A kvantum-információelmélet alapjai

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematka Intézet Seres István András A kvantum-nformácóelmélet alapja BSc szakdolgozat Témavezet : dr. Frenkel Péter ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest

2 Köszönetnylvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondan témavezet mnek, Frenkel Péternek, aknek segítségével betekntést nyertem a kvantum-nformácólmélet alapjaba. Köszönöm rendszeres útmutatásat, tanácsat, megértést segít példát. Köszönöm, hogy mndg bátran fordulhattam hozzá a szakdolgozatot érnt legapróbb kérdésekkel s. Az rányítása és segítsége nélkül ez a szakdolgozat algha jöhetett volna létre.

3 Tartalomjegyzék Jelölések v 1. Bevezetés 1 2. Klasszkus nformácóelmélet mennységek és tulajdonságak Shannon-entrópa A relatív entrópa Kölcsönös entrópa, feltételes entrópa és kölcsönös nformácó Kvantummechanka alapok és egyéb fontos tételek A kvantummechanka posztulátuma Qubtok Kvantumállapotok megkülönböztetése Kvantum mérések és operácók A kvantum-nformácóelmélet alapja Neumann-entrópa Kvantum relatív entrópa Schmdt-felbontás és purkácó A Neumann entrópa alaptulajdonsága Mérések és az entrópa Szubaddtvtás és háromszög-egyenl tlenség Konkavtás Er s szubaddtvtás Az er s szubaddtvtás: néhány következmény A Holevo-korlát és következménye Kvantumállapotok megkülönböztetése és az elérhet nformácó A Holevo-korlát A Holevo-korlát néhány következménye és egy példa

4 Ábrák jegyzéke 2.1. Entrópa Venn-dagramm Egy qubt realzácója az elektron két állapotának segítségével A Holevo-féle χ mennység θ/π függvényében v

5 Jelölések Néhány jelölés és konvencó általánosan elfogadott mnd a klasszkus, mnd a kvantum-nformácóelméletben. Ezeket és a szakdolgozatban használt néhány kvantummechanka jelölést (Drac-jelölések) tekntünk át az alábbakban. log: a továbbakban mndg kettes alapú logartmust értünk rajta ln: természetes alapú logartmus z : a z komplex szám konjugáltja A T : mátrx transzponáltja A : mátrx adjungáltja ψ : oszlopvektor, gyakran ket-nek nevezzük ψ : vektor duálsa, sorvektor, gyakran bra-nak nevezzük ψ ϕ : a ψ és a ϕ vektorok skalárszorzata ψ ϕ : a ψ és a ϕ vektorok tenzorszorzata, amt gyakran csak ψ ϕ -vel jelölünk ψ A ϕ : a ψ és az A ϕ vektorok skalárszorzata v

6 1. fejezet Bevezetés A kvantum-nformácóelmélet gencsak atal ága a matematkának. Ellentétben a klasszkus nformácóelmélettel, amelynek pontos kezdete jól behatárolható Shannon 1948-as A Mathematcal Theory of Communcaton c. ckkének megjelenéséhez kötk, addg a kvantum-nformácóelméletnek nem határozható meg lyen pontosan a kezdete. Megalapozó (Neumann János, Ellott H. Leb, Mary Beth Ruska és mások) az 50-es lletve 60-as évekt l kezdve publkálták f bb eredményeket. Nem csak a téma újdonsága adja a szakdolgozat aktualtását, érdekességét. Matematka szempontból számos nemtrváls lneárs algebra lletve nformácóelmélet kérdést vet fel, míg zka szempontból a ma napg megválaszolatlan, hogy építhet -e kvantumszámítógép. Bíztató jelek vannak ugyan, de korántsem kelégít ek a megépített modellek. A következ kben a 2. fejezetben a klasszkus nformácóelmélet fontosabb fogalma és tétele vannak bemutatva, majd ezeknek a kvantum-nformácóelmélet vonatkozása vannak smertetve a 4. fejezetben. A 3. fejezetben a 4. és 5. fejezethez nélkülözhetetlen kvantummechanka alapok és egyéb fontos, kés bb sokszor használt tételek kerülnek bemutatásra. A szakdolgozat legfontosabb része a kölcsönös kvantum-nformácóra vonatkozó Holevo-korlát bzonyítása és annak következménye a 5. fejezetben található. A szakdolgozatomban legf képp a [1] és a [2] könyvek felépítését, tárgyalását követtem. Hasznomra volt még a [3] könyv és a [4] nterneten elérhet nformácóelmélet jegyzet s. 1

7 2. fejezet Klasszkus nformácóelmélet mennységek és tulajdonságak Ebben a fejezetben az entrópa, a feltételes lletve kölcsönös nformácó és ezek fontosabb tulajdonsága kerülnek bemutatásra. A továbbakban kzárólag véges halmazokon értelmezett dszkrét valószín ség mértékekkel foglalkozunk Shannon-entrópa Legyen adott egy X dszkrét valószín ség változó. Ekkor szeretnénk denáln az entrópát, azt a várható nformácómennységet, amt akkor nyerünk, amkor X értékét megtudjuk. Jelölje H(X ) ezt a függvényt. Mel tt egy valószín ség változó nformácómennységét denálnánk, denáljuk egy esemény nformácómennységét. Egy lyen függvényt jelöljünk I -vel. Nylván ennek a függvénynek teljesítene kell a következ krtérumokat: (1) I (E) csak az E esemény valószín ségének függvénye, így írhatjuk, hogy I = I (p), ahol p az E esemény valószín sége (0 p 1). (2) I nemnegatív, sma függvény. (3) Ha p és q két független esemény valószín sége, akkor I(p) + I(q) = I(pq), vagys két független esemény külön-külön anny nformácót szolgáltat, mnt együttes bekövetkezésük. (4) Megállapodás szernt az egységet válasszuk meg az alább módon: I (1 /2 ) = Tétel (Egyed nformácó). I (p) = log(p). Bzonyítás. Legyen ϕ(x) = I (2 x ), ahol 0 x. A bevezetett új jelölés mellett teljesülnek az alábbak: ϕ(x +y) = ϕ(x)+ϕ(y) és ϕ(1) = 1. Ennek az ún. Cauchy-féle függvényegyenletnek pedg tudjuk, hogy egyedül a ϕ(x) = x az egyetlen folytonos megoldása. A tétel motválja, hogy a következ módon denáljuk egy X valószín ség változó nformácómennységét, másszóval entrópáját. 2

8 Denícó. Egy X dszkrét valószín ség változó Shannon entrópáján az alább mennységet értjük: H(X) = H(p 1,..., p n ) =. n p log p Megállapodás szernt legyen 0 log 0 = 0. Ezt alátámasztja az az ntucó s, hogy egy 0 valószín ség esemény nem hordoz nformácót lletve az a tény s, hogy az x log x függvény a 0-ban folytonos és ott a határértéke 0. Egy dszkrét valószín ség változó Shannon entrópájára gondolhatunk úgy s, mnt a valószín ség változó által meghatározott elem események egyed nformácónak várható értékére. = A relatív entrópa A következ mennységgel valamlyen értelemben valószín ség változók távolságát tudjuk mérn Denícó. Legyenek p(x) és q(x) valószín ségeloszlások ugyanazon x X ndexhalmazon értelmezettek. Ekkor p(x) relatív entrópája q(x)-re nézve a következ mennység: H (p(x) q(x)) = x p(x) log p(x) q(x) = H (X ) x p(x) log q(x). Megállapodás szernt legyen 0 log 0 = 0 lletve p(x)log0 = + ha p(x) > 0. A következ tétel megmutatja mért s használható a relatív entrópa valószín ség változók távolságának mérésére Tétel (A relatív entrópa nemnegatvtása). A relatív entrópa nemnegatív, azaz H (p(x) q(x)) 0, és egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha p(x) = q(x) mnden x esetén. Bzonyítás. Alkalmazzuk az alább, elem analízsb l smert egyenl tlenséget: log x ln2 = ln x x 1, ahol x > 0, és egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha x = 1. Ezt átrendezve kapjuk: log x 1 x ln2. Ezzel becsüljük a relatív entrópát alulról: H (p(x) q(x)) = p(x) log q(x) p(x) x 1 ( p(x) 1 q(x) ) ln2 p(x) x = 1 ln2 (2.1) (2.2) (p(x) q(x)) (2.3) x = 1 (1 1) = 0, (2.4) ln2 és ez az, amt bzonyítan akartunk. Egyenl ség pedg akkor és csak akkor áll fenn, ha (2.2)-nél = 1 mnden x esetén, vagys ha a két valószín ség változó eloszlása meg- egyenl ség van, azaz q(x) p(x) egyezk. 3

9 A relatív entrópa bzonyos értelemben a valószín ség változók között egy távolságot denál, de nem metrka. Könnyen látható, hogy már a szmmetrkusság sem teljesül. Az nformácóelméletben be szokták vezetn a relatív entrópa szmmetrzált változatát, az nformácós dvergencát, de még az sem teljesít a háromszög-egyenl tlenséget. A továbbakban látn fogjuk, hogy mlyen hasznos fogalom a relatív entrópa. A relatív entrópa els alkalmazásaként fels korlátot adunk az entrópára Tétel (Fels korlát az entrópára). Legyen X egy valószín ség változó d darab kmenettel. Ekkor H (X ) log d, egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha X egyenletes eloszlású a d kmeneten. Bzonyítás. Legyen p(x) tetsz leges valószín ség eloszlás, míg q(x) legyen egyenletes eloszlású a d kmeneten. H (p(x) q(x)) = H (p(x) 1 d ) = H (X ) x p(x) log 1 d = log d H (X ). (5.1) A relatív entrópa nemnegatvtása matt log d H (X ) 0. Ebb l átrendezéssel adódk az állítás, lletve egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha p(x) s egyenletes eloszlású Kölcsönös entrópa, feltételes entrópa és kölcsönös nformácó Legyen X és Y két valószín ség változó. Arra vagyunk kíváncsak, hogy mlyen kapcsolat van X és Y nformácómennysége között. Ennek megválaszolása céljából vezetjük be a következ fogalmakat Denícó. X és Y kölcsönös entrópájának nevezzük a következ mennységet: H (X, Y ) = x,y p(x, y) log p(x, y). X feltételes entrópáját Y -ra nézve így értelmezzük: H (X Y ) = H (X, Y ) H (Y ). X és Y kölcsönös nformácóján pedg a H (X : Y ) = H (X ) + H (Y ) H (X, Y ) mennységet értjük. Szemléletesen úgy teknthetünk a kölcsönös entrópára, mnt arra az nformácómennységre, amelyet az (X, Y ) pár átlagosan hordoz. A feltételes entrópa azt az átlagos nformácómennységet, bzonytalanságot mér, am akkor lép fel, amkor smerjük Y értékét, de X -ét még nem. A kölcsönös nformácó pedg azt az nformácómennységet mér, hogy az egyk változó entrópája várhatóan mennyvel csökken, ha a másknak megtudjuk az értékét. A denícókból azonnal jön az alább összefüggés: H (X : Y ) = H (X ) H (X Y ) Tétel (A bevezetett mér számok alaptulajdonsága). (1) H (X, Y ) = H (Y, X ), H (X : Y ) = H (Y : X ) (2) H (Y X ) 0, és így H (X : Y ) H (Y ), egyenl ség pontosan akkor, ha Y függvénye X -nek, Y = f (X ). (3) H (X ) H (X, Y ), egyenl ség pontosan akkor, ha Y függvénye X -nek. 4

10 (4) Szubaddtvtás: H (X, Y ) H (X ) + H (Y ), egyenl ség akkor és csak akkor, ha X és Y független valószín ség változók. (5) H (Y X ) H (Y ), tehát H (Y : X ) 0, egyenl ség akkor és csak akkor, ha X és Y függetlenek. (6) Er s szubaddtvtás: H (X, Y, Z ) + H (Y ) H (X, Y ) + H (Y, Z ) és egyenl ség pontosan akkor, ha Z Y X egy Markov-lánc. (7) A feltételek csökkentk az entrópát: H (X Y, Z ) H (X Y ). Bzonyítás. (1) Vlágos a denícókból. (2) Mvel p(x, y) = p(x)p(y x), ezért H (X, Y ) = x,y p(x, y) log p(x)p(y x) = x p(x) log p(x) x,y p(x, y) log p(y x) = H (X ) x,y p(x, y) log p(y x) Ezért H (Y, X ) = x,y p(x, y) log p(y x). De log p(y x) 0, tehát H (Y, X ) 0. Láthatóan egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha Y X -nek függvénye. (3) Következk az el z pontból. (4) Ismét alkalmazzuk az analízsb l smert egyenl tlenséget: log x x 1 ln2, ahol x > 0, és egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha x = 1. Így kapjuk, hogy: x,y p(x, y) log p(x)p(y) p(x, y) = 1 ln 2 x,y 1 ln2 x,y p(x, y)( p(x)p(y) p(x, y) p(x)p(y) p(x, y) = 1 1 ln2 = 0 Ez pedg bzonyítja az állítást. Egyenl ség pedg pontosan akkor áll fenn, ha p(x, y) = p(x)p(y) 1) mnden x és y esetén. Vagys az egyenl tlenség akkor éles, ha X és Y függetlenek. (5) A szubaddtvtásból és a denícókból következk. (6) A bzonyítás teljesen hasonlóan megy, mnt a szubaddtvtásnál, csak tt hármas szummák szerepelnek. (7) H (X, Y, Z ) H (Y, Z ) H (X, Y ) H (X ) egyenl tlenség ekvvalens az állítással, am éppen az er s szubaddtvtás átrendezett alakja. Habár az entrópa szubaddtív, a kölcsönös nformácó nem mndg az, vagys nem mndg teljesül a következ egyenl tlenség: H(X, Y : Z) H(X : Z) + H(Y : Z). Valóban, legyenek X és Y független azonos eloszlású valószín ség változók, melyek 1/2-1/2 valószín séggel veszk fel a 0-t és az 1-et. Z-t pedg válasszuk eképp: Z = X Y, ahol a modulo 2 szernt 5

11 összeadást jelöl. Egyszer számolás mutatja, hogy nem teljesül az egyenl tlenség, tehát a kölcsönös nformácó nem mndg szubaddtív ábra. Entrópa Venn-dagramm A különböz klasszkus nformácóelmélet mér számok között kapcsolatokat, összefüggéseket legnkább egy "entrópa Venn-dagrammon" lehet bemutatn. Ez az ábra nkább az egyes denícókat szemléltet jól, mntsem a különböz entrópafüggvények tulajdonságat mutatja be. 6

12 3. fejezet Kvantummechanka alapok és egyéb fontos tételek Ma tudásunk szernt a legpontosabb leírását a vlágnak a kvantummechanka adja. Ebbe a vlágba enged bepllantan a következ fejezet, de csak annyra, amenny szükséges a következ fejezetek (kvantum nformácóelmélet és Holevo-korlát) szempontjából A kvantummechanka posztulátuma A következ posztulátumok lehet vé teszk a zka vlág matematka formalzácóját a kvantummechanka elméleten belül. Az els posztulátum felállítja a kvantummechanka színterét, ahol az egész történet játszódk Posztulátum (A kvantummechanka els posztulátuma). Mnden zka rendszerhez hozzárendelünk egy komplex vektorteret és egy skalárs szorzást ezen a vektortéren, vagys egy Hlbert-teret. Ezt a Hlbert-teret a rendszerhez tartozó állapottérnek nevezzük. Egy zka rendszer állapotát az állapotvektor írja le, amely egy egységhosszú vektor az állapottérben. Hogyan változk egy kvantum rendszer ψ állapota? Posztulátum (A kvantummechanka másodk posztulátuma). Egy zárt kvantumrendszer "vselkedése" egy untér transzformácóval írható le. Vagys, ha a kvantumrendszer a t 1 d pllanatban a ψ állapotban van és a t 2 d pllanatban egy ψ állapotba kerül, akkor van olyan U untér transzformácó mely csak t 1 és t 2 -t l függ és amelyre teljesül ψ = U ψ. Azonnal felmerül a kérdés, hogy mely untér transzformácókat természetes teknten? Könnyen meg lehet mutatn, hogy az összes untér transzformácó el fordulhat valóságos kvantumállapotok leírásánál. A valóságban csak a legrtkább esetekben találkozunk zárt zka rendszerekkel. Hogyan írhatóak le a nyílt kvantumrendszerek vselkedése? M történk, ha azon mérést végzünk? 7

13 Posztulátum (A kvantummechanka harmadk posztulátuma). A kvantum méréseket egy {M m } halmazzal jelöljük, amelyeket rövden csak mérésnek nevezünk. Ezek az operátorok a megmérend rendszer állapotterén hatnak. Az alsó ndexben az m a végeredményre utal. Ha a rendszer a mérés el tt ψ állapotban volt akkor az a valószín ség, hogy végeredményül m-et kapunk: p(m) = ψ M mm m ψ alakban írható. A mérés után a rendszer állapotvektora: M m ψ ψ M m M m ψ Továbbá a mérések halmaza kelégít a teljesség relácót, vagys: MmM m = I. m A teljesség relácó lényegében csak annyt fejez k, hogy a valószín ségek összege 1: 1 = m p(m) = m ψ M M ψ A továbbakban fontos szerep jut az összetett kvantumrendszereknek. Hogyan néz k az összetett kvantumrendszerek állapottere? Erre ad választ a következ, Posztulátum (A kvantummechanka negyedk posztulátuma). Az összetett kvantumrendszer állapottere a komponensek állapotterenek tenzorszorzata. Vagys ha 1-t l n-g ndexeljük kvantum rendszerek egy halmazát és az -edk a ψ állapotban van, akkor az összetett rendszer a ψ 1 ψ 2... ψ n állapotban van Qubtok Tekntsük a legegyszer bb esetet, vagys amkor az állapottér egy 2-dmenzós komplex Hlbert-tér. Ebben az esetben az állapotvektorokat qubtoknak nevezzük. A qubtoknak a következ el állítását használjuk: ψ = a 0 + b 1, ahol 0 és 1 egy ortonormált bázsa az állapottérnek és a,b komplex számok. A feltétel, hogy ψ egységhosszú vektor azt jelent, hogy ψ ψ = 1, vagy ekvvalens megfogalmazásban: a 2 + b 2 = 1. A qubt a legalapvet bb kvantummechanka rendszer, akárcsak a bt a klasszkus nformácóelméletben. Lényeges különbség, hogy míg egy bt két állapot (0 és 1) valamelykében lehet, addg egy qubt ezek szuperpozícójában s lehet, vagys az a 0 + b 1 állapotban. Ez a szuperpozícó azt jelent, hogy a qubtról nem tudjuk megmondan teljes bztonsággal, hogy a 0 vagy az 1 állapotban van, hanem valahol a kett között. 8

14 Az a és b együtthatókat valószín ség ampltúdóknak s szokták nevezn. Az elnevezésnek az az oka, hogyha meg akarjuk mérn, hogy a qubt melyk állapotban van, akkor a 2 valószín séggel azt kapjuk, hogy a 0 állapotban van és b 2 valószín séggel azt kapjuk, hogy az 1 állapotban van. Els re a qubt fogalma nem t nk túl életszer nek, de a természetben mégs számtalan qubtrealzácó létezk. Csak, hogy említsünk néhányat: (1) egy foton két polarzácós állapota, (2) egy elektron két különböz spnje egy mágneses térben, (3) egy atom körül kerng elektron két állapotban lehet: a 0 az alapállapotnak felel meg, míg az 1 a gerjesztett állapotnak. Ezen állapotok között "ngázhat" az elektron. Számtalan módszerrel (pl.: fénysugárral) gerjeszthetjük az atomot, melynek hatására a 0 állapotból az 1-esbe kerül. Változtatva a sugárzás, gerjesztés mértékét az elektron a két állapot "közé" s kerülhet ábra. Egy qubt realzácója az elektron két állapotának segítségével Menny nformácót tudunk tároln egy qubtban? Mnt korábban láttuk végtelen sok (kontnuum sok) állapotban lehet egy qubt, de ha mérést végzünk rajta, akkor csak a 0 vagy 1 állapotok valamelykében lehet a valószín ség ampltúdóknak megfelel valószín ségekkel. Tehát egy qubt végtelen sok nformácót tud tároln, de a bel le knyerhet nformácó ugyananny, mnt egy klasszkus bt nformácója Többszörös qubtok Tegyük fel, hogy van két qubtunk. Ha ez két klasszkus bt lenne, akkor 4 állapotunk lenne: 00,01,10,11. Ennek megfelel en a két qubt rendszer egy 4-dmenzós komplex Hlbert-térben él, ahol 00, 01, 10 és 11 egy ortonormált bázs. Ez a két qubt s lehet ezen állapotok szuperpozícójában, így a két qubt rendszerben az állapotvektor az alább alakban írható: ψ = a a a a Hasonlóan a qubt esethez tt s egy mérés után annak a valószín sége, hogy az (x = 00,01,10 vagy 11) állapotot mérjük a x 2 a valószín sége. A mérés után a qubt az x állapotba kerül. Mvel az 9

15 együtthatók tt s valószín ség ampltúdók, ezért a x 2 = 1. x {0,1} 2 A két qubt esetéhez teljesen hasonlóan értelmezzük az n qubt esetet. Tehát n qubtot 2 n darab valószín ség ampltúdóval írhatunk le Kvantumállapotok megkülönböztetése A klasszkus nformácóelméletben mndg meg tudunk különböztetn két állapotot. Semmlyen elv akadályba nem ütközünk, amkor meg szeretnénk állapítan, hogy egy pénzérme fejre vagy írásra érkezett-e. A kvantummechankában vszont ez már nncs így. A problémát a legjobban az alább példával lehet szemléltetn: tekntsünk két játékost, Aladárt és Bélát, akk egy nem mndennap "barkochba"-t játszanak. Kvantumállapotok egy el re meghatározott ψ (1 n) halmazából választ egyet Aladár. Bélának az a feladata, hogy meghatározza azt az ndexet, amelyhez az Aladár által választott ψ kvantumállapot tartozk. El ször tekntsük azt az esetet, amkor a ψ állapotok ortogonálsak. Ekkor Béla tud olyan méréseket végezn az állapotvektoron, hogy k tudja deríten teljes bztonsággal az ndex klétét. Az eljárás a következ : mnden -re denáljuk az M = ψ ψ méréseket, továbbá legyen M 0 a négyzetgyöke az I ψ ψ operátornak. Az így denált operátorok kelégítk a teljesség relácót 0 (vagys négyzetösszegük az denttás operátor) és ha Aladár a ψ állapotot készít el Bélának, akkor p() = ψ M ψ = 1. Tehát ortogonáls állapotvektorok esetén teljes bztonsággal meg tudja Béla mondan, hogy Aladár melyk ndex állapotvektorra gondolt. Ezzel szemben, ha a ψ állapotvektorok nem ortogonálsak, akkor bebzonyítjuk, hogy nem létezk kvantum mérés, mellyel meg tudnánk állapítan teljes bztonsággal az állapotvektor ndexét Tétel (Nem-ortogonáls állapotok megkülönböztethetetlensége). Tegyük fel, hogy Béla {M j } mérést végez, melynek j az eredménye. Az eredmények alapján egy f függvény segítségével Béla megtesz = f(j) tppjét a kvantumállapot ndexére vonatkozóan. Ekkor a ψ 1 és ψ 2 nem-ortogonáls állapotok nem megkülönböztethet ek. Bzonyítás. Indrekt módon tegyük fel, hogy léteznek olyan mérések, mellyel ψ 1 és ψ 2 nem-ortogonáls állapotok megkülönböztethet ek. Tehát ha ψ 1 vagy ψ 2 állapotokat kapja Béla, akkor 1 annak a valószín sége, hogy a mérés eredménye j, ahol f(j) = 1 vagy f(j) = 2. Legyen E = Mj M j, ahol a feltevések szernt j:f(j)= ψ 1 E 1 ψ 1 = 1; ψ 2 E 2 ψ 2 = 1. (3.3.1) Mvel E = I, ezért ψ 1 E ψ 1 = 1 és ψ 1 E 1 ψ 1 = 1 matt ψ 1 E 2 ψ 1 = 0, vagys E 2 ψ 1 = 0. Az állapotok non-ortogonaltásából adódk a következ felbontás: ψ 2 = α ψ 1 + β ϕ, ahol ϕ ortogonáls ψ 1 -re. Mvel az állapotvektorok egységhosszúak, ezért α 2 + β 2 = 1, és β < 1, mert 10

16 ψ 1 és ψ 2 nem ortogonálsak. Vagys E 2 ψ 1 = β E 2 ϕ, am ellentmond es egyenletnek, hszen ψ 2 E 2 ψ 2 = β 2 ϕ E 2 ϕ β 2 < 1, ahol az utolsó el tt egyenl tlenség abból következk, hogy ϕ E 2 ϕ ϕ E ϕ = ϕ ϕ = Kvantum mérések és operácók Az általános formájú posztulátum fontos specáls esete a projektív mérések és POVM mérések. Most ezeket vesszük górcs alá Denícó. Egy M Hermtkus operátort, amely az állapottéren hat, projektív mérésnek nevezünk. M spektráls felbontása: M = m mp m, ahol P m egy projekcó az M-nek az m sajátértékhez tartozó sajátalterére. A mérés lehetséges kmenete megfelelnek az M operátor m sajátértékenek. Ha egy ψ állapotot mérünk meg, akkor annak a valószín sége, hogy a végeredmény m lesz, a következ alakban adható meg: p(m) = ψ P m ψ. Ha a mérés kmente m, akkor rögtön a mérés után a rendszer a P m ψ p(m) állapotban van. A denícó alapján könnyen kszámolhatjuk a mérés várható értékét: E(M) = m mp(m) = m m ψ P m ψ ( = ψ mp m ) ψ m = ψ M ψ. Ez egy gen hasznos összefüggés, am sok számolást leegyszer sít. Az M várható értékét gyakran így s jelöljük: M = ψ M ψ. Ezzel az új jelöléssel az M mérés szórását az alább alakban s írhatjuk: D(M) = M 2 M 2. 11

17 Eddg úgy adtunk meg méréseket, hogy denáltuk, hogy melyk kmenetel mlyen valószín séggel fordul el, majd denáltuk, hogy a rendszer a mérést követ en mlyen állapotba kerül. Gyakran nem fontos, hogy a mérés után mlyen állapotba kerül a rendszer, mvel a rendszernek csak az aktuáls állapota érdekel mnket. Ebb l a szempontból a méréseknél általánosabb fogalom kerül most bevezetésre: Denícó. Tegyük fel, hogy az M m operátorok által leírt mérések egy ψ állapotban lév rendszeren hatnak. Ekkor annak a valószín sége, hogy a mérés végeredménye m: p(m) = ψ M m Mm ψ. Legyen E m = M m Mm. m Ekkor a posztulátum és lneárs algebra megfontolások szernt E m egy poztív operátor, melyre E m = I és p(m) = ψ E m ψ. Tehát az E m operátorok meg tudják határozn a kmenet valószín ségeket. Az E m operátorokat a méréshez asszocált POVM (Postve Operator-Valued Masure) elemeknek nevezzük. A {E m } teljes halmazt pedg POVM mérésnek hívjuk. Most példát adunk POVM mérésekre. Tekntsük projektív mérések egy P m halmazát, ahol P m egy projekcó, vagys: P m P m = δ mm P m és P m = I. Ebben az esetben az összes POVM elem megegyezk m az eredet mérések operátorával, vagys E m = PmP m = P m. A következ formalzmus a kvantum zaj leírását tesz lehet vé Denícó. Legyen ρ egy s r ségoperátor a V 1 V 2 V 3 téren (V 1, V 2, V 3 vektorterek). Jelölje I 1 a V 1 tér denttását, míg U 23 a V 1 V 2 tér egy untér transzformácóját. Ekkor a kvantum zaj hatására a ρ állapotú kvantumrendszer a ρ = Γ(ρ) = (I 1 U 1 23 )ρ(i 1 U 23 ) állapotba kerül. A Γ leképezést kvantum operácónak nevezzük. 12

18 4. fejezet A kvantum-nformácóelmélet alapja A klasszkus nformácóelmélet bevezet után a megsmert fogalmakat kvantumrendszerekre szeretnénk általánosítan. Néhány eredmény analogonja továbbra s érvényben marad, ám lesz egy-két eset, amkor az ntucónknak ellentmondó eredményeket kapunk. A fejezetben felépítjük a szükséges technka hátteret, am a szakdolgozat legfontosabb tételének bzonyításához szükséges Neumann-entrópa A Neumann-entrópa a klasszkus esetb l smert Shannon entrópát általánosítja. Míg egy klasszkus rendszert egy dszkrét valószín ség változó írt le, addg egy kvantumrendszer állapotát egy komplex Hlbert-téren értelmezett s r ségoperátor írja le. Denícó szernt s r ségoperátornak egy 1-nyomú, poztív szemdent mátrxot nevezünk. Így denícó alapján adódk a következ fogalom: Denícó. Egy ρ kvantumrendszer Neumann-entrópáját így értelmezzük: S(ρ) = tr(ρ log ρ). Mvel a nyomfüggvény hasonlóság nvaráns, így a dagonalzálás után a λ x sajátértékek segítségével az alább egyszer bb alakban s írhatjuk a Neumann-entrópát: S(ρ) = x λ x log λ x, ahol 0 log 0 = 0 hasonló megfontolások matt, mnt a Shannon-entrópánál. A számolásoknál többnyre az utóbb formulát fogjuk használn. A továbbakban amkor entrópára utalunk, akkor a szövegkörnyezetb l mndg egyértelm lesz, hogy a Shannon- vagy Neumann-entrópáról van éppen szó Kvantum relatív entrópa Ismét hasznos lesz bevezetnünk a relatív entrópa fogalmát. 13

19 Denícó. Tegyük fel, hogy ρ és σ két s r ségoperátor. Ekkor ρ relatív entrópáját σ-ra nézve így értelmezzük: S(ρ σ) = tr(ρ log ρ) tr(ρ log σ). A klasszkus relatív entrópához hasonlóan a kvantum relatív entrópa s lehet olykor +. Megállapodás szernt legyen + a kvantum relatív entrópa, ha σ magja nem mer leges ρ képterére. Különben véges. Valóban, mert ha fennáll, hogy σ magtere mer leges ρ képterére, akkor ezzel ekvvalens, hogy Kerσ Kerρ, tehát ekkor elég ρ és σ helyett az Imσ-ra vett megszorításukat venn. Ezek kvantum relatív entrópája (am véges) éppen ρ és σ kvantum relatív entrópája. Fontos eredmény a következ : Tétel (Klen-egyenl tlenség). A relatív entrópa nemnegatív, S(ρ σ) 0, egyenl ség akkor és csak akkor, ha ρ = σ. Bzonyítás. Legyen ρ = p és σ = j q j j j a megfelel s r ségoperátorok mátrxa a dagonalzálás után. A relatív entrópa denícója matt írhatjuk, hogy: S(ρ σ) = p log p ρ log σ. Ebbe az egyenl ségbe behelyettesítve a következ ket: ρ = p és ( ) log σ = log q j j j = log(q j )P j, j j ahol P j = j j 0 kapjuk, hogy S(ρ σ) = p ( log p j P j log(q j ) ). P j duplán sztochasztkus mátrx ( P j = 1, j P j = 1), mvel mnd a két rendszer ortonormált bázs. A log függvény szgorú konkavtása matt j P j log q j log r, ahol r = j P j q j, egyenl séggel akkor és csak akkor, ha létezk olyan j, melyre P j = 1. Vagys S(ρ σ) p log p r, egyenl séggel akkar és csak akkor, ha mnden -re létezk olyan j, melyre P j = 1, vagys ha P j permutácómátrx. Az el bb egyenl tlenség jobb oldalán a klasszkus relatív entrópa található, amr l már beláttuk, hogy nemnegatív. Ebb l adódk a kvantum relatív entrópa nemnegatvtása s. S(ρ σ) 0, egyenl ség akkor és csak akkor, ha p = r mnden -re és P j egy permutácómátrx. Az egyenl ségre vonatkozó feltételt egyszer bben s megfogalmazhatjuk: a permutácómátrx sorat és oszlopat felcserélve feltehet, hogy P j az egységmátrx. Ez pedg azt jelent, hogy ρ és σ ugyanabban a bázsban dagonálsak. A p = r feltételb l pedg következk, hogy ρ és σ megfelel sajátértéke megegyeznek, am azt jelent, hogy egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha ρ=σ. 14

20 4.3. Schmdt-felbontás és purkácó Denícó. A 1-rangú ρ s r ségoperátort tszta állapotnak nevezzük. Ha ρ A az A kvantumrendszernek az n-dmenzós H 1 komplex Hlbert-téren értelmezett s r ségoperátora és hasonlóan ρ B a B kvantumrendszernek az m-dmenzós H 2 komplex Hlbert-téren értelmezett s r ségoperátora, akkor az AB összetett kvantumrendszer s r ségoperátora, ρ AB egy olyan s r ségoperátor, melyre teljesülnek a következ k: ρ AB a H 1 H 2 téren értelmezett, n n-es dagonáls blokkjanak összege ρ A, továbbá ha ρ AB -t n n-es blokkokra osztjuk, akkor a k-adk sor j-edk oszlopában található blokkmátrx nyoma legyen a ρ B mátrx k-adk sorának j-edk eleme. Ekkor az AB összetett rendszer margnálsanak nevezzük az A és B rendszereket. Könnyen látható, hogy mnden 1-rangú ρ s r ségoperátor el állítható egy egységhosszú vektor önmagával vett tenzorszorzataként és hasonlóan mnden egységhosszú vektor önmagával vett tenzorszorzata egy 1-rangú s r ségoperátort határoz meg (az egységhosszúság azért van feltéve, hogy az operátor nyoma 1 legyen). Ez a tszta állapotok és állapotvektorok között (egységhosszú komplex számmal való szorzástól eltekntve) bjekcó gyakran a jelölésrendszerben és a nyelvhasználatban s vssza fog köszönn a továbbakban. Ismertnek tekntjük az alább, numerkus analízsb l jól smert tételt Tétel (Szngulárs értékek szernt felbontás). Ha M egy komplex érték m n-es mátrx, akkor el állítható az alább alakban: M = UΣV, ahol U egy m m-es untér mátrx, V egy n n-es untér mátrx, míg Σ egy m n-es dagonáls mátrx, amelynek f átlójában nemnegatív valós elemek vannak. A következ két tétel fontos szerepet fog játszan a továbbakban. A posztulátum szernt az összetett kvantumrendszerek állapottere az t alkotó rendszerek állapotterenek tenzorszorzata. Ezért hasznos az alább felbontás: Tétel (Schmdt-felbontás). Legyen H 1 egy n-dmenzós, míg H 2 egy m-dmenzós Hlbert-tér. Tegyük fel, hogy n m. Ekkor mnden v H 1 H 2 -bel vektorra léteznek olyan {u 1,..., u n } H 1 és {v 1,..., v m } H 2 ortonormált rendszerek, hogy α = m α u v, ahol az α skalárok nem-negatívak és teljesen meghatározottak a v vektor által. Bzonyítás. Rögzítsük H 1 -ben az {e 1,...e n } lletve H 2 -ben az {f 1,..., f m } ortonormált bázsokat. Ekkor egy elem tenzort, e f j -t azonosítsuk az e fj T mátrxszal, ahol fj T az f j vektor transzponáltja. Ezután az azonosítás után egy általános eleme a tenzorszorzatnak lyen alakban írható: v = β j e f j. =1 1 n,1 j m Legyen M v = (β j ) j n m-es mátrx. Erre a mátrxra alkalmazva a numerkus analízsb l smert szngulárs értékek szernt felbontást, adódk a [ ] Σ M v = U 0 15 V T

21 [ felbontás, ahol U és V untér mátrxok, míg Σ dagonáls mátrx. Legyen U = U 1 U 2 ], ahol U 1 n m-es mátrx, így M v = U 1 ΣV T. Legyen {u 1,..., u m } az els m oszlopvektora az U 1 mátrxnak, {v 1,..., v m } oszlopvektora a V mátrxnak és α 1,...α m dagonáleleme a Σ mátrxnak. Ekkor az M v mátrx lyen alakra hozható: vagys am bzonyítja az állítást. M v = v = m α k u k vk T, k=1 m α k u k v k, k=1 Az u k, v k bázsokat Schmdt-bázsnak nevezzük, míg a nemnulla α k konstansok számát a v állapotvektor Schmdt-számának nevezzük. A Schmdt-felbontásnak fontos következménye, amt úton-útfélen alkalmazn fogunk, az az észrevétel, mely szernt ha ϕ egy AB összetett kvantumrendszer állapota (vagys az AB rendszer tszta állapotban van), akkor S(A) = S(B). Ezt könnyen beláthatjuk a Schmdt-felbontással; ekkor ρ A = αk 2 v k v k, hasonlóan ρ B = αk 2 u k u k, vagys mndkét s - k k r ségoperátornak ugyanazok a sajátértéke, amb l már következk, hogy megegyezk az entrópájuk: lásd és denícókat. Egy másk gen fontos és gyakran használt technka a kvantum-nformácóelméletben a purkácó vagy tsztítás Tétel (Purkácó). Mnden A kvantumrendszerhez, melynek s r ségoperátora ρ A, létezk olyan R kvantumrendszer, hogy az AR kvantumrendszer tszta állapotban van és margnálsa A és R. Bzonyítás. Tekntsünk egy A tetsz leges rendszert és a hozzá tartozó ρ A s r ségoperátort. Legyen ρ A a dagonáls bázsban a következ alakú: ρ A = p A A. Ekkor az R segédrendszer állapottere legyen ugyananny dmenzós, mnt A állapottere és R legyen R állapotterében az ortonormált bázs. Ekkor értelmezzük AR -t az alább módon: AR = p A R. Az így értelmezett AR állapotvektornak önmagával vett tenzorszorzata egy tszta állapot, amelynek margnálsa trválsan A és R A Neumann entrópa alaptulajdonsága Tétel (A Neumann entrópa alaptulajdonsága). (1) Az entrópa nemnegatív. Az S(ρ) entrópa akkor és csak akkor 0, ha ρ egy tszta állapot. (2) A d-dmenzós Hlbert-téren értelmezett s r ségoperátorok entrópájának maxmuma log d. Az entrópa log d akkor és csak akkor, ha ρ = I/d, ahol I a d-dmenzós egységmátrx. 16

22 (3) Legyen AB egy tszta állapotú, összetett kvantumrendszer. Ekkor S(A) = S(B). (4) Legyenek p valószín ségek és a ρ s r ségoperátorok képe legyenek ortogonáls alterek. Ekkor S( p ρ ) = H(p ) + p S(ρ ). (5) Tegyük fel, hogy p valószín ségek, ortogonáls egységvektorok egy Hlbert-téren, és ρ egy másk Hlbert-téren értelmezett s r ségoperátorok tetsz leges halmaza. Ekkor S( p ρ ) = H(p ) + p S(ρ ). Bzonyítás. (1) Nylvánvaló. (2) Alkalmazzuk a Klen-egyenl tlenséget ( tétel) a tetsz leges ρ és I/d s r ségoperátorokra: 0 S(ρ I/d) = S(ρ) + log d. (3) Schmdt tételéb l tudjuk, hogy ekkor AB margnálsanak ugyanazok a sajátértéke. Ekkor az entrópájuk s megegyezk: S(A) = S(B). (4) Legyenek λ j és ej a sajátértéke és sajátvektora a ρ s r ségoperátornak. Vegyük észre, hogy p λ j és ej sajátértéke és sajátvektora a p ρ s r ségoperátornak: S( = p ρ ) = j p log p = H(p ) + p λ j log p λ j p λ j log λj j p S(ρ ). (5) A (4)-es pontból azonnal következk. A klasszkus eset analógájára, hasonló módon a kvantum esetben s denálhatók a feltételes-, valamnt kölcsönös-entrópa lletve kölcsönös nformácó fogalma Denícó. Az A és B margnálsokkal rendelkez AB összetett rendszernek az entrópája legyen A és B kölcsönös entrópája, vagys: S(A, B) = tr(ρ AB log(ρ AB )), ahol ρ AB az összetett rendszer s r ségmátrxa. A klasszkus eset mntájára denáljuk a feltételes entrópát és a kölcsönös nformácót: S(A B) = S(A, B) S(B) S(A : B) = S(A) + S(B) S(A, B) = S(A) S(A B) = S(B) S(B A). Számos a klasszkus esetben megszokott entrópa-tulajdonság a kvantum esetben már nem gaz. A Shannon entrópára gaz volt az alább összefüggés: H(X) H(X, Y ). Ezt az egyenl tlenséget elég kézenfekv nek érezzük, hszen az X-b l szerezhet átlagos nformácómennység nem lehet több az (X, Y )-ból megszerezhet átlagos nformácómennységnél. Ez az egyenl tlenség vszont kvantum 17

