž ž ç a ç ç _ b ç [ ^ç ž Ÿ ç Zb _ ç [ ^ç ž ç a _ ç] Z ç [ ^ç ž ç _ az ç ž ç ` _ _ ^ç ž ç ž ç ž ç Ÿœç ŸŸç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç œç œç œç ç 2. oldal

3 ž ç _] çг b ` _ ç _ ç Ÿ ç ç Г Г çç çгç ) Гç Ÿ ç _ b ^ç Ÿ ž ç _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç Ÿ Ÿ ç ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç Ÿ ç ç Z [ ç` \ ç Ÿ ç ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç Ÿ ç c aç \ ç _ ç Zb_ ç ç ç : ç ç ç GГ ç Г çгг:çг Гç ç Г b ` _ ç ž ç çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç ç ç çг ç ç Z ç _ ]ç ž ç a\ b bcç _ ]b^ç Ÿ ç `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç ç bz aç^ ç ç Z _ aça \_ Z ç _ `ç ç ГГ ç çг ç ç Г ) ç Г Гç ç ç Г:Гç ç ç ç ž ç ç Ÿ ç Г: ç Г ç ç ç Г ç çгçг) ç ç çг ç çгç Г ç ç Г:)ç ç ç ç ç ç ç ç žç ç ç ç ç ç ç ç ç ç œç žç žç žç Ÿç ç ç ç ç œç œç ç žç ç ç œç ç ç ç ГçГ çг ç GГ çç :çг JГç ç ž ç ГçГ çг ç GГ ççг çgг: ç ç Г ГГç œç Ÿ ç çг JГ çj Г ç ГГ ç ç 3. oldal

4 ç )ç Г ç ç Г G ) ç ç çгçг Г ç ç Nç Гç ž ç Г çгг ç Ÿ ç Г ) ç ç çг ç çç ç ç ç Гç ç ç ç Г Г ç Г ГГ: :Гç ž ç ГГ ç ç ž ç b [a\^ \ç Z ç^ ` [ a\^ \ç`b ç ž ž ç \ ^ \ _ ç ž Ÿ ç b` \ \ç ç ž ç ç[\ ^ç[ ç Ÿ ç Г)çГ ç Г : :Гç ç ç çг ç ç žç ç ç ç ç ç œ ç œ ç œ ç œ ç œ ç œžç œžç œÿç œ ç œ ç ГГ ç œ ç Г ) ç çг Гç ç ç ç çç Г ç ç ç ç Г ç œ ç œ ç œç Ÿç Ÿç ç ç ç 4. oldal

5 _ _ a ç Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x * u& f h ¾ h¾ * ε& jf h ¾f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f nf½ ¾ h f mf x ¾ h f b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç sf f h¾ h ½ ¾ nf f h¾ h h ½ ¾ If¾ ¾ x f f q T = { q1, q1, q2, q2,..., qm} q, q f x¾f ¹ c T = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { m m m m lf ¾¾ f σ f ¾ h ¾h f ¹ ¾ h T x y x y y x y f = f, f, f, f,..., f } f, f f¾ ¾ x¾ h ½ ¾ { n j j 5. oldal

6 x yf x x ½ h f h h ^ cçbc \` _\ _ ç ¹ ½f h¾ h h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = T {s1,s1,s2,s,...,sm } d = {s1,n1,s2,n2,...,n m } f h ¾ ½ f h¾ h ¹ T g = l * c, l * c, l * c,..., l * c, l * c } { m m m m lf ¾x ¾x ¾¾ f cf ¾x ¾x x f T x y x y y x y u = u, u, u, u,..., u } u, u f n¾ ½ ff f f h ¾ h¾ { x¾ h ½ ¾ N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } 1, n j 1 2 p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f j p x¾ p T D s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { D1 D1 D2 D2 Dm T L s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { L1 L1 L2 L2 Lm f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h s D n D s L n L f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x f f f x f ¾ f Jf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f 6. oldal

7 f ¾h x ¹ T x y x y y t = t, t, t, t,..., t } { n t, t f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ x y T q = S, N, S, N,.., N } f x¾-f x f x¾ h h ¾¹ ¹ { m f x½ ¾ ¾ h¾f x x ¹ f h¾ f f f h¾h f x f D f f f h¾ ¾ h f ¹ T u = 0, u,0, u,..., u } x¾ f x f f f h¾ { 1 2 m x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f h f f¾ f f f ¾ f¾ h h x ¾ 7. oldal

8 ^ ç f nx ff x¾ x½ ½ f h h¾ x x ¾¾ f h¾f ¾ f f½ ½ f x¾ x¾,f f ¾ ¾x h h½x h ¾ ¾ x f f ¾ ¾ x ¾ f f f f ¾h h x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f x¾ x ¾ ¾ x½ x f f f x¾ f h¾h f x ¹ x½ x x¾ x½x x¾ f h f ¹ ¾ h h¾h f ¾ x f f½ f f x½ x f h h¾ ¾ h f f ½ f¾ n f f ¾ ¾ ¾ f ¾ ¾x x ¾ h f f f ¾ h¾ ¾¹ f ¾ h f f f f¾ h h¾ ¾ ½ h ¾x ¾ ¹ ¾ ¾x x ½ f f x ¹ x¾ f ½x¾ x f f f f f h¾f ¾ ¾ x¾ ¾ ¹ ½ h f f x¾ f f½ ¾ x ¾ ¾ x¾ f¾ f f ¾ ¾ f f ¾¾ f f f h f h ¾ h f f ¾ h h¾ f f¾ h¾ ¾, x¾ x h¾ f h h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f ¾ x ¹ f f f¾ f h¾ f h f ¾ ¾x f h f h¾ f x ¹ f f f f f f h ¾ x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x x f f ¹¾x f ¾f x¾f f ¾ x¾ x ¾ f x¾x f ¾ f x ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾ f f x x¾ f f f f f h ¾ ½ f h¾ ¾ x ¹ f f ¾ h ¹ 9 x¾ f f f x h ¾ ½ f h¾ f f h¾ ¹¾x ¾ ¾ ¾ h¾f f f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ½ f¾ n ¾¾ f ½ f f ¾ ¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x ¾ ¾ f¾ h f f f f f f ¾h h x¾ f x ¾h h h¾ x h f¾ f h f f h f x¾ ½ f f ¾ n¾ ¾¾h x¾ ¾ x½ 8. oldal

9 f f x¾ x½ ½ f h h¾ x x¾ f f ¹¾x ¹ x ¹ f f f ff ¾ n¾ ¾ x¾ f h f x¾ ½ f h ¾h h ¾ ½x h ¾ f x h f h ¾f f h h¾ f f¾ ¾¾ x ¾ x¾ f f f n¾ x¾ f f x ¾x¾ x¾ h h f Ix ¾¾ f f h f h¾ ¹¾x x¾ 9. oldal

10 ç,x f f¾x f f f x x¾ f f f f h h¾ f f x½ x x¾x x ¹ h¾¾ h h¾h f h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h f ¾ h ¾ ¾ x ¾ ¾ x ¾ f x f f f f ¾ f f h ¹ h f f ¾x ¾ h¾ f ¹ ¾ f x f f x¾ f f n x¾ f f f x½ x f h h f½ ¾ h f h 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 x ¹ x ¹ f f f ¾ x ¾ f f f f ¾ ¹ h x½ ¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¹ ¾ h¾ f ¾ x¾ x h f¾ f f x¾ x ¾ x ¹ f h f h ¾ ¾ ¹ ¾ ¾ ¾ ¾x x x ¹ x½ x f f x¾½ x h f f f f f h f f ¾ h f f ¹¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f x¾ h f¾ f x ¾ n¾ ¾ f f f f x ¾ f f x¾ x½ x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f f f f h¾ f f f¾ f f ¾ ¹ hn¾ ¾ f x f h h¾h x ¹ ¾ f 9 n f f ¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f¾ f f ¾ f f f f h x¾ h ¾ f x ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f x½ x x x¾ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾ ¾h h f h x h f f ½ J 9 f J f h f f hn¾ ¾ f f h f f f f h¾h f x ¾ ¾ f f½ ¾f f ¹ f f f f ¾f ¾ f f f n f x ¾h f x h ¾ f f f f ¾ ¹¾ ½ x f f f f f f f x¾ x½ ¾ h ¾ f h¾ ¾x ¾ h¾ ¾ f h ¾½ f h¾, f ¾ ¾x x f x f f f f f 10. oldal

11 x f f f x¾ f ¾ h h¾ n f f f f¾ ¹ x¾ f ¾ h h¾ f½fn h¾ f x x x¾f h ¾½ f h¾ f f h¾h f n h ¾ ¹ f¾x ¹ f h ¾½ f h¾ f f ½ ¹ f h h f f f f ¹ x h f f f½ f ¾ ¾ x ¾ h x½ x ¹ f h¾f ¾ x x f hn¾ ¾ f ½ f h h¾h f ¾ f f n f f ½ x h f ¾ h, h f ¾ n f f f f h¾f f ¾ ¹ x¾, f f ¾h f f½ h f f½ h¾ h¾ ½ x¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ x ¾, ¾ h ¾h h ¾x x h, x f f ¾ h f f x¾ f f x¾ ¾ f, x¾ h f f h x ¾h h f ¾ h h¾f ¾ ¾x ¾ x f h f fh f ¹¾ h h¾h ¾, f ¹nx f f f f½ ¾ ½ h h¾f f ¾ ¾¾ f h¾f f x¾ x½ ½ f h h¾ f h¾h x¾ x f¾ h f h h x ¹ x¾ ¾ f f ¾¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ x f f½ f h f h x¾ f f x½ x f h h¾ ¾ h f h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f n f f f f½ f ¾ f x½ x f h h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h ¾ h ¾ f h ¾ ½ f h¾¾f f½n¾ f ¾ f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ f n ¾ ½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ x x¾x h¾ ¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ h¾h f x x f f f f f f f f 9 h f h¾ x½x¾ ¹nx f f f ¾ ¹ ¾x f f f ¾ 9 h f f f ¹ x¾ f h f x¾ ½ f f h x¾ f ¾ ½ f h¾ n f x x¾ ¾ h f 11. oldal

12 x¾ ¾ x¾ f f f f f ½ f f h h¾h f h f x¾ f f f h¾h f h x½ f f ¹¾x f f h h¾h f ¾ h¾ x x x x¾ f f h f h¾ ¹¾x ¹ 12. oldal

13 ž c_ ^ a ç[ [ ç \ Z _ ç _ \ çг\`\ ça _\ ç x¾ ½ f ¾ h¾ x¾ f n f f ¹ x¾ x x ¹ ¹ f f f n f f ¾ h h¾ f x ¾ ¹ x¾ ¾ h¾ f f h x ¾h ½ x h h¾h f x¾ f f f¾ ¾ h f f f h x ¾h ¾ h f nx f ¾ f f h¾ f f f h h f½ ¹ x ¹ f h h¾f f f¾ ¾ h f nx ff f f h¾h f x ¹f f h h¾ x¾ ¾ ¾x f h h¾f f f¾ h f ¾h f h h f½ f f x¾ f f f f ¹ h¾ f ½ ¾ h f h h x½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ f h x ¾h ½ x h ff h¾ ¾ h h¾nx ff x½ x f f x¾ f h h¾f ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f ¾ x f ¾ f x ¾ x½ x f f f¾ h f ¾ x f f f¾ f f h h¾ f f f f f n¾ x f h h f h¾f ¹ f f f f x½ x f h h¾ ¾ h f f f ¾ f f ¹ x f h h¾h f ¾ f x ¾ ¾ x¾ f ¹¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾¾ h h¾ h h¾ f f f ¾ f f ¾ h h f x¾f f ¾ ¾x x ¹ x x¾ f ¾ f x½ x h¾ ¾ h f 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 ¹ f f h h ½ x h f f ¾ ¾¾ ¾x x ¹ x½ ¾f ¾ f¾ h x f ¾ x½ f½ f ¹ f ¾ f ¾¹ D½½ D h h ¾ h f n f f h¾¾ h ¾ ¾ x¾ x n f f f x¾ f h f ¾ 9 x h ff ¾¹x¾f f ¾ h ¾ h h¾f ¾ ¹ ¾ f f f x¾ f f f¾ f f x ¾ h h¾h h ½ ¾ h¾f ¾ ¾x ¾ f f f x¾ ½f h¾ ¹ f ¾ h h f ¾ h h¾f f f f f x½¹ ¾ ¾x ¾ h¾ f f½ h x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ f h h ¾x 13. oldal

14 f h¾ x f f ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¹ ¾ h f x f f ¹f f f x½ x ¹ ¹ ¾ h h¾f f¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ h f¾ f f f f ¾ f ½ f f f ¾ h f ¹ f ¹ ¾¹ h h f ¾ h h¾ff ¹ x½½ x ¹ f ¾¹ ¹ h f h ¾ h¾ ¾ x ¾¹ f ¹f ¾¹ ¹ h f f h ¾ h¾ x ¾¹ h f * * T u da+ F u& dv = A & σ & ε dv V V j * j f Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x u& f h ¾ h¾ ε& f h ¾f f h h¾ f * h ¾¾ ¹ ¹ f ¾¾ x ¾ f f½ h ¾ h f f h ¾ h¾ ¾ f ¹ f f ¹ f x½ x ¹ ¹ f h h¾h f ¾x ¾ h ¾ h¾ ¾ f h f¾ f f ¾ f f ¹f f f x½ x ¹ x ¾ ¾¹ h h f h f D h ¾ h¾ f x¾ x ¾ ¾ h h ¾ ¾¹ f ¾¹ h x h x¾ h¾ f ¾ h n¾ ½h f x¾ h f ¹ h f h h f h f f f h¾ ¾ ¹ ¾ f ¾h f ¾ f f h f h f f f ¾f h ¾ h¾ f h f f ¾ ¾x xx f h f f f ¾ n¾ ½h h¾ x x¾ h x f h h¾f ¹ f f ff ¹ f ¾ x¾ ¾¹ D h f x f h x½ x ¹ f ¾ ff x h¾ x f ¹ f f h¾f x x f f f f n f f ¾ h h¾ h h¾ f x¾ x f¾ f f ¾f, x¾ x f x¾ ¾ h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ½x h f 14. oldal * j

15 @ ¾nf x¾ x f f, x f ¾½ n h ¾ ¾ f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ x ¾ ¾ h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ¾ h h¾ ¹ h ¾ x¾ x f f¾ f¾ h f h f h ¾ x¾ x ¾ f h f f f f x½ x x¾ f h¾ f ¾h ff x¾ x ¾ h f ¾ x n¾ ¹¾x f ¾ ¾x x¾f h¾ f f f¾ ¾ h f f¾ x x¾ x x ¾ x¾ f f h¾ ¾f x¾ h ¾ ¾x h f½ f f½ h ¾ x x¾f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f ¾ f h¾ n¾f f h h h¾ ¾ x h f f x½ x ½ f¾ n h f x½ x h f x½ x x¾ h h h¾ f½n¾ f f ¾¾ x¾ f n= s * tg( φ) f s, nf f h¾ x¾ h h ½ ¾ f ¾ f f ¾ x f x x¾ ¹ ¾ f f ¾ n¾x¾ f f ¾ x¾x f f ¾ n h f 15. oldal

16 h f ¾ h f ¾ h f f¾ ¾ x x f x½ x n¾f h ½ ¾ f f h¾ f h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x f¾¾ n f h¾ x x¾ x f f ¾ h f f x¾ f f ¾¹¾ h¾ ¾ x x f x f f ¾ x ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾ ¾ x f f ¾ x¾x f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f f ¾ f x¾ h h h¾ h¾,f f ¾ f¾ n¾x¾ f f ¾ h f f f x½ x f¾ h f h f f h x ¾h ¾h n¾ x¾ f f h x ¾h ¾h f½ f h h¾¾f f x ¾ h ¾h f¾¾ n f h¾ x x¾x ¾ n¾x¾ f f ¾ ¹½ ¾¾h f ¹ f 16. oldal

17 2¾¾ f f f ¹ f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h ¹ ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾ f f f ¾x ¾ h¾ ¾ x f ¹ f ¾ h ¾ h f f ¹ f h¾ f ¹ ½ x f x f x ¾ ¾ h¾ ¾ b ¾ x ¾¾x h f¾ f ¾h x ¾ x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ ¾ h x ¾ f f f h¾h f ¾ h h¾f f, x¾ x f f f h¾h f ¾ x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾f f f f ¾x ¾ h¾ ¾ f h f f f f f h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾f ¾ x ¹ f¾ h x f ¹ P 1 m h b 1 c ( + ) 2 c b 2 b m h f bf ¾ x ¾¾x hf x f¾ f ¾h f mf M n¾ ½ ¾ h f f b h f¾ f f ¹ h ¾ x¾ m( m 1) m( m+ 1) c h f x P c f ¹ f½ x f h f f f f f 17. oldal

18 h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ f f h¾ f f f h¾ f f f f f ¾¹ h f D x x f f ¾ h x ¾ f ¾ x¾ ¾ f f f h¾ x½ x h¾ ¾ h f f 9 f f f f ¾ ¾x¾ ¾ ¾ ¾x x h f h ¾ f f ¾ f f f 9 f f f¾f f h ¹ ¾ h h¾ h h¾ h¾h f f f h f h¾ f ¹ ¾ f f f h h¾ f ¾ x ¾¹x x ¾x¾ f x f x¾ f ¾ f f ¾h ¾ f f x x ¾ h x½ f ¾h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f f f f h ¾½ f h¾¾ ¾x x 18. oldal

19 3. A Lneárs Programozás matematka alapja 3.1. Glogáls optmalzálás A Lneárs Programozás (LP) a globáls optmalzálás egy specáls esete. A glogáls optmalzálás, mnt matematka módszer számtalan helyen előkerül a mérnök számításokban, mvel nagyon általános problémát fogalmaz meg. mn ƒ(x)=? (4) x X R d ahol X egyadottkereséstér és ƒ : X Radottcélfüggvény. Egyszerűtranszformácóval maxmumot s kereshetünk, ha az ƒ függvény 1-szeresét vesszük célfüggvénynek. Az általános globáls optmalzálás feladatnak a megoldása sem analtkusan, sem numerkusan nem smert, a megoldó módszerek az adott probléma ƒ célfüggvényének és X keresés terének sajátosságat használják k. Egy általános optmalzálás feladatnál kérdés a keresett mnmum, az az x X vektor, ahol a mnmum felvétetk, valamnt az, hogy van-e lletve hány lyen x vektor van. Az optmalzálás feladatok egy lehetséges osztályozása: X R d,ƒ : X R (nncs megkötés) globáls optmalzálás (5) X egy konvex alakzat konvex optmalzálás (6) X egy konvex alakzat,ƒ(x)=c x konvex programozás (7) X egy poléder,ƒ(x)=x A x+c x kvadratkus programozás (8) X egy poléder,ƒ(x)=c x lneárs programozás (9) X Z d {egy poléder},ƒ(x)=c x egész értékű programozás (10) Például a Lagrange multplkátor alapfeladata(5)-nek része. (7)-ben egy konvex alakzat adott rányban(c) extremás pontját keressük, míg(9) esetén azt s megkötjük, hogy az alakzatot egyenes oldalak (hpersíkok) határolják. (10) esetén s egy poléder belseje a keresés tér, de csak az egész koordnátájú pontokra hagyatkozunk. Természetesen ezeken belül s vannak még kutatott feladatosztályok, valamnt ezeknél általánosabbak s. A fentebb felsorolt progblémák közül(8) bzonyos esetere,(7)-re valamnt (9)-ra smerünk gyors (és általános) numerkus algortmust, (10) például NP nehéz feladat. Ezen problémák mndegykére vannak elméletek, de az (9)-ban van lehetőségünk a legnagyobb méretű feladatok megoldására.

20 3.2. Lneárs Programozás A (9) feladat felírásához meg kell értenünk a polédereket Állítás. Egy X R d alakzat poléder akkor és csak akkor, ha letezk egy A R m d mátrx és egy b R m vektor, hogy X= x R d Ax b Vagys az Ax R m vektorkoordnátánkéntnem nagyobb b vektornál. Geometralag ez azt jelent, hogy előáll félterek metszeteként. Íly módon az LP feladat megfogalmazható a következő alakban: Legyen adott A R m d, b R m és c R d. Keressük x R d vektort, hogy Ax b és mnden más x R d vektorra, amre Ax b teljesül az, hogy c x c x. mnc x (11) Ax b (12) x=( 1, 2,... d ) -t döntés vagy LP változóknak nevezzük, c=(c 1,c 2,...c d ) -t célfüggvénynek, vagy célfüggvény-vektornak. Az lyen alakú LP feladatot kanonkus alakúnak hívjuk. Más típusú feltételeket s be lehet építen az egyenletekbe és a fent (kanonkus) alakra hozn. mnc x mnc x m xc x Ax b Ax=b Ax b x 0 A (11)-(12) probléma megoldása lletve megoldhatóságának karakterzácója régóta smert [Gale, 1951], ezek osztályozása: ˆ Ideáls esetben (6(a) ábra), egyetlen x vektor létezk, amre teljesül a kívánt feltétel és a célfüggvény mnmáls. ˆ Lehet, hogy több optmáls vektor s van (6(b) árba), ekkor optmáls megoldások halmazáról beszélhetünk. Ez a jelenség akkor lép fel, ha a poléder optmáls lapja párhuzamos a célfüggvény szntvonalával. ˆ Elképzelhető, hogy a magadott feltételek nem elég korlátozóak, így található olyan megoldás, amn a célfüggvény értéke tetszőlegesen nagy lesz. Ekkor azt mondjuk, hogy (az adott halmazon) nemkorlátos a célfüggvény (6(c) ábra).

21 A feladat túlhatározott, az X halmaz üres, vagys nncs olyan x R d, hogy Ax b teljesüljön. Ekkor nncs fízbls megoldás. 2.0 y 2.0 y 2.0 y y 2 x max y 2 x max y 2 x max x x x (a) (b) (c) 6. ábra 3.3. Dualtás 3.1. Tétel (Erős dualtás tétel (Gale, 1951)). Tekntsük a mnc x (13) Ax b x 0 LP feladatot. Ha a feladatnak van optmáls megoldása, akkor a m xb x (14) A y c y 0 feladatnak s van optmáls megoldása és a célfüggvények optmáls értéke egyenlőek. A (13)-t prmál, a (14)-t duál feladatnak hívjuk. Vagys egy (13) alakú feladatot úgy s megoldhatunk, hogy képezzük a párját és azt oldjuk meg. Ez azért lehet célszerű, mert(14)-nek esetleg kevesebb változója van, vagy valam matt jobban tudjuk kezeln, megérten. A két feladat matematkalag egymással ekvvalens, lényegében két különböző egyenlet ugyanarra a problémára.

22 Természetesen a tételnek több féle általánosítása létezk(lagrange dualtás), és mélyebb kapcsolat s fennáll a prmál feladat és annak duál párja között. M a következőt használjuk ebből: mnden LP feladatnak képezhető un. duál párja és ha az eredetnek van megoldása, akkor a duálnak s van, sőt a célfüggvények értéke megegyezk. Ha a duál feladatnak (mnt kndulás feladat) képezzük megnt a duál párját, akkor vsszakapjuk az eredet egyenleteket. Továbbá az s gaz, hogy ha a prmál-duál feladatpár közül az egyknek nemkorlátos a célfüggvénye, akkor a másknak nncs fízbls megoldása (és vszont). De az s lehetséges, hogy egyknek sncs fízbls megoldása Megjegyzés. A duáls képzés matematka művelet, mnden faladatra elvégezhető, annak fzka tartalmától, a modellezendő problémától függetlenül. Egy általános, nem kanonkus alakú, LP feladat duálsának a felírását most nem taglaljuk, csak a számunkra érdekes eset duálsának felírását közöljük. (P) mnc x Ax=b (D) m xb y dualtás A y c x 0 x R d y R m (P) feladatban A R m d és tpkusan m<d, hogy az Ax=b alulhatározott legyen Megoldó algortmusok Az LP feladatok szerkezetükben a lehető legegyszerűbbek, de ennek ellenére nagyon sok probléma írható fel lyen (lneárs) alakban a menetrend-optmalzálástól a termékraktározásg. A számítás nehézséget a keresés tér mérete adja. Valós problémákban az A mátrx mérete d,m > 10 5 nagyságrendű. A feladatok megoldhatóságát sokszor nem s a számítás kapactás (CPU), hanem az együtthatómátrx tárolása korlátozza (RAM/HD kapactás). Egy LP feladat megoldására két főbb módszert smertetünk, az egyk az un. szmplex módszer, a másk az un. belsőpontos módszer. A szmplex módszer kfejlesztésében többek között George Dantzg játszott fontos szerepet a 20. század közepén. A módszer alapvetően Gauss elmnácós lépéseket használ a feladatból képzett szmplex táblán. A pvotálás lépések elvégzésére több szabály lletve heursztka s létezk. Addg kell

