8. RELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ÉS

Átírás

1 8. RELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ÉS REPREZENTÁCIÓELMÉLET E fejezet első részében az m 0 nyugalm tömegű, feles spnű relatvsztkus részecske kvantummechanka tárgyalásával foglalkozunk. Látn fogjuk, hogy az eddg tanultak csak a ks sebességű mozgás esetére érvényesek. Így az előzőekben megsmert Paul-Schrödnger egyenlet a pontosabb leírást adó Drac egyenlet ks sebességek esetén érvényes határesetének teknthető csupán. Előre bocsátjuk, hogy ezen fejezetben végg cgs egységben dolgozunk, valamnt alkalmazzuk az Enstenkonvencót: összegzés értendő szorzatban előforduló mnden kettős ndexre µ, ν,... : négyes összegző ndexek;, j, k,.. : hármas összegző ndexek. Továbbá egy felülhúzott nyíllal γ, vagy kövérszedéssel a jelölt vektor mennység alatt mndg hármas vektort értünk, és használjuk a / x x rövdített írásmódot. A fejezet másodk részében a fzka mennységeket jelentő operátorok különböző reprezentálásaval foglalkozunk, amelyek közül eddg csak a koordnáta reprezentácóval smerkedtünk meg behatóbban. Ezzel összefüggésben megemlítjük a kvantummechanka képeket, amelyek az operátorok fzka mennységek és a Hlbert térbel állapotvektorok fzka álapotok dőfejlődésben játszott szerepének megválasztását jelentk. Jegyzetünkben szorosan követjük Nagy Károly Kvantummechanka c. tankönyvében megadott menetet IX. fejezet, amelyet tovább elmélyülést génylő hallgatóknak fgyelmébe ajánlok, Marx György jól bevált Kvantummechanka tankönyvével együtt.

2 8.. A DIRAC EGYENLET A specáls relatvtáselmélet szempontjából az Ψ t = HΨ, H = p2 2m 0 + V, p = mv, m = m 0 / v 2 /c 2 Schrödnger egyenlettel szemben legnagyobb jogos kfogás az, hogy nylvánvalóan nem Lorentz nvaráns, mvel aszmmetrkus az dő- és tér-koordnátákban; dőkoordnátában csak elsőrendű, míg tér-koordnátákban másodrendű derváltak szerepelnek benne. Ezen a nehézségen segíten lehet, ha kndulunk a specáls relatvtáselmélet egyk alapvető összefüggéséből, p 2 + p p p 2 4 = m 2 0c 2, 04 amely az x = x p = mẋ x 2 = y p 2 = mẋ 2 x 3 = z p 3 = mẋ 3 x 4 = ct p 4 = mẋ 4 = mc = c E defnícókból következk. Khasználtuk a közsmert E = mc 2 relácót. Az mpulzusokra a p µ x µ µ, µ =,..., 4, hozzárendelést alkalmazva, a 04 összefüggés alapján a Klen-Gordon egyenletet Ψ 2 µ µ Ψ = m 2 0c 2 Ψ, azaz c 2 2 t Ψ = m2 0 c2 2 Ψ, 04a amely már Lorentz-nvaráns. Vszont dőben másodrendű, ezért ahhoz, hogy az állapotfüggvényt dőben nyomon követhessük, nem elegendő csupán Ψt = t 0 megadása, szükség van a dervált, Ψt/ t t=t0 egy t 0 dőpllanatban való smeretére s. Hasonlóan a nemrelatvsztkus Schrödnger egyenletnél követett eljáráshoz ld. 2.2.c. pont, balról Ψ gal beszorozva és ntegrálva a térkoordnátákra, a Klen-Gordon egyenletből s levezethető egy kontnutás egyenlet: ahol és ρ + dvj = 0, t j = 2m 0 Ψ Ψ Ψ Ψ ρ = Ψ Ψ 2m 0 c 2 Ψ Ψ. t t 2

3 Mnthogy Ψ és Ψ/ t egymástól függetlenül megadható, a fent egyenlettel értelmezett sűrűség negatív s lehet. Ezért nem lehetséges a valószínűség értelmezés. Tovább nehézséget jelent, hogy a spn bevétele a leírásba olyan módon, ahogy azt a Schrödnger egyenletnél tettük, elrontaná a Lorentz nvarancát. A Klen-Gordon egyenlet a kvantumtérelméletben a zérus spnű részecskék, pl. ponok, állapotegyenlete. Drac nyomán az említett problémákon úgy segíthetünk, hogy gyököt vonunk a 04 egyenlet mndkét oldalából. A gyökvonást úgy végezzük el, hogy szmbolkus γ operátorok bevezetésével teljes négyzetté alakítjuk az egyenlet baloldalát: m 2 0c 2 = p 2 + p p p 2 4 = γ p + γ 2 p 2 + γ 3 p 3 + γ 4 p 4 2 γ µ p µ Így a gyökvonás eredménye, m 0 c = γ µ p µ, azonnal adja Drac egyenletét p µ µ /: γ µ µ + κψ = 0, 05 ahol κ = m 0 c/ az m 0 tömegű részecske Compton hullámszáma. Bebzonyítható, hogy a 05 alatt egyenlet Lorentz nvaráns ld. Nagy Károly könyv. Melőtt a 05 Drac egyenletet részletekbe menően vzsgálnánk, felderítjük a Drac-féle gammaoperátorok mbenlétét. Feltételezzük, hogy [γ µ, p ν ] = 0, [p µ, p ν ] = 0, de [γ µ, γ ν ] 0. Elvégezzük a négyzetre emelést: p µ p µ = γ µ p µ 2 = γ 2 µp 2 µ+ +γ γ 2 p p 2 + γ γ 3 p p 3 + γ γ 4 p p 4 +γ 2 γ p 2 p + γ 2 γ 3 p 2 p 3 + γ 2 γ 4 p 2 p 4 +γ 3 γ p 3 p + γ 3 γ 2 p 3 p 2 + γ 3 γ 4 p 3 p 4 +γ 4 γ p 4 p + γ 4 γ p 3 p 2 + γ 4 γ 3 p 4 p 3. Az egyenlőség akkor és csaks akkor áll fenn, ha teljesülnek a következő szabályok: γ 2 µ =, µ =,..., 4, γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δ µν, µ, ν =,..., Azok a gamma operátorok, amelyek a fent tulajdonságokat teljesítk, legkönnyebben matrx alakban reprezentácóban adhatók meg: γ =, γ 2 = γ 4 =, γ 3 =., 06a 3

4 Könnyen belátható a gamma-matrxok hermtctása s: γ + µ = γ µ, µ =,..., 4, ugyans egy A matrx önadjungált, ha elemere teljesül a következő összefüggés: A + rs = A sr. A gamma-matrxok hasonlóak a Paul-féle spnmatrxokhoz, amelyek a feles spnoperátor matrx reprezentácójának felelnek meg: S = 2 σ, ahol σ =, σ 2 =, σ 3 = A Paul-matrxoknak s 06-hoz hasonló tulajdonságak vannak négyzetük az egységmatrx és antkommutálnak, így nem véletlen, hogy a γ matrxok kfejezhetők a σ matrxokkal. σ γ =, γ σ 4 =, ahol a 2 2-es egységmatrxot jelöl. Később, a spn tárgyalásánál fogjuk látn, hogy a gamma- és σ-matrxok közt összefüggésnek mélyebb oka van. Vsszatérve a 05 alatt Drac egyenletre, γ µ µ + κψ = 0, ahol most a 4 4-es egységmatrxot jelöl megállapíthatjuk, hogy a Drac-féle állapotfüggvény egy négykomponensű mennység, Ψ = Ψ nem vektor, hanem spnor, amely egy teljes forgatásra előjelet vált. A négy komponens jelentéséről később még szólunk. A kontnutás egyenlet levezetése érdekében szükség van a Drac-állapot hermtkus adjungáltjára: valamnt a Drac egyenlet adjungáltjára: ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4. Ψ + = ψ, ψ 2, ψ 3, ψ 4, µ Ψ + γ + µ + κψ+ = 0. Mármost Ψ + = Ψ +, és 4 Ψ + = 4 Ψ +, valamnt a gamma-matrxok önadjungáltsága matt az adjungált Drac egyenlet, részletesen kírva: Ψ + γ + 2 Ψ + γ Ψ + γ 3 4 Ψ + γ 4 + κψ + = 0. Az adjungált egyenletet még beszorozzuk jobbról γ 4 -gyel és khasználjuk a gamma-matrxok antkommutácós tulajdonságát, hogy azonos előjelekkel ellátott tagokat kapjunk:. Ψγ 2 Ψγ2 3 Ψγ3 4 Ψγ4 + κ Ψ = 0, 05a 4

