Matematikai összefoglaló

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai összefoglaló"

Átírás

1 Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru htáron, or mndg más pontho épest heletét du meg. Et pontot vontottás pontn, vg orgón neveü. Ettől mérü pont távolságát. Ahho, hog pont helete egértelmű legen, ét válstott ránho épest ét söget s meg ell dn. Vgs eg pont heletét íg három dt fog ellemen, eg távolság és ét sög. Áltlán oln mennségeet, mele ngságul és ránul ellemehetőe, vetoron neveü. Jelölésüre nomttásn vstgon sedett s és ng etűet hsnálun. Kéírásn pedg lul, vg felül vonássl eleü dott mennség vetor voltát. Például: nomttásn éírásn helvetor r r vg r Áltlán h A eg vetor, or nomttásn éírásn ármel vetor A A vg A Grfus áráolás: Vetoro áráolás rendívül semléletes, melet eg ránított ss elépe. A vetor ngságát (hossát) ss hoss el, ránát pedg ss eg végére tett níl (lásd. ár).

2 A. ár. A A vetor grfus áráolás A A vetor hossát A -vl elölü, mt vetor solutértééne s soás neven. Előfordul, hog solutértéet egserűen cs A-vl elöl. A A mndg ngo, vg egenlő 0. Művelete vetorol: Össedás: H és ét vetor, or vetort úg értelmeü, hog ét vetor edőpontt eg pont heleü eg vetor önmgávl párhumos eltolásávl, és ét vetor áltl fesített prllelogrmm átlóát tentü vetorn. A össegvetor rán öös pontól prllelogrmm átellenes csúcs felé mutt. ) ). ár. Két vetor össege (prllelogrmm sál) A. ár ) árá el vetor eg evvlens előállítását. A össedás műveleténe defnícóáól ól láts, hog vetoro össedás ommuttív (felcserélhető) művelet,

3 Vetor vlós sámml vló sorás: H eg vetor és λ eg vlós sám, or λ vetort úg értelmeü, melne rán -vl onos, h λ 0, és -vl ellentétes, h λ 0, ngság pedg λ (lásd 3. ár). λ λ 0 λ λ 0 3. ár Kvonás: Két vetor vonását össedás és vlós sámml vló sorás defnícó lpán értelmeü. A össedás és vlós sámml vló sorás lpán értelmen lehet ét vetor ülönségét s. Legen és ét vetor, or ( ) módon lehet értelmen ét vetor ülönségét (lásd 4. ár). - - ( λ - ) 4. ár. Két vetor ülönsége Egségvetor: A oln vetort, melne solútértée (hoss) egségn, egségveorn neveü. H eg vetor és vetor ngság, or /-vl sorov vetort, ráná muttó egségvetort pun. 3

4 Jelölü et e -vel e Vlón e E t elent, hog ármel vetor sát ráná muttó egségvetor és eg λ sám sortént előállíthtó. λe hol e ráná muttó egségvetor és λ Dstrutvtás sámml vló sorásr: Két vetor össegét sorov λ vlós sámml rr néve g öveteő állítás: λ ( ) λ λ B: (lásd 5. ár). λ λ ( ) λ 5. ár A háromsöge hsonlóságáól övete, hog λ és λ oldlhossúságú prllelogrmm átló s λ sorosár válto. Továá h µ és λ vlós sámo és eg vetor, or g öveteő állítás: ( µ λ) µ λ B.: Mvel vlós sámml vló sorás vetor ránát nem váltott meg cs vetor hossát, eért állítás evvlens vlós sámor vontoó dstrutív sorás sálll. 4

5 Slárs sorás: A és vetor slárs sortán t vlós sámot értü, melet vel elölün és öveteő módon defnálun: cosϕ, - hol és lletve vetoro hoss (ngság), ϕ pedg ét vetor áltl eárt se sög (lásd 6. ár). ϕ cos ϕ 6. ár. Két vetor slárs sort 6. ár sernt megd vetorn vetor ráná eső vetületéne vetor hossávl vló sortát. A előállításól láts, hog slárs sort ommuttív. cos ϕ cos ϕ Két vetor slárs sorását el el semen vlós sámonál nem írt sorásellel. Előforduló elölés még ét vetor slárs sorásár ( ) elölés s. A slárs sort lehetőséget d rr, hog megállpítsu t, hog ét vetor merőleges egmásr. Ugns h ét nem null vetor slárs sort 0, cs úg lehetséges, hog defnícón sereplő cos 0 π o ϕ ( 90 ) ϕ. Slárs sorás dstrutvtás: H pl. vetor ét más vetor össege c d or ( c d) c d 5

6 Et neveü slárs sort dstrutvtásán (sétválsthtóság). Bonítást lásd 7. ár sernt. d ϕ c ϕ ϕ. c cos ϕ. d cos ϕ cos ϕ 7. ár cosϕ c d c cosϕ ( c cosϕ d ϕ ) d cosϕ cos de 7. ár sernt c cosϕ d cosϕ cosϕ íg vlón g dstrutvtás. Vetoráls sort: A vetoráls sort eredméne vetor, melne ngságát ét vetor hossán (ngságán) és ét vetor áltl eárt sög snusán sort d úg mérve söget, hog vetortól felé órmuttó árásávl ellentétesen utun. A sn ϕ ( ngság) vetor rán pedg, vetoro áltl fesített sír merőleges rán, úg, hog, és (8. ár). vetoro osodrású tengelrendsert lotn 6

7 ... ϕ sn ϕ A 8. ár Vetoráls sort vetor mnd, mnd vetorr merőleges és ngság és vetor áltl fesített prllelogrmm területével ege (lásd 8. ár). A -ól -n erestül, órmuttó árásávl ellentétesen utun vetor ráná. A defnícóól rögtön övete, hog vetoráls sort nem ommuttív, hnem (lásd 9. ár) ϕ ϕ ϕ π - ϕ - és áltl eárt sög és áltl eárt sög 9. ár o é sál A fent sorás sál o é sál néven s smert. Vetoráls sorás dstrutvtás: H ét vetor össege c d or vetoráls sorásr s g dstrutvtás (sétosthtóság) ( c d) c d mvel λe ln előállíthtó, eért λ -vl vló ostássl fent egenlet ( c d) e c e d e lú. 7

8 Eért elegendő elvégen onítást ráná muttó egségvetorr, mert λ -vl vló sorássl eredet állítást pu. d (c d) c O e e c e d e (c d) 0. ár Vetítsü e -re merőleges sír c vetort d vetort és vetületene hoss rendre (lásd 0. ár). hol ( c,e), ( d,e) és ( d, e) eárt söget elöl. Ee értée éppen ( c,e) c sn, ( d,e) d sn, c d sn ( c d, e) c d vetort. Een c e vetorn és c, lletve d, vlmnt c d -vel e c, e d és e ( c d) sorto solút értée. Íg h levetített ssól álló háromsöget 90 -l O örül e -re merőleges sín ór árásávl ellentétes ránn elfordítu, éppen vetorot pu. Eel állításunt eláttu. e c e d és e ( c d) Vetoro oordnátás l Legen e és e ugnon sín lévő egmássl ϕ 0 söget eáró egségvetoro, or eg ugneen sín lévő tetsőleges vetor een egségvetoro segítségével előállíthtó (lásd. ár). Heleü e három vetor edőpontát eg öös pont, vetoro önmgul párhumos eltolásávl. A vetor végpontán erestül húun eg-eg párhumos egenest e, lletve e ránávl. Een egenese ege e ránn elöl eg vetort, és más e ránn eg vetort. 8

9 e e ϕ e. ár vetor felontás ét e és e egségvetor ráná muttó vetorr A prllelogrmm sál sernt de e és e íg e e E t elent, hog ármel eg sín lévő, nem onos ránú ét egségvetor llms rr, hog áltlu fesített sí ármel vetorát előállítsu. Más svl, és sámo e, e egségvetoro áltl fesített sín egértelműen meghtároá vetort. H nem ét egségvetort hnem három nem egsín lévő egségvetort válstun, ugnet eredmént pu háromdmenós eseten s (lásd. ár). 3 e 3 e e,. ár A áráól prllelogrmm sál sernt, 3 9

10 de,, íg 3 Mvel e, e és 3 3e3 Íg e e 3 e3 Vgs vetor e és e, e 3 úgneveett ásvetoro áltl meghtároott áson, és 3 sámol egértelműen meghtároott. A e és e, e 3 len válstás legáltlános. A gorlt sámár gán fontos eset, mor e és e, e 3 ölcsönösen merőlegese egmásr. E megfelel Descrtes-féle derésögű oordnát rendserne, melne tengele merőlegese egmásr. Áltlánosn elfogdott, hog Descrtes rendseren, és ráno muttó egségvetoro elölése, és. 3. ár Descrtes-féle oordnát rendseren, és egségvetoro Íg eg tetsőleges vetor de mől,, Íg eg tetsés sernt vetor Descrtes-féle oordnát rendseren ellemehető eg,, sámhármssl, vetor onosíthtó een sámhármssl. 0

11 A,, és -t vetor, és omponensene (oordnátán) neveü. Mvel, és ölcsönösen merőleges egségvetoro, íg slárs sort defnícóáól övetene öveteő össefüggése: hol (, ) Hsonlón cos (, ) cos elöl vetorn önmgávl eárt sög (0º) osnusát. A ölcsönös merőlegességől hol (, ) és cos (, ) 0 cos elent és vetoro áltl eárt sög (90º) osnusát. Hsonlón 0 Ugnúg vetoráls sorás sáláól pu: 0 Össedás oordnátás sál (Descrtes rendser): Legen ét vetor és

12 Eor felhsnálv vetoro vlós sámol vló sorásr vontoó dstrutív sálot: ( ) ( ) ( ), Vgs ét vetor össegéne oordnátá vetoro oordnátán össege. Slárrl vló sorás oordnátás l: Legen eg vetor és λ eg vlós sám. A oordnátás l: A slárrl vló sorás dstrutív tuldonság mtt λ λ λ λ Vgs λ λ λ λ mnden oordnát λ -sorosár válto. Slárs sorás oordnátás l: Legen ét vetor Eor slárs sorás dstrutív sál mtt ( )( ) Mvel 0 és íg pu:

13 3 Specálsn esetén Amelől m vetor solút értée. Megegeü, hog helett grn elölést hsnálá. Vetoráls sorás oordnátás l Legen és Eor Khsnáltu vetoráls sorás dstrutív voltát. Mvel 0 és Kpu ( ) ( ) ( ) A önne megegehetőség végett A determnáns fetés sál sernt éppen fent eredmént d. Kettős vetoráls sort (fetés tétel) H, és c három vetor, or értelmen lehet ( ) c és ( ) c vetoráls sortot. A ( ) c ( ) c és ( ) c sorto s értelmese de ee elő ettő -el vló sorásáól megphtó. Eért elegendő ( ) c és ( ) c vetoráls sortot vsgáln.

14 Kfetés tétel: H, és c tetsőleges vetoro, or öveteő ét onosság g: ( ) c ( c) ( c) lletve ( c ) ( c) ( )c A másod egenlőség elsőől megphtó, hsen eg téneőcserével első egenletől pu -el vló sorás után. ( ) ( c) ( c) c Betűcserével c pedg eől ( c ) ( c ) ( )c -t pun, melől c c helettesítés és -el vló sorás után ( c) ( c) ( )c egenlőséget pu, m éppen másod onosság. Eért elegendő elátn cs első onosságot, ( ) c ( c) ( c) -t. Bonítás: ) Néü elősör t esetet, mor. Eor mndét vetor eg e egségvetorrl feehető: α e és β e A loldl nlván 0, hsen és párhumos eseten 0 o ossöget ár e, eor pedg vetoráls sort értée 0. A o oldlról pedg ehelettesítéssel láthtu α e c β e β e c α e α β e c e e c e e, hog 0, ugns ( ) ( ) {( ) ( ) } 0 Vgs esetén eláttu állítást. ) és ne legen egránú.. Eor, h c -re g állítás, or λ c s g. Ugns ( ) c ( c) ( c) egenletet megsorov λ -vl λ c λc λc egenletet pu. ( ) ( ) ( ). h c -re és c -re g állítás, or c c -re s g. Ugns felírv egenlőséget c és c -re, eeet össedv c c -re vontoó egenlőséget pun. össedás után ( ) c ( c) ( c) ( ) c ( c ) ( c ) ( ) ( c c ) ( c c ) ( c c ) Mvel, és három nem egránú vetor, eért ármel c vetor előállíthtó, és vetoro lneárs omnácóént, c α β γ. Íg előe lpán elég tételt elátn c -r, c - re és c -re. 4

15 A vetor állítás nlvánvló, ugns loldl 0, hsen mnden vetor önmgávl épett vetoráls sort 0, o oldl pedg helettesítéssel o dód. ( ) ( ) ( ) ( ) Mvel téneő 0-t dn. Már cs -r és -re ell golnun állítást, ( ) ( ) ( ) merőleges mnd -r, mnd -re, íg ( ) és ( ) ( ) ( ) ( ) és egenlőségeet ell elátn. A másod egenletet nem ell elátn, mert elsőől övete. Ugns első egenleten -t -t pu. felcserélve -re ( ) ( ) ( ) Felhsnálv ( ) ( ) ( ) ( ) elegendő elátn cs -r egenlőséget, ( ) ( ) ( ) -t és sorov egenletet --el, pu: -t, m éppen -re vontoó egenlőség. Eért. Legen e rán muttó egségvetor. Eor feeését egenlősége ( α e ) α e α ( e e) α( e ) α e α ( e ) e α α ( e )e Elostv α -el öveteő egenlőséget pu: α e l írhtó, hol α. Beírv ( e ) e ( e )e, vg átrendeve ( e ) e ( e )e A áráról egenlőség elentése önnen leolvshtó: sn ϑ.. e ϑ e (e ) e (e ) cos ϑ. sn ϑ e (e ) e II E pedg t fee, hog ármel vetort fel lehet ontn tetsőleges e ránú II vetorr és e -re merőleges, e, áltl meghtároott sín lévő vetorr. Vgs II m áráól s nlvánvló. Eel tételt onítottu. 5

16 Vetor-slár függvéne A fán grn előfordul, hog eg vetor ngság és rán (tehát vetor) eg slár mennségtől függ. Eg legnlvánvló péld eg test heletvetor, mel h test moog, or dőne függvéne. () t () t () t () t r E t elent teles áltlánosságn, hog mndhárom oordnát t slár ( említett eseten dő) függvéne. A oln függvént, mel eg slár értééhe vetort rendel, vetor slár függvénne neveü. Áráolás: H vesün eg t, t... t n, növeedő prméter sorotot, or mnden eges t -he függvén hoárendel ( t ) omponense ( t ), ( t ) és ( t ). H r ( t ), r ( t ) ( t n ) végpontt össeötü, eg térel görét pun. (4. ár). r vetort, melne r vetoro r (t ) J r (t ) r (t ) r (t ) n 4. ár H () t r történetesen eg pont helete dő függvénéen, or r () t térel görét pont páláán neveü. Vetor-slár függvén dervált: Sosor fontos érdés, hog vetor slár függvén váltoóán onos megváltoásár mennvel válto meg vetor. Enne ellemésére legllms dfferenc hándos, melet öveteő módon defnálun. 6

17 Legen t és t t független váltoó ét értée és () t rendelt vetoro. Értelemserűen dfferenchándoson 5. ár). r r t ( t t) r() t t r, r( t t) hoáu feeést értü (lásd r J r (t) r (t t ) A 5. ár r -t r( t t) r() t d és mvel vlós sámml vló sorás értelmeett, íg vn értelme r () t és r( t t) t -vel soron r vetort. A pont áltl meghtároott húrvetort elent. r vetor r () t göre H független váltoó t váltoását egre sere válstu, or húr hoss s egre se les, íg vn értelme t vsgáln, hog h t -vel r mnden htáron túl trtun nulláho dfferenchándos (m eg vetor) t mlen értéű les (ngság és rán sernt). Et rövden úg feeü, hog r épeü htárértéet. t Jelölésen: () t r dr lm t 0 t dt r H e htárérté léte, or íg pott vetort r () t vetor-slár függvén t slárértéhe trtoó dervált vetorán vg dfferencálhándos vetorán () t 7

18 neveü. (Rövdítve dervált, dfferencálhándos). Jelölésére soás hsnáln. dr() t dt és r () t -t A előállításól nlvánvló, hog () t r rán () t r göre een pontáho trtoó érntőéne ráná mutt, hsen h t -t egre csöentü, or húr footosn átmeg göre r () t pontel érntőée (6. ár). r 3 r r (t ) 3 r(t t ) r(t t ) r(t t ) t t t 3 r 6. ár r, r és r 3 vetoro hoss egre csöen és ránu egre on A öelít () t r pontel érntő ránát. H r () t éppen eg ng pont heletvetor, or r () t elentése éppen seességvetor, mvel r () t -t htárértéeént értelmetü, melne ránát r rán, ngságát pedg meg, m dőegség ltt megtett út. Íg htáreseten ( t 0) éppen r () t pálán mogó ng pont seességét d meg r () t vetor. Soás pllntn seességne s neven. r t r t d 8

19 Dervált vetor oordnátás l: Mvel derválás művelete lneárs, ét vetor-slár függvén össegéne dervált eges dervált össege, íg h r () t oordnátás láól ndulun, or: () t () t () t () t r. r. () t () t () t () t vgs r () t vetort úg pu, hog r () t vetor eges omponenset derválu. hol () t r() t () t r () t d, dt () t d dt és () t () () t t d dt Slár-vetor függvéne: A oln függvéneet, mele vetorho slárt rendelne slár-vetor függvénene neveü. Jelölése például φ ( ) vg Ψ ( ) Legegserű példá erre, mor eg vetorho hoárendelü solút értéet, vg nn négetét. φ ( ) vg φ ( ) A legtö slár-vetor függvén esetéen vetor váltoó helvetor. A ésőeen áltlánosság sérelme nélül elölü vetorváltoót r -el. Jelölésen e egrést φ () r módon írhtó, de fgeleme véve hog r -ne három omponense vn, r t s írhtu, hog φ (,, ) 9

20 Vgs slár-vetor függvén úg s tenthető, mnt eg háromváltoós függvén. Például: φ α α r A feeésen α eg állndó. H fent példán φ értée éppen φ 0, or φ 0 α feeés on ponto mértn helét elent, on,, értéhármsot, melere függvén értée éppen φ 0. Átlítássl φ0 α véve egenlet recproát: α φ 0 E eg göm egenlete, melne sugr α R. Vgs φ 0 értéhe φ 0 trto eg gömfelület, melne mnden pontán függvén φ 0 értéet ves fel. R φ -ho trtoó sntfelület 0 φ φ ár Áltlán íg dódó felületeet (m nem feltétlenül göm) dott slárvetor függvén sntfelületene neveü. Sosor fontos t tudn, hog eg dott slár-vetor függvén r pontn felvett értééhe épest eg r vetorrl rré lévő pontn mennvel válto meg. Et φ függvén dfferencá htáro meg: 0

21 φ φ Végeü el öveteő onos átlításot. φ φ ( r r) φ() r φ(,, ) φ(,,) (,, ) φ(, ) (,, ) φ(,, ) φ (,, ) φ(,, ) φ. Láthtó, hog össeg. és 3. tg lletve 4. és 5. tg et egmást. Ossu el o oldl első ülönségét másod ülönséget és φ φ -vel hrmdt. Íg -el és sorou s meg, hsonlón φ -re (,, ) φ(, ) (,, ) φ(,, ) φ (,, ) φ(,, ) φ feeést pu. -l Láthtó, hog feeés első tg φ háromváltoós függvénne dfferenchándos méghoá úg, hog és váltoó állndó. Ugníg másod tg váltoó sernt dfferenc hándos möen és váltoó váltotln és végül sernt dfferenchándos möen és váltoó állndó. H, és cs, or fent dfferenchándoso ól öelíthetőe megfelelő váltoó sernt dfferencálhándosol, hsen dfferencálhándoso dfferenchándoso htárértéeént értelmeette. Mvel φ függvénne mndhárom váltoó sernt dfferenchándos serepel feeésen, eért eges váltoó sernt dfferencálhándosot egváltoós függvénetől eltérően elölü: φ φ φ,,. Eeet prcáls dfferencálhándoson neveü. A prcáls dfferencálás sálo egváltoós függvéneével onos. A dott váltoó sernt dfferencálásnál más ét váltoót egserűen állndón tentü.

22 Íg φ függvén megváltoás: Ahol h() r oln, hog φ φ () r h lm 0 r r φ φ h () r 0. A h() r hfüggvén megelenése l függ össe, hog dfferenchándosot megfelelő dfferencálhándosol helettesítettü. A o oldl első tg úg tenthető, mnt ét vetor φ φ grd φ és r φ vetoro slárs sort. A φ grd φ r h() r. A h 0 cs végtelen csn mennsége esetén áll fent, eor dφ grd φ dr ln soás írn, hol d φ és d r φ, lletve r dfferencál. ( φ és r htárértée végtelen csn mennségeet elölne). A φ φ φ vetort (,, ) φ slár-vetor függvén r pontel grdenséne, grdens vetorán neveü. Jelölésére hsnálu φ, hol -t nl operátorn neveü: grd φ vg. A nl operátor eg vetor operátor, mel slár-vetor függvénre úg ht, hog t prcáls dfferencálhándosoól eg vetort épe., és sernt dfferencál és íg előálló

23 φ φ φ grd φ φ Kéírásn nl operátornál sosor vetor elölést - láhúást- el soás hgn. Egserű írásmóddl φ. A grdens ellemőe, hog mndg merőleges φ sntfelületére. E ól övete, hog sntfelület mentén φ értée eg φ 0 állndó, íg φ megváltoás h r vetor sntfelületen vn 0 ell, hog legen, 0 φ grd φ r, m éppen merőlegességet elent (Lásd 8. ár). sntfelület, φ een állndó r r. grd φ r, sntfelületen történő csn elmodulás 8. ár A végtelen csn mennsége öött pcsoltot leíró össefüggésől s övete, hog grdens vetor rán rán, mel ránn elmodulv slár függvén váltoás leggors, legngo, ugns γ 0. d φ grd φ dr grd φ dr cos γ d φ or legngo, h cos γ, d r és grd φ rán onos, 3

Matematikai összefoglaló

Matematikai összefoglaló Mtemt össefolló etoro Non so oln mennsé vn, mel nem ellemehető eetlen sámml. len mennsére leeserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. mor táéoódun és e pont heletét me ru htáron, or

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - - Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

1. Algebra x. x + értéke? x

1. Algebra x. x + értéke? x Alger I Feldtok Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o)

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit. 2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -

Részletesebben

. Vonatkoztatási rendszer z pálya

. Vonatkoztatási rendszer z pálya 1. Knemaka alapfogalmak. A pála, a sebesség és a gorsulás defnícója. Sebesség, és gorsulás lokáls koordnáá. Mogás leírása különböő koordnáa-rendserekben. A knemaka a mogás maemaka leírása, a ok felárása

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. 2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:

Részletesebben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van.

Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van. 19. tétel: Vektrk. Szkszk krdinátsíkn. Vektr: Iráníttt szksz, melnek állás, irán és hssz vn. Jele: v = AB Vektr bszlút értéke: A vektrt meghtárzó iráníttt szksz ngság. Jele: v = AB Vektrk kölcsönös helzete:

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Műveletek komplex számokkal

Műveletek komplex számokkal Műveletek komplex sámokkl A komplex sámok lklmás nyn eyserűsíti sámos műski prolém meoldását, különös tekintettel elektrotechniki, rendserelméleti és reéstni feldtokr. A követkeőken csk műski lklmások

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

2, 1. annyi, hogy merőleges legyen a másik két vektorra, például választható egész koordinátájú vektor is:

2, 1. annyi, hogy merőleges legyen a másik két vektorra, például választható egész koordinátájú vektor is: Grm-Shmitortogonliáió. köetkeő független ektorokól Grm-Shmit móserrel állítson elő ortogonális áist!mj kpott ektorokól állítson elő ortonormált áist!. Normáljk kpott ektorokt: e mert e könne sámolás égett

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

ÚJ MÓDSZER A KAROS MECHANIZMUSOK DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSÁRA A NEW METHOD FOR DYNAMIC BALANCING OF ARM MECHANISMS

ÚJ MÓDSZER A KAROS MECHANIZMUSOK DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSÁRA A NEW METHOD FOR DYNAMIC BALANCING OF ARM MECHANISMS Műs udomános öleméne. XI. Műs udomános üléss, 3. Kolosvár, 49 58. hp://hdl.hndle.ne/598/887 ÚJ MÓDZE KO MECHNIZMOK DINMIK KIEGYENÚLYOZÁÁ NEW MEHOD O DYNMIC LNCING O M MECHNIM Ppp Isván, olvl-oş eren pen

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Az EM tér energiája és impulzusa kovariáns alakban. P t

Az EM tér energiája és impulzusa kovariáns alakban. P t LDIN 4- A té enegá és mpls ováns lbn β ε δ β BBβ β μ (, β,,) μ B ( g) P t t ( ε ) S A negtív előelne töténelm o vnn S μ B g S ε B ε μ B ésesé nnsene elen tében P ε g t S t Cs eletomágneses teet ttlm 4-es

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Atomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1.

Atomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1. Aomfka előadás 4. lekromágneses sugárás 4. okóber. Alapkísérleek Ampere-féle gerjesés örvén mágneses ér örvénessége elekromos áram elekromos ér váloása Farada ndukcós örvéne elekromos ér örvénessége mágneses

Részletesebben

FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS

FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS FLÜLTI FSZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSL, LMOZDULÁSMÉRÉS Lbortóriumi mérési gkorlt getemi mesterképésben (MSc) rést vevő mérnökhllgtók sámár Össeállított: Acél Ákos egetemi tnársegéd 1. Silárdságtni

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Mérnöki alapok 5. előadás

Mérnöki alapok 5. előadás Mérnök alapok 5. előadás Készítette: dr. Várad Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomán Egetem Gépészmérnök Kar Hdrodnamka Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai

Részletesebben

XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Megyei szakasz, november 30. IX. osztály

XXIV. ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Megyei szakasz, november 30. IX. osztály XXIV. ERDÉLYI MGYR MTEMTIKVERSENY Megye ss. ovember. IX. ostály. Feldt Sbdo egedü 4 pllgót egy tégltest lú helységbe melye mérete 5 m 4 m m. Boyítsu be hogy bármely plltb léte ét oly pllgó melye távolság

Részletesebben

Együttdolgozó acél-beton lemezek

Együttdolgozó acél-beton lemezek Egüttdolgozó cél-eton lemezek számítógées tevezése D. Köllő Gáo 1, Oán Zsolt, Godj Teodo 3, Muesn Olmu 4 1 Kolozsvá Műszk Egetem, PFT. Kolozsvá, 3 ALMAA Kft. Kolozsvá, 4 DUME Kft. Kolozsvá 1. Bevezetés

Részletesebben

Matematikai problémák a közgazdaságtanból

Matematikai problémák a közgazdaságtanból Eötvös Loránd Tudománegetem Természettudomán kr Szkdolgozt Mtemtk problémák közgzdságtnból Konzulens: Dr. Skol Eszter Adjunktus Alklmzott Anlízs és Számításmtemtk Tnszék Készítette: Török Krsztn Mtemtk

Részletesebben

FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet POLARIZÁCIÓ. Dr. Barócsi Attila, Dr. Erdei Gábor,

FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet POLARIZÁCIÓ. Dr. Barócsi Attila, Dr. Erdei Gábor, FIZIK BSc III. évfolm /. félév Opk lődásjg POLRIZÁCIÓ D. Bócs l D. d Gáo 7-9-8 jánlo skodlom: Kln-Fuk: Rch P.: Slh-Tch: Polácó: Opcs Bvés modn opká Fundmnls of Phooncs Oln M hullámo nvünk polálnk mln éősségvko

Részletesebben

Függvények tanulmányozása 211

Függvények tanulmányozása 211 Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás SZÉCHENYI ISTVÁN EYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK 4. MECHNIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Trni ábor, mérnöktnár) Érdes testek - súrlódás 4.. Péld. dott: z ábrán láthtó letőn elhelezett test méretei és terhelése.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Az összetett hajlítás képleteiről

Az összetett hajlítás képleteiről A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra

Részletesebben

Tartóprofilok Raktári program

Tartóprofilok Raktári program Tartóproflok Raktár program ThenKrupp Ferroglou ThenKrupp Nolcadk kadá 6. áprl Ötvözetlen é alacon ötvözéú lemeztermékek Betonacélok Szerzámacélok Melegen hengerelt rúdacélok Könnú - é zínefémek Rozdamente

Részletesebben

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

Részletesebben

Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása

Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere Kedet

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető

Részletesebben

Elektrokémia 05. Elektródreakciók kinetikája. Láng Győző. Kémiai Intézet, Fizikai Kémiai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem

Elektrokémia 05. Elektródreakciók kinetikája. Láng Győző. Kémiai Intézet, Fizikai Kémiai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Eletroém 5. Eletródreó netá Láng Győző Kém Intézet, Fz Kém Tnszé Eötvös Loránd Tudományegyetem Budpest Átlépés polrzáó ( z ) ( e z e ) ( e) S W ,, G G v,, v, z, G G, αzf F ϕ, G G 1 ( α ) zf ϕ zf,,

Részletesebben

A lᔗ卧 ᔗ卧 s l ok l pj h f él om s k s és, v g m s s v l ᔗ卧kö p lés g ol ol g om f l, m l síkm s és g képsíko k ll vég h j s l ok s v l. A m g o s vo l

A lᔗ卧 ᔗ卧 s l ok l pj h f él om s k s és, v g m s s v l ᔗ卧kö p lés g ol ol g om f l, m l síkm s és g képsíko k ll vég h j s l ok s v l. A m g o s vo l ᔗ卧 ), 2012 A f él om s k s és ol g om g po os s l ok l pj lé ho o ᔗ卧fo m m gs k s ésé j l ví s s, f lül é ) o. K ul ké ᔗ卧 s vo l sm jük, m s fo m c cs s ükség. hh cs k k ll l, hog ᔗ卧 f lül é m l ᔗ卧h jl

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Elektrokémia 05. Elektródreakciók kinetikája. Láng Győző. Kémiai Intézet, Fizikai Kémiai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest

Elektrokémia 05. Elektródreakciók kinetikája. Láng Győző. Kémiai Intézet, Fizikai Kémiai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Eletroém 5. Eletródreó netá Láng Győző Kém Intézet, Fz Kém Tnszé Eötvös Loránd Tudományegyetem Budpest Átlépés polrzáó ( z ) ( e z e ) ( e) S W G v,,, G v,,, z ϕ αzf G G, ( ) ϕ zf α G G 1, ϕ αzf G

Részletesebben

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3. 0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az

Részletesebben

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/1-011-0067 GSPulisherEngine

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

Fizika A2E, 1. feladatsor

Fizika A2E, 1. feladatsor Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Korreláció-számítás. 1. előadás. Döntéselőkészítés módszertana. Dr.

Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Korreláció-számítás. 1. előadás. Döntéselőkészítés módszertana. Dr. Korrelácó-számítás 1. előadás Döntéselőkészítés módszertana Dr. Varga Beatr Két változó között kapcsolat Függetlenség: Az X smérv szernt hovatartozás smerete nem ad semmlen többletnformácót az Y szernt

Részletesebben

= és a kínálati függvény pedig p = 60

= és a kínálati függvény pedig p = 60 GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q

Részletesebben

10. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

10. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 10.1. Ferde hjlítás 10. ECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr. Ng Zoltán eg. djunktus; ojtár Gergel eg. Ts.; Trni Gábor mérnöktnár.) dott: b 60 b 20 mm, mm, ( 40 j 120 k ) knm. Feldt: ) Htáro meg és sámíts

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális

Részletesebben

A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.

A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra. A kardáncsukló tengelei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredmént, eg körülfordulásra. 3 330 270 2 210 1 150 A kardáncsukló hajtott tengelének szögelfordulása

Részletesebben

2.4. Vektor és mátrixnormák

2.4. Vektor és mátrixnormák 4 Vektor és mátrormák következõkbe összefoglluk témkörhöz felhszálásr kerülõ már tult smeretgot s Defícó : IK IR, ( IN, I K vlós vg komle számok hlmzát elöl) többváltozós függvét vektorormák evezzük, h

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motválás lehetősége lger tnításán Skolgot Késítette: Sár Csenge Mtemtk Bs, tnár skrány Témveető: Somf Zsus ELTE TTK Mtemtktnítás és Mósertn Köpont Eötvös Lorán Tuományegyetem Termésettuomány Kr Bupest,

Részletesebben

Schultz János: Algebrai egyenlőtlenségek, Megoldások

Schultz János: Algebrai egyenlőtlenségek, Megoldások FELADAT ALGEBRAI EGYENLŐTLENSÉGEKRE Veges feldto ülööő megoldási módserere MEGOLDÁSOK ) Vegü ésre hog íg!! 006 007!!!! ( )!!!! 006! 007! 007! < ) Vegü ésre hog ( ) eért ioítdó egelőtleség l oldlá álló

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben