A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

Átírás

1 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés) Az alábbakban a pályázat keretében elért kutatás eredményeket folaljuk össze. Valamenny témában számos példát s meoldottunk és azok eredménye alapján parametrkus vzsálatokat folytattunk. Ezek smertetésére ezen a helyen csak nayon korlátozottan van lehetısé. LINEÁRISAN RUGALMAS SZERKEZEEK OPOLÓGIAOPIMÁLÁSA Valamenny kutatás eredmény és témakör publkálásra került. A zárójelentésben a terjedelm korlátok matt a topolóaoptmálás kdolozott feladatköret ey bıvített (támaszoptmálás) probléma és ey valószínősé változókkal meadott terheléső tartó topolóaoptmálása kapcsán mutatjuk be. A számítás modellek mnden esetben nemlneárs matematka proramozás feladatra vezetnek. Felhasználva az optmaltás feltételét, ey terácós formulát vezettünk le SIMP ( Sold Isotropc Materal wth Penaltzaton) -, amely ellentétben a standard matematka proramozás alortmusokkal, en nayszámú tervezés változó felhasználását tesz lehetıvé. Vzsáltuk az analtkusan kapott, lletve a numerkusan kszámított ún. Mchell-típusú optmáls topolóák eyezıséét különbözı térfoat arányok, merevséek és terhelés esetek kapcsán.. A topolóaoptmálás feladata.. A determnsztkus feladat mefoalmazása A topolóaoptmálás feladata az alább tervezés esetet alapján foalmazható me: Leyen a lneársan rualmas anyaú szerkezet (tárcsa) D tervezés tartománya smert. A szerkezetet a véeselemes dszkretzálás szabály szernt osszuk fel G (=,,,G) alaptartományra. Az eyes tartományok t vastasáa leyen konstans (eysény). Mnden alaptartományt osszunk fel tovább E (e=,,, E ) elemre. (Gyakorlatla ez azt jelent, hoy a hálózat eneráláskor ey elsıdlees hálózatot készítünk, majd ezt tovább osztjuk ey másodlaos hálózattal.) A terhelés eyparaméteres, statkus, determnsztkus adatokkal leírt. A metámasztások adata adottak. s s

2 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János Adottak az elmozdulás korlátokat defnáló feltételek hely (d=,,,d) és naysá -. Felhasználva az elıbb normált vastasáú szerkezetet, a lneartás matt a feladat könnyen áttranszformálható ey t = t vastasáú szerkezet vzsálatára. Belátható, hoy a terheket max t = t tetszılees értékkel beszorozva a kapott feladatban a feszültséek, alakváltozások és max elmozdulások azonosak lesznek az eredet feladat eredményevel. A szerkezet W súlyát az alább módon számíthatjuk: Itt γ a szerkezet anyaának fajsúlya, G W= γ At. (.) = A a -edk alapelem területe. Az elmozdulás korlát a mnt lobáls feltétel az un. complance feltétel alkalmazásával oldható me: u Κu C 0; (..) ahol C (complance) a külsı potencáls enera, K a szerkezet merevsé mátrxa, u a P teherbıl számított ténylees csomópont elmozdulások vektora,. A továbbakban ezt az (..b) eyenlıtlenséet használjuk a topolóaoptmálás matematka proramozás feladatában. (Ezt az ún. (complance) tervezés módszer elméletét Heemer és Praer (969) bzonyította és általános tervezés módszernek javasolta.) ovábbá adjunk me mnden alaptartomány t vastasáára ey alsó, lletve ey felsı korlátot (praktkusan t mn 0 és t max = ): max mn ( ( ) ) t + t 0; =,..., G, t t 0; =,..., G. Ezek a korlátok (0 és ) azt szolálják, hoy a tervezés eredményeként azt adott elem létezke vay nem. Ahhoz, hoy elkerüljük a közbensı vastasá értékeket a szerkezet súlyát ey (.3) módosított összefüéssel számoljuk: G = γ = p Wɶ A t, ahol p ( p ) a büntetı paraméter, és szerepe uyan az, mnt a klasszkus OC módszereknél használt büntetı paraméternek. Mejeyezzük, hoy szoláltatja. t = 0 és t = esetén a módosított képlet s a ténylees súlyt A topolóaoptmálás alapfeladata büntetı paraméterrel kfejezett súly-célfüvény és complance -feltétel alkalmazásával a következıképpen adható me:

3 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János mn G = p Wɶ = mn γ A t (.4.a) az alább feltételek mellett u Κu C 0; t + tmn 0; ( =,..., G), (.4.b-d) t tmax 0; ( =,..., G). Az (.4) matematka proramozás feladatban az u csomópont elmozdulások vektora a Ku = P lneárs eyenletrendszerbıl mehatározott a ható P terhelés hatására.. A determnsztkus topolóaoptmálás bıvített feladata A mérnök yakorlat sokszor kíván meoldan olyan tervezés feladatot, hoy a metámasztások helyét, lletve a belsı meerısítések mennyséét vay/és mnıséét kell mehatároznunk. Ez a feladattípus alkalmas a passzív módon való támaszerı szabályzásra, a súlyelhelyezés matt a konzolhatás erısítésére, a sajátfrekvenca módosításra. A klasszkus támasz-optmálás feladatok mejelenése a 70-es évek közepére tehetı (Rozvany és Mroz (977)) és az optmaltás feltétel (OC) módszerére alapulnak. A probléma a numerkus nehézséek matt sznte feltáratlan maradt, és csak néhány éve került smét a kutatók vzsálata táryává. Buhl (00), Pomezansk (004) a támaszoptmálás numerkus számításra alkalmas módszert mutatott be. Rozvany, Lóó és Kalszky (003) ey költsé - füvény alkalmazásával oldotta me a feladatot rúdtámaszok esetén. Itt a célfüvény a külsı, lletve belsı metámasztások ey alkalmas kombnácóját fejez k az alább módon: ahol k és b adott konstansok, l és l l ; (.5) mn k F + b j Rj j belsı, lletve a j-edk külsı támaszerı naysáa. l j az -edk, lletve j-edk rúd hossza, F és R j az -edk Ebben a pontban az (.5) célfüvény ey módosított változata Lóó (006a) kerül felhasználásra, amelynél feltételeztük, hoy a költsé arányos a keletkezı erı naysáával, azaz arányos azzal a térfoattal, amt a kérdéses rúddal meadott támasz képvsel. Ennél fova az erık helyett a lneársan rualmas anya felhasználása matt az anyatörvény szernt a σ A mennysé került bevezetésre ( y 0 σ y ey feszültsé határ mérıszáma, és húzásra, lletve nyomásra az eyszerősé kedvéért azonos poztív értéket tételezzünk fel, A 0 a keresztmetszet méret). Az abszolút érték jelek íy elhayhatók és az új típusú célfüvény az 3

