Mesterséges intelligencia, 7. előadás október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mesterséges intelligencia, 7. előadás 2008. október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.)"

Átírás

1 Mesterséges intelligencia, 7. előadás október 13. Készítette: Masa Tibor (KPM V.) Bizonytalanságkezelés: Az eddig vizsgáltakhoz képest teljesen más világ. A korábbi problémák nagy része logikai, keresési algoritmusokat jelentett, ahol az elemek igaz/hamis értékeket vehettek fel. A logikai következtetések kérdése egy átmenetet jelentett a logika világából a valószínűség világába. A valós ágensek azonban szinte soha nem férnek hozzá a környezetüket érintő teljes igazsághoz, bizonytalanság közepette működnek, ezért a valós problémák kezelésében ezek a problémák gyakrabban használtak lesznek. A logikával kizárólag nem lehet dolgozni, mert ha: 1. nem teljes a tudásunk, nem tudunk logikai következtetést levonni minél jobban ismerjük a világot, annál több megfigyelési adat kell a következtetéshez. Ha nem ismerek valamilyen szükséges adatot, nem tudok következtetni, a logikában nincsen közelítési lehetőség. 2. nem dolgozunk komplex elméletekkel, csak egyszerűekkel, akkor az egyszerűsített elmélet nem mindig helyes például egy útvonal-tervezés során, ha feltételezem, hogy mivel nem lesz dugó, odaérek a repülőtérre, kellemetlen meglepetés érhet, ha mégis dugó van, vagy ha lerobban az autó. Sem a túl részletes, sem a közelítő megoldás nem jó! A megoldás: ha ebből a világból egy lesimítottabb világba lépünk ki, ahol a világ dolgainak nem csak igaz-hamis állapota van, hanem köztes állapotok is, amivel kezelni tudjuk a tudásunk hiányát. Erre használjuk a valószínűség-számítás eszközrendszerét. Az órán vizsgált problémákhoz többnyire egy fogorvosi diagnosztikai rendszert használunk, amely során az orvosi diagnózisban a fogfájást, valamint a lyukas fogat vizsgáljuk. Egyszerű logikai szabályokkal nem lehet megfogalmazni ezt a problémát, hiszen nem teljes (ha a tünetünk a fogfájás, nem biztos, hogy automatikusan lyukas a fogunk lehet a gond egy gyulladás, vagy bármi más), vagy ha teljes, akkor túl egyszerű (ha feltesszük, hogy minden lyukas fog fájdalommal jár, nem lesz igaz automatikusan). A tudás tökéletlenségének általában három oka van: 1. lustaság túl nagy munka ok-okozatok teljes eseményhalmazának felsorolása, e nélkül nem lesz mindig érvényes a szabály, 2. elméleti tudatlanság a tudományterület elmélete nem teljes, 3. gyakorlati tudatlanság hiába ismerjük a teljes szabályrendszert, lehetünk bizonytalanok egyes esetekben, mert előfordulhat, hogy nem végezhető el az összes szükséges vizsgálat. Ezekből következnek tehát a véletlen viselkedések, valószínűségek. A valószínűség-számítás tehát az elsődleges eszköz a meggyőződési értékek kezelésére. A tudás tökéletlenségét véletlen hatásként kezeli, minden mondathoz egy [0,1] közötti meggyőződési mértéket rendel. Fontos tudni, hogy a valószínűségeket itt nem, mint az igazság fokát vizsgáljuk, hanem mint a hit fokát. Tehát ha tudás reprezentálására akarjuk használni a valószínűség-számítást, akkor látni kell, ha valami valószínűsége 0.8, akkor ez nem azt jelenti, hogy ez a világban ténylegesen 80%-os valószínűséggel teljesül, hanem azt, hogy a rendelkezésünkre álló 1