23 esetben nem teljesül. Tekntsük a ( )/ 2 állapotvektor által meghatározott tszta állapotot. Ennek margnálsa legyenek A és B. Mvel (A, B) tszta állapot, ezért S(A, B) = 0, de mnd A-nak és B-nek az I/2 a s r ségoperátora, amnek az entrópája 1. Ebb l adódk, hogy az S(A : B) = S(B) S(B A) mennység lehet negatív s Mérések és az entrópa Egy kvantumrendszer sznte sosem teknthet a külvlágtól és a meggyel kt l elzárt rendszernek. Gyakran méréseket végzünk a rendszeren, hogy annak bels állapotáról nformácót szerezzünk. Ebben a pontban azt vzsgáljuk meg, hogy bzonyos mérések hogyan változtatják meg egy kvantumrendszer entrópáját Denícó. Tekntsük P projekcók (P 2 = P, P = P ) egy halmazát. Ekkor a P projekcók által meghatározott projektív mérés után a ρ kvantumrendszer a ρ = P ρp kvantumállapotba kerül Tétel (A projektív mérések növelk az entrópát). Legyen P projekcók egy teljes halmaza ( P = I) és ρ s r ségoperátor. Ekkor a projektív mérés után a ρ = P ρp kvantumállapot entrópája nem ksebb az eredet kvantumállapoténál: egyenl ség akkor és csak akkor, ha ρ = ρ. S(ρ ) S(ρ), Bzonyítás. Ismételten a Klen-egyenl tlenséget kell alkalmaznunk, tétel, a ρ és ρ s r ségoperátorokra. 0 S(ρ ρ ) = S(ρ) tr(ρ log ρ ). Tehát elég azt megmutatn, hogy S(ρ ) = tr(ρ log ρ ). Felhasználva, hogy P 2 nyom cklkus tulajdonságát kapjuk, hogy: tr(ρ log ρ ) = tr ( ) P ρ log ρ = tr ( ) P ρ log ρ P. = P, P = I és a Vegyük észre, hogy ρ P = P ρp = P ρ, am azt mutatja, hogy P felcserélhet ρ -vel és ezért log ρ -vel s, tehát: amt bzonyítan akartunk. tr(ρ log ρ ) = tr ( ) P ρp log ρ = tr(ρ log ρ ) = S(ρ ), 18

24 4.6. Szubaddtvtás és háromszög-egyenl tlenség Már említettük, hogy a Shannon entrópára smert H(X, Y ) H(X) összefüggés kvantum megfelel je nem teljesül. Ennek gyengítéseként fogható fel a "háromszög-egyenl tlenség" Tétel (Az entrópa szubaddtív és teljesít a háromszög-egyenl tlenséget). Legyen A és B kvantumrendszerek összetett kvantumállapota ρ AB. Ekkor: (1) S(A, B) S(A) + S(B); és egyenl ség akkor és csak akkor áll, ha A és B nem korreláltak, azaz ρ AB = ρ A ρ B. (2) S(A, B) S(A) S(B) Bzonyítás. (1) A Klen-egyenl tlenséget alkalmazzuk, tétel, a ρ = ρ AB és σ = ρ A ρ B kvantumállapotokra: S(ρ) tr(ρ log σ), ahol tr(ρ log σ) = tr(ρ AB (log ρ A + log ρ B )) = tr(ρ A log ρ A ) tr(ρ B log ρ B ) = S(A) + S(B). Vagys azt kaptuk, hogy S(A, B) S(A) + S(B), amt bzonyítan kellett. Látható, hogy egyenl ség akkor és csak akkor áll fenn, ha ρ = σ a Klen-egyenl tlenségben, vagys ρ AB = ρ A ρ B. (2) Az A és B kvantumrendszerekhez választható olyan R segédrendszer, amely tszta állapotba vsz A-t és B-t. Ezt az eljárást purkácónak (tsztításnak) nevezzük. Ennek jogosságát a 4.3. szakaszban bzonyítottuk. A szubaddtvtást alkalmazva adódk: S(R) + S(A) S(A, R). Mvel ABR tszta állapotban van, ezért a Schmdt-tételt alkalmazva kapjuk, hogy margnálsanak entrópája egyenl, azaz: S(A, R) = S(B) és S(R) = S(A, B). Ezeket az el z egyenl tlenségbe behelyettesítve kapjuk: S(A, B) S(B) S(A). Az A és B rendszerek szmmetrájából adódk S(A, B) S(A) S(B) Konkavtás Tétel (A Neumann entrópa konkáv). Legyenek p nemnegatív valós számok, hogy Továbbá ρ jelöljön s r ségoperátorokat. Ekkor teljesül a következ egyenl tlenség: S ( ) p ρ p S(ρ ). p = 1. 19

25 Bzonyítás. Tegyük fel, hogy ρ egy A rendszer állapotat írja le. Vezessünk be egy B segédrendszert, amelynek s r ségoperátora úgy néz k, hogy a f átló -edk eleme p, mnden máshol pedg 0 áll. Ekkor AB együttes s r ségoperátora legyen: ρ AB = p ρ. Ennek margnálsa nylván A és B, hszen a dagonáls blokkok összege p ρ, míg a blokkok nyoma valóban a B rendszert határozzák meg: p. Vagys azt kaptuk, hogy: ( S(A) = S p ρ ), ( ) S(B) = S p = H(p ). Alkalmazva a ρ AB összetett rendszerre a tétel (5)-ös pontját nyerjük, hogy: S(A, B) = H(p ) + p S(ρ ). Felhasználva a szubaddtvtást S(A, B) S(A) + S(B) kapjuk, hogy: ( ) S p ρ p S(ρ ), am éppen a konkavtás. Érdemes tt megálln egy pllanatra. A kvantum-nformácóelméletben nagyon fontos és gyakran használt az mént bemutatott trükk, vagys egy segédrendszer készítésével történ bzonyítás. Mlyen ntuícó van mögötte? Az A rendszer p valószín séggel ρ állapotban van. Az értékét természetesen nem tudjuk. Célunk tehát egy olyan s r ségoperátort csnáln, am el tudja tároln értékét: ha az A rendszer a ρ állapotban lenne, akkor a B rendszer állapotban lenne és ha mérést végeznénk a B rendszeren, akkor megtudnánk, hogy A melyk állapotban van. Tehát ezért jó választás a B rendszer. A következ tétel azt mutatja, hogy "mennyre" konkáv az entrópa Tétel (Fels becslés kevert állapotok entrópájára). Legyen ρ = valós számok, melyekre p = 1 és ρ pedg s r ségoperátorok. Ekkor p ρ, ahol p nemnegatív S(ρ) p S(ρ ) + H(p ), egyenl ség akkor és csak akkor, ha mndegyk ρ képe páronként ortogonáls alterek. Bzonyítás. El ször tszta állapotokra bzonyítunk, vagys mnden ρ = ψ ψ valamlyen ψ egységhosszú vektorra a Hlbert-térb l. Tegyük fel, hogy a ρ egy A rendszer állapota. Legyen B egy segédrendszer a bázsban p valószín séggel. Az összetett rendszert denáljuk az alább módon: AB = p ψ. 20

26 Mvel AB tszta állapotban van, ezért a Schmdt-tétel alapján kapjuk, hogy ( ) S(B) = S(A) = S p ψ ψ = S(ρ). Tegyük fel, hogy projektív mérést végzünk a B rendszeren az bázsban. Legyen a mérés eredménye: ρ B = p. Ekkor a tétel alapján S(ρ) = S(B) S(B ) = H(p ). Mvel mndegyk ρ tszta állapotban van, ezért S(ρ ) = 0 mnden -re. Ebb l kapjuk, hogy S(ρ) p S(ρ ) + H(p ), egyenl ség akkor és csak akkor, ha B = B, vagys ha ψ ortogonáls állapotok. A kevert állapotok esetében mndegyk állapotot fel tudjuk bontan tszta állapotok konvex kombnácójára: ρ = p j e j e j, ahol az e j ortogonáls állapotvektorok. Ezek alapján ρ = p p j e j e j. j j Alkalmazva a tszta állapotokra vonatkozó eredményt és, hogy j p j = 1 mnden -re kapjuk, hogy S(ρ) j p p j log(p p j) = p log p = H(p ) + p p j log p j j p S(ρ ), amt bzonyítan kellett. Az egyenl ség feltétele pedg ugyanazok, mnt a tszta állapotok eseténél Er s szubaddtvtás Az er s szubaddtvtás kvantum megfelel je gaz, ám ennek bzonyítása ném el készületet gényel Denícó. Legyen f(a, B) valós érték, mátrxokon értelmezett függvény. Ekkor azt mondjuk, hogy f kölcsönösen konkáv A-ban és B-ben, ha mnden 0 λ 1 esetén f(λa 1 + (1 λ)a 2, λb 1 + (1 λ)b 2 ) λf(a 1, B 1 ) + (1 λ)f(a 2, B 2 ). A denícóból azonnal következk, hogy ha f(a, B) kölcsönösen konkáv függvény, akkor konkáv s rögzített A vagy B mellett. A megfordítás vszont már nem szükségszer en gaz. A kölcsönös konkavtás mntájára értelemszer en denálhatjuk a kölcsönös konvextás fogalmát. Bzonyítás nélkül fel fogjuk használn a következ eredményt. 21

27 Tétel (Leb-tétel). Legyen X egy mátrx és 0 t 1. Ekkor az kölcsönösen konkáv az A, B poztív mátrxokra. f(a, B) = tr(x A t XB 1 t ) Tétel (A relatív entrópa konvex). A relatív entrópa, S(ρ σ) kölcsönösen konvex a változóban. Bzonyítás. Tetsz leges A és X ugyanazon véges dmenzós Hlbert-téren ható mátrxokra legyen I t (A, X) = tr(x A t XA 1 t ) tr(x XA). Ebben a kfejezésben az els tag Leb tétele, tétel, matt konkáv A-ban, míg a másodk tag lneárs A-ban, így I t (A, X) konkáv A-ban. Legyen I(A, X) = d dt I t (A, X) = tr(x (log A)XA) tr(x X(log A)A). t=0 Vegyük észre, hogy I 0 (A, X) = 0. Felhasználva, hogy I t (A, X) konkáv A-ban kapjuk, I(λA 1 + (1 λ)a 2, X) = lm 0 I (λa 1 + (1 λ)a 2, X) I (A 1, X) I (A 2, X) λ lm + (1 λ) lm 0 0 = λi(a 1, X) + (1 λ)i(a 2, X). Vagys I(A, X) konkáv függvény A-ban. Legyenek az alább blokkmátrxok [ ] [ ] ρ A =, X = 0 σ I 0 Egyszer számolás mutatja, hogy I(A, X) = S(ρ σ). Az I(A, X) konkavtásából következk, hogy S(ρ σ) kölcsönösen konvex. A relatív entrópa konvextásának egyszer következménye a következ : Tétel (A feltételes entrópa konkavtása). AB legyen egy összetett kvantumrendszer, melynek margnálsa A és B. Ekkor a S(A B) feltételes entrópa konkáv ρ AB -ben. Bzonyítás. Legyen d az A rendszer dmenzója. Ekkor ( ) ( ( )) S ρ AB I I d ρb = S(A, B) tr ρ AB log d ρb = S(A, B) tr(ρb log ρ B ) + log d = S(A B) + log d. Mvel S(A B) = log d S(ρ AB I/d ρ B ), ezért a feltételes entrópa konkavtása következk a relatív entrópa kölcsönös konvextásából. 22

28 Tétel (Er s szubaddtvtás). Tetsz leges A, B, C kvantumrendszerekre teljesül az alább két egyenl tlenség: S(A) + S(B) S(A, C) + S(B, C) S(A, B, C) + S(B) S(A, B) + S(B, C). Bzonyítás. Valójában a két egyenl tlenség ekvvalens egymással. El ször a feltételes entrópa alkalmazásával belátjuk az els egyenl tlenséget, majd utána megmutatjuk, hogy az els egyenl tlenségb l következk a másodk. T (ρ ABC ) legyen az a függvény, amelyet így értelmezünk: T (ρ ABC ) = S(A) + S(B) S(A, C) S(B, C) = S(C A) S(C B). A feltételes entrópa konkavtása matt T (ρ ABC ) konvex függvénye ρ ABC -nek. Legyen ρ ABC = p a dagonáls alakja ρ ABC -nek. A T konvextása matt T (ρ ABC ) p T ( ). De T ( ) = 0, mvel a Schmdt-tétel matt S(A, C) = S(B) és S(B, C) = S(A). Tehát T (ρ ABC ) 0 és ezért S(A) + S(B) S(A, C) S(B, C) 0, am pont az els egyenl tlenséggel ekvvalens. A másodk egyenl tlenség bzonyításához vezessünk be egy R segédrendszert, am az ABC kvantumrendszert tszta állapotba vsz (purkálja). Ekkor az els egyenl tlenséget alkalmazva: S(R) + S(B) S(R, C) + S(B, C). Mvel ABCR tszta állapotban van, ezért a Schmdt-tétel szernt S(R) = S(A, B, C) és S(R, C) = S(A, B), vagys S(A, B, C) + S(B) S(A, B) + S(B, C), amt bzonyítan akartunk Az er s szubaddtvtás: néhány következmény Ebben a pontban az er s szubaddtvtás néhány egyszer, ám annál fontosabb következményét látjuk be, amk szükségesek a szakdolgozat f tételének, a Holevo-korlátnak bzonyításához. Érdekes észrevétel, hogy az er s szubaddtvtás mnd a klasszkus, mnd a kvantum esetben gaz, habár teljesen más okokból. A klasszkus megfelel je a S(A) + S(B) S(A, C) + S(B, C) egyenl tlenségnek már abból a tényb l s következk, hogy H(A) H(A, C) és H(B) H(B, C). A két egyenl tlenség összege az er s szubaddtvtást adja. Kvantum esetben, mnt láttuk el fordulhat, hogy S(A) > S(A, C) vagy S(B) > S(B, C), de éppen az er s szubaddtvtás matt egyszerre a kett nem teljesülhet. Az er s szubaddtvtás másk gen hasznos alakja: 0 S(C A) + S(C B) 23

29 vagy a vele ekvvalens S(C : A) + S(C : B) 2S(C) Tétel (Az er s szubaddtvtás következménye). (1) Legyen ABC egy összetett rendszer. Ekkor S(A B, C) S(A B). (2) Legyen ABC egy összetett rendszer. Ekkor S(A : B) S(A : B, C). (3) Tegyük fel, hogy ABC egy összetett kvantumrendszer, továbbá Γ egy kvantumoperácó, amely az ABC rendszeren hat. Ekkor jelölje S(A : B) a kölcsönös nformácóját az A és B margnálsoknak, mel tt még Γ-t alkalmaztuk volna ABC-re. Jelölje S(A : B ) az A, B margnálsok kölcsönös nformácóját, mután Γ-t alkalmaztuk ABC-re. Ekkor S(A : B ) S(A : B). Bzonyítás. (1) A bzonyítás teljesen hasonlóan megy, mnt a klasszkus esetben: lásd tétel (7)-es pontját. Kvantum esetben ez így néz k: S(A B, C) S(A B) ekvvalens azzal, hogy S(A, B, C) S(B, C) S(A, B) S(B). Ezt átrendezve kapjuk a S(A, B, C) + S(B) S(A, B) + S(B, C) egyenl tlenséget, am éppen az er s szubaddtvtás. (2) S(A : B) S(A : B, C) ekvvalens azzal, hogy S(A) + S(B) S(A, B) S(A) + S(B, C) S(A, B, C), ezt pedg átrendezve kapjuk az S(A, B, C) + S(B) S(A, B) + S(B, C) egyenl tlenséget, am az er s szubaddtvtás. (3) Ahogy azt korábban láttuk a 3.4. fejezetben a Γ kvantumoperácó hatása ABC-n leírható egy I U transzformácóval való konjugálással, ahol I dentkus az A állapotterén, U untér transzformácó a BC állapotterén. Γ hatása ABC-re éppen olyan, mntha az BC állapottéren egy U BC untér bázscsrét végeztünk volna el. Ha a vessz zött állapotok jelölk a Γ után állapotokat, akkor kezdetben S(A : B) = S(A : B, C), mvel B és C korrelálatlanok. Mvel a BC állapotterén egy untér bázscserét végzünk, az A rendszer állapotterét helyben hagyjuk, így a sajátértékek nem változnak, tehát Γ hatása után S(A : B, C) = S(A : B, C ). Felhasználva az el z pontot: S(A : B ) S(A : B, C ). Mndezeket összetéve kapjuk, hogy S(A : B ) S(A : B). A tétel után láttuk, hogy a Shannon-féle kölcsönös nformácó nem mndg szubaddtív, így a Neumann-féle kölcsönös nformácó sem az. Vszont a feltételes entrópa már szubaddtív, s t ennél több s gaz: Tétel (A feltételes entrópa szubaddtvtása). Legyen ABCD egy összetett kvantumrendszer. Ekkor a feltételes entrópa együttesen szubaddtív mndkét változóban: S(A, B C, D) S(A C) + S(B D). Ha ABC egy összetett kvantumrendszer, akkor a feltételes entrópa mnd az els, mnt a másodk változóban szubaddtív: S(A, B C) S(A C) + S(B C) S(A B, C) S(A B) + S(A C). 24

30 Bzonyítás. Alkalmazzuk az er s szubaddtvtást az ABCD összetett rendszerre; kapjuk, hogy S(A, B, C, D) + S(C) S(A, C) + S(B, C, D). Mndkét oldalhoz S(D)-t hozzáadva: S(A, B, C, D) + S(C) + S(D) S(A, C) + S(B, C, D) + S(D). A jobb oldal utolsó két tagját becsüljük felül az er s szubaddtvtással: S(A, B, C, D) + S(C) + S(D) S(A, C) + S(B, D) + S(C, D). Ezt az egyenl tlenséget átrendezve kapjuk S(A, B C, D) S(A C) + S(B D), am éppen az együttes szubaddtvtás. A feltételes entrópa szubaddtvtása az els változó szernt, S(A, B C) S(A C) + S(B C), trválsan ekvvalens az er s szubaddtvtással. A másodk változó szernt szubaddtvtás már nem lyen egyszer. Azt szeretnénk megmutatn, hogy S(A B, C) S(A B) + S(A C). Ez ekvvalens a következ egyenl tlenséggel: S(A, B, C) + S(B) + S(C) S(A, B) + S(B, C) + S(A, C). Legalább az egyke az alább egyenl tlenségeknek teljesül a tétel el tt megjegyzés szernt: S(C) S(A, C) vagy S(B) S(A, B). Tegyük fel, hogy S(C) S(A, C). Ehhez hozzáadva az er s szubaddtvtást: S(A, B, C) + S(B) S(A, B) + S(B, C), éppen a bzonyítandó állítást nyerjük. 25

31 5. fejezet A Holevo-korlát és következménye A klasszkus nformácóelmélet központ problémája, hogy hogyan lehet klasszkus nformácót (bteket) átkülden egy csatornán, am a klasszkus zka törvénye szernt m ködk. A kvantumnformácóelmélet ugyanezt a kérdést a kvantummechanka fel l közelít meg: hatékonyabban lehet-e nformácót külden kvantumrendszerekkel kvantummechanka csatornán? Lehet-e kvantumrendszerekkel úgy üzeneteket külden, hogy ne tudják azt lehallgatn? Számos lyen és ehhez hasonló kérdést lehetne föltenn, de ebben a fejezetben csak azzal foglalkozunk, hogy menny nformácót lehet egy kvantumrendszerb l "knyern". A Holevo-korlát erre a "knyerhet " nformácómennységre ad egy fels becslést Kvantumállapotok megkülönböztetése és az elérhet nformácó Az alább példával érzékeltetjük a klasszkus és kvantum nformácó között különbséget. Legyen Aladár és Béla két olyan személy, akk az alább módon kommunkálnak. Aladárnak rendelkezésére áll egy klasszkus üzenetek kbocsátására alkalmas gép, mely az X = 0,1,..., n jeleket továbbítja p 0, p 1,..., p n valószín séggel. Béla célja, hogy mnél jobb valószín séggel k tudja találn az Aladár által küldött X értékét. Ennek érdekében Aladár készít egy ρ X kvantumállapotot, melyet egy rögzített ρ 0, ρ 1,..., ρ n halmazból választ. Ezt a kválasztott ρ X állapotot elküld Bélának, ak kvantummérést végez a kapott állapoton és megtesz a tppjét X értékér l az Y mérés eredmény függvényében. Béla nformácómennységét X-r l jól kfejez a kölcsönös nformácó, azaz H(X : Y ). Nylván Béla csak akkor tud teljes bztonsággal következtetn X-re, ha H(X : Y ) = H(X). Mvel mndg gaz, hogy H(X : Y ) H(X), ezért valóban jó mértéke a "knyerhet " nformácónak H(X : Y )-nak H(X)-hez való közelsége. Tehát Béla olyan mérést gyekszk majd választan, hogy H(X)-hez mnél közelebb "vgye" H(X : Y )-t Denícó. Béla azon nformácómennysége, amelyet X-r l szerezhet az Y mérés eredmény hatására: H(X : Y ). Ezen H(X : Y )-k maxmumát véve az összes lehetséges mérésen kapjuk az elérhet nformácó fogalmát. 26

32 Az elérhet nformácó tehát egy olyan mér szám, amely azt fejez k, hogy Béla mlyen bztonsággal tud X értékére következtetn. A klasszkus nformácóelméletben nem véletlenül nem került el az elérhet nformácó fogalma. Klasszkus esetben két állapot megkülönböztetése lehet, hogy nehéz (gondoljunk egy zavaros kézírásra), de ezt semmlyen elv nem zárja k. Nem úgy, mnt a kvantum esetben: ortogonáls állapotoktól eltekntve nem lehet kvantum állapotokat teljes bztonsággal megkülönböztetn. Ennek bzonyítását korábban, a 3.3. szakaszban már elvégeztük. Ezt a jelenséget fogalmazzuk újra mostan tudásunk szernt. Ha Aladár p valószín séggel egy ϕ állapotot, (1 p) valószín séggel egy ϕ -re nem mer leges ψ állapotot készít, akkor Béla elérhet nformácója bztosan ksebb lesz, mnt H(p). Klasszkus esetben, ha Aladár a 0 btet p valószín séggel küld, míg az 1 btet 1 p valószín séggel, akkor nncsen semmlyen elv akadálya, hogy Béla meg tudja különböztetn a két állapotot, így Béla elérhet nformácója megegyezk a H(p) entrópával. Még érzékletesebbé tehetjük a kvantum esetet az alább példával. Képzeljük el, hogy Aladár a 0 és 1 állapotokat két különböz dszkrét valószín ség változó szernt készít el. Legyenek ezek a (p,1 p) és a (q,1 q) eloszlások. Ekkor Béla feladata az volna, hogy a kapott 0 vagy 1 állapot alapján következtessen, hogy Aladár azt melyk valószín ség változó szernt készítette el. Nylván ezt nem tudja megtenn teljes bztonsággal A Holevo-korlát A kvantum-nformácóelmélet egyk legalapvet bb tétele a Holevo-korlát, mely fels korlátot ad az elérhet nformácóra. A tételt 1973-ban publkálta Alexander Holevo orosz matematkus Tétel (A Holevo-korlát). Tegyük fel, hogy Aladár elkészít a ρ X kvantumállapotot, ahol X = 0,1,..., n p 0, p 1,..., p n valószín ségekkel. Ekkor Béla a ρ X állapoton kvantummérést végez el az E y = E 0,..., E m halmazbel POVM elemekkel, melynek eredménye Y. Ekkor bármlyen mérést s végez Béla az elérhet nformácóra ez a fels becslés adható: H(X : Y ) S(ρ) x p x S(ρ x ), ahol ρ = x p x ρ x. A Holevo-tétel jobb oldalán szerepl mennység olyan fontos, hogy külön neve s van: a Holevo-féle χ mennység, amt gyakran csak χ-vel jelölnek. Bzonyítás. A bzonyítás alapja egy konstrukcó, amely három kvantum rendszert használ: P,Q és M rendszereket. Aladár a Q rendszert adja Bélának amelyen Béla mérést végez, ezt az M segédrendszerrel írjuk le. P -re úgy gondolhatunk, mnt egy el készület rendszerre. Denícó szernt P -nek legyen x ortonormált bázsa, melyek az X = 0,1,..., n értékeknek felelnek meg. M-re gondolhatunk úgy, mnt 27