4 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János alább módon írható: l l. (.6) mn k σ y A + b jσ yj Aj j A továbbakban mnden támaszt, annak a helyén ey rúdcsoporttal helyettesítünk, oly módon, hoy a rudak mnden lehetsées rányban elhelyezésre kerülnek. ovábbá a fx támaszokat s helyettesíthetjük a fentekben meadott módon. (Ez azt jelent, hoy ey örıs metámasztást eysény hosszú, de merev rúddal helyettesíthetünk.).. A bıvített feladat matematka proramozás mefoalmazása ekntsük az. pontban meadott feladatot. A mefoalmazásának adata a következı feltétellel bıvülnek: a rúdelemek l hossza leyen smert, A jelölje az smeretlen keresztmetszet méretet. ovábbá a keresztmetszet méretet fejezzük k normált formában, ahol A = A0t. Itt A 0 ey alkalmasan választott keresztmetszet alapérték (hossz dmenzóval), t ped ey arányossá tényezı, de hossz dmenzóval. Ahoy korábban s jeleztük, most s a szerkezet alapelemenek (tárcsa és rúdelemek) száma leyen G, amely G = NDsk + NBar összefüés alapján számítható. Itt NDsk jelz a tárcsaalapelemenek számát, NBar ped a rúdelemek számát (külsı, lletve belsı). A teljes szerkezet (W) súlya az alább módon írható fel: NDsc NBar l W = γ A t + γ A t. (.7) d d d b b b b d = b= Itt γ d és γ b jelent a tárcsa, lletve a rudak anyaának fajsúlyát. alapelem területét és t d annak vastasáát. területét, mí A d jelöl az -edk tárcsa Abt b jelölje az -edk rúdelem keresztmetszet l b annak hosszát. Az összezés másodk taja mnd a külsı, mnd a belsı metámasztásokat tartalmazza. Vezessük be az A mestersées változót. Ez a tárcsa elem esetén az elızıekben használt értékkel azonos, azaz a tárcsaelemnél A = Ad. A rúdelemek esetében A ey olyan keresztmetszet területet jelöl, amelyet az A = Abl b összefüés alapján számolunk és most már terület dmenzójú. Ennélfova a Abl btb három taból álló szorzat az A t kfejezésre eyszerősödk az -edk rúdelemre nézve. Amennyben a rúdelemek anyaának mérıszámába beleértjük a kσ y, lletve a γ b fajsúly bσ y szorzatokat (a költséeket és a feszültsé 4

5 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János korlátokat jelzı mennyséek szorzatát) a teljes szerkezet súlya az (.) eyenletben meadott módon G W = γ A t alapján számítható. Az íy kalakított feladatnál a szerkezet K = merevsé mátrxa az eyes tárcsák, lletve rudak elem merevsé mátrxanak felhasználásával tudjuk összeállítan. Az (.) pontban smertetett elveket követve a bıvített topolóaoptmálás feladata complance feltétel esetén formala az (.4) matematka proramozás feladattal azonos. Meoldása az ott smertetett elvek alapján történk. A részletek Lóó (006) dolozatban metalálhatók..3 opolóaoptmálás valószínősé változókkal adott terhek esetén A valószínősé számítás, mnt matematka elmélet réóta szerepet játszk a mérnök tervezésben és az azt szabályzó nemzet szabványokban. A valószínősé adatokkal meadott tervezés azonban annak komplex volta matt nem tudott teret nyern a fontossáának mefelelıen, ahol nem elkerülhetetlen, ott ma s a determnsztkus adatokra épülı tervezés játszk elsıdlees szerepet. A stochasztkus számítás elmélete, a mebízhatósá elméletre alapuló optmáls tervezés hosszú deje folalkoztatja a kutatókat (Vásárhely (98, 987)), de napjankban került azán az optmáls tervezéshez kapcsolódó kutatások középpontjába. Ennek tovább en fontos bzonyítéka, hoy két fontos nemzetköz folyórat (ZAMM és a Structural and Multdscplnary Optmzaton) s specáls számot adott k a témakörben 007-ben és 008-ban. Ebben a részben az elızıle, meadott módszert terjesztjük k valószínősé változókkal meadott terhek esetére, ahol smertnek tételezzük fel a terhek eloszlását, várható értékét és szórását. Az általunk kdolozott eljárás Prekopa (995) által publkált tételre alapul, amely szernt ey valószínősé változók lneárs kombnácójából képzett valószínőséel korlátozott feltétel, ey vele eyenértékő, konvex determnsztkus kfejezéssé alakítható. Ennek fontossáa matt ezt rövden smertetjük..3. A feladat matematka alapja Leyenek ξ, ξ,..., ξ n valószínősé változók, normáls eloszlással. ovábbá leyen adott ey valós számokból alkotott n x R vektor, amely keléít a következı eyenlıtlenséet: Prob( x ξ + x ξ x ξ 0 ) q ; (.8) Prékopa (995) memutatta, hoy az elızı (.0) eyenlıtlensé ekvvalens a n n n - xµ + Φ ( q) x K ovx 0 (.9) = 5

6 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János eyenlıtlenséel. Itt a ξ, ( =,,..., n) valószínősé változó várható értékét jelölje ( ) = E, továbbá ov µ ξ K a = (,,..., ) ξ valószínősé változókhoz tartozó kovaranca ξ ξ ξ n - mátrx, q ( 0 q ) ey elıre adott valószínősé érték, Φ ( q) un. probt füvény, azaz a normáls eloszlás kommulatív nverz eloszlásfüvénye. A továbbakban erre a tételre alapuló átalakítást alkalmazzuk..3. A sztochasztkus topolóa optmálás matematka proramozás mefoalmazása Az (.) feltétel átírható u P C 0 alakba, hszen u Κu = u P. Íy determnsztkus topolóa optmálás feltételes szélsıérték feladata más mefoalmazásban a következı módon adható me: G = p u P C 0; az alább feltételek mellett t + tmn 0; ( =,..., G), t tmax 0; ( =,..., G). ételezzük fel, hoy = [ P P P ] W ɶ = γ A t = mn! (.0.a) (.0.b-d) P,,..., n tehervektor eleme valószínősé változóként adottak. Az erımeadás adat közül az erı naysáát tekntsük valószínősé változónak, amelyeket normáls eloszlásúaknak tételezünk fel. A terhek várható értékét jelöljük P E ( P ) (,..., n) =, mí a kovaranca mátrx K ov elemet, = P, P,..., Pn j = -vel, κ -vel; (,..., n; j,..., n; ) = =. A P terhelés hatására az u = [ u, u,..., un ] csomópont elmozdulásokat a Ku = P lneárs eyenletrendszerbıl kapjuk. A vrtuáls erık tételének alkalmazásával az u elmozdulás számítható, hszen u = u Kuɶ. Itt uɶ az -edk helyen lévı eyséerıbıl számított elmozdulás vektor. A kapott elmozdulások felhasználásával az u P = up + up unpn külsı potencál complance felírható, de (.9) alkalmazásához ennek lnearzálására van szükséünk. Ezt az alább módon tehetı me: bontsuk két részre a P = P + dp valószínősé változóként meadott tehervektort. Az elmozdulások és a terhek között lneárs kapcsolat matt: u = K P és u = K P. (.) Mvel a K merevsé mátrx szmmetrkus az u = P K és az u = P K elmozdulások 6

7 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János számíthatók és a sztochasztkus complance az alább módon írható fel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u P = P K P P P K P P = P K P + P K P + P K P = +d +d d d d. (..a) Elhayva az utolsó, másodfokú taot, a sztochasztkus complance számítása az alább lneárs képlet alapján közelíthetı: ( ) ( ) ( ) u P P K P + P K dp = u P + u dp = u P + dp u P ehát a sztochasztkus complance ey lehetsées lnearzált számított értéke:. (..b) u P u P u P. (..c) Adott mnmáls q valószínősé, ( 0 q ) és C complance esetén az alább feltétel felírható: (( ( n n ) ( n n )) ) Prob u P + u P u P u P + u P u P C 0 q. (..d) Bevezetve a P n + hányváltozót E( P n + ) = várható értékkel és zérus kovaranca értékekkel ( κ +, = 0 ; κ, + = 0 ; ( =,..., n + )), a (..d) feltétel az alább módon írható: n n tt x n+ Prob( x P u P 0 ) q = = n ; (.3.a) = u ; ( =,..., n) és x = C /. Prékopa által meadott (.8) feltétel alapján (.3.a) n+ az alább konvex feltétellé átírható: n+ n - x P up Φ ( q) x K ovx ; (.3.b) + 0 = = tt Φ - ( q) a un. probt füvény, K ov a hányváltozóhoz kapcsolatos bıvített kovaranca mátrx. Belátható, hoy (.3.b) elsı része ekvvalens a determnsztkus feltétellel zérus korrelácó esete-: complace n+ n x f u f = u Ku C = =. (.4) Íy valószínősé változóként meadott terhelés esetén a bıvített complance feltétel az alább módon írható fel: u Ku ( q) C Φ - + x K ovx 0. (.5) Ennélfova valószínősé változóként meadott terhelés esetén a bıvített topolóa optmálás feladata az alább módon írható fel: W G = p = γ A t = mn! (.6.a) 7

8 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János ( ) - u Ku C+Φ q x K ovx 0; az alább feltételek mellett t + tmn 0; ( =,..., G), t tmax 0; ( =,..., G). (.6.b-d) A kapott matematka proramozás feladat meoldása az (.4) feladatnál smertetett elvek alapján szntén terácós alortmus formájában történk. Matematkala az (.4) és (.6) feltételes szélsıérték feladatok azonos tulajdonsáúak, hszen az (.4.b) feltételt helyettesítı (.6.b) feltétel konvex (Prékopa(995))..3.3 Az terácós képlet számítása Az klasszkus topolóaoptmálásnál mesmertet elveket követve a sztochasztkus topolóaoptmálás feladata formala az (.4) matematka proramozás feladattal azonos. Meoldása az ott smertetett elvek alapján történk, azaz az optmaltás feltételekbıl az terácós formula levezethetı. Itt csak a lényees részeket smertetjük. Ahoy a klasszkus optmaltás feltétel (COC) módszereknél smert, a Larane-szorzó kszámítása elıtt az smeretlen vastasá értékekre ey tartományt kell meadnunk, amely alapján a kapott vastasá értékeket (A ) aktív, lletve (P ) passzív vastasá értékek halmazába tudjuk soroln. Három eset lehetsées: ha tmn < t < tmax (vays a. alapelem aktív, A ) akkor a t vastasá számított értéke: t p+ ( + B ) υ p R = Aγ p. (.7) Itt az elızıekhez hasonlóan R E ~ t e e e e= = u K u, ahol K ɶ e az eysény vastasáú elemekbıl ( t = )) számított un. normált merevsé mátrx. ovábbá a korrelácós értékek matt ey tovább taot eredményez a számítás: - ( ) B = t Φ q n n Es Es κju j u Kɶ e euɶ e + uκj u Kɶ e euɶ ej = j= e= e= x K ovx. A következı eset, ha eyenlıtlenséet kapjuk t = t. Ekkor a Kuhn-ucker feltételekbıl a következı mn 8

9 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János t υ p R Aγ p+ ( + B ) p. (.8) Ez azt jelent, ha (.8) alapján számolt t vastasá alsó korlátja ksebbre jönne k mnt t mn, az (.8) eyenlıtlensé a t = t esetén mnd teljesül. Véezetül hasonló módon járunk el mn a t = t esetén s. Itt a Kuhn-ucker feltételekbıl a következı eyenlıtlenséet kapjuk: max Ez meened, hoy a t t υ p R Aγ p+ ( + B ) = tmax leyen, amkor a számolt p. (.9) t vastasá nayobb mn t max. Ha t = tmn vay t tmax =, akkor a -edk alapelemet passzív -nak nevezzük ( P ). A mnmáls lletve a maxmáls vastasá érték meállapítása az elızıekhez azonos módon 6 történk ( t mn = 0 ). Ha az (.6.b) feltétel aktív, akkor az eyenlıtlensé eyenlıséként teljesül: ( q) - u Ku C+ Φ x K ovx =0. (.0) Mvel a -edk alapelem determnsztkus complance értéke az R E ~ = t u e K eu e e= alapján számítódk, a teljes szerkezetre (aktív és passzív elemeket szétválasztva) a következı eyenletet írhatjuk fel. C ( q) - Φ x Kovx = + P t A R Ebbe behelyettesítve az aktív elemekre számított vastasá értékeket R t. (.) R C Φ = + ( q) - x K ovx. p P t A p+ R ( + B ) υ p R Aγ az terácós lépést szabályzó ν Larane szorzó számítható. Értéke (.) p p+ Aγ R p ( R B ) A + υ = R - C Φ ( q) x K ovx P t p+ p. (.35) Ezekután az (.6) feladat terácós módszerrel történı meoldás alortmusa 9

10 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János metalálható az rodalomjeyzékben meadott publkácókban. A sakk-tábla mnta elkerülése Ebben a témakörben folytattuk korább munkánkat, keészítettük és hatékonyabbá tettük azt. Összefolaltuk a sakktáblamnták problémakörét, mejelenésük formát, elnyomásuk lehetsées módjat, és az alapelemek bıvítése nxn véeselemre és sarokpont kapcsolatok kalakulását átló célfüvény alkalmazásával oldottuk me. Szemléltetı példákkal demonstráltuk a módszerek hatékonysáát. Am új, az a térbel sakktáblamnta vzsálata. Ey nyolc alapelembıl álló kocka seítséével vévetük a lehetsées mntázatokat, és meadtunk ey mnısítı füvényt, mely képes mekülönböztetn és súlyozn az él ment kapcsolatok adta térbel sakktábla-mntákat és a pontbel sarokkapcsolat adta térbel sakktábla-mntákat az oldalak mentén kalakuló kedvezı kapcsolat módoktól. A részletes leírás metalálható az rodalomjeyzékben meadott publkácókban. 3 Optmáls topolóák a layout elmélet alapján Rácsos tartók layout optmálását véeztük el. Az alap alakzat, a 9 rudas rácsos tartószerkezet Lóó mntapéldája. Kombnatorkus módon létrehoztuk és mevzsáltuk valamenny lehetsées meoldást. A meoldásokat csoportosítottuk topolóa mefelelésük és határozottsáuk alapján. Az íy kapott eredményeket összehasonlítottuk a numerkus optmálás eredményevel, valamnt az rodalomból smert elvárt meoldással. A vzsálatot mesmételtuk a tartó metámasztásanak módosítása után s. Az új szerkezet valamenny olyan csomópontját metámasztottuk, melyre külsı tehererı nem hat. Az íy kapott szerkezettel a lehetsées, de statkala vay knemetkala mésem mefelelı meoldás formákat szemléltettük. Az elsı szerkezetnél a rácsos tartós meoldásokat 0

11 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János összehasonlítottuk ey hasonló peremfeltételekkel ellátott tárcsaszerkezetre felírt topolóa optmálás eredményevel. Ezt követıen a rácsos tartószerkezetet kterjesztettük ey nayobb, összetettebb formára, mely az optmálás után az elızıekben bemutatott alakzatokhoz képet új belsı labltást jelentı kapcsolódásokat s létrehozhat, melyben a támaszok és a terhek között sokszor nncs közvetlen és eyenes vonalú kapcsolat. 3m.5m.5m m m Fure : Holdn the loaded nodes separately Fure 3: Holdn the loaded nodes wth rasn Fure 6: A 6 bar structure wth an unstable loaded bar Fure 7: A lable 6 bar structure Fure 8: A 5 bar structure and a suspenson

12 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János Fure 8: he mnmal lenth 3 bars structure wth swnn bar Fure 9: A 3 bars structure wth swnn bar Fure 0: A 3 bars structure wtch does not satsfy the mnmal weht desn he ornal dsc he result x 4 elements 4 x 48 element A rácsos tartós és a tárcsaszerkezetes modellezés különbséet, korlátjat s elemeztük. Az elızıle defnált rácsos tartószerkezet, mnt Mchell-féle konzoltartó topolóa optmálásának menetét és eredményet szemléltetük. A bemutatott eredmények alapján látn, hoy vszonyla alacsony csomópontszám és ebbıl következıen rúdszám esetében a topolóa optmálás jól értelmezhetı alakzatokat ad, melyek belsı stabltása vszont nem eyértelmő. Gyakor pl., hoy a nyomott övben azonos állású rudak csatlakoznak eymáshoz, mely az eredményábrában olyan, mntha ey hosszú rúd lenne, ped lealább két, eymáshoz csuklósan kapcsolódó rúdelembıl áll. Rúdtípusok:

13 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János Szerkezetek: S m S 3 S 5 m 00 kn m S 4 S 6 00 kn m S m m m m m m S S m S 5 S 6 S 8 m 00 kn m S 7 S 9 00 kn m S 3 S 4 m m m m m m m m Látható uyanakkor az s, hoy az íy defnált szerkezetek belsı elrendezése ("íves" meközelítés a támasztól a teher, ll. a belsı merevítések mejelenése) a tárcsa-modellel számolt eredményekhez jobban domul. 4 Mchell-típusú topolóák Mchell (904) közel 00 éve publkálta a leksebb súlyú rácsos tartók tervezésére vonatkozó dolozatát, amelyet több kutató mérföldkınek tart a topolóaoptmálás területén. Az ún. Mchell-elmélet általánosítása Praer és Rozvany nevéhez köthetı. Az elmúlt évtzedben számos kutató, de lenkább a Rozvany skolához tartozók mutattak kemelkedı eredményeket a témakörben. A továbbakban néhány új Mchell-típusú optmáls topolóa analtkus meoldását mutatjuk be. Részletes leírás metalálható az rodalomjeyzékben meadott kapcsolódó publkácókban 4. Analtkusan mehatározott topolóák Részletek nélkül közlünk néhány analtkusan mehatározott topolóát. 3

14 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János. Ábra: A lehosszabb konzoltartó. Ábra: Un. Henky-hálók parametrkus leírása 4

15 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János 3. Hexaonáls metámasztású tartó optmáls topolóája 4. Numerkus topolóaoptmálás rudakkal való metámasztások esetén A télalap alakú tervezés tartomány mérete 0x80 eysé. Ezt 0x40 alapelemre és mnden alapelemet tovább x elemre bontottunk, íy 600 néy csomópontú tárcsaelemet használtunk ennek a résznek a dszkretzálása során. A teher 0 eysé naysáú koncentrált erı és a jobb oldal él közepén hat füılees rányban. A tervezés tartomány metámasztása közül a bal alsó és a felsı sarokpontot fx csuklóval támasztjuk me. ovábbá a bal oldal élen a maassá ¼-ben, lletve ¾ -ben vételen számú rualmas anyaú rudat helyeztünk el (ez yakorlatla 5 fokonként elhelyezett rudakat jelent). A metámasztások költsée változk, költsé nélkül (ez eysé költséet jelent, mvel ez mehayja a támaszokat), lletve nay költséő támaszok (0000 eysé). 5

16 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János ervezés tartomány a rúdtámaszokkal. Optmáls topolóa: A eset Itt három esetet mutatunk be. Ezek: A eset: a rudak költsée maas, mí a fx csuklók költsé nélkülek, B eset: mnden támasz számításba veendı költséel rendelkezk, méped a rúdtámaszok költsée háromszorosa a fx támaszok költséének, C eset: mnden metámasztás azonos költséel bír. Posson-tényezı smét 0. A p paraméter értéke p=.5- = 0. lépésközzel növeltük, majd p=3.0- (am a vésı érték volt) már = 0. 5 volt a növekmény. Az eyes esetekhez tartozó optmáls topolóák rajza az ábrákon láthatók. Meállapíthatjuk, hoy jó eyezıséet mutatnak az elıre elvárt képpel. ovábbá jelentıs az az eredmény s, hoy a vételen mennyséő rúdtámasz közül az A esetben nem létezk ey sem, mí a B és C esetekben csak - rúdtámasz (azaz feladatonként kettı), 35, lletve a 5 fokba esı hatásvonal rányában levık léteznek az optmáls meoldásban. ovábbá a C esetben a fx támaszok szüksételenek az optmáls topolóához. 6

17 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János 5.3 ábra. Optmáls topolóa: B eset 5.4 ábra. Optmáls topolóa: C eset 4.3 opolóaoptmálás stochasztkus terhek esetén A feladatban ey télalap alakú kéttámaszú tartó topolóa optmálását véeztük (ábra). A szerkezetre P = P, P két koncentrált erı hat, melyek normáls eloszlásúak és várható értékük 50 eysé. A tervezés tartományt a véeselemes dszkretzálás során 4x0 alapelemre és mnden alapelemet mé x elemre bontottunk.. A Posson-tényezı most s zérus. A rualmassá modulus ped smét eysény. 4 P =50 P = A tervezés tartomány és a peremfeltételek. A feladatot elıször determnsztkusként (nulla korrelácóval) oldjuk me, majd a késıbbekben a kovaranca értékeket változtatjuk. 7

18 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János 4.3. Determnsztkus (korrelálatlan) terhelés esete A véeselemek száma 060. A p büntetıparaméter értékét dnamkusan változtattuk, kndulás érték p=. A p paraméter értéke p=.3- = 0. lépésközzel növeltük, majd p=.5- (am a vésı érték volt) már = volt a növekmény.. Optmáls meoldás determnsztkus terhek esetén. A complance korlátnál C=40000 volt. Az optmáls meoldás az elızı ábrán látható Stochasztkus (korrelált) terhelés esete Az elızıekben smertetet feltételeknek mefelelıen a terheket normáls eloszlásúaknak tételezzük fel. A terhek korreláltsáát az alább kovaranca értékekkel adjuk me : ( κ, = 0., κ =, κ =, κ = ). A feltételezett mnmáls valószínősé érték leyen q = A, 0., 0.0, 0.0 complance korlát C= Az terácót szabályzó feltételek, leállás érték az elızı pontban meadott adatokkal történt. Az eyes ábrákon a stochasztkus topolóa optmálás eredménye láthatók. A felratokban a kovaranca értékek a következı sorrendben adottak: κ, κ, κ, κ.,,,, 8

19 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János Optmáls meoldás korrelált terhek esetén. (0., 0., 0, 0) Optmáls meoldás korrelált terhek esetén. (0., 0, 0, 0) 9

20 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János Optmáls meoldás korrelált terhek esetén (0, 0., 0, 0) A kapott topolóák memutatják, hoy a korrelácó naymértékben befolyásolja az optmáls meoldást, am felhívja a fyelmet a téma fontossáára. 5 Összefolalás Az smertetett modellek alapján alortmusokat és számítóépes proramokat készítettünk és a feladatokat fıle terácós úton oldottuk me. Valamenny vzsált feladat esetében számos példát meoldottunk és az eredményeket daramokkal és táblázatokkal szemléltettük. Parametrkus vzsálatokat s véeztünk és elemeztük az eyes paramétereknek az eredményekre yakorolt hatását. Az eredményeket nemzetköz folyóratokban, nemzetköz és haza konferencán smertettük, néhány dolozatunk ped elektronkus ckk formájában jelent me. Részt vettünk és elıadást tartottunk az Internatonal Socety of Structural and Multdscplnary Optmzaton (ISSMO) nemzetköz konresszusán. Elıadást tartottunk az ICAM konresszusán. Az ISSMO kutatóval és az IPP (Insttute of Fundamental echnolocal Research, Poland) szoros eyüttmőködésben doloztunk. A kutatás dıszakban dolozatankra számos hvatkozás történt. 0