2 információ alapján 80%-os mértékben hiszünk abban, hogy a valóságban ténylegesen fenn áll ez az esemény. Jelen esetben az igazságérték folytonosságáról van szó (például: ez a ház kicsi nem tudom rámondani, hogy igaz vagy hamis, hiszen mihez képest az? van egy folytonossági aspektus). Tehát nem a világ bizonytalanságáról, hanem a nyelv tökéletlenségéről beszélünk. Ha a valóság eseményeit jelöljük ( az igazság mértéke, mint a meggyőződés mértékének az ellentéte, ahogy a tankönyv mondja), akkor az egy más téma, amit fuzzy logika névvel illetünk. Ezzel itt nem foglalkozunk. Minden valószínűségi kijelentésnek hivatkoznia kell azokra a tényekre, amelyek alapján az adott valószínűség az állításhoz lett rendelve. A valószínűség mértéke függ a tapasztalatunktól is: mielőtt tények birtokába jutunk, előzetes (a priori, feltétel nélküli) valószínűségről, a tények birtokában utólagos (a posteriori, feltételes) valószínűségről beszélünk. A racionális ágensek (fő tulajdonságaik: van egy kiértékelő függvényük, valamint olyan cselekvéseket eszközölnek, amelyek ezt maximalizálják) ebből a szempontból úgy képzelendők el, mint amik egy bizonyos kimenetnek valószínűségeket adnak, és a kimenet a rendelkezésére álló kiértékelő függvény várható értékét adja neki. Erre már láttunk példát a játékelmélet során, az olyan játékokban, ahol vannak véletlen lépések (pld. kockadobás). Ott a véletlen értékek felett kell várható értéket számolnunk. Valószínűségi kijelentések nyelve: Nem válik erősen ketté a szintaxis és a szemantika. A használt nyelv alapeleme a véletlen (valószínűségi) változó: ezek az ítéletkalkulusban megismert ítéletek szerepét fogják betölteni, logikai operátorokkal formulák készíthetők velük. Ezeknek mindig van egy neve, értékük igaz vagy hamis. A véletlen változók lehetséges értékeit (értéktartományát) nevezzük domaineknek. Jelölés szerint mindig nagybetűvel jelöljük a változó-neveket, kisbetűvel az értékeiket. Tehát például a Lyuk valószínűségi változó egy fog esetleges lyukasságát mutatja. A Lyuk hoz például az <igaz,hamis> értéktartomány tartozik. Ebből ítélet a következőképpen lesz: Fogfájás = igaz. Ezzel gyártottam egy elemi kijelentést. A Fogfájás = igaz jelölhető a következőképpen: fogfájás, hiszen ekkor veszi fel a Fogfájás valószínűségi változó az igaz értéket. A véletlen változók tipikusan három típusba sorolhatók: 1. Boole-típusú, logikai véletlen változók, olyan változók, melyeknek domain-je az <igaz,hamis>. 2. Diszkrét véletlen változók, melyek logikai változók is lehetnek, és megszámlálható tartományból kapnak értéket. Például ilyen lehet az időjárás, amely domain-je lehet <napos,esős,felhős,havazik>. A kitétel az, hogy egyszerre pontosan egy értékük lehet igaz, se több, se kevesebb. 3. Folytonos véletlen változók, melyek valós értéket vehetnek el, amely lehet akár a teljes valós tengely, akár egy részhalmaza, például [0,1]. Általában mi a diszkrét esettel foglalkozunk. Összetett állítások létrehozásához olyan elemi állításokat használunk, amelyeket logikai kapcsolat felhasználásával kombinálunk. Tehát az ÉS, VAGY, NEM, stb. logikai operátorok használatával komplex kijelentéseket generálhatunk. Ezzel készen is van a nyelv alapja, mellyel kijelentések gyárthatók. 2

3 Ebbe a nyelvbe ültethetjük be az elemi eseményeket. Az elemi esemény analógnak tekinthető az ítéletkalkulusbeli modellel (ha csak logikai véletlen változók vannak). Valószínűségi változókkal definiáljuk őket. Az elemi esemény egy olyan kijelentés, ahol minden egyes valószínűségi változóhoz hozzárendelek pontosan egy értéket, és ezeket összeéselem, konjugálom. Pld. Lyuk = igaz ÉS Idő = napos ÉS. stb. Ha az összes ilyen lehetséges eseményt leírom, akkor a megkülönböztethető világokat definiálom. Például: kockadobás ha valószínűségi változóval kezdem a definiálást, például: a kocka értéke háromnál nagyobb lesz, akkor csak kétféle világot tudok megkülönböztetni ilyen szempontból mindegy, hogy ez egy kocka vagy bármi más, két elemi eseményem van, azonos valószínűséggel! Tehát a nyelv az, mely meghatározza az elemi eseményeket, a megkülönböztethető világok definiálásához. Ha egy világban például két logikai változó van (mint például az előző példában), akkor összesen 2 2 = 4 elemi esemény létezik. Az elemi események tulajdonságai: - egymást kölcsönösen kizáró események, legfeljebb egy lehet igaz, - az összes elemi esemény halmaza kimerítő, tehát legalább az egyiknek igaznak kell lennie, - az előző kettőből tehát az következik, hogy a világ aktuális fennállását pontosan egy darab elemi esemény írja le, - egy elemi esemény minden lehetséges elemi kijelentéshez igazságértéket rendel, - minden kijelentés logikailag ekvivalens a neki nem ellentmondó elemi eseményeket leíró kijelentések halmazával. A priori valószínűség: Minden kijelentéshez valószínűséget rendelünk. Egy a állításhoz tartozó a priori (feltétel nélküli) valószínűség az a meggyőződési mérték, amely bármely más információ hiányában az állításhoz kapcsolható. Jele: a) Például, ha 0.2 annak az a priori valószínűsége, hogy az idő: napos, akkor a jelölés a következő: Idő=napos) = 0.2. A a) jelölésben fontos a kisbetű, a A) jelölés ugyanis az A valószínűségi változó eloszlását jelöli. Ezeket a kéziratban aláhúzással jelölve találjuk, ami a vastag betű tipográfiai jelölése. Ezért a kéziratban aláhúzással jelölt eloszlásokat a továbbiakban vastag betűvel írom a jegyzetben. Például Idő) = (0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,1), ahol napos) = 0,2 ; esős) = 0,3 stb. Az eloszlás tehát P összes értékére megmondja a valószínűségeket. A 1,A 2 ) nem más, mint A 1 és A 2 együttes eloszlása, vagyis az A 1 -A 2 értékeiből álló párok valószínűséget leíró táblázat. Konvenció szerint A,a) olyan vektor, ahol A véletlen változó, a egy kijelentés, és benne A=v 1 Ù a), A=v 2 Ù a) szerepel, ahol v i pedig A értékeit adja. Kettőnél több változóra értelemszerűen kell a jelölést kibővíteni. Ha A folytonos valószínűségi változó, akkor eloszlás helyett sűrűségről beszélünk, ami egy x értéknél P (A Î [x ; x+dx]) / dx (egy nagyon pici intervallumba beleesés valószínűsége, ez elosztva az intervallum hosszával). Ez nem valószínűség jellegű mennyiség, de analóg képleteket eredményez vele, összegzés helyett integrált használunk. Másrészt a sűrűség nem mindig létezik, nem mindig jól definiált. 3

4 Feltételes valószínűség: Jelölése függőleges vonallal: például a b), ahol a és b kijelentések. Ennek jelentése, hogy a valószínűsége ennyi, ha tudom, hogy b igaz, és a teljes tudásunk b. Technikai definíció: a b) = aùb) / b) Ez a definíció nincs értelmezve, ha b)>0. Egyszerűbb definíciója a szorzatszabály, amelyben a és b szerepe felcserélhető. aù b) = a b)b) = b a)a) A B) pedig nem más, mint a A=a i B=b j ) értékek táblázata, ahol a i és b j A és B értékei minden párosításban. Jelölése: A,B) = A B)B). Fontos megjegyezni, hogy itt nem mátrix-szorzásról van szó, csak egyszerűsítő jelölésről. Az egyenlőség tehát tagonként értendő, mindkét tagra igaznak kell lennie. Ugyanez érvényes a tagonkénti szorzatra is. A valószínűség tulajdonságai és axiómái: Az eddigiekben szintaxist definiáltunk, most meg kell fogalmaznunk egy szemantikát is. Ezt az axiómákkal kezdjük: 1. A valószínűség mindig [0,1] között van. 2. Azonosan igaz esemény logikai valószínűsége mindig 1, azonosan hamis esemény logikai valószínűsége mindig AÚ B) = A) + B) AÙ B) Axiómák használata: Állítás: Ø a) = 1- a) Bizonyítás: 3. axiómából, ha A és B helyére a-t és Øa -t írunk 2. axiómából: 1 = a) + Ø a ) 1 a) = Ø a ) Állítás: P Bizonyítás: å ( a ) = e i Îe ( a) P ( A= e 1 ), ahol e(a) az a-t alkotó elemi események halmaza 1. elemi események kölcsönösen kizáróak 2. minden állítás elemi események diszjunkciója -> 3. axiómából kijön az állítás Filozófiai megjegyzések: 1. Mennyire jó a valószínűségi tárgyalásmód? Ha teljes a tudásunk, igaz lesz, hogy a valószínűség pontosan egy elemi eseményhez egy, a többihez nulla. A tudásunk azonban soha nem teljes. 2. Elemi eseményekhez rendelt valószínűség meghatározza bármely kijelentés valószínűségét (a priori) az axiómák által. Vitatkozni csak az elemi események valószínűségével vagy az axiómákkal érdemes. 3. De nem éri meg máshogy megállapítani a kijelentések valószínűségét, mert - a valószínűség azt jelenti, hogy az ágens adott értéket hajlandó fogadni. Például ha szerinte a)=0,2, akkor 2:8 arányban fogadni Øa-ra, és 8:2 arányban fogadni a-ra ugyanaz szerinte, neki mindegy, de - ekkor belátható, hogy mindig veszít az ágens, ha nem követi az axiómákat. 4

