Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról
|
|
- Henrik Vass
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1, akkor b 2a 2,. Legyen továbbá a G n G n a, b, ), n 0 sorozat a G 0 0, G 1 1, G 2 a, G 3 a 2 b kezdőértékkel és a G n+4 ag n+3 bg n+2 + ag n+ G n, n 0 1) rekurzóval defnálva. Hasonlóképpen legyen a Ĝn Ĝna, b, ), n 0 sorozat a Ĝ0 4, Ĝ1 a, Ĝ 2 a 2 2b, Ĝ3 a 3 3ab+3a kezdőtagokkal és ugyancsak az 1) rekurzóval defnálva. Dolgozatunkban megmutatjuk, hogy a {G n } n0 sorozat bzonyos szempontból hasonlóképpen vselkedk, mnt a Fbonacc, míg a Ĝn, mnt a Lucas sorozat. Pontosabban gaz 1. Tétel. A {G n } n0 oszthatóság sorozat, azaz ha d n, akkor G d G n. 2. Tétel. Ha n páratlan és d n, akkor Ĝd Ĝn. Az 1. Tételt a b 1, 3, 1 specáls esetekben [2] dolgozatban bzonyítottam. A fent negyedfokú sorozatok szoros kapcsolatban állnak a g 0 0, g 1 1, lletve a ĝ 0 2, ĝ 1 a kezdőértékekkel és g n+2 ag n+ b 2)g n, n 0 2) rekurzóval defnált másodrendű rekurzív sorozatokkal. A pontos összefüggéseket a 4. Tételben fogalmazzuk meg. Végezetül megmutatjuk, hogy a {G n } és {g n } lletve a {Ĝn} és {ĝ n } sorozatok p prímszám szernt redukáltja s összefüggnek. 3. Tétel. Legyen p prímszám. Akkor G p a, b, ) g p a, b, ) mod p) és 3) A dolgozat az OTKA T42985 s T38225 pályázatok támogatásával készült. 1
2 Ĝ p a, b, ) ĝ p a, b, ) mod p). 4) Az 5. tételben megfogalmazott kongurencák prímszámok tesztelésére s alkalmasak, erre a kérdésre azonban most nem térünk k. 2. Kapcsolat a {G n } és {g n } sorozatok karaktersztkus polnomja között A {G n } és persze a {Ĝn} karaktersztkus polnomja Könnyen belátható, hogy P G x) x 4 ax 3 + bx 2 ax x 2 P Gx) x + x) 2 a x + ) + b 2, x azaz az 1 x P 2 G x) raconáls törtfüggvényben az y x + x helyettesítést végrehajtva a P g y) y 2 ay + b 2 polnomot kapjuk, amelyk a {g n } és {ĝ n } sorozatok karaktersztkus polnomja. Az a 2 4b 2) 0 feltétel matt P g y)-nak két különböző gyöke van, melyeket ε és ε -vel fogunk jelöln. A b 2 feltétel matt b 2 0, így εε 0. A kezdőértékek megválasztása matt g n εn ε n ε ε és ĝ n ε n + ε n 5) teljesül mnden n 0-ra. Legyen a P G x) egy gyöke, akkor 0 és s gyöke P Gx)-nek. A b 2a 2, ha 1 feltétel matt. A P Gx) és P g y) polnomok között összefüggés matt + gyöke P gy)-nak. Feltehető, hogy + ε. Mvel ε ε, így P G x)-nek van olyan -val jelölt gyöke, amelyre + ε. Eredményenket az alább állításokban foglaljuk össze. 1. Lemma. Legyen a, b, Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és b 2a 2, ha 1. Akkor ) P g x)-nek két nullától különböző gyöke van ε és ε. ) P G x)-nek négy különböző gyöke van:,, és. ) Teljesül, hogy ε + és ε +. 2
3 Az 1. Lemmában megfogalmazott tulajdonságokat valamnt a {G n } és a {Ĝn} sorozatok kezdőértéket felhasználva könyen belátható, hogy ) n n + n ) n G n + és 6) ) n ) n Ĝ n n + + n + 7) teljesül mnden n 0-ra. 3. Az 1. és 2. Tétel bzonyítása Az 1. Tétel bzonyítása. Vegyük észre először az ) n n + n ) n n n ) ) n ) relácót, amelyk mnden n 0-ra teljesül. Ebből és 6)-ból következk, hogy ) n G n n n. 8) Az és a P G x) gyöke, így egységek valamely algebra számtestben. Ebből következk, hogy s egység. A defncóból nylvánvaló, hogy G n Z mnden n 0-ra. Legyen d N olyan, hogy d n. Akkor G n /G d Q. Másrészt 8)-ból következk, hogy ) n G n n n G d d d ) d. Ellem algebra azonosság szernt n n d d n d + n 2d d + + d n 2d + n d. A jobb oldal összeadandók mndegyke algebra egész, így az összegük s az. Ugyanígy látható be, hogy a másodk faktor s algebra egész, így G n /G d egy olyan algebra egész szám, amelyk Q-ban van. Ez pedg csak akkor lehetséges, ha G n /G d Z. Az 2. Tétel bzonyítása. Ez hasonló, mnt az 1. Tétel bzonyítása. Azt kell csak észrevennünk, hogy ) n ) n ) n ) n + + n + n + n ) 1 +, 9) 3
4 valamnt ha n páratlan és d n, akkor n + n d + d lletve ) n ) d algebra egészek. 1. Megjegyzés. Az osztható rekurzív sorozatokat Bezven, Pethő és van der Poorten [1] karakterzálták. Az általunk defnált {G n } és {Ĝn} sorozatoknak az az érdekessége, hogy bár 8) lletve 9) szernt felbomlanak két másodrendű lneárs rekurzv sorozat szorzatára, a faktorok azonban általában nem raconáls egészek. Ez történk például, ha b 1 vagy 3 és 1. Az F 0 0, F 1 1, F n+2 F n+1 + F n kezdőértékekkel, lletve rekurzóval defnált Fbonacc sorozat jelent az skolapéldát osztható rekurzív sorozatokra. Erre könyű olyan bzonyítást adn ld. pl. [3]), amelyk csak az egész számok artmetkáját használja. Hasonló bzonyítást a {G n } és a {Ĝn} sorozatokra nem skerült találnom. 2. Megjegyzés. A Fbonacc sorozatokra, sőt az általánosabb R n αn β n α β sorozatokra, ahol α és β az α x 2 r 1 x r 0, r 1, r 0 Z polnom gyöke, az 1. Tételnél erősebb R n, R d ) R n,d) relácó s teljesül. Ez általában nem gaz az általunk defnált {G n } sorozatokra. Tekntsük például az sorozatot, amelyk a n G n G n+4 G n+3 + 3G n+2 G n+ G n rekurzónak tesz eleget. Akkor például G 3, G 5 ) 5 G 1 és G 4, G 6 ) 7 G 2. Könnyen lehet persze tovább példákat s találn, ezért érdekes kérdés a {G n } és {Ĝn} sorozatokra a tagok legnagyobb közös osztójának jellemzése. 4. A 3. Tétel bzonyítása Az 3. Tétel bzonyítása. A 8), 9) valamnt a 1. Lemma ) relácókat használjuk a bzonyításban. Legyen p egy prímszám. Ha p 2, akkor 3) és 4) a sorozatok kezdőértéke megválasztása matt teljesül. A továbbakban tehát feltehető, 4
5 hogy p páratlan. Akkor ε p ε p ε ε + ) p + p p 1 2 p 1 ε ε p ) ) p p 2 + p ) p 2 + ) p G p 2. ) p 2 p 2 ) p 2 ) ε ε ) p 2 p 2 ) p 2 + Mvel p ) mnden 1 p -re osztható p-vel, így az előző azonosságból g p G p mod p), azaz 3) következk. A 4) kongruenca hasonlóképpen ellenőrzhető. 3. Megjegyzés. A 3) és 4) kongruencák nem prímkrtérumok, azaz vannak olyan összetet számok, amelyekre 3) lletve 4) teljesül. A Fbonacc sorozat és a 2. Megjegyzésben megadott sorozat például az a, b, ) 1, 3, 1) paraméterekkel vannak defnálva. A 0 n ntervallumban az n 15, 25, 45, 121, 125, 375, 525, 625, 1125, 1605, 2205, 2375, 3125, 4375, 5425, 8925 és 9375 összetett számokra s teljesül 3). 5. Tovább összefüggések a {G n } és {g n } lletve a {Ĝn} és {ĝ n } sorozatok között Az előbbekben láthattuk, hogy a {G n } és {g n } lletve {Ĝn} és {ĝ n } sorozatok között szoros kapcsolat van. A 4. részben például beláttuk, hogy páratlan p egészre g p kfejezhető G p, G p 2,..., G 1 egész együtthatós lneárs kombnácójaként. Most az ellenkező rányú kapcsolatot vzsgáljuk, azaz G p -t Ĝp) szeretnénk kfejezn a {g n } {ĝ n }) sorozat eleme lneárs kombnácójaként. A következő állítás bztosan smert, de nem skerült referencát találnom. 2. Lemma. Defnáljuk a {λ j) } 0 sorozatot a következőképpen: j 2 λ 0) 0 2, λ 0) 1 0, λ 1) 0 1, λ 1) 1 0 és λ 2k+2) 0 λ 2k) 0, λ 2k+2) k+1 λ 2k+1) k, λ 2k+2) 5 λ 2k+1) 1 λ 2k), 1 k és
6 λ 2k+3) 0 0, λ 2k+3) k+1 λ 2k+2) k+1, λ 2k+3) λ 2k+2) λ 2k+1), 1 k. Ha 0 n 2k + e, ahol e {0, 1}, akkor X n + Y n λ n) X + Y ) 2+e XY ) k. Bzonyítás. Egyszerű teljes ndukcó, felhasználva az azonosságot. X n+1 + Y n+1 X n + Y n )X + Y ) XY X n 1 + Y n 1 ) 3. Lemma. Bármely n 0 és 0 [ n 2 ]-re λn) 1) [ n 2 ] 0. Bzonyítás. A 2. Lemmában leírtak matt λ n) [n/2] 1 és λn) 0 { 2 1) [n/2], ha n páros 0, ha n páratlan. Így az állítás gaz mnden n-re és 0, [ n 2 ]-re. Tegyük fel, hogy gaz mnden m < n-re és legyen 0 < < [ n 2 ]. Ha n páros, mondjuk n 2k + 2 és 0 < < k + 1, akkor λ 2k+2) 1) k+1 λ 2k+1) 1 1) k+1 λ 2k) 1) k+1 λ 2k+1) 1) [ 2k+1 2 ] 1)+2 + λ 2k) 1) k +2. A jobb oldalon álló kfejezésben az ndukcós hpotézs szernt mndkét összeadandó nem negatív, így az összegük s az. Ha pedg n páratlan, például n 2k + 3 és 0 < < k + 1, akkor λ 2k+3) 1) k+1 λ 2k+2) 1) k+1 λ 2k+1) 1) k+1 λ 2k+2) 1) [ 2k+2 2 ] + λ 2k+1) 1) [ 2k+1 2 ] +2 és az előbb esethez hasonlóan következtethetünk arra, hogy a kfejezés nem negatív. 4. Tétel. Legyenek a, b, a Bevezetésben megfogalmazott feltételeknek eleget tevő egész számok és 0 n 2k + e, ahol e {0, 1}. Akkor λ n) g 2+e a, b, ), ha 1 G n a, b, ) λ n) g 2+e a, b, ), ha 1, és Ĝ n a, b, ) λ n) ĝ 2+e a, b, ), ha 1 λ n) ĝ 2+e a, b, ), ha 1. 6
7 Bzonyítás. Csak az első állítást bzonyítjuk, mert a másodk bzonyítása teljesen hasonló. Az a, b és argumentumokat elhagyjuk a továbbakban. A 6) azonosságot és a 2. Lemma állítását felhasználva ) n n + G n ε ε 1 ε ε λ n) 1 ε ε n + + ) n ) ) 2+e ) k λ n) k ε 2+e ε 2+e) λ n) k g 2+e. λ n) + ) 2+e ) ) k Felhasználva végül a 3. Lemmát, kapjuk az állítást. References [1] J.P. Bézvn, A. Pethő and A.J. van der Poorten, A full characterzaton of dvsblty sequences, Amer. J. Math., ), [2] A. Pethő, Complete solutons to a famly of quartc dophantne equatons, Math. Comp ), [3] N.N. Vorobjev, Fbonacc Numbers n Russan), sxth edton, Nauka Moskau, Debrecen Egyetem Számítógéptudomány Tanszék H-4010 Debrecen, Pf. 12 e-mal: pethoe@math.klte.hu 7
d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenPéldák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):
F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).
RészletesebbenBUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK
BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök
RészletesebbenIDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.
IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence 2014. október 17. I. Generatív és dszkrmnatív modellek Korábban megsmerkedtünk a felügyelt tanulással (supervsed learnng). Legyen adott a D = {, y } P =1 tanító halmaz, ahol
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenA Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévével kapcsolatos tudnivalók
A Bevezetés a matematkába című tárgy 3. félévével kapcsolatos tudnvalók A tárgy vzsgá két részből állnak, egy tesztjellegű írásbelből, valamnt egy szóbelből. Az írásbeln nncs osztályzat, a szóbel vzsga
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenOszthatósági problémák
Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,
RészletesebbenA szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.
A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenElektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző
lektrokéma 03. Cellareakcó potencálja, elektródreakcó potencálja, Nernst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Cellareakcó Közvetlenül nem mérhető (
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}
2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó
RészletesebbenBiostatisztika e-book Dr. Dinya Elek
TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok
RészletesebbenBevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek
Bevezetés progrmozásb 3. Elődás Algortmusok, tételek ISMÉTLÉS Specfkácó Előfeltétel: mlyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mt várunk kmenettől, m z összefüggés kmenet és bemenet
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenÁltalános esetben az atomok (vagy molekulák) nem függetlenek, közöttük erős
I. BEVEZETÉS A STATISZTIKUS MÓDSZEREKBE Ebben a fejezetben konkrét példán vzsgáljuk meg, hogy mlyen jellegzetes tulajdonsága vannak a makroszkopkus testeknek statsztkus fzka szempontból. A megoldás során
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás
Megoldás 1. Melyik mondat állítás a következőek közül? A: Szép idő van ma? B: A 100 szép szám. C: Minden prímszám páratlan. D: Bárcsak újra nyár lenne! Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen
RészletesebbenFrank András MATROIDELMÉLET május 20.
Frank András KOMBINATORIKUS OPTIMALIZÁLÁS, II: MATROIDELMÉLET 2011. május 20. ELTE TTK, Operácókutatás Tanszék 1 1. Fejezet MATROIDELMÉLETI ALAPOK 1.1 BEVEZETÉS A matrod egy (S, F) párral megadható absztrakt
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
Részletesebben(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)
Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenVARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)
VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenKözepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
RészletesebbenFuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika
Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenA Sturm-módszer és alkalmazása
A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenBels pontos módszer geometriai programozási feladatra
Bels pontos módszer geometra programozás feladatra MSc Szakdolgozat Deák Attla Alkalmazott matematkus szak Operácókutatás szakrány Témavezet : Illés Tbor, egyetem docens Operácókutatás Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenGyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések
Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenGonda János VÉGES TESTEK
Gonda János VÉGES TESTEK Budapest, 2011 Lektorálta Bu Mnh Phong Utolsó módosítás dátuma: 2018. áprls 5. Előszó Ez a jegyzet az ELTE-n tartott Véges testek lletve Véges testek alkalmazásokhoz című tárgy
RészletesebbenEgész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenFermat kongruencia-tétele, pszeudoprímszámok
Fermat kongruencia-tétele, pszeudoprímszámok Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2005. december 15. Bolyai János születésének napja 1. Fermat kongruencia-tétele A kínai matematikusok már K. e. 500 körül
RészletesebbenPELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL
PELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL KISS PÉTER Legyenek A, B, G 0, G x rögzített egész számok, melyekre AB ^ 0 és G 0, G x nem mindkettője zérus. Az egész számok G 0, G 1(
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk
RészletesebbenMegoldások 11. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenBizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
RészletesebbenA DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI
J 2 A DÖNTÉSELMÉLET ALAJAI óformán életünk mnden percében döntéseket kell hoznunk, és tesszük ezt mnden elmélet megalapozottság nélkül. Sajnos a mndennap életben felmerülő egyed döntésekre még nem skerült
Részletesebben5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
RészletesebbenSzerző: Forrai György
HATVÁNYÖSSZEGE ELMÉLETE II. TANULMÁNY ALALMAZÁSO: NEWTON BINOM, MINT HATVÁNYÖSSZEG Szerző: Forra György Ez a tanulmány a szerző tulajdona. A tanulmányban foglaltak a szerző jog védelme alatt állnak. Csak
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben