Matematikai problémák a közgazdaságtanból

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudománegetem Természettudomán kr Szkdolgozt Mtemtk problémák közgzdságtnból Konzulens: Dr. Skol Eszter Adjunktus Alklmzott Anlízs és Számításmtemtk Tnszék Készítette: Török Krsztn Mtemtk Bsc Mtemtk elemző szkrán Budpest 009

2 . Bevezetés Költségfüggvének Htárköltséggörbe és átlgköltséggörbék kpcsolt..... A hosszútávú és rövdtávú költségfüggvének Specáls technológák lklmzás költségfüggvénekre Prcáls derváltk szerepe közgzdságtnbn Htártermelékenség Htárhszon, Gossen-törvének Játékelmélet lklmzások A pcr vló belépés döntés Szemet szemért strtég és krtell működése Összefogllás Irodlomjegzék Köszönetnlvánítás... 36

3 . Bevezetés "A mtemtk bzonos tekntetben mndg s z összekötő kpocs szerepét játszott különböző tudománok, vlmnt tudomán és művészet között. Meggőződésem, hog e tekntetben mtemtkár jövőben még fokozottbb szerep hárul." Rén Alfréd A közgzdságtn npjnkbn ngon fontos szerepet tölt be mndennp és tudomános életben s. Ám közgzdság foglmkt, levezetéseket, tételeket nehéz megérten eg bzonos mtemtk háttér nélkül. Nem véletlen, hog k közgzdság területen készül dolgozn, nnk több féléven keresztül kell mtemtkávl fogllkozn, mert nélkül nem érthet meg teljesen közgzdság lpjt, gzdság problémák hátterét, lépések mértjét és következménet. Régen kereskedelemhez és z egszerűbb gzdság összefüggések megértéséhez elegendő volt legelembb mtemtk háttértudás s. A tudománág fejlődésével vszont szükségessé vált z egre összetettebb mtemtk háttértudás s. Antone Cournot és Léon Wlrs voltk legelső oln közgzdászok, kk már mgsbb szntű mtemtkát s hsználtk elméletek levezetéséhez. A gzdság elemzésekhez hsznált főbb mtemtk területek sttsztk, mtemtk nlízs, vlószínűségszámítás, lneárs lgebr és játékelmélet. Dolgoztombn z nlízs és játékelmélet közgzdság lklmzást vzsgáltm. Az eges fejezetekben eg-eg közgzdságtn problémát, és z ott hsználtos mtemtk eszközöket muttom be. Az első fejezetben költségfüggvénekkel fogllkozom, melek válllkozások működésének megértéséhez elengedhetetlenek. Megvzsgálom függvének vselkedését és különböző költségfüggvének egmás között kpcsoltt. A következő fejezet első részében prcáls derváltk közgzdság szerepével fogllkozom. A vállltok rá vnnk kénszerülve, hog bzonos nputkombnácók mellett termelésüket mxmlzálják. Ezen mxmlzálás folmtbn fontos szerepe vn htártermelékenségnek. 3

4 A másodk lfejezet htárhszon foglmát vzsgálj. A htárhszon rövden zt fejez k, hog h eg vásárló áltl megvásárolt termék mennségét változttjuk, z mekkor boldogságot, elégedettségérzést nújt fogsztónk. Végül hrmdk fejezetben játékelmélet közgzdság lklmzás közül muttok be néhán példát. Eg gzdság helzetet, például pc versent vg pc egüttmüködés feltételek megszbását, mnt játékot vzsgálhtunk. Játékelmélet eszközök felhsználásávl megállpításokt tehetünk rr nézve, hog pc szereplők mlen lépésekkel, mlen feltételekkel érhetk el legngobb nereséget. 4

5 . Költségfüggvének Mnden vállltnk, válllkozásnk, termelésnek, lénegében bármlen szolgálttásnk vnnk költsége. A költségekhez három lpfoglom s kpcsolódk, termelés ténezők, z ár és kbocsátás foglm. Termelés ténező ltt értünk mnden oln, termelésnél felhsznált eszközt, mel közvetlen vg közvetett módon hozzájárul termék előállításához, de mg ténező nem szűnk meg (zonnl) létezn termelés folmán. Ilenek például termékhez szükséges lpngok, gépek, munkerő, de kár z előállításhoz szükséges tőke s. Három fő termelés ténezőt különböztetünk meg: munkerőt, tőkét és földet, utóbb ltt nem csk termőföldet, hnem természetben fellelhető és felhsználhtó energforrásokt s értjük. Az ár gzdságbn eg termék vg szolgálttás ellenértékét jelent, melet többnre pénzben kell megfzetn. A kbocsátás válllt áltl előállított és forglomb hozott késztermékek mennsége. A költség ezek felhsználásávl pedg következőt jelent: H pl. eg drb termelés ténezőnk vn, mt x -el jelölünk, és z ő ár w, kkor költséget z x w szorzt dj meg. Például, h cpőgárosok lennénk, kkor következő költségekkel kellene számolnunk: lpngok (mnt bőr, gum, cpőfűző), gépek ár és krbntrtás, munkások bére, víz-, gáz-, fűtésszámlák, rktárterület bérlése, szállítás díjk Áltlábn költségek mnmlzálás cél, vgs hog eg dott kbocsátás szntet legolcsóbbn tudjunk megvlósítn, ezáltl proftunkt növeljük. A proft zt z összeget jelent, m bevételből költségenk kfzetése után mrd, más néven hszonnk vg nereségnek s szokták nevezn. Példánkbn ez zt jelent, hog ugnzt mennségű cpőt, ugnoln mnőségben, legksebb költséggel, vgs lehető legolcsóbbn szeretnénk előállítn, íg többet kereshetünk z üzleten. Vgs költségenket dott kbocsátás mellett mnmlzáln szeretnénk: 5

6 c( w n,w,..,wn, ) = mn x w x,...,xn =, hol kbocsátás termelés ténezők függvénében f x, x,..., xn ) = ( M most csk z n= esettel fogllkozunk, mt z előző lpján íg írhtunk le: ( w,w, ) = mn ( x w + x w ), c x,x hol kbocsátás f ( x,x ) =. Az íg kpott c( w,w, ) függvént költségfüggvénnek (ngol kfejezéssel cost functon) nevezzük, mel mnden kbocsátáshoz hozzárendel dott ( w,w ) árk mellett zt legksebb költséget, mvel előállíthtó z dott kbocsátás. Ezentúl tekntsük z árkt rögzített állndóknk, és íg áttérhetünk z egszerűbb c() jelölésre s. Azokt költségeket, mk kbocsátássl egütt mozognk, változó költségeknek nevezzük, és c v ( ) -l jelöljük. Amk változtlnok mrdnk, zokt állndó költségeknek hívjuk, és c f ( ) -l jelöljük! Az összköltség (mt c( ) -l jelöltünk) változó és állndó költségek összege lesz. Nézzünk ehhez eg példát! c( ) = c ( ) c ( ) v + Vn két termelés ténezőnk, hozzájuk trtozó árk 3 lletve 4 fzetőegség. A másodk ténezőnk mennsége legen rögzített 0 egség. A kbocsátás függvénünk következő legen: f ( x, x ) = xx. Mvel másodk ténező árát és mennségét s smerjük, ezért z állndó költségünk c f ( ) = 4 0= 40 f 6

7 Mvel x = 0, íg kbocsátás függvén módosul = 0 x re. Ebből x -et kfejezhetjük: x =. Íg 0 cv( ) = x w = 3. 0 A c( ) = c ( ) c ( ) összefüggést hsználv költségfüggvénünk v + f c( ) = lesz. Rövden nézzük meg költségfüggvének fjtát! Itt meg kell említenünk, hog közgzdságtn kcst másképp hsználj függvén foglmát, mnt z nlízs. A függvén és görbe foglm több helen nem különül el teljesen. Például költségfüggvén ltt nem fejezet elején megdott leképezést, hnem legtöbbször függvén grfkonját, mgát koordnátrendszer-bel görbét értk, és szokták költséggörbének s nevezn. A görbéknek legtöbbször külön nevet dnk, ez áltlábn hozzájuk trtozó függvén ngol kfejezésének rövdítése. A függvén megdásánál vszont legtöbbször görbe jelét hsználják. Mvel m mtemtk szempontból közelítjük meg közgzdság témákt, problémákt, ezért megpróbáljuk precízen mtemtk foglmkt és jelöléseket követn. Ezért többször s elő fog forduln, hog közgzdság területén hsználtos és jól bevált jelöléseket kcst másképp hsználjuk, vg teljesen le s cseréljük őket. - Átlgköltségfüggvén: (verge cost functon), z kbocsátás sznt eg egségére jutó költséget dj meg, vgs: 7

8 c( ) c( ) =. A görbe jelölése: AC. - Átlgos változóköltség-függvén (verge vrble cost functon) z eg egségére jutó változó költséget dj meg, vgs cv ( ) vc( ) =. A változó költségek elente lssn, mjd később egre meredekebben emelkednek z növekedésével. Gondoljunk eg válllt kpctásár. H z kbocsátás válllt kpctásán már túlnő, kkor vállltnk hrtelen növelne kell teljesítőképességét, például több gépet kell venne, új technológát kell telepítene, vg több dolgozót kell lklmzn, m rengeteg kdássl jár, tehát költsége ugrásszerűen elkezdenek növekedn. A görbe elnevezése: AVC 8

9 - Átlgos állndóköltség-függvén: (verge fxed cost functon), z eg egségére jutó állndó költséget muttj. c f ( ) fc( ) =. Können végggondolhtjuk, hog h 0, kkor függvén végtelenbe trt, h vszont ngobb kbocsátásunk, vgs h z nő, kkor függvén trt 0-hoz, mvel mndg ugnz fx költség oszlk el változó értékekre. Vgs egre ngobb kbocsátás mennség eg egségére egre kevesebb állndó költség fog jutn. A görbe jelölése: AFC. Mvel c( ) = c ( ) c ( ), ezért, c ( ) = vc( ) + fc( ) m, v + f koordnátrendszerben z AFC görbe, AVC és z AC görbékre z lábbt jelent: 9

10 - Htárköltségfüggvén (mrgnl cost curve), kbocsátás változásánk költségváltozásr gkorolt htását mér: A görbe elnevezése: MC. mc ( ) = c ( ). Megjegzés: Itt láthtjuk, hog közgzdságtnbn dfferencálhándost legtöbbször mnt változás mértékét muttó hándost lklmzzák. H meg vn dv vlmlen f (x) függvénünk, mnek z x változój gzdság függvéneknél áltlábn vlmlen mennséget jelöl. Az x szernt dervált közgzdságtnlg zt dj meg, hog változó ks változásávl függvénünk értéke mennt és hogn változk. A közgzdászok gkrn hsználják htár szót derváltk elnevezésére, úg mnt htárköltség, htárbevétel, htártermelékenség, htárhszon, htártermék. Nézzünk meg ebből két példát: Htárbevétel: Az eldások eg egséggel vló növeléséből szármzó bevételváltozás. Görbéjének jele: MR (Mrgnl Revenue). Ennek kszámítását s úg végezzük, hog z összes bevétel függvénét derváljuk mennség szernt. Htárhszon: A hsznosság foglmánk célj, hog gzdság eg szereplőjének meghtározott jvkhoz kpcsolódó preferencát mtemtk eszközökkel modellezze. A htárhszon zt muttj meg, hog mennvel változk meg hsznosság, h z egk jószág mennségét eg egséggel növeljük. Görbéjének jele: MU (Mrgnl Utlt) és z értékét úg kpjuk meg, hog hsznosság függvént derváljuk szernt ténező szernt, melkhez trtozó jószág mennségét növeln krjuk. 0

11 .. Htárköltséggörbe és átlgköltséggörbék kpcsolt Állítás: A htárköltséggörbe z átlgos változó költséggörbe ltt hld nnk mnmumág, mnmum után pedg htárköltséggörbe vn z átlgos változó költséggörbe felett. Íg tehát MC z AVC-t nnk mnmumábn metsz. Ugnez kpcsolt áll fenn z MC és AC görbék között. Bzonítás: A defnícók lpján keressük meg z AVC görbe mnmumát! Tudjuk, hog eg függvén szélsőértékhele ott vn, hol dervált értéke 0, és dervált előjelet vált. cv( ) c v( ) c = v ( ) Ahol, ez kfejezés ksebb, mnt 0, ott mnmumérték ltt vgunk. Ez kkor teljesül, h () c ( ) c ( ), vgs v v () cv( ) c v( )

12 Ez pedg éppen zt jelent, hog mnmumhel előtt z MC görbe z AVC görbe ltt hld, tehát z állítás első felét beláttuk. Ugnezt másk ránból vzsgálv: Az () lépésben z egenlőtlenségjelet megfordítv, mnmumérték felett leszünk, ekkor () egenlőtlenség s fordítv lesz gz. A koordnátrendszerbel ábrázolásnál zt kpjuk, hog z MC görbe z AVC görbe felett hld, nnk mnmumhelétől jobbr. Ezzel z állítás másodk részét s beláttuk. A mnmumhelen z () és () pontbn egenlőség lesz, vgs ezzel gzoltuk, hog z AVC görbét mnmumpontjábn metsz z MC görbe. Ez z összefüggés z MC és z AC függvén kpcsoltár s gz lesz, hszen z c( ) átlgköltségfüggvént, htárköltségfüggvénre pedg következő lesz gz: c ( ) = c ( ) = c ( ) + c ( ) = c ( ) 0. v v f v + Mvel z állndóköltség-függvén eg konstns, íg derváltj 0 lesz, tehát költségfüggvén derváltj változóköltség-függvén derváltjávl lesz egenlő. Ezek felhsználásávl bzonítást egszerűen átlkíthtjuk, csk c v ( ) -t kell c( ) -r kcseréln. Nézzünk meg eg egszerű példát z eddgek lklmzásár! Péld: Legen c( ) = Menn lesz z állndó-, változó-, és htárköltségfüggvén? Melk pontbn fogj metszen z MC görbe z AC görbét? Megoldás: Az állndó költséget z 5000 fogj dn, hszen z z egetlen tg, m változttásávl nem változk, tehát c f ( ) = Tudjuk, hog c( ) = c ( ) c ( ). v + f Behelettesítve z egenletbe változóköltség-függvént kpjuk: cv ( ) = c( ) c f ( ) = 5 + 0

13 A htárköltségfüggvén költségfüggvén derváltj: c ( ) = A görbék metszéspontját pedg kétféleképpen s kszámolhtjuk: vg z AC görbe mnmumát keressük meg, vg zt nézzük, hog hol egenlő két görbe: Az első módszerrel z átlgköltségfüggvén: c( ) 5000 c ( ) = = Ennek mnmum ott vn, hol z első derváltj egenlő nullávl, vgs = 0. Vgs = 0. A másodk módszerrel: = egenletből szntén z = 0 megoldást kptuk. Tehát két görbe ( 0, ) pontbn metsz egmást... A hosszútávú és rövdtávú költségfüggvének Hosszú távon nem értelmezzük fx költséget, termelés költségek mndegke változó költségnek teknthető. -Hosszútávú átlgköltség: z eg termékegségre jutó hosszú távú összköltség. Hosszútávú görbe jelölése LAC (ngol kfejezéssel long-run verge cost curve), rövdtávú görbét pedg SAC-l (short-run verge cost curve) jelölk.. A függvének 3

14 megkülönböztetésére következő jelölést vezetjük be: hosszútávú átlgköltségre c( ) -t, míg rövdtávú költségfüggvénre z ngol short kfejezés rövdítését hsználv ( ) -t. c s Állítás: A hosszútávú átlgköltséggörbe rövdtávú átlgköltséggörbék burkoló görbéje. Bzonítás: Hsználjuk fejezet elején felírt képletet hosszútávú költségfüggvénre: x,x { w x + w x } c( ) = mn, hol z x és x értékhez trtozó kbocsátást -l jelöljük. Az optmáls értéket, vgs hol z dott szntű kbocsátás mnmáls költségekkel megtermelhető, x * ( ) és ( )-nk nevezzük el. A következő két összefüggés lesz gz: * c( ) w x ( ) + w x( ) * c( ) = w x ( ) + * w x ( ) A rövdtávú költségfüggvénnél ugnezt képletet hsználhtjuk, de ott z egk ténező rögzített. Jelöljük ezt ténezőt ~ x -l, mgát költségfüggvént pedg ) c (,x ~ s -l. Ezek lpján gz lesz z s, hog c ( ) w +, * x ( ) w ~ x x * 4

15 vgs c s ( ) c (,x ~ ). Tehát ezzel beláttuk, hog hosszútávú költséggörbe rövdtávú költséggörbe ltt hld. De hol metszk egmást ezek görbék? Nlván ott, hol vlmel * * * esetén z x~ x( ) =, és íg * * * * * * * * c( ) = w x ( ) w x ( ) w x ( ) w x~ c (,x ~ + = + = s ). A költségfüggvének áltlános tuljdonságról ugn nem beszéltünk részletesen, de áltlánosn tudn lehet, hog ezek függvénke njektívek és foltonossk. Ebből dódón csk eg oln * * * érték lesz, hol teljesül, hog x~ x( ) =. Vgs hosszú és rövdtávú költségfüggvének csk eg pontbn lesznek egenlők. Mvel bzonítás nem függ x~ válsztásától, íg rövdtávú költségfüggvéntől sem függ, ezért mnden rövdtávú költségfüggvénre gz lesz z állítás, csk z érntés pontok másmás * értékekhez fognk trtozn. Tehát hosszútávú költségfüggvén z összes rövdtávú költségfüggvén ltt hld, és pontosn eg-eg pontbn érnt őket..3. Specáls technológák lklmzás költségfüggvénekre Még mndg zokkl z esetekkel fogllkozunk, mkor költségfüggvéneket két termelés ténező esetére írjuk fel. Elevenítsük fel z áltlános lkot: c x,x ( w,w, ) = mn( x w + x w ), hol kbocsátás ( x,x ) f = Tökéletes helettesítés: mn x { w x; = f ( x )}, hol f ( x,x ) = x+ bx. Két ténező esetében kkor beszélünk tökéletes helettesítésről, h vlmenn első ténező pontosn ugnnnt ér fogsztó számár, mnt vlmenn másodk ténező. 5

16 A lent ábránkon z első termék egsége fogsztó számár nnt ér, mnt másodk termékből 3 egség. Mvel ténezők egmássl tökéletesen helettesíthetők, válllt zt z nputténezőt fogj válsztn, melk z olcsóbb. Ezért költségfüggvén következő lesz: c( w, ) = mn w,w w w = mn,. b b x = és x =, íg b Az ábrán Q egenest például zok z ( x,x ) pontpárok lkotják, mk eg dott értékre kelégítk z = f ( x,x ) egenletet. Vgs z egenesek termelés ténezők oln kombnácót ábrázolják, melek ugnhhoz kbocsátás sznthez trtoznk. Tökéletes kegészítés (Leontef-technológ): kbocsátás ( x,x ) mn{ x,bx }. f = Két jószág egmásnk tökéletes kegészítője, h meghtározott ránbn és mndg csk egütt kerülnek fogsztásr. Például len kávé és kávétejszín. Természetesen vehetünk több kávétejszínt, mnt kávét, vg fordítv, de kkor z génenket nem elégítjük k megfelelően, ezért lesz görbe L lkú. A m példánkbn és z ábrán s : b= :. Adott kbocsátás esetén ez pedg zt jelent, hog válllt ráfordításokt csk rögzített ránbn hsználj fel. Tehát = x = bx, ebből A válllt költségfüggvéne pedg: c w w w w b b ( w,w,) = w x + w x = + = +. x = és x =. b 6

17 7 CES-függvének A technológ neve z ngol constnt elstct of substtuton elnevezés rövdítéséből szármzk, m mgrul nnt tesz: konstns helettesítés ruglmsságú függvének. A kétváltozós CES kbocsátás függvén áltlános lkj ( ) p p p x x x ) ( f + = =. A költségfüggvén lkjához trtozó levezetést most nem részletezzük, csk megemlítjük, hog Lgrnge-féle multplkátor módszerrel történk: ( ). w w,,w w c = Vegük észre, hog h p, kkor tökéletes helettesítésről vn szó. Cobb-Dougls: Cobb Dougls-függvének CES-függvének specáls esete. A kétváltozós Cobb- Dougls-típusú termelés függvén áltlános lkbn íg írhtó fel: b x x c ),x x ( f = Az költségfüggvén lkjához trtozó levezetést most nem részletezzük, csk z eredmént közöljük:. w w b b, ) w w ( c b b b b b b b =

18 3. Prcáls derváltk szerepe közgzdságtnbn 3.. Htártermelékenség A vállltok nem tudnk korlátlnul termeln. Adott mennségű kbocsátás csk bzonos nputkombnácók révén vlósíthtó meg. De vállltok számár z nputok beszerzése, előállítás költségekkel jár. Ezért rákénszerülnek rr, hog dott mennségű nputok kombnácójából mxmáls kbocsátást hozzák létre. Íg defnálhtjuk termelés függvén, degen szóvl producton functon. A függvén z egségn termelés ténezők mellett elérhető mxmáls kbocsátást dj meg. Tekntsünk eg Y = F( K,L,T ) termelés függvént. Az Y megtermelt jószág mennsége, K befektetett tőke, L felhsznált munkerő, T termőföld méretét jelöl. Jószág: A jvk eges számú megfelelőjeként áltlábn jószág szó hsználtos. Jvk ltt értünk közgzdságtnbn mnden oln dolgot, mel közvetve vg közvetlenül ember szükségletek kelégítésére lklms. Tőke: A termelés folmtbn hsznált jvk gűjtőfoglm. A hosszbb dőre befektethető pénzt, ng és szellem jvkt értjük ltt, m válllkozás elndításához és fenntrtásához szükséges. Munkerő: mgáb fogll mnden oln ember képességet, mel jvk előállításábn, feldolgozásábn felhsználhtó. A közgzdászok elsősorbn fzk jellegű munkár vló képességet értk ltt, fennmrdó részt pedg szellem tőke néven kezelk. A termelés függvénünk elsőrendű prcáls derváltj következőket dják: Y K = F K tőke htártermelékensége Y L = F L munk htártermelékensége Y T = F T termőföld htártermelékensége A htártermelékenség zt dj meg, hog egségn termelés ténező növekedésével mennt nő termelés. 8

19 A másodrendű prcáls derváltkt összehsonlításr hsználják. Pl. A veges prcáls derváltk termelés ténezők változttásánk egmásr vló htását muttják, míg több másodfokú derváltkból z elsőrendű prcáls derváltk áltl leírt változás gorsságáról, mértékéről kphtunk nformácót. Nézzük meg ezeket z előző példán! Hsználjuk z előző fejezetben már bevezetetteket, és tegük fel, hog F Cobb-Dougls függvén, vgs F( K,L,T ) = A K b c L T Ennél függvénnél áltlábn feltesszük, hog z, b, c és A poztív állndók, K, L, és T pedg szntén csk poztív értékeket vehet fel. Az elsőrendű derváltk következők lesznek: F K = AK b L T c F = AbK L L b T c F = AcK T b L T c Mvel mndegk htártermelékenség poztív, íg bármelk termelés ténező egségn növelése növeln fogj kbocsátást. A másodrendű veges prcáls derváltknál meg kell említenünk Young-tételt, mszernt szép függvéneknél (sokszor dfferencálhtó függvének) gz z, hog h dott két változó szernt derválunk, kkor mndeg lesz, hog mlen sorrendben tesszük ezt meg, hszen derváltk egenlők lesznek. Ezért három változó mellett elég három másodrendű veges prcáls derváltt felírn: F KL = AbK L b T c c F = AcK L T KT b F LT = AbcK L b T c Ezek mndegke poztív lesz, tehát ebből rr következtethetünk, hog bármelk termelés ténezőt növeljük eg egséggel, kkor másk ténező htártermelékensége s növekedn fog. Az len termelés ténezőket kegészítő termelés ténezőknek nevezzük. H pl. több tőkét tud válllt befektetn, kkor több lesz megtermelt jószág mennsége s, vg hétköznpbb példábn: h ngobb kávé ránt kereslet, kkor cukorból s többet fognk venn. A több másodrendű prcáls dervált: 9

20 F KK = A( )K b L T c F LL = Ab( b )K L b T c F TT = Ac( c )K b L T c H z, b vg c egnél ksebb állndók, kkor másodk derváltk értéke negtív lesz. Ezt úg értelmezhetjük, hog például tőke kcsn növelésével z első dervált poztív tuljdonság mtt kbocsátás nő, de növekedés egre csökkenő mértékben fog nőn. H egnél ngobb vlmelk állndó, kkor kbocsátás növekedésének mértéke nem lesz csökkenő. Lásd még [] rodlom 486. oldlán. 0

21 3.. Htárhszon, Gossen-törvének Már z első szkszbn s említést tettünk htárhszon foglmáról. Emlékeztetőül: Legen (teljes) hsznosság függvén hol x,x,, xn tu( x ) = u( x,x,,x ), K K -el jelöljük különböző termékeket. A függvén zt dj meg, hog z dott termékekből megdott kombnácó lpján összeállított úgnevezett fogsztó kosár mekkor boldogságot, elégedettségérzést nújt fogsztónk. A htárhszon értékét vlmelk x változó szernt prcáls dervált segítségével kpjuk meg, m megmuttj, hog h z dott termék mennségét eg egséggel növeljük, kkor fogsztó összhszn mennvel nő. n mu ( x ) = u X I A hsznosság függvénekhez s trtozk két görbe: hsznosság görbe neve TU (totl utlt), htárhsznosságé pedg MU (mrgnl utlt). De gondoljunk eg egszerű esetre: például h z ebédünk hsznosságát próbáljuk mérn. H éhesek vgunk, kkor z első szelet húsnk htárhszn számunkr ngon ng, ugníg hozzá kpott eg pohár ásvánvíznek s. H kpunk még eg szelet húst vg még eg pohár vzet, kkor még mndg ng élvezetet nújt z elfogsztásuk, de már nem oln ngot, mnt z első dgnál, hszen kkor még ngon éhesek voltunk, másodk dg előtt pedg már szükségérzetünket csökkentettük. A tovább hrmdk, negedk, ötödk,... dg étel és víz már korántsem fog oln jól esn, mnt z első dg, sőt! A legtöbb ember lenkor már nkább rosszul lesz, tehát számár z ebédnek hsznosság eg pont után elkezd csökkenn. Tehát htárhszon függvéne csökkenő függvén lesz. A teljes hsznosság pedg egre ksebb mértékben lesz növekvő függvén. Nézzük meg ezeket koordnátrendszerben!

22 A foltonos vonlll rjzolt függvén teljes hsznosság, szggtott vonlll rjzolt függvén pedg htárhsznosság függvén. A fent két ábrán láthtjuk TU és MU görbe kpcsoltát. A teljes hsznosság függvén monoton növekedő eg bzonos pontg. A másodk ábrán láthtjuk bestírozott részeknél, hog eg-eg újbb egségn termék már egre kevesebb hszonnl jár fogsztó számár. Ezeket z értékeket külön görbén ábrázolv megkpjuk z MU görbét, mt z első ábr lsó koordnátrendszerében láthtunk. Még z s megfgelhető, hog hol z MU görbe metsz z x tengelt, ott TU görbének mxmum lesz. Ez zért vn, mert htárhszon függvén teljes hsznosság függvén derváltj, és mvel htárhszon nullávl egenlő, íg ez zt jelent, hog teljes hsznosság függvén derváltj lesz null, m zt jelent, hog

23 hsznosság pontnk szélsőértéke lesz. Mvel teljes hsznosság függvén monoton növekedő, íg ez szélsőérték csk mxmum lehet. Ezt pontot közgzdságtnbn telítettség pontnk nevezk. Ettől mxmumheltől jobbr görbe monoton csökkenő lesz, m zt jelent, hog nnentől kezdve eg új egségn terméknek már negtív hszn lesz, tehát fogsztó boldogságérzetét csökkenten fogj. A példánkbn ez z pont, hol h még több húst meg kellene ennünk, vg még több vzet kellene nnunk, kkor már nkább rosszul éreznénk mgunkt. Ezzel jelenséggel először Hermnn Henrch Gossen német közgzdász fogllkozott, és z előbb megfoglmzott szbált 854-ben írt meg z Entwcklung der Gesetze des menschlchen Verkehrs (Az ember kpcsoltok törvénenek klkulás) című művében. Később z összefüggést z ő tszteletére Gossen I. törvénének nevezték el. Szokták Gossen-féle csökkenő élvezetek/htárhszon elvének s nevezn. Gossen II. törvéne z előnkegenlítődés elvét foglmzz meg. Mnden trtozk eg x termékhez p ár. Vn eg vásárló kosrunk, és vlmlen korlátunk s, legtöbbször ez dő- vg pénzbel korlát szokott lenn. A kérdés z, hog melk terméket vegük meg! A különféle dolgok hsznosságár nncs mértékegségünk, de rájuk költött pénz smeretében íg s összevethetjük őket egmássl. H több dolog s vn, mt szeretnénk megvenn, de nncs rá elég pénzünk, kkor vásárlást célszerű úg végrehjtn, hog ne eg génegészben, hnem mnden génünket részben elégítsük k. Akkor költekezünk jól, h z utolsó pénzegségünket s úg tudjuk elkölten, hog bármelk termékre s költenénk, ugnnn hsznosságot jelentene számunkr. Az eges termékekre szánt eg pénzegségen elért htárhsznot úgkpjuk meg, hog termék htárhsznát elosztjuk temék árávl. Tehát törvén zt mondj k, hog fogsztó kkor költ el jól jövedelmét, h ezek hándosok egenlőek lesznek. Vgs mu( x p ) mu( x p n = = K =. ) mu( x p Persze Gossen-törvének nem mndg teljesülnek. Például, h termék eg szenvedél tárg, (lkohol, dohánárú, vg például béleg béleggűjtő számár) kkor z újbb és újbb egségek termékből ugnkkor, vg még ngobb htárhszonnl járnk, z MU görbe nem csökkenő lesz, nem lesz telítettség pont. n ) 3

24 A Gossen törvének ellenzőnek másk kfogás, hog dott terméket más személek, vg ugnz személ más helzetben, máshogn értékel, más hsznosságot rendel hozzá. Például h z utcán tlálnánk eg gémántdrbot, vg eg vízzel tel üveget, kkor vlószínűleg gémánt jelentene nekünk ngobb hsznosságot, de h ugnezt svtgbn tlálnánk, kkor vszont vzet értékelnénk jobbn. De z s különbséget jelenthet, hog mkor mennre értékeljük vzet: vlószínűleg h pár óráj npon sétálunk, kkor ngobb élvezettel jár víz elfogsztás, mnt 0 perc sét után. Ezek ellenére legtöbb gzdság számításbn ng hsznát vehetjük két törvénnek. Nézzünk meg eg példát! Hsznosság függvénünk legen tu( x, ) = x, hol x z első, másodk termék mennsége. Ismert továbbá, hog z első termék ár p x = 5 Ft, másodk termék ár p x = 0 Ft. Tudjuk, hog htárhsznok rán két termékből keresett mennségeket, h jövedelme 540 Ft! mu( x ) =. Adjuk meg fogsztó áltl mu( ) x Megoldás: jövedelmünk elköltését z lább egenlettel írhtjuk le: 5 x+ 0. Gossen II. törvéne értelmében mu( x ) mu( ) =. Átrendezve z egenlőséget kpjuk, hog: p x p x mu( x ) px 5 = = = =, x mu( ) p 0 vgs x= 0,. Ezt felhsználv számoljuk k x és értékeket! 540= 5 0, + 0, vgs = 36, íg x= 8 lesz. 4

25 4. Játékelmélet lklmzások A gzdság szereplők mndg vlmlen strtég lpján tervezk meg előre z elkövetkezendő lépéseket. Például zt, hog eg válllt belép-e eg dott pcr, összedolgozk-e eg másk válllttl, emel, vg éppen csökkent z árt, fejleszt vg bezárj-e vállltot. Sznte mnden lépéshez trtozk vlmlen strtég. Itt hsználhtjuk mtemtk játékelmélet eszköztárát. A játékelmélet strtég cselekvések áltlános elemzésére szolgál, tnulmánozn tudjuk vele gzdság vselkedést. Nézzük meg ezért játékelmélet néhán módszerét, és ezeket után gzdság példákon lklmzzuk s! A játékelmélet mtemtk modellek oln gűjteméne, meleket többszereplős konflktushelzetek tnulmánozásár hsználunk. A konflktushelzeteket ezentúl játéknk, döntéshozókt pedg játékosoknk nevezzük. A játékelmélet eg dott helzetben játékosok cselekedetet és z ennek következméneként létrejövő helzeteket elemz játékosok vselkedésére és játékr tett különféle feltételezések mellett. Áltlábn zt vzsgáljuk, hog játékosok egüttes cselekvéseként klkuló helzet mlen, elsősorbn mennre stbl. Ez utóbb megközelítés vezet játékelméletben sznte mndenhol jelenlévő egensúl szemlélethez. Mnden játékoshoz trtozk eg strtéghlmz és eg kfzetőfüggvén. A játékok leírásánk legtömörebb formáj z úgnevezett normál form: { S,S, L,S ; f, f, L } G=, n f n hol S játékosok (nem üres) strtéghlmz, f : S = S S K S R kfzető n függvén, hol z f s, s, K, s ) z. játékos kfzetését dj meg, mkor játékosok ( n sorr z, s, K sn strtég szernt játsznk. A játékosok kfzetőfüggvéne megdhtó eg s, n-dmenzós tömbbel (polmátrx-l), m zt muttj meg, hog melk játékos melk strtégáj esetén menn fzetséget kpn. Kétszeméles játékok esetében ez eg -es mátrxot jelent (nnen szármzk bmátrx-játék elnevezés). Vnnk oln strtégák, mket z dott játékbn bztosn nem fogunk válsztn, mert vn eg másk oln strtég, m mnden esetben jobb fzetséget jelent játékos számár. Ezt következőképpen defnáljuk: Legen z. játékosunk strtéghlmz strtégát jelöljön s és t. S, ebből pedg két 5

26 S jelentse zon strtéghlmzok szorztát, mkbe z bele,vgs S K K S. = S S S S+ Az s strtég gengén domnálj t -t, h gz, hog f( s,s ) f( t,s ) mnden s S. n S strtéghlmz nem trtozk Ez zt jelent, hog z. játékos kfzetése z s strtégánál lesz legngobb, mközben többek z s szernt játsznk. Az s eg úgnevezett strtégprofl S -ből, eg n- strtégából lkotott vektor. Az s, s ) eg strtég-vektor, mnek első koordnátáj z. ( játékos strtégáját muttj meg, míg másodk koordnát s eg vektorr utl, m több játékos strtégát dj meg. Ekkor z. játékos z több játékos s S strtég szernt, míg z összes s strtégprofl szernt játszk. Vgs több játékos strtégáj nem szármzht z. játékos strtéghlmzából. H csk szgorú egenlőtlenséget engedünk meg, kkor szgorú domnncáról beszélünk. Eg játékot kkor nevezzük stblnk vg önmegvlósítónk, h egk játékos sem tudj kfzetését zzl növeln, hog z S strtéghlmzából másk strtégát lklmz, mközben több játékos még mndg S játszk. Azt z strtégkombnácót, mkor eg játék len stbl állpotb kerül, Nsh-egensúlpont-nk (rövdítve NEP) nevezk. Eg s S = S K, s = ( s,s, K,s ) strtégprofl Nsh-egensúlpont, h teljesül rá, hog f ( s,s S Sn ) f( s,s ) mnden s S és mnden =, K, n esetén. n Az előző meghtározások legkönnebben eg példán érthetőek meg: Két rb ül börtönben, kk eg bűnténben vettek részt, és egmástól elkülönítve hllgtják k őket. Itt két játékos két bűnöző lesz, nevezzük őket A-nk és B-nek, és játék mg khllgtás. Mndkét bűnözőnek lpvetően két lehetősége vn: bevllj bűntént vg letgdj zt. H z egk bevllj bűntént, és ezzel társát s leleplez, elengedk büntetését, de máskt 6 hónp börtönre ítélk. H mndkét játékos vll, kkor 3-3 hónpr zárják be őket. H mndkét játékos tgd, kkor mndketten hónpr kerülnek börtönbe. Itt kfzetések z előbb kpott meghtározott büntetések hónpokbn mérve. Lássuk játék kfzetés mátrxát! 6

27 B Vll Tgd Vll (-3,-3) (0, -6) A Tgd (-6, 0) (-,-) Képzeljük mgunkt A játékos helébe! H B vll, vgs z első oszlopbn vgunk, kkor A játékosnk mndenféleképpen érdemes vlln, mert íg csk 3 hónp büntetést kp 6 helett. H B tgdj bűntént, kkor A-nk vlln kell, mert kkor ő nem kp büntetést, ellenkező esetben hónp büntetést kpn. Tehát A-nk mndenféleképpen Vll strtég lenne megfelelő, vgs A számár Vll strtég domnáns strtég, teljesül rá, hog B oldláról hsonló helzet: h A vlln, kkor B-nek s vlln kell, h A vszont tgdj bűntént, kkor B-nek megnt jobbn jár Vll strtégávl, vgs tt s ez lesz domnáns strtég. Tehát mndkettő játékos ésszerűen Vll strtég melett fog dönten. f( s,vll ) f( s,tgd ), hol s S = { Vll,Tgd}. Vgs domnáns Nsh-egensúlpont z s * = (Vll,Vll ) strtégprofl lesz. Másrészt mndkét játékosnk s= ( Tgd,Tgd ) strtégpárosítás lenne legjobb, hszen mndketten csk eg-eg hónp büntetést kpnánk. Mért vn z, hog mégsem erre z eredménre jutottunk előbb? Mert hhoz, hog mndkét játékos ezt válssz, szükség lenne rr, hog játékosok előre meg tudják beszéln döntésket és cselekedeteket, és hog teljesen meg tudjnk bízn játék ltt egmásbn. Mvel ezek z előfeltételek nem dottk, íg játék kmenete legngobb vlószínűséggel z lesz, hog mndkét játékos vlln fog, íg játék szernt kfzetésük, vgs büntetésük három-három hónp lesz. Az előbbekben felírt péld eg híres játék, és fogoldlemm-játék néven vált smertté. Most nézzük meg, hog lklmzzák játékelmélet módszereket közgzdság területen! 7

28 4.. A pcr vló belépés döntés Vzsgáljunk eg monopólumot! A monopólum közgzdságtnbn oln pcok megnevezése, hol egetlen eldó vn, k ezáltl urlj z dott pcot. A játékot tt z jelent, hog eg új válllt belép-e vg nem, és ezután hrcol-e vg nem, vgs felvesz-e versent, vg nem. H belép z új játékos, kkor már duopólumról beszélünk, hol két eldó vn, íg monopólumhoz képest két cég külön-külön ksebb befolásoló erővel rendelkezk, de még mndg számottevő lesz eg-eg döntésük htás. Vegünk eg példát: vn eg pc válllt (jelöljük B-vel), és vn eg másk, k be szeretne lépn (jelöljük A-vl). H A válllt nem lép be, kkor kfzető függvén (3, 0) lesz, vgs A kfzetése 3, B kfzetése 0 lesz. H mégs úg dönt, hog belép, kkor kérdés z, hog két játékos versenzk-e vg sem. H nem verseneznek, kkor kfzető függvén legen (5, 3), h vszont hrcolnk, kkor (0,0). B Versenzk Nem versenzk Kívül mrd (3, 0) (3, 0) A Belép (0, 0) (5, 3) A kfzetés mátrxbn két Nsh-egensúl pont vn: z s = ( Kívül mrd,versenzk ), és z s = ( Belép,Nem versenzk ) pontok. Ám ebből csk z egk lesz vlóságbn egensúl. A mátrxbn ez zért nem látszk egértelműen, mert nem vesszük fgelembe, hog belépés játékbn döntés sorrend dott. Vsszfelé hldv vzsgáljuk meg játékot. H A már meghozt döntését, kkor B hogn dönt? H A Kívül mrd strtégát válsztj, kkor B bármt válsztht, mndkét esetben ugnz játék kfzetése: (3, 0) H A Belép strtégát válsztj, kkor B mndenképp Nem versenzk strtégát válsztj, z nek jobbn megér, és ekkor játék kfzetése (5, 3) lenne. 8

29 H már tudjuk B válsztást, kkor hldjunk vsszfelé és nézzük meg A válsztását! Mvel A s előre kszámolhtj ugnezeket, mket most m, ezért ő s tudj B lehetséges válsztást. A két kmenetből nek másodk lesz nereségesebb, tehát A ésszerűen Belép strtégát fogj lklmzn. Ezek lennének z ésszerű döntések, de lehet rjt még változttn, h z egk játékos máskt meg tudj gőzn vlmvel, mondjuk vlmlen gzdság fenegetés lklmzásávl rról, hog számár jobb másk strtég válsztás. Erre nézzünk most eg példát! B számár jobb lenne, h A Kívül mrd strtégát válsztná, hszen ekkor B kfzetése mndenféleképpen 0 lenne. Ezt úg érhet el, h megfeneget A játékost zzl, hog h ő Belép strtégát válsztj, kkor B Versenzk strtégát fogj válsztn, és íg A kfzetése 0 lenne. H fenegetés htásos, kkor A megjed, és nkább nem lép be pcr, és ezzel 3 egségn kfzetéshez jutht. M lehet z fenegetés, mt A-r ténleg htht? Tegük fel, hog már bennlévő vállltnk vn felesleges kpctás. Ez zt jelent, hog többet s tudn termeln, de ezt most nem hsználj k. Mért nem? Mert monopolst pcon vn, tehát ő mg beállított z ár-, és gártás mennségének szntjét, mn válllt megfelelő proftot hozz, és nem termel felesleget, nncs felesleges költsége. Vszont h másk válllt s belép versenbe és duopólst pcr váltnk át, kkor bent lévő khsználj ezt plusz kpctását, és többletköltség nélkül többet tud termeln. Vgs h például versen mtt termék ár lejjebb meg, B kkor s meg tudj termeln zt mennségű árut, m z eddg proftot (vg esetleg nnál kár többet s) bztosítj számár. Változtssunk ezen nformácó lpján kfzetés mátrxon! H z A Belép és B Versenzk strtégát válsztj, kkor z A kfzetése még mndg 0, de B-é 4-re változzon. A kfzetés mátrx tehát következőképpen fog knézn: 9

30 B Versenzk Nem versenzk Kívül mrd (3, 0) (3, 0) A Belép (0, 4) (5, 3) Ez már ténleg gz fenegetést jelenthet belépő válllt számár. H z A játékos tud B játékos ezen trtlékáról, és rról, hog íg változk kfzetés mátrx, kkor ez befolásolhtj A döntését. H A nem lép be pcr, kkor B bármt s válszt, A kfzetése 3 lesz. H zonbn A belép pcr, kkor B bztosn felvesz versent, m A-nk 0 kfzetést jelent. Ezzel tehát bent lévő monopolst cég elér, hog z új cég ne krjon pcr belépn, és hog pc monopolst mrdjon. Persze zt nem tudhtjuk bztosn, hog eg len nformácó z dott helzetben vlós fenegetés jelent, vg eg blöff áll háttérben. Ez két válllt vezetés poltkájához trtozk, de m most csk mtemtk leírássl fogllkozunk. 4.. Szemet szemért strtég és krtell működése Ebben z lfejezetben már oln játékokról beszélünk, mket többször s lejátszódnk. Ezeket smételt játékoknk nevezzük, és Γ = { Gδ,, T} szmbólum jelöljük, hol G z lpjátékot jelent, mt T-szer játsznk le ( T = megengedett), és δ dszkontténezőt s felhsználjuk, mnek segítségével kfzetőfüggvének jelenértékét tudjuk z első játékr kszámoln. A szemet szemért, vg más néven ugró strtég eg gen egszerű strtég, m hsonlót jelent, mnt z ókor jogbn szemet szemért, fogt fogért elv. Az ókor törvénekben ez tettrános megtorlás elve volt, m még z ős szokásjogokból mrdt rájuk. Igzából nnt jelent, hog mt ellenfelünk ellenünk tesz, ugnzt kpj vssz tőlünk. A játékelméletben ennek következő lesz menete: Vn eg két vg több játékosból álló játék, és közös cél érdekében résztvevők egütt dolgoznk, kooperálnk. Ezt koopertív játéknk nevezzük. Ismételt játékról beszélünk, vgs többször s lejátszhtjuk játékot. H vlmelk játékos több ellen cselekszk z egk fordulóbn, kkor őt többek kzárják közös munkából, és 30

31 következő játékbn mndegkük ennek z eg játékosnk kárár tesz meg következő lépését. Ez elég büntetés hhoz, hog senk ne krjon több ellen cselekedn. H zonbn ez mégs megtörténk, de később z áruló játékos belátj, hog hbát követett el, és szeretne újr kooperáln, vn rá lehetősége. Ugns szemet szemért strtég eg megbocsátó strtég: csk egszer büntet cserbenhgót, és később, h z bzonos játékos újr többeket követ, és ugnzokt lépéseket tesz, kkor többek vsszfogdják őt játékb, és újr egütt dolgozhtnk. Ezt mtemtklg leírv következő. N drb játékosunk vn. Legen Γ = { Gδ,, T} eg smételt játék, melnek G lpjátékábn s eg NEP, r pedg eg oln strtégprofl, melre 3 f (s ) f (r) mnden =, K,n esetén. A játék történetének nevezzük zon strtégproflok hlmzát, mel mnden dőponthoz megdj, hog melk játékos mlen strtég szernt játszott bbn z dőpontbn. Ekkor z z ugró strtég, mel szernt z r strtégproflt kell játszn mndddg, míg történet csk ezt strtégproflt trtlmzz, és zonnl át kell térn z s -r, h történet trtlmz r-től leglább eg koordnátábn eltérő strtégproflt. A koopertív játék z egüttműködő tgoknk mndg vlmlen előnnel jár. Legegszerűbb len péld, h eg pcon vásárolunk. A pcon egszerre több zöldséges s megjelenk árujávl. Az ő koopertív játékuk ott muttkozk meg, hog körülbelül eg árbn árulják z zonos mnőségű termékeket, vgs NEP egensúl pontnál ngobb kfzetés vektort bztosító r pontbn vnnk. Képzeljük el, h pcon megjelenk eg új zöldséges és olcsóbbn dj terméket, kkor mndenk nál fog vásároln. Ekkor többeknek s le kell csökkenten z árkt, vssz kell térnük Nsh egensúl pontr, hog vásárlókt vsszcsábítsák. Az új zöldséges megnt árt fog csökkenten, hog ő ezáltl klkíthss stbl vásárló körét. A pc több tgjánk megnt z ő árhoz kellene lklmzkodn és íg tovább. A versen elméletben ddg s eljutht, hog sznte ngen dják zöldségeket. De ez egk játékosnk sem lenne jó, mert sznte semm proftot nem kpnánk, sőt, több lenne költségük, mnt hsznuk. Ezért kooperálnk. H z új zöldséges belép pcr és több eldó árszntjén dj el ő s terméket, vgs ő s z r strtégprofl szernt fog játszn, kkor előbb utóbb társulht játékb, és mndenk jól fog járn. Persze előtte még lejátszódk belépés játék, mvel z előző fejezetben fogllkoztunk. Nézzünk meg eg példát! Legen pcon 3 válllt, mk ugnzt z árut termelk. Tegük fel, hog termeléshez semmlen költség sem trtozk, és termék ránt keresletet sját és versentársk áltl

32 megdott árk befolásolják. Itt strtéghlmzokt z árk jelentk, és kfzetőfüggvént pedg nereség. A p -k z. válllt áltl megszbott árt jelöl, q z. válllt áltl termelt árumennséget jelent, m sját és több játékos áltl megszbott árktól s függ. Ezért z eldott mennséget következő függvén dj meg: q = 00 3 p + p, hol =,, 3. j j Jelöljük f ( p) -vel z. válllt p= p, p, ) árvektor szernt kfzetőfüggvénét. A ( p3 példábn kfzetőfüggvének következőek: f ( p) = 00 p 3 p + p p, hol =,, 3. j Az egetlen NEP meghtározhtó : p = 5 q = 75 és f = 875 =,,3. j H vállltok összedolgoznk, és z összproftot krják mxmlzáln, kkor ennél ngobb proftot s elérhetnek következőképpen: p = 50 ár mellett q = 50 termelés mennséget kpunk, mel f = 500 proftot jelent mnden vállltnk. H ezt strtégát z egk válllt feldná, kkor ő eg peródus ltt q = p = ár válsztásávl és 3 termeléssel, (feltéve, hog másk kettő továbbr s p = 50 -en trtj z árkt) 0000 f = 3 proftot tud elérn. Persze következő peródusbn másk két válllt vsszálln Nsh egensúl pontr, kkor hrmdk válllt már sem érne el több proftot. Ugnezen z elven működnek krtellek s. A krtell egmássl versenző vállltok megállpodás z egmás közt versen korlátozásár. Célj, hog résztvevő cégek mgsbb árkt és proftot érhessenek el. Lásd [4] rodlom 6. oldlán. 3

33 Áltlábn korlátozások z árk, termelt mennségek meghtározásár vg pc felosztásár terjednek k. A krtelleket m trösztellenes törvének legtöbb országbn tltják, ezért jellemzően ttkosn működnek, de m s níltn működk például számos oljexportáló országot tömörítő OPEC kőoljkrtell. A krtellben lévő cégeknek elsősorbn zért jó szövetségbe belépn, mert íg monopólumként tudnk működn. A monopólum ngon ng pc erővel rendelkezk, hszen nncsenek versentársk. Például versenárnál sokkl mgsbb áron s el tudj dn termékét, tehát bszolút ármeghtározó szerepe vn, Nsh egensúl pont áltl kpott kfzetésnél sokkl ngobb fzettséget érhet el. H krtellben szereplő összes tg elfogdj ezt z árt, és nem kínálnk egmás lá, kkor sokkl ngobb proftot érhetnek el. Ugnkkor krtell csk úg működhet, h mnden tg betrtj szbálokt. Ennek pedg egk feltétele z, hog folmtosn tudják egmást ellenőrzn. Ennek bzontlnság vn lpj: versenhtóságok, kk pont ezeket ttkos krtell-egezségeket szeretnék megkdálozn, szntén eg híres játékelmélet strtég, fogoldlemm-módszer szernt működnek. H eg krtellegességre fén derül, kkor versenbíróság bírságot ró k mnden tgr. Azt vállltot zonbn, k elsőként színt vll krtellről, bírságelengedéssel jutlmzzák. Íg krtellben szereplő vállltok több oldlról s befolásolv vnnk: h egüttműködnek többekkel, htlms proftr tehetnek szert, h vszont például árbn többek lá jánlnk, kkor megbüntetk őket; h versenbíróság előtt színt vllnk, jutlmt kphtnk, de h nem teszk és nkább proft mellett döntenek, más társuk tehet ezt meg velük. Tehát tt megnt lezjlk z előző fejezetben tárglt fogoldlemm játék. A játék kmenetelét z dönt el, hog játékosok mennre jól kooperálnk egmássl, mennre hjlndók egüttműködn. 33

34 5. Összefogllás Dolgoztombn példákon keresztül mutttm be néhán, közgzdságtnbn hsználtos mtemtk eszközt. Fogllkoztm költségfüggvénekkel, specáls technológákkl, htártermelékenséggel, hsznossággl és pc játékok koopertív és nem koopertív formájávl Természetesen közgzdságtn számos más területén fontos mtemtk pprátus lklmzás, mnt például Preto-htékonság, hsznosság görbék elemzése, ggregált gzdság folmtok elemzése, regresszószámítás vg éppen Wlrs-egenletek. A mtemtk megkönníthet és elősegíthet közgzdság fejlődését, de ez fordított ránbn s gz lehet. A közgzdságtudomán nem csk eg specáls lklmzás területe mtemtkánk, hnem z tt felmerülő problémák zglms kuttás területként szolgálhtnk mtemtkusok számár s. M sem bzonítj ezt jobbn, mnt zok mtemtkusok sor, kk közgzdságtn Nobel-díjbn részesültek munkásságukért: Hrsán János, John F. Nsh, Renhrd Selten, Leond Kntorovcs, Leond Hurwcz. 34

35 Irodlomjegzék [] Hl R. Vrn: Mkroökonóm középfokon. Akdém kdó, 005. [] Sdsæter - Hmmond: Mtemtk közgzdászoknk. Aul Kdó, 998 [3] Forgó Ferenc- Pntér Mklós - Smonovts András - Solmos Tmás: Játékelmélet (nem koopertív játékok) elektronkus jegzet, 005 [4] Forgó Ferenc - Pntér Mklós - Smonovts András - Solmos Tmás: Játékelmélet (koopertív játékok) elektronkus jegzet, 005 [6] Kertes Gábor elektronkusn letölthető Mkroökonóm elődásvázlt. 35

36 Köszönetnlvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondn konzulensemnek, Skol Eszternek, munkámbn nújtott segítségéért, odfgeléséért, türelméért, és ötleteért. Hálás vgok csládom tgjnk támogtásukért és belém vetett htükért. Köszönettel trtozom Frks Bálntnk, k szntén rengeteget segített elmélet és technk problémámnál, és főleg türelmét, bzlmát, és támogtását köszönöm. És végül köszönöm még mnden oln évfolmtársmnk és smerősömnek, kk vlmlen módon segítették munkámt. 36