5 Egy példa: Ágens-1 Ágens-1 Ágens-2 a Ù b a Ù Ø b Ø a Ù b Ø a Ù Ø b tippje tudása tippje a 0,4 a b 0,3 b a Ú b 0,8 Ø (a Ú b) Szum: A táblázatban látható, hogy aú b valószínűsége 0,8. Ez azonban nem lehetséges, hiszen maximum 0,7 lehet akkor, ha a és b kölcsönösen kizárja egymást. Ekkor biztos, hogy ez az ágens egy axiómákat alkalmazó ágenssel szemben mindig veszít. Tehát ha a tudásbázis nem konzisztens az axiómákkal, matematikailag bebizonyítható, hogy ekkor a játékot mindig elveszíti az ágens. Mivel aú b valószínűségét túlbecsüli az első ágens, ezért fogadunk arra, hogy Ø ( aú b), hiszen az első ágens ennek ellentétére fogad, és enged minket erre fogadni, 8:2 arányban. Ezt akkor látjuk, ha megnézzük a játék összes lehetséges kimenetelét, mert minden egyes esetben veszít az első ágens a kettessel szemben (a kettes tud úgy választani). Valószínűségi következtetések: A logika azt mutatja meg, tudásunknak mik a logikai következményei? A valószínűség azt mutatja meg, milyen hatása van egy adott kijelentés valószínűségére tudásunknak? Kiindulás a teljes együttes eloszlás, azaz elemi események valószínűségei (véletlen változók bármely értékkombinációja). Tehát következtetéseinket a teljes valószínűségi eloszlás alapján tesszük fel. Például tegyük fel, hogy egy Fogfájás, Lyuk, Beakadás tartomány teljes együttes eloszlása: fogfájás Ø fogfájás beakadás Ø beakadás beakadás Ø beakadás lyuk 0,108 0,012 0,072 0,008 Ø lyuk 0,016 0,064 0,144 0,576 Kérdés: az orvos észreveszi-e a lyukat? Ha a beakad igaz értéket kap, igen. Látható, hogy a teljes együttes eloszlás táblázatként írható fel, 3 db kétértékű valószínűségi változóval. Az összes lehetséges kombináció ekkor 8 db (2 3 ), egyszerű összegzéssel bármelyik állítás valószínűsége kiszámítható. Egy vagy több elemi kijelentés konjunkciója a marginális valószínűséget adja meg. Például lyukú fogfájás) = 0, , , , , ,064. Az első sor bejegyzéseinek összege például a lyuk feltétel nélküli (peremeloszlását) adja: lyuk) = 0,108+0,012+0,072+0,008 = 0,2. Ezt a folyamatot marginalizálásnak vagy kiátlagolásnak hívjuk, mert a Lyuk on kívüli változókat kiösszegezzük. Ez a folyamat az ún. marginális eloszlást adja meg. Ezen kiszámítási módszerek alapján egyszerűsítő jelölésmódot vezethetünk be: A) = å A,B), ahol A egy változó, vagy változók egy halmaza, és b az A-n kívüli változók b összes értéke. 5

6 A szorzatszabállyal ugyanez: A)=å A b)b). Itt annak a változónak a feltétel feletti b eloszlását kapjuk meg, amelyet tartalmazó együttes eloszlásokból kiátlagoljuk az összes többi változót a szorzatszabályban. Ennek neve: feltételfeloldás (conditioning). Például: lyuk fogfájás) = lyuk Ù fogfájás) / fogfájás) = (0, ,012) / (0, , , ,064) = 0,6 Eloszlásra ugyanez megadva: Lyuk fogfájás) = (1/fogfájás))*Lyuk,fogfájás) = (1/fogfájás)) * (0,12 ; 0,08) = α(0,12 ; 0,08) Megjegyzés: ha Lyuk,fogfájás) ismert, akkor 1/fogfájás) kiszámítható, mert Lyuk,fogfájás) 1-re összegződik. Ilyenkor gyakran csak α-t írunk, ami a normalizálási konstans. Általában: A b) = αa,b) = αå x A,b,x), ahol α: normalizálási konstans, b: ismert tények (kijelentések), x: azon változók összes lehetséges értéke, amelyeknek az értéke ismeretlen (ezekből képzett kijelentések), A: változó, érdeklődésük tárgya. Megjegyzés: ez az érték kiszámítható, ha a teljes együttes eloszlás ismert (például táblázatban adjuk meg). De a táblázat ordo(2 n ) méretű n változóra! Tehát összesen 2 n db elemi kijelentés lesz, ennek valószínűségét egyesével definiálnom kell. Hatékony reprezentáció és algoritmusok kellenek! Kérdés: hogyan lehet az eloszlást táblázat helyett jobban reprezentálni? A kulcsgondolat a függetlenség: Kétfajta függetlenségről beszélünk: 1. abszolút függetlenség (két véletlen változó független hatékonyan használható valószínűségi tábla redukálására), 2. feltételes függetlenség (finomabb módszer, további tömörítést tesz lehetővé). Ha veszek két véletlenszerű valószínűségi változót (pld. 1. fogfájás, 2. balkezes), azt gondolom, a kettő független egymástól. Az a kifejezés, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy valakinek fáj a foga, ha balkezes, értelmes. Ekkor a (fogfájás valószínűsége * balkezesség valószínűsége) művelet a standard módja a függetlenség kiszámításának. Például: fogfájásùbalkezes) = fogfájás)balkezes) 6

