1 A lineáris harmonikus oszcillátor

Átírás

1 A lneárs harmonkus oszcllátor Az egydmenzós harmonkus oszcllátor potencálja V x Dx, ahol D az erőállandó drekcós erő. A klasszkus mechanka alapján, a fent potencálban egy m tömegű részecske ω D/m frekvencájú harmonkus rezgést végez, így a következő alakban s írható, V x mω x, azaz a Hamlton függvény H x, p p m + mω x. 3 A t dőpontban zérus ktérést feltételezve, az smert klasszkus megoldás ahol A a rezgés ampltúdója, mely az energával az x t A sn ωt, 4 E mω A 5 kapcsolatban áll. Nylvánvaló, hogy az energa ll. az ampltúdó folytonosan változhatnak. A kvantummechanka tárgyalás szernt a Hψ Eψ 6 sajátérték problémát kell megoldanunk, ahol koordnáta reprezentácóban, Bevezetve a változó transzformácót, a Hamlton operátort d H x m dx + mω x. 7 q x d x dx d, x dq d Hq mx dq + mω x q, 8 alakra hozhatjuk. Célszerű az x paramétert úgy megválasztan, hogy a fent kfejezésben a d dq és a q tagok együttható, az előjeltől eltekntve, megegyezzenek, azaz, mx mω x x mω. 9 Ekkor a Hamlton operátor a Hq ω } { d dq + q,

2 alakú lesz és a Schrödnger egyenletet } { d dq + q ψq ηψq, formában írhatjuk, ahol η E ω az energa helyett bevezetett dmenzótlan változó.. Megoldás Sommerfeld polnom módszerrel Írjuk át a sajátérték egyenletet a d ψ q dq + η q ψq 3 dfferencálegyenletre, melynek először a q ± határesetben vett, ún. aszmptotkus megoldását keressük, d ψ a q dq q ψ a q. 4 Felhasználva, hogy belátható, hogy a d d dq q dq + q d dq + d dq q q d dq q a keresett regulárs aszmptotkus megoldás. d dq d q + q ± dq q, d dq + q ψ a q ψ a q e q / A következő lépésben az általános megoldást az aszmptotkus megoldás és egy smeretlen függvény szorzataként keressük 5 ψ q u q ψ a q u q e q /. 6 Ezt behelyettesítjük a 3 egyenletbe, d u q e q / dq + η q u q e q /. 7 Elvégezve a megfelelő műveleteket, d u q e q / u qe q / quqe q / dq d u q e q / dq u qe q / qu qe q / + q uqe q / 8, 9

3 az u q qu q + η uq, egyenletet nyerjük. A továbbakban feltételezzük, hogy az u függvényre érvényes a folytonos függvénykalkulus: u q u q u q c r q r, r rc r q r qu q r r r c r q r r A fent kfejezéseket vsszahelyettesítve a egyenletbe a rc r q r, r r + r + c r+ q r. 3 r {r + r + c r+ rc r + η c r } q r 4 r egyenletet kapjuk, melyből a c r+ r + η r + r + c r 5 rekurzós összefüggés adódk r,,,.... Vegyük észre, hogy az u függvény hatványsorában az r-k tag együthatója az r + -k tag együtthatóját határozza meg, így a másodrendű dfferencálegyenlet két független megoldását generálhatjuk a következő választással, c, c u páros függvény c, c u páratlan függvény. Mvel ψ a páros függvény, a Schrödnger egyenlet megoldása s vagy páros vagy páratlan függvények lesznek, összhangban a szmmetrkus potencálra kmondott korább tétellel. Másrészt vszont r esetén a rekurzós összefüggés közelíthető a kfejezéssel, mely az e q e q r c r+ r c r 6 függvény hatványegyütthatóra jellemző rekurzós relácó: q r r! r,,... q r r/! c r+ r + c r r r c r. Következésképpen könnyen belátható, hogy az u megoldás tetszőleges pontossággal közelít az u q f q + Ce q páros vagy az u q q f q + Ce q páratlan 7 függvényt, ahol az f q véges, páros polnomot és a C állandót a kívánt pontossághoz lehet beállítan. Ez vszont azt jelent, hogy a ψ q u q e q / megoldás aszmptotkusan e q / szernt dvergál, tehát általános esetben ψ nem regulárs függvény. Ezt csak úgy tudjuk elkerüln, hogy a 5 rekurzós összefüggést valamely r n ndexnél megállítjuk, azaz η n + n,,,

4 választással bztosítjuk, hogy c n, c n+ c n A η paraméter defnícójából következk, hogy a lehetséges sajátenergák az E n ω n + n,,,... 3 értékeket vehetk föl. Tradconáls okokból, a megfelelő hullámfüggvényeket ψ n x N n H n x/x e x /x 3 alakban írjuk, ahol H n q az ún. Hermte-polnomokat jelöl: n H n q q 4q 3 8q 3 q... Ellenőrzzük a rekurzós relácót: n : η 5, c, c 5 4 n 3 : η 7, c, c A Hermte-polnomok ortogonaltás relácójából, dq e q H n q H m q n n! π δ nm, 3 adódk, hogy N n n n! π x /. 33 A zéruspont energa kísérlet bzonyítéka: A kétatomos molekulák rezgés színképe A kétatomos molekulák nfravörös tartományban észlelt egyenközű emsszós színképe jól magyarázható a harmonkus oszcllátor modellel. Valamely n -k állapotból az n-k állapotba való ugrás esetén kbocsájtott foton energája ugyans hν f E n E n ωn n n > n. 34 Az észlelt frekvencaközökből nylvánvalóan meghatározható a rezgés drekcós állandója: ν f ω π D π m D m π ν f. 35 4

5 Fgure : Az egydmenzós harmonkus oszcllátor energaszntjenek és hullámfüggvényenek llusztrácója. 5

6 A H 35.5 Cl sósav molekula esetén, ν f /s E f.3 ev, m H kg D 4.9 N/cm a redukált tömeg fgyelembevételével D 4.73 N/cm adódk Nagyobb energás gerjesztéssel átmenetet ndukálhatunk a sósav molekula elektronállapota között s. Jelöljünk két lyen állapotot A-val és B-vel. Ekkor a molekula teljes konfgurácós és vbrácós energája DA EA, n E A + n + 36 m ll. EB, n E B + DB m n + ] tehát a vsszaugrás során ksugárzott foton frekvencája [ ν Bn An E B E A + DB n + DA n + h π m m. 38 A H atom helyett azonban előfordulhat a D H atom s, melynek kétszeres a tömege, vszont az elektronszerkezettől függő E A, E B, D A és D B állandók nem változnak. Az új redukált tömeget m -gal jelölve a színképben megjelennek a deutérum zotópra jellemző ν Bn An E B E A h + π [ DB m 37 n + DA n + m ] 39 frekvencák s. A fent zotópeffektust vzsgáljuk meg az n n null-null átmenetre: ν B A νb A DB D A. 4 4π m m Nylvánvaló azonban, hogy amennyben a harmonkus oszcllátornak nem lenne zéruspont energája, a null-null átmenetre nem tapasztalnánk zotópeffektust. A fent jelenséget észlelték pl. a B O molekula vbrácós spektrumában s B B ll. 6 O 8 O. 6

7 . Keltő és eltüntető operátorok Már korábban levezettük a d d dq q dq + q d dq q +, összefüggést, mely segítségével a Hamlton operátor kfejezhető { H q ω q d q + d + } dq dq alakban. Célszerű bevezetn az a q + d x + x d dq x dx x x + mω p 4 4 és a + q d x x d dq x dx operátorokat, melyekkel tehát { H ω a + a + } x x mω p Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a harmonkus oszcllátor spektruma levezethető az a és a + operátorok algebra felcserélés tulajdonságaból, és nem szükséges valamely konkrét reprezentácót használnunk. Ehhez csupán az [x, p] felcserélés relácót kell felhasználnunk, melyből a 4 és 43 defnícók alapján következk: [ ] a, a + [ x + x mω p, x ] mω p mω [x, p] + [p, x]. 45 mω mω A 44 kfejezésből következménye, hogy a Hamlton operátor spektrumának alsó korlátja ω/: ψ ψ H ψ ω a + a ψ + ω aψ + ω. 46 Fennállnak továbbá a következő kommutácós relácók: [H, a] ωa ll. [ H, a + ] ωa Ugyans és [H, a] ω [a + a + ], a ω [ a +, a ] a ωa 48 [ ] H, a + ω [a + a + ], a+ ωa [ + a, a +] ωa

8 Legyen ψ H egy sajátfüggvénye E sajátértékkel. Ekkor Ha ψ ah ψ ωa ψ E ω a ψ, 5 azaz a ψ s sajátfüggvény E ω sajátértékkel. Ezért hívjuk az a operátort lefelé léptető vagy eltüntető operátornak. Mvel azonban H spektruma alulról korlátos, létezne kell egy ψ sajátfüggvénynek, amt az a operátor a Hlbert-tér null-elemébe léptet, melynek normája zérus, ezért - a kvantummechanka axómá szernt - nem reprezentálhat fzka állapotot: Nylvánvalóan a + a ψ H ψ ω a ψ. 5 + ψ ω ψ, 5 tehát ψ pontosan a mnmáls sajátértékhez tartozó sajátfüggvény. A 5 egyenlethet hasonlóan beláthatjuk: Ha + ψ a + H ψ + ωa ψ E + ω a + ψ, 53 azaz a + ψ s sajátfüggvény E + ω sajátértékkel. Ezért az a + operátort felfelé léptető vagy keltő operátornak hívjuk. A keltő operátor segítségével szukcesszíven felépíthetjük a Hamlton operátor összes sajátfüggvényét. Az n-k lépésben kapott hullámfüggvény sajátenergája értelemszerűen E n ωn + n,,, Más sajátérték az 5 egyenlet következtében nem létezhet. A hullámfüggények egyértelműségét a következő tétel bztosítja: Az egydmenzós Schrödngeregyenlet kötött állapot regulárs megoldása nem lehetnek elfajultak. Jelöljük az n-k lépésben kapott hullámfüggvényt n -nel! ψ Ekkor n A n a + n, 55 ahol A n egy később meghatározandó normálás tényező. A 44 és 54 egyenletek összevetéséből azonnal következk, hogy a + a n n n. Ezért az a + a operátort szokás gerjesztés szám operátornak nevezn. Teljes ndukcóval bzonyítjuk, hogy a + n n + n Mvel n -re a + a, 57 c a + c a a + c + a + a c c 58 8

9 Tételezzük föl, hogy valamely n-re s teljesül az állítás. Ekkor n + c a + : n n + n + c n a a + n c n n + n a + a n n + c 59 c n +, 6 és pontosan ez az, amt bzonyítan szándékoztunk. Mostmár könnyű belátn, hogy Ugyans: a n n a a + n n a + a + n a n n n. 6 n + n n n n. 6 Ezekután a normált sajátfüggvényeket nylvánvalóan a következő formában tudjuk felírn: n n! a + n A sajátfüggvények koordnátareprezentácóban Határozzuk meg először az ún. vákuumállapotot: âψ q dψ q + qψ q dq melynek smert megoldása, 64 ψ q c exp q /. 65 A c normálás konstanst a következő ntegrál alapján számítjuk, ψ xψ xdx c e x/x dx c x e q dq c πx c πx /. 66 A normált sajátfüggvények tehát vagy ψ n x n n! πx / q d dq n e q / qx/x, 67 ψ n x n n! πx / Hn x x e x/x /, 68 ahol H n q e q / q d n e q / dq, 69 a jól smert Hermte polnomok. Bzonyíthatók a következő rekurzós összefüggések: H n+ q qh n q H nq, 7 H nq nh n q, 7 és qh n q H n+ q + nh n q, 7 9

10 Egydmenzós szórás. Szabad mozgás, hullámcsomag Az dőfüggő Schrödnger-egyenlet síkhullám megoldása ahol d t ψ x, t ψ x, t 73 m dx ψ p x, t A p e px Ept, 74 E p p m. 75 A síkhullám állapotban az mpulzus várhatóértéke l.ehrenfest tételek: ψ p x, t d dx ψ p x, t dx A p p ρ p p 76 ahol ρ p a részecske megtalálás valószínűsége, mely független az x koordnátától. Ez azt jelent, hogy a részecske azonos valószínűséggel található meg a tér bármely pontjában. Nylvánvaló, hogy síkhullámállapot nem normálható, ezért a szabad részecske leírására csak dealzált esetben használható. Térben lokalzált normálható megoldást úgy kapunk, hogy a síkhullámokat összegzünk ntegrálunk: ψ x, t A p e px Ept dp 77 mely továbbra s megoldása az dőfüggő Schrödnger-egyenletnek. Célszerű az ampltudó mpulzusfüggését Gauss-függvénynek választan: Ekkor a hullámfüggvény: A p Ce p p d / C R. 78 ψ x, t C e p p d / e px p t/m dp, 79 amt a dxe ax +bx Gauss-ntegrál segítségével kntegrálunk: π a eb /a a, b C, Re a > 8 p p d + x p t a t d + m p ap + bx c 8 t m b x p d + x c p d 8

11 π ψ x, t C a t ebx /at c. 83 Számítsuk k a hullámcsomag állapotban a megtalálás valószínűségsűrűséget: b x a t p d + x d + t m α ψ x, t C π Re[bx /at] c e a t x p d 4d + αt md x p d αt 4d + α t x 4p d 4 4 p d 4d + α t x αt x 4p d 4 4 p d 4d + α t x 4p d α xt αt x 4p d azaz Re b x a t 4d + α t 4d + α t x 4p d α xt 4p d 4 x p m xt 4p d 4 x p m t 4p d 4 p m t d + α t x p m t 4d + α t + p d 89 Re b x x p a t c t m d + α t ψ x, t 9 C π d + α t e x v t /d +α t 9 ahol v p /m a részecske csoportsebessége. A hullámcsomag -re normálható, amből C d π/ adódk: ψ x, t d π + α t e x v t /d +α t. 9 Vlágos, hogy a hullámcsomag középpontja v sebességgel egyenletes mozgást végez, kterjedése x d + α t vszont az dővel monoton nő, a hullámcsomag szétfolyk. Mvel α m, makroszkópkus tartományban a szétfolyás jelensége nem észlelhető.

12 . A szórásprobléma megoldása Szórás kísérletek elmélet leírásában a hullámcsomag mozgását tanulmányozzuk valamely szóró potencál target jelenlétében. A szórópotencál kterjedését végesnek elegendően gyorsan lecsengőnek választva, attól távol valóban a fent megsmert hullámcsomag megoldást kapjuk, így a kérdés arra egyszerűsíthető, hogy az egyes síkhullámok ampltúdója mlyen változást szenved a szórópotencál hatására. Egydmenzós esetben a bejövő hullámcsomag középpontját az x t közelítéssel vesszük fel, míg a továbbhaladó hullámcsomag középpontjára x t, de a kísérletekkel összhangban a Schrödnger egyenlet megoldása egy vsszavert hullámcsomagot s eredményezhet, melyre x t. Ezeket a hullámcsomagokat rendre a ψ b x, t ψ t x, t ψ v x, t A p e px Ept dp x 93 B p e px Ept dp x 94 C p e px Ept dp x 95 ahol az első két függvény balról jobbra haladó, az utolsó függvény pedg egy jobbról balra haladó hullámcsomagot ír le. Vegyük észre, hogy az ntegrálás alsó határát zérusnak választottuk, így ezek a hullámfüggvények akkor írnak le a korábbhoz hasonló hullámcsomagokat, ha a p csoportmpulzus lényegesen nagyobb, mnt a hullámcsomagok /d kterjedése az mpulzustérben. Az dőfüggő Schrödnger egyenlet mnden egyes síkhullámkomponensre külön-külön megoldható. Mvel a szórópotencál dőfüggetlen konzervatív rendszer, adott E E p energa mellett, az ampltudók meghatározásához elegendő a staconárus Schrödnger-egyenletet megoldan..3 Potencálgát, alagúteffektus Potencál barrer I : x a V x V > II : a < x III : x > 96 Hullámfüggvények és áramsűrűségek E k m 97 ψ I x Ae kx + Be kx 98 ψ III x Ce kx 99 j I x ψi x dψ I x ψ I x dψ I x m m dx dx Im ψi x dψ I x dx A k m k B m + m Im B Ae kx A Be kx }{{}

13 j I j b j v j b A k j v B k m m 3 Vsszaverődés reflexós együttható R j v j b B A 4 j III j t C k m 5 Áthaladás transzmsszós együttható T j t j b C A 6 Kontnutás egyenlet következménye: j I j III 7 j b j v j t 8 R + T 9 Hullámfüggvény a potencálgáton E V α m ψ II x F e αx + Ge αx Hullámfüggvény llesztések és az együtthatók meghatározása ψ I a ψ II a Ae ka + Be ka F e αa + Ge αa ψ I a ψ II a Ake ka Bke ka F αe αa Gαe αa 3 A α + k e ka + B α k e ka F αe αa 4 A α k e ka + B α + k e ka Gαe αa 5 ψ II ψ III F + G C 6 ψ II ψ III F G α kc 7 3

14 F α C α + k 8 Gα C α k 9 A α + k e ka + B α k e ka C α + k e αa A α k e ka + B α + k e ka C α k e αa Ae α ka + B α k α + k eα+ka C Ae α+ka + B α + k α k e α ka C 3 Ae α ka + B α k α + k eα+ka Ae α+ka + B α + k α k e α ka 4 A e α ka e α+ka [ α + k B α k e α ka α k ] α + k eα+ka 5 B A e α ka e α+ka α+k α k e α ka α k sn αa α+k eα+ka α+k α k e αa α k e ka eαa α+k eαa e αa α+k α k e αa α k e ka eαa α+k 6 Reflexós együttható: R B A α+k α k sn αa α+k α k e αa α keαa α+k α+k α k eαa α ke αa α+k 4 sn αa 4 sn αa + α k cos αa α+k α k α+k α+k α k + α k α+k 4 sn αa α+k α+k + + α k α k α k α k α+k 4kα α k 4 sn αa 4 sn αa α+k + α k α+k + 4 sn αa + α+k + 4k α k α sn αa 7 4

15 Transzmsszós együttható: C A T 4kα k + α k α e αa + k α e αa 4kα 4kα k + α k α e αa eα ka 8 4kα 4kα + k α e αa 9 + k α sn αa 3 4k α mvel + t + + t R + T 3 Transzmsszós együttható a potencálparaméterekkel kfejezve: T + V sn m E V a 4E E V 3 Ha m E V a nπ E V + n π : tökéletes áthaladás. m Közvetlen a potencálgát fölött energára vagy nagyon keskeny potencálgátra: lm T E V + + mv a 33 azaz mndg van vsszaszóródás még vonzó potencálvölgy esetén s. 3 Alagúteffektus: áthaladás akkor s van, ha az energa ksebb, mnt a potencálgát magassága E V T + V snh m V Ea 4E V E > 34 4 Magas barrer és kcs energa, vagy széles potencálgát esetén a transzmsszós együttható alakja: m V Ea T 6E V E 8m exp V V Ea 35 5

16 3 Méréselmélet Helymérés Annak valószínűsége, hogy a részecskét a [x, x ] ntervallumban találjuk w x, x Megtalálás valószínűségsűrűség A helyoperátor sajátfüggvénye A mérés átlaga x x x ψ x dx ψ x ψ x dx 36 w x, x + dx ρ x dx 37 ρ x ψ x ψ x 38 x δ x x δ x δ x x x δ x 39 δ x ψ ψ x 4 ρ x ψ δ x δ x ψ 4 x w x, x + dx x ρ x dx x ψ δ x δ x ψ dx 4 Impulzus mérés p w p, p + dp ρ p dp 43 ρ p ψ p ψ p 44 ψ p ϕ p ψ h p w p, p + dp p ρ p dp dx e px ψ x 45 p ψ ϕ p ϕ p ψ dp 46 Mérés eredmény hely lletve mpulzus sajátállapotban x x p p x δ x x dx x 47 p δ p p dp p 48 Általánosítás dszkrét spektrumú operátorra 6

17 Az O megfgyelhető fzka mennységet mérő kvantummechanka mérőeszköz szeparátor a ψ hullámfüggvényt az O operátor valamely sajátállapota szernt válogatja szét hullámfüggvény redukcó. A mérés eredmény ezért mndg az O operátor valamely sajátértéke lesz. Egy megfgyelhető fzka mennység operátorának sajátállapotában tszta állapot a mérés eredmény az operátor megfelelő sajátértéke O ϕ o ϕ O ϕ o 49 3 Ha a rendszer az O operátor sajátállapotanak szuperpozícója szuperponált állapot, ψ n c n ϕ n 5 ahol akkor annak valószínűsége, hogy a mérés o n értéket ad c n ϕ n ψ 5 w n c n ϕ n ψ ψ ϕ n. 5 Nylvánvaló, hogy a teljes mérés valószínűség w n c n ψ ϕ n ϕ n ψ ψ ψ. 53 n n n 4 Következmény: Az o megfgyelhető fzka mennység mérésének átlaga a ψ szuperponált állapotban: O ψ w n o n c n o n ψ ϕ n ϕ n ψ o n 54 n n n ψ o n ϕ n ϕ n ψ ψ O ψ 55 A kvantummechanka átlagérték megegyezk a mérés átlaggal. A mérés eredmény dőfüggése n O t ψ t O ψ t 56 d O dt ȯ t ψ t O ψ t + ψ t O ψ t 57 Hψ t O ψ t + ψ t O Hψ t 58 ψ t OHψ t ψ t HOψ t 59 ψ t OH HO ψ t ψ t [O, H] ψ t 6 7

18 Kvantummechanka dődervált d O dt do dt ψ t do dt Az O fzka mennység mozgásállandó, ha [O, H]. Ehrenfest tételek [O, H] 6 ψ t 6 H p m + V 63 dx dt [x, H] [ ] x, p m m [x, p ] p + p [x, p ] 64 m p p m dp dt [p, H] [p, V ] 4 Határozatlanság relácók Mérés eredmény szórása standard eltérés 65 [ ], V V F 66 O σ o O O n w n o n O 67 c n o n O ψ ϕ n o n O ϕ n ψ 68 n n ψ o n O ϕ n ϕ n ψ ψ O O ψ 69 n Megjegyzés: O ψ O ψ ψ O ψ 7 Sajátállapotban a szórás zérus, azaz a mérés determnsztkus: O ϕn o n 7 O ϕ n ϕ n O ϕ n o n 7 Szuperponált állapot szórása véges: O ψ > O ϕ n O ϕ n O ϕ n 73 8

19 Példa: ψ c ϕ + c ϕ 74 O ϕ o ϕ, O ϕ o ϕ, ϕ ϕ c, c, c + c O ψ O ψ c o + c o 75 o O c o o 76 o O c o o 77 O ψ c o O + c o O 78 c c 4 + c 4 c o o 79 c c o o 8 Vlágos, hogy O ψ csak abban az esetben zérus, ha o o, azaz ϕ és ϕ egy degenerált sajátértékhez tartozó sajátállapotok. Hesenberg-féle határozatlanság relácó: Legyen A és B két megfgyelhető fzka mennység operátora és C [A, B]. Ekkor a rendszer bármely állapotában: A B C 8 Megjegyzés: A tétel szernt, amennyben méréssorozatot végzünk ugyanazon ψ állapotban preparált állapot az A és B megfgyelhető mennységekre, akkor ezen mérések mndegyke nem végezhető el tetszőleges pontossággal, lletve csak abban az esetben, ha ψ [A, B] ψ. Mvel [p x, x] p x x, azaz egy részecske valamely helykoordnátája és ezen rányú mpulzusa semmlyen állapotban sem mérhető egyszerre tetszőleges pontossággal. Bzonyítás: f A A ψ, g B B ψ 8 A f f, B g g 83 A B f f g g f g ψ A B ψ 84 ψ A B B A + A B + B A ψ 85 ψ A B B A ψ + ψ A B + B A ψ 86 + ψ A B B A ψ ψ A B + B A ψ + ψ A B B A ψ ψ A B + B A ψ 9

20 Mvel A B + B A hermtkus és A B B A + A B B A ψ A B + B A ψ ψ A B + B A ψ 87 ψ A B B A ψ ψ A B B A ψ 88 az utolsó két tag kajt egymást. Továbbá ψ A B + B A ψ ezért Végezetül így ezzel a tételt bzonyítottuk. A B ψ A B B A ψ A B B A [A A, B B ] [A, B] C 9 A hely-mpulzus határozatlanság hullámcsomag esetén A helyoperátor sajátállapotában x. Ez az állapot mpulzus reprezentácóban ϕ p h Az mpulzus várhatóértéke ebben az állapotban vszont az mpulzus mérése p h p p h matt teljesen határozatlan. Konstruáljuk meg a állapotot hullámcsomagot úgy, hogy dx δ x x e px e px h. 9 dpe px pe px h dpe px p e px h ψ x h dp p 93 dp p 94 dpϕ p e px 95 Legyen p p dppϕ p p 96 dpp ϕ p σ. 97 ϕ p Ce p p /4σ 98

21 p C dppe p p /σ C p p C dte t dpe p p /σ + dp p p e p p /σ }{{} dpe p /σ p C σ dte t 99 dte t p p C σ π p C dy y e y Γ σ π 4 π p p dp p p σ π e p p /σ σ dt t e t π dt t e t dt t e t dy 3 ye y Γ π Γ 3 p p σ 4 Impulzus reprezentácóban a keresett hullámfüggvény tehát ϕ p e p p /4σ σ π 4 5 koordnáta reprezentácóban pedg: Felhasználva, hogy adódk, hogy ψ x σ π 4 h e p x σ π 4 h a 4σ, b x ψ x σ π σ π 4 h dpe p p /4σ e px 6 dpe p /4σ e px 7 π ds e as +bs a e b a 8 dpe p /4σ e px σ πe x σ 9 e x σ e p x σ π 4 e p x x σ. A valószínűségsűrűség ψ x σ e x σ π

22 A hely mérés értéke és szórása x t σ π xσ x 3 3 σ 3 4σ 3 3 σ 3 4σ π σ π dx x e x σ 4σ π Innen következk, hogy a hullámcsomagra dx x e x σ π dx x e x σ dt t e t 3 π 4 x σ σ 4 x p 5 azaz a hely és mpulzus mérés szórásának szorzata a Hesenberg-féle határozatlanság relácó alsó határán van.

23 5 Időfüggetlen Raylegh-Schrödnger perturbácószámítás Perturbált Hamlton operátor H H + λw 6 A perturbálatlan Hamlton operátor spektrál-felbontása H ε Ψ Ψ 7 A perturbált staconárus Schrödnger egyenlet Határfeltétel Ansatz a hullámfüggvényre H + λw Ψ ε Ψ,,... 8 lm λ Ψ λ 9 lm λ ε λ Ψ λ c λ Ψ + δψ λ lm c λ és lm δψ λ λ λ Szokásos választás Következmény c λ Ψ λ Ψ + δψ λ 3 δψ λ n c n λ Ψ n Ψ δψ 4 A perturbált megoldás sorfejtése λ hatványa szernt δψ λ k Ψ k Ψ Ψ k 5 k azaz a hullámfüggvény perturbatív korrekcó ortogonálsak a perturbálatlan állapotra, valamnt ε ε + k λ k ε k 6 A 9 egyenletet felhasználva Ψ H Ψ + λ Ψ W Ψ ε Ψ Ψ 7 3

24 majd a sorfejtéseket behelyettesítve ε + k k ε ε + λ Ψ W Ψ λ k ε k ε + λ k ε k ε + λ k+ Ψ W Ψ k k λ k Ψ W Ψ k k következk, hogy ε k Ψ W Ψ k k,,... 3 Specálsan, az elsőrendű energakorrekcó Ψ W Ψ ε 3 Elsőrendű degenerált perturbácószámítás H m µ H Ψ ε Ψ µ Ψ µ + ε j jε j ε Ψ j Ψ j 33 Ψ Ψ + λ Ψ 34 m Ψ c ν Ψ ν 35 ν H + λw Ψ + W Ψ ε Ψ µ W Ψ ε m ν m ν ε + λε Ψ Ψ 36 + ε Ψ Ψ µ Ψ Ψ µ W Ψ ν cν ε c µ 39 [ Ψ ] µ W Ψ ν ε δ µν c ν 4 W µν Ψ µ W Ψ ν 4 det W ε I 4 4

25 A hullámfüggvény korrekcónak számítása Q H + λw H Ψ k k λ k Ψ k k λ k ε k k λ k Ψ k 43 H Ψ ε Ψ 44 H Ψ + W Ψ ε Ψ + ε Ψ 45 k + W Ψ k H ε Ψ k l ε l Ψ k l k,, W Ψ k + ε n ε Ψ n Ψ n Ψ k n k l W Ψ k + Q Ψ n Ψ n ε n n ε ε n ε Ψ n Ψ n Ψ k n n ε l Ψ k l 47 k l Ψ n Ψ n Ψ k ε l Ψ k l Ψ k 5 Ψ k A hullámfüggvény elsőrendű korrekcója: Q W Ψ k + k l ε l Q Ψ k l 5 Ψ Q W Ψ n Ψ n Ψ n W Ψ ε n ε 5 Az energa másodrendű korrekcója: ε Ψ W Ψ 53 n Ψ W Ψ n Ψ n W Ψ ε n ε 54 5

26 5. Elsőrendű Stark-effektus A hdrogénatom elfajult nívónak felhasadása homogén elektromos tér jelenlétében. Példaként tekntsük a négyszeresen elfajult n nívóját. A nulladrendű hullámfüggvények: ψ r r e r a 3/ a Y ϑ, ϕ, 55 a ahol Y ϑ, ϕ ψ m r 3a 3/ r e a r a Y m Y ϑ, ϕ 3, Y ϑ, ϕ 4π 4π ϑ, ϕ, 56 cosϑ, π snϑe ϕ, Y ϑ, ϕ 8π snϑeϕ, 58 A perturbácó operátora z rányú elektromos tér esetén: V r q E 4π r eer cos ϑ 3 eery ϑ, ϕ 59 A perturbácó mátrxelemeben vzsgáljuk a térszög szernt ntegrálokat: π ψ V ψ 3 π π sn ϑdϑ π sn ϑdϑ cos ϑ dϕ Y ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ Y 3 π ϑ, ϕ 6 xdx 6 ψ V ψ m π 4π π π sn ϑdϑ sn ϑdϑ dϕ Y ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ Y m π ϑ, ϕ 6 dϕ Y ϑ, ϕ Y m ϑ, ϕ 4π δ m 63 a gömbharmonkusok ortonormáltsága matt. A maradék mátrxelemeben először a ϕ-szernt ntegrált vzsgálva: ψ m V ψ m π π így csak a ψ m V ψ m mátrxelemeket kell kszámítan: ψ V ψ ψ V ψ π π π sn ϑdϑ dϕ Y m ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ Y m ϑ, ϕ 64 dϕe m mϕ πδ mm 65 cos 3 ϑ sn ϑdϑ sn ϑ cos ϑ sn ϑdϑ 6 x 3 dx 66 x xdx 67

27 hszen mndkét esetben páratlan függvényt ntegráltunk a [, ] tatományon. Az egyetlen zérustól különböző mátrxelem tehát: ugyans V V, 4 3a ee 3 dr r r a a r 3 e 8 3 a ee dxx 4 x e x a ee 3 3a ee x n e αx dx n! α n+. 69 A szekulárs mátrx a hullámfüggvényeket,,, sorrendben írva: λ V λ V λ, 7 λ melynek sajátértéke {λ, V + λ, λ V }. Következésképpen az elsőrendű energakorrekcók: r a E, { V 3a ee V 3a ee, E E, 7 azaz a perturbácószámítás első rendjében az eredetleg négyszeresen elfajult nívó egy változatlan energájú kétszeresen elfajult nívóra és két szmmetrkusan elhelyezkedő, egyszeresen elfajult nívóra hasad fel. 7

28 6 Impulzusmomentum operátorok 6. Defnícók és felcserélés relácók A tömegpont mpulzusmomentumának perdületének defnícója a klasszkus mechankában: L r x p 7 vagy L ε jk x j p k, j, k x, y, z. 73 A kvantummechankában a fent defnícót megtartva, a megfelelő operátorokat helyettesítjük be. Az órán tárgyaltuk a perdületoperátor bevezetését a térbel forgatásokon keresztül. Vzsgáljuk meg az egyes komponensek felcserélés relácót: [L, L j ] ε kl ε jnm [x k p l, x n p m ]. Khasználva az operátor azonosságot, [AB, C] A [B, C] + [A, C] B [x k p l, x n p m ] x k [p l, x n p m ] + [x k, x n p m ] p l x k [p l, x n ] p m + x n [x k, p m ] p l δ nl x k p m δ mk x n p l [L, L j ] ε kl ε jnm δ nl x k p m δ mk x n p l ε kn ε jnm x k p m ε ml ε jnm x n p l ε lm ε jnm x n p l ε kn ε jmn x k p m [δ j δ nl δ n δ jl ] x n p l [δ j δ km δ m δ jk ] x k p m δ j x n p n x p j δ j x k p k + x j p x p j x j p. 74 A független felcserélés relácókat explct kírva: [L x, L y ] x p y y p x L z 75 [L y, L z ] z p y y p z L x 76 [L z, L x ] z p x x p z L y 77 A fent eredményeket másképpen s összefoglalhatjuk: [L, L j ] ε jk L k, 78 8

29 hszen Következésképpen ε jk L k ε jk ε klm x l p m x p j x j p. ε kj [L, L j ] ε kj ε jm L m δ mk δ δ m δ k L m 3 L k L k L k. 79 A fent relácót a 75 egyenletből kndulva egyszerűbben s megkaphatjuk, mvel Innen azonnal következk, hogy ε kj [L, L j ] ε kj x p j x j p L k. L x L L. 8 A 79 vagy 8 relácókat kelégítő vektoroperátorok ún. Lee-algebrát alkotnak. Következmény: Az L operátorok közös ψ sajátfüggvényere fennáll, hogy L ψ. Bzonyítás: Tételezzük fel pl., hogy ψ L x és L y közös sajátfüggvénye, Ekkor 76 egyenletből következk, hogy Vszont akkor 77 alapján L x ψ a ψ, L y ψ b ψ ψ L z ψ L x L y ψ L y L x ψ. L x ψ L y L z ψ L z L y ψ, és ugyanígy, 78 alapján L y ψ, tehát a b. Megjegyzés: függvények. Később látn fogjuk, hogy ezek a ψ r alakú, radáls gömbszmmetrkus Az L operátort az kfejezés defnálja. L L L L x + L y + L z 8 Állítás: Bzonyítás: Az L operátor kommutál L -vel x, y, z. [L, L ] [L k L k, L ] L k [L k, L ] + [L k, L ]L k ɛ kj L k L j + L j L k ɛ kj + ɛ jk L k L j. 8 Következmény: Az L és bármely L operátornak létezk közös sajátfüggvény rendszere. 9

30 6. Az L és L z operátorok sajátérték problémája a felcserélés relácók alapján Vezessük be az operátorokat, melyekre teljesülnek az alább felcserélés relácók: L ± L x ± L y 83 [L z, L ± ] [L z, L x ] ± [L z, L y ] L y ± L x L y ± L x ± L x ± L y ± L ±, 84 [L +, L ] [L x + L y, L x L y ] [L x, L y ] + [L y, L x ] L z, 85 és Ezenkívül nylvánvalóan fennáll, hogy [L, L ± ] [L, L x ] ± [L, L y ]. 86 L ± + L, 87 tehát az L ± operátorok nem hermtkusak. Fejezzük k az L operátort az L ± és L z operátorokkal: L + L L x + L y L x L y L x + L y + L y L x L x L y L x + L y + L }{{} z L L z + L z L z 88 L L + L x L y L x + L y L x + L y L y L x L x L y L x + L y L }{{} z L L z L z L z 89 L + L + L L + L x + L y L x + L y L +L + L L + 9 és L L +L + L L + + L z. 9 Jelöljük L és L z közös sajátfüggvényet Λ, µ -vel, valamnt L Λ, µ Λ Λ, µ, 9 L z Λ, µ µ Λ, µ, 93 Λ, µ Λ, µ δ ΛΛ δ µµ. 94 Megjegyzés: Mvel az L x és L y operátorok s felcserélhetők L -tel, vszont L z -vel nem, valamely rögzített Λ mellett, azok sajátfüggvényet k kell tudnunk kevern a Λ, µ függvényekből. Következésképpen L rögzített Λ-hoz tartozó sajátaltere az L z sajátértéke µ szernt elfajult. A korábban belátott tétel szernt, ez alól csak a zérus sajátértékhez, µ, tartozó altér lehet kvétel. 3

31 Mvel L poztív szemdefnt, Λ. Továbbá, Λ, µ L x + L y Λ, µ Λ, µ L L z Λ, µ Λ µ µ Λ. 95 Vzsgáljuk meg az L ± operátorok hatását a Λ, µ sajátfüggvényekre! A 85 csererelácó alapján: L z L ± Λ, µ [L z, L ± ] Λ, µ +L ± L z Λ, µ ± L ± Λ, µ + µ L ± Λ, µ µ ± L ± Λ, µ, 96 azaz L ± Λ, µ L z -nek sajátfüggvénye µ ± sajátértékkel. Ezért L + -t felfelé, L -t pedg lefelé léptető operátornak nevezzük. Mvel azonban L ± kommutál L -tel, L ± Λ, µ változatlan Λ sajátértékkel L operátor sajátfüggvénye: L ± Λ, µ Q ± Λ,µ Λ, µ ±, 97 ahol Q ± Λ,µ normálás faktorok, melyek között fennáll a következő összefüggés: Q + Λ,µ Λ, µ + L + Λ, µ Λ, µ L Λ, µ + Q Λ,µ+, 98 ll. Q ± Λ,µ -kat valósnak választva, Most határozzuk meg Q Λ,µ -t! Q Λ,µ Q + Λ,µ Q Λ,µ+. 99 L L + Λ, µ Q Λ,µ L Λ, µ + Q Λ,µ Λ, µ, 3 L + L Λ, µ Q Λ,µ L + Λ, µ Q Λ,µ Λ, µ. 3 Felhasználva a 89 és 9 azonosságokat: ll. Q Λ,µ Λ µ µ, 3 Q Λ,µ Λ µ + µ, 33 a következő egyenlőtlenségeknek kell teljesülnük: Λ µ µ + Λ µ µ +, 34 Λ µ µ és Q Λ,µ Λ µ µ Mvel az L + operátor egymásután hattatásával egyre növekvő µ sajátértékű állapotba jutunk, nylvánvalóan létezk olyan µ max >, hogy µ max Λ < µ max +. A 96 feltétel matt azonban lyen µ max + sajátérték nem létezhet, így szükségszerűen L + Λ, µ max, 36 ahol a Hlbert tér nulleleme. A 9 egyenletből rögtön következk, hogy Λ µ max µ max

32 Hasonló meggondolással létezk olyan µ mn <, hogy µ mn Λ < µ mn. Ekkor és a 89 egyenletet alkalmazva L Λ, µ mn, 38 Λ µ mn µ mn Λ µ mn µ mn +, 39 következk. A 38 és 3 feltételek összevetésével: és µ max µ max + µ mn µ mn + µ max µ mn µ max + µ mn + 3 µ max µ mn j, 3 Λ j j +. 3 A szokványos termnológa alapján a Λ, µ sajátállapotokat j, µ -vel jelöljük. Mvel a j, j állapotból a j, j állapotba L + -t hattatva egész számú lépésben jutunk el, j,,,... j,,, j, 3, 5,... Összefoglalva tehát, az L és L z mpulzusmomentum operátorok közös sajátfüggvényrendszere: L j, µ j j + j, µ L z j, µ µ j, µ, 34 L ± j, µ j j + µ µ ± j, µ ± ahol és j,,,... vagy j, 3, 5, µ j, j +,..., j, j. 36 3

33 6.3 L z sajátértéke és sajátfüggvénye Írjuk fel a perdület operátor z-komponensét: vagy gömb polárkoordnátákkal, Bzonyítás: Az L z operátor hermtctásának a ψ L z φ L z xp y yp x x y y x, 37 x r sn ϑ cos ϕ, y r sn ϑ sn ϕ, z r cos ϑ, π L z ϕ. 38 ϕ x ϕ x + y ϕ y + z ϕ z y x + x y. ψ ϕ ϕ φ ϕ [ψ ϕ φ ϕ] π + π ϕψ ϕ φ ϕ L z ψ φ + [ψ π φ π ψ φ ], 39 összefüggés alapján az a feltétele, hogy bármely ψ és Φ függvényre ψ π φ π. ψ φ így tetszőleges α R számhoz defnálható egy L α [, π] {ψ : ψ π e α ψ } függvényhalmaz, melyek mndegykén L z hermtkus. A hullámfüggvény egyértékűségére vonatkozó axóma matt a fzka állapotokat az L [, π] {ψ : ψ π ψ } halmazon keressük. L z sajátérték egyenlete, L z ψ ϕ ϕψ ϕ Kψ ϕ, 3 mely normált megoldása ψ ϕ π e Kϕ. 3 Az egyértékűség következtében ψ ϕ ψ ϕ + π K m K m m, ±, ±, Azt kaptuk tehát, hogy a perdület z rányú komponense kvantált: egész számszorosát vehet föl. Természetesen az x és y komponensekre s ezt mondhatjuk el, csupán a sajátfüggvények lesznek különbözőek. 33

34 6.4 A p és az L operátorok kapcsolata Az L operátor sajátérték problémájának megoldása előtt vzsgáljunk meg néhány alapvető összefüggést, mely a későbbekben, nevezetesen a centráls potencál Schrödnger egyenletének tárgyalásakor, s segítségünkre lesz. L L L ε jk ε lm x j p k x l p m δ jl δ km δ jm δ kl x j p k x l p m x j p k x j p k x j p k x k p j x j x j p k + δ kj p k x j p k p j x k δ kj r p + r p x j p j p k x k r p + r p x j p j x k p k 3 x j p j r p r p r p. 33 A klasszkus mechankában a fent kfejezés utolsó tagja nem jelenk meg: az kzárólag az x és p operátorok felcserélés tulajdonságanak következménye. Az 34 egyenlet átalakításához a következő cserelácókat kell felhasználnunk: [L, x k ] ε lm [x l p m, x k ] ε lm x l [p m, x k ] ε kl x l, 34 [L, p k ] ε lm [x l p m, p k ] ε lm [x l, p k ] p m ε km p m, 35 melyekből [ L, r ] [L, x k x k ] x k [L, x k ] + [L, x k ] x k ε kl x k x l r x r, 36 és teljesen hasonlóan [ L, p ], 37 következk. Felhasználva, hogy [ ] A, B B [A, B] B, adódk, hogy ] [L, r. 38 Ezért értelmes az 34 egyenletet az alább módon átalakítan, p [ ] r p + r r p + L. 39 r Defnáljuk a radáls mpulzus operátorát: melynek négyzete Segédtételek: p r [p k, f r] f r x k r [p k, f r x ] p r r r p + r r p + f r δ k + f r x kx r r r r p + [ p k, ] r 34 x k, 33 r r p r r r 3 [ p k, x ] r r δ k x kx. 333 r 3

35 A fent összefüggések felhasználásával r r p x k r p x k r p x kx r p kp + x k r r δ k x kx p r 3 x k x r p k + δ k p r r p r p }{{} r r r p, 334 p k x valamnt r r p r r r p + r, 335 adódk, amt behelyettesítve az 33 egyenletbe a p r [ ] r p + r r p 336 kfejezést nyerjük. A fent kfejezéshez eljuthatunk úgy s, ha khasználjuk a p r operátort gömb polárkoordnátás reprezentácóját, p r r + r r r r. 337 Ekkor ugyans p r r r r r r r r r [ r r + ] 338 r [r r r r + r r ]. 339 am valóban az 337 operátor polárkoordnáta reprezentácója.az 33 egyenlet alapján rögtön látjuk, hogy p p r + L, 34 r am a klasszkus összefüggés analogonja azzal a különbséggel, hogy a cserelácók következtében a radáls mpulzus kfejezésében megjelenk a tag. Mvel az L r operátor kommutál az L, p és r operátorokkal, látható, hogy [ ] L, p r. 34 A p operátor polárkoordnátás alakjából p [ r r r + r ϑ + cot ϑ ϑ + ] sn ϑ ϕ 34 most már könnyen le tudjuk választan az L operátor kfejezését, L ϑ + cot ϑ ϑ + sn ϑ ϕ. 343 Mvel az L operátor csak a polár és azmutáls szögkoordnáták szernt derválásokat ll. azok szöggfüggvényet tartalmazza, így természetes, hogy felcserélhető az r és a p r operátorokkal. 35

36 6.5 L sajátértéke és sajátfüggvénye Legyen Y ϑ, ϕ az L operátor sajátfüggvénye Λ sajátértékkel, ϑ + cot ϑ ϑ + sn ϑ ϕ Y ϑ, ϕ Λ Y ϑ, ϕ. 344 Egyszerű algebra átalakítások után a sn ϑ ϑ + cot ϑ ϑ + Λ Y ϑ, ϕ ϕy ϑ, ϕ, 345 egyenlethez jutunk,amből látjuk, hogy a dfferencálegyenlet megoldása szeparálható ϑ és ϕ szernt. Keressük tehát Y ϑ, ϕ-t szorzatfüggvény alakban, Behelyettesítés és tovább átalakítások után nyerjük Y ϑ, ϕ F ϑ G ϕ. 346 sn ϑ F ϑ F ϑ + cot ϑ F ϑ + Λ F ϑ G ϕ G ϕ. 347 Nylvánvaló, hogy az egyenlőséget csak úgy bztosíthatjuk, ha az egyenlet mndkét oldala ugyanazon konstanssal egyezk meg. Jelöljük ezt a konstanst α-val. Ekkor mely trváls normált megoldása G ϕ + αg ϕ, 348 G ϕ π e ± αϕ. 349 Az egyértékűség matt α m m, ±, ±,..., tehát az elvárásnak megfelelően Y ϑ, ϕ egyben L z sajátfüggvénye s, Y ϑ, ϕ π F ϑ e mϕ. 35 Az F függvényt meghatározó dfferencálegyenlet F ϑ + cot ϑ F ϑ + Λ m sn F ϑ ϑ. 35 Térjünk át az x cos ϑ változóra! Mvel ϑ [, π], ezen a tartományon cos ϑ szgorúan monoton függvény és x [, ]. Legyen F x F ϑ. Ekkor valamnt df ϑ dϑ d F ϑ dϑ d F x dx dx dϑ sn ϑd F x dx df ϑ cot ϑ dϑ x d F x dx d x d F x dx dx dx dϑ x d F x x d F x dx dx, 36

37 tehát vagy x d F x dx [ d ] x d dx dx x d F x dx + Λ m F x, 35 x F x + Λ m F x. 353 x A Sommerfeld polnom módszerben megsmert eljárás szernt keressük az aszmptotkus megoldást x esetben, [ d ] x d F x m dx dx x F x. 354 Próbálkozzunk az F a x x s függvényalakkal: d F a x s x x s x d F a x [ dx dx d ] x d F a x s x s + 4s x x s dx dx Vsszahelyettesítés után kapjuk: x s s x + 4s x x s x x s 4s x s. azaz a keresett aszmptotkus megoldás 4s m s m, 355 F a x x m /. 356 Ezek után a 354 egyenlet megoldását F x x m / P x alakban vesszük föl. Elvégezve a szükséges műveleteket: d F x x m / P x m x x m / P x dx [ d ] x d F x d [ x m /+ P x m x x ] m / P x dx dx dx x m / [ x P x m + xp x m xp x ] m P x + m x x P x x [ m / ] x P x m + xp x m m + P x + m x P x és behelyettesítve 354-ba a következő dfferencálegyenletet kapjuk P -re: x P x m + xp x + Λ m m + P x. 357, 37

38 P hatványsorát, P x c r x r r m + xp x [ m + rc r ] x r x P x r r + r + c r+ x r r r r r c r x r beírva a fent egyenletbe és az x r hatványtagok együtthatót vzsgálva kapjuk: r + r + c r+ r r + m + r + m m + Λ c r, 358 azaz c r+ r r + m + r + m m + Λ c r r + r + r + m r + m + Λ c r. 359 r + r + Látható, hogy a megoldások a harmonkus oszcllátoréhoz hasonlóan csak páros vagy csak páratlan x hatványokat tartalmaznak. Ez smételten azzal van összefüggésben, hogy L kommutál a partás operátorral: P : r r ϑ π ϑ cos ϑ cos π ϑ cos ϑ, így a páros megoldások partása, míg a páratlanoké -. Az együtthatók hányadosa r esetben c r+ /c r, tehát a megoldás közelíthető F x x m / Ax + Bx r x r x m / Ax + Bx r x m / r,,4, alakban, ahol az r fokszám, Ax véges polnom és a B konstans a közelítés pontosságához állítható. Látható, hogy a fent függvény, legalábbs m esetén, x ±-re dvergál. A megoldás függvények értelmezés tartományába vszont beletartoznak a ϑ és π értékek, így ezt a dvergencát k kell küszöbölnünk. Ezt úgy tudjuk elérn, hogy valamely r t küszöbndexre, melyre c t, bztosítjuk, hogy c t+, azaz Λ t + m t + m Nevezzük el a t + m értékét l-nek, mely tehát tetszőleges nemnegatív egész szám lehet: Ugyanakkor vszont egy rögzített l-re a lehetséges m értékek: Λ l l +, l,,, m l, l +,..., l, l

39 Az L és L z operátorok közös sajátfüggvény rendszere és sajátértéke tehát teljes összhangban vannak az általános reprezentácó független levezetés eredményevel azzal a ktétellel, hogy a j értéke tt csak egész számok lehetnek. A P x polnomokat, melyek értelemszerűen l m -ed fokúak asszocált Legendre polnomok nak nevezzük és P m l x-el jelöljük A sajátfüggvények az. ún. gömbharmonkusok Y m l ahol az A l m normálás együtthatók ϑ, ϕ A m l sn m ϑ P m l cos ϑ e mϕ, 364 A m l l l! l + 4π l m! l + m!. 365 Szokás különböző fázskonvencókat s bevezetn. Pl. az ún. Condon-Shortly konvencóban: Y m l ϑ, ϕ m Yl m ϑ, ϕ. 366 Az első néhány gömbharmonkus: Összefoglalás: l m Y m l ϑ, ϕ 4π 3 cos ϑ 4π 3 ± sn ϑ exp±ϕ 8π 5 3 6π cos ϑ 5 ± sn ϑ cos ϑ exp±ϕ 8π ± 5 3π sn ϑ exp±ϕ Ortonormáltság: L z Yl m ϑ, ϕ myl m ϑ, ϕ 367 L Yl m ϑ, ϕ ll + Yl m ϑ, ϕ 368 l m l, l,,, Y m l ϑ, ϕ Y m l ϑ, ϕdω δ ll δ mm 37 Teljesség: l l m l Yl m ϑ, ϕ Yl m ϑ, ϕ δ ϑ ϑ δ ϕ ϕ sn ϑ 37 < ϑ π, ϕ π, dω sn ϑdϑdϕ 39

40 6.5. Kétatomos molekulák rotácós spektruma vázlat H L Θ 37 E Al E A + l l Θ E Bl E B + Θ l l hν Bl Al E B E A + Θ l l + l l Kválasztás szabály l. dőfüggő perturbácószámítás l l ± hν Bl+ Al E B E A + l + l + l l + Θ E B E A + l +, l,,, Θ hν Bl Al E B E A + l l l l + Θ E B E A l, l,, 3, Θ Következmény: a null-vonal hánya, azaz a /Θ egyenközű spektrumban van egy /Θ mértékű vonalköz. Bohr-modell: E rot Θ l, l,, 3, hν Bl+ Al E B E A + l + l Θ E B E A + l +, l,,, Θ hν Bl Al E B E A + l l Θ E B E A l, l,, 3, Θ Tehát az egyenközű spektrumszerkezetben tt nem jelenne meg egy dupla méretű vonalköz! 4

41 7 A hdrogénatom spektruma 7. A radáls Schrödnger-egyenlet Centráls potencál esetén a V r V r, 38 [ ] p r m + L mr + V r ψ r Eψ r 38 dőfüggetlen Schrödnger egyenlet megoldását kereshetjük a ψ r P r Y m l ϑ, ϕ 383 alakban. Behelyettesítés után, 369 felhasználásával a P r függvényre a [ ] p r m + l l + + V r P r EP r 384 mr dfferencálegyenletet kapjuk. Használjuk az smert p r r r r 385 összefüggést és vezessük be az R r rp r 386 radáls hullámfüggvényt. Ekkor a 385 egyenletet átírhatjuk a ] [ d m dr + l l + + V r R r ER r 387 mr alakba, amt radáls Schrödnger egyenletnek hívunk. 7. A hdrogénatom kötött állapota Tekntsünk egy Z rendszámú atomot! Ekkor egy elektronra V r kze r 388 vonzó potencál hat. Mvel a potencál r -ben -hoz tart alúlról, a kötött állapotok negatív energájúak, E E. 389 A 388 egyenletet ezért a következőképpen alakíthatjuk át, ] [ d m dr + l l + Zke + E R r, 39 mr r 4

42 Bevezetve a változót, ahol és az [ d 8m E dr l l + + Zke 8m E r 4r E ] R r ε r ξ Zke ke Zr E r E r 8m E r m E, E r r 39 mr Zr mke Z r a, a 393 mke, 394 paramétereket, ahol a.59 m a Bohr sugár, a [ d R ξ + dξ 4 + ε ] l l + R ξ 395 ξ ξ dfferencálegyenlethez jutunk. A változócsere után a némképp pongyola, R ξ R r ξ jelölést használjuk. A fent egyenlet megoldásat könnyen megtaláljuk az értelmezés tartomány, ξ,, aszmptotkus pontjaban: ξ ξ d R ξ dξ 4 R ξ R ξ e ξ, 396 d R ξ l l + R ξ R ξ ξ l dξ ξ A 396 egyenlet megoldását, a Sommerfeld polnom módszer szellemében, keressük a alakban: dr ξ dξ d R ξ dξ R ξ e ξ u ξ 398 e [ ξ ] u ξ + u ξ [ ] e ξ 4 u ξ u ξ + u ξ, 399, 4 melyet behelyettesítve a 396 egyenletbe az [ ] ε u ξ u l l + ξ + u ξ 4 ξ ξ egyenlethez jutunk. A megoldást polnom alakban keressük. Ez nylvánvalóan nem tartalmazhat konstans tagot, mert akkor ξ lmeszben a 4 egyenlet első két tagja zérushoz tart, a harmadk tag pedg dvergál. Célszerű ezért a megoldást u ξ c ξ +s 4 4

43 alakban felvenn, ahol s-et ncáls ndexnek nevezk s. A szükséges derválásokat u ξ + s c ξ +s u ξ és behelyettesítést [ ] ε l l + u ξ εc ξ ξ ξ +s l l + c ξ +s + s c ξ +s, 43 + s + s c ξ +s, 44 elvégezve a következő egyenletrendszert nyerjük: εc ξ +s l l + c ξ +s 45 [s s l l + ] c ξ s + {[ + s + s l l + ] c [ + s ε] c } ξ +s, 46 mely tetszőleges ξ-re akkor teljesül, ha mndegyk hatványtag együtthatója eltünk. A legksebb ktevőjű hatványtag együtthatóját vzsgálva c, s s l l + s { l + l, 47 amből nylvánvalóan csak az s l + választás szolgáltat az orgóban regulárs megoldást. A több hatványtag együtthatójából a c + l ε + l + l + l l + c + l ε + l + c, 48,,... rekurzós összefüggés adódk. Mvel a c /c hányados nagy -re /-hez tart, nagy ξ-re u ξ e ζ, következésképpen R ξ e ξ, am nylvánvalóan dvergens ξ esetén. Regulárs megoldást tehát csak úgy kapunk, ha u ξ véges polnom, azaz létezk olyan max,,..., hogy c max, vszont c max. Ekkor Vezessük be az jelölést, amt főkvantumszámnak nevezünk. Nylvánvalóan, ε max + l. 49 n max + l 4 n,, 3,... és l,,..., n, 4 valamnt a sajátenerga, r na Z, 4 E n mr Z ma n m kze n kze a n

44 A hullámfüggvény: ψ nlm r r L nl r/r e r/r Y m l ϑ, ϕ, 44 ahol L nl az ún. Laguerre polnomokat jelöl. A fentekből következk, hogy az L nl polnom az l+-k hatvánnyal kezdődk és a legmagasabb hatványktevő max +l + max +l n. Ezért a polnom n l egymást követő hatványtagot tartalmaz, így zérushelyenek száma n l. Ezek a hullámfüggvény csomófelülete. Fontos tény, hogy a sajátenerga csak az n főkvantumszámtól függ, az l mellékkvantumszámtól és az m mágneses kvantumszámtól nem bár ez utóbbt nem s vártuk, mvel a radáls Schrödnger egyenletben az nem s szerepelt. Az energaszntek degeneráltsága könnyen kszámítható: n n n l + + n n. 45 l Megjegyezzük, hogy centráls, de nem /r alakú potencálra a sajátenergák már l-től s függnek. A hdrogénatom alapállapot energája E 3.6 ev, a gerjesztett állapotok energája E n E /n E E /4, E 3 E /9, stb.. Ez megnyugtatóan magyarázza a durva vonalas színképet, melyben egymástól elkülönülő sorozatokat fgyeltek meg. A legnagyobb frekvenca az alapállapot onzácós energájához tartozk: E 3.6 ev. Ettől lefelé egy sűrű vonalsorozat ndul, mely a gerjesztett állapotok és az alapállapot között átmenetnek felel meg, hν n E n E E 3.6 n ev n. 46 n Ezen sorozat, az ún. Lymann sorozat legalacsonyabb frekvencája, hν 3.6 3/4 ev. ev. A Balmer sorozat az első gerjesztett állapotra történő átmenetekkel értelmezhető: hν n E n E E n ev n n A legnagyobb és legksebb frekvenca ebben a sorozatban: hν 3.4 ev és hν 3.89 ev. A Paschen sorozatnál a másodk gerjesztett állapotra ugrk vssza az elektron: hν n3 E n E 3 E 9.5 9n ev n 4, 48 n a frekvenca tartomány, hν n3 [.66 ev,.5 ev. A hdrogénatom kötött állapot hullámfüggvénye ortonormáltak, d 3 r ψ nlm r ψ n l m r δ nn δ ll δ mm, 49 de nem alkotnak teljes rendszert. A Hamlton operátornak ugyans van folytonos spektruma E >, és a teljesség összefüggés ezek fgyelembevételével írható fel, nlm ψ nlm r ψ nlm r + lm de ψ lm E; r ψ lm E; r δ r r. 4 Érdemes megvzsgáln a hdrogénatom elektronjának megtalálás valószínűségét a sajátállapotokban. Ezt a ϱ nlm r ψ nlm r Pnl r Yl m ϑ, ϕ 4 44

45 függvény írja le, ahol a P nl r radáls hullámfüggvény függvény r l szernt ndul az orgóban. Ebből következk, hogy az l mellékkvantumszámú állapotokban s állapotok az elektron nem-zérus valószínűséggel tartózkodk a mag helyén, sőt, az alapállapotban n, l tt a legnagyobb az elektron tartózkodás valószínűsége. Ez azért nem jelent értelmezés problémát, mert az elektron tartózkodás valószínűségét valójában egy adott térfogatelemben értelmes teknten, ϱ nlm r d 3 r Pnl r r dr Yl m ϑ, ϕ d cos ϑ dϕ. 4 A Pnl r r Rnl r függvény vselkedése az orgó közelében rl+, am már tetszőleges l- re zérust ad r esetén. A mag környezetében felvett nfntezmáls térfogatelemben a megtalálás valószínűség tehát zérushoz tart. Célszerű megkérdezn, hogy az elektron mlyen valószínűséggel tartózkodk egy r, r + dr gömbhéjban. A gömbharmonkusok normáltsága matt: d cos ϑ dϕ ϱ nlm r r dr Rnl r dr W nl r dr 43 ahol W nl r Rnl r mennységet radáls megtalálás valószínűségnek nevezzük. Mnt már megállapítottuk, a radáls hullámfüggvény n l zérushellyel rendelkezk: ezen sugarú gömbfelületeken az elektron megtalálás valószínűsége zérus, ezért ezeket csomógömböknek hívjuk. Nylvánvaló, hogy az n, l n állapotok esetében nncsenek csomógömbök. Azt a gömbhéjat, ahol az elektron a legnagyobb valószínűséggel tartózkodk, a Bohr elmélet szernt pályasugárként r nl defnálhatjuk. A dw nl r dr összefüggés alapján, a maxmumok helyét a R nl r dr nl r dr dr nl r dr a feltétel szabja k a mnmumok a zérushelyek. Könnyű kszámoln az n, l n állapotok pályasugarát, ugyans ebben az esetben R nl r r n exp Zr na, amből következk. r n,n n a Z 46 Értelmezhetjük vszont a pályasugarat a radáls koordnáta kvantummechanka átlagán keresztül. Rekurzós összefüggések ügyes használatával kszámolható, hogy ennek értéke, r nl d 3 r ψnlm r r ψ nlm r dr r Rnl r dr r W nl r Specálsan, a Z 3n l l r n,n n n + a Z. 48 Látható tehát, hogy a kétfajta értelmezés nem ugyanazt az értéket eredményez a pályasugárra: a kvantummechanka átlagérték ksebb, mnt a maxmáls tartózkodás valószínűségű gömbhéj sugara. 45

46 8 Paul-egyenlet Spn-operátorok mátrxábrázolása: j S L C, C 49 S σ 43 Paul mátrxok σ x σ y σ x 43 [σ, σ j ] ε jk σ k [S, S j ] ε jk S k 43 A spn-operátorok hatása a spnortéren: χ C 433 χ, χ 434 c χ c χ + c χ 435 c S χ S χ S S S S S S S S S S S S S c S χ c S χ + c S χ + S c S c + S c S S c S S c Hullámfüggvények a tenzorszorzat Hlbert-téren ψ L R 3 C H 44 ψ ψ r r ψ r 44 Skalárszorzat ψ ϕ d 3 r ψ r ϕ r d 3 r ψ r ϕ r + d 3 r ψ r ϕ r 44 Operátorok kterjesztése: A L L R 3, L R

47 lletve szokásos mátrxalakban: A A valamnt A C L L R 3, L R A C ψ χ + ψ χ Aψ χ + Aψ χ 445 S L R 3 S ψ S ψ Aψ, 446 ψ Aψ L R 3 S L L R 3 C, L R 3 C ψ S S ψ S ψ + S ψ S ψ + S ψ. 447 Következmény: A C és L R 3 S operátorok felcserélhetőek A S S ψ AS A S S ψ + AS ψ ψ AS ψ + AS ψ S Aψ + S Aψ S S Aψ + S S Aψ Aψ S S Aψ S S A ψ S S A ψ Hamlton operátor H H C + L R 3 gµ B B S, 45 ahol a spn gromágneses faktora: g. 45 Mátrxalakban: H H + µ B B σ µ B B σ µ B B σ H + µ B B σ 453 Tömör írásmód a fentek tudatában!: H p m + V r + µ B B L + g S 454 Paul-egyenlet t ψ r, t t ψ r, t p + V r + µ B m µ B B σ p t ψ r, t Hψ r, t 455 B L + µb B σ µ B B σ + V r + µ B m B L + µb B σ ψ r, t ψ r, t

48 z rányú homogén mágneses tér esetén: t ψ r, t t ψ r, t p + V r + µ B BL m z + µ B B p + V r + µ B BL m z µ B B Valószínűségsűrűség ψ r, t ψ r, t 457 t ψ p r, t m + V r + µ B BL z + µ B B ψ r, t 458 t ψ p r, t m + V r + µ B BL z µ B B ψ r, t 459 ρ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t + ψ r, t 46 A spn dőfejlődése ahol ds dt [S, H] gµ B [S, S j ] B j 46 gµ B ε jkb j S k B M S 46 d S dt M S B 463 M S gµ B S 464 A pályamomentum dőfejlődése ahol dl dt [L, H] [L, V ] + µ B [ r ], V + µ B ε jkb j L k d L dt r [L, L j ] B j 465 [ r M V + L ] B 466 V + M L B 467 M L µ B L 468 Teljes mpulzusmomentum J L + S 469 d J dt r V + M B 47 M M L + M S 47 48

49 9 Időfüggő perturbácószámítás Hamlton operátor dőfüggő perturbácóval: A perturbálatlan Hamlton operátor sajátfüggvénye H t H + W t 47 A perturbált rendszer dőfüggő Schrödnger egyenlete H ϕ n ε n ϕ n 473 ϕ n t e εn t ϕ n 474 t ψ t H + W t ψ t 475 Határfeltétel lm ψ t ϕ 476 t Kfejtés a H sajátállapota szernt: ψ t n e εn t c n t ϕ n 477 és a határfeltétel c n δ n. 478 A kfejtést behelyettesítve az dőfüggő Schrödnger egyenletbe ε n c n t + ċ n t e εn t ϕ n ε n + W t c n t e εn t ϕ n 479 n n ċ n t e εn t ϕ n c n t e εn t W t ϕ n 48 n n majd khasználva a perturbálatlan staconárus sajátfüggvények ortonormáltságát ċ k t e ε k t n W kn t c n t e εn t 48 lletve ċ k t n W kn t c n t e ω kn t 48 ahol és W kn t ϕ k W t ϕ n 483 ω kn ε k ε n

50 A dfferencálegyenletet kntegrálva c k t c k Megoldás szukcesszív approxmácóval c r+ k Nulladk közelítés: t c r k n t n t W kn τ c n τ e ω kn τ dτ 485 W kn τ c r n τ e ω kn τ dτ r,,, c k t c k δ k ψ t ϕ t e ε t ϕ 487 Elsőrendű megoldás c k t δ k t W k τ e ω k τ dτ 488 Átmenet valószínűség k P k t ϕ k ψ t c k t t W k τ e ω k τ dτ 489 Időben perodkusan változó potencál, pl. elektromos tér W r, t e E r cos ωt W r e ω t + e ω t 49 W r e E r 49 W k t W k e ω t + e ω t 49 W k ϕ k W ϕ e E ϕ k r ϕ e E r k 493 t t W k τ e ω k τ dτ W k e [ω k +ω]τ + e [ω k ω]τ dτ 494 e [ω k +ω]t W k ω k + ω + e[ωk ω]t 495 ω k ω W k e [ω k+ω]t/ sn [ω k + ω t/] + e [ω k ω]t/ sn [ω k ω t/] 496 ω k + ω / ω k ω / P k t W k e[ω k+ω]t/ sn [ω k + ω t/] ω k + ω / + e [ω k ω]t/ sn [ω k ω t/] ω k ω / 497 5

51 Ha t /ω, P k t két éles maxmumot mutat ω k ω értékeknél: P k t W k sn [ω k + ω t/] [ω k + ω /] + sn [ω k ω t/] [ω k ω /] 498 A maxmumok és a legközelebb csúcsok távolsága: ω k ω + ω k ω k t 3π E k t 3π 499 azaz a knduló és végállapot energakülönbségének bzonytalansága, E k E k E ± ω, és a perturbácó dőtartama mérés dő között a Hesenberg-féle határozatlanság relácónak megfelelő kapcsolat áll fönn. M a helyzet t közelítésben? sn αt dα α t yαt P k t W k sn [ω k + ω t/] [ω k + ω /] t W k π [ δ sn y sn αt dy π lm y t πα t [ε k ε + ω] + sn [ω k ω t/] [ω k ω /] t + δ [ε k ε ω] δ α 5 t 5 ] t 5 π W k [δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω] t 53 Ferm-féle aranyszabály ahol az dőegységre jutó átmenet valószínűség ε k ε + ω abszorpcó 54 ε k ε ω ndukált emsszó 55 P k t w k t 56 w k π W k δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω 57 A t dőpllanatban bekapcsolt konstans perturbácó esetén, W r, t W r Θ t, a fent levezetés leegyszerűsödk: W k t e ω k τ dτ W k e ω kt ω k W k e ω kt/ sn [ω k t/] ω k / 58 P k t W k sn [ω k t/] [ω k /] 59 5

52 w k π W k δ ε k ε 5 azaz elsőrendben csak azonos energájú állapotok között történk átmenet. Annak valószínűségét, hogy a rendszer az -k állapotból valamely másk állapotba jut, a végállapotokra való öszegzéssel kapjuk meg: P t k P k t w t, 5 ahol w az -k állapot teljes átmenet rátája: w w k. 5 k Sűrű folytonos spektrum, pl. szórás állapotok vagy szlárdtestek sávja esetén az -k állapot teljes átmenet rátája: w w k δ ε ε k w k dε 53 k k Azzal a közelítéssel élve, hogy w k helyettesíthető az ε k energájú állapotokon vett átlaggal: π W ε k δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω w k w ε k 54 π W δ ε k ε w w ε δ ε ε k dε w ε D ε dε 55 k ahol bevezettük a folytonos spektrum állapotsűrűségét: D ε k δ ε ε k 56 Összefoglalva: w π W ε ω D ε ω + W ε + ω D ε + ω π W D ε 57 Dpólátmenetek kválasztás szabálya H-atomra x r sn ϑ cos ϕ r sn ϑ e ϕ + e ϕ 58 y r sn ϑ sn ϕ r sn ϑ e ϕ e ϕ 59 z r cos ϑ 5 5

53 ϕ nlm r L nl r/r e r/r A m l P lm cos ϑ e mϕ 5 ahol L nl x az asszocált Laguerre-polnomokat, P lm x sn m ϑ P m l cos ϑ pedg az asszocált Legendre függvényeket jelöl. n l m x nlm L n l r/r L nl r/r rdr 5 a fent ntegrálok zérustól különbözőek a főkvantumszámra nncs kválasztás szabály n l m x nlm n l m y nlm n l m z nlm π π π [ ] e m m +ϕ + e m m ϕ dϕ π δ m,m + δ m,m + m m ± 53 [ ] e m m +ϕ e m m ϕ dϕ π δ m,m + δ m,m + m m ± 54 e m m ϕ dϕ π δ m m m m 55 Ezek a mágneses kvantumszámra vonatkozó kválasztás szabályok. Vzsgáljuk meg z rányú elektromos tér esetén a ϑ változó szernt ntegrált: n l m z nlm Fennáll a következő rekurzós összefüggés: P l m cos ϑ P lm cos ϑ cos ϑ d cos ϑ 56 P l m x P lm x xdx 57 xp lm x l m + l + P l+,m x + l + m l + P l,m x 58 ezért m m matt az P l m x P l±,m x dx δ l,l 59 ntegrálok fordulnak elő, így leolvasható az l l ± kválasztás szabály. Ugyanez áll fenn az x és y mátrxelemere s. 53

54 Azonos részecskékből álló rendszerek. Azonos részecskék rendszerének hullámfüggvénye Egyrészecske hullámfüggvény spn-koordnáta reprezentácóban ψ L R 3 C s+ ψ m s r χ s,m s ψ r, m s ψ 53 N azonos részecske hullámfüggvénye: ψ N H N H H... H H }{{} N szeres tenzorszorzat tér ψ N,,..., N 53 Két részecske felcserélése: P, j ψ N...,,..., j,... ψ N..., j,...,, P, j I 533 P, j ψ kψ k ± 534 Azonosság elve A megtalálás valószínűség nvaráns két azonos részecske felcserélésére: ψ N ψ N P, j ψ N P, j ψ N 535 ll. bármely mérés eredmény s az: ψ N A ψ N P, j ψ N A P, j ψ N 536 ahol A tetszőleges hermtkus többrészecske operátor. Legyen A φ φ, ahol φ H N. Ekkor ψ N φ φ ψ N P, j ψ N φ φ P, j ψ N, 537 amt írhatunk így s: φ ψ N ψ N φ φ P, j ψ N P, j ψ N φ. 538 Annak, hogy a fent egyenlőség teszőleges φ-re teljesüljön, elégséges feltétel: amből következk, hogy ψ N ψ N P, j ψ N P, j ψ N 539 azaz ψ N sajátfüggvénye a P, j felcserélés operátornak: ψ N P, j ψ N ψ N P, j ψ N 54 ψ N ψ N P, j ψ N k ψ N 54 54