Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése"

Átírás

1 Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk az adatok transzformácójának módszerét. Ekkor az összefüggésre és az adatokra eg alkalmas transzformácót alkalmazva, paraméterenket lneárs összefüggésből kell meghatározn, amelnek normál egenletrendszerét már könnedén, akár zsebszámológép használatával s meg tudjuk oldan. A probléma smert a szakrodalomban, azonban a szerzők, kváltképp a tankönvek szerző nem fordítanak kellő fgelmet arra, hog a lnearzálásból adódó torzítás mlen mértékű és ránú, hanem többnre megelégszenek azzal a megállapítással, hog a torzítás mértéke általában olan, hog az összefüggés a gakorlat számára még használható (például Hunad Vta [004]). A tapasztalat azt mutatja, hog ezek az eltérések exponencáls vag hatvánfüggvének llesztése esetén valóban nem mndg jelentősek, de például hperbolkus függvén llesztésekor nagságrendleg nagobb eltéréseket s tapasztalhatunk, sőt smeretes, hog bonolultabb függvének (például a logsztkus függvén) esetében ezek a torzítások gakran használhatatlanná teszk a lnearzálással kapott eredméneket. Az eltérések adatanktól függően egazon függvéntípus esetén s eltérőek lehetnek. Ennek a tanulmánnak az a célja, hog az említett transzformácókból adódó torzításokat elemezze, és ezáltal s felhívja a fgelmet azokra a problémákra, melek felett kváltképp a tapasztalatlan alkalmazók hajlamosak átsklan. Ennek megfelelően a kérdés felvetése után először eg egszerűsített feladaton, a két, lletve több megfgelés (számérték) legksebb négzetekkel kapható közepének meghatározásakor mutatjuk be az oda-vssza alkalmazott transzformácók tulajdonságat, majd a nemlneárs görbellesztés néhán gakor esetét vzsgáljuk meg. A tanulmánt a következtetések összefoglalása, a felhasználók számára megfogalmazott javaslatok, valamnt a megválaszolatlanul maradt kérdések zárják. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

2 Tóth: Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 85. A legksebb négzetek módszerének tulajdonsága az adatok transzformácója esetén Amennben nemlneárs regresszós függvént llesztünk, gakran transzformáljuk a függő vag a független változót. Az alapötlet első pllantásra helesnek tűnk, hszen tökéletesen lleszkedő függvének esetén az oda-vssza transzformácó (ha létezk) helben hagja a függvént. Ha például eg pontosan hperbolkus függvén szernt alakuló adatsorra akarunk függvént lleszten, akkor a függő változó recprokára llesztve a lneárs függvént, majd ennek a lneárs függvénnek a recprokát véve megkapjuk az eredet adatokra lleszkedő hperbolkus függvént. Ez a gondolat annra egszerű, hog nem s érdemes tovább magarázn. A probléma ott kezdődk, amkor az lleszkedés nem tökéletes, hszen akkor az eredmének korántsem lesznek len trválsak. Annak érdekében, hog a problémát érthetően megvlágítsuk, először eg egszerűbb feladatot fogalmazunk és oldunk meg: azt vzsgáljuk meg, hog két adat M, lletve m között keresve a legksebb négzetes eltérést teljesítő x értéket hogan változk x értéke, ha az adatokat transzformáljuk, majd a transzformált adatokra kapott értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformáljuk. Az előzők alapján nlvánvaló, hog amennben M = m, akkor x s egenlő lesz velük, más esetekben azonban nem ez a helzet. Az tt következő ks elemzés előtanulmánnak s teknthető a görbellesztés feladatához, uganakkor önállóan s érdekes, mvel rámutat eges statsztka átlagok tulajdonságara... Alapeset (nncs transzformácó) Két érték, M és m ( M m ) között keresünk eg olan x értéket, amelre ( ) ( ) ( ) f x = M x + m x mn. // f x =. A függvén láthatóan felfelé níló parabola, ott lesz mnmáls, ahol ( ) 0 Mvel f ( x) = ( M x) ( m x) =0, ezt átrendezve M x+ m x= 0, majd M + m x = kapható, tehát a négzetes eltérés akkor lesz a legksebb, ha x a két érték számtan közepe. Az eredmén általánosan smert alapösszefüggés, és több adat esetén s gaz. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

3 86 Tóth Zoltán.. A lneárs transzformácó esete l x = a+ b x lneárs transzformácó. Ekkor l(m) és l(m) értékek között keressünk eg olan értéket, amelre Legen ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = l M + l m mn, // majd ezt az értéket az l nverz transzformácójával vsszaalakítva az a kérdés, hog vsszakapjuk-e az alapesetben meghatározott x értéket. Ekkor f ( ) ( a b M ) ( a b m ) ( ) 0 f =. Ekkor az = + + +, am ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) ( ) f = a+ b M a+ b m =0 egenlet megoldását keressük, amre azt kapjuk, hog M + m a+ b M + a+ b m = 0, majd = a+ b, végül a M + m l ( ) = + =. b b Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok számtan átlagát kapjuk. Tehát transzformácóval meghatározva értékét, valamnt nverz transzformácóval x értékét az alapesetnek megfelelő x értéket kapjuk..3. A recprokképzés esete Legenek adva a M és m értékek. Legen a transzformácó a recprokképzés, amelnek nverze önmaga. Keressük azt az értéket, amelre: f() = + mn M m. /3/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

4 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 87 A szokásos módon ezúttal s az f ( ) 0 = egenletet kell megoldan: f'() = = M m 0, + = M m, azaz x = = + M m. Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok harmonkus átlagát kapjuk. Ez azzal a következménnel jár, hog az íg kapott x érték nem egezk meg az alapesetben meghatározott számtan átlaggal, hanem annál ksebb. Tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszaalakítva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a harmonkus átlagot kapjuk eredménként..4. A logartmusképzés esete Ismét legen adva M és m és legen a transzformácó a természetes alapú logartmus, melnek nverze: e. Keressük azt az értéket, x amelre: ( ) ( ) ( ) f = lnm + lnm mn. /4/ = ln ln = 0, ahonnan Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) ln M+ ln m lnm + lnm =, majd x = e = e = M m adódk. Ekkor tehát a transzformált (logartmzált) adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a mértan átlagot kapjuk.5. A négzetgökvonás esete Legen adva továbbra s M és m, és a transzformácó a négzetgökvonás, melnek nverze a négzetre emelés. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /5/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

5 88 Tóth Zoltán = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, és M + m+ M m x= =. 4 Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, mert: M + m+ M m M + m x =, hszen M + m+ M m ( M + m) és 4 M + m M m a számtan és mértan átlag között smert relácóból adódóan. Láthatjuk, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál ksebb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál ksebb..6. A négzetre emelés esete Legen adva M és m, és legen a transzformácó most a négzetre emelés, melnek nverze a négzetgökvonás. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /6/ = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, M + m x= =. Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, hanem annál nagobb, mert: M + m M + m, hszen M + m M + m + M m és 4 M + m M m = M m, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

6 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 89 am gaz az M és m számtan és mértan átlaga között smert nagságrend összefüggés alapján. Ekkor tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál nagobb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál nagobb..7. Általános eset g x eg a vzsgált ntervallumon monoton, foltonos és íg nvertálha- g m értékek között keresünk eg olan értéket, Legen ( ) tó függvén. Ekkor a g ( M ) és ( ) amelre ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = g M + g m mn. /7/ f ( ) ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) g(m ) + g(m) =, ( ) ( ) ( ( ) ) f = g M g m = 0. Ekkor ( ) + g( m) g M x= g = g. M + m Ha g ( ) =, akkor a legksebb négzetek elvének megfelelő x érték meghatározása és a g függvén által meghatározott transzformácó alkalmazás sorrendje felcserélhető. Ehhez a következő összefüggés kell, hog teljesüljön: g(m ) g(m) M m. g + + = Az előző összefüggés pedg csak akkor teljesül, ha g nverze és íg g s lneárs. Összegezve megállapítható, hog ha adatankat transzformáljuk, csak a lneárs transzformácó hagja változatlanul a két érték között legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, azaz a számtan átlagot. Mvel a levezetések több adat esetén s uganúg véggvhetők, megállapíthatjuk, hog a transzformált adatok várható értékét meghatározva majd ezt az értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, csak lneárs transzformácó esetén kapjuk meg az eredet adatok várható értékét. Az eddg elmondottakhoz még eg megjegzést kell fűznünk. Tudjuk, hog ha g monoton, foltonos (nem lneárs) függvén és f foltonos, akkor amennben f-nek Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

7 90 Tóth Zoltán létezk mnmum hele, akkor g ( f ) összetett függvénnek s létezk, és ez a két mnmumhel egbeesk. Azonban esetünkben ezt a tulajdonságot nem alkalmazhatjuk, hszen m a következő típusú függvéneket akarjuk mnmalzáln: Itt ( F) az eredet adatokra a transzformált adatokra n ( ) ( ) ( ) F a,b = f x mn, n = ( ( )) ( ) ( ) ( ) G a,b = g g f x mn. = G g és pontosan azt mutattuk meg az előző levezetésekben, hog ez a mnmum eltolódk a transzformácók hatására. Korábban láttuk, hog ha adatank lleszkednek, például eg hperbolkus függvénre és azokat lnearzáljuk, valamnt a lnearzált adatokra lneárs függvént llesztünk, majd ezt az nverz transzformácóval vsszaalakítjuk, akkor vsszakapjuk a kndulás függvént. Vags a transzformácó nem torzítja az eredmént. Ennek oka, hog tökéletes lleszkedés esetén ezt a gondolatmenetet követve olan esettel állunk szemben, ahol M = m, és íg ekkor x értéke s lleszkedk M = m értékre. Feladatankban len deáls eset nncs s, mert ekkor transzformácó nélkül s meg tudnánk találn a függvént, lletve a paraméterek értékét. Vszont ha az adatok nem lleszkednek pontosan az eredet vag a transzformált függvénre, akkor a transzformácó eltérít mnket a legjobban lleszkedő függvéntől. A kétszeres transzformácó természetesen nem bztosítja automatkusan azt, hog a knduló és a transzformácók után kapott értékek azonosak lesznek. Eg egszerű példát említve lleszkedjenek az eredet adatpárok eg egenesre. A transzformácó legen a recprok képzése, és a transzformált adatokra (amelek nlván nem lleszkednek tökéletesen eg egenesre) llesszünk lneárs függvént, majd a transzformált adatokra kapott lneárs függvént és annak értéket alakítsuk vssza az nverz transzformácóval. Az íg kapott vsszatranszformált adatok nlvánvalóan nem egeznek az eredetekkel.. A hbatagok változása a transzformácó hatására Vzsgáljuk meg a továbbakban, hog mlen mennség összefüggés van az eredet függvénre llesztett nemlneárs regresszós vag trendfüggvén hbatagja és a lnearzált függvén hbatagja között. Bevezetőül meg kívánjuk jegezn, hog Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

8 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 9 a transzformácó mndg az függvénértékekre vonatkozk, lletve, hog mndg addtív hbatagról fogunk beszéln. Az eredet függvén hbatagját az -edk adat esetén ε, a transzformált függvén esetén uganezt δ jelöl. Az tt következő elemzésekben meghatározzuk néhán alapvető nemlneárs esetre a hbatagok négzetösszegét és keressük ezen összegek mnmumhelet. Megmutatjuk, hog ezen mnmumhelek az adattranszformácó alkalmazásával végzett megoldásokban és az eredet adatokra vzsgálva nem esnek egbe. Egben azt s gekszünk megmutatn, hog m a vszon a kétféle hbatag között... A hbatagok vszona exponencáls függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén = a e alakú, a transzformácó pedg, amvel ez lnearzálható, a természetes alapú logartmus. Megjegezzük, hog leggakrabban az a > 0, b > 0 esettel találkozunk, íg példánkban s let mutattunk be. Természetesen az tten elemzés kterjeszthető a függvén más parametrzálására s. Az eredet adatokra, lletve az exponencáls függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a ε mnmeghatározá- sa. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe, és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Legen az eredet adatokra bx llesztendő függvén alakja = a e + ε, amből azonnal kapható az bx ε = a e forma. A transzformált adatokra llesztett lneárs függvén: bx ln = ln a+ b x + δ, aho nnan ln δ = ln a+ b x, és e ln δ b x a e δ = =. e A két utóbb kapott alak összevetése és ném átalakítás után a következő adódk: ε ε = ; = ; δ δ e e e δ δ ε = e = és nnen ε ε δ = ln = ln = ln ε ε ε. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

9 9 Tóth Zoltán Mvel lm = e x x x ezért nag és kcs, tehát jó közelítés esetén eb- ε ből következk, hog ln, am matt t ε ε ε δ, azaz ε δ. /8/ Látható, hog és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg. Pontosabban, mvel δ és m δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε ε összegben a nag értékekhez tartozó, hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre nem lesz annra pontos, vags a transzformácóval valóban nem kapjuk meg a legjobban lleszkedő exponencáls függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn, am vszont analtkusan nem kezelhető normálegenlet-rendszerhez vezet. Alakítsuk most vssza regresszós függvénünk transzformált alakját hbataggal egütt: ln = ln a+ b x + δ, bx δ bx P = a e e = a e ε Ekkor az látható, hog az előző felírás esetén δ P e = + jelöléssel P azt mu- 00 tatja meg, hog hán százalék az eltérés az eredet és számított érték között, és m ezt mnmalzáljuk. Ez akár eg krtéruma s lehet a függvénllesztésnek (az eltérés százalékos összegének a mnmalzálása), de jól látható, hog ez nem felel meg a legksebb négzetek elvének. Nézzük meg, hog ez az eredmén hogan látható a következő fktív adatsoron: Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

10 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 93 Legen adva az alább 4 adatpár. példa x Eredet adatok számított (transzformácó) ε ln Transzformált adatok ln számított δ ε ln 0,0,379 0,6 0,693 0,3 0,37-0,37,7 3,79 -,479 0,53,56-0,66 0,66 8,4 7,37,073,8,99 0,37-0,37 3 9,0 6,889,,944,87 0,8-0,8 Ezen adatokat transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét (lneárs függvént llesztve), majd a paramétereket vsszatranszformálva a = 379,, lletve b = 0, 835 értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az =, 379 e 0, 835x függvén bzonult. Ezen paraméterekkel kszámítva a függvénértékeket, az előző ε, δ értékeket kapjuk, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggést, mszernt ε δ, lletve ε δ = ln. Ha ezután az adatokra úg llesztünk legjobban lleszkedő exponencáls függvént, hog nem végezzük el a lnearzáló transzformácót, hanem az eredet forma maradékanak négzetösszegét mnmalzáljuk (numerkus közelítéssel, terácóval), akkor a legjobban közelítő függvénnek az =, 33 e 094, x függvén bzonul. Az lleszkedések összehasonlítása érdekében kszámítottuk az ( ˆ) ( ) I = korrelácós ndexet mnd az terácóval meghatározott függvénre, mnd a transzformácóval meghatározott függvénre. Ekkor azt kaptuk, hog: 0835, x transzformácó esetén: =, 379 e I = 09584,, 094, x terácó esetén: =, 33 e I = 0, Természetesen I értékeből s látszk, hog a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét, majd az nverz transzformácóval vsszatranszformálva a paramétereket nem a legjobb regresszós függvént kapjuk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

11 94 Tóth Zoltán. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott exponencáls függvének 0 5 (adat) adat terácó terácós transzformácó formácós Az. ábrán s láthatók a levezetett összefüggések, mszernt a transzformácóval meghatározott függvén ksebb súllal fgel a nagobb függvénértékek esetén elkövetett hbákra. Megjegzendő, hog a hatvánfüggvén esetén hasonló nagságrendű eltérést kapunk a transzformácó hatására. Az tt tárgalt exponencáls függvén egk specáls esete az a konkáv függvén, bx amelet leggakrabban az A( ae ) =, ( 0) b < alakban szoktunk specfkáln, és amelet egszerű telítődés folamatok leírására használhatunk. Az eddgek alapján algha meglepő az az állítás, mszernt a transzformált alakra alkalmazott legksebb négzetes llesztés ez esetben s más eredmént ad, mnt az eredet formára terácós úton készített becslés. Az eltéréseket lletően können belátható, hog a /8/-ban szereplő δ összefüggést ez esetben a δ ε A ε váltja fel, és a paraméterbecsléshez ennek négzetösszegét kell mnmalzáln. Ennek következméne az, hog a négzetösszegben a ks értékekhez tartozó ε hbák szerepelnek ksebb súllal. Ez pedg azt jelent, hog a transzformácóval kapott függvénünk a ks értékekre lesz kevéssé pontos. Emlékeztetünk arra, hog az eredetleg felírt (konvex) exponencáls függvén esetében ez fordítva volt. Ennek az eltérő eredménnek az egszerű ntutív magarázata az, hog a telítődés sznthez közeledve egre ksebb mozgástere van az llesztett görbének; egre nkább, egre ksebb ngadozásokkal smul a telítődés sznthez. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

12 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 95.. A hbatagok vszona hperbolkus regresszós függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén alakja: =, a transzformácó a a+ b x recprokképzés, amelnek az nverze s a recprokképzés lesz. Az eredet adatokra és a hperbolkus függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a mn meghatározása. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε, amt átalakítva a+ b x ε ε = a+ b x /9/ kapható. A transzformált alakból = a+ b x + δ, majd δ δ = = a+ b x /0/ adódk. A /9/ és /0/ jobb oldalának egezősége matt ε δ = = + ε δ δ ε, ε amt átrendezve az ε = δ lőséghez jutunk. Ekkor, ha ε egen vags jó közelítés esetén ε, íg ε δ azaz kcs, ε. // δ 4 Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

13 96 Tóth Zoltán A korábbakhoz hasonlóan tt s látható, hog ε és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg (sőt az egezésnek kcs az eséle), mvel δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε 4 δ és m ε 4 összegben a nag értékekhez tartozó hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre még kevésbé lesz pontos, mnt exponencáls függvén esetén, vags a transzformácóval továbbra sem kapjuk meg a legjobban lleszkedő hperbolkus függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn. Nézzük meg, hogan láthatók az eredmének eg egszerű számpéldán.. példa Tegük fel, hog az eredet adatok körülbelül 0-0 százalékos hbával lleszkednek a normál hperbolára x Eredet adatok számított ε Transzformált adatok számított δ ε δ 0,,5 9,5 0,083 0,4-0,37 9,5 0,8, -0,3,5 0,90 0,349-0,3 0 0,7 0,69 0,00 5,88 5,95-0,033 0,00 Az értékeket transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét a = 03445,, lletve b = 0557, értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az = függvén bzonul. Az ezen paraméterekkel kszámított függvénértékeket és a hozzájuk tartozó 0, , 557 x ε, δ értékeket a. példa tartalmazza, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggéseket, mszernt ε δ, lletve ε ε = δ. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

14 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 97 Ha ezután az eredet adatokra terácós módon llesztünk legjobban lleszkedő hperbolkus függvént az Excel-program segítségével, akkor a legjobban közelítő függvénnek az = függvén bzonul. 0, 045 +, 8 x Az. példához hasonlóan tt s kszámítottuk a korrelácós ndexet mnd az terácóval, mnd pedg a transzformácóval meghatározott függvénre: transzformácó esetén: = I = 00,, 0, , 557 x terácó esetén: = I = 09999,. 0045, + 8, x Annak felsmerését, hog nag baj lehet az adatok transzformácójával történő regresszós függvénllesztéssel eg, a. példához hasonló feladat sugallta. Itt I értéke negatív, am azt jelent, hog a transzformácóval meghatározott regresszós függvénünk rosszabb közelítő függvéne adatanknak, mnt az konstans függvén. Ez alapján már várható volt, hog a transzformácóval meghatározott regreszszós függvén len esetben jelentősen eltér a legjobban lleszkedő regresszós függvéntől. Lehet olan adatokat találn, ahol hasonló eredmént kapunk exponencáls függvén llesztése esetén s.. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott hperbolkus függvének 9 6 adatok adat terácó terácós transzformácó zformácós Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

15 98 Tóth Zoltán Az I értéke alapján nlvánvaló, hog közelítőleg sem kaptuk meg eredménként a legjobb hperbolkus regresszós függvént. Az terácós módszerrel pedg meg s határoztuk a legjobb hperbolkus közelítő függvént. A. példából az s látszk, hog bár a δ értékek tűrhetőek, a nag eredet érték esetén az ε = 9, 5 tehát nagon nag, ahog az előző levezetés alapján vártuk, hszen ε δ. Ezek az eredmének láthatók a. ábrán..3. A hbatagok vszona logsztkus regresszós függvén esetén A Ebben az esetben az llesztett függvén = bx + a e alakú, az érték transzformácója pedg összetett : A-val való osztás recprok logartmzálás. Az eredet és transzformált adatokra vonatkozó hbatagok jelölése uganaz mnt eddg, és eredet célunk tt s a ε mn meghatározása. Ehelett transzformáljuk az adatokat és a transzformácó után addtív hbatagot mnmalzáljuk, δ mn. A következőkben tt s bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. A Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε bx + ae, átalakítva A = ae ε bx. // Az adatok transzformácója és a transzformált adatokra llesztett lneárs függvén leírása az alább: ln = lna+ b x+ δ ezt átalakítva bx A A δ = ae e majd A bx = ae δ /3/ e adódk. A // és /3/ egenlőségekből A A = ε e δ, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

16 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 99 amt átrendezve A + ε A = δ ε e, majd nnen δ e = A ε A + ε. Tovább alakítva ezt A δ ( A ) ( e ) + ε = ε és mvel ε << A, ezért ε A ( ) δ ( A ) ( e ) δ ( e ) ( ε ), ahonnan A A A + 4 δ Mvel δ és ( ) e mnmuma egbeesk, tt s -k súlozott összege és a súlok láthatóan a szögletes zárójelben levő lefelé níló parabola értékenek recproka. A legksebb súl a nevező maxmumához tartozk, am azt jelent, hog A az = értékhez tartozó ε hba szerepel a legksebb súllal míg 0-hoz lletve A- hoz közel értékek esetén az ε hba nagobb súllal szerepel, ezért tt pontosabb lesz a transzformácóval megalkotott regresszós függvén. Ez azt s jelent, hog a A transzformácóval kapott regresszós függvénünk = értékekre lesz legnkább pontatlan. δ ε. 3. példa Illesszünk logsztkus regresszós függvént az adatokra mnd a transzformácó mnd az terácó módszerével. Legen ebben a példában A=00. (A példára vonatkozó adatok a következő táblázatban találhatók.) Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

17 300 Tóth Zoltán x Eredet adatok számított (transzformácó) Transzformált adatok A A ln ε ln számított δ A A + A 4 δ ( e ) 0 3 4,407,407 3,476 3,077 0,399,47 0 3,949 6,05,386,80 0,433 5,65 36,308 4,30,65 0,56 0,704 7, ,79 3,8,386 0,696 0,69 7, ,577 7,43,944,953 0,99, ,3 6,3,97 3,,03 5,79 A kndulás értékekre alkalmazva a leírt transzformácót és a transzformált adatokra lneárs függvént llesztve a =, 693, lletve b =, 58 értékeket kaptunk, azaz a lnearzálás módszerével adatankra a legjobb logsztkus függvénnek az 00 = függvén bzonult. Az adott paraméterértékeknek megfelelő függvénre vonatkozó számított függvénértékek és a hozzájuk tartozó addtív h-, 58 x + 693, e batagok szntén a táblázatban találhatók. Azonban a kétszeres elhanagolás matt az ε δ ( e ) δ összefüggésben, az ε értékeket csak kevésbé A ( ) ( ) ( pontosan követk az A e értékek. δ ) Ha ezután az eredet adatokra terácós módszerrel llesztünk legjobban lleszkedő 00 logsztkus függvént, akkor ez a következő lesz = 08, x 39, 66 e. + Mndkét függvén esetén kszámítva a korrelácós ndexet tt s érzékelhető az eltérés: transzformácó esetén: 00 = I = 0939,,, 58 x + 693, e terácó esetén: 00 = I = 0954,. 08, x + 39, 66 e A grafkonról látható, hog jelentős eltérések vannak az terácóval meghatározott legjobban közelítő és a transzformácóval meghatározott logsztkus függvénenk között. Az s látható a grafkonon, hog a két középső érték esetén kapjuk a legnagobb ε értéket. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

18 Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 30 3.ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott logsztkus függvének adat adat terácós ós transzformácós Következtetések és ntott kérdések A korábbakban bemutattuk azt, hog a tankönvek által javasolt lnearzálás az esetek jó részében korántsem olan ártatlan, mnt ahog azt olkor sugallják, hszen ez a módszer a görbellesztéskor nemrtkán gencsak félrevezető eredméneket ad. Eredménenk nlvánvalóan azt javasolják, hog a lnearzálás helett (vag nkább mellett) használjuk a nemlneárs legksebb négzetek módszerét, amel az eredet nemlneárs feladatot oldja meg numerkus közelítéssel. Erre a gorsan fejlődő számítástechnka egre jobb lehetőségeket kínál. Mnt tudjuk, a gakorlatlag bárk számára hozzáférhető Excel-programban lehetőségünk van a Solver-segédprogrammal szélsőérték meghatározására feltételek mellett és anélkül. A segédprogram használatakor meg kell adn, hog melk cella mnmumát vag maxmumát keressük, valamnt a szélsőérték típusát, és jelezn kell, hog mel cellák teratív változtatása mellett történjen a mnmum meghatározása. Amennben vannak feltételek azokat s közöln kell. Amkor regresszós függvének paraméteret kutatjuk, akkor a célcella mnmumát keressük és a célcella tartalma a következő képlet és annak értéke: ( ), számított mn. A módosuló cellák a paramétereket tartalmazzák és feltételek megadása nem szükséges. Amkor jelen írásban terácós paraméter kereséséről beszélünk, mndg erre a módszerre gondolunk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