7 Ez inspirálja a definíciót: - a és b függetlenek akkor és csak akkor, ha aùb) = a)b), ahol a és b kijelentések, - A és B változók függetlenek akkor és csak akkor, ha A,B) = A) B). Ezzel ekvivalens definíciók: 1. A B)=A) ; 2. B A)=B). Ha változók egy halmaza felbontható független részhalmazokra, csökkenthető a teljes együttes eloszlás tárolási mérete. Ekkor minden részhalmazhoz elég az együttes eloszlás lokálisan, ezáltal sokszor nagy tömörítést érhetünk el. Például ha m+n változót m és n elemű halmazra bontunk, 2 m +2 n változó lesz 2 m+n helyett! Megjegyzés: ok és okozat nem egyezik meg a függetlenséggel! A függetlenség szimmetrikus, tehát két irányban áll fenn, ezáltal a függés is, az okság viszont nem (csak ok okozat felé áll fenn)! Például az időjárás okozhat fogfájást, tehát az idő és a fogfájás nem függetlenek (ilyen szempontból a tankönyv hibás, ott végig ez a példa van)! Persze elképzelhető, hogy adott valószínűségi változók halmaza egyáltalán nem tartalmaz függő párokat, azaz minden változó teljesen független az összes többi változótól. Erre jó példa lehet n kockadobás, ahol minden dobás független az összes többitől. A valószínűség-számításban ez előbbi a tipikus, a világban nem. Ezért a függetlenséget finomítani kell: feltételes függetlenségről beszélünk a továbbiakban. ( Ezen a ponton jött el az előadáson egy pihentető kérdés: Képzeljünk el egy olyan teljes, együttes eloszlást, amelybe véletlenszerűen írunk be számokat, figyelve, hogy az összegük 1 legyen. Függő vagy független valószínűségi változók lesznek? A válasz: Függőek lesznek. ) Lehet, hogy a és b általában nem függetlenek, viszont létezik c úgy, hogy aù b c) = a c)b c). Ekkor a és b kijelentések feltételesen függetlenek (c feltevésével), például akkor, ha a és b közös oka c. Például fogfájás és beakad nem függetlenek (lásd fogorvosi példa), de ha feltesszük, hogy van lyuk, akkor már igen. Általában A és B változó függetlenek, akkor és csak akkor, ha létezik C úgy, hogy A B,C) = A C)B C). A definícióval ekvivalens két másik definíció: A B,C) = A C) és B A,C) = B C). (Gyakorlatilag a definíciók ugyanazok lesznek, mint előbb, de minden formula után odatesszük, hogy feltesszük C-t.) Például ha tudjuk, hogy A és B függetlenek C feltevésével, akkor két táblázatot vehetünk fel, egyiket C, másikat ØC táblázattal, majd tárolhatjuk feltételes valószínűségeket. A két táblázat méretének összege kisebb lesz, mintha mindent tárolnék, hiszen mindenhol csak egyik változót kell néznem. A következő óra nagy részében ezeket a feltételes függetlenségi feltevésekkel foglalkozunk, hogy teljes együttes eloszlást lehető legtömörebb módra hozzunk. 7

8 Formalizálva ezt: x c) és x Ø c)-re is külön táblát írunk fel, és a szorzatszabállyal [aù b c) = aùbù c)c), stb] c)-t használva kijön bármely kijelentés valószínűsége. Például: aù bù c) = aùb c) c) = a c)b c)c), ahol az első egyenlőségnél a szorzatszabályt használtuk, a második egyenlőségnél a független c szerint kisebb táblázatokat hoztunk létre. Extrém eset: legyenek A, valamint B 1 B n valószínűségi változóink, amelyekre feltesszük, hogy P ( B 1... B n A) P ( B i A) - vagyis A-t feltéve B-k egymástól függetlenek. Ez a Õ = i naiv Bayes-modell alapja, amelynek segítségével exponenciális helyett lineáris tárigényt tudok kialakítani. Bayes-szabály: a b) b) Állítás: b a) = a) Bizonyítás: aùb) = a b)b) = b a)a) A B) B) Általában is: B A) =, ahol A és B véletlen változók halmaza A) (Motiváció: 1. Feltételes függetlenség kompakt reprezentációja használható. 2. A gyakorlatban sokszor a jobb oldalon lévő példák ismertek, míg a bal oldaliak nem.) A Bayes-szabály során az okból az okozatra következtető valószínűséget használjuk fel arra, hogy okozatból okra következtető valószínűséget kapjunk. Például A = Lyuk, B = fogfájás. Ekkor Fogfájás Lyuk) jól mérhető, és stabil: nem függ Lyuk)-tól. Például, ha Lyuk) változik, Lyuk fogfájás) várhatóan változik. Másik alakja (α normalizálási konstans használatával): B A) = αa B)B), itt α adódik az 1-re normalizálásból, de a teljes eloszlást ki kell hozzá számolni. Naiv Bayes-következtetés: é ù A B 1 B n )= a P ( B 1... Bn A) P ( A ) = aêõ B i A) ú A) ë i û Például A egy spam- , B 1 B n pedig adott szavak előfordulása. Gyakorlati alkalmazás: Például spam- ek szűrése. A naiv Bayes-következtetés során meg tudom nézni, hogy mi annak a valószínűsége, hogy pont B 1 B n szavakat látok az ben, ha azt feltételezem, hogy a levél (A) egy spam. Feltételezhetjük, hogy a szótartalmazások függetlenek egy spam ben, ez azonban nem igaz. A szavak függenek a többi szótól. Például gyógyszert reklámozó levélben a gyógyszerek nevének előfordulása gyakori. Szegeden a Bayes-módszer szerint minden angol nyelvű spamnek minősül! Eddig jutottunk el az előadáson, következő órán a Bayes-hálókkal kezdünk. 8

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Bizonytalanság Valószín ség Bayes szabály. Bizonytalanság. November 5, 2009. Bizonytalanság

Bizonytalanság Valószín ség Bayes szabály. Bizonytalanság. November 5, 2009. Bizonytalanság November 5, 2009 i következtetés Legyen az A t akció az, hogy t perccel a repül gép indulása el tt indulunk otthonról. Kérdés, hogy A t végrehajtásával kiérünk-e id ben? Problemák: 1. hiányos ismeret (utak

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Bizonytalan tudás és kezelése Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade Milyen matematikát

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - alapok Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A szükséges

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

Matematika. 5. 8. évfolyam

Matematika. 5. 8. évfolyam Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

ÅÌ ¹ ÄÌ ÐÑ Ð Ø Þ Ì Ò Þ ÃÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ì ÓÖØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÑÙÒ Ø Ö Î Ñ Ö Ø ØÙ Ó Ú ÒØÙÑØ Ö ÐÑ Ð Ø Ò ÅÌ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ÒÝ ØÚ ¾¼¼ º ÖÙ Ö ¾ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ÀÓÖÚ ÞØÓ ØÓØØ Þ È ÐÐ Ä Þ ØÓÒ Þ Ò Ø ØÑÓÒ Ó Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ð Ð Þ ÑÙÒ

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

XII. LABOR - Fuzzy logika

XII. LABOR - Fuzzy logika XII. LABOR - Fuzzy logika XII. LABOR - Fuzzy logika A gyakorlat célja elsajátítani a fuzzy logikával kapcsolatos elemeket: fuzzy tagsági függvények, fuzzy halmazmveletek, fuzzy következtet rendszerek felépítése,

Részletesebben

BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK

BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK Szakértői rendszerek, 14. hét, 2008 Tartalom 1 Bevezető 2 Fuzzy történelem A fuzzy logika kialakulása Alkalmazások Fuzzy logikát követ-e a világ?