23 A b c T 0 7. ábra. Szmplex tábla sorműveleteket végeznünk amíg egy leállás feltételt el nem érünk, ekkor a jobb alsó sarokelemhelyénmegjelenkacélfüggvényoptmálsértéke,ac vektorhelyénpedg az x változó, amn ez az optmum felvétetk. Ilyen és ehhez hasonó elveken alapuló algortmusok képesek pontos, analtkus eredményt adn, vszont lassúak. Ponotsságukat az adja, hogy a Gauss elmnácó szmbolkusan s elvégezhető, vszont a szükséges elmnácók száma esetenként nagyon nagy lehet. Lehet olyan példát konstruáln, amben a futásdő a mátrx méretének exponencáls függvénye. A belső pontos módszer elve egészen más. Itt egy kezdet pontot kell találn a poléder belsejében, majd nnen ndulva teratív lépésekkel közelít meg az optmum pontot. x n+1 kszámolásához a feladat A mátrxából és az előző x n értékből az algortmus összeállít egy lneárs egyenletrendszert, majd azt megoldja (mátrxnverz számolás). Ezt a módszert először a 80-as években Karmarkar tette használhatóvá, amben a számítástechnka fejlődésének s fontos szerepe volt. Ekkortól már bzonyíthatóan és praktkusan s lehetett polnom dőben nagyméretű (több változós) LP feladatokat megoldan [Karmarkar, 1984]. A belső pontos módszereknél megfgyelhető jelenség a numerkus nstabltás. Az algortmus mnden elem lépésében egy (nagyméretű) lneárs egyenletrendszer megoldása történk, amnek a pontosságát az adott együtthatómátrx kondícószáma negatívan befolyásolhatja. A kforrottabb szoftverek ezt a jelenséget ugynevezett pre-solver segítségével kezelk. Egy nulladk fázsként átskálázza a program a döntés változókat úgy, hogy a kapott feladat jobban kondíconált legyen és persze vssza tudja következ-

24 tetn belőle az eredetnek a megoldását. y 2.0 y 2 x max x n 0.5 x 1 x 2 x x 8. ábra A belső pontos algortmusok egy hátránya, hogy mndg csak adott tűrésen belül dolgoznak, a tökéletes optmumot sosem érk el és az Ax=bfeltételt s csak közelítőleg teljesítk. Természetesen a tűrést csökkentésével elméletleg pontos eredményt s tudnak szolgáltatn, de a gyakorlatban meg kell elégednünk valamenny numerkus hbával. Ma a belső pontos algortmusok a kzárólagos eszköze a nagyméretű LP feladatok megoldásának[illes, 2002]. A belső pontos algortmusok egy másk jellegzetessége, hogy a dualtás tételt khasználva egyszerre írja fel és oldja meg a prmál és a duál feladatot Az oszlopgenerálás (column generaton) Azzal, hogy[karmarkar, 1984] lehetővé tette a tízezres nagyságrendű feladatok megoldását, sem a rácsos tartók alakjának megtalálása, sem a talajok törésképe nem váltak egy PC számára számolhatóvá. Tovább gyorsítás lehetőség az oszlopgenerálás [Bertsmas, 1997]. Tekntsük a m xb y A y c (D) y R m

25 duál feladatot. Csökkentsük a változók számát és egy ksebb feladatot oldjunk meg. Oldjuk meg m xb ŷ-t a redukált  ŷ ĉ feltétellel, ahol  R m d, ĉ R d és d <d. y y A T c A T c A 0 T c 0 (a) (b) 9. ábra Vegyük észre, hogy y,ŷ R m, a döntés változók száma nem változott, csak egy másk feladatot írtunk fel rájuk. Ezután le tudjuk ellenőrzn, hogy a kapott ŷ mennyben közelít az eredet 9(a) problémát. h:=c A ŷ R d Ha jól oldottuk meg a 9(b) feladatot, akkor h-nak az első d koordnátája nem-negatív, vszont a több koordnátájára nncs megkötésünk. Az oszlopgenerálás fő ötlete az, hogy vegyük hozzá 9(b) feladathoz azokat a sorokat, ahol h-nak a koordnátá a legksebbek. Ezzel bővítjük vssza a feladatot, hogy közelítsük a 9(a) megoldását. Egy gyors algortmusnál persze a cél az, hogy a redukált feladat kbővített változata s (sokkal) ksebb legyen, mnt az eredet feladat. A kérdés az, hogy mely sorokat vegyük bele a kbővített feladatba a h smeretében. Erre több technka és heursztka létezk. Az egyk legegyszerűbb, ha nagyság szernt rendezzük h koordnátát és a legelső (legksebb) μ d darab értéknek megfelelő sorral bővítjük a

26 feladatot (μ<1). Az oszlop generálás sematkus algortmusa: 1. Vegyük a 9(a) feladatot d sorral (A,c). 2. Vágjuk k (nem feltétlenül az első) d darab sorát (Â,ĉ). 3. Oldjuk meg a m xŷ b ŷ Â ŷ ĉ feladatot. 4. Képezzük h=c A ŷ vektort. 5. Válasszukkh-nakalegksebbμ d darabelemét,ésazezekndexenekmegfelelő sorokatvegyükhozzáâ -hoz. Ígyleszd +μ d elemeĉ-nakéssoraâ -nak. Ezután folytatjuk: ˆ Ha mn =1...d h > ε, akkor leállunk. ˆ Ha mn =1...d h ε, akkor 3. lépés. Ez a módszer a prmál megfogalmazásban azt jelent, hogy megtaláljuk a szgnfkáns változókat és nem kell a feleslegeseket cpeln. A prmál feladat változó (oszlopa) megfelelnek a duál feladat feltételenek (soranak). Ennek a technkának a megvalósításáról olvashatunk Glbert és Tyas 2003-as ckkében konkrét futás eredményekkel és tapasztalatokkal. Ezzel a technkával lényegében 10 8 nagyságrendűproblémákváltakszámolhatóváésezeredményezte(többekközött) a DLO elterjedését.

27 ^ cçbc \` _\ _ ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç ç ç _ ]b^ç ^ c_ ^ a ç [ a ^ç a _ Z\ ] ç _` _ \ç _ cb^ç x x½ x x¾ f f h¾ x¾f ½ h ¾, n x hn¾ ¾ f, n hn¾ ½ h f f¾ ¾h f f I, n x hn¾ ¾ f x ¾ h ¾ f f f ¾ ¾ f h f x¾f h¾¾ ¾ ¾ x f ¾ f¾h f x ¹ 9 ½ x h f f¾ f ¹ ¾ x n¾ ¾ f½ f f h f ¾½ x f ¾ h h¾h f ¾ h ¾x ¾ f¾ ¾h f f x¾ x ¾¹ ff h¾ ¾¾ x¾f ¾ h ¾h ¾ f f ¾ ¾x ¾ ¾ ¾ f ¹x¾f ¾¾ ¾ f h f f ¾ h ¾h f x½ h f ¾f f f½ h h f f x ½ x f f¾ 9 h x¾ ¾ f f f f f ¾ ¾ x h ¾¾ f f ¾ x f h ¾½ f h¾ f f x ¹ x¾ x½ ½ f h h¾ h f ½ f x¾ x f x f h ¾ ¾ f ½ n ¾ h f f ¾ h h¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¾ h f ¹¾ x x ¹ f f ¾ x½ ¾ f ½ f f h ¾ x½ f h f ¹ ¾ h f f f½ h ½ x¾x x¾ h ¹ f h¾ x¾ xx x f ¾ h h¾ ¾ x f f f½ h f x x¾ x h ff x ½x h h ¾ ¹ h h f h x f½ n¾ ¾ f½ f f h ¾ ¹h h¾f ¾ n¾ ½h f h h h¾ ¾ ¾x ¾ f x h f ¾ f h ½ h x f½ f h f 27. oldal

28 h f h x¾ x¾ x½ x½ ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ž b ç ^ç ^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \ç bc \` _\ _ a ^ç Г b ` _ ] ç I ¾ h f f n¾ h ½ f x¾m¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾¾ ¾ ¾ x x f f f 9 ff ¹ 28. oldal

29 T mnv = c q x Bq= q 0 f T f Vf¾ ¾ x f f q q, q, q, q,..., q } q, = { m q f x¾f ¹ f f f T = 1,..., m c = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { m m m m l, σ f ¾¾ fx¾¾ h ¾h f B ¹ n m ¾ h T x y x y y f = f, f, f, f,..., f } { n f, f x j y j f j n¾ ½ f f f¾ ¾ x x¾ y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f f f f f¾ ¾ x ¾h hn f f f ½ f f ¾x ¾ hn¾ f ¾¾ h f f h f f¾ ¾ f f f f h ¾ x f h f f x¾ f f Ix f f h ¾ f ¾ f f h ¾ f f h f x¾ x¾ ¾ ¹ h h¾ ff f x x x x ¹n¾ ½ f x x x x ¹n¾ ½ f f h f ¾ h f ¾ f x¾f ¾ h f x¾f ¾ h x¾ x x f ¾ ¾ ¾ fx¾ ¾ ¾ f h f f x¾ f h h ¾¾ h f h f x¾ 29. oldal

30 α = β = x y 1 1 x l l y f 1 x 1 y f x ¾¹ x ½ h f h h x2 y2 f x h¾ x ½ h f h h f f½ h f f ¹ h f f + α + β α β α β q + α q + β + f f = f f x 1 y 1 x 2 y 2 h f¾ ¹ fn¾ ½ f ¹x x f x¾ f ¹ ¾ B h ¾¾ f f f h¾f f f ½ f x f f ¾ f f ¹ f f ½ f f ¹ ¹ x f ¾ f f h f¾ ¹ h f f Bq= f h¾f h q ½ f¾ f f f f h x¾ f f h h¾ x mnv T = c q ¾ f f f f ¾x ¾ ½ h f h ¾ x f h¾ f f f f h ¾½ f h¾ ¾ ¾ ¾x x f f f ¹ ¾ f f 9 h f½ h¾ h f h f Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç I h ¾ f ¾ x¾ ¾ h x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾m ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f h f 30. oldal

31 h f x¾ x½ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x f¾¾ ¾ ¾ h f f f 9 f f ¹ T mn E = g d x Bd = u d 0 f E f d h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = {s1,s1,s2,s,...,s m } s, + s f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ h ¾ f T h¾ h¾ f = 1,..., m g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾f x B ¹ 2n m ½f h¾ T x y x y y h u = u, u, u, u,..., u } { n u, u x j y j f j n¾ ½ f f f f h ¾ h¾xx¾y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f h f f f f x¾ x½ f f f f h h f f x¾ x f ½ f f f¾ f x h f x¾ 31. oldal

32 f h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h ¾ h f h h x ¹ f½n¾ f ¹ f n¾ ½ f ¹x x f x¾f ¹¾ f B h ¾¾ f½ f h¾ f f h¾h h ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ f h¾ h¾ ¾ f f 9 h ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¹¾x x ¹ f f f f ¾¹ ¹ h h f h f f ¾¹ ¹ h h f x x f ¹ f λ ¾h x ¹ ¾ h f f½ x f h f h f 32. oldal

33 x¾ ½h f ¾ ¹ h¾ f ¾ x ¹ x ¾ f¾ ¾h f h h f ¾ h f f h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h f hn¾ ¾ f x¾ 9 h ¹ q f h¾ d f h ¾ h B ½f h¾ h ¾¹ ¹ f n¾ ½ h¾ u x x x f f h h¾f V f f h h¾f E f x¾,f f f h ¾ f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f hn¾ f ¾ h¾ h x¾ x f f h¾ ¾ ¹ h¾ f ¹ h f hn¾ f x h¾ ¾ ¹n¾ ¾ f½ ¾x ¾ h¾ f ¹ h¾ ¾ ¹ n¾ ¾ f½ f hn¾ f h ¾h h f ff f x ¾ f ¾ x¾½ x n¾ ½ f ¾ f ¾ f ½f h¾ f f f f n¾ ¾ f½ f x½¹ ¹ f f h¾ h¾ x¾ ¾ f f ¾ x¾½ f n¾ ½ f ¹ f ¾x¾ f½ f x _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ¾ ½x h f h ¾ x f n ¾ ½ ¹ x ¾ h h¾ h h¾ f¾ ¾h h I f f h h f f ½ x ¹ hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h f f x¾ f h ¾¹ x¾ x x ¹ f h f f f f x¾ ½ ¾¾ ¹ ¾ f f¾ x ¹ f ¾ h ¾h f ¹ f h f f fnx x x ¾ x x ¾ ½ f ¾ ¾ f¾ x f f f h¾ f h f f f 33. oldal

34 h f f f x¾f ¾ h h¾f h f f f x¾f ¾ h h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f f f f x½ x f h h¾ f f f h f ¾ x h f f ¾ f x ¹ f¾ f f x x ¾¾ ¾h f f½x¾f f f x f f n¾f f ¾ f f¾ ff x x f ¾ h ¾h ¾ h f x ¹ h¾ ¾ h f h x ¾h ¾h ff h f 34. oldal

35 h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f x¾f ¾ h h¾f x¾f ¾ h h¾f h f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾ x½ ½ f h h¾ f f h¾f f f h¾f h f ½ h f f h x x x f ¾ f x h¾ h n¾f f f ¾ f h x ¹ ¹ f 9 f f x ¾ f ¾ x x x ¾x x ¹ ¾ f _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ¾¾x x½½ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h x ¹½ f ¾ x¾ f x x½ ¹ ¾ x¾ f f x x x 35. oldal

36 h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f f h ¹ f f ¾¾ h ¾ f¾ h ¾ h h¾ f x¾ f ¾ h¾ - f h¾ f f h f f ¾ h f f ¾ 36. oldal

37 ¾f h f ¾ f ¹ f f f f ½ h h¾ f h h ¾¹½h f x f h f f¾ h h¾f x f½ f f¾ ¾ f f f fn¾ ¾ f h ¾ f f ž \a ` \^ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç f ¾ x ½ x h h¾h f ¾¾ 9 ½ x h ¾f x f ¹, f f x ¹ ¾ x¾ - f¾¾ n f h¾ x f¾ ¾x¾ ¾ x ½ ¾ f f ½ ¾ f ½ ¾ ½ x x, x¾ f f¾ x¾ f f f ¾ h f ¾h f x f ½ f f x x x x¾x ¾¾ f f f h¾f¾ ¾x ¾ ž b[ b _b` ç \ç _ _ç, f f x ¹ ¾ x¾¾ ¾x ¾¾x ¾ f f h¾ h¾ f h h f h¾ ¾ h f h ¾ x x f f f h h f f B d = u + α + β α β β + α s + β n α u u = u u x A y A x B y B α x¾β f n¾ ¾ f½xx¾y h ¾ x ¾ ¾ f 37. oldal

38 h f ½f h¾ h f ½f ¹¾x f sx¾n ¾¾ x¾ f h¾h f ¾ ¹¾x f f¾¾ n f h¾ ¾ n = s * tg( φ) ¾ ¾x ¾f f¾¾ n f h¾ ¾ h f f f ¹ ¾¾ x¾ f f¾ ¾ f sx¾ n ¾x x f f f n½ x¾f, x¾ x ¾ p s N p d = = 0 2 ( ) ( ) tg φ tg φ p n f N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } f f h h¾ f h f p x¾ p , 1 p x¾ 2 p f x½ x ž ž a ç ç _ b ç [ ^ç h¾h f nx f ¾¹ ¹ h f f d h¾ ¾ x f f h h¾f f x ½ n f f f ff f x f f¾ ¾ h f x f ¾ h ½ x f f f f f 38. oldal

39 ½f n h ¾ ¾h x ¹ ¾ x¾ f h x ¾h ¾h ¾ h h¾h h f ¹ ¹ f f f f f f ¾h h f x¾½ f f h f ¾ ½x h f f½f f ¾ f Ih f f f f f ¾h h f x¾ ½ f f h f ¾¾ ½x h f ¾h f f½ ¾ x¾ ¾ h h¾ f½ ¾h x ¹ h¾ f x¾ ¹ x ¹ f ¾h h f x¾f h f f h f ¾h h f h f ¾f h f h f f f ¾h fx¾f h ¾ ¾f x¾ ¾ h h¾¾ ½ h h f x¾ h ¾¾ x ¾ ¹ f f h¾ f ¾¾h ¾ ½ h x ¹ ¾ ¾ h¾¾f ¾¾ ¾ h h¾ h¾ f½n¾ x¾ f f½ h ¾ ¾x ¾ f ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¾ h ½ n f f f ff f f f 9 f T T T λf d = f d g p L D + T D s n s n n s n s n n f f = f, f, f, f,..., f } x¾ f = f, f, f, f,..., f } x¾ s D n D s L { D1 D1 D2 D2 n L Dm T L { L1 L1 L2 L2 f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h f = 1,..., m Ih ¾ x f u= 0 x¾¾ x f f h ¾ f f x x f h ¾ h h h¾ f x f x ¹ f T L d = 1 ¾ f f f f f ¾ x x¾ f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¾ f f x¾ f h f f f h¾ ¾ h f ¾f ¾ ¾ h ½ x ¾ ¾ h f f h f ½ ¾h f f½f f f f x¾ f¾ h f f f Lm 39. oldal

40 h f f x¾ h f f f f f h n¾ f h x ¾h f f½n¾ f f ¾ h¾h f¾ f f ž Ÿ Zb _ ç [ ^ç ¾ x ½ ¾ f¾ f x¾ f f¾ x¾, ¾ x f x f ¾ h h h¾ ¾ f f ff A B Cx¾D½ f ¾¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f x¾f ½ ¾ f n AB = n BC = n CD x x¾¾ x f f¾ x¾ ¾ x f h h h¾ f f f f ¾ f f x¾, ¹ ½x h ¾h f f½ f f¾ ¹f h¾ ž a _ ç] Z ç [ ^ç, f f f h h¾ f h¾ f f f x f ¾ ¾x x f ¾ f h h¾h h f ¾¾ x¾f f f f f f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x x¾ f f f x f ¾ f, ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¹ x½½ f fn¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ h f sx¾ n h ½ ¾ f f f f s d = Wβ Wα n T [ ] f D f Wf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f ¾¾ x¾ f h f ¹ f ¾ f f ¾ h ¹f x x T f L f f f ¾ ž _ az ç f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¹ ¾ h f ¾ ¾ ¾ x¾ ¹ x x f ¾ f f ¹ ¾ ¾x¾ 40. oldal

41 ¹ ¾ ¾ h¾ ¾ h f f ¾ J h f ¾ f ¾¾ ¾f f h f x¾ f x x¾ ¾ x ¹ ž ` _ _ ^ç ½ x f h¾h f½ x x x ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾h f ¾ f f f f x f x x ¾ f f 9 h f ¾ ½ ¹ ¹ f x¾ f h f ½ f f f½x f ¾h x h f h¾ f f ½ x x x x x ¾ f f ¾ ½ ¹ g f f x ¾ ½ f s x¾ n x x f h f f ¾ f x x¾f ¾¹¾ h¾ ¾ x x x ¾ ¾ ½ ¹n x x x x ¾ f ž _] çг b ` _ ç _ ç ¾¾ f f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ ½ h f f 9 f f ¹ T T T mnλf d = f d g p L D + x Bd = 0 Np d = 0 f T d = 1 p 0 L f f x¾ f f f¾ ¾x¾ ¾ f f f d f x T f f h¾ d = { s1, n1, s2, n2,..., nm} s, n f x f f 41. oldal

42 h ¾ h¾ x¾ h h ½ ¾ f = 1,..., m T g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾ f x B ¹2n 2 m ½f h¾ h N ¹ 2m m x½ x ¾x h p f p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f f f f f p x¾p f f f f p d x¾λf 9 h Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çc aç \ ç _ ç Z Z _ç 9 f f h¾h f ¹ ¾ f ½ f h h¾ x¾ f f f f f h¾ f 9 f f h¾h f x ¾ f f h f x f f f x ¹ x½ f f¾¾ f 9 f x½ x¾x ¹ ¾ f f x¾ ½ n f n ¾ ¾x h f h f f ¾ f h fnx x f ¹¾x f f f h x x f h¾ h x¾fnx x x x h h f ¾ ¾x x x½ f½ f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾x ¹ ¾ f ¾ ¾x f f h¾h f ¾ f f¾ h f f x n¾f ¾ f½ x h f f f ½ f x¾f f ¾¾ ¹ ¾¾ x x¾f ¾ x x ¾x f ¾¹¾ h¾ ¾ x f ¾ x¾f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ f f f f ¾¹x f ¾x ¹ h¾ ¾¹ x½x¾ f½ x¾x ¾ h ¹h h¾f h f f f f h f h¾ h ¹x n¾ f f h f½ x f h¾h 42. oldal

43 @h h f 9 h f 9 x¾x ¾ f x ¾ f Pontok sorszám x y Élek Él sorszám kezdıpont végpont él tulajdonságok sorszám x y sorszám x y hossz sznusz kosznusz szabad perem-e ,00-1,00 0,00 nem ,00 0,00-1,00 nem ,41-0,71-0,71 nem ,24-0,89-0,45 nem ,00-1,00 0,00 nem ,41 0,71-0,71 nem ,00 0,00-1,00 nem ,41-0,71-0,71 nem ,24 0,89-0,45 nem ,41 0,71-0,71 nem ,00 0,00-1,00 nem ,00-1,00 0,00 gen ,00-1,00 0,00 gen f f 9 f f f f½ ¹ x¾ ¹ h f h Ih x x f f f 43. oldal

44 ½ h x x x x Ih x x x x ¹ x¾ ¾ 9 f f h f f f f f ¹ f ¾¾ f ¾ ½ f f f f½ h f ¹ ¾ f h ff f h ¾ f ¾ f ¾ ½ f x ¹¾ ¾ h f f Ÿ _ b ^ç f f ¹ f h f f x f ¾ ½ ½ f f h f ¾ ¾ h ¾ h f f h f f f x x f f f ½ f f ¾h ¾ f f ¾ ½ f ½ x x f f f f ¾ ½ h¾ f½ x f h ¾ f f h f Ÿ ž _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç x f 9 f f h¾h f f f h x¾fnx x h f ¾ f ff f fnx x x x h ¾ nx x f nx x h f f ¾ x x¾ ¹ h ¾ ½ f f f ff ¾ h x¾ h x f f ¾ ½ ½ f f f ff x ¾¾ h f x¾ x h f ¾ f h f f nx x x x f ff h x ¾h ¾h f f x x ¾ Ÿ Ÿ ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç f f f ¾x¾ x x x¾ h f ½ ½ ¾ f ¾ h f x¾ f ½ n f n h f f Ÿ ç Z [ ç` \ ç f h x x¾ ¹ h f ¾ f f f ff f T d = 1 x¾ ¾ ¾ ½h f f f h n h ½ x ¾x x f f f f L 44. oldal

45 ¾ x¾ ¾ ½f h ½ h f f ¾ ½ x ¾ f Bd = 0 x¾ ¾ f f f ff Np d = 0 x¾ h f f - h f ¾ ½ f f h f f½x x ¾ f h¾¾ h ½ f ¾ ½ f x ¹ ¹h f f h f x x f h f x x f f ¾ f ¾ ¾ ¾ n¾ ½f x ¾ f f f n ff h h ¾ h¾ f x ¹ x¾ h h¾f f f f ¹ f f ¾ ¾ x f x ¾ f x¾ ¹¾x x¾ ¾ ff f f x¾ h h ¾ f x¾ ¹ f f h Ÿ ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç, x¾ ¾ f f ¾ h x f f h x¾f h x x x ¾ f h f ½ h ¾ ½ f h f f f f f f ¾ ½ ¹ ¹¾x ¾ f ¾ ½ x¾ f f f ¹ f ¾ f ¾ f ¹¾x f¾ f h ¹ ¾f 9 f f f h x¾ x¾x ¹ x ¾ f ¹ f f f f x¾ f x¾ f f f f f f ¾ f ¾ f ¾¹ f f f T d = 1 x¾ ¹ f x x x ¾ f x¾ h f f f f Ÿ c aç \ ç _ ç Zb_ ç, ½f f n¾ f f f f f f f f L fnx x h f x¾f h x x x ¾ f h ¾ h n f f f fnx x x x fnx x f h f h f f f f n h 45. oldal

46 f f f f ½ h f f h x¾f h x x x ¾ f f h x ¾ f f f f ff ½ ½ f f ¹ f h f ½ n f n, h f ½ n f n, h¾ f f f f½ fnx x x x x f f x¾f h x x x h f h ¾ f f f f x h h f x½ f½ f f h f h h 46. oldal

