Gonda János VÉGES TESTEK

Átírás

1 Gonda János VÉGES TESTEK Budapest, 2011

2 Lektorálta Bu Mnh Phong Utolsó módosítás dátuma: áprls 5.

3 Előszó Ez a jegyzet az ELTE-n tartott Véges testek lletve Véges testek alkalmazásokhoz című tárgy anyagát tartalmazza. A tárgy szerepel a mesterképzésben, valamnt a doktor képzésben s. Mvel vannak hallgatók, akk mndkét képzés keretében hallgatják a tárgyat, és azonos tananyagot nem lehet kétszer elszámoln, ezért a jegyzet két félév anyagát tartalmazza. A két félév anyaga nem különül el egymástól, így az oktató dönthet el, hogy mely részeket gondolja az alapképzésben elmondan, és melyeket hagy a doktor kurzus dejére. Azt azonban fgyelembe kell venn, hogy a hallgatók túlnyomó többsége csupán a regulárs képzés keretében foglalkozk a témával, valamnt azt s, hogy a tárgy elmélet alapot ad az Algebra kódoláselmélet című tárgyhoz (elvleg a Rejtjelezéshez s, ám az kötelező tárgy, míg a Véges testek egy választható modul része). Tekntettel arra, hogy a tárgy mnd a regulárs, mnd a doktor képzés keretében het két (tan)órában, egy félév során kerül előadásra, az anyag ehhez a szűkre szabott dőkerethez gazodk, így s az enny dő alatt elmondható smeretek mennységének felső határát súrolva, esetleg ezt a korlátot kssé át s lépve. Éppen erre való tekntettel szükséges megjegyezn, hogy bzonyos részek a tényleges előadás és számonkérés során többé vagy kevésbé tömöríthetőek, belőlük egyes részek khagyhatóak vagy csupán érntőlegesen kerülhetnek szóba. Ez függhet az előadó ízlésétől, a tárgyat hallgatók összetételétől és előéletétől, a tárgyban tanultakra esetleg támaszkodó tovább tárgyaktól, az adott félév tényleges hosszától, és még más körülményektől s. Mről szól a tárgy és ez a jegyzet? A címük szernt a véges testekről. A cím lyen formán egy teljes, lezárt témát ígér a hallgatónak lletve olvasónak. A valóság ezzel szemben lényegesen szegényesebb. A már említett dőkorlátot fgyelembe véve nem vállalkozhattunk másra, és a valóság s az, hogy csupán az említett témakör egy ks, bár vszonylag jól körülhatárolható részével foglalkozzunk. Amről szó lesz, az lényegében véve a véges testekkel kapcsolatos azon részeket tartalmazza, amelyek az Algebra kódoláselmélet lletve Rejtjelezés című tárgyakhoz szükségesek. Az ezen túlmutató anyagrészeket elsősorban a doktor képzésben célszerű felhasználn. Az anyag megértéséhez szükség van algebra smeretekre. Ez általános algebra smereteket (csoportokkal, gyűrűkkel, testekkel, polnomokkal kapcsolatos fogalmakat) jelent, jelent azonban azt s, hogy támaszkodk az általában sokkal ksebb részben oktatott véges testek bzonyos fokú smeretére. A bztonság kedvéért a szükséges testelmélet smereteket rövden összefoglaljuk a jegyzet elején. A téma ránt mélyebben érdeklődő olvasó az rodalomjegyzékben említett könyvekből szerezhet tovább smereteket, éppen ezért nem csak olyan könyveket soroltunk ott fel, amelyek szorosan kapcsolódnak az általunk kfejtett részletekhez. Végül néhány jelölésről szólunk. Ebben a jegyzetben N + a poztív egész számokat jelöl, és N jelöl a nemnegatív egész számokat. Egy polnomot például f-fel, és nem f(x)-szel jelölünk, megfelelően annak, hogy a polnom egy formáls kfejezés, amelyet az együttható határoznak meg. Az f polnomhoz tartozó polnomfüggvény jele f. A mátrxokat és vektorokat félkövér betű jelöl, a halmazokat dőlt nagybetű, és egy struktúrát a hozzá tartozó halmaztól a betű típusa különböztet meg, például az A halmazra épített struktúra jele A. A q-elemű test jele ebben a jegyzetben F q.

4

5 Tartalomjegyzék ELŐSZÓ 1 1. BEVEZETÉS 5 2. FORMÁLIS HATVÁNYSOROK ÉS POLINOMOK TESTEK ÉS VÉGES TESTEK VÉGES TEST FELETTI POLINOMOK VÉGES TEST FELETTI POLINOMOK FELBONTÁSA EGYSÉGGYÖKÖK DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ POLINOMOK RENDJE ELEM NYOMA; LINEARIZÁLT ÉS AFFIN POLINOMOK REKURZÍV SOROZATOK 167 FÜGGELÉK: ÁBEL-CSOPORTOK KARAKTEREI 187 TÁRGYMUTATÓ 197 IRODALOMJEGYZÉK 201

6

7 1. Bevezetés Ebben a fejezetben összefoglaljuk azokat az smereteket, amelyek szükségesek a későbbek megértéséhez. Mvel az tt elmondottakról feltételezzük, hogy nem új dolgok az olvasó számára, ezért bzonyítást csak olyan esetben adunk, amkor az vagy tanulságos a később fejezetekre nézve, vagy kevésbé smert állításról van szó Defnícó Legyen A egy halmaz és n egy nemnegatív egész szám. Ekkor f: A n A n-változós művelet An. A nullaváltozós műveletet konstans műveletnek s nevezzük. Egy A = (A, F A ) rendezett pár egy A felett algebra struktúra, ha F A A felett műveletek egy halmaza. A az előbb algebra struktúra alaphalmaza. Algebra struktúra helyett rövden algebrát vagy struktúrát, alaphalmaz helyett tartóhalmazt s mondunk. A defnícóból látszk, hogy mnden művelet véges változós leképezés, ám a műveletek száma nem korlátozott, F A bármlyen számosságú halmaz lehet. Igen fontos fogalom a részstruktúra, a generátum valamnt a homomorfzmus Defnícó Legyen A = (A, F A ), B = (B, F B ) és C = (C, F C ) algebra struktúra, D A és f F A egy n-változós művelet. Ekkor D zárt f-re nézve, ha f(a) D, valahányszor a D n ; a D-n értelmezett n-változós g művelet az f D-re való megszorítása, ha mnden a D n -re g(a) = f(a); B az A részstruktúrája, jelölésben B A, ha B A, és létezk F A -nak F B -re való olyan φ bjekcója, hogy mnden f F A -ra φ(f) az f B-re való megszorítása; B az A D által generált részstruktúrája, vagy D az A B részstruktúrájának generátorrendszere, ha B az A legszűkebb olyan részstruktúrája, amely tartalmazza D-t; φ: A C A-nak C-be való homomorfzmusa vagy művelettartó leképezése, ha van olyan φ m : F A F C bjekcó, hogy ha f A F A n-változós művelet, akkor φ m (f A ) = f C s n-változós, és bármely a A n -re f C (φ n (a)) = φ(f A (a)); ha φ szürjektív, akkor a homomorfzmus epmorfzmus, ha njektív, akkor monomorfzmus, és ha bjekcó, akkor zomorfzmus, továbbá ha A = C, akkor a homomorfzmust endomorfzmusnak, az zomorfzmust automorfzmusnak mondjuk. Nylván tetszőleges struktúra önmagának részstruktúrája, ez a struktúra (egyetlen) nem valód részstruktúrája, mnden más részstruktúra valód részstruktúra. Nem nehéz ellenőrzn, hogy egy struktúra részstruktúrának bármely metszete zárt a struktúra mnden műveletére nézve, így a műveleteket megszorítva a metszetre, smét részstruktúrát kapunk, a legbővebb olyan részstruktúrát, amely a metszet mnden tagjának része. Ha φ az A-nak C-be való homomorfzmusa, akkor A képe az F C műveletere nézve zárt, és Im(φ) a műveleteknek erre a képre való megszorításával részstruktúrája C-nek. Amennyben φ monomorfzmus, akkor mnden képelemet azonosíthatunk a képével, vagys A-t beágyazzuk C-be.

8 Véges testek Tetszőleges φ: A C leképezésnél Ker(φ) = {(u, v) A 2 φ(u) = φ(v)}, a leképezés magja, ekvvalenca-relácó A-n, és ha φ homomorfzmus és f A az A n-változós művelete, akkor mnden olyan esetben, amkor mnden -re (a, b ) Ker(φ), egyben (f A (a), f A (b)) s eleme Ker(φ)-nek, vagys ha az argumentumokat velük ekvvalens elemekkel helyettesítjük, akkor a művelet eredménye s ekvvalens a korább eredménnyel. Általában az A struktúra alaphalmazán értelmezett ρ homogén bnér relácó kompatbls az f A művelettel, ha f A (a)ρf A (b), valahányszor aρ n b, és ρ kompatbls A-val, ha A mnden műveletével kompatbls. Amennyben az előbb kompatbls relácó ekvvalenca-relácó, akkor kongruenca-relácó, vagy egyszerűen kongruenca. Az ekvvalenca osztályanak halmaza az A ρ szernt faktorhalmaza, amelyet A ρ jelöl. Kongruenca esetén a faktorhalmazon az f A -nak megfelelő műveletet defnál az f A ρ (a ) = f A (a) szabály, ahol a az a által reprezentált osztály. Az ezekkel a műveletekkel ellátott struktúra az A ρ szernt A ρ faktorstruktúrája Tétel Legyen ρ kongruenca-relácó az A = (A, F A ) struktúrán. Ekkor az a a kanonkus szürjekcó az A A ρ-ra való epmorfzmusa. Amennyben φ: A C homomorfzmus, akkor Ker(φ) kongruenca-relácó A-n és A Ker(φ) Im(φ), továbbá φ = κψ, ahol ψ: a a a kanonkus szürjekcó és κ: a φ(a) monomorfzmus. Az A struktúra A rendje az A elemenek száma, ha ez véges, különben a rend végtelen. Most vsszatérünk a műveletekhez. Nullaváltozós művelet a halmaz egy elemének, egy konstansnak a kjelölése, és általában a műveletet és a művelet eredményét azonos jel jelöl. A konstans többnyre a struktúra egy specáls tulajdonságú eleme. Ilyen például a valós számok halmazában a 0 az összeadással vagy az 1 a szorzással. Egyváltozós művelet a halmaz önmagába való leképezése. Egy lyen f műveletet nvolutórkusnak vagy nvolúcónak mondunk, ha f 2 = d A, ahol d A az A halmaz önmagára való dentkus leképezése, vagys az a leképezés, amely mnden elemnek önmagát feleltet meg. Egyváltozós műveletre példa a valós számok esetén az ellentett képzése, vagys az a művelet, amely mnden számhoz a 1-szeresét rendel, vagy a komplex számok halmazán a konjugálás, vagy egy lneárs téren egy rögzített skalárral való szorzás. Az előbb kettő nvolúcó, az utóbb csak akkor, ha a skalár az egységelem vagy annak az ellentettje. Az egyváltozós műveletet többféleképpen s jelöljük: szokásos a ktevős írásmód, például a 1 a poztív valós számok szorzással vett halmazán, a prefx írásmód, amkor a művelet jele megelőz az operandust, mnt például az egész számok halmaza az összeadással ( a) vagy rögzített skalárral való szorzás egy lneárs térben (3a), vagy valamlyen kegészítő jel az operandus fölött vagy mellett, amre jó példa a konjugálás a felülhúzással. A leggyakorbb művelettípus a kétváltozós, vagy másként a bnér művelet, amelyet általában nfx írásmóddal adunk meg, vagys úgy, hogy a művelet jelet a két operandus közé írjuk (például 3 + 5). A szokásos nfx a + jel, valamnt a, és ez utóbbt sokszor nem s jelöljük. Az előbb jelölés esetén a műveletet összeadásnak, a másk esetben szorzásnak, magát a struktúrát gyakran addtív lletve multplkatív struktúrának mondjuk az előbb sorrendben. Multplkácó esetén a műveletben résztvevő elemek a szorzás tényező, és az eredmény a szorzatuk, míg az összeadásnak tagja vannak, és az eredmény a tagok összege. Kétváltozós műveletet természetesen csak két operandussal hajthatunk végre, ám maguk az operandusok s lehetnek ugyanezen kétváltozós művelet eredménye, vagys a műveleteket tetszőleges, de véges mélységben egymásba ágyazhatjuk. Ekkor zárójelezéssel kell kjelöln, hogy a műveleteket mlyen sorrendben kell végrehajtan. Legyen A egy multplkatív struktúra. A művelet asszocatív, ha bármely a, b és c A-bel elem esetén (ab)c = a(bc). Ekkor gaz az általános asszocatvtás törvénye, amely szernt több elem szorzata nem függ a szorzások végrehajtásának sorrendjétől (nem az elemek, 6

9 1. Bevezetés hanem a szorzások sorrendjéről van szó!), így a zárójelezést el s hagyhatjuk. Ilyen értelemben beszélünk n-tényezős szorzatról, és ennek specáls eseteként az egytényezős szorzatról, amely valójában nem egy szorzat, csupán a struktúra egy eleme. Ha két elem szorzata nem függ a két elem sorrendjétől, vagys ab = ba, akkor a két elem felcserélhető, és ha bármely elempár felcserélhető, akkor a szorzás, lletve a struktúra kommutatív. Amenynyben a szorzás asszocatív, és egy többtényezős szorzatban bármely két tényező felcserélhető, akkor a szorzat nem függ a benne résztvevő tényezők sorrendjétől, vagys egy egyszerre asszocatív és kommutatív struktúrában egy szorzat nem függ a benne megadott tényezők és a szorzások sorrendjétől. A szokások szernt csak akkor írunk egy műveletet addtívként, ha a művelet asszocatív és kommutatív. Az A valamely a eleme balról regulárs, ha bármely b A-hoz legfeljebb egy olyan u A létezk, hogy a u = b és regulárs, ha mndkét oldalról regulárs; maga a struktúra balról regulárs lletve regulárs, ha mnden eleme balról regulárs lletve regulárs; jobbról nvertálható, ha mnden b A-hoz van olyan u A, hogy a u = b, és nvertálható, ha mndkét oldalról nvertálható; maga a struktúra jobbról nvertálható lletve nvertálható, ha mnden eleme jobbról nvertálható lletve nvertálható; bal oldal egységelem, ha mnden b A-ra a b = b, és egységelem, ha egyszerre bal és jobb oldal egységelem; a struktúra egységelemes, ha van egységeleme; bal oldal zéruselem, ha mnden b A-ra a b = a, és zéruselem, ha egyszerre bal és jobb oldal zéruselem; a struktúra zéruselemes, ha van zéruseleme; bal oldal nverze b A-nak, ha a struktúra egységelemes az e egységelemmel, és a b = e, továbbá a nverze b-nek, ha egydejűleg bal és jobb oldal nverze. Természetesen a fentekben értelemszerűen állhat bal oldal helyett jobb oldal s. A defnícó alapján, ha b az a bal oldal nverze, akkor a a b jobb oldal nverze és fordítva. Addtív struktúra esetén (bal oldal) egységelem helyett (bal oldal) nullelemet, (bal oldal) nverz helyett (bal oldal) ellentettet s szokás mondan. Gyakor, és elvleg jobb elnevezés, ha egységelem helyett semleges elemet vagy neutráls elemet mondunk, lletve adott esetben hasonló megnevezést használunk a bal oldal hasonló esetben. Felhívjuk a fgyelmet a zéruselem és a nullelem között különbségre. Egy bnér művelet esetén lehetséges, hogy nncs bal oldal egységelem, lehet, hogy pontosan egy lyen elem van, lehetséges egynél több, de véges számú bal oldal egységelem, végtelen A esetén lehet végtelen sok bal oldal egységelem, végül mnd véges, mnd végtelen A esetén lehetséges, hogy A mnden eleme bal oldal egységelem. Ám, ha létezk mnd bal, mnd jobb oldal egységelem, akkor ezek szükségszerűen azonosak, vagys ekkor ez egységelem, és ekkor pontosan egy egységelem van, tehát, ha van egységelem, akkor egyetlen egységelem van és ekkor nncs más bal vagy jobb oldal egységelem. Az előbbek értelemszerűen gazak a bal oldal zéruselemre és zéruselemre. Az a elem nverzét amennyben létezk általában a 1, ellentettjét a jelöl. Megnt az gaz, hogy egy elemnek lehet, hogy nncs bal oldal nverze, lehet, hogy egy, vagy egynél több, de véges sok, vagy végtelen sok bal oldal nverze van, és lehet, hogy a halmaz mnden eleme bal oldal nverze. Az s lehetséges, hogy van bal oldal és jobb oldal nverze, amelyek nem egyenlőek, és az s lehetséges, hogy mndkét oldalról több különböző nverze van. Ha azonban a szorzás asszocatív, és van a-nak mnd bal oldal, mnd jobb oldal nverze, akkor ez a két elem azonos, tehát nverze a-nak, és ekkor anak ezen kívül nem lehet sem bal oldal, sem jobb oldal nverze, és így az nverz, ha létezk, egyértelmű. Ha egy asszocatív szorzásnak van egységeleme, akkor értelmezzük a nullatényezős szorzatot vagy üres szorzatot s, amely defnícószerűen a struktúra egységelemével egyenlő, lletve addtív művelet esetén az üres összeget, amelyet a nullelemmel azonosítunk. Asszocatív művelet esetén külön neve van az olyan műveletnek, amelyben az operandusok azonosak: az olyan n-tényezős szorzat, ahol n egy poztív egész szám, és amelynek mnden tényezője a, az a n-edk hatványa, és a jele a n, ahol a a (hatvány) alap(ja), n a (hatvány) ktevő(je), és a n a hatvány. Amennyben a szorzás egységelemes, akkor a korábbak szernt értelmezzük az üres szorzatot, amelynek 0 számú tényezője van, ennek megfelelően a 0 = e, ha e jelöl az egységelemet. Asszocatív szorzás esetén, ha két elemnek van nverze, akkor a szorzatuknak s van, és (ab) 1 = b 1 a 1 (vagys nem a 7

10 Véges testek megszokott formában teljesül az egyenlőség, kvéve, ha a és b felcserélhető). Végül, ha a-nak van nverze (ekkor bztosan van egységelem), akkor defnáljuk a negatív egész ktevős hatványát s úgy, hogy ha n < 0, akkor a n = (a n ) 1 (ez az elem létezk, mert a zárójelben álló szorzat mnden elemének létezk nverze, és a szorzat megegyező eleme felcserélhetőek). A hatványra teljesül a megszokott a m+n = a m a n és (a m ) n = a mn = (a n ) m egyenlőség, de (ab) n = a n b n általában nem (de nylván teljesül, ha a és b felcserélhető). Az előbbek értelemszerűen átírhatóak addtív írásmód esetén, ekkor a n helyett na-t írunk (ez általában nem egy szorzat, hanem egy olyan összeg, amelynek mnden tagja a, és az összegnek n tagja van, lletve negatív n esetén egy n-tagú összeg ellentettje!), és most n neve együttható. Könnyű ellenőrzn, hogy a akkor és csak akkor balról regulárs, ha ab = ac-ből következk b = c, ekkor a-val balról egyszerűsíthetünk (lletve addtív írásmód esetén a-t balról törölhetjük); bal oldal egységelem balról regulárs; bal oldal zéruselem csak akkor balról regulárs, ha A-nak csak egy eleme van; ha a művelet egységelemes, és a jobbról nvertálható, akkor a-nak van jobb oldal nverze; bal oldal egységelem jobbról nvertálható; bal oldal zéruselem csak akkor nvertálható jobbról, ha A-nak csak egy eleme van; véges A esetén a pontosan akkor balról regulárs, ha jobbról nvertálható; A másodk és harmadk tulajdonság alapján, ha A-nak legalább két eleme van, akkor egy elem nem lehet egyszerre bal oldal zéruselem és bal oldal neutráls elem. Ha a művelet asszocatív, akkor még a-val felcserélhető elemek szorzata s felcserélhető a-val; balról regulárs elemek szorzata s balról regulárs; ha a-nak van bal oldal nverze, akkor a balról regulárs; ha a balról regulárs, és létezk jobb oldal nverze, akkor ez s balról regulárs; jobbról nvertálható elemek szorzata jobbról nvertálható; ha a-nak van jobb oldal nverze, akkor jobbról nvertálható; ha a jobbról nvertálható, és van bal oldal nverze, akkor ez s jobbról nvertálható. Említünk még néhány tovább tulajdonságot, feltéve, hogy a művelet asszocatív: ha van balról regulárs elem, és valamelykükhöz, mondjuk a-hoz olyan e, amellyel a = ae, akkor e bal oldal egységelem: tetszőleges u-val au = (ae)u = a(eu), és nnen u = eu; ha e bal oldal egységelem, és van jobbról regulárs elem, akkor e egységelem: bármely a elemmel a = ea, így, ha a jobbról regulárs, akkor az előző ponthoz hasonlóan e jobb oldal egységelem, tehát egységelem; ha a jobbról regulárs, és van bal oldal nverze, akkor van nverze, és ekkor a regulárs és nvertálható: ha a bal oldal nverze a, akkor ea = ae = a(a a) = (aa )a, tehát aa = e, így a jobb oldal nverz, és ekkor a jobbról nvertálható, ha pedg van bal oldal nverz, akkor balról regulárs és nvertálható a; ha c = ab jobbról regulárs, akkor a jobbról regulárs: ua = va-ból uc = u(ab) = (ua)b = (va)b = v(ab) = vc, és így u = v; ha c = ab balról nvertálható, akkor b balról nvertálható: ha v = uc = u(ab) = (ua)b, akkor ua megoldása a v = xb egyenletnek. Az n-változós f művelet esetén a dempotens, vagy f megőrz a-t, ha f(a,, a) = a, és a művelet dempotens, ha a halmaz mnden eleme dempotens a műveletre. Egyszerűen látható, hogy egy 8

11 1. Bevezetés bnér műveletre nézve bal oldal egységelem és bal oldal zéruselem mndg dempotens, és asszocatív művelet esetén egy balról regulárs elem csak akkor dempotens, ha bal oldal egységelem. Igen fontosak az asszocatív bnér műveletek Defnícó A = (A; ) grupod, ha A nem üres és bnér művelet. A grupod félcsoport, ha asszocatív, és a félcsoport csoport, ha egységelemes, és mnden elemnek van nverze. Kommutatív csoport neve Abelcsoport. Félcsoportot leggyakrabban S-sel (semgroup), míg csoportot G-vel (group), Abel-csoportot Aval jelölünk, és ekkor a művelet általában az összeadás Tétel Az alább állítások ekvvalensek: G félcsoport, amelyben van olyan e b bal oldal egységelem és mnden a-elemhez olyan a b elem, amellyel a b a = e b ; G csoport; G félcsoport, és G mnden eleme regulárs és nvertálható; G félcsoport, és G mnden eleme nvertálható. A fent, egymással ekvvalens állítások bármelykét teknthetjük a csoport defnícójának. Az egyetlen elem által generált csoport a cklkus csoport, ennek eleme a generátorelem hatványa. Ha egy cklkus csoport rendje n, akkor a csoport eleme a generátorelem n-nél ksebb nemnegatív egész ktevős hatványa. Ekkor a n = e, feltéve, hogy a generátorelem a, és n a legksebb olyan k poztív egész ktevő, amellyel a k = e. Csoport esetén defnáljuk a g elem g (vagy o(g)) rendjét, am az elem által generált cklkus részcsoport rendje. Ez lehet végtelen, ekkor a cklkus csoport eleme a generátorelem egész ktevős hatványa, és két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a ktevők azonosak, és lehet véges. Ha a generált részcsoport véges, akkor a részcsoport rendje az előbbek szernt egyben a legksebb poztív egész ktevő, amelyre emelve az elemet, az egységelemet kapjuk. Az elem rendjét ezzel a tulajdonsággal s defnálhatjuk, azzal a kegészítéssel, hogy a rend végtelen, ha az elem egyetlen poztív egész ktevős hatványa sem azonos a csoport egységelemével. Könnyen be lehet látn, hogy cklkus csoport mnden részcsoportja cklkus. Csoport részstruktúrája a részcsoport. Maga G, valamnt a csak az egységelemből álló részhalmaz részcsoport, ezek a csoport trváls részcsoportja, és (ha létezk,) a több részcsoport a csoport nem trváls részcsoportja. Legyen G csoport, és legyen H G. Ekkor H G pontosan akkor teljesül, ha HH 1 H (lletve addtív művelet esetén ha H H H), ahol H 1 a H elemenek nverzeből álló halmaz. (Általában, ha A a G csoport tartóhalmazának nem üres részcsoportja, akkor A a G egy komplexusa, és az A és B komplexus ebben a sorrendben vett AB szorzata az A-bel a és B-bel b elemek szorzatának halmaza. Amennyben A-nak egyetlen eleme van, akkor {a}b helyett rövden ab-t írunk.) Ha H G, akkor G bármely a és b eleme esetén egyértelmű, hogy a 1 b eleme-e H-nak, vagys ez egy bnér relácó G-n. A relácó reflexív, szmmetrkus és tranztív, így osztályoz. Az a-val reprezentált osztály ah, a G H szernt, a-val reprezentált bal oldal mellékosztálya, és hasonlóan defnáljuk a jobb oldal mellékosztályokat s. ah számossága azonos H számosságával, és ah Ha 1 egy bjekcó az ugyanazon részcsoport szernt bal oldal és jobb oldal mellékosztályok halmaza között. Mndezek 9

12 Véges testek alapján defnáljuk a H részcsoport (G-bel) G: H ndexét, mnt a G H szernt bal oldal mellékosztálya halmazának számosságát. Véges csoportok egy fontos tulajdonságát mondja k a Lagrange-tétel, amely szernt véges csoport részcsoportja rendjének és ndexének szorzata a csoport rendje, vagys G = H G: H, és így a részcsoport rendje és ndexe osztója a csoport rendjének. Fontos következmény, hogy véges csoportban mnden elem rendje osztója a csoport rendjének (amből például következk, hogy prímszámrendű csoport cklkus, amelynek nncs nem trváls részcsoportja), és ha a csoport rendje n, akkor g n = e a csoport mnden g elemére. A G csoport egy H részcsoportja szernt osztályozás akkor és csak akkor kompatbls a csoport műveletével, ha a G mnden a elemével ah = Ha. Ez a feltétel sok más alakban s megfogalmazható, az egyk lyen ekvvalens feltétel, hogy mnden G-bel a-val aha 1 H. Az lyen tulajdonságú részcsoport egy normáls részcsoport, normálosztó, nvaráns részcsoport lletve nvaráns osztó. Mvel normáls részcsoport esetén a részcsoport szernt osztályozás kompatbls a csoport műveletével, ezért a normáls részcsoport szernt osztályok az osztályokon a reprezentánsok által meghatározott szorzással egy faktorstruktúrát, a faktorcsoportot defnálják. Ennek rendje a részcsoport ndexe. Ha φ a G félcsoportnak a T grupodba való művelettartó leképezése, és H = Im(φ), akkor H-ban a T-bel művelet asszocatív, tehát H félcsoport ezzel a művelettel. Ha G csoport az e egységelemmel, akkor e képe a kép egységeleme, nverz képe a kép nverze, így csoport homomorf képe csoport. Ekkor a leképezés magjában az e-t tartalmazó osztály G egy N normáls részcsoportja, és egy-egy osztály egy N szernt mellékosztály, vagys ekkor a leképezés magját egyértelműen meghatározza N. Csoportok esetén így defnáljuk a leképezés magját, és ekkor G N H. Fontos csoportot alkotnak a modulo m maradékosztályok az összeadással, lletve a redukált maradékosztályok a szorzással (az összes maradékosztály a szorzással félcsoportot alkot). A maradékosztályokon a műveleteket a reprezentánsokkal defnáljuk. Tekntettel arra, hogy az egész számok halmazán értelmezett modulo m kongruenca ekvvalenca-relácó Z-n, és ez mnd az összeadással, mnd a szorzással kompatbls, így a reprezentánsokkal való defnícó valóban bnér műveleteket eredményez. A létrejött két struktúra (Z m ; +) és (Z m ; ). A defnícó alapján bármely a és b egész szám esetén a b (m) pontosan akkor gaz, ha a = b, a + b c (m), ha a + b = c, és ab c (m), ha a b = c (ez utóbb nem csak a redukált maradékosztályok esetén gaz). Ez azt jelent, hogy a kongruencáról mndg áttérhetünk a reprezentánsokkal megadott osztályok egyenlőségére és fordítva. Ha S egységelemes félcsoport, akkor az nvertálható eleme a félcsoport egy részcsoportját alkotják: a halmaz tartalmazza az egységelemet, tehát nem üres, és nvertálható elemek szorzata, valamnt nvettálható elem nverze s nvertálható. Az S egységelemes félcsoport ezen részcsoportja a félcsoport egységcsoportja, eleme a félcsoport egysége. Csoportban nylván mnden elem egység Tétel Legyen (G; ) csoport, g a csoport n-edrendű eleme, és e a csoport egységeleme. Ekkor a) tetszőleges u Z-re g u = e akkor és csak akkor, ha n u; b) bármely u és v egész számra g u = g v akkor és csak akkor, ha u v (n); c) n > k N-re a g k elemek páronként különbözőek, és mnden m egész számhoz van olyan egyértelműen meghatározott n > j N, hogy g m = g j ; d) g m = n (m,n) ; e) g m = g (m, n) = 1, és ekkor tetszőleges k egész számra (g k ) m = g k ; f) ha G véges csoport, akkor n G ; g) tetszőleges u és v egész számra g uv ( g u, g v ). 10

13 1. Bevezetés a) Ha n u, akkor u = rn egy r egész számmal, és ekkor g u = g rn = (g n ) r = e r = e. Fordítva, legyen g u = e. Ha u = rn + s, ahol n > s N, akkor e = g u = g rn+s = (g n ) r g s = g s. Mvel n a legksebb poztív egész, amely ktevős hatványa g-nek az egységelem, ezért s nem lehet poztív egész szám, így s = 0, de akkor u = rn, azaz n u. b) g u = g v -ből g v u = g 0 = e, és így a) alapján n v u, azaz u v (n). c) Ha és j olyan egész számok, hogy 0 < j < n, akkor 0 < j < n, így, ha n j, akkor = j, amből következk az állítás első fele. Az állítás másodk része egyszerű következménye annak, hogy bármely u egész számra 0 u mod n u (n), és u mod n egyértelműen meghatározott. d) e = (g m ) l = g ml akkor és csak akkor gaz az l egész számra, ha n ml, am vszont pontosan akkor teljesül, ha n (m,n) l. A legksebb lyen poztív egész n, tehát ez lesz (m,n) gm rendje. e) Az előbb pont alapján g m = n, és ez pontosan akkor egyenlő n-nel, ha a nevező 1. Az (m,n) állítás másodk fele pedg következk abból, hogy ha (m, n) = 1, akkor (km, n) = (k, n). f) Ez következk a Lagrange-tételből. g) Legyen a g u, g v és g uv elemek rendje az előbb sorrendben r, s és t. Ekkor (g v ) s = e, így e = e u = ((g v ) s ) u = g suv = (g uv ) s, tehát t s. Hasonlóan kapjuk a t r oszthatóságot, amből következk, hogy t osztója r és s legnagyobb közös osztójának. Z m az összeadással csoport, a szorzással félcsoport, és a redukált maradékosztályok az utóbb félcsoportban csoportot alkotnak, így a korábbakkal összhangban van az alább defnícó Defnícó o m + () = mn{k N + k 0 (m)} az addtív és o m () = mn{k N + k 1 (m)} ha létezk az (multplkatív) rendje modulo m, ahol m N + és Z. Az előbb tételt alkalmazva kapjuk a következő eredményeket Tétel Mnden m N + és Z esetén létezk és egyértelmű o m + (), továbbá o m + () = m (,m) Következmény Legyen m természetes szám,, j és k egész számok. Ekkor j k (m) j k (o m + ()); j 0 (m) o m + () j; o m + () m, és o m + () = m akkor és csak akkor, ha (, m) = 1; o m + (k) (o m + (k), o m + ()); pontosan akkor lesz mnden u Z-vel o m + (ku) = o m + (u), ha (k, m) = 1. A multplkatív tulajdonsággal kapcsolatban az alább megállapítás tehető. 11

14 Véges testek Tétel Akkor és csak akkor létezk n modulo m rendje, ha (m, n) = 1. Ekkor a j és k nemnegatív egészre n j n k (m) pontosan akkor gaz, ha j k (o m (n)) (specálsan n 1 (m) pontosan akkor teljesül, ha o m (n) osztója -nek), végül o m (n) φ(m). Az első állítás azért gaz, mert ha m és n nem relatív prímek, akkor n bármely poztív egész ktevős hatványának van 1-nél nagyobb közös osztója m-mel, de akkor a hozzá relatív prím eggyel ksebb szám nem lehet osztható m-mel, így az n egyetlen poztív egész ktevős hatványa sem lehet kongruens 1-gyel modulo m, míg ha n relatív prím m-hez, akkor az Euler-Fermat tétel szernt n φ(m) 1 (m). Számelméletből smeretes az összegzés függvény és ennek megfordítása. Most ezt általánosítjuk. Emlékeztetőül, n N + -ra a Moebus-függvény értéke az n pontban 0, ha n-nek van prímnégyzet osztója, és az ellenkező esetben ( 1) r, ahol r az n prímtényezőnek száma Tétel Legyen S a G = (G; +) kommutatív csoport részfélcsoportja. Ha f az N + -t S-be képez, akkor F(n) = d n f(d) egy F: N + S függvény, és μ(d)f ( n d n ) = f(n) = μ ( n d d n ) F(d) a G műve- d letevel. Fordítva, az N + -t S-be képező F függvényre μ ( n d n ) F(d) = f(n) = μ(d)f ( n ) d d F: N + G függvény, és F(n) = d n f(d) a G-bel művelettel. d n egy f(d) mnden d N + -ra S-bel, és mvel S félcsoport az összeadással, ezért F(n) s eleme S-nek. A kfejezés mnden természetes számra értelmezett, továbbá az S-bel művelet egyértelmű, így valóban függvényt defnál az összeg, egy olyan függvényt, amely N + -t képez S-be. Legyen d n N + és n = m. Ekkor d = n, és μ(d)f d m d n (n) = μ ( n d d n ) F(d), hszen különböző d-hez különböző m tartozk, d továbbá μ ( n d ) F(d) = (μ ( n d ) f(d )) d n d n d d = (f(d ) μ(t) ) = f(n), d n t n d ugyans a Moebus-függvényt egy adott n poztív egész szám osztón kszámítva és ezeket az értékeket összeadva, az összeg akkor és csak akkor különbözk 0-tól, ha n = 1, és ekkor az összeg értéke 1, ez pedg esetünkben pontosan akkor teljesül, ha d = n. Az ellenkező rány esetén azt, hogy f a természetes számokat G-be képező függvény, hasonlóan láthatjuk be, mnt az előbb F-ről, hogy N + -t képez S-be, míg ha f(n) = d n μ ( n ) F(d), akkor d f(d) = ( μ ( n d ) F(d )) d n d n d d = (F(d ) μ(d) ) = F(n), d n d n d azaz F-ből ndulva, f-en keresztül vsszajutunk F-hez. 12

15 1. Bevezetés Kegészítés Legyen S a G = (G; ) kommutatív csoport részfélcsoportja. Ha f az N + -t S-be képez, akkor F(n) = d n f(d) egy F: N + S függvény, és f(n) = (F(d)) μ(n d ) d n = (F ( n μ(d) d n )) a G-bel d szorzással, míg F: N + S esetén f(n) = (F ( n μ(d) d n )) (= (F(d)) μ(n d ) d d n ) egy F: N + G függvény, és F(n) = d n f(d) a G műveletével. Ez az előző tételből kapható, összeadás helyett szorzást, együttható helyett ktevőt írva Megjegyzés Az előző kegészítés megfelelő része szernt az u = F ( n d ) d n μ(d)=1 és v = F ( n d ) d n μ(d)= 1 jelöléssel az S bármely lyen u és v elemére a vx = u egyenletnek van S-ben megoldása (és ekkor S regulartása matt csupán egy megoldása), és ez éppen f(n), és hasonló a helyzet az addtív esetben s, ha a produktumjelet szummajelre cseréljük, és vx = u helyett v + x = u-t írunk. Ha R gyűrű, akkor addtív csoportjában az addtív alak érvényes, és ha R kommutatív, és f a gyűrű regulárs elemenek félcsoportjába képez, akkor a multplkatív alak s alkalmazható, hszen ekkor R beágyazható olyan gyűrűbe, amelyben a regulárs elemeknek van nverzük Defnícó ben és ben F az f összegzés lletve szorzatfüggvénye, és f az F (addtív lletve multplkatív) Moebus-transzformáltja. Az F f hozzárendelés a megfordítás képlet. A kétműveletes struktúrák közül különösen fontosak a gyűrűk, amelyeket leggyakrabban R-rel jelölünk (rng). A gyűrű prototípusa az egész számok halmaza az összeadással és a szorzással. A két műveletet összeköt a dsztrbutvtás. Általában s gaz, hogy több művelet esetén csak akkor kapunk az egy-egy művelethez kapcsolódó tulajdonságokon túl új eredményeket, ha valam összekapcsolja az egyes műveleteket. Vagys nncs értelme olyan struktúrákat vzsgáln, ahol a műveletek halmaza egynél több osztályra bontható úgy, hogy az egyes osztályok művelete között semm összefüggés sncs Defnícó R = (R; +, ) gyűrű, ha (R; +) Abel-csoport, (R; ) félcsoport, és a szorzás mndkét oldalról dsztrbutív az összeadásra nézve, azaz a(b + c) = ab + ac és (b + c)a = ba + ca a gyűrű tetszőleges a, b és c elemere. A dsztrbutvtás két feltétele kommutatív szorzás esetén nylván egybeesk, ám ha a szorzás nem kommutatív, akkor az egyk teljesülhet anélkül, hogy a másk s gaz lenne a gyűrű bármely elemhármasára. Gyűrűben az összeadás semleges eleme, a nulla, amt általában 0 jelöl, egyben zéruseleme a szorzásnak, vagys a gyűrű mnden r elemével 0 r = 0 = r 0 (amennyben csak az egyk oldal dsztrbutvtás teljesül, akkor az utóbb egyenlőségek közül csak az egyk gaz, mégpedg bal oldal dsztrbutvtás esetén 0 jobb oldal zéruselem, és fordítva!). A dsztrbutvtás általában s gaz egy gyűrűben, m n () azaz m () =1 j=1 a j = j I =1 a j, ahol j = (j 1,, j m ), és mnden -re n j N +. A dsztrbutvtás alapján (mr)s = m(rs) = r(ms) és m(nr) = (mn)r = n(mr), ahol r és s a gyűrű eleme és m, 13

16 Véges testek n egész számok, és ebből például (mr)(ns) = (mn)(rs) = (nr)(ms), vagys szorzatban az együtthatók kemelhetőek és bevhetőek bármely tényező mellől lletve mellé. A gyűrű mndkét műveletre zárt, nem üres részhalmaza a gyűrű részgyűrűje. A csoporthoz hasonlóan defnáljuk a valód és nem valód, a trváls és nem trváls részgyűrűket. Könnyen látható, hogy bármely addtív Abel-csoportra építhető gyűrű úgy, hogy bármely két elem szorzatát az addtív csoport neutráls elemével azonosítjuk. Ez a gyűrű a zérógyűrű (van olyan addtív Abel-csoport, amelyre nem s lehet más gyűrűt építen). Amennyben a zérógyűrűnek egyetlen eleme van, akkor ez csak a nullelem lehet, és ekkor a gyűrűt nullgyűrűnek hívjuk. A gyűrűben a nullával való szorzás eredménye a nulla, ám egy szorzat akkor s lehet nulla, ha egyk tényező sem nulla. Az lyen elempárokat nullosztópároknak hívjuk, és a bal oldal tényező bal oldal nullosztó, míg a másk egy jobb oldal nullosztó. Egy nem nulla elemmel akkor és csak akkor lehet balról egyszerűsíten, ha nem bal oldal nullosztó, vagys a balról regulárs elemek pontosan a nem nulla, balról nem nullosztó elemek. Balról regulárs elemek szorzata balról regulárs, és ha egy elemnek van jobb oldal nverze, akkor ez a jobb oldal nverz balról regulárs. Az s könnyen belátható, hogy ha egy elemnek van bal oldal nverze, akkor ez az elem balról regulárs. Egy gyűrű nullosztómentes, ha nncs benne bal oldal nullosztó (és akkor jobb oldal sncs). Nullosztómentes gyűrű mnden részgyűrűje s nullosztómentes a defnícó alapján. Amennyben a gyűrűbel szorzás kommutatív, akkor a gyűrű kommutatív gyűrű, ha van R multplkatív félcsoportjában egységelem, akkor R egységelemes gyűrű. Kommutatív gyűrű mnden részgyűrűje s kommutatív, am azonnal következk a defnícóból, ám egységelemesség szempontjából más a helyzet. Nem nehéz példát találn arra, hogy egy gyűrű és részgyűrűje egyszerre lehet egységelemes azonos vagy akár különböző egységelemmel, lehet, hogy kettőjük közül bármelykben, de csak az egykben van egységelem, végül az s lehetséges, hogy egykben sncs egységelem. Gyűrűkre gen fontos példák az egész számok, a raconáls, a valós és a komplex számok halmaza a szokásos összeadással és szorzással, lletve tetszőleges, 1-nél nagyobb poztív egész m-re a modulo m maradékosztályok halmaza az osztályokra a reprezentánsokkal defnált műveletekkel. Ezek mndegyke kommutatív és egységelemes, Z, Q, R és C nullosztómentes, ám Z m akkor és csak akkor nullosztómentes, ha m felbonthatatlan, azaz ha prímszám Defnícó A legalább kételemű, kommutatív, nullosztómentes gyűrű ntegrtás tartomány. Ha egy gyűrű nem nulla eleme a szorzással csoportot alkotnak, akkor ferdetest, és ez test, ha a szorzás kommutatív. Z tehát ntegrtás tartomány, Q, R és C test, és Z m pontosan akkor test, amkor m prímszám. Ferdetestet alkotnak például a kvaternók. Nem mndg kötk k, hogy ntegrtás tartománynak legyen legalább két eleme. A testet általában K-val, néha F-fel jelöljük (Körper lletve feld). A defnícó alapján ferdetestnek, és így testnek s, legalább két eleme van, és nullosztómentes, így egy test mndg ntegrtás tartomány (de fordítva nem gaz, amre példa az egyk legfontosabb ntegrtás tartomány, az egész számok gyűrűje). Nullosztómentes gyűrűkben a nem nulla elemek addtív rendje, vagys az addtív csoportbel rendje azonos, és ha ez a közös érték nem végtelen, akkor prímszám. Ez alkalmat ad az lyen gyűrűkben egy új fogalom bevezetésére Defnícó Legyen R egy legalább kételemű, nullosztómentes gyűrű. Ha a gyűrű nem nulla elemenek addtív rendje a p prímszám, akkor a gyűrű karaktersztkája p, különben 0. 14

17 1. Bevezetés A defnícóból következk, hogy nullosztómentes gyűrű legalább kételemű részgyűrűjének karaktersztkája azonos a teljes gyűrű karaktersztkájával. Félcsoport, és így csoport és gyűrű esetén s fontosak a mnden elemmel felcserélhető elemek Defnícó Az S félcsoport centruma C = {s S (u S): su = us}. Csoport centruma a csoport mnt félcsoport centruma, míg gyűrű centruma a gyűrű multplkatív félcsoportjának centruma Tétel Félcsoport centruma zárt a félcsoport műveletére. Egységelem és zéruselem ha létezk mndg eleme a centrumnak. Csoport centruma a félcsoport-művelet megszorításával normáls részcsoport, míg gyűrű centruma a gyűrűműveletek megszorításával részgyűrű. a) Ha u és v eleme C-nek, akkor (uv)s = u(vs) = u(sv) = (us)v = (su)v = s(uv) a félcsoport tetszőleges s elemével, am mutatja C művelet zártságát. b) Ha e egységelem és z zéruselem a félcsoportban, akkor es = s = se és zs = z = sz a félcsoport bármely s elemével, vagys e és z eleme a centrumnak. c) b) szernt csoport lletve gyűrű centruma nem üres, így a) alapján a művelet (gyűrű esetén a szorzás) megszorításával C részfélcsoport. Ha S csoport, akkor u-nak van nverze, és us = su-ból su 1 = u 1 s, így u 1 C, C részcsoport. Ezen túl még sus 1 = (su)s 1 = (us)s 1 = u(ss 1 ) = ue = u, tehát scs 1 = C, C normáls részcsoport S-ben. Gyűrű esetén (u v)s = us vs = su sv = s(u v) az S valamenny s elemével, tehát u v s a centrumban van, így C mnd a szorzásra, mnd a kvonásra zárt, ennélfogva a műveletek C-re való megszorításával részgyűrű. Ahogy egész számokból megkonstruálható a raconáls számok teste, ugyanígy lehet egy ntegrtás tartományt testbe ágyazn. Ennél általánosabb, ha az R gyűrűt olyan S gyűrűbe ágyazzuk be, ahol R mnden regulárs centrumelemének van nverze. A legszűkebb lyen gyűrűt a következőképpen kapjuk. Legyen M az R regulárs centrumelemenek halmaza, és legyen T = R M. Tekntsük az (r 1, m 1 ) (r 2, m 2 ) = (r 1 m 2 + r 2 m 1, m 1 m 2 ) és (r 1, m 1 ) (r 2, m 2 ) = (r 1 r 2, m 1 m 2 ) szabályokat (könnyű észrevenn, hogy ezek éppen a raconáls számok összeadásának és szorzásának szabálya). Ha ρ olyan, hogy (r 1, m 1 )ρ(r 2, m 2 ) (r 1 m 2 = r 2 m 1 ), akkor ρ ekvvalenca-relácót defnál T-n, amelyben mnden m M-re az (m, m) elemek egy osztályban vannak. Kevés számolással belátható, hogy ρ kompatbls mndkét művelettel, így teknthetjük a megfelelő faktorstruktúrát. Ez a struktúra gyűrű, amelyben e = (m, m) egységelem. r (rm, m) monomorfzmus, így az (rm, m) elemek azonosíthatóak R elemevel, R beágyazható a kapott gyűrűbe. A továbbakban a gyűrű műveletet a szokásos módon jelöljük, és (rm, m) helyett r-et írunk. Most m (m, mm ) = (mm, m ) (m, mm ) = (mm 2, mm 2 ) = (m, m) = e, vagys az eredet gyűrű mnden regulárs centrumelemének van nverze a faktorgyűrűben. Ha az m ezen nverzét m 1 -gyel jelöljük (ez általában nem eleme az eredet gyűrűnek!), akkor (r, m) = rm 1 alakban írható az új gyűrű bármely eleme. Azt s könnyű belátn, hogy m és m 1 az új gyűrű mnden elemével felcserélhető, vagys eleme a bővebb gyűrű centrumának. Belátható, hogy mnden olyan gyűrű, amely tartalmaz az R-rel zomorf részgyűrűt, és amelyben az R regulárs centrumelemenek megfelelő elemeknek van nverze, szükség szernt tartalmaz az előbb megkonstruált gyűrűvel zomorf részgyűrűt s. 15

18 Véges testek Amennyben R ntegrtás tartomány, akkor mnden nem nulla eleme regulárs centrumelem, így az előbb konstruált gyűrűben az R valamenny nem nulla elemének van nverze, és a szorzás kommutatív, tehát testet kapunk, vagys ntegrtás tartomány mndg beágyazható testbe. Gyűrűben a normáls részcsoportnak megfelelő részstruktúra az deál. Az R egy nem üres I részhalmaza bal oldal deál az R gyűrűben, ha I I I és RI I (vagys a bal oldal deál egyben részgyűrű, de ez fordítva általában nem gaz). Hasonlóan defnáljuk a jobb oldal deált, és az egyszerre bal és jobb oldal deál az deál. A gyűrű egy részhalmaza által generált (bal oldal) deál a gyűrű legszűkebb, a megadott halmazt tartalmazó (bal oldal) deálja. Az egyetlen elem által generált (bal oldal) deál (bal oldal) fődeál. Egységelemes gyűrűben a bal oldal fődeál a generáló elemnek a gyűrű összes elemével balról vett szorzata, és ha a gyűrű kommutatív, akkor ez az adott elem által generált fődeál. Ideál mnt a gyűrű addtív csoportjának részcsoportja normáls részcsoport, hszen az addtív csoport kommutatív, és így mnden bal oldal mellékosztály egyben jobb oldal s ugyanazon reprezentánssal, így az deál osztályoz. Ez az osztályozás kompatbls a gyűrű mndkét műveletével. Az deál szernt mellékosztályokat szokás maradékosztályoknak nevezn, és az deál szernt faktorgyűrűt maradékosztály-gyűrűnek. Ha r a gyűrű egy eleme, akkor az r által reprezentált maradékosztály az r + I halmaz. A csak a 0-t tartalmazó halmaz valamnt a teljes gyűrű deál, a gyűrű trváls deálja, a több deál a nem trváls deál. A gyűrű nem valód deál, mnden más deál valód deál. Egy deál maxmáls, ha valód deál, és a gyűrű egyetlen valód deáljának sem valód része Tétel Egységelemes kommutatív gyűrű maxmáls deálja szernt maradékosztály-gyűrű test. A gyűrű-homomorfzmusra hasonló tételek érvényesek, mnt a csoportoknál. Most s gaz, hogy gyűrűt összeg- és szorzattartó módon leképezve olyan kétműveletes struktúrába, amely külön-külön mndkét műveletre nézve grupod, akkor a képe gyűrű, azon elemek, amelyek képe a képhalmaz nulleleme, deált alkotnak, ez a leképezés magja, és pontosan azon elemek képe lesz azonos, amelyek az deál szernt azonos maradékosztályban vannak. Mnden elemet leképezve az őt tartalmazó osztályra, egy epmorfzmust kapunk, és mnden osztálynak megfeleltetve az osztály egy reprezentánsának képét, egy monomorfzmust kapunk. Ennek a két leképezésnek a szorzata megegyezk az eredet leképezéssel, továbbá a mag szernt maradékosztály-gyűrű zomorf lesz a képstruktúrával. Mnt ahogyan az egész számok mnt specáls gyűrű esetén, úgy általában s, gyűrűk vzsgálatánál az egyk legfontosabb terület az oszthatóság kérdése Defnícó Az R gyűrű u eleme w R bal (jobb) oldal osztója, ha w = uv (w = vu), ahol v R, és u osztója w-nek, ha egyszerre bal és jobb oldal osztója. Ha u bal oldal osztója w-nek, akkor w az u jobb oldal többszöröse. A bal oldal többszörös és a többszörös defnícója hasonló. Az alább tulajdonságok elég természetesek: a 0-nak mnden elem osztója, és a 0 csak önmagának bal oldal osztója; ha u mnden n > N-re bal oldal osztója w -nek, akkor (w r + m w )-nek s bal oldal osztója, ahol az r -k a gyűrű eleme, míg az m -k egész számok; bal oldal egységelem (ha létezk) mnden elemnek bal oldal osztója. A másodk tulajdonságból következk, hogy ha u bal oldal osztója v-nek, és v bal oldal osztója w-nek, akkor u bal oldal osztója w-nek (az oszthatóság tranztív). Amennyben a gyűrűben van jobb oldal egységelem, akkor a balról való oszthatóság reflexív. Most tegyük fel, hogy r balról osztója snek, míg ez utóbb bal oldal osztója r-nek. Ekkor s = ru és r = sv, és r és s jobbról asszocált, amt 16

19 1. Bevezetés r~ j s jelöl. Ha a két elem balról s asszocált, akkor asszocált, jelölésben r~s. Amennyben a balról osztható b-vel, akkor a mnden jobb oldal asszocáltja osztható b bármely jobb oldal asszocáltjával, hszen ekkor a = bt, a = au és b = b v, ahol a az a és b a b egy jobb oldal asszocáltja, és így a = au = (bt)u = b(tu) = (b v)(tu) = b (vtu) = b t. A defnícó alapján a jobb oldal asszocáltság szmmetrkus, és könnyen gazolható, hogy tranztív s. Ha még deklaráljuk, hogy mnden elem önmaga jobb oldal asszocáltja, akkor a jobb oldal asszocáltság ekvvalenca-relácó a gyűrű alaphalmazán. Ha egy gyűrűben van egy s balról regulárs elem, és egy jobbról regulárs r elemhez van olyan ε gyűrűelem, hogy r = εr, akkor ε egységelem. Ekkor ugyans bármely u-val ur = u(εr) = (uε)r-ből, mvel r jobbról regulárs, ur = uε, vagys ε jobb oldal egységelem, és ekkor mnden u-val teljesül az su = (sε)u = s(εu) egyenlőség, ahonnan u = εu, hszen s-sel balról lehet egyszerűsíten. Ez azt jelent, hogy ε jobb oldal egységelem s, és így egységelem. Specáls esetként kapjuk, hogy nullosztómentes gyűrűben már egyetlen r = εr (vagy r = rε) egyenlőségből következk, hogy ε egységelem, ha r Defnícó A gyűrű egy u eleme bal oldal egység a gyűrűben, ha a gyűrű mnden r elemének bal oldal osztója, és egység, ha egyszerre bal és jobb oldal egység. Ha az R nullosztómentes gyűrűben van bal oldal egység, akkor a defnícó előtt bekezdés alapján a gyűrű egységelemes. Legyen az egységelem e. Most az u bal oldal egység balról osztja e-t, tehát alkalmas u -vel e = uu, így u-nak van jobb oldal nverze, u. Ám u bal oldal nverze s u-nak, ugyans eu = u = u e = u (uu ) = (u u)u, és R nullosztó-mentessége következtében u u = e. Ekkor vszont tetszőleges r-rel r = re = r(u u) = (ru )u = su, u jobb oldal egység s, vagys R-ben mnden bal oldal egység egység, és ha van egység, akkor van egységelem, és mnden egységnek van nverze. Ez fordítva, sőt, még általánosabban s gaz, ha ugyans egységelemes gyűrűben egy u elemnek van jobb oldal nverze, akkor r = er = (uu )r = u(u r) = us, u bal oldal egység. Ez azt jelent, hogy R-ben éppen az nvertálható elemek az egységek. Az egységelem, ha van, mndg egység, és R-ben az egységelem osztó egységek, hszen ezeknek az elemeknek van nverzük, így gaz az alább tétel Tétel Nullosztómentes gyűrűben akkor és csak akkor van bal oldal egység, ha van egységelem. Ekkor mnden bal oldal egység egység, és az egységek pontosan az nvertálható elemek, vagys az egységelem osztó. A tétel alapján ferdetest, és így test mnden nem nulla eleme egység, és fordítva, ha egy gyűrű mnden nem nulla eleme egység, akkor a gyűrű ferdetest. Legyen egy nullosztómentes gyűrűben r és s jobbról asszocált. Ekkor r = su és s = rv-ből se = s = s(uv), vagys u és v egymás nverze, és így egységek. Fordítva, legyen r = su, ahol u egység, és legyen v az nverze. Ekkor s = rv, vagys r és s kölcsönösen egymás bal oldal osztó, tehát jobbról asszocáltak. Mndez azt jelent, hogy nullosztómentes gyűrű két eleme pontosan akkor jobbról asszocált, ha egyenlő, vagy egyk a másktól csak egy jobb oldal egységtényezőben különbözk. Az oszthatóság tovább vzsgálata során feltesszük, hogy a gyűrű kommutatív Defnícó Az R gyűrű nem üres A részhalmazának a gyűrű valamely c eleme közös osztója, ha osztója A mnden a elemének, és d az A legnagyobb közös osztója, ha d az A közös osztója, és A mnden közös 17

20 Véges testek osztójának többszöröse. h az A közös többszöröse, ha A mnden elemének többszöröse, és t az A legksebb közös többszöröse, ha közös többszöröse A-nak, és osztója A mnden közös többszörösének. Mvel u akkor és csak akkor osztója v-nek, ha bármely asszocáltja osztója v valamenny asszocáltjának, ezért a legnagyobb közös osztó és a legksebb közös többszörös legfeljebb csak asszocáltsággal tekntve egyértelmű, ám lyen értelemben, ha létezk, valóban egyértelmű. Ha ugyans d 1 és d 2 egyaránt legnagyobb közös osztója A-nak, akkor a defnícó alapján egyrészt d 1 osztója d 2 -nek, másrészt ez utóbb osztója d 1 -nek, tehát d 1 ~d 2. Hasonló állítás gaz a legksebb közös többszörösre s. Az s látható, hogy nullosztómentes gyűrűben legnagyobb közös osztó csak akkor létezhet, ha a gyűrű egységelemes, hszen ha egy közös osztó mnden közös osztónak osztója, akkor önmagának s osztója, és nullosztómentes gyűrűben lyen feltétel mellett van egységelem. Ha egy gyűrűben van egységelem, akkor az mnden elemnek osztója, tehát a gyűrű bármely részhalmazának közös osztója. Fontos az az eset, amkor az egységelem egyben a legnagyobb közös osztója egy halmaznak Defnícó Az R gyűrű egy nem üres A részhalmazának eleme relatív prímek, ha legnagyobb közös osztójuk az egységelem. Ha A bármely kételemű részhalmazának eleme relatív prímek, akkor A eleme páronként relatív prímek. Az egységek a gyűrű mnden elemének osztó, és egységelemes gyűrűben mnden elem osztója önmagának. Másk oldalról fontosak azok az elemek, amelyeknek a lehető legkevesebb osztó vannak. Az előbbek szernt ezek az olyan elemek, amelyeknek csak az egységek, valamnt a saját asszocáltjak az osztó. Természetesen lyen mnden egység, ezért ezek most nem érdekesek Defnícó Az R gyűrű egy nem egység r eleme felbonthatatlan R-ben, ha R-bel bármely kéttényezős szorzat-felírásában az egyk tényező egység. Ellenkező esetben, ha r 0, akkor felbontható R-ben. A gyűrű egy w elemének a gyűrű u eleme valód osztója, ha osztója, és nem asszocáltja w-nek, ellenkező esetben u nem valód osztója w-nek. Az u trváls osztója w-nek, ha vagy egység, vagy asszocáltja w-nek, egyébként u a w nem trváls osztója. Látható, hogy r pontosan akkor felbontható, ha felírható két valód osztójának szorzataként. Mndezek alapján a gyűrű egy r eleme ebben a gyűrűben egymást páronként kzáró módon vagy a nullelem, vagy egység, vagy felbonthatatlan vagy felbontható. Felbonthatatlan helyett rreducblst, felbontható helyett reducblst s mondunk. Oszthatóság szempontjából egy tovább központ fogalom a prímtulajdonság Defnícó Az R gyűrű p eleme prímtulajdonságú, ha valahányszor osztója egy R-bel szorzatnak, osztója legalább az egyk tényezőnek. A prímtulajdonságú p prímelem, vagy rövden prím R-ben, ha nem nulla és nem egység. A nullelem és az egységek prímtulajdonságúak. Nullosztómentes gyűrűben csak akkor van nullától különböző prímtulajdonságú elem, ha van egységelem, és ekkor gaz az alább tétel. 18

21 1. Bevezetés Tétel Nullosztómentes gyűrűben mnden prímelem felbonthatatlan. A tételben megfogalmazott állítás vsszafelé nem gaz, hszen ha a gyűrűben nncs egységelem, akkor prímelem sem létezhet ebben a gyűrűben. Ha vszont a gyűrű nem nullosztómentes, akkor lehet benne olyan prímelem, amely felbontható. Egy gyűrű vzsgálatát jelentősen egyszerűsít, ha mnden elem felírható véges sok felbonthatatlan elem szorzatára, és még kedvezőbb a helyzet, ha ez a felbontás lényegében véve egyértelmű. Ezen azt értjük, hogy ugyanazon elem két felbontása legfeljebb csak a tényezők sorrendjében és az összetartozó tényezőpárok asszocáltságában tér el egymástól Defnícó Az R ntegrtás tartomány Gauss-gyűrű, vagy egyértelműen faktorzálható gyűrű, ha mnden nem nulla és nem egység eleme lényegében véve egyértelműen bontható fel a gyűrűben felbonthatatlan elemek szorzatára. Azt már mondtuk, hogy nullosztómentes gyűrűben egy prímelem felbonthatatlan. Gauss-gyűrűben ez vsszafelé s gaz. Legyen ugyans f felbonthatatlan az R Gauss-gyűrűben, és legyen osztója uvnek, ahol u és v szntén R-belek. Ekkor uv = fw, és ha mnd u-t, mnd v-t, mnd w-t helyettesítjük a lényegében véve egyértelmű felbontásukkal, akkor a két oldalon lényegében véve ugyanazon felbonthatatlan elemek állnak, legfeljebb más sorrendben és asszocáltan. A jobb oldalon az egyk felbonthatatlan tényező f, így annak (pontosabban szólva valamely asszocáltjának) a bal oldalon s szerepelne kell. De ott csak u és v felbonthatatlan tényező találhatóak, így valamelykük, mondjuk u felbontásában megtalálható f egy asszocáltja, am azt jelent, hogy u osztható f-fel. Ha egy gyűrű Gauss-gyűrű, akkor azt s mondjuk, hogy a gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele, hszen a nem nulla egész számok sorrendtől és előjeltől eltekntve egyértelműen bonthatóak fel felbonthatatlan egészek szorzatára (vagys Z Gauss-gyűrű, hszen ntegrtás tartomány). Mvel a Gauss-gyűrűk vzsgálatához sokszor elegendő a felbonthatatlan elemek vzsgálata, ezért fontos lehet tudn gyűrűk egy osztályáról, hogy eleme Gauss-gyűrűk-e Defnícó Az R ntegrtás tartomány eukldesz gyűrű, ha létezk olyan alulról korlátos φ: R Z, hogy a gyűrű mnden a eleme R-bel tetszőleges, nullától különböző b elemmel felírható a = qb + r alakban, ahol q és r s R eleme, és vagy r = 0, vagy r 0 és φ(r) < φ(b). Az eukldesz gyűrűben megadott φ függvény az eukldesz norma. Ez nem egyértelmű, például ha g: Z Z szgorúan monoton növő függvény, akkor g φ: a g(φ(a)) s eukldesz norma. Mvel tetszőleges k egész számra a Z-t önmagába képező g k: u u + k függvény szgorúan monoton növekvő, így bármely, a φ alsó korlátjánál nem ksebb r egésszel g r φ az R gyűrű nem nulla elemét N- be képez, így eleve feltehetjük, hogy az eukldesz norma nemnegatív egész szám. Azt sem nagyon nehéz belátn, hogy eukldesz gyűrűhöz mndg lehet találn olyan eukldesz normát, amelyre még az s teljesül, hogy ha a és b a gyűrű nem nulla eleme, akkor φ(a) φ(ab) (ezt a legtöbb esetben eleve kkötk). Ha ugyans φ tetszőleges eukldesz norma, akkor az R nullától különböző r elemen defnált φ (r) = mn s R {φ(rs)} függvény szntén eukldesz normája a gyűrűnek, amely még a mostan megkötéssel s rendelkezk. 19