Matematikai összefoglaló

Átírás

1 Mtemt össefolló etoro Non so oln mennsé vn, mel nem ellemehető eetlen sámml. len mennsére leeserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. mor táéoódun és e pont heletét me ru htáron, or mnd más pontho épest heletét du me. Et pontot vontottás pontn, v orón neveü. Ettől mérü pont távolsáát. hho, ho pont helete eértelmű leen, ét válstott ránho épest ét söet s me ell dn. s e pont heletét í három dt fo ellemen, e távolsá és ét sö. Áltlán oln mennséeet, mele nsául és ránul ellemehetőe, vetoron neveü. Jelölésüre nomttásn vston sedett s és n etűet hsnálun. Kéírásn ped lul, v felül vonássl eleü dott mennsé vetor voltát. Például: nomttásn éírásn helvetor r r v r Áltlán h e vetor, or nomttásn éírásn ármel vetor v Grfus áráolás: etoro áráolás rendívül semléletes, melet e ránított ss elépe. vetor nsáát (hossát) ss hoss el, ránát ped ss e véére tett níl (lásd 1. ár). 1

2 1. ár. vetor rfus áráolás vetor hossát -vl elölü, mt vetor solutértééne s soás neven. Előfordul, ho solutértéet eserűen cs -vl elöl. mnd no, v eenlő 0. Művelete vetorol: Össedás: H és ét vetor, or vetort ú értelmeü, ho ét vetor edőpontt e pont heleü e vetor önmávl párhumos eltolásávl, és ét vetor áltl fesített prllelormm átlóát tentü vetorn. össevetor rán öös pontól prllelormm átellenes csúcs felé mutt. + + ) ). ár. Két vetor össee (prllelormm sál). ár ) árá el vetor e evvlens előállítását. össedás műveleténe defnícóáól ól láts, ho vetoro össedás ommuttív (felcserélhető) művelet,

3 etor vlós sámml vló sorás: H e vetor és e vlós sám, or vetort ú értelmeü, melne rán -vl onos, h 0, és -vl ellentétes, h 0, nsá ped (lásd 3. ár). 3. ár Kvonás: Két vetor vonását össedás és vlós sámml vló sorás defnícó lpán értelmeü. össedás és vlós sámml vló sorás lpán értelmen lehet ét vetor ülönséét s. Leen és ét vetor, or 1 módon lehet értelmen ét vetor ülönséét (lásd 4. ár) ( = - 1) 4. ár. Két vetor ülönsée Esévetor: oln vetort, melne solútértée (hoss) esén, eséveorn neveü. H e vetor és vetor nsá, or 1/-vl sorov vetort, ráná muttó esévetort pun. 3

4 Jelölü et e -vel 1 e lón 1 1 e 1 E t elent, ho ármel vetor sát ráná muttó esévetor és e sám sortént előállíthtó. e hol e ráná muttó esévetor és Dstrutvtás sámml vló sorásr: Két vetor össeét sorov vlós sámml rr néve öveteő állítás: B: (lásd 5. ár). ( + ) + 5. ár háromsöe hsonlósááól övete, ho és oldlhossúsáú prllelormm átló s sorosár válto. Továá h µ és vlós sámo és e vetor, or öveteő állítás: B.: Mvel vlós sámml vló sorás vetor ránát nem váltott me cs vetor hossát, eért állítás evvlens vlós sámor vontoó dstrutív sorás sálll. 4

5 Slárs sorás: és vetor slárs sortán t vlós sámot értü, melet vel elölün és öveteő módon defnálun: cos, - hol és lletve vetoro hoss (nsá), ped ét vetor áltl eárt se sö (lásd 6. ár). cos 6. ár. Két vetor slárs sort 6. ár sernt med vetorn vetor ráná eső vetületéne vetor hossávl vló sortát. előállításól láts, ho slárs sort ommuttív. cos cos Két vetor slárs sorását el el semen vlós sámonál nem írt sorásellel. Előforduló elölés mé ét vetor slárs sorásár elölés s. slárs sort lehetőséet d rr, ho meállpítsu t, ho ét vetor merőlees emásr. Uns h ét nem null vetor slárs sort 0, cs ú lehetsées, ho defnícón sereplő cos Slárs sorás dstrutvtás: H pl. vetor ét más vetor össee c d or c d c d 5

