Bels pontos módszer geometriai programozási feladatra

Átírás

1 Bels pontos módszer geometra programozás feladatra MSc Szakdolgozat Deák Attla Alkalmazott matematkus szak Operácókutatás szakrány Témavezet : Illés Tbor, egyetem docens Operácókutatás Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudomány Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar 2016

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Történet áttekntés A kéma egyensúly feladat A lneárs cseremodell feladat Lneárs programozással való kapcsolat A geometra programozás prmál- és duál feladata Matematka bevezetés A monom és poznóm programozás feladat A Klafszky-féle programozás feladat A dualtás tétel A Lagrange-függvény és Lagrange-duál A regulartás tulajdonság A perturbált feladat Sztochasztkus geometra programozás Ktekntés: kúp programozás A geometra duáls feladat tulajdonsága Bevezetés Bels pontos algortmus geometra programozás feladatokra Bevezetés A bels pontos algortmus

3 1. Bevezetés A dolgozat els részében a geometra programozás történetére térünk k el ször, megemlítjük az eddg közel 60 éves d szak fontosabb állomásat. Megemlítjük, hogy számos alkalmazással bír ez a terület, amelyre az utána következ 3 ksebb részben példát s mutatunk. El ször az els mérföldk nek teknthet kéma egyensúly egyenletet mutatjuk be és vezetjük vssza a duáls geometra programozás feladatra bzonyos átalakítással. A másodk példa a Klafszky Eml által vzsgált lneárs cseremodell egyensúly pontjának a vzsgálata. Ennél a feladatnál s vsszavezetjük a problémát egy geometra programozás feladatpárra. Legvégül arra mutatunk példát, hogy egy specáls lneárs programozás feladat hogyan vhet át poznóm és geometra programozás feladattá Történet áttekntés A geometra programozás egy specáls típusa a nemlneárs programozás feladatoknak, amely konvex programozás feladattá alakítható a változók logartmálásával. Az els megjelenése ennek a feladat osztálynak 1958-ban volt, amkor s W.B. Whte, S.M. Johnson és G.B. Dantzg ckkükben egy kéma egyensúly egyenletet fogalmaztak át egy matematka programozás feladattá. Ez volt tulajdonképpen a geometra programozás duáls feladata. Kés bb többen s vzsgálták ezt a duáls feladatot ban néhány szerz [14] a geometra egyenl tlenséget használta fel különböz optmalzálás feladatok megoldására ban R.J. Dun, E.L. Peterson és C. Zener könyvükben összefoglalták az addg eredményeket és egy átfogó m vet alkottak a geometra programozás prmál/duál feladatáról, általánosításáról, lletve néhány alkalmazásról ban jelent meg az els magyar nyelv rodalom ebben a témában. A szerz, Klafszky Eml a kanddátus értekezésében átdolgozta az addg összes eredményt, és egy új fajta tárgyalásmódban építette fel a geometra programozás plléret. Napjankban ez a terület számos egyéb alkalmazással bír, például az antenna optmalzácóban, kommunkácós rendszerekben, sorozat gyártás feladatokban, repül gép alkatrész tervezésben aerodnamka, ld. [6] ckk). 3

4 1.2. A kéma egyensúly feladat A fent bezet ben szerepl W.B. Whte, S.M. Johnson és G.B. Dantzg [1] ckkükben smertetett kéma egyensúly egyenletet szeretnénk rövden smertetn. Kés bb, a matematka háttér bevezetése után, erre a feladatra többször s utaln fogunk. Jelölésekben a [7] ckket követjük. A beszámolóban többször használjuk azt, hogy az I := {1, 2,..., n}-et partcónáljuk I k k = 1, 2,..., p) dszjunkt ndexhalmazok dszjunkt unójára. 1. Probléma. Vegyük mol számok egy x := x 1,..., x n ) halmazát. Jelöljük P -vel a légnyomást, R-rel az egyetemes gázállandót, T -vel a h mérsékletet Kelvnben) és F 0 -val pedg a Gbbs-féle szabadenerga függvényt F 0 RT -ben). A feladat egyszer bb tárgyalása érdekében használjuk a következ jelöléseket: f x) := x c + log c := n x x ) F 0 RT + log P) = x F 0 RT ) RT + log P n x x, x := n x, x k := x j k = 1, 2,.., p) j I k ahol f : R n R, x 0, x 0 és F x) := n f x) ekkor a teljes szabadenerga 4

5 F RT )x ) := n x c + x logx )) p x k logx k ). teljes szabadenerga) Írjuk fel a következ lneárs programozás alapfeladatot: mn F RT x) Ax = b x 0, x 0 ahol a j : j-edk elem atomjanak száma az -edk molekula specesenek j = 1, 2,..., m), b j : j-edk elem teljes atomtömege, amely megjelenk a keverékben j = 1, 2,..., m), m : kéma elemek száma. A [2] könyvben a szerz k átalakították az el z feladatot. Vették a célfüggvény negatívszorosát e alappal x := e t ). Az egyszer bb tárgyalásmód matt t helyett használjuk megnt x -t am nem ugyanaz mnt korábban ). Ekkor az el z feladat a következ re redukálódk: max vx) = n c x ) x p j I k x j ) j I k x j x 1 = 1, x 0 x T A = 0 ahol ) F 0 RT ) e logp, = 2, 3,..., n c = 1 = 1 5

6 Az mént bemutatott probléma tulajdonképpen a következ kben bemutatásra kerül standard geometra programozás feladat duáls feladata. Ezt a következ kben látn s fogjuk. Végezetül mutatunk egy numerkus példát a kéma egyensúly feladatra, melynek alapjául az [1] ckk szolgált. 2. Példa. Tekntsük azon gázokat, amelyek távoznak egy sztöchometrkus H 2 N 4 és O 2 égése során 3500 kelvn h mérsékleten T =3500) és 750 légkör nyomás P =750) alatt. Az alább táblázatban összefoglaljuk, hogy az egyes specesekhez mekkora Gbbs-féle szabadenerga érték tartozk, lletve menny a j-edk elem atomjanak száma az -edk molekula speceseben j = 1, 2, 3). Az adatok az [1] ckkb l származnak. Specesek = 1, 2,..., 10) F 0 RT a 1, H a 2, N a 3, O H -10, H 2-21, H 2 O -37, N -9, N 2-28, NH -18, NO -28, O -14, O 2-30, OH -26, Emellett legyen b 1 = 2, b 2 = 1, b 3 = 1. A szerz k két módszert adtak meg ckkükben ennek a feladatnak az általános feladatnak) a megoldására vonatkozóan. Ezek leírása megtalálható az [1] ckkben. Jelen esetben a célunk, hogy felírjuk erre a feladatra a geometra programozás feladat duálsát. Tekntsük a fent szerepl geometra programozás duáls feladatot, amelyet szeretnénk megoldan a mol számok azaz x) szernt. A mol szám határozza meg, hogy hány mol anyag található egy adott tömeg anyagban. Ebben a felírásban a táblázat segítségével könnyen leolvasható az a j, b j, c 6

7 = 1, 2,..., 10; j = 1, 2, 3) értéke. Az alább táblázatot felhasználva a fent szerepl duáls feladat x-re megoldható, hszen a célfüggvény csak c t l és x t l függ, azonban c kolvasható a táblázatból. Emellett a feltételben szerepl A mátrx értéke a j matt kolvasható a korább táblázatból. c értéke c értéke = 1 1 = = = = = = = = = Azaz a következ feladat megoldható x-re. ) x1 ) x2 ) x10 1 max 0, x 1 x , p x 10 j I k x j ) j I k x j x 1 = 1, x 0 x T = 0 Megjegyezzük, hogy az [1] ckkben a szerz k lneárs programozás módszert használva oldották meg az mént szerepl feladatot. 7

8 1.3 A lneárs cseremodell feladat Az alább szakaszban egy termelés feladatot fogunk bemutatn, amelynek majd az egyensúly pontját keressük. A lneárs cseremodell feladattal Klafszky Eml a [15] ckkében foglalkozott, és vsszavezette a feladatot egy geometra programozás feladatra. A kés bb fejezetekben mután bevezetésre kerül a dualtás tétel a geometra programozás feladatokra vonatkozóan, megmutatjuk, hogy a következ kben kapott két programozás feladat külön-külön karakterzálják az egyensúly pontot. Ez a feladat, mnt majd látjuk, ekvvalens egy komplentartás feladattal. Gale a [32] könyvében közgazdaság és lneárs modelleket vzsgált a mátrx játékok és a lneárs programozás feladatok alkalmazásaként. Az lyen modellek megértése matt egy könnyebben tárgyalható, úgynevezett lneárs cseremodell feladatot épített k a munkájában, amely abban az d ben 60-as évek) egy atal területnek számított. A feladat elemzéséhez vegyünk egy gazdaságot, ahol adott egy termel és számos fogyasztó. A termel bzonyos számú árut állít el, míg a fogyasztónak bzonyos mennység jövedeleme van, amelyért árut vásárol. Ez az úgynevezett cseremodell. A lneartás abból adódk, hogy a fogyasztókhoz tartozó vásárlás vektora mellett a vásárló lneárs haszonhoz juthat. Használjuk a következ jelöléseket: T : termel, a j : áruk, amelyeket a termel el állít j = 1, 2,..., n), m j : j edk áru egységny mennysége j = 1, 2,..., n), p j : a j áru egységny ára j = 1, 2,..., n), F : fogyasztók = 1, 2,..., m), j : edk fogyasztó jövedelme, ezen vásárolhat árut = 1, 2,..., m), u j : F fogyasztónak ennyt ér az a j áru utltás mátrx) = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), x j : F fogyasztó az a j áruból vásárolt mennysége = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Legyen továbbá : 8

9 U := u j : = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), j := j : = 1, 2,..., m), m := m : = 1, 2,..., m), p := p j : j = 1, 2,..., n) 0 árvektor), X := x j : = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Tegyük meg az alább megkötéseket: 1. u j 0, m u j > 0 mnden j-re, n u j > 0 mnden -re. j=1 Vezessünk be három egyensúly denícót: 1. pénz egyensúly) n p j x j = j = 1, 2,.., m) j=1 2. áru egyensúly) m x j = m j j = 1, 2,..., n) 3. össz kereslet-kínálat egyensúly) n m j p j = m j=1 j A következ denícóhoz szükséges bevezetnünk, hogy egy vásárlás vektort x ) elfogadhatónak hívunk az edk fogyasztó számára, ha az összes árvektor között amre x 0, px = j ) az u x értéket maxmalzálja. 3. Denícó. A p 0 vektor egyensúly ár, ha van olyan X 0 mátrx, hogy a pénz és az áru egyensúly megkötéseket teljesít, és mnden fogyasztó részére elfogadható. Az X elfogadható mátrxot egyensúly vásárlás mátrxnak hívjuk. Az alább állítás arra ad szükséges és elégséges feltételt, hogy mkor létezk lyen egyensúly vásárlás mátrx. A bzonyítás megtalálható a [15] ckkben. 9

10 4. Állítás. X egyensúly vásárlás mátrx akkor és csak akkor, ha létezk olyan y = y 1,..., y m ) vektor, amelyre teljesülnek az alább feltételek: pénz egyensúly feltétel, áru egyensúly feltétel, y p j u j 0, y p j = u j x j, x j 0, p j > 0, y > 0. A következ állításból kolvasható, hogy abban az esetben, ha van egyensúly vásárlás mátrxunk, akkor ez maxmalzál egy bzonyos függvényt, azaz egy matematka programozás feladatot old meg. Emellett szntén szükséges és elégséges feltételt ad X mátrx egyensúlyságára. Csak közöljük az állítást, a bzonyítás megtalálható a [15] ckkben. A f lépése a bzonyításnak a geometra egyenl tlenséget használja, amelyre a következ részben térünk k. 5. Állítás. Az X mátrx egyensúly vásárló mátrx feltéve, ha létezk), ha maxmalzálja a m u x ) j függvény az áru egyensúly feltétel és az x j 0 mellett. A célunk, hogy felírjunk egy geometra programozás prmál és duál feladatpárt. Ennek eléréséhez nézzünk két feladatot A és B), amelyekr l belátjuk, hogy fennáll köztük a dualtás tétel. Az A feladat esetében találnunk kell olyan X 0 mátrxot és p 0 vektort, hogy teljesüljenek a feltételek, míg a B feladat esetében találnunk kell olyan y > 0 és z > 0 vektorokat, hogy teljesüljenek az ottan feltételek. A lneárs cseremodell operácókutatás felírása prmál feladat): Találjunk olyan X 0 mátrxot és p 0 vektort, hogy teljesüljenek az alábbak. mn m n j=1 ) pj p j x j log u j n p j x j = j = 1, 2,.., m) j=1 10

11 m x j = m j j = 1, 2,..., n) Írjuk fel most a másk feladatot s. A lneárs cseremodell operácókutatás felírása duál feladat): max m j log ) 1 y n z j m j = m j=1 j u j y z j = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) 1. Mndkét feladatnak létezk optmáls megoldása. 2. A keresett X, p, y, z akkor és csak akkor elégítk k a feladatok célfüggvényet a hozzátartozót), ha p = z és y p j = u j x j. Használjuk a következ jelöléseket: j := m j, u j := ujm j m j j, p j pjmj := m j, x j pjxj := m j = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) Ennek következtében az A feladat korlátozó feltétele megváltoznak, pontosabban: n x j = j j=1 = 1, 2,.., m) m x j = p j j = 1, 2,..., n) Tekntsük a célfüggvény megváltozását, felhasználva, hogy n j=1 p j = 1, n j = 1, így mn m n x j j=1 )) log u j + log n p ) p j j j=1 ) n p n p j j=1 j j=1 11

12 A [15] ckkben a szerz egy praktkus ábrát táblát) készített ennek a feladatnak a szemléltetéséhez, amb l leolvasható a prmál feladat párja s az el z célfüggvénynek. A prmál feladat a következ alakú, ehhez vegyük az ζ 1,..., ζ m és ξ 1,..., ξ n változókat, így e ζ+ξj+log u ) j 1 = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) n e ξj 1 j=1 max m j ζ 1.4. Lneárs programozással való kapcsolat A geometra programozás számos alkalmazása mellett megemlíthet, hogy néhány specáls esetben egy lneárs programozás feladatot s vsszavezethetünk rá. Az alábbakban bemutatjuk, hogyan s m ködk ez. Tekntsük el ször a lneárs programozás feladatok egy lehetséges prmál feladatát. Jelen szakaszban csak a prmál feladattal foglalkozunk. Prmál feladat: mn m a T 1j x j + c 1 =: b 0 j=1 m a T 2j x j + c 2 =: b 1 j=1 m a T 3j x j + c 3 =: b 2 j=1. m a T nj x j + c n =: b n 1 j=1 12

13 ahol a j és c tetsz leges konstansok = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m). Alakítsuk át ezt a prmál feladatot a b := logb ) segítségével, az így kapott feladat a következ : Prmál geometra) feladat: mn B 0 := e m a T 1j xj+c1 j=1 B 1 := e m j=1 a T 2j xj+c2 1. B n 1 := e m j=1 a T nj xj+cn 1. Ezt a feladatot fogjuk kés bb használn mnt geometra programozás prmál feladat Klafszky Eml nyomán, azonban érdemes megemlíten, hogy eredetleg a [2] könyvben egy másk feladat szerepel. Ennek az oka az, hogy a szerz k monom és poznóm függvények által tekntett geometra programozás feladatpárt írtak fel. Ezeket a következ fejezetben részletesebben tárgyaljuk, azonban megemlítjük a korábban említett prmál feladat poznómos alakját. Emellett az eredet felírt feladatból ezen szerz k által felírt feladat könnyen megkapható, használva azt, hogy c := logc ), x j := logu j ). Prmál poznóm) feladat: mn C 1 u a u a1m m C 2 u a u a2m m 1. C n u an1 1...u anm m 1. 13

14 2. A geometra programozás prmál- és duál feladata Ebben a fejezetben a célunk a szakdolgozat matematka vázának a felépítése. Ehhez els ként bevezetjük a szükséges matematka jelöléseket, tételeket, majd bemutatjuk a kndulás pontként teknthet monom és poznóm feladatokat, melyeket kés bb átolgozva Klafszky Eml a [3] tanulmányában átdolgozott, ezáltal egy egységesített jelölésrendszert vezetett be. Ezeket m s feltüntetjük. A 2.4. alszakaszban ktérünk a geometra programozás dualtás elméletére, majd néhány szót ejtünk a Lagrange duálról s. A 2.6. és a 2.7. alszakaszok a geometra programozás margnáls értékevel foglalkozk, mnt a regulartás tulajdonsággal és a perturbált feladattal. Az utolsó két alpontban ktenkntésként két specáls osztályáról írunk. Az egyk a sztochasztkus programozás, amelynél csak a feladatot írjuk fel, a másk pedg a kúp programozás feladat, amely egyfajta általánosításának s teknthet a geometra programozás feladatnak Matematka bevezetés Az alább fejezetben bevezetjük azokat a jelöléseket, denícókat, állításokat, amelyekre a kés bbekben hvatkozn fogunk. Els ként egy olyan tételt bzonyítunk be, amely ennek a témakörnek az egyk alapplléreként teknthet. Ez a tétel általánosítja a számtan-mértan közepek között összefüggést és hasznos eszköz lesz a duáltás elmélet felépítéshez. 6. Tétel. Geometra-egyenl tlenség) Legyenek a k, b k k = 1, 2,..., p) nemnegatív számok, ekkor p a k p b k p b k p ak b k ) bk. 1) Egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha p a k b k = b k p a k k = 1, 2,..., p). Bzonyítás. Teljes ndukcót alkalmazunk. Vegyük el ször a p = 2 esetet és tegyük fel, hogy a 1, a 2, b 1, b 2 > 0. Ekkor 14

15 b 1 b 1+b 2 log ) a 1 b 1 + b2 b 1+b 2 log a 2 b 2 ) log b 1 b 1+b 2 a1 b 1 + b2 b 1+b 2 a2 b 2 ), ahol felhasználtuk a logartmus függvény konkáv tulajdonságát. Mvel ez a függvény még monoton s, azt kapjuk, hogy ) b1 ) b2 b a 1 1 +b 2 b a 2 1 +b 2 b 1 b 2 b 1 b 1+b 2 a1 b 1 + b2 b 1+b 2 a2 b 2. Átrendezve az el bb egyenl tlenséget az alább adódk a 1 ) b1 ) b2 ) b1+b 2) a 2 b 1 b 2 a 1+a 2 b 1+b 2. Azaz teljesül a tételben szerepl feltétel. Vzsgáljuk meg az egyenl ség esetét. Ez akkor és csak akkor teljesülhet, ha a 1 b 2 = a 2 b 1. Ebb l az egyenletb l egyszer en adódk az a 1 b 1 és a 2 b 2 hozzáadásával, hogy a k b 1 + b 2 ) = b k a 1 + a 2 ), k = 1, 2). Használjuk fel az ndukcós feltevést, eszernt k 1-re gaz marad az állítás. Vzsgáljuk meg a k esetet. Ekkor az el z k = 2 specáls eset alapján p a k p b k p b k [ p 2 ) ] bk ) ak 1+a ak ak 1 +a k ) k p ) bk b k b k 1 +b k ak b k. Azaz általános esetben s gaz marad a tételben szerepl feltétel. Megvzsgálva az egyenl ség esetét azt kapjuk, hogy p a k b k = b k p a k, ahol felhasználtuk a k = 2 specáls esetben tapasztaltakat, lletve hogy a k 1 esetnél p a k b k = b k p a k k = 1, 2,..., p 2) és 15

16 p p a k 1 + a k ) b k = b k 1 + b k ) b k. Ezzel a tételt bebzonyítottuk. 7. Következmény. p ) p ) a k log ak b k a k log p a k p b k 8. Denícó. Az el z egyenl tlenséget log-sum egyenl tlenségnek s nevezk.. Az egyenl tlenségek halmazát egy sokszor használt, fontos darabbal zárjuk. Hölder-egyenl tlenség: Legyenek a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b n nem negatív számok, p, q > 1 valós számok és legyen 1 p + 1 q = 1. Ekkor n n a b a p ) 1 p n b q ) 1 q. A következ kben néhány olyan denícót mondunk k, amelyre a továbbakban csak hvatkozn fogunk. Els ként denáljuk a matematka programozás kúpot és annak konvex, csúcsos és merev tulajdonságát. 9. Denícó. Legyen K R n, ekkor K kúp, ha x K esetén λx K teljesül bármely λ R + 0 esetén. K kúp konvex, ha x K, y K esetén x + y K, azaz K konvex halmaz és kúp s egyszerre. K 0-csúcsú kúp, ha nem tartalmaz az orgón kívül egyetlen egy alteret sem. K kúp csúcsos, ha K { K} = { }. K kúp merev, K belseje nem üres nt K ). Vezessük be most egy függvény konvex, konkáv és logartmkusan konvex és logartmkusan konkáv tulajdonságát. A kés bbekben használn fogjuk, hogy a geometra programozás prmál feladatának célfüggvénye logartmkusan konvex. 16

17 10. Denícó. Legyen A egy konvex részhalmaza R m -nek, f 0, ekkor az f : A R függvény konvex ha bármely x, y A-ra és bármely λ [0, 1] esetén fλx + 1 λ)y) λfx) + 1 λ)fy), f : A R függvény konkáv, ha bármely x, y A-ra és bármely λ [0, 1] esetén fλx + 1 λ)y) λfx) + 1 λ)fy). 11. Denícó. Legyen A egy konvex részhalmaza R m -nek, f 0, ekkor az f : A R függvény logartmkusan konvex logkonvex), ha bármely x, y A-ra és bármely λ [0, 1] esetén fλx + 1 λ)y) [fx)] λ + [fy)] 1 λ, f : A R függvény logartmkusan konkáv logkonkáv), ha bármely x, y A-ra és bármely λ [0, 1] esetén fλx + 1 λ)y) [fx)] λ + [fy)] 1 λ. A logartmkusan konkáv és konkáv függvények között kapcsolatot írja le az alább tétel. A bzonyítás megtalálható [12] a könyvben, lletve egyszer en adódk a denícók felhasználásával. 12. Tétel. Legyen A egy konvex részhalmaza R m -nek. 1. Ha f 0 és logkonkáv, akkor logf konkáv. 2. Ha f 0 és konkáv, akkor f logkonkáv. 13. Példa. Legyen fx) = x a a 0) egy konvex függvény, azonban nem logartmkusan konvex, mvel logfx)) = logx a )= alogx) nem egy konvex függvény. Emellett, ha a 0, akkor fx) logartmkusan konvex. 17

18 14. Denícó. Legyen f 1, f 2,..., f p konvex függvények, f : A R, = 1, 2,..., p, ekkor tekntsük a következ egyenl tlenség rendszert f 1 x) 0 f 2 x) 0... f p x) 0 A feltétel rendszert Slater-regularsnak nevezzük, ha létezk olyan x 0 A bels pont, hogy f x 0 ) < 0, ha f nemlneárs és f x 0 ) 0, ha f lneárs = 1, 2,..., p) A monom és poznóm programozás feladat Az alább részben bevezetjük a monom és poznóm függvényeket, amelyek Dun, Peterson és Zener [2] szerepl geometra programozás feladatpár alapjának teknthet. Majd mutatunk néhány példát általánosabb alakú geometra programozás feladatokra. Legyenek u 1, u 2,..., u p poztív változók, u := u 1, u 2,..., u p ). Tekntsük az alább függvényeket: fu) := cu a1 1 ua2 2...uap p, ahol c > 0, a l R, l = 1, 2,..., p monom függvény) gu) := p c k u a1 1...ua k k, ahol c k > 0 poznóm függvény) R.J. Dun, E.L. Peterson és C. Zener [2] könyvükben monóm és poznóm függvényeket vzsgáltak. Kés bb a geometra programozás prmál- és duál feladatot s ezen függvényeken denálták. 15. Észrevétel. A 1) egyenl tlenség egy megfelel alsó korlátot bztosít poznóm feladat esetén. 16. Példa. Tekntsük a következ függvényt: fu) := 2u + 2 u. Alkalmazzuk az 1)-ben szerepl egyenl tlenséget p = 2-re. Ekkor fu) 4u = 4. Vagys a 4 egy alsó korlát fu)-hoz poztív u-k mellett, s t legnagyobb alsó korlát s. 4 u 18

19 Denáljuk a geometra programozás prmál feladatot standard nem konvex) alakban GP sp ) : mn g 0 u) g u) 1, = 1, 2,..., m f u) = 1, = 1, 2,..., n 17. Példa. Mutassunk egy egyszer példát az el z feladatra. mn x 1 1 x 2 2x 1 1 1, 1 3 x 1 1, x 2 1x x x x 1 x 1 2 x 2 3 = 1 Vegyük ennek a GP sp feladatnak a duáls párját GP sd ): n p max vu) = c u ) u I 0 u = 1 p u u k k n p u a j = 0, j = 1, 2,..., m Au = 0) u 0, = 1, 2,..., n p ahol u k := u 19

20 Alakítsuk át a GP sd feladatot konvex programozás feladattá az x := logu) átalakítást végezve. Felhasználva azt, hogy fu) = 1 és gu) 1, ekkor azt kapjuk, hogy logfe x ) = a T x c = 0 logge x ) = log p e at k x c k 0. Megjegyezzük, hogy számos kb vített alakja van a korábban szerepl GP sp geometra programozás feladatnak. Ezek közül bemutatunk néhányat a [30] és [31] alapján, amelyben részletes alkalmazások s találhatóak az egyes típusokhoz. Általánosított geometra programozás feladat GGP sp ) mn g 0 u) g u) 1, = 1, 2,..., m f u) = 1, = 1, 2,..., n { ahol f általánosított poznóm pl. max 1 + x 1, 3x 2 + x 0,1 1 } ) 1,2), 0, 5x 1, , 2x 1,3 2 és g monom. Vegyes-egész geometra programozás feladat MIGP sp ) mn g 0 u) g u) 1, = 1, 2,..., m f u) = 1, = 1, 2,..., n u D, = 1, 2,..., k 20

21 ahol f általánosított poznóm, g monom és D dszkrét halmaz ezeket a feladatokat legtöbbször nehéz megoldan, azonban heursztus módszerek vannak a megoldásra). Fordított geometra programozás feladat RGP sp ) mn g 0 u) g u) 1, = 1, 2,..., m g u) 1, = m + 1, m + 2,..., m + r f u) = 1, = 1, 2,..., n u R n,u > 0 ahol a fordítottság alatt azt értjük, hogy a feladatban g u) egy konvex függvény, míg a g u) 1 egy nem konvex halmazt határoz meg. Emellett f egy poznóm, g monom függvény. A [33] ckkben a szerz k bemutatták, hogy az el z feladat megoldható, mégpedg a korlátozó feltételek konvex és a fordított konvex) szétválasztásával. A fordított konvex esetben a korlátozás és szétválasztás módszerével elérhet a globáls optmumhoz való konvergenca, azonban ez elég lassúnak bzonyul. Továbbá azt s állították, hogy a nem konvex feltételeket bzonyos konvex feltételek halmazával lehet approxmáln, ezáltal a globáls optmum eléréséhez ezen appromácós feltételek megoldása szükséges. A [36] ckkben megtalálható az mént említett korlátozás és szétválasztásos algortmus A Klafszky-féle programozás feladat Ett l a ponttól kezdve áttérünk a klasszkus jelölésr l, Klafszky Eml [3] értekezésében használt jelölésre. Tekntsük a prmál- és duál feladatokat konvex formában. Legyen A R n m,x R m, y R n és tekntsük az A nak az I = {1, 2, 3,..., n} ndexhalmazát partconáljuk szét I 1, I 2,..., I p ndexhalmazoknak dszjunkt unójára. Ekkor a két feladat a következ : A prmál feladat GP cp ): 21

22 e a T x c 1, k = 1, 2,..., p) max b T x. A duál feladat GP cd ): y T A = b y 0 mn d T y+ p log y y y I y ) k k = 1, 2,..., p) A [3] tanulmányban a szerz egy ábrán szemléltet a jelöléseket és az ndexhalmazokat. A bevezet ben leírt kéma egyensúly feladat célfüggvénye pontosan ennek a duáls feladatnak a p = 1-re vett specáls esete. 15. állítás A GP cp feladat célfüggvénye logartmkusan konvex. Bzonyítás Amt bzonyítanunk kell, az a következ : ) λ ) 1 λ e a T λx1+1 λ)x2) c e a T x1 c e a T x2 c. Azaz ) ) λ ) λ ) 1 λ 1 λ e at e x1 c at x2 c e a T x1 c e a T x2 c. 22

23 Felhasználva a Hölder-egyenl tlenséget, adódk a tétel. Denálhatjuk a prmál- és duál geometra feladatnak a megoldáshalmazát, lletve az optmáls megoldások halmazát s. Ehhez használjuk a következ jelölést. 18. Denícó. Legyen P = { x R m : ϕ dual y) := p log y y y I y ) k } e a T x c 1 a prmál megoldáshalmaz, 19. Denícó. Legyen D = { y R n : y T A = b, y 0 } a duál megoldáshalmaz. P = { x R m : b T x b T x, x P } a prmál optmáls megoldáshalmaz, D = { y R n : ϕ dual y ) + d T y ϕ dual y) + d T y, y D } a duál optmáls megoldáshalmaz. 20. Tétel. Tegyük fel, hogy adott a duál feladat célfüggvénye. Ekkor 1. ϕ dual 0) = 0, 2. ϕ dual y) 0, 3. ϕ dual λy) = λϕ dual y), λ 0, 4. ϕ dual y + y) ϕ dual y) + ϕ dual y) -egyenl tlenség). Bzonyítás A bzonyítást esetenként végezzük A bzonyítás els része könnyen adódk, hszen 0-t helyettesítve az eredmény s 0 lesz, mvel a számláló és a nevez s) elt nk. A mádk rész bzonyításához vegyük a következ egyenl tlenséget. 23

24 y y 1 Ebb l adódk, hogy ) y 1 y y azaz y y ) y y 1. Vagys logartmálva mndkét oldalt megkapjuk, hogy ϕ dual y) 0. Tekntsük a harmadk részt, amelyhez elem átalakításokat hajtunk végre a logartmus függvény tulajdonságat felhasználva. ϕ dual λy) = log λy λy ) λy I λy k = log λlog λ λy y λy λ ) λ y I y k y y ) y I y k = log = λϕ dual y). λ ) y λ I λ k y y λ ) y I λ k y y λ = Legvégül bzonyítsuk be a negyedk részét a tételnek. Ehhez nduljunk k a baloldalból. ϕ dual y + ȳ) = log y +ȳ ) y +ȳ ) y +ȳ ) I y k +ȳ ) log y y ) y I y k + log ȳȳ ) y I ȳ k. Am ekvvalens azzal, ha felhasználjuk a logartmus függvény tulajdonságát, hogy y +ȳ ) y +ȳ y y ) y +ȳ ) ȳȳ ) y ) I ȳ I y k +ȳ ) y k. I ȳ k I k 24

25 Vezessünk be egy jelölést, amely a tovább könnyebb számoláshoz szükséges. Legyen a := y + ȳ, b := ȳ. Ezzel a jelöléssel azt kapjuk, hogy a a a b ) a b b b ) a I a k ) a b ) ) b I a k. I b ) b k Alkalmazzunk a geometra egyenl tlenséget, ebb l vsszahelyettesítés után az adódk, hogy y +ȳ ) y ) y y+ȳ y ) y. Ismételten vezessünk be új jelölést. Legyen a := y + ȳ, b := ȳ. Ezzel a jelöléssel hasonlóan az el z höz azt kapjuk felhasználva a geometra egyenl tlenséget, hogy y +ȳ ) ȳ ) ȳ y+ȳ ȳ )ȳ. Az utóbb két egyenl tlenségb l adódk a bzonyítandó. Megjegyezzük, hogy egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha y y + ȳ ) = y + ȳ ) y am azzal ekvvalens, hogy 4-nél egyenl ség akkor teljesül, ha y y ȳ = ȳ y. y = y y. 21. Következmény. ϕ dual egy poztív homogén els fokú, ld. 3. pont) konvex függvény. Vezessük be a GP cp feladat fels sznthalmazát, majd kmondunk egy vele kapcsolatos állítást. Emellett szükségünk lesz még a P K halmazra s. 25

26 P K := { x P : b T x K } a prmál feladat fels sznthalmaza P-nek), 22. Állítás. Adottak a korább sznthalmazok, ekkor az alábbak teljesülnek. 1. P K korlátos = y T A = b-nek létezk y > 0 megoldása P és korlátos y T A = 0, y 0 feladatnak van megoldása, hogy y > P K és 0 P y T A εb = 0, y 0 feladat megoldható, hogy y > 0 ε tetsz leges pc szám) A dualtás tétel Ebben a pontban felépítjük a geometra programozás feladatok dualtás elméletét, ktérve a különféle dualtás tételekre. A következ kben bebzonyítunk egy tételt, amely megmutatja, hogy nélkülözhetetlen a duál feladat bevezetése, emellett a geometra programozás prmál és duál feladat között kapcsolatot mutatja meg. Gyenge dualtás tétel: Ha x P, y D, akkor b T x d T y + ϕ dual y). Egyenl ség akkor teljesül, ha e at x c y = y k = 1, 2,..., p). Bzonyítás Alkalmazzuk a geometra egyenl tlenséget. ) y I y k y y e a T x y c ) = ) y e at x c y y ) p y ) y e a T x c 1 Vzsgáljuk meg az egyenl ség esetét, két esetleg lehetséges : 26

27 1. y = 0, 2. e a T x c = 1. Emellett teljesül még az az egyenl ség s, hogy e at x c y = y e a T x c k = 1, 2,..., p). Azaz e at x c y = y k = 1, 2,..., p). Amb l azt kapjuk, hogy 1 ) y I y k y y e e yt Ax y T d = y a T x y c ) y I y k y y I k ) y I y k y y I k = e bt x y T d. Vegyük a logartmusát az egyenl tlenség jobb oldalának. Ekkor b T x d T y+ p log y y ) y. I y k A következ tétel tulajdonképpen azt fogalmazza meg, hogy az el z ekben szerepl esetben bzonyos feltételek mellett az egyenl séget s elérhetjük. Gyenge equlbrum tétel: Legyen x P, y D, y > 0 és e at x c = y bármely y D esetén y k = 1, 2,..., p). Ekkor 27

28 b T x = d T y + ϕ dual y ). 23. Denícó. A GP cp és GP cd feladat kanonkus, ha P és D. A következ tétel szükséges és elégséges feltételt fogalmaz meg a prmál geometra feladatunkra. 24. Tétel. A konzsztens) prmál feladat célfüggvénye b T x) akkor és csak akkor felülr l korlátos, ha a duál feladat konzsztens. A tétel bzonyítása során felhasználjuk a Farkas-lemmát, amely a következ t mondja k. Farkas-lemma: Legyen adott egy A R m n mátrx és b R m vektor. Akkor az alább feladatok közül pontosan egy oldható meg. 1. y T A = b, y 0, 2. x T A 0, b T x = 1. Szükségünk lesz még a következ segédtételre s. 25. Segédtétel. Vegyünk egy x P-t és x elemet, amre Ax 0. Ekkor bármely δ 0-ra x+δx) P. Vegyünk smételten egy x P-t. Ekkor Ax d. Bzonyítás Tekntsük el ször az egyk rányt. Tegyük fel, hogy a duál problémának nem létezk megoldása. Ebben az esetben az el bb említett Farkas-lemma szernt van olyan x, amre x T A 0, b T x>0. Ha azonban teljesül még az s, hogy x P, akkor a másodk felhasznált lemma els állítása szernt x + δx P, valamely δ 0-ra. Tekntsük a célfüggvényt: lm δ bt x + δx) = lm δ bt x + b T δx) = Nézzük most a másk rányát a bzonyításnak. Tegyük fel most azt, hogy a duál probléma konzsztens. Ebb l az következk, hogy van olyan y 0, amelyre y T A = b. Hasonlóan az els rány bzonyításához, használjuk fel smételten a másodk lemmát, de most a másodk állítására lesz szükségünk. Eszernt Ax d teljesül bármely x P mellett. Ekkor azonban azt kapjuk, hogy yax = bx yd. Vagys a célfüggvény felülr l korlátos. 28

29 26. Következmény. x P alulról/felülr l korlátos A mátrx sora által generált kúp a negatív/poztív ortánsát tartalmazza. A következ állítás kapcsolatot létesít a két megoldás halmaz között. 27. Állítás. e at x c ε y T A = 0, y 0 egyenletnek létezk η poztív megoldása. A következ kben a duáls geometra programozás feladat megoldásával foglalkozunk. Vezessük be a kanonkus feladatpár fogalmát ehhez. 28. Denícó. Egy geometra programozás feladatpárt kanonkusnak hívunk, ha a duál problémának létezk poztív megoldása. Tegyük fel, hogy tudunk nformácót a duál feladat megoldásáról. Ekkor mt mondhatunk a prmál feladat megoldásáról? Ez a meggondolás tulajdonképpen a Farkas-lemmát használja, pontosabban. 29. Állítás. Ha létezk y > 0 megoldása az y T A = 0 egyenletnek és d T y + ϕ dual y) 0, akkor létezk olyan x, hogy e a T x c 1. Er s dualtás tétel: Tegyük fel, hogy a prmál feltétel teljesít a Slater-regulartás feltételt, emellett a célfüggvénye felülr l korlátos P -n. Ekkor létezk olyan y optmáls megoldás, amelyre sup b T x = d T y + ϕ dual y ). x P Bzonyítás Jelöljük a baloldal kfejezést s-el, azaz sup b T x =: s. Ekkor mvel s-en legksebb fels x P korlátot vettünk, emellett a prmál feladat korlátozó feltételét smerjük, azt kapjuk, hogy s b T x < 0 e a T x c 1 0. Alakítsuk át ezt a rendszert a következ képpen: 29

30 s b T x < 0 e α 1 0 α a T x c 0 a T x c α el z b l átrendezve). Ezt felhasználva azt kapjuk, hogy az alább rendszer nem megoldható. s b T x < 0 e α 1 0 a T x c α 0. Használjuk fel a Konvex Farkas-tételt, mszernt létezk olyan λ k, y, amelyre s b T x+ p λ k e α 1 ) m ) y a T x c α 0. Alakítsuk át az egyenl tlenséget: m s + x T y a T ) ) b + p λ k e α 1 m y c + α ) 0. Legyen m m y a T b = 0, akkor y a T b := 0, mvel ha m y a T b 0, akkor y T A = b, y 0 matt y D. Ha s+ p λ k e α 1 ) m y c + α ) 0. 30

31 Két eset lehetséges jelen esetben. Az els esetben legyen y > 0, ekkor α := log s+ p y y ) I k ), )) λ k y y 1 + m y c log y y )) 0. Azaz átrendezve azt kapjuk, hogy s c T y + ϕ dual y). A másodk eset, mkor y = 0 egy tetsz leges -re. Ennek bzonyításához nduljunk k smételten a következ egyenl tlenségb l. s+ p λ k e α 1 ) m y c + α ) 0. Ebb l s+ p λ k,y >0 e α 1 ) + p λ k,y =0 e α + m y >0 y c α ) 0. Mvel feltettük, hogy y = 0, ezért vegyünk olyan α -t, amelyre teljesül W > 0 mellett), hogy p λ k e α W. y =0 Ekkor ugyans szntén az teljesül, hogy s + W c T y + ϕ dual y). 30. Következmény. Tekntsük a P és D optmáls megoldás halmazokat. Ekkor teljesülnek az alábbak. 31

32 Legyen x P, y D. Ekkor ) ) e a T x c y = 0. Legyen D félterek metszete és y 1 D, y 2 D, ekkor y 1 y 2 = y 2 y 1. Bzonyítás Az els rész könnyedén adódk, felhasználva a gyenge dualtás tételt és az er s dualtás tételt, ugyans ebben az esetben azt kapjuk, hogy e at x c y = y, ahol y D, x P. Amb l az adók, ha összegezünk, hogy e a T x c y = y, azaz átrendezve ) ) e a T x c y = 0. A másodk rész bzonyításához szükségünk lesz az alább jelölésre. Legyen ω = e at x c, ahol x P. Alkalmazzuk smételten a gyenge dualtás tételt, amely szernt a következ feladatot kell megoldanunk: ω y = y k = 1, 2,..., p) y T A = b y 0. 32

33 Ennek a feladatnak az optmáls megoldás halmaza D. 2 eset lehetséges, vagy y = 0, vagy y > 0, mvel ω poztív. Az el bb feladatnak vegyük két y 1 D, y 2 D megoldását. Ebben az esetben a feltétel szernt y1+y2 2 D. Azaz d T y 1+y 2 2 ) + y1+y ϕdual 2 ) { 2 = 1 2 d T y 1 + y 2 ) + ϕ dual y 1 + y 2 ) } 1 2 { d T y 1 + ϕ dual y 1 ) + d T y 2 + ϕ dual y 2 ) }. Mvel mndkét oldal a duál feladat optmuma, így egyenl ség teljesül. Felhasználva egy korább segédtételt, azt kapjuk, hogy y 1 y 2 = y 2 y 1 k = 1, 2,..., p). A következ tétel az el z prmál feladatra vonatkozónak a párja, amely kndulás alapja a dualtás tétel vzsgálatának. 31. Tétel. Tegyük fel, hogy a duál geometra programozás feladatnak létezk poztív megengedett megoldása, emellett a célfüggvénye felülr l korlátos. Ekkor a prmál feladatnak a célfüggvénye felvesz a maxmumát bzonyos felvétel halmaz egy x pontjában és b T x = nf d T y + ϕ dual y) ). y D Klafszky Eml a [3] m vében a dualtás tételt egy kcst másként fogalmazta meg, azonban az általa tárgyalt, lletve a m általunk vzsgált felírás teljesen ekvvalens, ezért csak érdekesség matt közöljük. Dualtás tétel: Tegyük fel, hogy adott a GP cp és a GP cd feladatpár. 1. GP cp és GP cd konzsztens = supb T x = nf d T y + ϕ dual y) ). x P y D 2. Ha a GP cp konzsztens és véges szuprémuma van = GP cd s konzsztens és a prmál szuprémuma megegyezk a duál nmumával. Fordított dualtás tétel: Legyen y D, y > 0 Slater-feltétel), és a duáls feladat célfüggvénye alulról korlátos, akkor van olyan x P x P ), hogy 33

34 { b T x = nf d T y + ϕ dual y) }. y D Végezetül ktérünk az úgynevezett szubkonzsztenca tulajdonságra, amely a következ t jelent. { 32. Tétel. Ha a duál feladat konzsztens és D = 0, emellet van olyan µ valós szám, hogy µ =nf d T y + ϕ dual y) }, y D akkor bármely ε > 0 esetén van olyan x vektor, amelyre 1. e a T x c 1 + ε és 2. lm sup ε 0 x P b T x = µ A Lagrange-függvény és Lagrange-duál Az alább részben a célunk, hogy rövden bemutassuk a Lagrange-féle függvényt és ennek néhány tulajdonságát a GP cd feladatunk célfüggvényére nézve. Tekntsük újra, a 2.3-ban szerepl, geometra programozás duál feladat egy jelölését. ϕ dual y) := p log y y y I y ) k Tekntsük a következ ϕx, y) := b T x + d T y y T Ax + ϕ dual y) függvényt, amelyet a geometra programozás feladatpár Lagrange-függvényének nevezzük. 33. Denícó. A Lagrange-függvény nyeregponjának nevezzük az x,, y, pontokat, ha teljesül rájuk, hogy ϕx,, y) ϕx,, y, ) ϕx, y, ). Az alább tétel ekvvalencát fogalmaz meg a geometra programozás feladat optmáls megoldása és a Lagrange-függvény nyeregpontja között. 34. Tétel. Az x,, y, pár optmáls megoldás akkor és csak akkor, ha Lagrange-függvény nyeregpontja. 34

35 Bzonyítás Rövd számolás után a fent denícókból adódk, ugyans els ként tekntve a baloldal egyenl tlenséget az adódk, hogy b T x, + d T y y T Ax, + ϕ dual y) b T x, + d T y, y,t Ax, + ϕ dual y, ), amelyb l d T y + ϕ dual y) d T y, + ϕ dual y, ), azaz y, optmáls megoldás. Tekntsük most a jobboldal egyenl tlenséget, amelyb l az adódk, hogy b T x, + d T y, y,t Ax, + ϕ dual y, ) b T x + d T y, y,t Ax + ϕ dual y, ), amelyb l b T x, b T x, azaz x, optmáls megoldás A regulartás tulajdonság Ebben a pontban a célunk, hogy ktekntsünk és bevezessünk regulartás tulajdonságot a geometra programozás feladatpárra. Els ként denáljuk, mt s értünk a GP cp feladat regulartás tulajdonságán. 35. Denícó. A GP cp regulárs, ha a következ feladatnak nem létezk megoldása: Ax 0 b T x 0 35

36 x 0. Hasonlóan a GP cd feladatra s denálható a regulartás tulajdonság. 36. Denícó. A GP cd regulárs, ha a következ feladatnak nem létezk megoldása: y T A = 0 d T y + ϕ dual y) 0 y 0 y Denícó. Az együttes geometra feladatpárt regulársnak nevezzük, ha a GP cp és a GP cd feladat s regulárs. Korábban már denáltuk, mt értünk a GP cd kanonkus tulajdonságán. Szükségünk van még a következ kfejezésre. 38. Denícó. A GP cp szuperkonzsztens, ha a következ feladat megoldható e a T x c < 1 k = 1, 2,..., p). A következ tétel összefoglalja az eddg szerepelt kfejezéseket, emellett a köztük lév kapcsolatokra s rávlágít. 39. Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek a GP cp és a GP cd feladat tulajdonsága, ekkor az alábbak gazak: 1. GP cp regulárs = GP cd kanonkus. 2. GP cd regulárs GP cp szuperkonzsztens. 36

37 Bzonyítás Els ként a tétel els pontját bzonyítjuk be. Induljunk k a baloldal feladatból. Ax 0 b T x 0 x 0. Ez a feladat mvel nem megoldható a feltétel szernt, így az a 1,..., a n, b vektorok által alkotott kúpnak a duálsa tartalmazza a zérust. Ezáltal b n a = n α a + β b), ahol α, β 0. Átrendezve azt kapjuk, hogy b = n ) 1+α 1+β a, legyen ezentúl a zárójelben szerepl kfejezés értéke y T, azaz b = yt A, y T > 0. Így tényleg kanonkus a duál feladat. Térjünk át a másodk bzonyítandóra. Induljunk k most abból, hogy a duáls feladat regulárs, azaz y T A = 0 d T y + ϕ dual y) 0 y 0 y 0 37

38 feladat vagy nem konzsztens vagy a célfüggvény mnmuma poztív. Vegyük ennek a feladatnak a prmál esetét amely mndg konzsztens), amely a következ képpen néz k. max α e a T x c < e α. Vegyünk 2 esetet. Egyrészt, ha a feladat nem duál konzsztens, akkor lm e a T α x c =0. Másrészt, ha duál konzsztens, akkor szuperkonzsztens s. Azonban a prmál feladatunk szuperkonzsztens, akkor y T A = 0 n y = 1 y 0 megoldására teljesül, hogy d T y+ϕ dual y) > 0, amely ellentmondás a duáls feladat tulajdonsága matt. Ezzel beláttuk a tételt. Korábban denáltuk már a GP cp és GP cd feladatok optmáls P, D ) és megengedett P, D) megoldásanak halmazát. A célunk, hogy ezekkel és az el z kfejezésekkel kapcsolatot létesítsünk. A tétel bzonyítása megtalálható a [26] ckkben. 40. Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek a GP cp és a GP cd feladat tulajdonsága, ekkor az alábbak gazak: 1. P korlátos GP cp regulárs. 2. P, GP cp regulárs = P. 3. D korlátos GP cd regulárs. 4. D, GP cd regulárs = D. 38

39 2.7. A perturbált feladat Klafszky Eml a [26] tanulmányban perturbácós módszerekkel kapcsolatos kérdéseket vzsgált geometra programozás feladatokra nézve. Korábban már több eredmény született lneárs programozás feladatokra [18, 19, 22, 27]), melynek lényege, hogy a pvotálás során keletkezett cklzálást elkerüljük. Ezt a módszert a legtöbb szakrodalomban lexkograkus szmplex módszernek s nevezk. A módszer pontos leírása megtalálható a [20, 21] szakrodalmakban, de összefoglalva [20] alapján, hasonlóan m - ködk, mnt a szmplex módszer, kvéve, hogy lexkograkusan poztív egy vektor lexkograkusan poztív, ha az els nemnulla komponense poztív) táblából kezdünk és lexkograkus választás szabállyal ld. [20] ) vesszük a bázst elhagyó vektort. Legyen A, A 0 R n m es mátrx, b, b 0 R m és d, d 0 R n. Emellett legyen ε > 0 tetsz leges pc szám. 41. Tétel. Tegyük fel, hogy adott a GP cp és GP cd feladatunk. Ekkor ha az [ A + εa 0), b + εb 0 ), d + εd 0 ) ] perturbált feladat konzsztens a [0, ε 0 ) ntervallumon [A, b, d] feladatra gazak a regulartás tulajdonságok. Bzonyítás A tétel belátásához használjuk fel a korábban szerepl konzsztenca dencót. Akkor az szerepelt, hogy a duál feladat akkor konzsztens, ha a prmál feladatnak a célfüggvénye felülr l korlátos, azaz a Ax + εa 0 x 0 bx + εb 0 x > 0 feladat nem oldható meg. Tegyük fel azonban, hogy van olyan x 0, amelyre teljesül, hogy Ax 0 bx 0. 39

40 Ebben az esetben az el z részt úgy kaphatjuk meg trválsan, ha A 0 = 0 és b 0 x > 0 feltételeket kelégít A 0 -t és b 0 -t vesszük. Így azonban bármekkora ε-t s veszünk, nem tudjuk elérn a fent feltételt, azaz muszáj, hogy a prmál feladat regulárs legyen. Tekntsük most a prmál feladat konzsztencáját. Azt tudjuk, hogy e a T +εa0 )x c +εc 0 ) 0 teljesül. Így a e a T x c e ε könnyen adódk, ha A 0 = 0, és c = 1. Ebben az esetben azonban a prmál feladat szuperkonzsztens, amely azzal ekvvalens egy korább tétel szernt azzal, hogy a duál feladat regulárs. Ezzel beláttuk a tételt. Az alább tétel az el z tételhez hasonlóan kapcsolatot fogalmaz meg a perturbált feladat és az eredet geometra programozás feladatunk között. A bzonyítás megtalálható a [26] ckkben. 42. Tétel. Tegyük fel, hogy adott a GP cp és a GP cd feladatunk. Ekkor gazak az alábbak. 1. Tegyük fel, hogy teljesülnek a regulartás tulajdonságok az [A, b, d] feladatra, ekkor tetsz leges A 0, b 0, d 0 együtthatóhoz van olyan [0, ε 0 ) ntervallum, amelyre a perturbált feladatpárnak van optmáls megoldása mnden ε [0, ε 0 ) esetén. 2. Legyen xε) a program értéke. Ekkor x xε) x0) ε) = lm ε 0 ε = max x P mn y D b 0 x + d 0 y yax 0). Ezt a derváltat nevezzük a geometra programozás margnáls értékének) 2.8. Sztochasztkus geometra programozás Az alább rövd alszakaszban ktekntünk egy specáls geometra programozás feladatpárra. Vegyük ehhez a GP cp feladatot anny különbséggel, hogy a feltételben szerepl paraméternek a logartmusát használjuk, azaz log ) e a T x c 0 k = 1, 2,..., p) 40

41 max b T x. Alakítsuk át ezt a feladatot a következ képpen jelölje P a valószín séget, míg legyen ε egy tetsz leges pc szám). P log ) ) e a T x c 0 1 ε max b T x. 43. Állítás. Ez utóbb egy konvex programozás feladat. Bzonyítás Lássuk be ehhez, hogy a log log ) e a T x c konvex, azaz teljesül, hogy ) ) ) e a T λx1+1 λ)x2) λc1) +1 λ)c 2) ) λlog e a T x1 c1) + 1 λ)log e a T x2 c2). Felhasználva a logartmus függvény tulajdonságát, azt kapjuk, hogy e a T λx1+1 λ)x2) λc1) +1 λ)c 2) ) ) λ ) 1 λ e a T x1 c1) + e a T x2 c2). Am ekvvalens azzal, hogy e at x1 c1) ) ) λ ) λ ) 1 λ 1 λ e at x2 c2) e a T x1 c1) e a T x2 c2). Ez pedg éppen a korábban szerepl Hölder-egyenl tlenség. 41

42 2.9. Ktekntés: kúp programozás Az eddgekben geometra programozás feladatokkal foglalkoztunk. Számos alkalmazást említettünk, emellett bzonyítottunk dualtás tételeket. Most a célunk az, hogy a gyenge dualtás tételét, a geometra programozás feladatnak egy másfajta, úgynevezett kúp programozás feladat segítségével bzonyítsuk be. A ktekntés során a [28] forrást használtuk. El ször vezessük be a kúp programozás elméletét, amely szntén egy nem lneárs, konvex programozás elmélet, hasonlóan a geometrahoz. Denáljuk els ként a prmál geometra kúpot. 44. Denícó. Legyen n N, G p egy prmál geometra kúp, ha x p 45. Észrevétel. e 0p G n p = = 0 denícó szernt. { x p, ϕ p ) R n + R + : n 46. Tétel. G p kúp konvex, zárt, csúcsos és szlárd. x p } e ϕp 1. Ennek a tételnek a bzonyítása megtalálható a [28] ckkben. A f lépéseben a bzonyítás konvextás esetében felhasználja a korábban szerepl konvex kúp denícóját, a másodk rész bzonyításához a zártság analtka tulajdonságaból ndul k, a harmadk bzonyítandó a csúcsos kúp denícójában adódk, míg az utolsó esetben a szlárd kúp denícója adja meg a bzonyítást. Denáljuk ennek a kúpnak a belsejét. 47. Denícó. ntg n p = { x p, ϕ p ) R n ++ R + : n Vezessük most be a duál geometra kúpot. x p } e ϕp < Denícó. Legyen n N, G d egy duál geometra kúp, ha G n d = x d, ϕ d ) R n + R : ϕ d x d >0 x d log x d n x d. Megjegyezzük, hogy néhány specáls esetben elmondható, hogy n = 0 esetben pont R + -t, n = 1 esetben R 2 +-t kapjuk, míg duál kúp esetében szntén n = 0 esetben R + ) d = R + -t, n = 1 esetben R 2 + ) d = R2 +-t kapjuk. Ezért ezt a két kúpot a [28] ckk önduálsnak s nevez. Hasonlóan a prmál kúphoz, a duál kúp s az alább tulajdonságokkal rendelkezk. 42

43 49. Tétel. G d kúp konvex, csúcsos, szlárd és zárt. Ennek a bzonyítása megtalálható a [28] ckkben. Hasonlóan az el z prmál esethez, most s denálhatjuk az el z kúpnak a belsejét. 50. Denícó. ntg n d = x d, ϕ d ) R n ++ R : ϕ d > n x d log x d n x d. Az eddgekb l anny látható már els re, hogy a prmál és duál geometra kúp nagyon hasonlít a m általunk vzsgált geometra programozás prmál és duál feladatra. Végül kmondunk egy tételt, amely a két kúp között ortogonaltás tulajdonságot írja le. 51. Tétel. Legyen a = x p, ϕ p ) G n p, b = x d, ϕ d ) G n d. Ekkor at b = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha az alább feltételek közül legalább az egyk teljesül. 1. ϕ p = 0 és x p x d = 0 mnden re. n 2. ϕ p > 0 és x d log x d = ϕ d, x d >0 n x d ) x d ϕ =x x d e d d mnden re. Bzonyítás Els ként tekntsük a bzonyítandó rész els pontját. Ebben az esetben ϕ p = 0. Ekkor a T b = x T p x d. Használjuk fel, hogy az x p és x d vektorok nem negatívak. Ebb l ugyans következk, hogy a T b = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha x p x d = 0. Abban az esetben, ha ϕ p > 0, akkor két esetet kell gyelembe vennünk. Egyrészt ha x d = 0, akkor a T b = ϕ p ϕ d, amely akkor és csak akkor zérus, ha x d, ϕ d ) = 0. Másrészt, ha x d 0, akkor a T b = 0 csak úgy fordulhat el, ha x nf T p x d ϕ x p,ϕ p) G n p + ϕ d = 0 p ϕp>0 azaz ϕ d = ϕ d >0 ϕ d log 43 x d n x d.

44 Az a T b = 0, ha x d n x d poztív, azaz ha x d poztív, amb l kfolyólag ϕ d = x d >0 x d log x d n x d érték nmuma 0 és az x p ϕp = x d n x d e felvesz az nmumát. Azonban véve a n x d ) e x p ϕp = xd és x d, ϕ d ) = 0 specáls esetet, megkapjuk a másodk részét s a tételünknek. A célunk, hogy megmutassuk a kapcsolatot a geometra programozás feladat és a kúp programozás feladat között. Ehhez tekntsük a következ feladatokat. Els ként a GP sp feladatot: mn g 0 u) g k u) 1, k = 1, 2,..., p, ahol g k poznómok. Ezt átalakítva a korábban szerepl transzformácóval u j = e xj ) megkaphatjuk a GP cp feladatot. mn G 0 x) G k x) 1, k = 1, 2,..., p, 44

45 ahol G k x) = e a T x c. Foglalkozzunk m az alább feladattal az el z helyett, amelyr l belátható [28]), hogy mnden GP cp feladat lyen alakra hozható LnGP cp ). max b T x G k x) 1, k = 1, 2,..., p. Legyen s = c a T x bármely -re. Ekkor az el z feladat a következ re redukálódk. max b T x A T x + s = c e s 1, k = 1, 2,..., p. Így a prmál kúp programozás feladat a következ ConeGP cp ): max b T x A T 0 ) x + s ) v = c e) s Ik, v k ) G n k p, k = 1, 2,..., p), ahol e a csupa 1 vektor és n k = #I k. A duáls kúp programozás feladat bevezetéséhez szükségünk van az alább jelölésekre. Legyen x, = x, s, = s, A = A0), b, = b, d, = ) d e és K = G n1 p... G np p kúp). Ezáltal a duál kúp programozás feladat a következ ConeGP cd ): 45

46 mn d T e ) ) T y z A0) y z) = b y Ik, z k ) ) G n k p, k = 1, 2,..., p). Ez a feladat egyszer síthet a következ vé LnGP cd ): mn d T y + e T z Ay = b y Ik 0 z k y log y >0 y y ) k = 1, 2,.., p) Amely feladat még egyszer bben felírva az alább módon néz k: mn d T y+ p y log y >0 y y ) Ay = b y 0 k = 1, 2,.., p) 46

47 Így vsszakaptuk a korábban szerepl duáls feladatunkat GP cd ) Elérkeztünk oda, hogy kmondjuk a gyenge dualtás tételt és bzonyítsuk s. Gyenge dualtás tétel Legyen x megengedett megoldása a GP cp feladatnak és y megengedett megoldása a GP cd feladatnak, ekkor b T x d T y+ p és egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha y ) e at x c y log y >0 y y ) = y, k = 1, 2,..., p). Bzonyítás Ha adott egy x megengedett megoldásunk GP cp hez, abból egy x, s, v) megengedett megoldást készíthetünk ConeGP cp hez. Hasonlóan, ha van y megengedett megoldásunk GP cd hez, abból egy y, z) megengedett megoldást készíhetünk ConeGP cd hez, mégpedg úgy, ha használjuk a z k = y log y >0 y y ), értéket. Hívjuk meg ekkor a gyenge dualtás tételt a ConeGP cp és ConeGP cd feladatokra az x, s, v) és y, z) megengedett megoldások mellett, ekkor azt kapjuk, hogy b T x d T y+ p y log y >0 Vzsgáljuk meg azt, hogy mkor szerepel egyenl ség. Ehhez tekntsük a korábban szerepl ortogonaltás tulajdonságról szóló tételt, ahol csak a másodk feltétel vonatkozk ránk azaz ahol ϕ p > 0). Az ott szerepl másodk egyenlet teljesül z k választása matt). Ezáltal egyenl ség tényleg akkor és csak akkor teljesül, ha y ) e s v y y ) = y, I k, k = 1, 2,..., p), amely ekvvalens a tételben szerepl bzonyítandó feltétellel.. 47

48 3. A geometra duáls feladat tulajdonsága 3.1. Bevezetés Ebben a fejezetben a célunk, hogy feltételes optmalzálás feladatot tudjunk megoldan. Az egyk lehetséges útja, az úgynevezett büntet függvények elmélete. Ezek segítségével alakíthatjuk a feladatunkat feltétel nélkül optmalzálás feladattá. Mellette automatkusan teljesül, hogy a célfüggvény mnmumhelye az eredet feladat megoldása maradjon. Egy másk érv a büntet függvények legf képpen a logartmkus büntet függvények) mellett, hogy a kés bbekben felépített bels pontos algortmushoz tartozó analtkus centrum és centráls út struktúrájához nagy segítséget nyújt. Ugyans Sonnevend szernt, ha van bels pontunk és van egy lmeszpontja a centráls útnak, akkor az analtkus centrum jól meghatározott. A [8], [5] ckkben a szerz k megmutatták, hogy a GP sd és így persze a GP cd ) feladat a következ alakra hozható a célfüggvény átalakításával. Ekkor egy lneársan feltételes konvex feladatot kapunk. [ mn d T y+ p y logy ) y ) )] log y Ay = b y Denícó. Egy φ függvényt büntet függvénynek nevezünk, ha szgorúan konvex, φ C, sma, lm x 0 φ x), lm x 0 φx). 53. Példa. φx) := logx). Erre a függvényre teljesülnek az alább denícó követelménye, tehát büntet függvény. 48

49 54. Észrevétel. A GP cd feladat a következ re változk: Létezk y > 0, hogy y T A = b mn d T y + ϕ dual y) φ y. 55. Példa. φx) := 1 x a, ahol a > 0. Ez a függvény s a büntet függvény tulajdonságokkal rendelkezk. 56. Denícó. Legyen R egy véges dmenzós valós vektortér, C ennek egy nyílt nem-üres konvex részhalmaza. Ekkor az φ : ntc) R egy κ önkorlátozó függvényt denál akkor és csak akkor, ha φ háromszorosan folytonosan derencálható, szgorúan konvex és bármely x ntx) re φx) x X), ahol X jelöl X határát, emellett teljesül az alább feltétel: 3 φx)[h, h, h] 2κ 2 φx)[h, h] ) 3/ Denícó. Legyen R egy véges dmenzós valós vektortér, C ennek egy nyílt nem-üres konvex részhalmaza. Ekkor az φ : ntc) R egy κ, ν) önkorlátozó függvényt denál akkor és csak akkor, ha φ háromszorosan folytonosan derencálható, szgorúan konvex és bármely x ntx) re φx) x X), emellett teljesül az alább két feltétel: 3 φx)[h, h, h] 2κ 2 φx)[h, h] ) 3/2 φx) T 2 φx) ) 1 φx) ν 58. Észrevétel. A lneárs és konvex kvadratkus függvények 0-önkorlátozók. 59. Példa. konvex kvadratkus függvény) Legyen φx) = δ + a T x + xt Ax 2, ahol δ R, a R m és A szmmetrkus, poztív dent mátrx. Ekkor φx) = a + Ax, 2 φx) = A, 3 φx) = 0. Azaz valóban 0-önkorlátozó függvény φ. Nézzünk egy egyszer példát 1 önkorlátozó függvényre. 60. Példa. Legyen fx) = x log1 + x), 1 < x R. Ekkor fx) = x 1+x, 2 x) = 1 1+x) 2, 3 x) = 2 1+x) 3, vagys κ = 1. 49