19 30 Tóth: Nemlneárs függvének lleszkedésének néhán kérdése Az ezzel a módszerrel történő regresszós függvén meghatározásnál a paramétereknek kezdet értéket kell ugan adn, de elvben bármel függvéntípus esetén elkészíthető mechankusan a paraméterek és a függvénértékek becslése. Amennben az eljárás valóban az abszolút mnmumot eredménez, a kapott paraméterek és függvénértékek torzítatlanok lesznek. Uganakkor felmerülhet az a kérdés, hog a módszer mnden függvéntípus és bármlen kezdet érték megadása esetén s konvergens-e, és ha gen a legksebb négzetekkel defnált függvén abszolút mnmumát adja-e, vag valamlen lokáls mnmumot talál. Ezért érdemes azt a kérdést s felvetn, hog bzonos függvéntípusok esetében lehet-e analtkusan megoldható normálegenleteket számoln. Végül megemlítjük, hog amennben lehetőség van rá, érdemes eg feladatot több különböző, feltehetően eltérő megoldó algortmusokat használó programcsomagok segítségével elvégezn. Az esetleg eltérő eredmének fgelmeztethetnek az említett hbákra. Irodalom ALMÁSI A. TÓTH Z. TÖRCSVÁRI ZS. [005]: Have ou ever seen a best exponental regresson functon? Tagungsband. 9. Thürngsch Ungarsches Smposum. Fachhochschule. Jena. HUNYADI L. VITA L. [004]: Statsztka közgazdászoknak. KSH. Budapest. MUNDRUCZÓ GY. [98]: Alkalmazott regresszószámítás. Akadéma Kadó. Budapest. RAPPAI G. [00]: Üzlet statsztka Excellel. KSH. Budapest. SZŰCS I. [00]: Alkalmazott statsztka. Agronform Kadó. Budapest. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Tartóprofilok Raktári program

Tartóprofilok Raktári program Tartóproflok Raktár program ThenKrupp Ferroglou ThenKrupp Nolcadk kadá 6. áprl Ötvözetlen é alacon ötvözéú lemeztermékek Betonacélok Szerzámacélok Melegen hengerelt rúdacélok Könnú - é zínefémek Rozdamente

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet Szeged Tudománegetem Gazdaságtudomán Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA I. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egetem docens Statsztka és Demográa Tanszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomán

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS

FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS FILMHANG RESTAURÁLÁS: A NEMLINEÁRIS KOMPENZÁLÁS EGY GYAKORLATI ALKALMAZÁSA Bakó Tamás, dr. Dabócz Tamás Budapest Mszak és gazdaságtudomány Egyetem, Méréstechnka és Informácós Rendszerek Tanszék e-mal:

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

NÉGYROTOROS PILÓTANÉLKÜLI HELIKOPTER FEDÉLZETI AUTOMATIKUS REPÜLÉSSZABÁLYZÓ RENDSZERÉNEK TERVEZÉSE

NÉGYROTOROS PILÓTANÉLKÜLI HELIKOPTER FEDÉLZETI AUTOMATIKUS REPÜLÉSSZABÁLYZÓ RENDSZERÉNEK TERVEZÉSE Turócz Antal PhD hallgató ZMNE BJKMK ant@alarx.net NÉGYROTOROS PLÓTANÉLKÜL HELKOPTER FEDÉLZET AUTOMATKUS REPÜLÉSSZABÁLYZÓ RENDSZERÉNEK TERVEZÉSE Absztrakt Kutatás téául eg négrotoros helkopter fedélzet

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA

A Ga-Bi OLVADÉK TERMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA A Ga-B OLVADÉK TRMODINAMIKAI OPTIMALIZÁLÁSA Végh Ádám, Mekler Csaba, Dr. Kaptay György, Mskolc gyetem, Khelyezett Nanotechnológa tanszék, Mskolc-3, gyetemváros, Hungary Bay Zoltán Közhasznú Nonproft kft.,

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A neurális hálózatok alapjai

A neurális hálózatok alapjai A neuráls hálózatok alapja (A Neuráls hálózatok és mszak alkalmazásak cím könyv (ld. források) alapján) 1. Bológa alapok A bológa alapok megsmerése azért fontos, mert nagyon sok egyed neuráls struktúra,

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára másik termék mennisége. gakorlat Transzformációs görbe, mikroökonómiai optimumfeladatok megoldásának alapmódszere Oktatási segédlet hallgatók számára Eg fontos közgazdasági alapmodell TLH, alternatív költség,

Részletesebben

Matematikai összefoglaló

Matematikai összefoglaló Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 2011. pp. 247-260. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL

KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 2011. pp. 247-260. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL KARSZTFEJLŐDÉS XVI. Szombathely, 011.. 47-60. A MISKOLCI EGYETEMI KÚT MÉRT PARAMÉTEREINEK ELEMZÉSE MODERN GEOMATEMATIKAI MÓDSZEREKKEL DARABOS ENIKŐ-SZŰCS PÉTER Mskolc Egyetem, Műszak Földtudomány Kar,

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ

OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Multdszcplnárs tudományok, 3. kötet. (013) 1. sz. pp. 97-106. OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Száva Szabolcs egyetem adjunktus, Mskolc Egyetem, Anyagszerkezettan

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről 1. rész

Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről 1. rész Előszó Az egenes rudak elemi szilárdságtanának eg problémaköréről rész Ezt a dolgozatot sok évvel ezelőtt írtam Benne eg olan problémakör kritikai vizsgá - latára vállalkoztam melnek itthon nem vag csak

Részletesebben

Diplomamunka. Szabó Anett

Diplomamunka. Szabó Anett Diplomamunka Intracelluláris Ca 2+ -dinamika vizsgálata Szabó Anett Témavezet : dr. Tóth János docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudománi Egetem Matematika Intézet Analízis Tanszék BME 2010 TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban "

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúl Regonáls Energa Stratéga és a három kstérség energetka koncepcó kdolgozása tárgyban " Amely létrejött egyrészrő l a Nyugat-dunántúl Regonáls Fejlesztés Ügynökség

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

PhD értekezés. Gyarmati József

PhD értekezés. Gyarmati József 2 PhD értekezés Gyarmat József 2003 3 ZRÍNYI MIKLÓS NEMZETVÉDELMI EGYETEM Hadtechnka és mnõségügy tanszék PhD értekezés Gyarmat József Többszempontos döntéselmélet alkalmazása a hadtechnka eszközök összehasonlításában

Részletesebben

Záró monitoring jelentés

Záró monitoring jelentés Záró monitoring jelentés (megfeleltetés és szinopszis) 13. számú fejlesztési t ÁROP-3.A.2-2013-2013-0017 projekthez Verziószám: 3.0 verzió Budapest, 2014. október 31. 1 Tartalom 1. Vezetői összefoglaló...

Részletesebben

Integrált rendszerek n é v; dátum

Integrált rendszerek n é v; dátum Integrált rendszerek n é v; dátum.) Az dentfkálás (folyamatdentfkácó) a.) elsődleges feladata absztrahált leírás fzka modell formában b.) legfőbb feladata a struktúradentfkálás (modellszerkezet felállítása)

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

11. előadás PIACI KERESLET (2)

11. előadás PIACI KERESLET (2) . előadás PIACI KERESLET (2) Kertes Gábor Varan 5. feezete erősen átdolgozva . Állandó rugalmasságú kereslet görbe Olyan kereslet görbe, amt technkalag könnyű kezeln. Ezért szeretk a közgazdászok. Hogyan

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

a domború tükörrıl az optikai tengellyel párhuzamosan úgy verıdnek vissza, meghosszabbítása

a domború tükörrıl az optikai tengellyel párhuzamosan úgy verıdnek vissza, meghosszabbítása α. ömbtükök E gy gömböt síkkal elmetszve egy gömbsüveget kapunk (a sík a gömböt egy köben metsz). A gömbtükök gömbsüveg alakúak, lehetnek homoúak (konkávok) vagy domboúak (konvexek) annak megfelelıen,

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006 ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer

Részletesebben

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október Fogyasztók a tõkepacon oktatás segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudomány tanszék 007. október Költségvetés egyenes kamatláb esetén. dõszak fogyasztása A. év fogyasztásának maxmuma költségvetés egyenes

Részletesebben