6 Et neveü slárs sort dstrutvtásán (sétválsthtósá). Bonítást lásd 7. ár sernt. d c 1. c cos 1. d cos cos 7. ár cos c d c cos 1 d cos c cos1 d cos de 7. ár sernt c cos1 d cos cos í vlón dstrutvtás. etoráls sort: vetoráls sort eredméne vetor, melne nsáát ét vetor hossán (nsáán) és ét vetor áltl eárt sö snusán sort d ú mérve söet, ho vetortól felé órmuttó árásávl ellentétesen utun. sn ( nsá) vetor rán ped, vetoro áltl fesített sír merőlees rán, ú, ho, és (8. ár). vetoro osodrású tenelrendsert lotn 6

7 ... sn 8. ár etoráls sort vetor mnd, mnd vetorr merőlees és nsá és vetor áltl fesített prllelormm területével ee (lásd 8. ár). -ól -n erestül, órmuttó árásávl ellentétesen utun vetor ráná. defnícóól rötön övete, ho vetoráls sort nem ommuttív, hnem (lásd 9. ár) = - = - és áltl eárt sö és áltl eárt sö 9. ár o é sál fent sorás sál o é sál néven s smert. etoráls sorás dstrutvtás: H ét vetor össee c d or vetoráls sorásr s dstrutvtás (sétosthtósá) c d c d mvel e ln előállíthtó, eért -vl vló ostássl fent eenlet c d e c e d e lú. 7

8 Eért eleendő elvéen onítást ráná muttó esévetorr, mert -vl vló sorássl eredet állítást pu. d (c + d) c O e e c e d e (c + d) 10. ár etítsü e -re merőlees sír c vetort d vetort és vetületene hoss rendre (lásd 10. ár). hol c,e,,e eárt söet elöl. d és d, e Ee értée éppen c sn c,e, d sn d,e, c d snc d, e c d vetort. Een c e vetorn és c, lletve d, vlmnt c d -vel e c, e d és e c d sorto solút értée. Í h levetített ssól álló háromsöet 90-l O örül e -re merőlees sín ór árásávl ellentétes ránn elfordítu, éppen vetorot pu. Eel állításunt eláttu. e c e d és e c d etoro oordnátás l Leen e 1 és e unon sín lévő emássl 0 söet eáró esévetoro, or e uneen sín lévő tetsőlees vetor een esévetoro seítséével előállíthtó (lásd 11. ár). Heleü e három vetor edőpontát e öös pont, vetoro önmul párhumos eltolásávl. vetor vépontán erestül húun e-e párhumos eenest e 1, lletve e ránávl. Een eenese ee e 1 ránn elöl e 1 vetort, és más e ránn e vetort. 8

9 1 e1 e 1 e 11. ár vetor felontás ét e 1 és e esévetor ráná muttó vetorr prllelormm sál sernt 1 de 1 1e1 és e í 1e1 e E t elent, ho ármel e sín lévő, nem onos ránú ét esévetor llms rr, ho áltlu fesített sí ármel vetorát előállítsu. Más svl, 1 és sámo e 1, e esévetoro áltl fesített sín eértelműen mehtároá vetort. H nem ét esévetort hnem három nem esín lévő esévetort válstun, unet eredmént pu háromdmenós eseten s (lásd 1. ár). 3 e 3 e e 1 1, ár áráól prllelormm sál sernt 1, 3 9

10 de 1, 1, í 1 3 Mvel 1 1e1, e és 3 3e3 Í 1e1 e 3 e3 s vetor e 1 és e, e 3 úneveett ásvetoro áltl mehtároott áson 1, és 3 sámol eértelműen mehtároott. e 1 és e, e 3 len válstás leáltlános. orlt sámár án fontos eset, mor e 1 és e, e 3 ölcsönösen merőleese emásr. E mefelel Descrtes-féle derésöű oordnát rendserne, melne tenele merőleese emásr. Áltlánosn elfodott, ho Descrtes rendseren, és ráno muttó esévetoro elölése, és. 13. ár Descrtes-féle oordnát rendseren, és esévetoro Í e tetsőlees vetor de mől,, 10

11 Í e tetsés sernt vetor Descrtes-féle oordnát rendseren ellemehető e,, sámhármssl, vetor onosíthtó een sámhármssl.,, és -t vetor, és omponensene (oordnátán) neveü. Mvel, és ölcsönösen merőlees esévetoro, í slárs sort defnícóáól övetene öveteő össefüése: hol, Hsonlón 1 1 cos, 1 cos elöl vetorn önmávl eárt sö (0º) osnusát. ölcsönös merőleesséől hol, 1 és cos, 0 cos elent és vetoro áltl eárt sö (90º) osnusát. Hsonlón 0 0 Unú vetoráls sorás sáláól pu: 11

12 1 Össedás oordnátás sál (Descrtes rendser): Leen ét vetor és Eor felhsnálv vetoro vlós sámol vló sorásr vontoó dstrutív sálot:, s ét vetor össeéne oordnátá vetoro oordnátán össee. Slárrl vló sorás oordnátás l: Leen e vetor és e vlós sám. oordnátás l: slárrl vló sorás dstrutív tuldonsá mtt s mnden oordnát -sorosár válto. Slárs sorás oordnátás l: Leen ét vetor

13 13 Eor slárs sorás dstrutív sál mtt Mvel 0 és 1 í pu: Specálsn esetén melől m vetor solút értée. Meeeü, ho helett rn elölést hsnálá. etoráls sorás oordnátás l Leen és Eor Khsnáltu vetoráls sorás dstrutív voltát. Mvel 0 és Kpu

14 önne meeehetősé véett determnáns fetés sál sernt éppen fent eredmént d. Kettős vetoráls sort (fetés tétel) H, és c három vetor, or értelmen lehet c és c vetoráls sortot. c c és c sorto s értelmese de ee elő ettő 1-el vló sorásáól mephtó. Eért eleendő c és c vetoráls sortot vsáln. Kfetés tétel: H, és c tetsőlees vetoro, or öveteő ét onossá : c c c lletve c c c másod eenlősé elsőől mephtó, hsen e téneőcserével első eenletől pu 1 -el vló sorás után. c c c Betűcserével c ped eől c c c -t pun, melől c c helettesítés és 1-el vló sorás után c c c eenlőséet pu, m éppen másod onossá. Eért eleendő elátn cs első onossáot, c c c -t. Bonítás: 1) Néü elősör t esetet, mor. Eor mndét vetor e e esévetorrl feehető: e és e loldl nlván 0, hsen és párhumos eseten 0 ossöet ár e, eor ped vetoráls sort értée 0. o oldlról ped ehelettesítéssel láthtu e c e e c e e c e e c e e, ho 0, uns 0 s esetén eláttu állítást. ) és ne leen eránú.. Eor, h c -re állítás, or c s. Uns c c c eenletet mesorov -vl c c c eenletet pu. 14

15 . h c1 -re és c -re állítás, or c1 c -re s. Uns felírv eenlőséet c 1 és c -re, eeet össedv c1 c -re vontoó eenlőséet pun. össedás után c1 c1 c1 c c c c1 c c1 c c1 c Mvel, és három nem eránú vetor, eért ármel c vetor előállíthtó, és vetoro lneárs omnácóént, c. Í előe lpán elé tételt elátn c -r, c - re és c -re. vetor állítás nlvánvló, uns loldl 0, hsen mnden vetor önmávl épett vetoráls sort 0, o oldl ped helettesítéssel o dód. Mvel téneő 0-t dn. Már cs -r és -re ell olnun állítást, merőlees mnd -r, mnd -re, í és és eenlőséeet ell elátn. másod eenletet nem ell elátn, mert elsőől övete. Uns első eenleten -t -t pu. felcserélve -re elhsnálv eleendő elátn cs -r eenlőséet, e rán muttó esévetor. Eor feeését eenlősée -t és sorov eenletet -1-el, pu: -t, m éppen -re vontoó eenlősé. Eért. Leen e e e e e e e e e e Elostv -el öveteő eenlőséet pu: e l írhtó, hol. Beírv e e e e, v átrendeve e e e e 15

16 áráról eenlősé elentése önnen leolvshtó: sn.. e e =(e ) e (e ) = cos. sn = e E ped t fee, ho ármel vetort fel lehet ontn tetsőlees e ránú II vetorr és e -re merőlees, e, áltl mehtároott sín lévő vetorr. s II m áráól s nlvánvló. Eel tételt onítottu. etor-slár füvéne fán rn előfordul, ho e vetor nsá és rán (tehát vetor) e slár mennsétől fü. E lenlvánvló péld e test heletvetor, mel h test moo, or dőne füvéne. r t t t t E t elent teles áltlánossán, ho mndhárom oordnát t slár ( említett eseten dő) füvéne. oln füvént, mel e slár értééhe vetort rendel, vetor slár füvénne neveü. Áráolás: H vesün e mnden ees omponense t 1, t... t n, növeedő prméter sorotot, or t -he füvén hoárendel t t, és t. H r t 1, r t t n t =(e ) e II vépontt össeötü, e térel örét pun. (14. ár). r vetort, melne r vetoro r (t ) 1 J r (t ) r (t ) r (t ) n 16

17 H r t történetesen e pont helete dő füvénéen, or r t térel örét pont páláán neveü. etor-slár füvén dervált: Sosor fontos érdés, ho vetor slár füvén váltoóán onos meváltoásár mennvel válto me vetor. Enne ellemésére lellms dfferenc hándos, melet öveteő módon defnálun. Leen t és t t füetlen váltoó ét értée és r t, rt t hoáu rendelt vetoro. Értelemserűen dfferenchándoson 15. ár). r r t t t rt t feeést értü (lásd r J r (t) r (t+ t ) 15. ár r -t rt t rt d és mvel vlós sámml vló sorás értelmeett, í vn értelme r t és rt t 1 t -vel soron r vetort. pont áltl mehtároott húrvetort elent. r vetor r t öre H füetlen váltoó t váltoását ere sere válstu, or húr hoss s ere se les, í vn értelme t vsáln, ho h t -vel r mnden htáron túl trtun nulláho dfferenchándos (m e vetor) t 17

18 mlen értéű les (nsá és rán sernt). Et rövden ú feeü, ho r épeü htárértéet. t Jelölésen: t r dr lm t0 t dt H e htárérté léte, or í pott vetort r t vetor-slár füvén t slárértéhe trtoó dervált vetorán v dfferencálhándos vetorán r neveü. (Rövdítve dervált, dfferencálhándos). Jelölésére soás hsnáln. t dr t dt és r t -t előállításól nlvánvló, ho r t rán r t öre een pontáho trtoó érntőéne ráná mutt, hsen h t -t ere csöentü, or húr footosn átme öre r t pontel érntőée (16. ár). r 3 r r (t ) 3 r(t+t ) r(t+t ) r(t+t ) 1 t t t 1 3 r ár r1, r és r 3 vetoro hoss ere csöen és ránu ere on öelít r t pontel érntő ránát. H t heletvetor, or r t htárértéeént értelmetü, melne ránát r éppen e n pont elentése éppen seessévetor, mvel r t -t r rán, nsáát ped me, m dőesé ltt metett út. Í htáreseten t 0 éppen r t r t r t d 18

19 pálán moó n pont seesséét d me r t vetor. Soás pllntn seesséne s neven. Dervált vetor oordnátás l: Mvel derválás művelete lneárs, ét vetor-slár füvén össeéne dervált ees dervált össee, í h r t oordnátás láól ndulun, or: r t t t t. r. t t t t vs r t derválu. hol vetort ú pu, ho r t vetor ees omponenset r t d, dt t t t d dt r t és t t t d dt Slár-vetor füvéne: oln füvéneet, mele vetorho slárt rendelne slár-vetor füvénene neveü. Jelölése például v Leeserű példá erre, mor e vetorho hoárendelü solút értéet, v nn néetét. v letö slár-vetor füvén esetéen vetor váltoó helvetor. ésőeen áltlánossá sérelme nélül elölü vetorváltoót r -el. 19

20 Jelölésen e erést r módon írhtó, de feleme véve ho r -ne három omponense vn, r t s írhtu, ho,, s slár-vetor füvén ú s tenthető, mnt e háromváltoós füvén. 1 1 Például: r feeésen e állndó. H fent példán értée éppen 0, 1 or 0 feeés on ponto mértn helét elent, on,, értéhármsot, melere füvén értée éppen 0. Átlítássl 0 1 véve eenlet recproát: 0 E e öm eenlete, melne sur R. s 0 értéhe 0 trto e ömfelület, melne mnden pontán füvén 0 értéet ves fel. R= -ho trtoó sntfelület ár 0

21 Áltlán í dódó felületeet (m nem feltétlenül öm) dott slárvetor füvén sntfelületene neveü. Sosor fontos t tudn, ho e dott slár-vetor füvén r pontn felvett értééhe épest e r vetorrl rré lévő pontn mennvel válto me. Et füvén dfferencá htáro me: éeü el öveteő onos átlításot. r r r,,,,,,,,,,,,,,,. Láthtó, ho össe. és 3. t lletve 4. és 5. t et emást. Ossu el o oldl első ülönséét másod ülönséet és -vel hrmdt. Í -el és sorou s me, hsonlón -re,,,,,,,,,,, feeést pu. -l Láthtó, ho feeés első t háromváltoós füvénne dfferenchándos méhoá ú, ho és váltoó állndó. Uní másod t váltoó sernt dfferenc hándos möen és váltoó váltotln és véül sernt dfferenchándos möen és váltoó állndó. H, és cs, or fent dfferenchándoso ól öelíthetőe mefelelő váltoó sernt dfferencálhándosol, hsen dfferencálhándoso dfferenchándoso htárértéeént értelmeette. 1

22 Mvel füvénne mndhárom váltoó sernt dfferenchándos serepel feeésen, eért ees váltoó sernt dfferencálhándosot eváltoós füvénetől eltérően elölü:,,. Eeet prcáls dfferencálhándoson neveü. prcáls dfferencálás sálo eváltoós füvéneével onos. dott váltoó sernt dfferencálásnál más ét váltoót eserűen állndón tentü. Í füvén meváltoás: hol r h oln, ho h r h lm r 0 r 0. hr r hfüvén meelenése l fü össe, ho dfferenchándosot mefelelő dfferencálhándosol helettesítettü. o oldl első t ú tenthető, mnt ét vetor rd és r vetoro slárs sort. r rd r h. h 0 cs vételen csn mennsée esetén áll fent, eor d rd dr ln soás írn, hol d és d r, lletve r dfferencál. ( és r htárértée vételen csn mennséeet elölne). vetort,, slár-vetor füvén r pontel rdenséne, rdens vetorán neveü. Jelölésére hsnálu, hol -t nl operátorn neveü: rd v

23 . nl operátor e vetor operátor, mel slár-vetor füvénre ú ht, ho t prcáls dfferencálhándosoól e vetort épe., és sernt dfferencál és í előálló rd Kéírásn nl operátornál sosor vetor elölést - láhúást- el soás hn. Eserű írásmóddl. rdens ellemőe, ho mnd merőlees sntfelületére. E ól övete, ho sntfelület mentén értée e 0 állndó, í meváltoás h r vetor sntfelületen vn 0 ell, ho leen, 0 rd r, m éppen merőleesséet elent (Lásd 18. ár). sntfelület, een állndó r r. rd r, sntfelületen történő csn elmodulás 18. ár 3

24 vételen csn mennsée öött pcsoltot leíró össefüésől s övete, ho rdens vetor rán rán, mel ránn elmodulv slár füvén váltoás leors, leno, uns 0. d rd dr rd dr cos d or leno, h cos 1, d r és rd rán onos, etor-vetor füvéne oln füvéneet, mele vetorho vetort rendelne, vetor-vetor füvénene neveü. E eserű péld erre például sélseessé füvén, mel tér ülönöő pontn ( r helvetor) hoárendel ottn v sélseesséet (melne rán és nsá vn). fán előforduló vetor-vetor füvéne esetéen füetlen váltoó vetor áltlán helvetor, melhe füvén hoárendel e vetoráls f mennséet. áltlánossá sérelme nélül ésőeen füetlen váltoó vetort r -el fou elöln. vetor-vetor füvéne elölésére Koordnátás ln (Descrtes-rendseren) r r r r r írásmódot soás hsnáln.,,,,,, oordnátás l sernt vetor-vetor füvén evvlens három slárvetor füvénnel. 4

25 etor-vetor füvén dervált f llmáso sempontáól cs rtán fordul elő vetor-vetor füvén dervált. Mvel e vetor-vetor füvén, hon t meállpítottu eenértéű három slár-vetor füvénnel, ú dervált s három slár-vetor füvén dervált seítséével épehető. Í vetor füvén mndhárom omponensét slár-vetor füvénne tentve pu már vételen s mennséere felírt össefüéseet. d d d m mátr formán s felírhtó r rd r dr d d d r rd r dr d d d r rd r dr d d d d d d v rövdítve r dr r r r d d d d hol elölés fent mátrot elent. E t elent, ho vetor-vetor füvéne esetéen dervált e mátr, melne eleme ees vetoromponense prcáls dervált. etor-vetor füvén dverencá: f llmáso területén rn előforduló mennsé dverenc, mel vetoromponense onos prcáls derváltól öveteő módon áll elő: dv előállításól láts, ho dverenc e slár mennsé, m termésetesen r füvéne, hsen prcáls dfferencálhándoso s hel füvéne. hon fent írásmód s el, nem íru résleteen, hnem dv -vl elölü (rövdítü). Soásos írásmód mé (nl)-vetoroperátorrl vló feeés, 5

26 6 mel vetoroperátor és vetor formáls slársortént értelme dverencát dv. etor-vetor füvén rotácó vetor-vetor füvén esetéen rn hsnált más mennsé vetorfüvén rotácó. Mí dverenc slármennsé, rotácó prcáls derváltól épett vetormennsé. Képés sál leeserűen nl operátor és vetor formáls vetoráls sortént értelmeett; melet omponensenént írv pu Soásos elölése mé vetor rotácóán rot ( nolsás területen curl elölés s elteredt). előőeen mesmeredtün rdens, dverenc és rotácóépés sálvl. Grn előfordul fán, ho een műveleteet emás után ell llmn. Í vn értelme : rd dv -ne rot dv -n rd rot -ne rot rot -n

27 7 Néü me felsorolt operácót! Lplce operátor: rd dv operátort -mvel rn előfordul llmáso során- ülön névvel elölü, Lplce operátorn neveü. Külön elölést veetün e rá: v. elölést nl néetne, elölést ped Lplce operátorn soás neven. E perse cs étféle elölés. elhsnálv rdens -és dverenc épés sált: dv rd dv = dv (rot ) r rot dv feeés n eseten értelmeett, h r vetor-vetor füvén ármel omponenséne másod dervált létene. eleme véve rotácó épés sált írhtu: dv Khsnálv, ho vees prcáls dfferencálhándoso meeene például feeés onosn 0-t d ármel r vetor-vetor füvénre. s 0 r rot dv

28 rot (rd ) eleme véve rdens és rotácó épés sálát: rot rd vees prcáls dervált eenlősée mtt e sntén onosn nullát d. s rotrd 0 ármel -re rot (rot ) rot rot épése rotácó épés sálo étser llmásávl mehtárohtó. Mvel sámítás nem rövd, eért cs véeredmént íru fel (eéént nem onolult vécsnáln). rot rot r rd dv r Láthtó, ho o oldlon meelent rd dv és meelent e már smert operátor Lplce operátor, melet edd cs r slárfüvénre értelmetün. E feeés een értelme (Lplce) operátor vetorr vló llmását, mel feeés sernt t elent, ho vetor mndhárom omponenséne, mnt slárfüvénne ell venn Lplce-át, Eé rn előforduló vetor nlísel onossáo: dv dv r B r Br rot r r rot Br rot rd r r r rd r r dv r r r rd r r rot r r r r rd r r rd r 8

29 leveetése dverenc, rotácó és rdens épés és -dfferencálás sálo felhsnálásávl eserűen elvéehető. Slár értéű térfot nterál Leen háromdmenós téren. r vlmel slár vetor füvén és e vées térfot felület térfot r 19. ár Seletelü fel emássl párhumos síol dott térfot,,, és, síol párhumosn. Í térfotot,, oldlhossúsáú téltestere ostottu, eltentve térfot htárfelületéne örneete. H ere csöentü seletelő sío távolsáát, or elem térfoto s ere csöenne (lásd 19. ár). slár-vetor füvén térfot nterálát öveteő htárértéént értelmeü és elölü: hol r vetor lm n r r ddd d r oldlhossúsáú téltesten vn. t mondu, ho h elő htárérté léte, or r füvén térfot nterál léte térfotr néve. H r történetesen r 1 füvén, or fent nterál éppen térfot nsáát d. 9

30 elület nterál elület normáls: Tentsün e felületet, melet mnt tudu például e r állndó slárvetor füvénnel dhtun me. 0 n Tudu t s r 0 0. ár állndó slár-vetor füvénenél tnultól, ho rd r merőlees sntfelületre, felület mnden pontán í értelmehető e esévetor rd rd r r módon, mel felület mnden válstott pontán (loálsn) merőlees sntfelületre. í defnált esévetort felület r pontáho trtoó normálvetorán neveü. n r rd rd Leen e felület dv vlmel r slár-vetor füvén áltl és leen r r r e vetor-vetor füvén, mel felület pontn értelmeett. (, ) síl és (, ) síl párhumos síol seletelü fel felületet (lásd 1. ár). felület n 1. ár 30

31 Een sío metsésvonl e-e pontn átdöf felületet. Mnden ees döféspontot össeötve somsédos pontol emásho llesedő háromsöeet pun. H sío távolsáát csöentü, een háromsöe ere on elesmuln eredet felülete. elületelem-vetor Mnden s háromsöhö rendelü hoá háromsö síár merőlees normálvetort. H n normál-vetort mesorou s háromsö f területével, or et vetort felületelem vetorn neveü, melne nsá felületelem területe, rán ped merőlees s háromsö síár. f n f elület nterál defnícó: r vetor felületre vontoó felület nterálán neveü öveteő htárértéet: lm n f 0 1 nr f lm r f r r df r n f 0 1 r df Rövdített elölés defnícón sereplő slárs sorást elent, í nterál értée s slár. r vetor felületre vett nterál tehát t elent, ho venn ell r vetorn felület r pontel normál-vetor ráná eső vetületét és t soron ell elem felület nsáávl és et össeen ell teles felületre. Guss tétel Leen r mnden omponenséen mndhárom váltoó sernt foltonosn dfferencálhtó vetor-vetor füvén e térfotn és leen e árt felület, mel térfotot éppen öeár. Eor öveteő állítás: rdf dvrd 31

32 loldlon nterálelen levő s ör t el, ho árt felületről vn só. tétel tehát t mond, ho e vetor árt felületre vett felület nterál eenlő uneen vetor dverencáán árt felület áltl htárolt térfotr vett térfot nterálávl. B.: Elősör lássu e állítást e csn,, élhossúsáú téltestre (lásd. ár). ( ) ( ) ( + ) r ( ) ( ). ár Íru fel felület nterált erre s téltestre. tenelre merőlees felülete normáls hátsó és elülső oldllpor, eért slárs sorásn cs serepel. Í mnd ht lpot feleme véve df tenelre merőlees ét felület árulé tenelre merőlees ét felület árulé tenelre merőlees ét felület árulé elhsnálv, ho dfferenchándos és dfferencálhándos öel eenlő és m nnál on, mnél se,,. 3

33 Eeet eírv előő eenlete pu: df m rövdítve ú s írhtó, ho df dv hol téltest térfot. Láthtó, ho e elem téltestre vontoól össefüés. (E een dverenc oordnát füetlen defnícóát s med: lm 0 df dv ) H tetsőlees térfotról vn só, or t fel ell ontn elem téltestre (lásd 3. ár). -n n 3. ár Mvel állítás mnden elem télár, í össeüre s. Mvel téltest elseéen emássl érnteő télteste árulé felület nterálás során et emást, hsen érnteő felületelem vetor onos nsáú, de ellentétes ránú, eért felület nterálho cs érdéses térfot felületén elheleedő, nem sálos télteste dn áruléot és o ülső felülete éppen d felületet (lásd 3. ár). 33

34 Í e válstott téltestre felírt df dv eenleteet össes első téltestre, és térfot sélén lévő nem sálos téltestere össeeü, or df lm dv r r 0 feeést pu. Mvel elmondott sernt első téltest felületeleme árulé et emást, í loldl éppen ülső felületre vett nterált, nterálát. Í véeredmén: mt onítn ívántun. f r d -et d, o oldl ped r df dv rd dv térfot onlment nterál Leen r e vetor, és leen t r vlmel vetor-slár füvén. r t e térel örét ír le, melne tentsü ét pontát r1-et és r -t (lásd 4. ár). r 1 1 r 1 r r 1 r (r ) r 1 ( r ) cos 4. ár 5. ár 34

35 Ossu fel r 1 -től r - teredő örét csn húror. r örére vett vonlment nterálán értü öveteő htárértéet: lm r r r dr r r 0 r r1 r r1 r dr rövdített elölés. vetor r t vonlment nterál slárs sorás defnícóát feleme véve t elent, ho venn ell r vetorn r ráná eső vetületét és t soron ell elem húr hossávl és í pott sortot össeen ell öre mentén r 1 -től r - (lásd 5. ár) vonlment nterál tehát slár mennsé. H ere fnomítu öre felostását, r -t ere sere válstu, or -d húr ere ná r pontel érntővel onos rán mutt. H öre árt, vs r1 r, or árt örement nterálról esélün, melet nterál elén lévő ör ele. Jelölése: r dr H r t örét onrétn nem du me, cs vlmel öre ment nterált elölün, or nterál lá írt etű el t. örére vett vonlnterál ele r dr. H öre árt, or r dr Stoes tétele: Leen r e vetor-vetor füvén, melne mndhárom omponenséne mndhárom váltoó sernt dervált léte és foltonos e trtománn. Leen továá e tetsőlees árt öre és e tetsőlees felület, melne séle öre említett trtománn (6. ár). n felület 6. ár 35

36 Eor öveteő tétel : nterál eenlő r vetorn árt örére vett vonlment rot r vetor felületre vett nterálávl ( öre örülárás és felület normáls o csvr sernt vn emásho rendelve) r dr Et tételt neveü Stoes tételéne. rot rdf B.: Elősör lássu e tételt e csn felületdrr (lásd 7. ár). r n f = f n n felület normáls r 7. ár öre pontt s felület e első pont r örül ír le r ' vetor. Mvel csn felületről esélün, eért r ' s cs. árt öre ment nterál l. d' d' d' hol d ', d', d' d r' vetor, és omponense. Néü nterál első tát: r r' d' Ismerve, ho r r' r' ' ' ' Í r r' helére eírhtu r r' r' ' ' ' se feeést, m nnál ná, mnél ', ' és '. ehelettesítés után nterál első tár pu: 36

37 r r' d' r' r ' d' d' r r ' d' 'd' r Mvel, r ', r ' és r ' nem, füene ', ' és ' -től, eért vehető nterál elé (hsen állndó). Í nterál első t: r r' d' r d' 'd' ' d' ' d' feeés első ét t 0-t d. első ért, mert öre mentén ören d' -et össedv nlván 0-t pun, hsen vssutun eredet pont. másod nterál értée ment cs 0, mert nterál lsó és felső értée onos. ' 'd' 0 hol " " ndulás pont oordnátá. 3. t árulé rános 'd', sír vetített felület területét méhoá netív előellel, dott ránú örenárás esetén. -vel m med felületne III. r d II. 8. ár 8. ár ' d' nterál sámítását mutt, hol elölt örenárás esetén ' potív és d ' netív I.-el és II.-vel elölt trtománn, mí III. és I. trtománn ' netív és I. I. I.-II.-III. és I. trtománon. E d netív előelet. d ' potív. Í sorto mndvé netív 37

38 nterál solút értée ped nlván felület vetületéne sín területét d, m f felületelem-vetor omponense, : f n, hol tenel ráná muttó esévetor. nterál más 0-tól ülönöő áruléát 4. t d, melne értée med felület sír eső vetülténe területét potív előellel, f felületelem-vetor omponensét f n -t. Í vonlnterál első t r r' d' r f n f n onlnterál másod és hrmd tár hsonló módon, mnt elsőre öveteő dódn: Í teles vonlment nterál r r' d' r r' d' r f n f n r f n f n r r' dr' f n f n f n Mvel f n f f n f f f n f o oldl nem más, mnt már defnált slárs sort, r r' dr' rot r f r rot és f felületelem-vetor (E een rotácó épés oordnát füetlen értelmeését d: hol n f felület normáls). r r' dr' lm f 0 f rot n r, 38

39 H nem elem felületről vn só, or felületet ossu fel elem felületere. Ee mndeére elő olt össefüés, eért h össes elem felületre felíru leveetett össefüést és eeet össeeü, or öveteőet pu: lm f 0 r ' dr ' lm rot r f r f 0 De néü me, ho l oldlon lévő vonlnterálo össee mt s d. Rolu fel felület felostást (lásd 9. ár). 9. ár Láthtó, ho nem öre mentén lévő felületelemeet htároló örement nterálo et emást, mert somsédos érnteő elemeen vonlment nterálás rán ellentétes, í csupán sélen lévő öre mentén lévő felületeleme dn áruléot, m d. Í véül pu: o oldl 0 r-ne éppen öre ment nterálát dr lm rot r f r f 0 f esetén éppen r r dr rot rdf rot -ne felületre vett nterál, mt onítn ívántun. 39

40 Néhán övetemén 1) r leen eser foltonosn dfferencálhtó mndhárom váltoó sernt. Leene B C r 0 0 r 0 0 r 0 0 vetoro. Mndhárom vetorr felírhtu Guss-tételt. df df dv r d d mvel -n cs omponense vn B df C df df dv B r d d mvel B -ne cs omponense vn df dv C r d d mvel C -ne cs omponense vn. -r vontoó eenletet sorov -vel, B -re vontoó eenletet sorov -vel, és C re vontoó eenletet sorov -vl össedv eenleteet pu: df rd d Tehát e slár-vetor füvén vetor értéű árt felületre vett nterál eenlő, slárfüvén rdens-vetorán uneen felület áltl örefoott térfot nterálávl. ) Leen r Guss tételne eleet tevő vetor-vetor füvén. r Képeü öveteő vetorot: r lú. ' 0 0 r ' ' 0 0 ''' r

41 vlmnt r B' 0 0 r B'' 0 0 B''' r 0 0 Mvel eleet tett Guss-tétel feltételene, í ', '', ''', B ', B '' és B ''' vetoro s eleet tesne hsen omponenseől felépülő vetoro. llmu mnde vetorr Guss-tételt: dv ' r d d df dv '' dv ''' dv B' dv B'' dv B''' r r r r r d d d d d d d d d d df df df df df. eenletől vonv utolsót, 3.-ól vonv 4.-et és véül 1.-ől vonv 5.-et öveteő három eenletet pu: d df df d d df df df df 41

42 4 í pott első eenletet sorov -vel másodt -vel, hrmdt -vl és eeet össedv pu: d df df df df df df m rövdítve f d r d rot r írhtó. ooldlt vetoráls felület nteráln neveü. s e vetor rotácóán térfot nterál eenlő vetorn térfotot örülvevő felületre vett vetoráls felület nterálán mínus eseresével.