5 ahol még bevezettük a Ψ + γ 4 Ψ jelölést s. A továbbakban ezt a módosított egyenletet hívjuk adjungált Drac egyenletnek és Ψ t Drac-adjungáltnak. Rövdített formába írva: µ Ψ γµ κ Ψ = 0 /Ψ µ Ψ γµ Ψ κ ΨΨ = 0, ahol a jobboldal egyenlet az adjungált egyenlet Ψ vel jobbról történő beszorzása révén keletkezett. Hasonlóan, a Drac egyenlet és ennek Ψ vel balról történő beszorzása révén keletkezett egyenlet a következő: Ψ/ γ µ µ Ψ + κψ = 0 Ψγµ µ Ψ + κ ΨΨ = 0. A két jobboldal egyenletet összeadva teljes négyes dvergencát kapunk, amely egy kontnutás egyenletnek felel meg: µ Ψγµ Ψ = 0 Ψγµ µ Ψ + µ Ψ γµ Ψ = 0. Bevezetve a ρ = Ψ + Ψ = ψ µ ψ µ 0 valószínűségsűrűség! és a j = j = c Ψ γψ hármasvektor áramsűrűség mennységeket, a teljes dvergenca egy kontnutás egyenlet szokásos alakját ölt: ρ + dvj = t A Drac egyenletből tehát következk a valószínűség sűrűség megmaradását kfejező kontnutás egyenlet, s így a Drac egyenlet a Schrödnger egyenlet relatvsztkus általánosításának teknthető, annak mnden elmélet és flozófa következményével együtt. A következő fejezetekben éppen ennek az állításnak részletesebb kfejtésével fogunk foglalkozn AZ ELEKTROMÁGNESES TÉRREL KÖLCSÖNHATÓ RÉSZECSKE DIRAC EGYENLETE Elektromágneses tér jelenléte esetén a kanonkus mpulzusok helyett a knetkus mpulzusokat kell használnunk ld. előző fejezet: ahol q a részecske töltését jelöl, és A 4 = Φ. Azaz s így p µ p µ q c A µ K µ, µ =,..., 4, µ µ q c A µ, µ =,..., 4, µ µ q c A µ, µ =,..., 4. A Drac egyenlet elektromágneses tér esetén tehát: [γ µ µ q ] c A µ + κ Ψ = 0 08 Kmutatható, hogy ez az egyenlet s Lorentz nvaráns ld. Nagy Károly könyv. 5

6 Kíváncsak vagyunk a H energaoperátor alakjára. Ezért átírjuk 08-at Ψ t = HΨ 08a formába, és leolvassuk H alakját. A negyedk dő- komponenst külön kezelve, a következőt kapjuk: [γ q c A + γ 4 4 q ] c A 4 + κ Ψ = 0. Szorozzuk be ezt az egyenletet balról cγ 4 gyel, valamnt vegyük fgyelembe, hogy 4 = t /c, A 4 = Φ és κ = m 0 c/. Kapjuk: cγ 4 γ γ 4 γ qa + t + qφ + γ 4 m 0 c 2 Ψ = 0. Ebből átrendezéssel adódk a kívánt egyenlet forma: A relatvsztkus energaoperátor alakja tehát: t Ψ = cγ 4 γ qγ 4 γ A + qφ + m 0 c 2 γ 4 Ψ. H = cγ 4 γ qγ 4 γ A + qφ + m 0 c 2 γ Gömbszmmetrkus elektromos tér esetén [A = 0, Φ = Φr; pl. egy atomon belül mag elektromos tér, amely az elektron mozgását meghatározza], H = +cγ 4 γ p + qφr + m 0 c 2 γ 4 v c p 2 2m 0 + qφ +..., 09a amely átmegy a jól smert nemrelatvsztkus knetkus+potencáls energa Hamlton operátor alakba bzonyítás később. Az rodalomban a γ µ -matrxok helyett általában az α = γ 4 γ és β = γ 4 matrxokat használják. Ezekkel felírva a szabad A µ = 0 Drac energaoperátor a következő alakot ölt: H = cα p + m 0 c 2 β. 09b 8.3. A DIRAC EGYENLET ÉS A SPIN Ebben a fejezetben kmutatjuk, hogy a Drac egyenlet automatkusan számot ad a feles spn létéről. Emlékeztetünk arra, hogy az mpulzusmomentum csererelácókkal történő csoportelmélet tárgyalása ugyancsak utalt a feles mpulzusmomentum-kvantumszám létezésére. Ezt később a spnnel azonosítottuk a Stern-Gerlach kísérlet kapcsán. A spn kvantummechanka tárgyalását a Schrödnger egyenlet keretében oly módon vttük végbe, hogy az energaoperátorhoz egyszerűen hozzáírtuk a spn operátorát tartalmazó mágneses térbel potencáls energa tagot. Most látn fogjuk, hogy a Drac egyenlet mnden tovább kegészítés nélkül tartalmazza a részecske spnjére vonatkozó nformácókat. Matematka és csoportelmélet tétel az, hogy centráls erőtér esetén az mpulzusmomentum állandó, megmaradó mennység mozgásállandó. Mnt láttuk, a mozgásállandók az energaoperátorral 6

7 felcserélhetők ld fejezet. Ezért a kérdés az, hogy a pályampulzus nyomaték, az L = r p, felcserélhető-e a Drac-féle energaoperátorral gömbszmmetrkus külső tér esetén elegendő csak a z komponensre bzonyítan: dl z dt = [ ] [ ] H, Lz = H, = H, x p 2 x 2 p ϕ [ ] =? Az energaoperátor gömbszmmetrkus külső elektromos tér esetén, mnt láttuk, három tagból tevődk össze: H = cγ 4 γ p + qφr + m 0 c 2 γ 4. 09a A másodk és harmadk tag zérust ad a felcserélés alkalmával, mvel nem függnek a ϕ azmutáls koordnátától. Az első tag felcserélésénél pedg khasználjuk a [p, x j ] = δ j, [p, p j ] = 0, [x, x j ] = 0 kommutácós törvényeket, s ezért csak a [H, x ], ll. [H, x 2 ] felcserélésekkel kell foglalkoznunk. Így például Folytatva a levezetést: dl z dt [H, x ] = cγ 4 γ [p, x ] = cγ 4 γ δ. = dl 3 dt = [ cγ4 γ p, x p 2 x 2 p ] = = c γ 4γ [ δ p 2 δ 2p ] = cγ 4 γ p 2 γ 2 p 0. Cklkus felcseréléssel hasonló kfejezést kaphatunk a másodk és első komponensre. L dőben nem állandó volta azt jelent, mpulzusmomentuma a Drac egyenlet által leírt részecskének. hogy a pályampulzus momentum nem a teljes Jelöljük a teljes, megmaradó mpulzusmomentumot J vel, és a hányzó mpulzusmomentumot S sel. A dj dt = 0 teljes mpulzusmomentum megmaradást kfejező egyenletből az smeretlen S operátor meghatározható. Bzonyítjuk, hogy S egy olyan vektor operátor, amelynek matrx-értékű komponense S = 2 Σ, Σ = γ j γ k,, j, k = ps perm. kfejezhetők a Drac-féle gamma matrxokkal. [Arról s meggyőződhetünk, hogy a 4 4 es Σ matrxok rendre az ún. nagy Paul-féle Σ matrxok, amelyek a ks 2 2 es Paul matrxok dagonálsba való szupermatrxszá történő elrendezéséből kaphatók meg: Σ =, σ σ ahol a matrxon belül a ks Paul matrxok szerepelnek. A Paul-féle 2 2-es szupermátrxos alakkal történő számolás általában hamarabb eredményre vezet, mnt a 4 4-es γ-matrxok használata.] 7

8 Bzonyítan fogjuk, hogy pl. J 3 = L 3 + S 3 dőben állandó, azaz ds z dt = cγ 4 γ p 2 γ 2 p. Bzonyítás. A 09a energaoperátornak megnt csak az első tagja ad járulékot a felcseréléshez: ds z dt = [H, S z] = [cγ 4γ p, 2 Σ 3] = c 2 [γ 4γ p, Σ 3 ] = c 2 [γ 4γ p, γ γ 2 ] = + c 2 [γ 4γ p + γ 4 γ 2 p 2 + γ 4 γ 3 p 3, γ γ 2 ]. A tovább kértékelés érdekében felhasználjuk a gamma-matrxok 06 alatt smertetett tulajdonságat: γµ 2 =, µ =, 2, 3, 4, és γ µγ ν = γ ν γ µ, µ ν. A harmadk tag kommutátorát a legegyszerűbb kértékeln, mvel γ 4 γ 3 γ γ 2 = γ γ 2 γ 4 γ 3, azaz a harmadk tag kommutátora zérust ad eredményül. A másodk tag kértékeléséhez fgyelembe vesszük, hogy Végül az első taghoz felhasználjuk, hogy [γ 4 γ 2, γ γ 2 ] = γ 4 γ 2 γ γ 2 γ γ 2 γ 4 γ 2 = γ γ 4 γ 2 γ 2 + γ γ 4 γ 2 2 = 2γ γ 4. A három kommutátor együttesen tehát [γ 4 γ, γ γ 2 ] = γ 4 γ γ γ 2 γ γ 2 γ 4 γ = γ 4 γ 2 γ 2 γ 4 = 2γ 2 γ 4. + c 2 [ 2γ 2γ 4 p + 2γ γ 4 p 2 + 0p 3 ] = +c[γ γ 4 p 2 γ 2 γ 4 p ] = cγ 4 [γ p 2 γ 2 p ] = ds z dt. Q.E.D. Tehát a J = L + S operátor mozgásállandó centráls erőtérben, de L = r p és S = Σ/2, Σ = γ j γ k külön-külön nem! Mvel S ről jóformán még semmt sem tudunk, joggal merül fel a kérdés, hogy mk a sajátértéke? L nek már smerjük a sajátértéket; az egyk módszer a sajátértékek meghatározására éppen a felcserélés törvények alkalmazásával történt. Ezért kérdésünket úgy s megfogalmazhatjuk, hogy mlyen felcserélés törvénynek tesznek eleget S komponense, azaz Elegendő az első két komponensre számoln: [S, S j ] =? [S x, S y ] [S, S 2 ] = 2 4 [Σ, Σ 2 ] = 2 4 [γ 2γ 3, γ 3 γ ] 8

9 = 2 4 γ 2γ 3 γ 3 γ γ 3 γ γ 2 γ 3 = 2 4 γ 2γ γ γ 2 = γ γ 2 = γ γ 2 == + 2 Σ 3 = S 3 S z. Ezt az eredményt azonnal megkaphattuk volna a Paul-matrxokra vonatkozó csererelácók felhasználásával. Tehát S az mpulzusmomentum felcserélés szabályat elégít k, ezért sajátérték egyenletet rögtön felírhatjuk az S 2 ψ = 2 ss + ψ, s = 0, 2,, 3 2,... és S z ψ = m s ψ, m s = s, s +,..., s, s. alakban. Vszont a felcserélés törvény által megengedett lehetséges s kvantumszámok közül csak az s = 2 van összhangban a gamma matrxok tulajdonságaval. Ugyans S z = 2 Σ 3 lévén, Σ 3 = A Σ 3 matrxnak vszont egységny abszolút értékű λ = 2m 3 sajátértéke vannak. A Σ 3 λψ = 0. sajátérték egyenletből 0 = det Σ 3 λ = λ λ λ λ = λ 2 + λ 2 λ = ±. Ezért m s = ± 2 lehet csak, azaz s = 2 sajátérték van csak összhangban a gamma matrxok tulajdonságaval. Megállapíthatjuk tehát, hogy a Drac egyenlet olyan részecske relatvsztkus hullámegyenlete, amelynek spnje feles. A Drac egyenlet a fermonok kvantummechanka állapotegyenlete. 9

10 8.4. AZ ELEKTRON SAJÁT MÁGNESES MOMENTUMA Emlékezzünk arra vssza, hogy a Schrödnger egyenletbe mesterségesen raktuk be az elektron spnjéből származó M S mágneses nyomaték és egy B külső mágneses tér kölcsönhatásából származó V S magn = M S,B mágneses potencáls energát tartalmazó tagot. Kérdés az, hogy a Drac egyenlet vajon tartalmazza-e ezt a mágneses potencállal kapcsolatos nformácót. Mágneses tér esetén a p kanonkus mpulzus helyett a p qa/c K knetkus mpulzussal dolgozunk. Továbbra s cgs egységet használunk, nnen a c megjelenése, valamnt a B = rota mágneses ndukcó vektort Gauss egységben mérjük. Mágneses tér jelenléte esetén a Drac egyenlet, amnt azt 08 alatt láttuk, a következőképpen írható: [γ µ µ q ] c A µ + κ Ψ = 0. A gömbölyű zárójelben a négyes knetkus mpulzussal arányos mennységet szokásos módon D µ val jelöljük, s így a Drac egyenlet kompakt alakban írva: γ µ D µ + κψ = 0. 0 Célunk az, hogy a Drac egyenletet nemrelatvsztkus, p 2 operátort s tartalmazó, Schrödnger egyenlet alakra hozzuk, s ebből leolvassuk a mágneses potencál-tag létét, vagy nemlétét. Szorozzuk meg ezért az egyenletet balról a γ µ D µ κ operátorral: γ µ D µ κγ ν D ν + κψ = 0. Azaz γ µ D µ γ ν D ν κ 2 Ψ = 0. Most az első három ndexre vonatkozóan khasználjuk a 7. fejezetben a knetkus mpulzusok felcserélés relácóról tanultakat: [D, D j ] = q c B k,, j, k = páros permutácó és B k = A k = ǫ jk A j. Ezáltal a bonyolult négyzetes operátort a következőképpen alakíthatjuk tovább: γ µ γ ν D µ D ν κ 2 = D 2 + D2 2 + D2 3 + D2 4 κ2 +γ γ 2 D D 2 + γ 2 γ D 2 D +γ γ 3 D D 3 + γ 3 γ D 3 D +γ γ 4 D D 4 + γ 4 γ D 4 D +γ 2 γ 3 D 2 D 3 + γ 3 γ 2 D 3 D 2 0

11 +γ 2 γ 4 D 2 D 4 + γ 4 γ 2 D 4 D 2 +γ 3 γ 4 D 3 D 4 + γ 4 γ 3 D 4 D 3 = D 2 + D2 2 + D2 3 + D2 4 κ2 +γ γ 2 [D, D 2 ] + γ γ 3 [D, D 3 ] +γ γ 4 [D, D 4 ] + γ 2 γ 3 [D 2, D 3 ] +γ 2 γ 4 [D 2, D 4 ] + γ 3 γ 4 [D 3, D 4 ]. A tovább kértékelés érdekében megvzsgáljuk azokat a tagokat, amelyekben γ 4, ll. D 4 szerepel. Például: γ γ 4 [D, D 4 ] = γ γ 4 D D 4 D 4 D [ = γ γ 4 q c A c t + q c Φ c t + q c Φ q ] c A = ahol felhasználtuk az q Φ = γ γ 4 + c x c [ q = γ γ 4 c [, Φ] q ] c 2 [A, t ] A = q t c γ γ 4 E q c Σ E, E = Φ c Maxwell-egyenletet, és bevezettük a γ 4 matrxszal kapcsolatos Σ matrxot a következő defnícóval: Σ σ = γ γ 4 =, =, 2, 3. σ Emlékeztetünk arra, hogy a nagy Paul matrxok kapcsolata a gamma matrxokkal: σ Σ = γ j γ k =, jk = páros permutácó. σ Folytatva a négyzetes operátor kértékelését: A t γ µ γ ν D µ D ν κ 2 = D µ D µ κ 2 + q c Σ,B q c Σ, E. Tehát a alatt négyzetes Drac egyenlet a következő egzakt formába írható át: [ q D µ D µ κ 2 Ψ + c Σ,B q c Σ, E ] Ψ = 0. Az első tagban felsmerhetjük a Klen-Gordon egyenletet, míg a másodk tag tartalmazza a spnnel való kölcsönhatásból származó nformácót.

12 Most térünk át a nemrelatvsztkus, ksenergájú esetre. Az energa a D 4 operátorral kapcsolatos. Elvégezzük a közelítést. D4 2 = 4 q 2 c A 4 = c t + q 2 c Φ = 2 c 2 H + qφ = c 2 H + m 0 c 2 eφ 2 = m0 c H qφ m 0 c 2 = m0 c 2 + 2m 0 2 Itt a H = t helyettesítést alkalmaztuk. t qφ + q 2 c t c Φ = m0 c 2 c m0 c 2 2m 0 + = κ 2 2m H qφ m 0 c 2 2 H qφ t + qφ D4 2. A alatt négyzetes Drac egyenlet, amelyet a következőképpen s írhatunk: D 2 + D 2 4 κ2 Ψ e c [ Σ,B Σ, E ] Ψ = 0, az előbb közelítés elvégzése után a következő alakot ölt q = e: D 2 2m 0 2 t eφ Ψ e [ Σ,B c Σ, E ] Ψ = 0. / 2 A jelölés szernt elvégezzük a beszorzást, és t t átvsszük a túloldalra: D 2 eφ + e [ Σ,B 2m 0 2m 0 c Σ, E ] Ψ = Ψ t. 2 Ez vszont éppen a Paul-Schrödnger egyenlet ld fejezet a szögletes zárójelben megjelenő másodk tagtól eltekntve! Erről a tagról vszont kmutatható, hogy a potencáls energát jelentő eφ taghoz képest elhanyagolható, mert annak v/c 2 szerese. A szögletes zárójel első tagja éppen a spnmozgáshoz tartozó mágneses térbel potencáls energa tag ld. 4. fejezet: V S magn = MS,B, ahol a spn-mágneses momentum M S = 2µ B S = µ BΣ, µ B = e /2m 0 c. A Vmagn L mágneses potencáls energát a D 2 = + ea / c 2 operátorból származtathatjuk le [ld.7. fejezet]. Most már csak azt kell belátn a 4. fejezethez való teljes összhang érdekében, hogy a Σ operátor sajátértéke ± lehet csak. Ebből u. következne, hogy a saját mágneses momentum B bármely rányára nézve: ± e 2m 0c = ±µ B. Bzonyítás. Kndulunk a defnícóból: Σ = Σ Σ 2 Σ 3 = γ 2γ 3 γ 3 γ γ γ 2 A z rányú komponensről már beláttuk, hogy sajátértéke ±. Most belátjuk Σ ről s: Σ λ = 0,. 2m 0 hszen Σ =, 2

13 és így 0 = λ λ λ λ = λ λ λ λ λ λ = λ 2 λ 2 λ 2 = λ 2 λ 2 = λ 2 2 = 0 λ = ±. Hasonlóan, Σ 2 λ = 0 ból szntén következk: λ ± AZ ELEKTRON SZABAD MOZGÁSA A µ =0. Kndulunk a 05 alatt megsmert Drac egyenletből: γ µ µ + κψ = 0. Kézenfekvő feltenn a kérdést: vajon a szabad Drac egyenletnek s vannak síkhullám megoldása? Tehát: Ψ = C expk µ x µ megoldása-e a Drac egyenletnek állandó x µ -független C C = C 2 C 3 C 4 ampltúdók és k µ, µ =,..., 4 állandók mellett? Amennyben k µ ről kderülne, hogy éppen a négyes hullámszám-vektor komponensevel egyenlő, akkor a fent megoldás tényleg a Schrödnger egyenletet s kelégítő korábban megsmert síkhullám megoldás lenne amely a valóságban előforduló hullámcsomagmegoldás extrem közelítése. Ugyans Ψ = C expk µ x µ = C exp p µx µ = C exp px + p 4x 4 = C exp px + c E ct = C exp px Et. Behelyettesítve ezt a feltételezett megoldást a Drac egyenletbe, kapjuk: C γ + γ γ γ κ C 2 C 3 e pµxµ = 0. C 4 Khasználva, hogy C komponense a négyes térben állandók, elvégezhetjük a derválásokat: C γ p + γ 2 p 2 + γ 3 p 3 + γ 4 p 4 + κ C 2 C 3 = 0. C 4 3

14 Homogén lneárs egyenletrendszert kaptunk C µ k meghatározására. Trválstól különböző megoldás akkor és csaks akkor van, ha det γµ p µ + κ = 0. Részletesen kírva: p p 2 [ det p p + p 2 p 2 + p p 2 p 3 p 4 κ + p 3 p 3 + p 4 p 4 + κ ] κ = p 3 p 4 κ = p 4 + κ 0 p 3 p p 2 0 p 4 + κ p + p 2 p 3 p 3 +p + p 2 p 4 + κ 0 = p 2 + p p p m 2 0c 2 = 0. p p 2 p 3 0 p 4 + κ Ez vszont éppen megegyezk a 04 alatt alapösszefüggéssel. Tehát p µ t azonosíthatjuk a négyes mpulzussal. Vzsgáljuk a negyedk komponenst: p 4 = E c. Négyzetre emelve Gyököt vonva az energa négyzetéből, p 2 4 = E2 c 2 = p2 + m 2 0 c2 E 2 = c 2 p 2 + m 2 0 c2. E = ±c p 2 + m 2 0 c2. 3 kapjuk azt a nevezetes összefüggést, amely messzemenő következtetések levonását tesz lehetővé. Mnthogy az mpulzus abszolút értéke szabad részecske esetén 0 és + között tetszőlegesen változhat, 3 azt jelent, hogy a részecske szabad knetkus energája s lehet ld. 53. ábra: E m 0 c 2 és m 0 c 2 E +. 4

15 Az 3 egyenlettel kapcsolatban néhány lényeges megállapítást tehetünk: Az energa nem korlátos alulról; A szabad részecske teljes energája negatív s lehet. Az megállapításból az következk, hogy nem létezk a nemrelatvsztkus Schrödnger egyenlet tárgyalásánál tanult Raylegh-Rtz-féle varácós elv. Nem alkalmazhatjuk tehát azokat a kényelmes módszereket, amelyek az energa korlátosságán alapulnak. Nagysebességű elektron mozgások esetén lyen található a nehéz atomokban s a legtöbb kvantumkéma módszer csődöt mond. [A probléma szép llusztrálását és egy kvezető út felvázolását találhatjuk meg a J.Chem.Phys. 80, 4333, 984 ckkben.] A megállapításból az következk, hogy mnden részecskének van egy vele egyező tömegű, de ellentett töltésű antrészecske párja. Ez a következő módon látható be. Az alapvető Ensten relácó, az E = c p 2 + m 2 0 c2 m c 2 összefüggés a negatív energájú részecske tömegére m < 0 negatív értéket jelent. Vegyünk ekkor egy poztív és negatív tömegű elektront: 5

16 tömeg m = m e > 0 m = m e < 0 töltés e e Ilyen rendszer létezése esetén azt tapasztalnánk, hogy az azonos töltések taszítása matt a negatív tömegű részecske nem távolodna a poztív tömegű elektrontól, hanem éppen vele egy rányba mozdulna el. Ilyen egyrányba haladó elektron vonatokat vszont eddg még soha nem fgyeltek meg. A probléma megoldására Drac feltételezte 927-ben, hogy az m = m e < 0 tömegű elektronállapotok mnd be vannak töltve az engedélyezett Paul nívókon. Ez az ún. Drac tenger, amelyet a vákuummal azonosítunk. Vákuum állapotban mnden fzka mennység tömeg, töltés, stb. értéke zérus, és mnden fzka mennység értéket ehhez képest fgyelünk meg. Ha például elektromágneses gerjesztés révén egy negatív energájú és így negatív tömegű elektront felgerjesztünk a poztív energájú tartományba, akkor az a jól smert, poztív tömegű elektronként fog mérőműszerenk számára megjelenn. A Drac tengerben vszont hányzn fog ez a negatív tömegű és töltésű elektron, s így a vákuum szerkezetében tovább változás fgyelhető meg: egyúttal egy hány, lyuk s keletkezk, amely 0 m = 0 m e = m e > 0 tömeget és 0 e = +e töltést képvsel. Ezt az együttes folyamatot hívjuk párkeltésnek ld. 53. ábra.. Az elektron tömegével azonos, de töltésével ellentétes, szmultán keletkező részecskét poztronnak nevezzük. Anderson 932-ben történt poztron felfedezése a Drac egyenlet nagy dadala volt. Ezen megjegyzések után térjünk vssza rövden a szabad mozgás tárgyalásához. A teljes megoldáshoz a Ψ hullámfüggvényben szereplő C ampltúdó meghatározására s szükség lenne. Utalunk Nagy Károly Kvantummechanka c. könyvének IX. fejezetére, ahol a számolás részletezve van, tt csak a végeredményt foglaljuk össze. A részletes tárgyalásból kderül, hogy az állapotfüggvény első két komponense az ún. nagy, a másk kettő pedg az ún. kcs komponens, am v/c szerese a nagynak: ψ Ψ = ψ 2 ψ 3 = v/c ψ 4 v/c Másrészt, v c extrém relatvsztkus esetben megmutatható, hogy a szabad részecske spnje és mpulzusa egymáshoz képest csaknem párhuzamosan áll be: a spn és momentum egymáshoz vszonyított beállását helctásnak csavarodásnak nevezzük és a ĥ = Σp p operátor várható értékével jellemezzük amelyet h val jelölünk. A számolásokból kderül, hogy az adódó négy független megoldást az energa E > 0, E < 0 és h = +, h = négyféle párosításával jellemezhetjük. Nemrelatvsztkus közelítésben csak az első két komponensnek van szerepe: [ ] ψ Ψ E,h. ψ 2 6

17 A Drac egyenletet csak erre a két komponensre redukálva a nemrelatvsztkus közelítés elvégzése után éppen a 44 alatt Paul egyenletet kapnánk vssza. Megjegyezzük, hogy a Drac egyenletnek akkor s van megoldása, ha az m 0 nyugalm tömeg nulla. Szabad tér esetén: γ µ µ Ψ = 0. 4 Ez a Weyl egyenlet, amely például a szabad neutrínók vselkedését írja le A H-ATOM KVANTUMELMÉLETE A DIRAC EGYENET ALAPJÁN. A pontos spektroszkópa kísérletek megmutatták, hogy a hdrogénatom színképe összetettebb, mnt azt a Schrödnger egyenlet Bohr képlet alapján várjuk. Az elektronnak spnje révén saját mágneses momentuma s van és ez kölcsönhatásba lép a pályamomentummal arányos mágneses momentummal. Így, az ún. spn-pálya kölcsönhatás matt a színkép fnomszerkezetet mutat, amely a Drac egyenlettel leírható. Mnt láttuk, a Drac egyenlet természetes módon tartalmazza az elektron spnjével kapcsolatos nformácókat s. A Drac egyenlettel történő tárgyalás megmutatja, hogy a hdrogénatom energaszntje nemcsak az n főkvantumszámtól függnek, hanem az l mellékkvantumszámtól és a j teljes mpulzusmomentum kvantumszámtól s j = l ± /2. Kndulunk a Drac egyenlet 08a alatt t Ψ = HΨ alakjából, ahol H a 09 alatt Drac Hamlton operátort jelöl. Mnthogy a hdrogénatom problémájában a potencál konzervatív Ar, t = 0, Φr, t = φr, sőt gömbszmmetrkus, ezért szeparálhatjuk a hullámfüggvényt a szokásos módon: Ψr, t = ψrexp Et/. A megoldandó probléma tehát a következőképpen írható fel: H Eψr = 0, H = cγ 4 γ + eφ + m 0 c 2 γ 4. 5 Vezessük be Σ = γγ 4 vektoroperátort amelyet az rodalomban átalában α-val jelölnek a Σ = γ j γ k, jk =páros permutácó mntájára. Könnyű belátn, hogy valamnt, hogy Σ és Σ között az összefüggés: {Σ, Σ j } = 2δ j, Σ = γ 5 Σ, γ5 = γ γ 2 γ 3 γ 4. Az tt bevezetett γ 5 operátornak a több γ µ operátorhoz hasonló tulajdonsága van: γ 5 γ µ = γ µ γ 5, γ 2 5 =. 7

18 A feladat tehát a H = c Σ p + m 0 c 2 γ 4 + eφr Hamlton operátorban előforduló Σ p operátor gömb polárkoordnátákba való felírása. Felhasználjuk az smert összefüggést: Σa Σb = ab + Σ, [a b], ahol a és b két, tetszőleges vektor operátor. Legyen a = r és b = L : Σr ΣL = rl + Σ, [r [r p]] = Σ,rrp r 2 p = Σ,rrp r 2 Σp, ahol felhasználtuk az a b c = bac abc összefüggést. Így tehát r 2 Σp = Σrrp Σr ΣL. Átalakítva: r 2 Σp = Σr rp + ΣL. γ 5 -tel szorozva és r 2 -tel osztva kapjuk: Tehát Σ p = Σ r r Σ r Σ r r + ΣL r r r p + ΣL r = + r + r + r ΣL +. H = c Σ p + m 0 c 2 γ 4 + eφr = c Σ r r + c + r r Σ r ΣL + + m 0 c 2 γ 4 + eφr = c Σ r p r + c r Σ rγ 4 Ω + m 0 c 2 γ 4 + eφr, r = 6 r ahol bevezettük a γ 4 Ω = ΣL + jelölést. Mármost belátható, hogy az Ω operátor felcserélhető az energa operátorral: [H, Ω] = 0. Ugyans [Σ r, Ω] = 0, [γ 4, Ω] = 0, [p r, Ω] = 0. Másrészt ugyans Ω 2 = ΣL + 2 = ΣL ΣL + 2 = L + 2 Σ , ΣL 2 = ΣL ΣL = L,L + Σ,L L = L 2 Σ,L és Σ 2 = 3. Tehát S = Σ/2 matt Ω 2 = L + S J

19 A sajátértékegyenletet rögtön felírhatjuk: Ω 2 η j = 2 jj η j, j = 2, 3 2, , azaz avagy Ω 2 η k = 2 k 2 η k, k 2 = j = 2, 2 2, 3 2,..., Ωη k = kη k, k = j + = ±, ±2, ±3, Mvel H felcserélhető Ω-val, van közös sajátfüggvény rendszerük. Ezért a keresett energasajátérték egyenlet: Felhasználva a [ E eφr m 0 c 2 γ 4 + c Σ r p r c ] r Σ r γ 4 k ψ = 0. Σ r = Σ r γ 4 =, γ 4 =, ψ = ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 konkrét előállításokat, a hdrogénatom sajátérték problémája a következőképpen írható fel: E eφr m 0 c 2 ψ r + c r + r ψ 3 r + ckr ψ 3 r = 0,, E eφr m 0 c 2 ψ 2 r + c r + r ψ 4 r + ckr ψ 4 r = 0, E eφr + m 0 c 2 ψ 3 r c r + r ψ r + ckr ψ r = 0, E eφr + m 0 c 2 ψ 4 r c r + r ψ 2 r + ckr ψ 2 r = 0. Elegendő csak a két *-gal jelölt egyenlettel foglalkoznunk, mvel az alattuk lévő egyenletek egyszerű 2, 3 4 egydejű és megengedett helyettesítéssel ezekből megkaphatók. Más szóval, a ψ, ψ 3 komponensekre vonatkozó egyenletek ugyanazt az eredményt adják, mnt a ψ 2, ψ 4 komponensekre vonatkozók s így csak két komponenssel kell foglalkoznunk. A szög- és spnváltozók szeparálása után vsszmaradó radáls komponenseket fr, gr-rel jelölve, azaz a frfljmjm Ψ = s ϑ, ϕ, s r grg ljmjm s ϑ, ϕ, s Ψ Ψ 3 előállítást a Drac egyenletbe való helyettesítés után a két megmaradó csatolt radáls egyenlet a következő: E eφr m 0 c 2 fr + c dgr dr E eφr + m 0 c 2 gr c dfr dr + ck + gr = 0, r + ck + fr = 0. r E csatolt radáls egyenletrendszer az eφr = e 2 /r, E = ω, m 0 c 2 = ω 0, e 2 / c α = /37 jelölések bevezetése után ugyanúgy a Sommerfeld-féle polnom módszerrel oldható meg, mnt a nemrelatvsztkus esetben. Először az aszmptotkus megoldást határozzuk meg: f a r = g a r = exp βr, ahol 9

20 β = ω 2 0 ω2 /c. Majd a teljes megoldást ezen aszmptotkus megoldás és két smeretlen polnom szorzataként vesszük fel. A regulartás követelmény matt a polnomoknak véges fokszámúaknak kell lenn, valahol meg kell szakadn az összegzésnek. E megszakadás következményeként az E energasajátértékekre csak az sajátértékek adódnak n E = m 0 c [ 2 α 2 ] /2 + n + 7 k 2 α 2 2 = 0,, 2,... sajátértékek mellett. Mnt látjuk, az energasajátérték most a k = j + /2, j = l ± /2 kvantumszámoktól s függ, valamnt tartalmazza az α = /37 fnomszerkezet állandót. Felhasználva a ks x esetén érvényes / + x = 2 x x2... sorfejtést, az energasajátértéket jó közelítéssel az [ E = m 0 c 2 α2 2n 2 α4 n 2n 4 j + 3 ], 4 2 n = n + j + 2, l 2 j l + 2 képlettel adhatjuk meg. 7a A zárójelben álló első tag a relatvsztkus tárgyalásból adódó nyugalm energa járuléka. A másodk tag a Schrödnger egyenletből adódó Bohr-féle energakfejezés. A harmadk tag megjelenése szolgáltat magyarázatot a hdrogénatom fnomszerkezetére, amely tehát teljesen relatvsztkus eredetű. A sajátfüggvények meghatározását s magábafoglaló részletes tárgyalás ránt érdeklődőknek fgyelmébe ajánljuk Marx György, lletve Nagy Károly Kvantummechanka tankönyvet. 20

21 8.7. A SPIN-PÁLYA KÖLCSÖNHATÁS Az előző fejezetben említést tettünk az elektron spn és pályamozgása révén keletkező mágneses momentumok kölcsönhatásáról, amely a fnomszerkezetet okozta az hdrogénatom színképében. Most ezen spnpálya kölcsönhatásnak általánosabb tárgya lását adjuk. Megvzsgáljuk, hogy a nemrelatvsztkus közelítés esetén mlyen formában jelentkezk a spnpálya kölcsönhatásból adódó energaoperátor. Tekntsük a H = c Σ p + m 0 c 2 γ 4 + V r energaoperátort A = 0, V r = qφr. A Σ matrx kfejezhető a 2 2-es Paul matrxokkal: Σ σ =, σ σ =, σ 2 =, σ 3 =. Válasszuk le az energából a nyugalm energát: E = m 0 c 2 + E. A Drac egyenletet a 2 2-es matrxok megjelenése matt átírjuk a következő módon: E + m 0 c 2 Hψ = 0, ψ = ψa ψ b ψ, ψ a = ψ 2 ψ3, ψ b = ψ 4. 8 A H bel γ 4 = matt ahol a 2 2-es egységmatrxot jelöl a következő csatolt egyenletrendszert kapjuk ψ a és ψ b meghatározására: Ez utóbbból kfejezhetjük ψ b t: és behelyettesíthetjük az első egyenletbe: E ψ a = E V rψ a = c σpψ b, E + 2m 0 c 2 V rψ b = c σpψ a. ψ b = E + 2m 0 c 2 V r c σpψ a, [c σp E + 2m 0 c 2 V r c σp + V ] ψ a. Ez egy Schrödnger típusú energasajátérték egyenletre hasonlít. Így a V potencáls tag mellett bonyolult tag a knetkus energaoperátort jelent, amelyben az nverz operátort sorba fejthetjük [ + x = x x << felhasználásával] a következőképpen: [ p 2 [ [c σp E + 2m 0 c 2 V r ] c σp + V = c σp2m 0 c 2 E V r 2m 0 c 2 ] c σp + V = p2 E V r 2m 0 4m 2 + V r + ] 0 c2 4m 2 σpv r σp. 0 c2 2

22 Felhasználva 6-ot a Drac egyenletből végül s a következő egyenlet származtatható le: [ p 2 p4 + V r 2 dv 2m 0 c2 4m 2 0 c2 dr r + ] dv 2m 2 0 c2 r dr S,L ψ a = E ψ a. 8m 3 0 Amnt látjuk, az első és harmadk tag a szokásos knetkus és potencáls energaoperátorral egyezk meg, am a nemrelatvsztkus Schrödnger egyenletben szerepel. Ezért a mellettük megjelenő tagok a spn konzsztens tárgyalása és a relatvsztkus tárgyalásmód következménye. Az utolsó tag a spn-pálya kölcsönhatásból eredő energajárulék. Most belátjuk, hogy az utolsó tag, az ún. spn-pálya kölcsönhatás tag, a mágneses momentumok révén megvalósuló mágneses potencáls energával arányos. A 4. fejezetben láttuk, hogy a spnhez, ll. pályamomentumhoz tartozó mágneses nyomaték Ezért az utolsó tagot a következőképpen s írhatjuk M L = e 2m 0 c L µ B L, M S = 2µ B S e 2 r dv M S,M L. dr V r = e 2 /r esetén látjuk, hogy a spn-pálya tag r 3 -mal arányos és a benneszereplő konstans, valamnt az előforduló effektív Bohr-rádusz távolságok matt kcs V r hez képest REPREZENTÁCIÓELMÉLET FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT REPREZENTÁCIÓK. Tekntsük az E H ψ = 0 staconárus Schrödnger egyenletet, ahol H = Hx, p, Σ,... az energaoperátor, amely függ az koordnáta, mpulzus, spn,... operátoroktól, ψ pedg a kvantummechanka rendszer E energájú állapotát jellemz. A kvantummechanka axómá közé tartozk az, hogy a fzka mennységekhez absztrakt operátorokat, a fzka állapotokhoz pedg Hlbert-térbel absztrakt állapotvektorokat rendelünk. Kérdés az, hogy mként reprezentáljuk jelenítsük meg, tegyük hozzáférhetővé a számolások számára ezeket az absztrakt mennységeket. A választ a 3. fejezet elején egyszer már megfogalmaztuk: bárhogyan, csak arra kell ügyelnünk, hogy az egyes reprezentált operátorok kelégítsék a kvantummechanka alaptörvényét jelentő felcserélés relácókat, nevezetesen [ˆp, ˆx j ] = δ j,, j =, 2, 3. 22

23 A reprezentácóelmélet alapját az az állítás Resz-Fscher tétel képez, hogy az egyes önadjungált operátoroknak van teljes sajátfüggvény rendszere ez a bázs és e szernt reprezentálunk : az operátorokat matrxelemekkel, az állapotokat pedg a kfejtés együtthatókkal. Vannak folytonos és dszkrét reprezentácók, attól függően, hogy mlyen operátor sajátállapot rendszere szernt akarunk reprezentáln. A dszkrét reprezentácót szokták matrx, vagy n reprezentácónak s hívn. Van e kettő kombnácójából adódó ún. vegyes reprezentácó s, amkor az operátor sajátértékspektruma dszkrét és folytonos lyen pl. a hdrogénatom energaoperátorának a spektruma. Az x reprezentácóban vagy koordnáta reprezentácóban a bázst az ˆx x = x x sajátérték egyenlet összes x sajátállapota adja. Bár a 3. fejezetben foglalkoztunk már ezekkel a sajátállapotokkal és megállapítottuk róluk, hogy x reprezentácóban a Drac-delta dsztrbúcókkal azonosak, erre a konkrét előállításra most nem lesz szükségünk, csupán a norma kfejezését kell smernünk. Folytonos spektrum esetén ez s Drac-delta. Magát az ˆx absztrakt operátort az x reprezentácóban: bázson vett matrxelemével reprezentáljuk koordnáta x ˆx x = x x x = xδx x, ahol felhasználtuk a sajátértékegyenletet és a norma kfejezését. A ˆp operátor matrxelemenek defnícója az x reprezentácóban: x ˆp x = x x x = x δx x, ugyans csak így teljesül a [ˆp, ˆx] kommutátor operátor mátrxelemere a felcserélés relácó: x [ˆp, ˆx] x = δx x. A ψ absztrakt állapotvektor kfejthető az x reprezentácóhoz tartozó absztrakt x állapotok szernt, mvel azok teljes rendszert alkotnak x dx, c x = cx : ψ = x c x x, ahol c x = x ψ ψx. Ez azt jelent, hogy az absztrakt ψ állapotvektorhoz egyértelmű módon hozzárendelhető a c x ψx folytonos számsorozat függvény. Tehát az eddg állapotfüggvénynek, hullámfüggvénynek nevezett mennység nem más, mnt az absztrakt ψ állapotvektor koordnáta sajátállapotok szernt kfejtésének együttható függvénye. A H E ψ = 0 absztrakt sajátérték egyenletből számokat matrxelemeket nyerhetünk, ha képezzük az x absztrakt állapottal alkotott skalárszorzatát: x H E ψ = 0. Felhasználva az = x x x teljesség relácót, a következő összefüggést nyerjük a fent matrx elemre: = x Hˆp, ˆx,... E x x ψ = x Hˆp, ˆx,... E x x ψ x x dx H x, x,... E δx x ψx = H x, x,... E ψx = 0. 23

24 Tehát a staconárus Schrödnger egyenlet nem más, mnt a fent operátor sajátérték egyenlet koordnáta reprezentácóbel alakja. Ezért hívják néha az x reprezentácót Schrödnger reprezentácónak. Az p, vagy mpulzus reprezentácóban a bázst a ˆp p = p p sajátérték egyenlettel meghatározott p sajátállapotok adják, amelyekkel a 3. fejezetben foglalkoztunk. A ˆp operátor dagonáls a p reprezentácóban: p ˆp p = p δp p. Ahhoz, hogy a [ˆp, ˆx] = / operátor egyenlőség fennálljon, az ˆx operátor p reprezentácóbel matrxelemét a következőképpen kell választanunk: p ˆx p = p δp p. Ekkor ugyans p [ˆp, ˆx] p = δp p. A teljesség khasználásával felírjuk a Schrödnger egyenlet mpulzus reprezentácós alakját: 0 = p H E ψ = p H E p p p ψ = p p Hˆp, ˆx,... E p p ψ = dp Hp, = Hp, p,... E δp p ψp p,... E ψp = 0. Példaként írjuk fel a harmonkus oszcllátor HO probléma energaoperátorát: H = ˆp2 2m + ˆx2 2M, ahol M = D = mω 2, a drekcós erő. A megfelelő Schrödnger egyenlet mpulzus reprezentácóban: p 2 2m 2 2 2M p 2 E ψp = 0, x reprezentácóban: x 2 2M 2 2 2m x 2 E ψx = 0. A HO probléma x és p reprezentácóbel szmmetrája szembeszökő vö. határozatlanság relácó. Másk példa legyen a lneárs potencál, a V = kx problémája. A Schrörnger egyenlet p reprezentácóban p 2 2m + k míg x reprezentácóban 2 2m 2 p E ψp = 0, x 2 kx E ψx = 0. Ennek a példának az érdekessége az, hogy p reprezentácóban van analtkus, zárt alakban írható megoldás, míg x reprezentácóban nncs. Tehát néha célszerűbb mpulzus reprezentácóban dolgozn. Az eddg reprezentácók folytonos spektrumhoz tartozó operátorok sajátállapota szernt reprezentácók voltak. Most megsmerkedünk a dszkrét-, vagy matrx-reprezentácókkal, amelyeket 24

25 n reprezentácóknak s szoktak hívn. Az n reprezentácó n bázsa tetszőleges, dszkrét spektrumot szolgáltató operátor sajátállapotaként áll elő lyenek pl. a HO energaállapotok. Az ˆx operátort az n ˆx n x n n, matrxelemekkel, a ˆp operátort az n ˆp n p n n, matrxelemekkel reprezentáljuk oly módon, hogy a [p,x] = / matrx egyenlőség teljesüljön. Egy ψ fzka állapotot pedg a c ψ = c n n n c 2. c ṇ. számoszloppal reprezentáljuk, ahol c n = n ψ. Az = n n n teljességet kfejező operátor összefüggést felhasználva, a Schrödnger egyenlet: 0 = n H E ψ = n n H E n n ψ = n H nn Eδ nn c n = 0, azaz H E c = 0. Itt H most az energamatrxot jelöl, pedg az egységmatrxot. Konkrét dszkrét reprezentácónak az egységny tömegű és körfrekvencájú HO bázsállapotokat választva n ϕ HO n megmutatható, hogy és p = / x = / Ebben a reprezentácóban tehát 0 2 px xp = Azaz teljesül a felcserélés relácó. = Az energaoperátor s kszámolható. Egységny tömegű és egységny körfrekvencájú oszcllátor energaoperátora az adott HO reprezentácóban H = p2 2 + x2 2 = dagonáls. A dagonáls elemekben felsmerjük a HO sajátértéket. 25

26 Meg kell még vzsgálnunk a norma, teljesség és a különböző reprezentácók közt átjárás transzformácó kérdését. Norma. Folytonos spektrumhoz tartozó reprezentácó esetén: x x = δx x, dszkrét reprezentácó esetén pedg n n = δ nn. A norma reprezentácó független, mvel az egy matrxelem, azaz szám. Teljesség. Kndulva a kfejtés tételből ψ = n c n n = n n c n = n n n ψ, látjuk, hogy a teljesség kfejeződk az egységoperátorban: = n n n = dx x x, ahol az első összefüggés a dszkrét reprezentácókra, a másodk pedg a folytonos reprezentácók esetére vonatkozk. Vegyes reprezentácó esetén a másodk egyenlőség jel helyett + áll. Mnthogy a teljességet kfejező egységoperátor lévén operátor reprezentácótól nem független, vzsgáljuk meg, mlyen matrxelemeket kapunk x reprezentácóban a folytonos, ll. dszkrét reprezentácók teljességét kfejező egységoperátorra. Az x reprezentácó teljességét kfejező egységoperátor matrxeleme x reprezentácóban x x = x x x x x = dx δx x δx x = δx x ; az n reprezentácó teljességét kfejező egységoperátor matrxeleme az x reprezentácóban: x x = n x n n x = n ψ n xψ n x = δx x, amely eredményt már a 4. fejezetben megsmertük. A teljességet kfejező egységoperátorok n reprezentácóbel matrxeleme s mndkét esetben megegyeznek a normával: n n = n x x n = dxψnxψ n x = δ nn, x n n = n n n n n = n δ nn δ n n = δ nn. Két reprezentácó közt átjárás transzformácó untér operátorokkal, ll. matrxokkal lehetséges. Defnícó: Untér operátorok azok az operátorok, amelyek nem változtatják meg egy skalárszorzat értékét, azaz c d = Uc Ud = U + Uc d U + U = U + = U UU + =. 26

27 Matrx reprezentácóban az untér feltétel: n m = δ nm = n U + U m = k n U + k k U m = k k U n k U m = k U knu km. Itt khasználtuk, hogy az adjungált operátor matrxa egyenlő a transzponált matrx komplex konjugáljával: U + = U T. Untér matrxra példa: legyen A = A +, ekkor U + = U = e A = n=0 n=0 n! An, n! A+ n = e A+ = e A. Vzsgáljuk meg általánosan, hogy mlyen kapcsolat van két dszkrét reprezentácó között. Tartozzon ehhez a két reprezentácóhoz az ω n és η m bázsállapot sorozat. Egy tetszőleges fzka állapot kfejthető ezen bázsállapotok szernt és a kfejtés együthatók egyértelműen jellemzk az állapotot: ψ = m a m η m = n b n ω n Azaz lletve ψ ψ η ω A kérdés az, hogy az állapotfüggvény ezen kétféle reprezentácója között m a kapcsolat, azaz hogyan fejezhető k b m = ω m ψ együttható az a m = η m ψ együtthatóval. A kapcsolat megtalálása érdekében fejtsük k az ω m bázsfüggvényeket az η n ek teljes rendszere szernt: a a 2.. b b 2..,. ω m = n U mn η n, ahol U mn = η n ω m = ω m η n. Az adjungáltja: ω m = n η n U mn. Ezzel b m = ω m ψ = n η n U mn ψ = n U mn η n ψ = n U mn a n, azaz b = Ua. Most bzonyítjuk, hogy U untér: ω n ω m = δ nm = n n η n U nn U mn η n = n n U nn U mn δ n n 27

28 = n n U nn U + n mδ n n = n U nn U + n m = δ nm. QED. Folytonos reprezentácók közt transzformácót a ψ = x ψx x = p ψp p egyenlőségből adódó ψx = p ψp x p transzformácós képlet adja, ahol az x p Up, x = h e px, folytonos untér matrx éppen a koordnáta reprezentácóbel mpulzus sajátfüggvény ld. 4.2 fejezet. Most azt vzsgáljuk, hogy az operátorok különböző reprezentácó között m a transzformácó. a H E ψ = 0 Írjuk fel absztrakt Schrödnger egyenletetet az a és b együttható sorozattal jellemzett η, ll. ω reprezentácóban: H η a = Ea, H ω b = Eb. A kérdés tehát az, hogy mként fejezhetjük k H η t H ω vel? Mvel írhatjuk: b = Ua, ahol U + U =, H ω Ua = EUa. Ezt U = U + szal beszorozva, kapjuk: U H ω Ua = Ea = H η a. Tehát a tanszformácót szntén az U untér matrx operátor bztosítja: H η = U H ω U = U + H ω U. Számítsuk most k egy O operátor p reprezentácóbel p O p = Op, p és x reprezentácóbel x O x = Ox, x matrxeleme közt transzformácót. Op, p = U + p, xox, x Up, x = x,x dx dx h e px p x / Ox, x. Legyen O = x. Ekkor Ox, x = δx x x. Ezért p xp = dx dx x / h e px p δx x x = dx h e p p x/ x 28

29 = 2π p e p px/ dx = p δp p = p δp p, ahol az utolsó egyenlőséget parcáls ntegrálással kaptuk, és többször s khasználtuk a δx = expkxdk/2π smert összefüggést. Így az x operátor p reprezentácóban / / p lesz. Amt korábban csak ktaláltunk, hogy a felcserélés relácó teljesüljön, most kjött, általános reprezentácóelmélet tételek felhasználásával KVANTUMMECHANIKAI KÉPEK. Mndeddg olyan kvantummechanka képben ábrázolásban dolgoztunk, amelyben az alapvető ˆx, ˆp,... operátor áll dőtől független, â t = 0, és az dőfüggést az állapotfüggvény Ψt hordozta az állapotegyenlet révén, amelynek megoldását a Ψt t = ĥ Ψt Ψt 0 = ϕ kezdőfeltétel egyértelműen meghatározza. Ilyen absztrakt operátorokra példa a koordnáta, a ˆp mpulzus, vagy az ˆL mpulzusmomentum operátor. ĥ energa, az ˆx Mnthogy csak a matrxelemeknek van fzka jelentésük, elképzelhető más szereposztás az állapotok és operátorok között. Tekntsünk ugyans egy matrxelemet At = Ψ t âψ 2 t és defnáljunk egy dőfüggő untér operátort a következőképpen: Ψt = Ut, t 0 ϕ = Ut, t 0 Ψt 0, amelyből Ut 0, t 0 = következk. Behelyettesítve a fent defnícót a Schrödnger egyenletbe, t 0 = 0 kezdő dőpllanatot választva és khasználva a ϕ knduló állapot tetszőlegességét, az U operátorra az dut dt = ĥut mozgásegyenlet adódk, amelynek adjungáltja, az energaoperátor önadjungáltsága matt ĥ = ĥ+ a Hlbert tér elemen, a következő: du+ t = U + dt tĥ. 29

30 Az első egyenletet U + szal balról, az adjungált egyenletet U val jobbról beszorozva, majd az így nyert egyenleteket összeadva a következő összefüggést kapjuk: dut+ Ut dt = Ut + hut + Ut + hut = 0. Másrészt U + t 0 =, tehát U + t 0 Ut 0 =, és így az előző eredményünkből tetszőleges dőpllanatra s U + tut =, amellyel az Ut operátor untartását bzonyítottuk. Ezzel az dőfejlesztő untér operátorral előállíthatunk a Schrödnger képből olyan kvantummechanka képet, az ún Hesenberg képet, amelyben az operátorok mozognak dőfüggők és az állapotok állnak dőfüggetlenek: At = Ψ t âψ 2 t = Utϕ âutϕ 2 = ϕ U + tâutϕ 2 ϕ Âtϕ 2. Kérdés, m a dnamka egyenlet a most kapott dőfüggő Ât operátorra? U + tâut = ] [U + tĥâ Ut U+ tâĥut = dât = d dt dt ] [U + tĥutu+ tâut U + tâutu + tĥut = [Ĥt Ât ÂtĤt ]. Megkaptuk az dőfüggő operátorokra vonatkozó mozgásegyenletet, amelyet érdemes összefoglalva újra kírn: dât dt = Az energaoperátor mozgásállandó, mvel dĥt dt [Ĥt Ât ÂtĤt ] = [Ĥt, ] Ât. = ] [Ĥt Ĥt ĤtĤt = 0, azaz Ĥt = ĥ =állandó dőben, s így a 3. fejezetben megsmert dô dt = [ĥô Ôĥ] kvantummechanka dődervált defnícószerű bevezetésének oka nylvánvalóvá válk. Egyben látjuk a Hamlton operátor ktüntetett szerepét, amelynek állandóságából dut dt = ĥut = ĤUt írható, amelynek megoldása Ut = e Ht t0. Megjegyezzük még rövden, hogy van még egy vegyes kvantummechanka kép s, az ún. kölcsönhatás vagy Drac kép, amelyben mnd az operátor, mnd az állapot mozoghat. Ennek fontossága a perturbácó számítás területén mutatkozk meg. Ekkor a H teljes energaoperátor felbontható egy 30

31 H 0 smert és egy K kölcsönhatás gyenge részre, amt perturbácóként kezelünk: H = H 0 + K. Az operátorok mozgását H 0 kormányozza: dat dt = [H 0,At], míg az állapotot K határozza meg: ψt = Kψt. t Összefoglalásképpen: Schrödnger kép Hesenberg kép Drac kép â t = 0 dât dt = [Ĥt, Ât ] + Ât t dat dt = [ H0,At ] + At t ϕ tψt = ĥψt t = 0 tψt = Kψt At = Ψ t âψ 2 t At = ϕ Âtϕ 2 At = ψ t Atψ 2 t 3