Részletesebben

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb

Mára új helyzet alakult ki: a korábbiakhoz képest nagyságrendekkel komplexebb Iskolakultúra 2004/8 Nagy József ny. egyetemi tanár, Szegedi Tudományegyetem, Szeged Az elemi kombinatív képesség kialakulásának kritériumorientált diagnosztikus feltárása tanulmány Ha beírjuk a számítógép

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence)

Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence) Mesterséges Intelligencia (Artificial Intelligence) Bevezetés (ágens típusok, környezet tulajdonságai) Ágens: Környezetébe ágyazott (érzékelések, beavatkozások) autonóm rendszer (minimum válasz). [Bármi

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Reiczigel Jenő, 2006 1

Reiczigel Jenő, 2006 1 Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK

2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK 2. MÉRÉSELMÉLETI ISMERETEK A fejezet célja azoknak a módszereknek a bemutatása, amelyekkel adatokat gyűjthetünk annak érdekében, hogy kérdéseinkre választ kapjunk. Megvizsgáljuk azokat a feltételeket is,

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok

HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok HELYI TANTERV MATEMATIKA (emelt szintű csoportoknak) Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK Informatikai alapismeretek középszint 1321 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére

Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére Új kötelezettségek személyes adatok megsértése esetére Szerző: Dr. Halász Bálint ügyvéd 2013. szeptember 12. 2013. augusztus 25-én hatályba lépett az Európai Bizottság 611/2013/EU számú rendelete, amely

Részletesebben

V. Bizonytalanságkezelés

V. Bizonytalanságkezelés Bizonytalanság forrásai V. Bizonytalanságkezelés Hiányzó adat mellett történő következtetés Mi lehet a páciens betegsége? Bizonytalan adatra épülő következtetés objektív Pontatlan műszerek pontatlan leolvasása:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Analóg és digitális jelek. Az adattárolás mértékegységei. Bit. Bájt. Nagy mennyiségû adatok mérése

Analóg és digitális jelek. Az adattárolás mértékegységei. Bit. Bájt. Nagy mennyiségû adatok mérése Analóg és digitális jelek Analóg mennyiség: Értéke tetszõleges lehet. Pl.:tömeg magasság,idõ Digitális mennyiség: Csak véges sok, elõre meghatározott értéket vehet fel. Pl.: gyerekek, feleségek száma Speciális

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8.

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03. Matematika az általános iskolák 5 8. EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet 2.2.03 Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1

Matematika. Padányi Katolikus Gyakorlóiskola 1 Matematika Alapelvek, célok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Moduláris elektronikai eszközök a gyakorlatban. Írta: Zabari István 2009. október 01. csütörtök, 14:33

Moduláris elektronikai eszközök a gyakorlatban. Írta: Zabari István 2009. október 01. csütörtök, 14:33 Most induló cikksorozatunkban szeretnénk, gyakorlati oldalról bemutatni a ma már a legtöbb gyártó kínálatában szereplő moduláris elektronikai eszközöket, az egyszerű alkonykapcsolóktól a fényerőszabályzókon

Részletesebben

Blonde. Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness. Ügyviteli Rendszer. Funkcionális Specifikáció. Verzió 1.1

Blonde. Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness. Ügyviteli Rendszer. Funkcionális Specifikáció. Verzió 1.1 Blonde Szépségszalon, Szolárium, Spa, Fitness Ügyviteli Rendszer Funkcionális Specifikáció Verzió 1.1 Blonde Funkcionális Specifikáció v1.1 2012.01.12 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. A dokumentum

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata

Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata Némedi Mária Margareta A békés világtársadalom lehetőségének és lehetetlenségének szociológiaelméleti vizsgálata mari szerzői kiadása - Budapest 2012 ISBN 978-963-08-4652-3 Semmilyen jog nincs fönntartva!

Részletesebben

Időt kezelő modellek és temporális logikák

Időt kezelő modellek és temporális logikák Időt kezelő modellek és temporális logikák Valósidejű rendszerek követelményeinek formalizálása és ellenőrzése Majzik István Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Szakmai zárójelentés

Szakmai zárójelentés Szakmai zárójelentés A csoporttechnológia (Group Technology = GT) elvi és módszertani alapjaihoz, valamint a kapcsolódó módszerek informatikai alkalmazásaihoz kötődő kutatómunkával a Miskolci Egyetem Alkalmazott

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4.

Bizonytalanság. Mesterséges intelligencia április 4. Bizonytalanság Mesterséges intelligencia 2014. április 4. Bevezetés Eddig: logika, igaz/hamis Ha nem teljes a tudás A világ nem figyelhető meg közvetlenül Részleges tudás nem reprezentálható logikai eszközökkel

Részletesebben

ECP. Site Administration System. Felhasználói kézikönyv. v2.9.24+ (1. kiadás a 2.9.24 és újabb verziójú ECP SAS rendszerekhez)

ECP. Site Administration System. Felhasználói kézikönyv. v2.9.24+ (1. kiadás a 2.9.24 és újabb verziójú ECP SAS rendszerekhez) v2.9.24+ ECP Site Administration System Felhasználói kézikönyv (1. kiadás a 2.9.24 és újabb verziójú ECP SAS rendszerekhez) AW STUDIO Nyíregyháza, Luther utca 5. 1/5, info@awstudio.hu 1 2 Jelen dokumentáció

Részletesebben

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő 2 TANMENET javaslat a szorobánnal számoló 2. osztály számára Szerkesztette: Dr. Vajda József - Összeállította az Első Szorobán Alapítvány megbízásából: Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő Makó, 2001. 2010.

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

I. Bevezetés... 3 II. Jogszabály tervezetére vonatkozó általános rendelkezések... 3 1. A jogszabály tervezetének a megszövegezésére vonatkozó

I. Bevezetés... 3 II. Jogszabály tervezetére vonatkozó általános rendelkezések... 3 1. A jogszabály tervezetének a megszövegezésére vonatkozó SEGÉDLET AZ ÖNKORMÁNYZATI RENDELETEK MEGALKOTÁSÁHOZ A JOGSZABÁLYSZERKESZTÉSRŐL SZÓLÓ 61/2009. (XII. 14.) IRM RENDELET ALAPJÁN Készítette: dr. Antalóczi-Szilágyi Adrienn dr. Karvalics Katalin dr. Kiss Bernadett

Részletesebben

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)

Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3) Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index

Részletesebben

(C) Dr. Bagyinszki Gyula: ANYAGTECHNOLÓGIA II.

(C) Dr. Bagyinszki Gyula: ANYAGTECHNOLÓGIA II. HŐKEZELÉS Hőkezelés az anyagok ill. a belőlük készült fél- és készgyártmányok meghatározott program szerinti felhevítése hőntartása lehűtése a mikroszerkezet ill. a feszültségállapot megváltoztatása és

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

NIKerettanterv MATEMATIKA 1. évfolyan Éves óraszám: 180 óra, heti 5 óra

NIKerettanterv MATEMATIKA 1. évfolyan Éves óraszám: 180 óra, heti 5 óra NIKerettanterv MATEMATIKA 1. évfolyan Éves óraszám: 180 óra, heti 5 óra A matematikatanítás célja, hogy lehetővé tegye a tanulók számára a környező világ térformáinak, mennyiségi viszonyainak, összefüggéseinek

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA. Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens. PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék

BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA. Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens. PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék BEVEZETÉS A FUZZY-ELVŰ SZABÁLYOZÁSOKBA Jancskárné Dr. Anweiler Ildikó főiskolai docens PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék A fuzzy-logika a kétértékű logika kalkulusának kiterjesztése. Matematikatörténeti

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

1 Rendszer alapok. 1.1 Alapfogalmak

1 Rendszer alapok. 1.1 Alapfogalmak ÉRTÉKTEREMTŐ FOLYAM ATOK MENEDZSMENTJE II. RENDSZEREK ÉS FOLYAMATOK TARTALOMJEGYZÉK 1 Rendszer alapok 1.1 Alapfogalmak 1.2 A rendszerek csoportosítása 1.3 Rendszerek működése 1.4 Rendszerek leírása, modellezése,

Részletesebben

AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE

AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE AZ ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI BIZOTTSÁG 2012. JANUÁR 11-ÉN MEGTARTOTT ÜLÉSÉNEK A JEGYZŐKÖNYVE Köszöntöm az Országos Választási Bizottság ülésén megjelenteket. Megállapítom, hogy az Országos Választási Bizottság

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok

Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Matematika helyi tanterv 5 8. évfolyam számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

Matematika. 1 4. évfolyam. Vass Lajos Általános Iskola Helyi tanterv Matematika 1 4. osztály

Matematika. 1 4. évfolyam. Vass Lajos Általános Iskola Helyi tanterv Matematika 1 4. osztály Matematika 1 4. évfolyam Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013.

Matematika. 5-8. évfolyam. tantárgy 2013. Matematika tantárgy 5-8. évfolyam 2013. Matematika az általános iskolák 5 8. évfolyama számára Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről

Részletesebben

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5

5. évfolyam. Gondolkodási módszerek. Számelmélet, algebra 65. Függvények, analízis 12. Geometria 47. Statisztika, valószínűség 5 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell * Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Verseny és versenyellenesség

Részletesebben

(11) Lajstromszám: E 004 039 (13) T2 EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA

(11) Lajstromszám: E 004 039 (13) T2 EURÓPAI SZABADALOM SZÖVEGÉNEK FORDÍTÁSA !HU0000039T2! (19) HU (11) Lajstromszám: E 004 039 (13) T2 MAGYAR KÖZTÁRSASÁG Magyar Szabadalmi Hivatal (21) Magyar ügyszám: E 03 74228 (22) A bejelentés napja: 03. 02. 18. (96) Az európai bejelentés bejelentési

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben