Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Átírás

1 F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b). ntszmmetrkus ha ( x, y) és ( y, csak úgy lehet ha x y 3. Tranztív ha ( x, y ) és ( y, ( x, Pl: - Oszthatóság - Háromszög hasonlóság kvvalenca relácó: Reflexív: ( a, a) Szmmetrkus: ( a, b) ( b, a) Tranztív: ( a, b ) és ( b, c) ( a, c) Rendezés relácó: Reflexív : ( x, ntszmmetrkus: ( x, y) és ( y, csak úgy lehet ha x y Tranztív: ( x, y ) és ( y, ( x, Példák ekvvalenca relácóra (TÉTLként kell tudn ezeket zárthelyn, vzsgán): Defnícó: az négyzetes mátrx hasonló a négyzetes mátrxhoz, ha Jelölés: ércesné Novák Ágnes

2 F NIK INÁRIS RLÁIÓK ércesné Novák Ágnes Volt a következő tétel s az előadáson: Tétel: Hasonló mátrxok saátértéke egyenlők. zonyítás: a ermnánsok szorzás tételét felhasználva (ezt nem bzonyítuk. z előadáson lehangzott egy másk bzonyítás, amelyben ezt nem használtuk fel. ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tétel : mátrxok hasonlósága ekvvalenca relácó. zonyítás: zt kell bzonyítan, hogy a relácó reflexív, szmmetrkus és tranztív. Reflexív:, tehát nek az n x n es egységmátrxot választuk. Szmmetrkus: [ ] / -vel balról és -gyel obbról szorozva Tranztív: ( ) ( ) ( ) D F F F D F F D F Felhasználtuk a következőt: Állítás: mátrxok szorzatának nverze a fordított sorrendben felírt tényezők nverzénel szorzatával egyenlő. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 F NIK INÁRIS RLÁIÓK z utolsó egyenlőség abból fakad, hogy az nverz egyértelmű (mnden asszocatív műveletnél). ércesné Novák Ágnes 3

4 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Tétel : odulo k maradékosztályok R N N ( a, b) a n k + m, b nk + m, ahol n, n, m N (vagys, ha a azt a maradékot ada k-val való osztáskor, mnt b), { } Jelölés: a b mod(k). zt így kell olvasn: a kongruens b modulo k 3 6 3k k + 3k + (,3) (3,) ( 3,6) (,) (,7 ) (, )... ( aradék osztályok) N U Partícó: H halmaz olyan részhalmaz rendszere, amelyre H H és H H Példa: z előző példában a maradékosztályok a természetes számok egy partícóát adák Tétel: Ha R H H ekvvalenca relácó, akkor a H azon részhalmaza, amelyek az egymással relácóban álló elemeket tartalmazzák, azok a H halmaz egy partícóát adák. zonyítás: n U Ha akkor H H H H a H H lenne akkor a H bk H a H cl H szmm.: b ~ a a ~ b a ~ c Tranztív b ~ c H H, egyetlen halmaz lenne, a H. n U H H H tetszőleges eleme valamelyk H -ben van. vel a ~ a a H ércesné Novák Ágnes 4

5 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Tétel (az előző megfordítása): Ha a H halmazrendszer a H halmaz egy partícóa, akkor ezek a H -n egy ekvvalenca relácót defnálnak. zonyítás: Konstruktív, megaduk az ekvvalenca relácót. kvvalenca relácó defnícóa: a ~ b a H és b H Reflexív mert a ~ a ha a H és a H Szmmetrkus mert a ~ b b ~ a ha a H és b H Tranztív mert a ~ b és b ~ c a ~ c ha a H és b H Tétel: a vektorterek körében az zomorfa ekvvalenca relácó. és c H Reflexív: denttás: V V ε (mátrxra egységmátr Szmmetrkus: V V V V V V V Tranztív: V V V 3 : : V V V V 3 o értelmű nverze ércesné Novák Ágnes 5

6 F NIK INÁRIS RLÁIÓK (Részben) rendezett halmazok Defnícó: H halmaz részben rendezett, ha rendezés relácó van megadva a H elemen. zt a szokás a relácóellel elöln, mvel a valós számok körében megszokott ksebbegyenlő relácó s rendezés relácó. Rendezés relácó: Reflexív : ( x, ( x x ) ntszmmetrkus: ( x, y) és ( y, csak úgy lehet ha x y, ( x y és y x csak úgy lehetséges, ha x y ) Tranztív: ( x, y ) és ( y, ( x, ( x y és y z, akkor x z ) lnevezés oka: Nem bztos, hogy mndegyk elem mndegyk elemmel összehasonlítható. Vannak olyan elem a halmaznak, amelyek összehasonlíthatók e rendezés szernt, vagys a belőlük képzett rendezett párok eleme a relácónak, de vannak, amelyek nem. Defnícó: Teles a rendezés relácó, ha relácó adott H-n és x y és y x közül legalább egyk telesül. (ármely két elem összehasonlítható). kkor H telesen rendezett halmaz. ércesné Novák Ágnes 6

7 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Példák:. Tetszőleges H halmaz hatványhalmaza a halmaz-tartalmazás szernt részben rendezés: H:{,,3}, H {{}{}{}{3}{,}{,3}{,3}{,,3}} Például: {} {,,3} {} {,} {} {,3} D például {} és {,3} nem összehasonlítható Hasse-dagram: x y, akkor y-t felebb razolva összekötük x-szel, de nem kötük őssze a tranztvtás matt fennálló párokat (pl. {} nncsen összekötve az {,,3}-mal): {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} {} Példák (folyt.):. Valós számok és a szokásos teles rendezés, mnden szám öszehasonlítható. 3. Komplex számokra pl. a következő relácó defnálható: z R z, ha abszolút értékük egyenlő (k van messzebb a számtól?). z nem részben rendezés relácó, mert nem szmmetrkus, vszont pl. a nem negatív számokra rendezést ad. ércesné Novák Ágnes 7

8 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Legnagyobb és maxmáls, legksebb és mnmáls elem fogalma Legnagyobb elem LN, ha mnden h H-ra h LN (és LN különbözk h-tól) (mndegyk elemmel összehasonlítható!) axmáls elem, ha nncsen olyan h H, hogy h telesülne. (Nem bztos, hogy mndegyk elemmel összehasonlítható) Legksebb elem lk, ha mnden h H-ra lk h (és lk különbözk h-tól) (mndegyk elemmel összehasonlítható!) nmáls elem m, ha nncsen olyan h H, hogy h m telesülne. (Nem bztos, hogy mndegyk elemmel összehasonlítható) Tétel: Ha van legnagyobb (legksebb elem), akkor az egyértelmű. z.: Tfh., és legnagyobb elemek. kkor és a def. szernt. rendezés relácó def. szernt ekkor ércesné Novák Ágnes 8

9 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Legnagyobb és maxmáls, legksebb és mnmáls elem fogalma Példák:. H: {,3, 4, 5, 6}, és a b, ha a osztóa b-nek. kkor nmáls elemek:,3,5 axmáls elemek: 4, 5, 6 (egyknek sncsen többszöröse e halmazban) rendezésben nncsen sem legksebb, sem legnagyobb elem.. Hatványhalmaz és tartalmazás: legnagyobb elem H, legksebb elem. 4. természetes számok a szokásos rendezésre: a legksebb és egyben mnmáls elem, maxmáls és legnagyobb nncsen. Feladat: Razola fel az, példa Hesse dagrammát! ércesné Novák Ágnes 9

10 F NIK INÁRIS RLÁIÓK Korlátos halmazok részben rendezett H halmaz valamely H részhalmazának a K H felső korláta (az adott rendezés és H szernt!) ha mnden h H-re h K részben rendezett H halmaz valamely H részhalmazának a k H alsó korláta (az adott rendezés és H szernt!) ha mnden h H-re k h. H korlátos, ha van alsó és felső korláta. Ha van a korlátok között legksebb felső korlát, akkor azt felső határnak (supremum-nak), ha van a korlátok között legnagyobb alsó korlát, akkor azt alsó határnak (nfmum-nak), nevezzük. ércesné Novák Ágnes