VIII. FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK

Átírás

1 Össefoglaló feladato 7 VIII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII Verseyre előésítő feladato Két samitás, 6060 illetve 8080-cm agyságú sőyegdarab (mide meő 00 cm agyságú) segítségével le ell fedi egy 0000 cm agyságú égyetet úgy, hogy a lefödés is satáblamitás legye, továbbá egyi sőyeget se vágju ettőél több darabra és egyetle meőt se vágju etté Terve ilye sétvágásoat! Egy labiritus folyosói egy oldalú ove sosög oldalai és átlói Legalább háy mécsest ell elhelyeü ahho, hogy mide folyóso legye legalább egy lámpa? a) Egy 56-os téglalap alaú égyetrács átlója háy egységégyetet érit? b) Egy m-es téglalap alaú égyetrács átlója legfeljebb háy egységégyetet érithet? Fogalma meg egy térbeli aalóg feladatot majd oldd is meg! Határod meg a legagyobb páros sámot, amely em írható fel ét páratla össetett sám össegeét! 5 Háy olya -él em agyobb poitív egés sám va, amelye mide prímostója legalább étjegyű? Visgáld meg a = 0000 sajátos esetet is! 6 Egy 5 -ös téglalap alaú égyetrácso találomra iválastu három potot Mi a valósíűsége aa, hogy a iválastott poto által meghatároott háromsög belsejébe vagy a oldalai va legalább egy további rácspot? 7 Oldd meg a = egyeletet! 8 Határod meg legisebb és legagyobb lehetséges értéét ha + = a és a egy sigorúa poitív valós sám 9 Oldd meg a termésetes sámo halmaába a = log si π egyeletet! 8 0 Oldd meg a + = egyeletet a valós sámo halmaába! Oldd meg a ( ) + ( ) = Oldd meg a ( + ) + ( + ) = egyeletet a valós sámo halmaába! egyeletet! ( R és N ) Határod meg a a + b = c + d egyelet valós megoldásait ha a, b, c és d poitív valós sámo és a + b = c + d A termésetes sámo halmaába oldd meg a + = 5 egyeletet! a * 5 Határod meg at a ( ) termésetes sámsoroatot, amelyre N y

2 8 Össefoglaló feladato a * = a, N = = 6 Ha a > 0 és a, határod meg aoat a f : R R függvéyeet, amelyere + y f ( + y) f ( ) f ( y) a,, y R 7 Bioyítsd be, hogy ha a a, b, c és d valós sámo teljesíti a a + b = és c + d = egyelőségeet, aor a + b + c + d + ( a c) + ( b d) 7,68 8 Bioyítsd be, hogy ha a, b, c R+, aor a ab + b + a ac + c b bc + c 0, 9 Jelöljü f -el a f :[0,] [0,], f ( ) = függvéy, -edi iteráltját f = f f Háy darab megoldása va a f f ( ) = egyelete? 0 A f : N N és f : N függvéyere a g ) = ma f ( ), f ( ), N ( ( ) N függvéy sürjetív és a h () = mi( f ), f ( )), N ( össefüggéssel értelmeett függvéy ijetív Bioyítsd be, hogy a függvéye bijetíve és f = f f [ ] f és f Jelöljü () -el a, itervallumba levő teljes égyete sámát Taulmáyod a f függvéy ijetivitását és sürjetivitását! Bioyítsd be, hogy ha f :[ a, b] R egy tetsőleges függvéy, aor létei olya g : R R függvéy, amelyre ( g g)( ) = f ( ), bármely [ a, b] -re! Ha a A és B véges halmao elemeie sáma m illetve, határod meg a) A f : A B függvéye sámát! b) A f : A B ijetiv függvéye sámát (ha m )! c) A f : A B sürjetív függvéye sámát (ha m )! ( + ) + ( ) 6 Értelmeü a f : N R, f ( ) = függvéyt 8 Bioyítsd be, hogy a) f ( ) Q, N! b) f () potosa aor termésetes sám ha páratla!

3 Össefoglaló feladato 9 5 Bioyítsd be, hogy ha a, és omple sámo modulusa r és, aor mi a + ( a) =! a R r 6 Adott a XOY sög belsejébe egy M pot Határod meg at a d egyeest, amely átmegy M-e és a OX illetve OY egyeeseel meghatároott háromsög területe miimális! Fogalma meg egy térbeli aalóg feladatot és oldd is meg! 7 A ABCD tetraéderbe M [CD] egy mogó pot Bioyítsd be, hogy ha AM + MB miimális, aor a AMB sög sögfeleője merőleges CD-re! 8 A ABCD ove égysög síjába létei három em ollieáris pot,, M és M, úgy, hogy M A + M C = M B + M D ha {,, } Bioyítsd be, hogy ABCD téglalap! Fogalma meg egy térbeli aalóg feladatot és bioyítsd is be! 9 A ABC egyelő oldalú háromsög belsejébe levő M pota a oldalara eső vetületeit jelöljü M, M és M -mal Bioyítsd be, hogy a M M M háromsög súlypotja a OM saas feleőpotja, ahol O a ABC háromsög öéppotja 0 Lehet-e egy ocáa és egy sía a metsete egy sabályos a) háromsög? b) égysög? c) ötsög? d) hatsög? Ha ige, aor add meg a össes ilye metset helyetét! Egy egységyi átmérőjű hegert metsü egy α síal, amely a heger tegelyével 5 -os söget ár be, majd a heger palástját iterítjü a síba úgy, hogy a origóba a O pot és a OX tegelyre a OA örív erüljö Így a sí és a heger metsete egy görbét sármatat a síba Milye függvéye a grafius épe e a görbe? A ABCD tetraéderbe S A, S B, S C és S D -vel jelöljü a A, B, C és D potoból a sembefevő lapora bocsátott merőleges vetoroat, amelye agysága a megfelelő sembefevő lap területée mérősámával egyelő Bioyítsd be, hogy M S S + S + S = 0 (südisó tétel) A + B C D A ABCD tetraéder lapjaia súlypotját jelöljü redre G, G, G és G - vel Határod meg aoat a G potoat a térbe, amelyere a A GA, GG A B C GB, GGB D GC GGC GD és aráyo egyie sem isebb mit GG D Határod meg a ABCDA' B' C' D' ocába a maimális területű símetsetet ha a oca élée hossa a

4 0 Össefoglaló feladato 5 A teljes valósíűség tételét hasálva bioyítsd be a Newto biomiális tételt! + 6 Milye és termésetes sámo eseté alota a C, C és C sámo sámtai haladváyt? Négy egymás utái ombiációs együttható alothat-e egy sámtai haladváyt? 7 a) Bioyítsd be, hogy a 5y = egyelete végtele so megoldása va a termésetes sámo halmaába! + b) Bioyítsd be, hogy a C + C = C egyelete végtele so megoldása va a termésetes sámo halmaába 8 Bioyítsd be, hogy ha p prímsám, aor p a) ( C C ) p ; C pm p pm m m C p ; b) ( ) C p pm m C p, ha p 5 c) ( ) ( 0 )! 9 Egy sabályos p-sög csúcsai öt egy örutat terveü úgy, hogy mide csúcso potosa egyser mejü erestül Et háyféleéppe tehetjü meg ha a elforgatással egymásba vihető utaat em teitjü ülöböőe és p p p! + prímsám? Bioyítsd be, hogy ha p prímsám, aor ( ) 0 Legye P, P, P, P és egy véges sámsoroat P N, =, A soroat hossúságát a öveteő lépés segítségével csöethetjü: A P és P sámo öül a isebbet ivoju midettőből és hoáadju a ét öépsőhö (ha ét sám va öépe) vagy a étseresét adju hoá a öépsőhö (ha egy sám va öépe) A alábbiaba ét ilye példát mutatu be: Látható, hogy juthatu ét sámból álló illetve egy sámot tartalmaó soroatho (a sélee megjeleő 0-at mide lépésbe elhagyju) Mitől függ a, hogy egy vagy ét sám marad a végé? A a + b + c = 0, b + c + a = 0 és c + a + b = 0 egyelete midegyiée va egy egés gyöe Bioyítsd be, hogy ha a, b, c R *, aor a három egyelete va legalább egy öös gyöe! Bioyítsd be, hogy ha a és y poitív valós sámora [ ] [ y] bármely P ( ) N -re, és y y, aor, y és egés sámo!

5 Össefoglaló feladato Botsd téyeőre a P + PQ + Q poliomot ha P = X Y + Y Z + Z X és Q = Y X + Z Y + X Z! Bioyítsd be, hogy ha a, b Z, N és ( a + b ) ( a + b) ( a b) * a b, aor Z 5 A X = {,,, } halma em üres réshalmaait jelöljü R, R,, R -gyel és tetsőleges j {,,,, } eseté legye a R j elemeie a sorata Sámítsd i a P j j= össeget! 6 Bioyítsd be, hogy ha a P ( ) = 0 egyelet,,, és gyöeire teljesüle a Im ( ) 0 egyelőtlesége, aor a P ( ) = 0 egyelet gyöeie is poitív a épetes rése 7 Bioyítsd be, hogy a) tg π π π π tg tg tg = π π π π ( ) b) cos cos cos cos = π π π ( ) π c) si si si si =, ha páros 8 Bioyítsd be, hogy ha ε, ε,, ε és ε a -ed redű egységgyöö valamit P C[ X ], aor a P -ad foú tagjáa együtthatója P( ε ) j ε 9 Bioyítsd be, hogy ha P( X ) C[ X ], aor ma P( ) = P( r), bármely r R + eseté * 50 Rögített N -ra jelöljü S -el a P( X ) = X + a X + + a X alaú poliomo halmaát ( P( X ) C[ X ]) Bioyítsd be, hogy mi ma P( ) = S = P = r j= 0 P j + 5 Bioyítsd be, hogy ha 0 a P ( X ) = X + a X + + a X + a omple együtthatós poliom gyöe, aor + a + a + a + 0 a

6 Össefoglaló feladato 5 Bioyítsd be, hogy ha a > a > a > > a > a0 > 0, aor a P( X ) = a X + a X + + a X + a 0 poliom gyöeie modulusa -él isebb (Kaeya tétele) VIII Össefoglaló gyaorlato és feladato Soroato Határod meg a a soroat általáos tagjáa épletét, ha a + a+ a + = 0,, mide i =, eseté, vagy Bioyítsd be, hogy ha ( ) mide i =, eseté, aor i i= log + + Legye S = +, ahol és a a + b + c = 0 egyelet gyöei S a b i ( + ) Igaold, hogy ha a ( ) soroat sámtai haladváy, aor a, és c sámo is sámtai haladváyba vaa Határod meg a, y és sámjegyeet, ha a, y és y sámo mértai haladváyt alota 5 Igaold, hogy ha a a a,, a, sámo egymás utái tagjai egy mértai haladváya, aor mide termésetes sám eseté feáll a a Ca + C a + ( ) C a+ = 0 egyelőség Iga-e a fordított állítás is? 6 Találj 5 sámtai haladváyba levő prímsámot! 7 Egy test sabado esi, és a első másodpercbe,9 m utat tes meg Eutá, mide öveteő másodpercbe 9,8 m-rel agyobb utat tes meg, mit a at megelőőbe a) Meora utat tes meg a test 0 másodperc esés alatt? b) Meyi idő alatt ér a földre egy sabado eső test, ha 000 m magasról idul? 8 Igaold, hogy mide és m termésetes sám eseté létei olya tagú és m rációjú sámtai soroat, melye tagjai össetett egés sámo 9 Két egymástól 00 m távolságra levő erépáros A és B egymás felé idula v =0 m/h és v = 5 m/h sebességgel Egy madár A -tól B fele repül igáva a ét erépáros öött, amíg ő találoa Milye távolságot repül be a madár, ha a sebess;ge 5 m/h?,

7 Össefoglaló feladato 0 Határod meg a a, a, a a valós sámoat tudva, hogy egy sámtai soroat, egymásutái tagjai és a + a, a, a, a + sámo mértai soroatot alota Ha si ( b + c a), si ( c + a b), si ( a + b c) sámtai soroatot alota aor tg a, tg b és tg c is sámtai soroatot alot Bioyítsd be, hogy ha sámtai soroat r, r,, r rációval a termésetes sámo egy partícióját alotjá, aor a), r,, r em mid ülöböő, r b) = r r r Bioyítsd be, hogy végtele so prím tagja va a a = soroata Bioyítsd be, hogy létei a termésetes sámoa egy három ostályból álló partíciója úgy, hogy bármely sámra, 50 és ülöböő ostályba legyee 5 Hogy egy háromsögbe a ctg A, ctg B és ctg C sámo sámtai soroatot alota aor és csa aor ha cos A, cos B és cos C is sámtai soroatot alot 6 Bioyítsd be, hogy a öveteő sámo egy sámtai haladváyt alota bármely 0 : ( + )( + + ), , ( )( ) 7 Határod meg a m paraméter értéét úgy, hogy a, ( ) sámo egy rációjú sámtai haladváy alossaa 8 I Bioyítsd be, hogy a öveteő ijeletése evivalese: a) A soroat egy sámtai soroat ( a ) b) Létei a, b R úgy, hogy a = a + b, bármely -re m, m ( ) c) Létei c, d R úgy, hogy S = c + d bármely -re a + d) = + a a bármely -re a + a+ II Helyettesíthető a d) pot a a = bármely + -re ifejeéssel 9 Bioyítsd be, hogy ha a, b, c sámtai haladváy alota aor a b + bc + c, c ac + a, a + ab + b sámo is sámtai haladváyt alota Bioyítsd be, hogy ha a + b + c 0 aor a állítás fordítottja is iga 0 I Ha a ( a ) egy mértai haladváy aor ( a a ) ( a ) a a = II Iga a állítás fordítottja? Határod meg, hogy mely sámtai haladváy teljesíti a alábbi feltételeet:

8 Össefoglaló feladato a + a + a = aa a = 8 A apott sámtai haladváy eseté határod meg a a7 a5 ülöbséget a) Határod meg ao mértai haladváy első tagját és rációját, amely teljesíti a öveteő feltételeet: a a = a a = 8 b) A apott haladváyra sámold i a első tag össegét Határod meg ao ( sámtai haladváy első tagját és rációját amely a ) teljesíti a alábbi feltételt: a a6 + a = 7 a8 a7 = a Sámold i a alábbi össeget S = ( 7 6) ( 7 + ) 5 Sá millió lej össeget ölcsö adu 0% -os évi amattal Milye össeget apu vissa év múlva? 6 Bioyítsd be, hogy ha,, sámtai haladváyt alota, aor b a b b c a, b, c mértai haladváyt alota 7 Adjál példát olya mértai haladváyra, amelye végtele so racioális és irracioális tagja va 8 Bioyítsd be, hogy ha egy sámtai haladváya va ét egés tagja aor végtele so egés tagja va 9 Bioyítsd be, hogy ha egy sámtai haladváya va ét racioális tagja aor a össes tag racioális 0 Határod meg ao omple sámoat, amelyere,, sámo sámtai haladváyt alota Bioyítsd be, hogy ha egy egés sámoból álló sámtai haladváya va egy teljes égyet tagja aor végtele so teljes égyetet tartalma Iga-e a előbbi ijeletés, ha a teljes égyet helyett egy a alaú sámot vessü, rögített -ra Határod meg at a égy sámjegyű N = abcd sámot, amelye sámjegyei sámtai haladváy alota és abcd + dcba ostható -mal Határod meg ao a, b, c sámoat, amelye sámtai haladváyt alota és a legagyobb öös ostójú és a legisebb öös többsörösü 0 Határod meg aoat a termésetes sámoat, amelyere a + és előjele megválastható úgy, hogy a ± ± ± ± ± össeg egyelő legye ullával 5 Háy olya érté létei, amelyre páratla termésetes sám össege legye?

9 Össefoglaló feladato 5 5a + 6 Adott a öveteőéppe értelmeett soroat: a = 0, a + = a + a a) Bioyítsd be, hogy b = egy mértai haladváy a + b) Határod meg a ( a ) soroat általáos tagját (Eescu) 7 Egy tábla csooládét 0000 lejért vásárolhatu meg Öt csooládés papír vissasolgáltatásaor a vásárló egy igye csooládét ap Valójába meyibe erül egy csooládé? 8 Sámítsd i a S = a a + a a + + a a össeget, ha a, a,, a egy sámtai haladváy Komple sámo Határod meg aoat a omple sámoat, amelyere + = Határod meg aoat a omple sámoat, amelyere = és + = ( )( + + i) Határod meg aoat a omple sámoat, amelyere a valós sám Sámítsd i: a) ( ) sorat i i + i 5 Taulmáyod a öveteő függvéye ijetivitását, sürjetivitását és bijetivitását: a) ( ) + ; b) ( ) 0 f =, f : C R + ; f = +, f : C C ; f =, f : C C ; f = i, f : C C b) ( ) i c) ( ) i d) ( ) + ; c) ( ) * 6 Bioyítsd be, hogy bármely C \ R és N eseté létee és egyértelműe meghatárootta a a és b valós sámo, amelyere a + = b 7 Határod meg aoat a C omple sámoat, amelyere = i 8 Bioyítsd be, hogy + + c = ( + c) + + c c 9 Oldd meg a

10 6 Össefoglaló feladato = 0 i i i egyeletet (Felvételi, 999) 0 Oldd meg a + y + = 0 y = + y + = egyeletredsert a omple sámo halmaába Határod meg a m és valós paramétere értéét úgy, hogy a + + m + = 0 egyelete + i megoldása legye Oldd meg a = + i egyeletet Bioyítsd be, hogy ha Im( a + b) 0, mide omple sám eseté, aor b = a A a + b + c = 0 egyelet gyöei és Bioyítsd be, hogy ha a = b = c, aor 5, i =, i 5 Bioyítsd be, hogy bármely, egységmodulusú omple sám eseté Bioyítsd be, hogy ha = = = és i j, bármely i j eseté, aor i + j ( )( ) 7 Bioyítsd be, hogy ha C \ { } i< j i j 8 Bioyítsd be, hogy ha =, aor és =, aor P Z = Z az az + poliom mide gyöe 9 Bioyítsd be, hogy a ( ) egységmodulusú, ha a R és a < 0 A ABCDEF hatsögbe M, N, P, Q, R és S a AB, BC, CD, DE, EF és FA saaso feleőpotjai Bioyítsd be, hogy MQ PS RN = MQ + PS

11 Össefoglaló feladato 7 A ABCD égysög oldalaira ifele égyeteet serestü Ha a égyete öéppotjai O,,, aor bioyítsd be, hogy O O O és O O O O OO O O A ABCD és BMNK égyete belseje disjut Bioyítsd be, hogy A AN feleőpotja, a B -ből a CK -ra húott merőleges talppotja és a B csúcs ollieárisa A ABC háromsög AB és AC oldalaira felvessü a D és E potoat úgy, hogy AD AE = = A BE és CD saasoat meghossabbítju úgy, hogy AB AC E E = BE és D D = CD Bioyítsd be, hogy: a) D, A, E ollieárisa b) A D = AE A ABCDE ove ötsögbe M, N, P, Q, X és Y a BC CD, DE, EA, MP és NQ feleőpotjai Bioyítsu be, hogy XY AB 5 Sámítsd i a öveteő össegeet: a) C cos ; = cos b) ; = c) cos = 6 Bioyítsd be, hogy ha bármely egységmodulusú omple sámra b + a + =, ahol a, b C, aor a = b = 0 7 Bioyítsd be, hogy ha, y és -he visoyítva ugyaabba a itervallumba helyeede el, aor log y log y log (Adrica) + y y y + 8 A, és egységmodulusú omple sámo teljesíti a = egyelőséget Bioyítsd be, hogy ( ) {, } 9 Határod meg a ha m R + i m = i m 0 Oldd meg a ( 5 i) + ( i) + 6i = 0 valós gyöe alaú sámoa megfelelő poto mértai helyét, egyeletet, ha va legalább egy

12 8 Össefoglaló feladato Bioyítsd be, hogy ha +, aor + Iga-e a + + impliáció? Bioyítsd be, hogy bármely = a + ib és = c + id, a, b, c, d Z, 0 eseté létei és egyértelmű a = m + i és = p + iq, m,, p, q Z, amelyre + és < (a maradéos ostás tétele a + ib, a, b Z alaú = sámora) Függvéye Hasolítsd össe a íveteő sámoat: a) log 7 + log 8 és ; b) log 6 5 és log 7 6 Ha a = log 5 és b = log 5 sámítsd i a és b függvéyébe a öveteő sámoat: a) log 5 6 ; b) log 5 ; c) log 5 8 ; d) log 5 5 π 0 Írd övevő sorredbe a öveteő sámoat:,, 8 és 8 5 lg + lg a b Bioyítsd be, hogy ha a = és b = log, aor + = 7 lg 5 Oldd meg a ( ) = + 5 egyeletet 5 6 Milye λ eseté les potosa egy valós megoldása a egyelete Oldd meg a + = 8 egyeletet a valós sámo halmaába log ( p + ) = 8 Oldd meg a = egyeletet a valós sámo halmaába 9 Oldd meg a = egyeletet a valós sámo halmaába Oldd meg a = egyeletet Oldd meg a si + cos = egyeletet a + b a + b Hasolítsd össe a log a logb és sámoat, ha a, b (, ), és ha a, b ( 0, ) a, b, c,, aor Bioyítsd be, hogy ha ( ) log log log log log log ( ab) ( ) ( ) a c b c b a c a c b a b bc + ca a + b + c +

13 Össefoglaló feladato = log y Oldd meg a ( ) egyeletet 5 Oldd meg a öveteő egyeleteet: a) cos + 0 6cos = 0 6 cos, 0, π ;, ( 0, π ) b) 5 cos + 7 si = 6 Oldd meg a tg + ( log si )( log cos ) = 7 Oldd meg a < log ( si ) log egyeletet log egyelőtleséget si si a, Q 8 Adott a f : R (0, ), f ( ) = függvéy, ahol a, b (0, ) \ { } b, R \ Q Bioyítsd be, hogy a öveteő állításo egyeértéűe: a) f ijetív; b) f sürjetív; c) f bijetív; d) log b Q 9 Bioyítsd be, hogy a f : R R, f ( ) = cos cos függvéy em periodius 0 Jelöljü a-val, b-vel és c-vel a f ( f ( f ( f ( )))) =, f ( f ( )) = és f ( ) = egyelete megoldásaia sámát, ahol f : R R Bioyítsd be, hogy ha a, b és c véges sámo, aor ( a b) és ( b c) Bioyítsd be, hogy em létei olya f : R R függvéy, amelyre teljesüle a, Q f ( f ( )) =, R \ Q Bioyítsd be, hogy ha f : A B és g : B C bijetív függvéye, aor ( ) g f = f g Igaa-e a öveteő egyelősége, ha f : A B egy függéy és A, A A : a) f ( A A ) = f ( A ) f ( A ); b) f ( A A ) = f ( A ) f ( A ) Jelöljü cova -val a A R halma ove burát (aa a legisebb ove f cova = covf A, ha f : R R halmat, amely tartalmaa A-t) Iga-e, hogy ( ) ( ) b 5 Létei-e olya a és b irracioális sám, amelyre a racioális? 6 Bioyítsd be, hogy ha p N prímsám és r Q, aor érvéyes a öveteő evivalecia: p r Q r Z 7 Bioyítsd be, hogy létei bijetív függvéy N-ről Z-re! 8 Bioyítsd be, hogy létei bijetív függvéy N-ről Q-ra! 9 Bioyítsd be, hogy em létei bijetív függvéy N-ről R-re! a

14 50 Össefoglaló feladato Kombiatoria Melye a racioális tagjai a + ifejeés ifejtésée, ahol Q 00 Határod meg a a -tól függetle tagoat a ( + a) m Sámold i a ( ) ( ) 0 + ifejtésébe a m Cm = m m C egyelet gyöeie össegét A astalo pohár va elhelyeve a sájual lefele Lehetséges-e, hogy a össes pohár a talpá álljo véges lépés utá, ha egy lépés potosa ( ) pohár megfordítását jeleti? 5 Határod meg ao sámo sámát, amelyebe mide sámjegy agyobb a előtte lévő sámjegyél 6 Egy gépocsi redsáma a ábécé három betűjéből (6 betű) és ét sámjegyből áll Tudva at, hogy ét gépocsi em öleedhet ugyaaal a redsámmal, határod meg a maimálisa öleedhető gépocsi sámát (Ţea) 7 Egy ( + ) elemet tartalmaó halma elemei ullától ülöböő és -él em agyobb termésetes sámo ( ) Mutasd meg, hogy a halma három elemű réshalmaai öt létei olya, amelyi egyi eleme egyelő a mási ettő össegével 8 a) Háy ullába végődi a 00!? b) Határod meg a p prím itevőjét a! prímtéyeős felbotásába 9 Háy olya ullától ülöböő és 000-él isebb termésetes sámoból álló ( a, b) sámpár va, amelyre a + b ostható legye 9-cel? (Ţea) 0 Bioyítsd be, hogy [( m )!] + ( m! ) (! ) m+ N * 0 (Adrica) A + ifejeés ifejtésébe a páratla ragú ombiációs együttható össege 56 Melyi tag tartalmaa? (Felvételi 99) A a a a + biom ifejtésébe a harmadi és a másodi tag 6 együtthatójáa a ülöbsége 5 Határod meg a a -t tartalmaó tag együtthatóját Oldd meg a C + + C+ C+ egyelőtleséget (Felvételi 99) 6 Bioyítsd be, hogy em létei olya sám, amelyre a 0 m C, C, C,, C sámo fele páros, fele páratla legye m m m m

15 Össefoglaló feladato 5 ( ) 5 Bioyítsd be, hogy ha a = C b, bármely N eseté, aor b = ( ) = 0 = 0 C a, bármely N eseté (Ţea) ( )! 6 Bioyítsd be, hogy a termésetes sám! ( + )! 7 Sámítsd i a = sám egés rését! 0 C C C 8 Bioyítsd be, hogy ha a f ( ) + a + + a = + függvéy össes gyöe valós és ai 0, bármely =, f 9 Bioyítsd be, hogy létei a ettes sámredserbe olya N tíjegyű sám, amely tartalma mide a háromjegyű biáris sámot C C C 0 Egyserűsítsd a törtet, ahol + (Felvételi 99) C Határod meg a b -t tartalmaó tagot a hogy i eseté, aor ( ) ( ) a b biom ifejtésébe tudva, a a legagyobb termésetes sám, amely teljesíti a log + log 0 > egyelőtleséget (Felvételi 99) Legye a biom, ahol * N és R 0 C C a) Határod meg a -et úgy, hogy C,, egy sámtai haladváy egymásutái tagjai legyee b) Elleőriü, hogy = 8 -ra létei-e olya amelyre a hatodi és a egyedi tag ülöbsége a biom ifejtéséből 56 legye (Érettségire javasolt feladat 99) Kiválastu öt rácspotot a síból Bioyítsd be, hogy ee a poto által meghatároott saaso tartalmaa még rácspotot a végpotoo ívül Bioyítsd be, hogy ( ) m! m Cm = = 0 + ( m + )! 5 Bioyítsd be, hogy C C ostható -el 6 Egy pácélseréy iyitható, ha a,, és sámoat helyes sorredbe írju be A pácélseréy árja megjegyi a utoljára beírt égy sámjegyet és ha ee sorredje helyes aor a pácélseréy iyíli Háy sámjegyet ell beíru, ha em tudju a ódot és i aarju yiti? m

16 5 Össefoglaló feladato 7 Bioyítsd be, hogy C = 0 5 Térgeometria Bioyítsd, hogy ha e -vel, cs -vel, l -lel redre egy ove poliéder éleie, csúcsaia és lapjaia sámát jelöltü, aor cs e l = Határod meg egy oca legagyobb területű símetsetée területét A ABCD A B C D oca BC, D D és A B élei ( B -től C felé, D -től D felé és A -től B felé) egyserre idul egy-egy mogó pot, aoos sebességgel a) Seresd meg a általu meghatároott símetsetet b) Bioyítsd be, hogy a metset sembefevő éleie feleőpotjait össeötő saaso össefutóa c) Határod meg a előbbi össefutási pot mértai helyét (Radó Ferec emléversey, 000) Bioyítsd be, hogy egy oldalú ove sosög potosa aor botható fel paralelogrammára, ha cetrálsimmetrius 5 Fel lehet-e íri a {,,,, 5, 6, 7, 8, 9} sámo öül yolcat egy oca csúcsaira úgy, hogy a párhuamos élee ugyaa legye a össeg? 6 Bioyítsd be, hogy ha egy gúla oldalélei ogruese, aor a alap örbeírható és a csúcsa a alapsíjára eső vetülete a öréírt ör öéppotjába erül 7 Egy a élhossúságú oca egyi testátlójára illesedő símetsete területe öül melyi miimális? 8 Létei-e olya poliéder, amely lapjaia oldalsámai pároét ülöböőe? 9 Tömör heger a tegelyével párhuamosa feve úsi a víe úgy, hogy félsugáryit merül a víbe Meora a sűrűsége? 0 Bioyítsu be, hogy egy 00 csúcsú ove poliéder élei megsámoható a + és sámoal úgy, hogy mide egyes csúcsba befutó élere írt sámo sorata legye Egy tömör oca csúcsait - hogy jobba hasálható legye serecsejátéo céljára legömbölyítetté aal a gömbbel, amelye öéppotja a oca öéppotja és amely ériti a oca valameyi élét Meora a maradé test felsíe és térfogata? Va-e olya, a ocától ülöböő test, melye ugyaayi lapja, éle, csúcsa va mit a ocáa, de ics égysöglapja? Háy sabályos test va? Bioyítsd be, hogy egy sabályos égyoldalú gúlába és a öréje írt gömb r R illetve R sugarára + r 5 Bioyítsd be, hogy a tetraéder ét sembefevő élée feleőpotjá áthaladó tetsőleges sí ét aoos térfogató testre botja a tetraédert!

17 Össefoglaló feladato 5 6 Egy sabályos háromoldalú gúla alapéle a és oldaléle b Meyi aa a gömbe a sugara amelyi ériti a gúla mide élét? 7 Sámítsd i a ABCD sabályos tetraéder ét élée itérő egyeesee fevő oldalfeleőjée távolságát 8 Bioyítsd be, hogy egy gömb és a öréje írt úp térfogatáa aráya egyelő a palástfelsíée aráyával (Burtea) 9 A ABC háromsöget megforgatju a BC, CA és AB oldal örül Ha V a, V b és V c a apott teste térfogata, bioyítsu be, hogy a öveteő állításo egyeértéűe: a) m( BAC ˆ ) = 90 ; b) BC AC AB = + ; V V V a b c c) = + (Burtea) Va Vb Vc 0 A VABC sabályos égyoldalú gúlába a alapél hossa a és a oldalél a si 60 Bioyítsu be, hogy ha M és N a AB és CD feleőpotja, aor VM VN A ABCD sabályos tetraéder A -ho tartoó magasságáa E feleőpotját össeötjü a B, C és D potoal Bioyítsd be, hogy a EB, EC és Ed saaso pároét merőlegese Határod meg a a oldalú sabályos tetraéder vetületée legagyobb lehetséges területét Egy ove poliéder csúcsai ét párhuamos síba helyeede el Bioyítsd be, hogy a térfogata isámítható a V = ( A + A + A ) éplet segítségével, ahol A és A a ét síba eső lapo területe és A a ét sítól egyelő távolságra levő sí által meghatároott símetset területe A síot felostottu egységyi sélességű sávora El lehet-e helyei mide sávba potosa egy egységyi átmérőjű ört úgy, hogy a sí egyetle egyeese se messe ettőél több ört? 5 Egy a oldalú sabályos tetraéder milye R sugarú örö bújtatható át? 6 Adott egyees örúpba írható egyees örhegere öül melyie a legagyobb a térfogata? 7 Bioyítsd be, hogy a ortocetrius tetraéder lapjaia Euler örei egy gömbfelülete vaa! 8 Rögített A, B és C potora határod meg ao M poto mértai helyét, amelyere MA + MB = MC 9 Egy -as oca öepé levő isocát ivettü A egyi saroocából a testátlósa elletétes saroocába igyesi egy rágcsáló Va-e olya útvoal,

18 5 Össefoglaló feladato amely mide isocát potosa egyser érit (a öépsőt em), ha csa lapsomsédos isocába mehet át a rágcsáló? 0 Bioyítsd be, hogy egy egységoldalú oca belsejébe elhelyeett 8 pot öül iválastható égy, amelye által meghatároott tetraéder térfogata em agyobb mit = Poliomo + Sámítsd i a P( X ) = X ( + 7) X + ( + 7) X poliomam a X -gyel való ostási maradéát Bioyítsd be, hogy ét + y (, y N) alaú termésetes sám sorata is ilye alaú Határod meg a P( X ) = ( X ) + ( X ) polioma a X X + poliommal való ostási maradéát Határod meg a m és p parméter értéét úgy, hogy a X X + mx + p poliom ostható legye ( X ) -gyel mide termésetes sám eseté Bioyítsd be, hogy a X ( + ) X + ( + ) X poliom ostható a ( X ) poliommal 6 Bioyítsd be, hogy ha R[X ] P egy harmadfoú poliom, aor a Q( X ) = P( P( X ) P( X ) poliom ostható a P( X ) X poliommal ( ) 7 Mi a feltétele aa, hogy a X + X + + X + X + poliom ostható ( ) legye a X + X + + X + X + poliommal 8 Határod meg a P R[X ] poliom gyöeit, ha P( ) = m 9 Határod meg a X és X poliomo legagyobb öös ostóját sorat értéét, ha, és a 0 Sámítsd i a ( ) ( ) ( ) + p + q = 0 egyelet gyöei = Bioyítsd be, hogy ha p egy prímsám, aor a X + px + px + p irreducibilis Z[X ] -be Rögített eseté határod meg at a miimális fosámú poliomot, amelyi teljesíti a P ( ) = egyelőségeet, = 0, eseté + Bioyítsd be, hogy ha egy -ed foú poliom behelyettesítési értéei egés sámo a 0,,,, helyee, aor P( m) Z, m Z Bioyítsd be, hogy + <! + =!

19 Össefoglaló feladato 55 5 Bioyítsd be, hogy ha a f ( ) = + p + q függvéyre f ( ) i = 0,, ahol p q R és pároét ülöböő omple sámo, aor a, a0, a, a 0 a a a és a0 a sámo öül legalább a egyi em agyobb mit a i a, (Weyl 99) 6 Oldd meg a ( + )( + )( + ) = y( y + ) egyeletet a egés sámo halmaába + y + = a 7 Bioyítsd be, hogy a egyeletredser mide (, y, ) + + = y a megoldásába legalább a egyi sám a 8 Oldd meg a alábbi egyeletredsereet: + y + = 6 + y + = a) y + y + = ; b) + y + = ; y = y + = 9 Bioyítsd be, hogy ét + y + y alaú sám sorata is ilye alaú 0 Bioyítsd be, hogy ha + a + b + c + d egy másodfoú poliom égyete, aor ac abd + 8cd = 0 E a feltétel elégséges? Legyee a P( ) = m ( + ) ( ) p és Q ( ) = ( + ) p ( )( + ) m poliomo, ahol m,, * p N ( ) a legagyobb öös ostó Határod meg a legisebb öös többsöröst, hogy ha Legye a és b ét gyöe a + poliom égy gyöe öül Bioyítsd 6 be, hogy ab gyöe a + + polioma * * Bioyítsd be, hogy a f : C C, f ( ) = + em poliomiális függvéy (Burtea) Határod meg at a legisebb foú poliomot, amelyre P ( 0 ) = 00, P() = 90, P, P () = 0 és P = ( ) = 70 ( ) 0 5 Bioyítsd be, hogy a a R[ X ] ( ) p P =, = 0, P ( ) = = 0 p l l ( ) = feltételt (a alaú, ahol P -ed foú poliom, amely teljesíti a valós sámo pároét ülöböőe), ( 0 ) ( )( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 Botsd fel három téyeőre a ifejeést y + y + y + y + y + y + y 7

20 56 Össefoglaló feladato 7 Bioyítsd be, hogy végtele so egés együtthatós P és Q poliom va, amelyre P ( ) Q = 8 Oldd meg a 0 ( a ) + ( 5a + 6) + a + a = 0 egyeletet, ahol a valós paraméter 9 Bioyítsd be, hogy bármely a, b, c R eseté létei 0 R úgy, hogy a f : R R, f ( ) = + a + b + c függvéy grafius épe egybeesi a ( f ( )) simmetriusával a 0, 0 potra éve 0 a) Bioyítsd be, hogy a P ( ) = a0 + a + + a poliomho redelt függvéy páros potosa aor ha a páratla itevőjű tago ullával egyelő b) Ha = +, =, aor épeü a össes ± + alaú sámoat Bioyítsd be, hogy ee sámo sorata egés sám 7 Valósíűségsámítás Ha a háromsög sögeie mértéeit aoos valósíűségűee teitjü, meyi a valósíűsége aa, hogy egy találomra iválastott háromsög hegyessögű? Egy egységoldalú égyet belsejébe találomra válastu egy M potot (Mide pot válastásáa aoos a valósíűsége) Meyi a valósíűsége aa, hogy M- e a égyet legöelebbi oldalától mért távolsága agyobb, mit a átlótól való távolsága? Adrea és Béla délutá 5 és 6 öt serete találoi Úgy egyee, hogy éreéstől sámítva midegyiü 0 percet váraoi Meyi a valósíűsége aa, hogy találoa, ha éreésü időpotja véletleserű? A melléelt ábrá a A pottól a yila meté a B, B, B és B potoba lehet eljuti Sámítsu i, hogy meyi a valósíűsége aa, hogy a B j potba éreü ( j {,,, } ), ha a yilara írt sámo a illető út válastásáa valósíűségét jeleti! 5 Meyi a valósíűsége aa, hogy egységyi hossúságál rövidebb, találomra válastott élhossúságú téglatest átlója a egységél isebb? 6 Egy l hossúságú saaso találomra felvesü ét potot B B B B Meyi a valósíűsége aa, hogy a így eleteett három disjut saassal seresthető háromsög? 7 Egy sába ruda vaa, amelye hossa,, 5, 7,, Véletleserűe ihúu három rudat Mi a valósíűsége aa, hogy eeből háromsöget lehet össerai? 8 A melléelt ábrá égy oca síbeli lefejtése látható A ocá mide lapjá egy-egy sám va Két játéos a öveteő játéot játssa: A első iválast egy ocát, majd a maradéból a A 5 5 5

21 Össefoglaló feladato 57 másodi is válast egy ocát és midette doba a saját ocájual A yer, ai agyobbat dob Kie va több esélye? 9 Egy gépbe 6 alatrés / valósíűségggel, alatrés / valósíűségel és 6 alatrés / 6 valósíűséggel romli el a) Meyi a valósíűsége aa, hogy a gép leáll, ha bármely alatrés meghibásodása leállítja a gépet (és egyserre csa egy alatrés romli el) b) Meyi a valósíűsége aa, hogy a első elromló alatrés a utolsó ategóriából va? c) Váltoi-e valami, ha egyserre több alatrés is elromolhat? 0 Egy pédarabot addig dobálu amíg másodsor apu fejet A X valósíűségi váltoó jeletse a dobáso sámát Írd fel X eloslásfüggvéyét, várható értéét és sórását Egy ocával háromsor dobu egymás utá A X valósíűségi váltoó jeletse a hatos dobáso sámát Határod meg X eloslásfüggvéyét, várható értéét és sórását Sámítsd i aa a valósíűségét, hogy X értée legalább ayi, mit a várható értée + r r r r Bioyítsd be, hogy a X, ahol p = C + r p q, váltoó várható értée p p és sórása rq p Bioyítsd be, hogy a X, ahol p s m ), váltoó várható értée p és sórása Sámítsd i a X, p p Cs Cm s p =, = 0, C p m ( p), ahol m + * (, m, s N, s p = m = C, = 0 eloslás várható értéét és sórását, * 5 Határod meg a α R értéét úgy, hogy a X, =,, N \ {} α C valósíűségi váltoó jól értelmeett legye 6 Sámítsd i a X, = 0, és Y, C p q = 0, valósíűségi C p q váltoó össegét és soratát 7 A X és Y függetle valósíűségi váltoóra D ( X ) = 5 és D ( Y ) = Meyi D ( X Y )? 8 A X és Y függetle valósíűségi váltoóra M ( X ) = és M ( Y ) = 7 Meyi M ( X Y )?

22 58 Össefoglaló feladato A X, Y és Z = valósíűségi váltoóra sámítsd i a X + Z, Y + Z, X Z, X, Y, Z, X, N valósíűségi váltoóat 0 Három ocát feldobu és össeadju a eredméyeet Melyi össeg valósíűbb a 9 vagy a 0? (Visgálju meg mi törtéi aoos illetve ülöböő ocá eseté) Találomra iválastu egy legfeljebb 0 jegyű biáris sámot Meyi a valósíűsége aa, hogy bármely háromjegyű biáris sámot ivághatju -ből? Egy hatsög átlói öt ics három össefutó Miutá meghútu mide átlóját, elhelyeü potot disjut sírés belsejébe Meyi a valósíűsége, hogy a hatsög csúcsai által meghatároott tetsőleges háromsögbe a öül potosa egy erül? Bioyítsd be, hogy ha P ( A) = és P ( B) =, aor P ( A B) Sámítsd i P (A) -t, ha P ( A B) =, P ( B A) = és P ( A B) = 8 6 P A B C = P A C + P B C P A B C 5 Bioyítsd be, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) 6 A A, A,, A tetsőleges eseméye egyesítését állítsd elő disjut eseméye egyesítéseét A B A B A B eseméyt! 7 Hod egyserűbb alara a ( ) ( ) ( ) 8 Iga-e, hogy A B C = C \ C ( A B)? 9 Hod egyserűbb alara a ( A B) C [( A ( B C) ) (( C D) A) ] ifejeést! 0 Oldd meg a A X = B egyeletet! VIII Teste test Háy darab olya tagú sámtai haladváy válastható i a {,,,} halma elemeiből, amelye a álladó ülöbsége? a) 9; b) 0; c) ; d) ; e) 8 Ha a egy mértai haladváy, amelye vóciese, aor a P = a a a ( ) sorat értée ( + ) a) ( a a a ) ; b) a ; c) a ; d) ( a ) a ; e) a + Háy darab tagú em ostas mértai haladváy válastható i a {,,,00} halma elemeiből? a) 6; b) 5; c) 9; d) ; e) 7 sámtai haladváy első tagját és álladó Határod meg aa a ( a ) ülöbségét, amelyre teljesüle a a + a 7 = és a 0 a = egyelősége a) a = 0, r ; b) a =, r 0 ; c) a =, r ; d) a =, r ; = = = =

23 Össefoglaló feladato 59 e) a = 0, r = 5 Ha S, S,, S p aoa a sámtai haladváyoa a első tagjából épeett össegeet jelöli, amelyee a első tagja redre,,,, p és a álladó ülöbségei redre,, 5,, p S p = p, aor a S = össeg értée a) + p + ; b) p ; p c) ( p + ) ; d) e) p( p +) 6 A 00 és 000 öti -vel ostható termésetes sámo össege a) 000; b) 500; c) 00; d) 000; e) 00 7 Egy sámtai haladváy első tagjáa össege S = A első tag és a álladó ülöbség értée a) a =, r = ; b) a =, r = ; c) a =, r = ; d) a =, r = ; e) a =, r = 8 Egy termésetes sámoból álló sámtai haladváyba a egyi tag teljes égyet Legalább háy ettől ülöböő tagja teljes égyet? a) ; b) 0; c) ; d) végtele so; e) 9 Egy termésetes sámoból álló sámtai haladváy egyi tagja prímsám Legalább háy ettől ülöböő tagja prímsám? a) ; b) 0; c) ; d) végtele so; e) 0 Egy sámtai haladváy ét tagja racioális sám Legalább háy racioális sámot tartalma a soroat? a) ; b) 0; c) ; d) végtele so; e) test Háy égyjegyű ülöböő sámjegyű sámot lehet aloti a,, 5, 7, 9 sámoból? a) 6; b) ; c) 0; d) ; e) 65 Háy egés sám teljesíti a ( + ) ( + ) relációt? a) ; b) 0; c) ; d) ; e) Egy oldalú ove sosög belsejébe felvesü potot úgy, hogy a ( + ) poto öül bármely három em ollieáris Felbotju a sosöget háromsögere úgy, hogy a háromsöge csúcsai a Háy háromsög eletei? a) + ; b) ; c) + + ; e) + ( + ) poto öül legyee ; d) ( ) A S = C + ( C + C ) + ( C + C + C ) + + ( C + C + + C ) össeg értée a) ( ) ( ) ; b) ( ) + ( ) + +

24 60 Össefoglaló feladato ( ) + + ; d) ( ) ; e) ( ) + + c) ( + ) + C C C C 5 A S = össeg értée 0 C C C C ( + ) a) ; b) ; c) 6 Háy égyet látható a alábbi ábrá: ( ) ; d) + ; e) + a) ; b) 5; c) 5; d) 5; e) A = egyelet megoldása A A A A a) ; b) ; c) 9; d) 6; e) T7 8 Ha T a -edi tagja a + ifejtésée aor a = T 5 6 egyelet megoldása a) = ; b) = 6; c) = 9; d) = 6 ; e) = + m biom ifejtésébe aor a) m = ; b) m = ; c) m = 5; d) m = 8; e) m = A ( a + b c) ifejtésébe a együttható össege 9 Ha a ötödi tag a legagyobb a ( ) m 00 a) ; b) ; c) ; d) ; e) 0 test +, [0,] A f :[0, ] R, f ( ) = függvéy éptartomáya + +, [, ] a), + 8 ; b) [, + ] ; c) R; d) Egyéb; e) f em jól értelmeett A f : R R, f ( ) = a + b függvéy legisebb felvett értée a 0 b eseté potosa aor ab, ha a) a = b ; b) ab = ; c) a + b = 0 ; d) ab = 0 ; e) egyéb 00 00

25 Össefoglaló feladato 6 Adott a f R R, f függvéy A alábbi állításo : ( ) = ( ) + + ( ) + öül melye igaa és melye hamisa? a) mi f ( ) = + 5 ; b) mi f ( ) = ; c) Végtele so miimumpot R R létei; d) Nics miimumpot; e) ét maimumpotja va m A f : (0, ) (,), f ( ) = potosa aor ijetív, ha + a) m (,] ; b) m =; c) m = ; d) m R \ { } ; e) egyéb b + c a + b c + a 5 Ha a, b, c > 0, aor a E = log a + log a + log a ifejeés miimuma a) 0; b) ; c) ; d) ; e) 9 6 Ha a f : N N függvéy teljesíti a f ( ) = és f ( m + ) = f ( m) + f ( ) + m + egyelőséget bármely m, N eseté, aor f ( 00) értée a) 0000; b) 0000; c) 0000; d) 0000 e) meghatárohatatla 7 A f :{,,,,00} {,,,, 00} ijetív függvéye sáma a) 00 00; b) ; c) ; d) 00 ; e) 00 8 A f :{,,,,00} {,,,, 00} sigorúa övevő függvéye sáma a) 00 00; b) ; c) ; d) 00 ; e) 00 9 Ha f : R R sigorúa mooto, aor f f a) sigorúa csöeő; b) sigorúa övevő; c) em bitos, hogy mooto; d) sürjetív; e) bijetív 0 A f : R R, f ( ) = mi(si, cos ) függvéy a) sigorúa övevő R-e; b) em periódius; c) periódius; d) csa -él agyobb értéeet ves fel; e) em ves fel -él agyobb értéeet test = a + bi, a, b és R = + a) = i ; b) = ; c) i + = potosa aor valós, ha ;d) = i ; e) = + A egyelőtleséget teljesítő omple sámo geometriai épe a) egy saas; b) egy saas és a feleőmerőlegese; c) ét egymásra merőleges saas; d) egy ör és a belseje; e) A f : N {,, i, i}, ( ) i f = függvéy

26 6 Össefoglaló feladato a) periodius; b) ijetív; c) sürjetív; d) ostas; e) mooto A = egyelet gyöeie a sáma a) 0; b) ; c) ; d) ; e) végtele so 5 A = egyelőséget teljesütő omple sámo geometriai épe a) egy ör; b) ét egyees; c) ét ör; d ) egy ör és egy pot; e) egy egyees * 6 Ha i, aor a H = N R halma egyelő = { + } a) { N * }; b) { 8 + N * }; c) { 8 N * } d) ; e) { 8 + N * } ; 7 A + = + i egyelet megoldás halmaa a) { + i} ; b) {}; i c) { i} ; d) { i} ; e) 8 Adott a A 0 = {, i, + i} halma Egy lépés sorá a halma elemét icseréljü a öveteő sabály serit: a 0 A sámot icseréljü a sámmal Et 0 A a lépést elvégeü a A mide elemére és a így apott halmat A + -gyel jelöljü Ee a lépése a ismétlésével legevesebb háy lépés segítségével érhetjü el a B = { 0,, i} halmat? a) 8; b) 6; c) 00; d) em érhetjü el; e) A i + i 6 = egyelet megoldásaia sáma a) 0; b) ; c) ; d) ; e) végtele so 0 Egy sabályos hatsög egyi csúcsáa affiuma i és a öéppotja a origóba va A ét somsédos csúcs affiumáa égyet össege: a) i ; b) 0; c) ; d) i ; e) i 5 test Egy egyees örúp magassága és alapörée sugara 5, ahol < A úp palástfelsíe aor maimális, ha 5 a) = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) = A ABCD A B C D ocába a D csúcs távolsága a B D átlótól: a a 6 a 6 a a a) ; b) ; c) d) e) 6 Egy oca síra való lefejtése háy ülöböő alaatot eredméyehet (össefüggő iterítéséről va só): a) ; b) ; c) ; d) e) 5

27 Össefoglaló feladato 6 A ABCD tetraéderbe AB = CD = 5, BC = DA =, AC = BD = A tetraéder térfogata: a) 0; b) 0; c) 60; d) 0; e) 0 (Felvételi 997) 5 Egy téglatest éleie össege L A teljes felsíée maimuma L L L 6L L a) ; b) ; c) ; d) ; e) 7 6 A ABCD derésögű trapét ( BC AB ) a BC -vel párhuamos d egyees örül forgatu, amely a trapéo ívül, BC -től cm -re helyeedi el Sámítsd i a forgástest térfogatát, ha AB = 5, AD = 5 és CD = a) 56 π ; b) 6 π ; c) 5 π ; d) 6 π ; e) π (Felvételi 997) 7 A ABC derésögű (m( Aˆ) = 90 ) háromsöglapot megtűrjü a AD = a magassága meté úgy, hogy a ADB és ADC sío merőlegese legyee A ABCD tetraéder térfogata: a a a a) ; b) ; c) ; d) a a ; e) 8 6 (Felvételi 997) 8 A R alapsugarú és h magasságú úpba írt maimális teljes felsíű heger felsíe: πhr πh R πh R πhr a) ; b) ; c) ; d) ; e) π hr h R ( h R) h R ( h R) 9 A R sugarú gömb öré olya csoa úpot íru, amelye a agy alapjá égyser agyobb sugarú ör va, mit a isalapjá A csoa úp térfogata: πr 7πR a) ; b) ; 7 c) πr ; d) 7πR ; e) πr (Felvételi 997) 0 A ABCD tetraéderbe m( ABC ˆ ) 90 és m( ADC ˆ ) 90 a) AC < BD ; b) AC = BD ; c) AC > BD ; d) AC = BD ; e) Egyi sem 6 test A b paraméter milye értéeire va a + a( a + ) + a a( a + b) = 0 egyelete a-tól függetle gyöe a) 0; b) ; c) ; d) a; e) A + p + q = 0 egyelet gyöeit jelöljü -gyel, -vel és -mal és mide 6S5 termésetes eseté legye S = + + A E = ifejeés 5SS a) ; b) ; c) 0; d) függ q-tól; e) függ p-től

28 6 Össefoglaló feladato Ha,,, a = 0 egyelet gyöei, aor a S = = össeg értée ( + ) + + ( ) a) ; b) ; c) ; d) ( + ) e) + Ha a f ) = + a + b poliom gyöei, és, aor a + ( ( + ) f ( + ) f ( + ) S = f + + össeg értée a) a ; b) a b ; c) a ; d) a + b ; e) 5 A ( + ) ( + )( + ) ( + )( + )( + ) P( ) = !!! poliom gyöei a) valós sámo; b) termésetes sámo; c) valódi omple sámo; d) egés sámo; e) em mid valós sámo 6 Legye,,, a P( Q( )) = 0 egyelet gyöei, ahol P( ) = Q( ) = a) = 8 ; b) A gyöö egyelő egymással; c) 8 ; = d) R+ =, 8 ; e) R+ =, 8 a P ( X ) ( + + ) Ha a, = 0, 998 ; 8 = = = poliom együtthatói, aor a a) prímsám; b) ostható -mal; c) páros; d) ; e) 0 8 A a + b + = 0 egyelete a és b gyöei A a és b értée a) a= és b=0; b) a R és b = ; c) a R és b = ; d) a = és b R ; e) a = és b = 999 = 0 + és 9 A P( X ) = X + X + poliom potosa aor ostható a X X + poliommal ha a) = 00; b) = 6m és m N ; c) = 0 0 +; d) = 6 m + 5 és m N ; 6 m +, 6m + m N e) { } 0 A ( + ) ( m + 5m 5) + ( m + 5m 5) ( m + ) = 0 m egyelete potosa aor va egy háromsoros gyöe, ha a) m {, } ; b) m {,} ; c) m { } ; d) m {, } ; e) m {, }