Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek"

Átírás

1 Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület kutatócsoport 2015 november 9

2 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19

3 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19

4 Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) kevéstest rendszerek: kvantum információ elmélet hatékony kv. algoritmusok, titkos kv. kulcs megosztás, kv. teleportálás a kvantum korreláció egy erőforrás Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19

5 A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19

6 A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! kvantum korrelációk, ahogyan én szeretem alapvető jelentőségű, szép, érdekes, mély problémák klasszikus vs. kvantum rendszerek információelméleti nézőpontból működik a laborban is Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19

7 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

8 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

9 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

10 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

11 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

12 Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) időfejlődés (zárt rendszerben): Neumann egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19

13 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19

14 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19

15 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19

16 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19

17 Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω kvantum Stein lemma: relatív entrópia = megkülönböztethetőség (tévesztés valószínűségének csökkenési rátája hipotézis tesztelésnél, Hiai & Petz) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19

18 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19

19 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19

20 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19

21 Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D D(C 2 ) = D Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19

22 Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19

23 Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz állapotok tere: ennek konvex burka belül: rk ϱ = d a határon: rk ϱ < d (nem csak tiszta állapotok) tiszta állapotok: rk ϱ = 1 (extrém pontok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19

24 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19

25 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19

26 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19

27 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19

28 Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 interferencia! D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 nincs interferencia! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19

29 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19

30 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19

31 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19

32 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19

33 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét ekkor korrelált! (klasszikus tiszta állapot korrelálatlan) összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19

34 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19

35 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19

36 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ klasszikus tiszta állapot korrelálatlan, tiszta kvantumállapot korrelációja: összefonódás (tiszta állapotban S(ϱ) = 0) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19

37 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19

38 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( ) B 1 = 1 2 ( ) B 3 = 1 2 ( ) B 2 = i 2 ( ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19

39 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( ) B 1 = 1 2 ( ) B 3 = 1 2 ( ) B 2 = i 2 ( ) LU-kanonikus alak: ψ α = cos α 00 + sin α 11 ekkor: ϱ 1 = tr 2 ( ψ α ψ α ) = cos 2 α sin 2 α 1 1 megmutatható: sin α jól méri az összefonódást Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19

40 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19

41 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19

42 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19

43 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak szeparálható állapotok: D sep D, szep. tiszta állapotok konvex burka összefont állapotok: mindenki más D \ D sep Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19

44 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19

45 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke kevert állapotok: az optimális dekompozíció átlagos összefonódása E(ϱ) = min ϱ= p j E( ψ j ) j p j ψ j ψ j entanglement of formation j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19

46 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19

47 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19

48 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19

49 Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 másik szeparálható: ϱ = 1 i 4 B i B i = 1 4 I B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19

50 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19

51 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19

52 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19

53 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra általában nem elég: ϱ D sep = tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19

54 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 σ W > 0 W < 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19

55 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. σ D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W > 0 W < 0 ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19

56 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19

57 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) vannak nemlineáris kritériumok is, pl. nemlineáris Bell egyenlőtlenségek ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19

58 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19

59 Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) spec: ϱ = ψ ψ P tiszta: S(ϱ) = 0 ϱ P sep S(ϱ 1 ) = 0 és S(ϱ 2 ) = 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19

60 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19

61 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19

62 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19

63 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19

64 Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, (arxiv: [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése ezek alkalmazásai... Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19

65 Levezetés Köszönöm a figyelmet! ősz eleje: összefonódás nap a Wignerben tavaszi félév: bevezető összefonódás speci a BME-n Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 19 / 19

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom

Részletesebben

Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály

Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából

Részletesebben

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája 2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2

Részletesebben

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.

Modern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és

Részletesebben

A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája

A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája Szabó Gábor MTA Bölcsészettudományi Központ email: szabo.gabor@btk.mta.hu p. 1 Kvantumelmélet Kialakulása: 1900, Planck: energiakvantum 1905, Einstein:

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Kvantum-tömörítés II.

Kvantum-tömörítés II. LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek

Részletesebben

A fény és az igazi véletlen

A fény és az igazi véletlen A fény és az igazi véletlen Kiss Tamás Magyar Tudományos Akadémia Wigner Fizikai Kutatóközpont Kvantummérés Lendület csoport Fény A világ teremtése 1 Kezdetben teremtette Isten a mennyet és a földet. 2

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

SZAKDOLGOZAT. Betekintés a kvantum-információelméletbe. Bergmann Júlia. Témavezet :

SZAKDOLGOZAT. Betekintés a kvantum-információelméletbe. Bergmann Júlia. Témavezet : SZAKDOLGOZAT Betekintés a kvantum-információelméletbe Bergmann Júlia Témavezet : Dr. Tasnádi Tamás Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet, Analízis Tanszék BME 015 El szó Quantum mechanics: Real Black

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Kvantum-hibajavítás III.

Kvantum-hibajavítás III. LOGO Kvantum-hibaavítás III. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar A kvantum hibaavítási folyamat formális leírása Eredmények formalizálása Legyen A egy x-es komplex mátrix: ahol a,

Részletesebben

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai

Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kvantumos információ megosztásának és feldolgozásának fizikai alapjai Kis Zsolt Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont H-1121 Budapest, Konkoly-Thege Miklós út 29-33

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet

Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Kvantum-hibajavítás I.

Kvantum-hibajavítás I. LOGO Kvantum-hibajavítás I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Ismétléses kódolás Klasszikus hibajavítás Klasszikus modell: BSC (binary symmetric channel) Hibavalószínűség: p p 0.5

Részletesebben

Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei

Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei Kvantum infokommunikáció, a titkosítás új lehetőségei A tudós leírja azt, ami van, a mérnök viszont megalkotja azt, ami soha nem volt. Gábor Dénes Imre Sándor, BME-HIT 2016.10.06. 2 Ki tudja, hogy mi ez?

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

Hangterjedés szabad térben

Hangterjedés szabad térben Hangterjeés szaba térben Bevezetés Hangszint általában csökken a terjeés során. Okai: geometriai, elnyelőés, fölfelület hatása, növényzet és épületek. Ha a hangterjeés több mint 100 méteren történik, a

Részletesebben

A kvantummechanika a kísérletezők kezében

A kvantummechanika a kísérletezők kezében A kvantummechanika a kísérletezők kezében a 2012. évi fizikai Nobel Díj http://titan.physx.u-szeged.hu/~benedict/nobel12web.pdf Benedict Mihály, SZTE Elméleti Fizikai Tanszék * LIMIT: Light-Matter Interaction

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Neumann János és a kvantum bitek. Petz Dénes

Neumann János és a kvantum bitek. Petz Dénes Neumann János és a kvantum bitek Petz Dénes A téma Neumann János (érdekes történetek) Valószinűség, információ, mátrixok, kvantumelmélet, kvantum-információ,... (sok új és nehéz matematikai fogalom) Neumann

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)

OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Cramér-Rao típusú becslések a kvantumstatisztikában

Cramér-Rao típusú becslések a kvantumstatisztikában Cramér-Rao típusú becslések a kvantumstatisztikában Szakdolgozat Készítette Gröller Ákos Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikus szak 2003. Témavezető Dr. Petz Dénes tanszékvezető

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010 Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval

Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.

Részletesebben

Összeállította Horváth László egyetemi tanár

Összeállította Horváth László egyetemi tanár Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet Intelligens Mérnöki Rendszerek Szakirány a Mérnök informatikus alapszakon Összeállította Horváth László Budapest, 2011

Részletesebben

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Lemez- és gerendaalapok méretezése

Lemez- és gerendaalapok méretezése Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK Kvantummechanika - dióhéjban - Kasza Gábor 2016. július 5. - Berze TÖK 1 / 27 Mire fogunk választ kapni az előadásból? Miért KVANTUMmechanika? Miért részecske? Miért hullám? Mit mond a Schrödinger-egyenlet?

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Parametrikus tervezés

Parametrikus tervezés 2012.03.31. Statikus modell Dinamikus modell Parametrikus tervezés Módosítások a tervezés folyamán Konstrukciós variánsok (termékcsaládok) Parametrikus Modell Parametrikus tervezés Paraméterek (változók

Részletesebben

Kvantum-áramkör szimulátor tervezése és alkalmazásai. Szakdolgozat, 2005.

Kvantum-áramkör szimulátor tervezése és alkalmazásai. Szakdolgozat, 2005. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Kvantum-áramkör szimulátor tervezése és alkalmazásai Szakdolgozat, 2005. Készítette: Pereszlényi Attila, peresz@mcl.hu Konzulens: Dr. Imre Sándor, Híradástechnikai

Részletesebben

Kvantum-informatika és kommunikáció féléves feladatok (2010/2011, tavasz)

Kvantum-informatika és kommunikáció féléves feladatok (2010/2011, tavasz) Kvantum-informatika és kommunikáció féléves feladatok (2010/2011, tavasz) 1. Ön egy informatikus öregtalálkozón vesz részt, amelyen felkérik, hogy beszéljen az egyik kedvenc területéről. Mutassa be a szakmai

Részletesebben

A talajok összenyomódásának vizsgálata

A talajok összenyomódásának vizsgálata A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben

Részletesebben

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek KVANTUMMECHANIKA a11.b-nek HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1 Hősugárzás: elektromágneses hullám A sugárzás által szállított energia: intenzitás I, T és λkapcsolata? Példa: Nap (6000 K): sárga (látható) Föld (300

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Az egyensúlyi statisztikus fizika alapjai

Az egyensúlyi statisztikus fizika alapjai 2. fejezet Az egyensúlyi statisztikus fizika alapjai 2.. A Liouville-egyenlet és tétel Tekintsünk egy klasszikus, N részecskéből álló, zárt rendszert. A klasszikus mechanika szerint a rendszerben a mikroállapotot

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

Fragmentációs függvények parametrizációja Tsallis Pareto-alakú eloszlásokkal

Fragmentációs függvények parametrizációja Tsallis Pareto-alakú eloszlásokkal Eötvös Loránd Tudományegyetem V. Fizikus MSc Fragmentációs függvények parametrizációja Tsallis Pareto-alakú eloszlásokkal Témavezet : Dr. Barnaföldi Gergely Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont 2013.

Részletesebben

A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában

A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben