Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra

Átírás

1 7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát olan rendezett érték n-eseket tartalmaz amelnek k. eleme a k. halmazból való. Példák:. A={} B={789} akkor AB={789789}. ={ } Descartes koordnáta-rendszerrel megadott sík pontja 3 Példák drekt szorzatra Adatok:= Nevek Városok Utcanevek Házszámok= {Nag Janka Budapest Fő u. Nag Janka Budapest Fő u. 6 Nag Janka Budapest Fő u. 7.. Nag Janka Budapest Kossuth L. u.. Nag János Budapest Fő u...} A drekt szorzat az összes lehetséges kapcsolatot tartalmazza. Ezért a relácó amel a valód kapcsolatokat reprezentálja ennek rzhalmaza. 4

2 7..9. elácó elácónak nevezzük a D D D n drekt szorzat bármel rzhalmazát: r D D D n Tehát a relácó s rendezett n-esek halmaza Bnárs relácó - rendezett párokból áll r A B = { a b aa b B } pecáls eset: A=B A halmazon adunk meg relácót 5 Alkalmazás: adatbázskezel - relácós algebra Példa : NEPTUN A rendezett n-eseket vags a relácókat tárolják. Ezt táblázatként rövden táblaként képzelhetjük el. A tábla eg sora az ún. rekord a relácó eg eleme. Pl. a relácó neve: Hallgató Doman halmazok: Név Neptun-kód Hallgató Név Neptun-kód Települ Lakcím Telefon E-mal E relácó eg eleme pl.: Netuddk_Bobojsza NETBO Négszögletes_Kerek_Erdő 3_fa_4_ága NULL NULL elácós algebra 6 Jelölek bnárs esetben Példa X Y X Y ksebb mnt relácó pl. az A={} a B={3} halmazokon a. : relácóban áll -nal b. : relácóban áll -nal elsőrendű logka PÉLDA X={} Y={789} r={89 89} a b A megszokott jelölsel: < < < 3 < < 3 < 3 Halmaz jelölsel AB={33 3} összes lehetséges eset melből csak az pros betűsek tartoznak a relácóba: ={333} AB 7 8

3 7..9. Eg A halmazon megadott bnárs relácó szokásos tulajdonsága efleív: ha mnden a A esetén aa Példa: A = {34} ={33344} refleív = {33} NE refleív 9 Eg A halmazon megadott bnárs relácó szokásos tulajdonsága zmmetrkus: ha ab akkor b a Példa: A = {3} ={33} s szmmetrkus Példa: = {333}. nem szmmetrkus mert 3 Példa: E:= {emberekneve} okona Eg A halmazon megadott bnárs relácó szokásos tulajdonsága Tranztív: ha ab É bc akkor ac Példa: A = {34} = {334443} s tranztív mert 3 & 3 4 & 4 43 & & 3 4 Példa: E:= {emberekneve} okona EKVIVALENCIA ELÁCIÓ Eg A halmazon megadott bnárs relácó EKVIVALENCIA relácó az A halmazon ha az alább három tulajdonság teljesül: efleív : a a zmmetrkus: a b b a Tranztív: a b b c a c Példa: A = {3} = {3333} 3

4 7..9. Példák ekvvalenca relácóra. Tekntsük a valós számok halmazát: mnden =. Tekntsük az emberek halmazát: E:= {emberekneve} okona eflevtás? 3. Tekntsük a termzetes számok N halmazát: mnden ab N a b ha 3-mal osztva uganaz a maradék: a = +m b=3l+m klm N 3 3. Példa foltatás N N a b a n k m b n k m ahol n n m N vags ha a azt az m maradékot adja k-val való osztáskor mnt b Jelöl:. a b modk Olvasd: a kongruens b modulo k 3 aradék osztálok Az eges osztálokat ez esetben maradék osztáloknak hívjuk. Az osztálok dszjunkt halmazok unójuk N: N 4 H H j Partícó=Osztálozás Partícó: A H halmaz olan rzhalmaz-rendszere amelre n Példa: Az előző példában a maradékosztálok a termzetes számok eg partícóját adják H H 5 Partícó Tétel: Ha a H-n defnált H H relácó ekvvalenca relácó akkor az egmással relácóban álló elemek által alkotott rzhalmazok a H halmaz eg partícóját adják. Az eges osztálokat általában ekvvalenca osztáloknak ezek bármel elemét az adott osztál reprezentánsának nevezzük N 6 4

5 7..9. TF. Legalább két ekv. osztál van. Állítás: Dszjunktak Bzonítás: Ha j akkor H H j ugans ha lenne közös elem akkor az ekvvalenca relácó szmmetrkus tranztív tulajdonsága matt az összes elem tt lenne vags nem létezne a partícó: a H bk H a ~ b a H j cl H j a ~ c j szmm.: b ~ a Tranztív b ~ c H H j j TF. Legalább két ekv. osztál van. Állítás: Unójuk az egz H halmaz: n H H H vel a relácó refleív bármel elemet s választjuk k az benne van valamelk ekvvalenca osztálban: a ~ a H a H 7 8 Tétel az előző megfordítása: Ha a H halmaznak adott eg partícója akkor a H halmazon megadható eg ekvvalenca relácó: az ekvvalenca osztálok a partícó halmaza. ásképpen: eg elem relácóban van eg máskkal ha uganazon osztálba tartoznak. Ekvvalenca relácó defnícója: efleív mert a ~ a zmmetrkus mert ha a H a a ~ b b ~ a ~ b a H b H ha a H a H b H A = {3} az A-n: Példa ={3333} Döntse el ekvvalenca relácó-e? Tranztív mert a ~ b b ~ c a ~ c ha a H b H c H 9 5

6 7..9. Példa: ksebb vag egenlő relácó PÉLDA relácót a valós számokon íg defnáljuk: A = {3} = {3} efleív? zmmetrkus?? Tranztív? nem szmmetrkus 3 nem antszmmetrkushszen A = {3} = {} Bnárs relácó tulajdonság: Antszmmetrkus: HA ab É ba AKKO a=b szmmetrkus s meg antszmmetrkus s Parcáls/rzben rendez relácó efleív: a a Antszmmetrkus: HA ab É ba Tranztív: HA AKKO a=b a b É b c a c 3 Példa parcáls rendezre Tetszőleges H halmaz hatvánhalmaza a halmaztartalmazás szernt rzben rendez: H:={3} H ={{}{}{}{3}{}{3}{3}{3} {} {3} {} {} {} {3} DE például {} {3} nem összehasonlítható parcaltás 4 6

7 7..9. Példa parcáls rendezre : a b a nem negatív egzek halmazán Z + efelív: a a Antszmmetrkus: a b b a then a = b a b azt jelent hog a b b = k a b a azt jelent hog b a a = k b b = k a = k k b = k k b ekkor k = k =. vag valóban: a = b Tranztív: a b b c akkor a c a b azt jelent hog a b b = k a b c azt jelent hog b c c = k b a c azt jelent hog a c c = k 3 b= k 3 k a=k 4 a Teljes rendez Defnícó: Teljes a rendez relácó ha relácó adott H-n közül legalább egk teljesül. Bármel két elem összehasonlítható. Ekkor H teljesen rendezett halmaz. Példa: valós számok 5 6 zemléltet Hasse-dagramm Ha akkor -t feljebb rajzolva összekötjük -szel de a refleív ll. a tranztvtással adódó egéb éleket nem ábrázoljuk. Példa: H halmaz hatvánhalmaza a halmaz-tartalmazás szernt rzben rendez: H:={3} H ={{}{}{}{3}{}{3}{3}{3}} Hasse-dagramm: { 3} Legnagobb legksebb elemek Legnagobb elem LN ha mnden hh-ra h LN LN különbözk h-tól { 3} mndegk elemmel összehasonlítható! Legksebb elem lk ha mnden hh-ra lk h lk különbözk h-tól {} mndegk elemmel összehasonlítható! { 3} {} {3} {3} {} {3} {3} {} {} {3} {} {} {3} {} 7 {} 8 7

8 7..9. Legnagobb legksebb elemek Legnagobb elem LN ha mnden hh-ra h LN LN különbözk h-tól mndegk elemmel összehasonlítható! Legksebb elem lk ha mnden hh-ra lk h lk különbözk h-tól mndegk elemmel összehasonlítható! Tekntsük az { 3 4 5} halmazt a b ha a b Nncs legnagobb elem Legksebb elem az Legnagobb/legksebb egértelmű Tétel: Ha van legnagobb legksebb elem akkor az egértelmű. Bz.: Tfh. legnagobb elemek. Akkor a def. szernt. A rendez relácó def. szernt ekkor = 9 3 amáls mnmáls elemek Legnagobb legksebb elemek amáls elem ha nncsen olan hh hog h teljesülne. Nem bztos hog mndegk elemmel összehasonlítható nmáls elem m ha nncsen olan hh hog h m teljesülne. Nem bztos hog mndegk elemmel összehasonlítható» amáls elemek: 4 3 5» NINC LEGNAGYOBB ELE» nmáls elem:» A mnmáls elem ITT egben legksebb s 3 Alább ábrán: { 3} = mamáls elem Legnagobb elem LN Legksebb elem lk {} =mnmáls elem Vajon ez mndg gaz ha van legksebb legnagobb? { 3} {} {3} {3} {} {} {3} {} 3 8

9 7..9. Korlátos halmazok A rzben rendezett H halmaz valamel H rzhalmazának a KH felső korlátja az adott rendez H szernt! ha mnden hh-re hk A rzben rendezett H halmaz valamel H rzhalmazának a kh alsó korlátja az adott rendez H szernt! ha mnden hh-re k h. Korlátok? Vzsgáljuk meg az eges rzhalmazok közül melek rendelkeznek supremummal nfmummal? H korlátos ha van alsó felső korlátja. Ha van a korlátok között legksebb felső korlát akkor az a felső határ supremum-nak ha van a korlátok között legnagobb alsó korlát akkor az az alsó határ nfmum-nak { 3} {} {3} {3} {} {} {3} {} Korlátok? Vzsgáljuk meg az eges rzhalmazok közül melek rendelkeznek supremummal nfmummal? ndegk: ez a struktúra az ún- háló: bármel véges rzhalmaznak van nf. É sup. { 3} {} {3} {3} {} {} {3} {} 35 Korlátok nf sup n-nél nagobb elemek: a r s t u g-nél nagobb elemek: r s t u d aközösek: r s t u Ezek összehasonlíthatók legksebb közös: r r az n g elemekből áló halmaz legksebb felső korlátja: upng= r Legnagobb alsó korlát=nf? 36 9

10 7..9. Korlátok nf sup Korlátok nf sup b s korláta? d s felső korláta között van-e legnagobb? Korlátok nf sup Korlátok nf sup d felső korláta között van-e lagnagobb? Háló-e ez a struktúra? 39 4

11 elácók kompozícója : A B : B C } { c b b a B b C A c a 4 Példa kompozícóra A = {34} B = {wz} C = {567} A B = {33z} B C = {w56} o = {66} 43 elácós algebra-abk : A B : A B } { B A } { B A } { B A } { B A