V. Vektoranalízis. = vektorok összeadására a grafikus. összeadási technika helyett az alábbi algebrai összefüggés vonatkozik:

Átírás

1 V. Vetoanalís fa émában gaan találoun olan mennségeel, melene csa nagsága van, len például a tömeg, a dő és a hőmésélet. Ee salá mennsége. Étéü a válastott oodntátaendsetől és anna oentácóától független. Uganao több, sámuna édees mennség elleméséhe a nagságon ívül eg án s tato. Ilen például a elmodulás, a sebesség, a gosítás, a eő, a mpulus (lendület) és a mpulusnomaté (pedület), a eletomos lletve mágneses té (a eletomágneses té). Nagsággal és ánnal ellemehető a veto mennsége. salá mennségetől töténő megülönbötetés édeében a vetooat félövé betűel elölü, folóíásban pedg gaan níllal a mennség ele felett. Fogalma (a) a vetoo énelmesen epeentálható eg ánított saassal (níllal), melne hossa a veto nagságával ege meg, ána pedg a veto ánával a R n - dmenós vetotében (általában n (sí) lletve n 3 (3D Euldes té) a soásos válastás); vetoo össeadása eo a vetoo egmás után heleését elent (első veto végéhe llestü a másod veto eleét ), mad a háomsög sabál sent a össeg veto a első veto ndulás pontától a másod veto végpontág tat (b) a egségvetoo a válastott oodnátaendse (pl. Descates-oodnátaendse) tengele ánába mutatna, elöl a potív és negatív ánoat, hossu egségn (aa nem csa otogonálsa, de otonomálta egmása, e e δ ) (c) bás, a adott oodnátaendset egételműen fesítő egségvetoo össességét básna, a báselemeet pedg básvetoona neveü (d) vetoalgeba sabála (a, b és c, vetoo, m és n saláo): a b b a, a össeadás ommutatív a (b c) (a b) c, a össeadás assocatív m(na) (mn)a n(ma), a sámmal soás assocatív (m n)a ma na és m(a b) ma mb, a salásoás dstbutív (e) a és e e e B e B e B e B vetoo össeadásáa a gafus össeadás techna helett a alább algeba össefüggés vonato: ± B e ± B ) e ( ± B ) e ( ± B ) ( (f) vetoo felíásáho többne elegendő a omponense megadása és a egségvetoo elhagása, pl.,, ), a omponense lehetne valós és épetes ( sámo s (vag általában bámlen más obetumo) (g) veto soása sámmal csa a veto nagságát váltotata meg, ánát nem (h) a e e e veto hossa R 3 -ban ( ) 1/ m n mn 39

2 () vetoo R 3 -ban egenlőség: B, eo BB, 1,, 3 össeadás: B C, eo BB C, 1,, 3 salás soás: a ( a1, a, a3), a valós negatív veto: ( 1) ( 1,, 3) null veto: 0 (0,0,0) Mntafeladato du össe a a ( 5 3 a) és b (e 15 3 b) vetooat. e 10 Megoldás: a b. 0 a b Nomálu 1-e a v (1,, 3) vetot. v Megoldás: e e Gaoló feladato N N v 1, 14, Talála meg at a vetot, mel meőleges a U és a V vetooa. M a helet ao, ha at s megövetelü, hog enne a vetona a hossa egségn legen? 40

3 V.1 Salásoat Fogalma (a) ét veto, és B, salásoatáa fennáll, hog aa a salásoás ommutatív (b) a salásoása fennáll, hog B B B B, B B cosθ, ahol θ a ét veto által beát sög (c) a salásoat eg leggaobb alalmaása a muna eő téítés cos θ feeés apcsán tötén, amelet úg ntepetálun, hog a téítést megsoou a eőne a téítés ánába eső poecóával, W F S (d) amennben B 0 és tudu, hog 0 és B 0, úg cos θ 0, tehát θ ±90, ±70, stb., és a ét veto egmása meőleges (otogonáls) (e) a salásoat valóban salás mennség, aa nem függ a oodnátaendse elfogatásától (nvaáns a fogatás műveletée) Gaoló feladato Bonítsa be R -ben, hog a salásoat valóban nvaáns a Descates oodnátaendse elfogatásáa. B B B. Mutassa meg, hog ( ) ( ) (Nehé!) Két dpólusnomaté veto, μ 1 és μ, ölcsönhatását mnd vetoáls, mnd salás, μ μ V 3 1 μ 3( μ1 )( μ ) 3 5 μ V, ( cosθ cosθ snθ snθ cos) alaban lehet feen, ahol a ét dpólveto edőpontát össeötő veto, θ 1 és θ a és a dpólvetoo által beát sög, míg φ a dpól sío elfodulását leíó dédees sög. Mutassa meg, hog a ét feeés egmással evvalens. 41

4 V. Vetoáls (eest) soat Fogalma (a) ét veto, és B, vetoáls soata a ét veto által beát sög snusát és nem osnusát alalmaa, valamnt nem salát, hanem vetot eedméne, a eedménveto meőleges a ét veto által fesített sía és a, B és C vetoo obbsodású oodnátaendset alotna: C B és C B snθ (b) a vetoáls soás antommutatív, (c) a B B B B snθ megfelel a öös edőpontban felvett ét veto által fesített paallelogamma teületéne (d) a vetoáls soat veto ellege a általun megsoott geometa té háomdmenós temésetével van apcsolatban (ld. geometa algeba, pl. Clffod algeba általánosításat) (e) a C vetoáls soat ( C B B,,, mnd ülönböő) elemene memoálását segít a alább detemnáns ala: Gaoló feladato e e e C e e B B B B B B B Bonítsa be a osnus-tövént abból ndulva, hog ( B C). mennben adott a alább háom veto, P 3 e e e, Q 6 e 4e e, és R e e e, találon ettőt, mele meőlegese és ettőt, mele páhuamosa, vag ellentétes ánúa. Bonítsa be, hog ( B) ( B) ( B) ( B). e B B 4

5 V.3 Hámas salás és vetoáls soato Fogalma (a) háom veto,, B és C, hámas salás soata a alább módon eül defnálása: ( B C), am eg salát eedméne (nnen a elneveés) (b) a áóelet el s lehet hagn (a gaolatban el s hagá), hsen ( B) C salá és eg veto vetoáls soatát elentené, am nncsen defnálva (c) önnen belátható a magas smmetáa enne a feeésne, hsen B C B C C B C B B C C B (d) at s édemes megegen, hog a salás és a vetoáls soás soende s megcseélhető: ( B C) B C (e) e a feeés s legönnebben eg detemnáns segítségével memoálható: B C B C (f) a hámas salás soat geometa elentése: a öös edőpontban felvett háom veto által defnált paaleleppedon téfogata (g) háom veto,, B és C, hámas vetoáls soata a alább módon eül defnálása: ( B C), vetot eedméne (nnen a elneveés), és a áóelet nem lehet elhagn (h) fennáll, hog ( B C) B( C) C( B) B C B C eg 43

6 V.4 Nabla (del) tt megadott defnícó a megsoott 3D Descates-tée vonatona, a fa és fa-éma alalmaásona megfelelően. legtöbb fogalmat csa Descatesoodnátá esetében defnálu, más oodnátaendseee töténő (amúg soso alalmaott) általánosításu túlmutat tágalásunon. Fogalma (a) nabla (del) veto: : e e e, dffeencáló veto opeáto (mndét tuladonság fontos a vele töténő munálodáso) (b) gadens (gad, ), a nabla veto saláfüggvéne hat és vetot eedméne (c) dvegenca (dv, (d) otácó (cul, eedméne ), egseű teestése a gadensne veto függvénee ), vetoa hat és a vetoáls soás eedméneént vetot Legen a függvénne háom váltoóa,, és. Eo a teles dffeencála at íhatu, hog d(,, ) ( d, d, d) (,, ) [ ( d, d, d) (, d, d) ] [ (, d, d) (,, d) ] [ (,, d) (,, ) ] d d d a at a fontos övetetetést vonhatu le, hog a teles dffeencál eg salásoat, melne eg taga a d oodnáta veto, más tagát pedg a függvén ánment deválta alotá. gadens geometa elentéséne megétéséhe épeü a salásoatát a hossváltoás d d d d vetoával. Eo a öveteő, önmagában s tanulságos állítást apu: d d d d d. Most tentsün eg adott felület esetén ét olan öel P és Q pontot, melee (,, ) C, ahol C onstans, aa Q távolsága P-től d. Temésetesen, mnthog a válastott felületől nem modulun el, íg d d 0. E at mutata, hog a gad gadensveto meőleges a felület adott P pontáa, hsen d tetsőleges ánt vehet fel. s meggondolható, hog amennben ét, C 1 -gel lletve C -vel ellemehető felület öött mogun, úg a gad gadensveto a legövdebb utat defnála a ét felület öött, aa mamáls megváltoásána ánába mutat. 44

7 Mntafeladato Sámítsu a V ( ) V ( ) potencál gadensét. V ( ) V ( ) V ( ) Megoldás: V ( ) és V() pl. -től a () apcsolaton eestül függ. Mnthog V ( ) dv ( ) d és ( ) 1/ ( ) 1/, stb., íg 1 dv ( ) dv ( ) dv ( ) V ( ) ( ) ˆ, d d ahol ˆ a potív ánba mutató adáls egségvetot elöl. Gaoló feladato 3/ Sámítsa S (,, ) ( ) esetén a gadenst a (1,, 3) pontban. 45

8 V.5 Dvegenca, a opeáto Vetofüggvéne dffeencálása egseű teestése a salá mennsége dffeencálásával apcsolatban elmondottana. Ha egsee fgelün a nabla veto művelet apcsán anna mnd a dffeencáló, mnd a veto tuladonságáa, ao vlágos, hog V V V V, és et a salá mennséget a V vetofüggvén dvegencáána neveü. Mntafeladato Sámítsu a oodnátaveto dvegencáát. Megoldás: ( ) 3. Sámítsu a centáls eőté dvegencáát. Megoldás: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 f ( ) df d 3 f ( ) df d df d df d. Gaoló feladato 1 Mutassa meg, hog amennben a centáls eőté alaa f ( ) n, úg anna dvegencáa n -e eltűn (éus). f ( f ) V f, am eg saláfüggvén és eg vetofüggvén soataént apott mennség dvegencáána sámításáa solgáltat fomulát (a eedmén nagban emléetet a soatfüggvén dffeencálása apcsán tanultaa). Mutassa meg, hog ( V) V 46

9 V.6 Rotácó (cul), a opeáto Eg más lehetőség a nabla veto és a vetofüggvéne apcsolatában a, hog a ettő vetoáls soatát ( eestsoatát ) épeü. Eo a öveteő össefüggést állapíthatu meg a vetoo vetoáls soása apcsán tanulta alapán: ˆ V V ˆ V ˆ, V et a veto ellegű mennséget a V vetofüggvén otácóána neveü. Mntafeladato Sámítsu a centáls eőté otácóát. Megoldás: ( f ( ) ) f ( ) [ f ( ) ], ahog a első gaoló feladat mutata. Können megmutatható, hog 0 (mnden épendő veges devált éus). Koábból tudu, hog f ( ) ˆ( df / d), tehát df ( f ( ) ) ˆ 0, aa a centáls eőté otácóa nulla. d Gaoló feladato Mutassa meg (legegseűbb elősö a eg omponense megmutatn), hog ( f V ) f V ( f ) V, am eg saláfüggvén és eg vetofüggvén soataént apott mennség otácóána sámításáa solgáltat ól alalmaható fomulát (a eedmén analóg a dvegencánál megsmet eedménnel). 47

10 V.7 Nabla többsö alalmaása gadens (salából veto), a dvegenca (vetoból salá) és a otácó (vetoból veto) fogalmána megsmeése után felmeülhet a édés, hog m tötén, ha a apott mennségee smételten hattatu a nabla veto opeátot. alább öt esetet ülönbötethetü meg, amennben salá, míg V veto ellegű mennség: (a) dv gad (b) ot gad (c) V gad dv V (d) V dv ot V (e) ( V) ot ot V. Mnden eges esetben másod deváltaat maguban foglaló feeéseet apun a művelete eedméneént és mnden fellépő mennség seepel a fában és a fa émában, ülönös tentettel a eletomágnesség elméletée (lásd Mawellegenlete). Mndaonáltal a feeése nem egfomán fontosa, íg elen helen csa a első ettővel foglaloun ésletesen. Össefoglaló tábláat a nabla-t alalmaó feeéseől, ahol U és V salá, míg és B veto ellegű mennsége : Kfeeés Ételmeés ( U V ) gad( U V ) U V gad U gadv ( B) dv( B) B dv dv B ( B) ot( B) B ot ot B ( U) ( U ) U ( ) ( U) ( U ) U ( ) ( B) B ( ) ( B) ( B) ( B ) B( ) ( ) B ( B) ( U ) U U U U ( U ) 0 (ot gad U 0) ( ) 0 (dv ot 0) ( ) ( ) 48

11 Mntafeladato Sámítsu a dv gad feeést. Megoldás:, és íg önnen megmutatható, hog. Gaan előfodul, hog a helett a elölést alalmau. Sámítsu a ot gad feeést. Megoldás:. detemnáns fetéséből adód, hog 0, feltéve, hog a pacáls dffeencálás soende felcseélhető. E fennáll, amennben a függvén másod pacáls deválta foltonosa. a at a általánosan événes eedmént aptu, hog a gadens otácóa aonosan nulla, a pobléma fa öülménetől függetlenül. Gaoló feladato Mutassa meg, hog amennben a centáls potencál alaa, úg, am eltűn n 0 (a potencál onstans) és n 1 (Coulomb potencál) esetée (aa a Coulomb-potencál megoldása a ún. Laplaceegenletne). n V ) ( 1) ( dv gad n n n V 0 ) ( V 49