47 Élek Pontok Sorszám Él sorszám tulajdonság s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 együttható mátrx ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 1 2-1,00 0,00 0,00 1,00-0,71 0,71-0,89 0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 3 0,00-1,00-1,00 0,00-0,71-0,71-0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 4 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,71 0,71 0,00 1,00-0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 5 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00-0,71 0,71-1,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89 0,45 0,71 0,71 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,45 0,89-0,71 0,71-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 8 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00-0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 9 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 = ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 F ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 Operátorok Jobboldal célfüggvény vektor Változók Célfüggvény értéke 0,00 1,00 0,00 0,00 0,35 0,35 0,45 0,89 0,00 1,00-0,35 0,35 0,00 0,00 0,35 0,35-0,45 0,89-0,35 0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,00 1,00 1,41 1,41 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,41 1,41 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,14-2,70 0,24 2,21 0,19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,19 1,00-1,43-1,70 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,00 0,00 2,70 2,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,55 0,05 0,00 0,00 0,78 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,19 0,00 0,00 2,70 3,13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 célfüggvény értéke: 8,37

48 @ x¾ x½ ½ f h n f x f ¾ h¾ f f f h¾ ç` ç[ ^ba Z ç ½ ¾¾h f ¾ h h¾ x x x ¹ f f f h ½ f ¾ ¹ ½ ¾ x f ¹ x f f f½ ¾¾ ¾ ¾x ¾ hn h ¹ h f h¾ ¹x ¹ ¾ f ¾ ¹ x ¾ ¾x ¾ ½ ¾¾h x¾ f ¾ h h¾ f½n¾ f h f x f, f ½ x f x f ¾f ¾ f ½ ¾ h h f x¾x 9x f x h f ¾ f f ¾ h¾ ½ h f x n ¾ f¾ ½ f f ½ f ¹ x f ¾½x f ¾ ¾ x h f h f f x ½ x h f ¾ f x f f f ¾ f¾ h ¾ x ¾ h x½ f ¾ ½ h h¾ f f x½ x ¹ ¾ h h¾h h f f½ n n ¾n hn¾ ¾ f ¾ x f f ¾ ¾x x f f ¾ ¾ f¾ h h¾ ¹x¾ f f x n¾ x¾x hn ¾ h h¾ f ¾ ¾ h ¹¾ h ¾x ¾x h f f f f f f x hf h¾h f f ¾x¾ ¹ f x h x¾ ¾ f¾ f f¾ f¾ n x ¾ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹h f f h ¾h f f ¾ f f½ 9 h f f h f Z a _ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç Г b ` _ ç f h¾ f f½ h f ¾ h ¾f ¹h f ¾ x f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n ¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ h ¾ ¾ 9 ff ¹ maxλ x f

49 T B t+λf L q= f D N T q g, T x y x y y x f t = t, t, t, t,..., t } t, t { n y f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ f = 1,..., n u f f ½f ¾h f h ¾ ¹ qf x f T x¾ h h q = S, N, S, N,.., N } f Sx¾N f x f x¾ h h ¾¹ ¹ x¾ = 1,..., m { m ¾ fλ S x¾n nx λ f f h h¾f f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x ¾ f, x¾ x ¾x x¾ 9 f x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f B t +λf L q = f D T x t A y s s + α + β α β t A f S L f D + λ = n n x β + α + β α tb f L N f D y tb ¾¾ x¾ n f f h¾ f f½ h ¾ h f h f x h f x f ¹ h f x f ¹, x¾ x x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f T N q g, 49. oldal

50 1 tg( φ) S cl, 1 ( ) tg φ N cl h ¾ h¾h f x f f ¾¹½ ¾ ¾ f h ¹ f½ h x¾f h f f ½h f ¾f h ff ½ h f ¾ x¾ t t Sx¾N x x ¾ x½ x f f h h¾ f h f ¾ ¾x ¾ f f f n¾ ¾ f f h h f, x¾ x ¾ x¾x h f f f h f f f f½ h ¹h f ½ h f f ¹ h ¹f f¾ h¾ f f½ h ¾ ¾x ¾f ¾ f f ¾¹ ff x½ x f f h h¾ f h x¾f x ¾ f f ž çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç, h f h f ¹ ½ ¾ x x x¾x f x h ¾ ½ f h¾ f f f f f x f ¾ ¾¾ ¹ x, f f h ¾½ f h¾ f f m all n( n 1) = ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f f f h¾ h ¹ 2 ¾ h h¾h f ¾ n¾ ¹ ¹¾ f f ¾ x ¾ h x½ f f ¾h h f x x f x x f ¾h m m f n¾ f 9 h ¾ h h f f f x ¾ ¹ ¹¾ n¾ x¾x ¾ h f ¹ f f x¾x f ¾ ½ h h¾ h h¾ x h ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f 9 f f f f x hn ¾ h h¾¾f f f f¾ f f¾ fn¾ ¾ f½ ¾¾ h f f h f n¾ f x f f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h f f ¾¾ f 2 f f h ¾x h ¾h f x ¹ ½ ¾ x ¹ m= 4n ¾x ¾n¾ ¾ f½ f½ f f ¹ ¹ x½ ¾ ¹¾n¾ x¾,f m~ = m m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ h f¾ f f f f all h ¾½ f h¾ f f f x¾ f f f, 50. oldal

51 ½ f ¾ t t x x x x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ~ S + α ~ = N β + β + α α + β t β t α t t x A y A x B y B f + λ f s L n L + f f s D n D x¾ S ~ x¾ N ~ f f f ff ¾f x½ ¾ ½ ¹Sx¾N ¾ 9 h mx ¾ h f Sx¾N m ~ x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ¾¾ ¾ ¾x ¾x ¹ ¹f, x¾ x f f x f x x¾ f 9 ½ x h f x¾ S ~ x¾ N ~ ¾x f, x¾ x ¾ f f¾ ¾x f f x x¾ x hf f 9 ½ x h f hf x ¾ h h x ¾ h f¾ f f f h¾ 9 ½ x h f ¾ ½ ¹ x ¾ h h f ¾ f ¾ ¾ h f x¾ ¾ h¾ h h¾ ¾ f f f ¾ ¾ ¾ ¾ f f f½ h¾ ¹¾ h hn x f f f ¾ f h ¾ f x¾ ¹¾ n¾ f h¾ ¹x¾f¾ ¾x ¾ f x½x¾ ¾ x f hn ¾ h h¾ f½ f ¾ ¾x x f ¾x ½ h f f ¾ f f ¹ f h h f ¾ x½x¾ f ¹ I I I ¾½ x f ¾ h h¾fn½ f ½ ¾¾ x¾ ¾¾ h f½ x h ½ h x 9 ½ x f h¾ff f h ¾ x ½ x h f 9 ½ x f h¾f x¾ f f½ h f ¾¾ ¾m f x ¹ f, x¾ x f f ¾ f x f ¾x f x f f h f h x x¾ x hf f 9 ½ x h f f x½x¾ ¹ f f f h x½ 51. oldal

52 I f h x f ¾ x ½ x f h¾h f ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f hn¾ ¾ f ¾ x ¾ ¾x ¾ hn¾ f f f f 9 f f f f h¾ ¹ f ¾ ¾x ¾ f ¹¾ n¾ ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f ¾x ¾ x ¾ x f h¾ ¹ f f ¾ ½ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹ f f x f ¾½ x h ¾ f h f f h¾ ¹ f f x x f ¾h f¾ a[b`bz aç a\ b bcç _ ]b^ç x f f f h f h x ¾ x f f f f f ¾ ¾x x f ¾ h f h f x f f ¾ ½ x x¾h f h f f f h f f h ¾ ¾ f ½ f f ¾ ¾ h f f Z ç _ ]ç h h¾f f f x f h f ¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ x nx¾ φ x x x f f f f x f f f ¹ f ¾ f x ¾ ¹ ¾ cx x f x x x h f ¾¾ ¾ ¾ h f f ¾ f ¾h x x x ¾¹ n¾ x¾x f f x fφx x x x ¾ h f¾ f n¾ f f h f x ¹ x x ¾ ¾x xx f ¾ x ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f értékőt fφx x x f¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ h ¾ ¾ h h¾h h f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f f ¾ h ¾¾ ž a\ b bcç _ ]b^ç ½ f f f ¹ ¾ x f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f ¹ x fn¾ ¾ f½ h h ¹x x h f f f f ½ f ¾h f ¾ ¹,x ¾x ¹ ¹ 52. oldal

53 h¾x¾fn¾ ¾ f½ h h ¹f ½ f x x f h f f f h f x h f x f ½ f ½ f f f f Ÿ `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç f f¾ h, x¾ x h h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f f x f h ¹x¾f ¾ h ¾h f½n¾ f h h x¾ x x ¾ x¾ ¾ x f f f f x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ f - h ¾ x¾ x ¾ x f h ¾ ½ f h¾ f¾ h f f x¾ x ¾ h¾ ¾ nx f ¹ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾f¾ f f f f x¾¾ h ¾½ x h 9x f x ff f ¾ x¾ x x¾x f h f 9 ¾¾f f h ¾ x¾ f h x x x¾ ¾h f ¾ f ¹ ¾ - ¾ h ¾h f f h ¾h f f ¹x x f ¾ f f f ¾ ¾x h ¹ ¾ f f ¾ x ¾ ¹ x ¾x f ¹ x f ¾¹ n¾ x¾ ¾x ¹ x x¾f 53. oldal

54 54. oldal h ¾ x f f ¾¾ ¾ x x¾ f f f ¹ ½ ¾ f ¹ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ f x¾ x ¾ ¹ h f h ¾ x¾ x f ¹ x½½ ¾, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c b b a a c c b b a a l c l c l c l c l c l c N S tg tg tg tg tg tg φ φ φ φ φ φ f k φ f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ k c f ¾ f x ½ h f ¾ h f h¾ ¾ f h f ¾ f f ¹ x½½ f f,9f,9f

55 N p d 1 = a tg( φ ) 1 a tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 c tg( φ ) 1 p 2 p 1 1 p c 2 tg( φ ) p 1 p 2 p a b c s = 0 n a b c h f ½½ h h ¾ h f ¹ ¾ h¾ ¾ h f h f f h¾ x½ x h bz aç^ ç f x x¾ f h¾h f f ¹ ¾ h ¾ ¾x h f½ f x½ x f ¾h f f f f f ¾h h ¾ x ¹¾x f ¹ x½ x ¹ x ¾ h h¾h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f¾ h f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾ h ¾h h f f ¾ h ¾h ¾ h f h x¾ f ½ x¾ ¾ ¾ h f h f f x¾ x½ x¾ h¾ ¾ f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾h f f ¹ x½ x x¾ ¹ ¾ h ¾h x x x f h h¾f h h ¾ f h ¾ x¾ x f f½ h x 9 f f ff f ¾ Z _ aça \_ Z ç _ `ç x f f f ¹ f f f f ½ ¾ ¾x ¾ ¾ h ¾h f f f f f f f f ¾ h ¾h h f ¾ f¾ h f f x ¾ h ¾h x x¾ f h ¹ x ¹ f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾x ¾ h f 55. oldal

56 h x ¾ h x ¾ _ b _a\ç^ c ç _ ` ^ç h f n¾f h¾ h¾ f f f ¾ h f f¾ h ½ x h f h¾ h¾ f ¾ ¾ h¾ h¾ ¾¾ ¾¾x x f f f f f n f ¾ x f f ¹¾ h¾ x h f ¾ h f x¾ f f h f x¾ f f 56. oldal

57 ¾ ¾ ½x h ½ ¾f ¾h f f½ f h f f ¾ x f h¾ f f f f h f ¹ h¾ ¾¾ x f h¾h ¹ x ¹¾ h h¾ h h¾ f f ¾ ¾x x½ ¾ x x ¾ ¾x ¾ f x ¹ h¾ x¾ ¾ f f f x x x ¹ h¾ x¾f ¾¹ ¹ h f f h¾ x h ¾ h h¾f h¾ ¾ x f h f h f h f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f f x¾ ¾ f ¾ h f x f f ¾ f ff ¾x¾ x x x x¾ f ff¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ x f h n¾ ¾ f½ f ¾¾½ h f f 30 h f f ¾¾½ h f f f,f f ¾ h ¾ h¾h f f h¾h ff f ¾¾½ h ¾ f f h¾ h h¾ x x h h h¾ f ¾ n = u lω ω f f ¾ x ¾¾x f¾ h¾x¾ 57. oldal

58 1 u= 0,5 π tanφ 1+ e ¾ h x x ¹ ¾ h h h¾ n = a tanφ + u lω x¾ ¾ h h¾ f x f ¾h f f ¾f,½ h f h¾f f, x¾ x ¹ f f ¾ x f h¾ ¾ h f ¾¹ f 2 u l ω c W = tanφ f ¾ h¾ ¾ h f ¾¹ h ¾¹ ¹ f f f f hn h¾ x h h f f f f x f f¾ ¾ h¾ h¾h f n¾ x¾ f f f h h h ¾f h¾ f f ¹ ¹f ¾¾ x¾ x½ ¾ ¾ h f h f f f ½x h _ ] ç \Z _ ` _ ç f¾ h f f ¹¾x f f f f f h¾h f x x ¾ f f h¾h f f x x ¹ f h¾ x f E AB = U ABn AB f E x x ¹ f h¾ x f U f f f h¾ ¾ h f ¹f x n x x x ¹ h h h¾ x¾ f f f h¾h f x ¾¹ h f T T T T mnλf d = f d + g p u d L D T f u = 0, u,0, u,..., u } x¾uf x f f f h¾ f = 1,..., m { 1 2 m 58. oldal

59 x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f¾ f f f ¾ f¾ h h ¹ ¾ f f x 59. oldal

60 ç` Z _ _ çc bz `ç ¾ ¹ ¹¾x f h¾fx¾f ¾ x x¾ x x ½ f x¾ f¾ h h¾h f f f ¾ f¾ h ¾ h f x ¹ ¹ ½ h¾ ff x f h f nx f f f h f f h x¾ f f f f f h¾ f h f h f ¹¾x f h f½ f x¾ f x¾¹ ¹ x¾ ¾¾ ¹ f ½ f f h h¾ x x¾ x x f ¾ h¾ x x¾ h f ½ x h f x¾ f h¾f f f ^\a çç x h¾h ¾¹ x½x¾ f½ x h ¾ h f ¾ h f ¾¾ ½ f x¾f ¾x ¾ x¾ x½ f½ f ¾¾ ¹ x x¾ f f f h f f ¾ h h¾ x x f f f h¾ ½ ¾¾h h f f f x x h¾¾f ½ ¾f x f½ f -f h¾ ¾ h h¾f f f f ¾ h h¾ ½ x h ¾ f f ½ f x¾x x¾ ¾ ¾ ¹ h¾ ¾ x ½ x f x x¾f h¾ x x h ¾ f½n¾ f f h h¾¾f x f ½ ¾¾h x x¾x f h¾ f f f¾ h h¾ ½ x f x x f ¾ h ¾ x x¾ f h f x f f f f f, n¾ f h¾ ¹, ¾ ¾ f h f 9 h f f ¾ h¾ h f f ¾ ¾ ¾ f¾ h ¾¹ x ½ f f ¹¾ ½ f ¾f f f f h h¾ ¾ x n¾ f f h¾ ¹ ¹ ff h¾ ¹ n¾ f f 60. oldal

61 f¾ h h¾f ¾ x ¹ h¾¾f h f ¾ f f ¹ f f ½ f x x¾ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾h f¾ h f f f ¾ h f¾ h¾h ¾ h f f¾ ½ x¾f ¾¹½ ¾ ¾ h¾ ¹¾x f¾ h f h¾ ¾f¾h h f x¾½ ¾¾h h f x x¾ f ¾ h h¾ ¾ f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f h¾ ¾x¾ f ¾ ½ x f x x f f f f f h¾h f ¾ x ¹ f½ ¾¾h x x¾ ½ f¾ ¾ ¾ f¾ h f h f x f f h f¾ h¾h x¾ f½ fn f h f h ¾½ f h¾ f f f ¾ n¾ f f¾ h f ¾h h ¾ h,h¾ x¾ ½ f ¾ h h¾ ½ x f x ¾ ¹¾ h¾ ff ¹½ f h¾ h f¾ h¾h ž ` a ^ç x¾ x ¾¾½ n h f ¹f f x f f f h h h f f ¾¾ 61. oldal

62 @h h f ¹f h f ¹f ½ x¾ ¾ f f¾ ¾ f 9 x f n x¾ f f f f f f ¹ h h¾ h¾ ½ f f f f f f ¾ f f f ½ x h ¾ h f f f h¾h f f f½ h f f x½½ f h ¾ h f x ½ h ¾h x¾f½ ¾ h h x¾ f f ¾x ¾x ¹ f f f ½ h ¾ h f ¾ h f f x ¾ f h¾¾ ¹ f¾ ¾ x ½ ¾ h f h ¾ f f f h f f h¾ n¾f f x f x f f f x ¾ f f f h h ¾ h f ¾ x x f f f f x h hf ¾ f f¾ ¾ h f h f ½ x f n¾f x ¾ h f x f f x¾f ½ ½ ¾h ¾ f h ¾ f f ¾ f f f f f f f ¾ f h¾ ¾f f n¾f x ¾ h f h f f ¾ f h¾ f f f ¹ f n ¾ ¹ f f ¾h f ¹ f f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ x¾ ¾ x f f f h f f f ¹ f f½ h x¾f x f f ½f f x n f h h h¾ f h¾f ¾¾ ¾x ¾ f f ¾ ¾ h h f ½x h ¾ ½ h h¾ h f¾ h f ¾ f f ¾ h f h f x f½ f f ¾ f f h f x¾ ½ f f Ÿ bcb_ Z\ ç b_ a ^ç^ \ç ½ f h h¾h f f f h f h f f ½ h h x¾f h f½n¾ x h f ¾ f ¾ h h¾ x x h¾ ff¾ h h¾ ½ x f x x f f f f f h¾ ¾ x ½ h h h f f f 62. oldal

63 ½ f x h ff¾ h x½ h h f f½ h h f x ¾¾ f ¾x¾ ¹ x ¾ ¹ f f f ¾ x¾ h h f x¾ ¾ f ¹ f f f f x¾ f ¾ x f ¾ x n¾ ½h f f f f x f ¾ f x¾ f f ¾ ¾¾ f x ¾ h f h f h ½ f h ½ f h h¾fx ½ ¾ h f ½ ¾ h f h¾ h h¾ ¹¾x f x¾f f½n¾ f x x ¹ h¾f h¾ ¹ x f ½ ¾ h f h f f h f f f f ¾ h f f f½ h h f x ¾ ¾x x f¾ ¾ h x¾ h fx x¾x f h f f f f f½ h h f½ ¾ ¾ h f f½ ¾ h ff O h h f f¾ x f ¹ h h f h h f½ ¾ ¾ h ff ¹ x½ ¾ h f 63. oldal

64 ¹ ¾ h f x f x x x f ¾ h x ¾ f f f f nx ¾ h ¹¾ f ¾¹½ ¾¾ f ¾¾ ¾ f f h¾ f f f f ½ ¾¾ h f f f ½ f ¹ f ¾¾ ¾ ½ f ¾ h f f x ¹ h h f f 9 ¾ ¾ h h f x ½ f ¹x ¾ ¾ h f n¾ ¹¾ h f ¾ f f ¾¾x ¾ f f ¹ x¾ f f ¾¾ ¾½ ¾ h f x¾ f ½ f ¹x ¾ ¾ h f h f h f 9 x¾x ¾¾ x¾ 9 x¾x ¾¾ x¾ f x ¾ x f f ¹x¾f x ½ h f ¾ ¾ h f f h f h¾ h¾h f x¾x n¾ ½h f x 64. oldal

65 f f ¾ ¾ h x ¹x¾ x ½ h f ¾ ¾ h f x x ¹ h¾ f ¹ f h h hf½ x x ½ h f ½ f f f½ h f f ¾ hn ¾ f ¾ x ¹ -f h h ff f ¾ ¾x x ¹ f x¾ 9x h h f h¾ f f f f f f f ¾ fx f f f f f f x x¾f h¾ ¹ ¹ h h f f ff x ¾ ¹ h h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h f ¾ h¾ h h¾ x¾ x, f x -f - n¾ h¾ ¹ f - n¾ n¾ x x¾x 9 x x x x ½ f ¾ h¾ ½ f ¾ h¾ h ¹ - x¾ x¾ ¾ n¾f h f h¾ f ¾x ¾, h¾ f f x ¾ h f h f f f h¾, f ¾ ½ h h¾ ¾ x ¾½ x h f n¾f ¾ x¾ x f h¾ f f f h ¾ x h x ¾ h f f f ¾x ¾ x ¾ h h f ¾x ¾x ¾ h h f f x¾ ¾ ½ ¾ f ¾ f f f x f hf ¾x x¾ ¹ f f f x½ x¾f ¾x ¾x ¹ f ¾¾ ¾x f f h f x½ h f f ¾¾ ¾x ¾ h f f x½ x¾ f ¾ f ¾¾ ¾x ¾ h h f ¾ x h ¾ f f f h x h f ¾ h f f ¾x ¾ x ¾ h h f x ¾ x f n¾ f ¾x ¾ x f f h f f ¾¾ ¾x ¾ h h f fx x ¾ ½ f f x ¾x ¾ f ¾ 65. oldal

66 x x¾f½ f½n¾ f x ¾ ¾x x ¾ f f ½ x¾ h h f½n¾ f h x ¾x ¾x f f ¾ ¾ h f f f½ h f f f h f ¹x¾ x ½ h h ¹¾ x f ¾x ¾x ¾ h h f f f x ¾ ¾ h h h ¾ h ¾ ½ f¾ h ¾ f x ¾ ¾ h ff ¾¾ ¾x f f h f ½ h f h f ¾ x ¾ ¾x x f ¹ x¾ x ½ ¾ ¾ h f ¾ h f f x x ½ ¾ ¾ h f ¾ x¾f ¾ x f½ f x ¾x ¾x ¾ ¾ h h f f h f f x ¾ ¾x x f h h f x ¾¾ ¾x ¾ ¾ h h h f ¾¾ ¾x ¾ h f f f f x ¾ ¾ h f ¾x ¾ x h f f ¾x¾ ¾ f ¾ x¾f x¾ ¾ ¹ n¾ ½h f ¾¾ ¾x¾ ¾x ¾x ¾ h f f f f h h f f ¾ h f h f f f f f x f f h¾ ¾ h f f f½ x f h ¾ f h f x x ¾ f h x f Г\a \ çc bz `b \ç _ ç _ ç f f f ¾ f f h h h f h f f h x x f ¾ f x f f f f ¾f h ¾½ x h ¾ x ¾ f f h¾h f x ¹¾x f f f ¾ x¾ h f f f f ¾ f h f f ff h f h¾ ¹¾x f ¾ h x x f f f ¹ f x x¾¾ f½ f f x f hn f h h f f f f h¾, f ½ h h¾ h f ¾¹ h¾ f¾ h ¾ ½ h h¾¾f ¾ f 9 h¾ f h ¹ ¾ f x¾f x f½n¾ f h h f f f f h¾h f f f x ¾ f - h ¹ x f¾ f ¾ f f n h h f oldal

67 ½f f x x¾x ¾ x f f h ¾¾h f h x ¾ f¾ h f ¾ ¾ f f f h f f f ½ h f ff f ½ 9 f n¾ ½h f ¹ x x x h f f ¾ f f ¾,h¾ ¾ ¾ f ¾f ½f f x ¹ h f ½,f f f f, x¾,f f f f ¹¾ f f x h ¾ x¾x f h f f x x¾ f h f x ¹¾ f½n¾ f h f n¾ ¾ f f f f x x¾ ¹ x ¾ f f f¾ h h¾h f f¾ h f h f f ¾ f ¾ ç_\a \ çc bz `b \ç _ ç` Zb_ ç h ¾½ f h¾ f f f h f f h ¾ x¾ x ¾ ¾ ¾x x f f¾ ½ f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ ½ 67. oldal

68 ¾ f h h f x¾ ½ ¾ x f½ f f h¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n¾f ¹ f h¾ f¾ h f f ¾ ½ h h¾ ¾ x hn ¾ h h¾ f ¾ h ¾ ½ x h x¾ f x hn f f x f f ½ x h x¾ f h ¾ ¾ ½ h h¾ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ f x f f f h ¾ h¾ h h f f ff h¾ ¹ h h¾h f½ x f x ¾ h h f x¾x ¾ h h f¾ f f h¾ ¹ f x ¾ ¾ x f¾ ½ ¾f f f f h¾ ¾ ¾ x¾½ f f f f f ½ f f f ¾ ½ h h¾ h ¾ f f x f ½ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ h f h f h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h ¾½ f h¾ f f h¾h f f 9 x ¹ -x ¹¾ ½,,f f f f ¾ ½ 9 ¾ ¹¾x 68. oldal

69 ¾f¾h f x¾f n f½ ¾¾h f ¹ f x¾ x¾x x f x f ¾ h h f f f½f¾ f f f f ¾¾,f f x½ h ¾½ f h¾ f f h h¾f f h f ¾ h x½ ¾ f¾¾ ¾ ½ f ¾f ¾ f f f x f ¾ h ¾ x ¾ ¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n h f h ¾ x ¾ x ¾ ¾¾ x ¾ h f f f f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f¾ h f f x f ¾ h f x ½ ¾ h h¾ f f f ¾f ¾ hn f ¾¾ x f x x ½ f f h¾¾f x¾ n n¾ x¾ f f ¾¹ ½ ¾ ¾ f ¾ f h f x f f x h¾ f f f ¾ h f f f, ¾ h ¾ h f¾ h f ¾ h¾ f h¾ nx f x ¹ f½ ¾ f ¾ ¹ ¾ ½ x h ¾ f f ½ f n¾ f f f½ ¾ x h f ¹ ¾ f,f f ¾ ¾ f ¾ ¾ f,f f f ½ x¾ h x x f ¾x n n ¾, ¾ f f ½ x¾ h f f h f½n¾ f h¾, ¾ f ¾ f ¾ ½ ¾¹½ ¾ ¾ ¾ x f¾½ hn¾ f f ¾ f¾ h x½ f½ x h x½ f h¾ ¹ f f x f f f f¾ h x½ ¾ ½ f f¾ h f x ¹ f½ f n¾ f f¾ f f h¾h f x¾ x f f ¾ h f 9 -D f 9 f ½ f f ¾x¾¾ f f h¾ f ¹½ f n¾ f h ¾½ f h¾ f f h¾h f ¾ f 69. oldal

70 h¾ ½ f h¾ ¾ x,f f f n¾f h¾h f f n¾f ¾ 9, O h f x f 9 x ¾ f¾ ½ ¾ ¾ f h¾ f x x½ ¾ f f ¾f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ f f f ¾ ¹ ¾¾x ¾ ¾ f h f h ¹ ½ ¾ f x x f f h n h f h f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ h f f¾ h f f f x¾¹ f h¾ x f, ¾ h ¾ h f¾ h Z _ b çc bz `ç x¾ ½ f nx f f¾ f f f f h f x¾f h f f ¾ ¾ f¾¾ f f f h¾ f ¾¾h ¾ f x f¾ f f f f ¾ ½ f f f ¾¾ ¾ ¹¾x f ¾ f h f ¹ ¾ h f f f n f x½ f½ f f f½f f x¾ x¾ f f ¾ h f f x ¾, f f ¾ f f ½ x h ¾ f f ¾ ¾f x¾ ¹ f f ¹ ½ x ¹ ¾ h f f ¾ ¾ h f f, f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f f f h¾h h f ½ x h f f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f h ½ f, ¾ ½ f n¾ f f f f f f ½f f x ¹ f f ¾ h f, f f f f f ¾ h f f ¾ h f¾ h x½ ¾ 70. oldal

71 , f f f ¾ f f¾ ¾ h f f h x f¾ ¾ f½n¾ f f f f f f f f f f f x f½n¾ f f h 9 f f,f f ¾ x¾ x¾x f ½f f x x¾ f f f f ¾ f¾ h D f½ nf D¾ fn f,f f ¾f h x x¾ h x h¾h f h h¾f f ¾ ½ h h¾ ¾ f f ¹ x¾ x¾, O h ¾ ¾x x f ¾ ¾ f x h¾h f,f f f x ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¾ n ¾ f f f f ¾ f x ½ h h¾ x bz `ç ` ç ½ f x¾x f9 f ½x f f h¾h f f f x f ¾f h f ¾ ¾x x f x x ¹ ¹ x h f 71. oldal

72 h f h f ½ f f h¾ ¹ ½ f f h¾ ¹ h¾ ¾ ¾x ¾ ½ f,f f h¾ h h,,f f ½ f¾¾ f x f h f, ¾ f h h¾ f ½ f ½ x¾x ¹ f f h f f h f ½ f h¾h f x f h f ¾ h ¾ f x½ ¹ x½ f h f f f x f f f ¹f f f f ¹f f f h f x¾ Ih f¾¾ f x¾ x x f ¾ x¾ h h¾f f x¾ h h¾f ½h ¾ x f f h f 72. oldal

73 h f h x¾ h h¾f½h ¾ x f x¾ h h¾f½h ¾ x f f ½h ¾ x f f h f f f x¾ x f f¾ h ¾h x h f ¾ h f O x x f x x f f ¾ f f f x¾ x h f, f x f x¾ ¾ x f f¾ ½ h f x n¾f f x¾ ¾ x h f n¾f f x ½ x ¾ f h h¾h f f ¾ f f f x¾ f x ¾ f ¾ f f ¾¹½ f ½ n h ½ f x¾ ¾ f ¾ 73. oldal

74 h f h f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f, f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f ½h ¾ x f f h f h f f f½n¾ f ¾ f ¾h f f f x h ff f ¾h h h f f h f h f f f f x f½n¾ f f f, ¾ f f f x f f f, h f¾, h¾f f½ h h¾ ¾ ¾ h f ¹ f ¾ f f f f x f ¾ f x¾ f ¾ f f ½ x ¾f f h ff f½ h h x ½h ¾ x f f h f h f, f½x f, f½x f h f ¾ f ¹f f f h¾ h f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f h f f h f f h¾¾ h f ¾ ½ h h¾ ¾ x h f¾ h f f f f ¾ f h ¾½ f h¾ f f ¾ ¾ ¾ ½ ¾¹½ ¾ h h f f f f f f f 74. oldal

75 ½f f x ¾ ½x h f h¾ ¾ ¾ ½ h h¾ x h ¾ x¾ h f¾ f¾ ½ f f ¾ f f h¾ f h f h f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ f f f, h f½ f x f ¾ h h¾ f f x¾ x½ ¹f ¹f f f h f ¾¹ ¾f f f ¾h x ¹x x ¾x ¾ x f ¹ f f½ f h¾ f f h¾f f f ¾ x¾ f½ x h f f f h¾ h¾ f f ¾ h h¾ f x f ¾ f½ x x ¹ x¾¹ x x¾ ¾ ¾ 75. oldal

76 h f h f h¾ x h¾ x x¾x x h¾h f, x¾ ½ f f ¾ 76. oldal

77 b^ç f ¾ ½ f x h ¹ ¾ h f h¾h f f f f h¾f f f ¾ ¹ f ¾ ½x h f f¾¾ f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f n f f ¹ n f f f f f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f ¾ h f ¾x f f 9 h f _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç^b[ \ ça _^ _ç h¾ f ¾ ¾ f ¾ x¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ f x ½ ¾x 9 f f f ¾ h¾ h f ¾h f f½ f f f f x¾ ¾ h h¾h f x½ x ¹ x x ¾ h x ¾ f f ¾ x f ¾ f h¾h f x ¾ x ¹ x¾ ¾ x Q ULS = ( 2+ Π ) c B f Q ULS f x½ x ¹ Bf¾h f f½¾ x ¾¾x cf f f x f h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ kn x ¾ x ¾¾h f f½ ¾ x c= 1 x x f x½ x ¹ m 2 kn kn Q ULS = ( 2+Π) 1 1m = 5, 14 2 m m 77. oldal

78 ¾ h h¾ ¾ h f f f x x¾¾ x f¾h f f½ x ¾ f f f f f h h¾f f f f f f f x ¹¾ h h¾ f ¾ x¾ f h f f f¾ f ¾¹x ¾ f f ½ f ¾¹¾ f f¾ f f h f f ¾h f ¾x x¾ f f f ¹ ¾ h¾ f x f ¾f ¾ h f h f x¾f ¾ f f x ¾ ¾ h¾ f¾ f f f f x h¾ f f f x¾ f f f h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ f f x¾ x½ h f f h f h¾ f ¹ f x¾ x ¾ h f¾¾f 9 f ¾ h¾ x ¹ f ¹ ¾ h¾ f f f h¾ h f f f½ h x ¾h ¾h f ¾¾ ¾ n¾ x¾ f ¾ f x¾x x ¹ x¾ ¾ ¹½ ¾¾h x f h f f ¾ h f x ½ ¾¾h h f x¾f ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ h h f ¾ h f 78. oldal

79 Élek száma a raszterméret függvényében Élekszáma Élek száma Hatványfüggvény Pontok száma f f ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x h f f x ¾ h f f h f f ¾ h¾¾ x¾x 10,000% Analítkus megoldástól való eltérés Eltérés 1,000% 0,100% Pontosság Hatványfüggvény Élek száma f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f n¾ x¾ x x f ½ ¾ h h f x¾x n¾ x¾ ¾ f½ ¾ h h f f f ¾ f½ ¾¾h f f f½ h f ¾ h ¹ x ¾ ¾x ¾ f ¾¾ ¾ 79. oldal

80 ½ h f f x x ¾ h f f f f½ h x f f f¾½ h f f h f f½f h f f½f f f f f f f x¾ ¾ ¾ h¾ x¾ ¾ ¾ h¾ ½ h f f ½ h f f f¾ ¾ h¾ f h¾ h f h f f f¾ h h¾ f f f x x f f ½ x h f f ¹¾ f ¾ h¾ ¾ ¹ ½ x h f x f h f h¾ f ¹ f¾ ¾ h¾¾f x ž _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç _ ç _ \ç Zç \Z _ ` _ _ç ½x f x f f ¹¾h f f½ f ¹ ¾ x¾f x ¾ f f ¾h f f½ ¾ x ¾¾x x f x 9f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f x f ¾ f - h h¾h f f f ¹ f ¾ f f h f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ ¾ f f x½ x ¾x h x x x f h f h¾ f 80. oldal

81 h f h f f½f f f f x¾ h f h f f½f f f f x¾ ¹ ¹ - - h f h f f½f f f f h f h f f½f f f f x¾ x¾ ¹ ¹ - - h f f½ ¹ x f h h¾h f ¾ ½ ¾ h f ¾ h h¾ ¹ x½x¾ f h¾ x ¹ N q 2 ϕ exp( π tan( ϕ) ) tan 45 + = ( N q 1) N c = tan( ϕ) := := ( ) N γ := 2 N q 1 tan( ϕ) = oldal

82 h f f½ x x f f f x ¹ f ¾h f s γ := 1 s q := 1 s c := 1 x¾ ¹ ¾ f f ¾x x x ¹ ¾ x ¾x q := 1 c := q N q 1 N q 1 = 1 γ ( 1 f) m B := + 1 = 1 ¹ f ¾h f ¾ ( ) R k := B c N c c s c b c + N q s q q q+ 0.5 γ N γ s γ γ B = m kn. ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ x f x h h f ¾ h f h h f x½ x f h h¾ ¾ h f h f 9 ¾ x ¾ h h¾ f f ¾¾ x¾ ¾h f f½ ¹ x f h h¾h f f f h h f 82. oldal

83 f h f f½ h¾f f ¾ f f h f f½ h¾f f ¾ f f f¾ f f¾h f f½ h¾f f f ½ f f x ¾¾ f¾ h¾ f f f f¾ ¾ h h¾ f f f x f f f ¾f f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f½ ½ f f,f f 9 n ¾n ½ ¹ ¾¹ ¾ h¾ ¾ x¾ ¾ h h¾ h h¾ f f½ x h h f f h h f 83. oldal

84 @h h h f h f f½ h¾f h f f½ h¾f - - Sorszám φ [ ] LmtState Geo EC PLA Saját Eltérés EC Eltérés PLA ,2 154, ,7 3,8% 1,0% ,1 195, ,4 6,0% 2,9% ,3 255, ,2 4,9% 2,6% ,7 345, ,7 0,5% 1,9% ,1 484, ,0 4,5% 1,4% ,0 1105, ,6 5,7% 0,7% ,0 3320, ,0 Sávalap teherbírása Teherbírás [kn] 3000,0 2000,0 1000,0 0, Lmt State Euro Code Plastc lmt Analyss Saját program φ [ ] f h f f½ h¾f f h f f½ h¾f x h h¾¾f ¾ h x ¾ x x¾ f f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x f x x¾ f f x¾f x½ x f h h¾¾f f½ x ¹ f ¹ ¹½x h f f½f¾ f f f x x¾f ¾ h x¾x n¾ f f h f f f f f¾ h h¾f ¾ h h¾ h h h¾ ½ ¾ h f ¾ 84. oldal

85 100 Hba nagysága Hba [%] Lehetséges csúszólapok száma Eltérés a PLA-tól Hatvány (Eltérés a PLA-tól) Eltérés az EuroCode-tól Hatvány (Eltérés az EuroCode-tól) f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f h x ½ ¾ f ¾ ¾ f ½ f f f f h f ff f h h¾f f f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x f x¾ x½ ½ f h h¾ n¾ x¾ ¹f f ¾ h h¾ h¾h f ¾ n¾ ¹¾ f f f ¾ h f ¾ f ¹ ¾ h¾ ¾ x f ¹ f f f ¾h f ¹ ¾ f f f n¾f x¾¾ f h f ¾x f x h f h f h¾ ¾ ¾x ¾ ¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ x f f f x¾ x½ f ¾f9 f x f f f h f h f 9 f n f ¾ h f 9 f n f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ ¹ f n f ¾ h f f 85. oldal

86 h f n f ¾ h f n f ¾ f f f½ x n¾f f x x x f f x¾ x½f f h f ¾ f ¾f f f ¾ x ½ f x ¹¾ f¾ h h¾f f f½ h ¾ Ÿ Z ` ça _^ _\ç ZZ _ Z ç _ _ ç h f¾ h¾ x ¹ ¹ ¾ f f f f¾¾h h f f h h¾h ff f h f x½ f ¹ f f¾ 4 c φ m0 = tg(45 + ) nγ oldal

87 f nf x f ¾¹¾ h¾ ¾ f f f x f ¾ fx¾ f ¾h x ¹ ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ f x n 9f f f x f ¾ f - f f f¾¾h f f ¾h x ¹ h h¾f f f x¾ ¾¹x¾ f f f¾ f f ½ f x¾f ¾ f f f f fn¾f f ¾ f f x¾ ¾ h f½ h x ¾h ¾h f ¾ f f f ¾ h¾ f f x x ¾ f¾ h h¾ ¾ ¾¹ n¾ x¾ f f x¾ x½ ¾ x f h f ¾f f ¾ x n¾ ¾ h f h f h f¾ h¾ h f h f¾ h¾ x x x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½ x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½, f f x x½ ¾ ¾¹ n¾ x¾ x ¹ f h¾ x ¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾¾ h h¾f f x h f h f ¾¾½ h f f f h f x¾ f h x ¾h x x x ¾¹ h f ¾ 87. oldal

88 h f f ¾¾½ h f f x¾ x h f f ¾¾½ h f f x¾ x½ f f f f f x x f f½ f f ¾ h f f x¾ h x ¾h ¾ h h¾ f x f f ½ f f ¾ h f f x h f ¾ h x¾ x½ f h f ¾ h x¾ x½ f f f h f x ½ f f fn¾ f x x f f ¾ x x x f f ¾ ¾¹ h ç _ a b` ç ½f¾¾ h¾ f h h¾h f f f f ¾ h¾ h f 88. oldal

89 h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f ¾ ¾ ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ ½ f ¾ ¾ ¾ ¾x h f x ¹ ¾ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾f ¾ h f f½f¾¾ h¾ f ¾ x ¾ h f f f ¾ ¾ f f ¾ h h f f f h f f f ¹ f h x¾ h¾ f 89. oldal

90 h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f f ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ h h f h f ½f¾¾ h¾x x h¾x x Sorszám φ [ ] Analtkus Állékonyság LmtState Geo 1 0 2,500 2, ,094 3, ,876 3, ,964 4, ,588 6,589 h f ½x h f x f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x ¾ ¹ ¾ h ¹ ¾ f ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ f h¾x x ¾ f h f h f ¾ ¾ h¾x x h ¾ x x¾ f f f f ¾ h¾ x x¾ f ¾h h f ¾ h f h f h h f f f f½ h¾ f f¾ h x x ¾ ¹ f f f f f ¾ h¾ f 90. oldal

91 Vízszntes feszültségek passzív földnyomás esetén 0 Vízszntes feszültség [kn/m 2 ] ,1 0,2 Terepszntıl mért távolság [m] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LmtState Geo eredménye Analtkus megoldás Számított eredmény trendvonala f 9f¾¾ h¾ f ¾h f f 9f¾¾ h¾ f ¾h f ¾ h x ¾ f n¾f ¾ f f f ¾ h¾¾f f x ¾ ¾x h f ¾ ½ ¾¾h f f ¾ ¾ h ¾ ¾ ¾ ¾x f f ¾ x ¹ f x x¾x ¾ h¾f ¾ h x¾f9 f ¾ x¾ x½f f f f ¾ h f f f f x¾ ¾ ¾ h h¾f ¾ f f f ¾ x h f x x¾ ¾¾ 91. oldal

92 _ Z \a ç h f 9f¾¾ f f x¾ h f 9f¾¾ f f x¾ ¾ ¾ x x f h f¾ ¹ ¾x f f h f f x½ f ¾ x h h f h f¾ h¾ f ¾¹ x ½ h f ¾ h f¾ f f x f - ¾¹¾ h¾ ¾ f x f ¾ h ¾x x ¾ f x x x ¾¾ ¾ h h¾ f f ¾ x h f h f f h f f f ¾ h x¾ x½ f ¾ h x¾ x½ 92. oldal

93 h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ ¾ h h¾ f x f h f x¾ ½ f f ¾ h f ¹ ½f f x f ¾f f f x f ½ h f ¾ ¾x x x f f ¾ x ¾ f¾ ¾ x x - f ¾ f ¾h f ¾ - f ¾ ¾x f x¾ f f¾ ¾ ¾x x x x¾x ¹ f f f ¾ f¾ x - f f f ¾ f ¾f h x h h ¹ f x¾ x½ f ¾f 93. oldal

94 çгç _^ _` ç f h x¾ f f x h h f ¾ f f f f f h¾ ½ h ¾ h h¾ f f ½ f f x ¾ f f f ¾ x¾ x h x¾ ¹ ¾x f½f¾ f f f f¾ h f h f nx f ¾ x½ ¹ f h¾f ¹ n f x½ ¹ x f f f n f f ¹¾x f f,h¾½ f f x¾¾ h h¾ h h¾ f x¾f ¾¾ f¾ h¾ f x¾¹ ¾ ¾ ¾¾ x f ¾ h h¾ h h¾ ¾¾ f¾ h¾ ¾ h f f f ¹ f f½¾h h x ¾h ¾ h h¾ h f¾ h ¾ ¾¾ f¾ ff ¹ f x¾¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h¾ f ¾ h¾ ¹ f f h f h ¾ h f f f ¾ f n¾f x ¾ ¾ h f h ff f f¾ x ¾ ¾¾ h h¾ f ¾ ¾ f f h h f f f h h¾ ¾ h f f h h f½ ¾ h f f f x ¾ ¾¾ h h¾ f f h ff ¹ f x ¾ ¾ ¾ ¾ f h f½ n n f ¾ h f f x½x¾ f ¹¾ n¾ f h¾ ¹ ¾ f h¾ f h ¾ ¾x f h h¾ f ¹ ç \ Z _ ç f f ½ h ½ f x f f½f f ¾ h f h ff f f¾ f f f¾ h f h ¾ h f f h¾h f ¾ h f f ¾ h¾h f x¾ ¾x ¾ x f f ¾ x f f f f ¾ ¾ f x h f ¾ h f x ¾ h f x f f f ¾f¾ x¾ f x f x¾ 94. oldal

95 h f x ¾ ¾ h f f h f x ¾ ¾ h f f f f f f x ¾ h¾f ¾ ½ f ½ h h¾f¾ h f f f ¾ ¾ h h¾ ¾ f x¾ f f h f ¾ ¾ h f ff ¾¹ f h x ½ f h f ½ ¾ h f ¾¾ ¾ ¾ h f f f ¾¹x f ½ h f ¾ f f¾ f ¾x ¾x f ¾¹ f h ¾ f h x ½ x ½ h h f x x¾ ½ ¾ ¾ f f ¾x x f f x ¹ ¾h f¾ f x¾ f½ f ¾ 95. oldal

96 h ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x h ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x ž _ cb^ç _ b _ ç ½ ¾f ¾h f f½ f f f h¾ ¾h ¾ ¾x x ¾ h f f f f½ x¾ f f f n¾ f h¾h f f f ¹ ¾¾ f f x f f x¾ ½ ff f f ¹¾x ¾ f h¾ x x h f ½ ¾ ¹ - h f ½ ¾ ¹ oldal

97 h f ½ ¾ h¾ h f ½ ¾ ¹ ¹ - h f f x¾ h¾ x ¾ x¾ x½ h¾ f ¹¾ ¾x f f Ÿ _ ] ç f f½ ¾ h¾ f f¾¾h ¾ h f f h¾ f f f f ¹ ¾ ½ ¾ f f¾¾h f f ¾ ¾ h h¾ f¾ f f ¾x ¾x ¾ f x ¾ h, f x f f f h¾x x ¾ ½ h¾ ¾ ¾ f¾ h f f f f h¾ ¾ h f h f 9x f x x x¾ x h¾ f9 f¾ ½ f n¾ f f f h f ¾ f f f ¾ f ¾ x ¾ ¾½ f ¾ h f f h x ¾h ¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ ¾ h h¾ f f h f ½ h ½ f ¹ ¹ f f h f h¾ ¾ h h¾h f f f f¾ ½ f x h f h¾ ¹¾x f f f h f h¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ h f f f h f h¾ ¾ h f ¹ ¾¹ x ¹ f ¾ f ¾ f ¾h fx¾ h f f x ¾ h f ½ f f ¾ f ¹ h f h f f f x f ¹ ½x h f h½ f h¾ f ¾ ¾ x x f x f h 97. oldal

98 \ ba Zç _` ç ç b ç, f ¾ x h f x n¾ ½ f ¾ f h x¾ h f h f ¾h ff x¾½ f f h f f f ¾ ¾f f f ¾h x ¹ f h f f f x x ¾ ½ f¾ h f f f ¹h f f x¾ f f f¾ x f ¾h x x x f ¹ x ½x h f x h¾ x ¹ ¾h f f½ x¾x f f ¾ h f f½ h¾ ¾ f f¾¾h f f f ¾h f f½ x ¹ x¾f h¾ f xx½ x ¾h f f½ x½ ¾ h¾ h¾ f ¾ ¾x ¾ h¾ f ¾ h f f f x ¾h f f½ ¾ ¾h f f f x h ¾¾ h f x h h f x h h f f x f f½f f ¾ x¾f f f f ¾f x f f½ f f x¾¾ ½ ½ h h¾h f h f f ¾h x x f f x x x ¹ f x¾ f x ¹ f f½ h¾ x h f f x¾ ¾ f ¾ ¾x ¾ f ¹ ¾h x ¹ ¹ x¾f xx½ f f½ h¾ h n¾f f h f f x¾ h f 98. oldal

99 h f h h f h f ¾ f ¾h ¾ f f f f f f x x x h f f f ff f f ¾ ¾x ¹f x¾,h¾ ½x h x ¾ x ¾ f f½ ¹ h f f ¾h ¹f f f ¾ f f ¾¹½x h f f ¾ x¾f ¾ ¾ h h f f x ¾ ¾h h f½ x x x h f ¾ h h f ¾ h f ¾ h f ¾ h¾ f½ 99. oldal

100 h f 2 ¾ h f h f 2 ¾ h f x ¾ n¾ ¾ h¾ x ¾ ¾ x ¹ f f½f f f f x¾ ¾¾x f f h h f ¾h x x ¾ f f f¾f x x f x x ¾ ¾ h f f x½½ f h¾ f ¹ f f f ¾ ¹ f f f f x ¾ ¾ f ¾ f¾ h x h f h n f 2¾¾ ¾¾x x f f h x¾h f n¾ ½ h x ¹ ¾ x h f¾ h¾f ¹ ¾ f f f ¾ f f h¾f h ¾ h ¾ h f f n f f ¾ h¾f 100. oldal

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Egyenáramú szervomotor modellezése

Egyenáramú szervomotor modellezése Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása Gépgyártástechnológa 2000/3, pp. 9 15. Forgácsolás paraméterek mûvelet szntû optmalzálása Mkó Balázs 1 - Szánta Mhály 2 - Dr Szegh Imre 3 1 - udományos segédmunkatárs, 2 - Egyetem hallgató, 3 Egyetem docens

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 9-10. osztály 015. november 6. A feladatsort készítette: RÓKA SÁNDOR Lektorálta: DR. KISS GÉZA www.kockakobak.hu A válaszlapról másold ide az azonosítódat az eredmény

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Fuzzy halmazok jellemzői

Fuzzy halmazok jellemzői A Fuzzy rendszerek, számítási intelligencia gyakorló feladatok megoldása Fuzzy halmazok jellemzői A fuzzy halmaz tartója az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke 0-nál

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben