Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Átírás

1 Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka Tanszék 2 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszertechnológa és Környezetgazdálkodás Tanszék web: e-mal: rajko@szef.u-szeged.hu Összefoglalás Szárítás során kalakuló hővezetés számolására alkalmas programot fejlesztettünk Fourer 2. törvényét megfogalmazó dfferencálegyenlet megoldásaként. Alaposan tanulmányoztuk a végtelen soros megoldások összefüggéset algortmus fejlesztés szempontjából. Tanulmányunkban a felmerült számítástechnka problémákat és azok elkerülését célzó megoldásokat smertetjük, valamnt bemutatjuk az elkészült programot, amely Excel VBA makrónyelven készült. Bevezetés Szárítás során kalakuló hővezetés számolására alkalmas programot fejlesztettünk Fourer 2. törvényét megfogalmazó dfferencálegyenlet megoldásaként: dt λ 2 = t. (1) dτ c ρ p Véges belső és külső hőellenállást tételeztünk fel, azaz mnd a test hővezetés együtthatója (λ), mnd a felület konvektív hőátadás tényező (α) értéke véges. Peremfeltételként a következő egyenlettel leírható egyenlőséget választottuk: f ( t t ) t λ = ± α k f, (2) x azaz a felületen hővezetéssel a testből klépő (belépő) hőáramsűrűség megegyezk a határrétegben tapasztalt hőáramsűrűséggel. A legegyszerűbb megoldás érdekében a közeghőmérsékletet (t k ) állandónak vettük. A három egyetlen mérettel jellemezhető testre (végtelen síklap, végtelen henger és tömör gömb) vonatkozó végtelen soros megoldások (VSM) egyenletet az rodalomból vettük (WONG 1983). Végtelen síklap esetén: 148

2 Végtelen henger esetén: Tömör gömb esetén: t t 4sn( ) 2 k β Y = = β t t k β Fo e cos( = 1 2β + sn(2β ) ( β ) = B l l ) (3) β tg (4) J1( β ) 2 ( β ) + J ( β ) t t 2 2 k Y = = β t tk β Fo e J 2 = 1 β J 1 ( β ) ( β ) l l (5) J β = B (6) J 1 Y = t tk = t t = k 1 [ sn( β ) β cos( β )] 4 2 β Fo 2β sn(2β ) e sn β l β l l l (7) ( ) = B β cot β 1 (8) Az alkalmazások során e három analtkus megoldás szuperpozícóját alkalmazzuk. Ez akkor megengedett, ha a peremfeltételek és a folyamatot leíró dfferencálegyenlet a hőmérséklet szempontjából lneársak, valamnt a termkus anyagállandók (λ, ρ, c p ) a hőmérséklettől függetlenek. A gyakorlat alkalmazhatóság matt a fent egyenletek alapján dagramokat készítettek, görbeseregként ábrázolva a megoldást (1. ábra). Y m=2 m=1 m= n= n=,5 n=1 n=1 n=,5 n= n=1 n=,5 n= Fo 1. ábra Y Fo dagramokon található görbesereg vázlatos rajza 149

3 Az 1. ábrán használt jelölések: t tk 1 l Y = = f Fo f to t,, k B l = 1 l a m = n = Fo = 2 B l l ( Fo, m, n) αl B = λ τ A dagramok előnye, hogy bárhol, bármkor, gyorsan és könnyen használhatók. Hátrányuk, hogy csak kevés görbesereg ábrázolható, mvel a vonalak egymásra kerülése meghúsítja felsmerésüket. Y = 1 és Fo = környezetében szntén nagy a vonalak átfedése, így ebben a tartományban a dagram nem használható. Nem használható nagy Fo értékek esetén sem. A dagramról leolvasott értékek csak 1-2%-os pontosságot bztosítanak, így gényesebb műszak feladatok megoldására nem alkalmasak. Ezért döntöttünk úgy, hogy könnyen kezelhető, felhasználóbarát programot fejlesztünk. Választásunk az Excel táblázatkezelőre esett, mvel annak bevtel felülete adott, ll. VBA makrójában tudományos gényességű feladatok s beprogramozhatók (RAJKÓ 2). test (9) Számítástechnka nehézségek és megoldásuk A (3), (5) és (7) egyenletek programozása nem jelentene problémát, ha smernénk a (4), (6) és (8) egyenletek alapján nyerhető β ι gyököket. A végtelen síklap esetében a (4) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Két függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e két függvény zérus helyet kell meghatároznunk: β tg ( β ) = B fvslap1= tg ( β ) fvslap2 = β tg B β ( β ) B (1) 15

4 fvslap1 fvslap β ábra A végtelen síklap esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált két függvénykapcsolat (fvslap1 és fvslap2) grafkonja A 2. ábrán a két függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvslap1 meredekebb lefutású, mnt a fvslap2 az első néhány (tehát a fontosabb) gyök közelében, bár a függvények meredeksége függ a B szám értékétől. Az 1-7. táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához. A gyökök megkereséséhez a Newton terácós formulát alkalmaztuk (VALKÓ és VAJDA 1987), amelyhez a függvény derváltját s fel kell használnunk: ( xm ) ( x ) f xm + 1 = xm x adott, m =,1,2,K (11) f m A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y s értéket. 151

5 1. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,77556E-17, ,93889E , ,81639E-17 3, ,17961E , ,26635E-16 6, ,97973E , ,5128E-16 9, ,25354E , ,72459E-17 12, ,21645E , ,19477E-16 15, ,1335E , ,46184E-16 18, ,21847E , ,1949E-16 21, ,84175E , ,58254E-16 25, ,158E , ,4666E-15 28, ,1453E , ,42642E-16 31, ,64719E , ,83481E-16 34, ,362E , ,9882E-16 37, ,87766E , ,37621E-15 4, ,37897E , ,8483E-15 43, ,24949E , ,78662E-15 47, ,31319E , ,9721E-15 5, ,5153E , ,98145E-15 53, ,59234E , ,77256E-15 56, ,239E , ,41341E-17 59, ,2376E , ,33248E-15 62, ,37247E , ,43139E-15 65, ,26381E , ,11745E-16 69, ,46341E , ,78968E-15 72, ,4691E , ,42264E-15 75, ,886E , ,27754E-15 78, ,57419E , ,75856E-15 81, ,88682E , ,77411E-15 84, ,2133E , ,8537E-15 87, ,46775E , ,43799E-15 91, ,86552E

6 2. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,E+, ,E+ 2 3, ,2245E-16 3, ,77156E , ,46945E-16 6, ,2245E , ,38378E-16 9, ,572E , ,8124E-16 12, ,1122E , ,6539E-16 15, ,99361E , ,8986E-16 18, ,1122E , ,3451E-15 22, ,87548E , ,42462E-16 25, ,8773E , ,43635E-15 28, ,6342E , ,8594E-15 31, ,41949E , ,65666E-15 34, ,72875E , ,16226E-16 37, ,38538E , ,7831E-16 4, ,56382E , ,89952E-15 43, ,35443E , ,21177E-15 47, ,425E , ,89913E-16 5, ,4742E , ,21871E-15 53, ,18572E , ,32546E-15 56, ,8872E , ,96464E-15 59, ,7697E , ,534E-15 62, ,261E , ,613E-15 65, ,421E , ,89986E-15 69, ,76952E , ,71831E-15 72, ,96398E , ,85376E-15 75, ,65985E , ,32647E-15 78, ,18332E , ,2136E-15 81, ,79856E , ,4464E-15 84, ,12757E , ,2216E-15 87, ,584E , ,6822E-15 91, ,35343E , ,1616E-15 94, ,92242E , ,59195E-16 97, ,4179E , ,16834E-15 1, ,17517E , ,4132E-15 13, ,61218E , ,8675E-15 16, ,6311E , ,57967E-15 19, ,3597E , ,73153E , ,48259E , ,89719E , ,8557E , ,37577E , ,311E , ,6969E , ,2455E

7 3. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1,8633 4,E+, ,1122E , ,66533E-16 3, ,66134E , ,3367E-16 6, ,2245E , ,27356E-16 9, ,173E , ,55112E-17 12, ,66134E , ,57967E-16 15, ,1543E , ,3739E-15 18, ,58682E , ,7431E-16 22, ,93179E , ,5128E-16 25, ,14353E , ,4912E-16 28, ,27596E , ,23273E-16 31, ,33227E , ,8115E-15 34, ,26166E , ,3715E-16 37, ,64313E , ,9624E-15 4, ,1581E ,52 5 2,2385E-15 44,52 5 9,81437E , ,16334E-16 47, ,9659E , ,92554E-15 5, ,68114E , ,87617E-15 53, ,53544E , ,34455E-15 56, ,89182E , ,3657E-15 59, ,2168E , ,4529E-15 62, ,5421E , ,88752E-15 65, ,56684E , ,374E-15 69, ,76779E ,2747 5,E+ 72,2747 5,E , ,1721E-15 75, ,14637E , ,6459E-15 78, ,76397E , ,64559E-15 81, ,79585E , ,3791E-16 84, ,6654E , ,71338E-15 87, ,9639E , ,98293E-15 91, ,62932E , ,82253E-16 94, ,55191E , ,95184E-15 97, ,79758E , ,7923E-15 1, ,79967E , ,46758E-15 13, ,5211E , ,45317E-15 16, ,89448E , ,11116E-15 19, ,32148E , ,33747E , ,51212E , ,19296E , ,19869E , ,9219E , ,46612E , ,49387E , ,73128E

8 4. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,33227E-15 1, ,77636E , ,2245E-16 4, ,88178E , ,1122E-16 6, ,88178E , ,88178E-16 9, ,88178E , ,4369E-16 12, ,24345E , ,5391E-15 16, ,1862E , ,6982E-15 19, ,1981E , ,8247E-15 22, ,3988E , ,15934E-16 25, ,3988E , ,2696E-15 28, ,84217E , ,77636E-15 31, ,68434E , ,55431E-15 34, ,41789E , ,88578E-16 37, ,599E , ,16334E-17 4, ,77636E , ,96985E-15 44, ,3562E , ,2536E-15 47, ,42997E , ,1241E-15 5, ,59552E , ,31839E-15 53, ,1661E , ,1148E-15 56, ,753E , ,53964E-15 59, ,51879E , ,31759E-15 62, ,45661E ,49 5 5,55112E-16 66,49 5 3,7335E , ,3211E-16 69, ,1981E , ,77476E-15 72, ,73559E , ,17562E-15 75, ,66294E , ,21725E-15 78, ,88498E , ,5851E-15 81, ,38236E , ,92661E-15 84, ,18332E , ,67362E-16 88, ,63833E , ,1274E-15 91, ,58664E , ,25594E-15 94, ,1916E , ,4523E-15 97, ,4122E , ,34989E-15 1, ,37348E , ,8251E-15 13, ,94351E , ,64212E-15 16, ,96492E , ,17641E-15 11, ,69322E , ,21725E , ,3437E , ,49186E , ,73195E , ,11476E , ,91163E , ,72619E , ,56524E

9 5. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,21725E-15 1, ,88178E , ,77636E-15 4, ,1543E , ,4489E-16 7, ,77636E , ,66533E-15 1, ,77636E , ,22125E-15 13, ,59872E , ,9921E-16 16, ,59872E , ,2245E-15 19, ,26326E , ,27676E-15 22, ,84217E , ,4988E-15 25, ,9799E , ,44329E-15 28, ,8562E , ,83187E-15 31, ,86198E , ,5311E-15 34, ,6581E , ,77636E-15 37, ,7516E , ,77556E-17 41, ,77636E , ,9976E-15 44, ,33227E , ,44249E-15 47, ,15463E , ,498E-16 5, ,24345E , ,9921E-16 53, ,3297E , ,22125E-15 56, ,92779E , ,9984E-15 59, ,1916E , ,19269E-15 62, ,38556E , ,88338E-15 66, ,54747E , ,77236E-15 69, ,68958E , ,21725E-15 72, ,49418E , ,66214E-15 75, ,26326E , ,2536E-15 78, ,3832E , ,4988E-15 81, ,22569E , ,8317E-15 84, ,3988E , ,71445E-17 88, ,88178E , ,17961E-15 91, ,6581E , ,84575E-15 94, ,7483E , ,22125E-15 97, ,1916E , ,6699E-15 1, ,986E , ,8583E-15 13, ,1457E , ,38778E-17 16, ,77636E , ,27436E-15 11, ,68958E , ,16414E , ,5748E , ,32827E , ,35412E , ,173E , ,1167E , ,3291E , ,59E

10 6. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,52651E-14 1, ,353E , ,3297E-14 4, ,41585E , ,77636E-15 7, ,4219E , ,66454E-15 1, ,84217E , ,9968E-15 13, ,68434E , ,21725E-15 16, ,6581E , ,88178E-15 2, ,77636E , ,4489E-15 23, ,6581E , ,66294E-15 26, ,2792E , ,66454E-15 29, ,81597E , ,9921E-15 32, ,2685E , ,55431E-15 35, ,68434E , ,43769E-15 38, ,2685E , ,44249E-15 41, ,6581E , ,66454E-15 44, ,13687E , ,44249E-15 47, ,2792E , ,55112E-16 51, ,84217E , ,43929E-15 54, ,48166E , ,9968E-15 57, ,27374E , ,2185E-15 6, ,19744E , ,22125E-15 63, ,81597E , ,4361E-14 66, ,96332E , ,1122E-15 69, ,1543E , ,54872E-15 72, ,25278E , ,2141E-14 75, ,74492E , ,43849E-15 79, ,8975E , ,77316E-15 82, ,7664E , ,43929E-15 85, ,54223E , ,77476E-15 88, ,33955E , ,77636E-15 91, ,56319E , ,21965E-15 94, ,5533E , ,66533E-15 97, ,63425E , ,77636E-15 1, ,77636E , ,44249E-15 14, ,55795E , ,77156E-15 17, ,3844E , ,21725E-15 11, ,89226E , ,44329E , ,63425E , ,27516E , ,83693E , ,88658E , ,48166E , ,88338E , ,45546E

11 7. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,41585E-13 1, ,69482E , ,49214E-13 4, ,96332E , ,2836E-14 7, ,68434E , ,77636E-15 1, ,4219E , ,3926E-14 13, ,2685E , ,68754E-14 17, ,84217E , ,86517E-14 2, ,69482E , ,13163E-14 23, ,83169E , ,9984E-14 26, ,2582E , ,33227E-14 29, ,9794E , ,2141E-14 32, ,2685E , ,4219E-14 35, ,9738E , ,73195E-14 38, ,6791E , ,2245E-15 42, ,52651E , ,8277E-14 45, ,2423E , ,46549E-14 48, ,1543E , ,55112E-15 51, ,84217E , ,77636E-15 54, ,9476E , ,65974E-15 57, ,9738E , ,32587E-15 6, ,68434E , ,55271E-15 63, ,27374E , ,2245E-16 66, ,4219E , ,55271E-15 7, ,41585E , ,39888E-14 73, ,2318E , ,882E-14 76, ,3844E , ,21725E-15 79, ,9738E , ,1122E-14 82, ,2376E , ,21725E-15 85, ,2582E , ,599E-14 88, ,33582E , ,3367E-15 91, ,98428E , ,1122E-14 95, ,516E , ,65974E-15 98, ,52651E , ,4361E-14 11, ,516E , ,44329E-15 14, ,56319E , ,16573E-14 17, ,26477E , ,54872E-15 11, ,37916E , ,1463E , ,2376E , ,55191E , ,412E , ,6654E-15 12, ,2376E , ,76996E , ,2792E

12 A végtelen henger esetében a (6) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Három függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e három függvény zérus helyet kell meghatároznunk: J β = B J fvheng1 = β B fvheng2 = 1 β fvheng3 = β J ( β ) ( β ) J ( β ) B J1( β ) J ( β ) J1( β ) ( β ) B J ( β ) J (.) és J 1 (.) az elsőfajú nulladrendű és másodrendű Bessel-függvények (ABRAMOWITZ and STEGUN 1972) (3. ábra). 1 1 (12) J(x) J1(x) x 3. ábra J (.) és J 1 (.) elsőfajú nulladrendű és elsőrendű Bessel-függvények grafkonja 159

13 A 4. ábrán a három függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvheng1 meredekebb lefutású, mnt a másk kettő, bár a függvények meredeksége most s függ a B szám értékétől. A táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához.. A gyökök megkereséséhez most s Newton terácós formuláját használtuk. A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y h értéket fvheng1 fvheng2 fvheng β 4. ábra A végtelen henger esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált három függvénykapcsolat (fvheng1, fvheng2 és fvheng3) grafkonja 16

14 8. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,55112E-17, ,1122E-16 3, ,138E-2 2 3, ,6422E-14 3, ,54952E-15 3, ,49186E , ,86535E-12 7, ,5449E-13 7, ,61343E , ,16174E-12 1, ,14131E-13 1, ,42594E , ,43769E-13 13, ,3548E-14 13, ,92155E , ,49214E-12 16, ,5942E-14 16, ,89913E , ,17986E-12 19, ,6411E-13 19, ,37657E , ,17382E-11 22, ,1581E-13 22, ,3179E , ,523E-11 25, ,72999E-13 25, ,8359E , ,4694E-11 29, ,64E-13 29, ,7444E , ,99512E-11 32, ,55165E-12 32, ,988E , ,8829E-11 35, ,6335E-11 35, ,96558E , ,1888E-1 38, ,84617E-12 38, ,4579E , ,3544E-11 41, ,9392E-13 41, ,911E , ,73777E-1 44, ,8459E-12 44, ,27122E , ,3847E-1 47, ,37332E-11 47, ,66525E , ,22784E-1 51, ,1432E-11 51, ,43694E , ,77211E-1 54, ,11591E-12 54, ,77244E , ,9454E-1 57, ,3223E-12 57, ,7493E , ,69477E-1 6, ,76357E-12 6, ,98284E , ,15996E-11 63, ,11129E-13 63, ,5752E , ,87898E-1 66, ,23E-11 66, ,1587E , ,52E-11 69, ,44151E-13 69, ,736E , ,1334E-11 73, ,39773E-13 73, ,91961E , ,88E-1 76, ,364E-12 76, ,847E , ,1333E-1 79, ,3989E-12 79, ,2326E , ,9228E-1 82, ,18237E-12 82, ,15529E , ,96259E-1 85, ,96532E-12 85, ,324E , ,1946E-1 88, ,46825E-12 88, ,4526E , ,44745E-1 91, ,55233E-1 91, ,46721E , ,18125E-9 95, ,15883E-11 95, ,869E , ,77298E-11 98, ,84359E-13 98, ,54737E , ,5436E-1 11, ,5155E-12 11, ,95124E , ,6283E-1 14, ,23586E-12 14, ,21475E , ,36243E-1 17, ,12528E-12 17, ,219E , ,5891E-1 11, ,5868E-12 11, ,25525E , ,2428E-1 113, ,1687E , ,3588E , ,35935E-9 117, ,16163E , ,2839E , ,16833E-1 12, ,46889E-12 12, ,2624E , ,43E-9 123, ,65687E , ,95253E

15 9. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,E+, ,E+ 3, ,2759E-2 2 3, ,56763E-13 3, ,21485E-15 3, ,8124E , ,33227E-13 7, ,353E-13 7, ,4193E , ,27374E-13 1, ,24265E-14 1, ,58581E , ,53122E-12 13, ,14797E-13 13, ,5841E , ,29337E-12 16, ,62E-13 16, ,92741E , ,2556E-12 19, ,37268E-14 19, ,14839E , ,95941E-12 22, ,29785E-13 22, ,17187E , ,6791E-11 25, ,3428E-12 25, ,7833E , ,42144E-12 29, ,86517E-13 29, ,76168E , ,48539E-12 32, ,7419E-13 32, ,39565E , ,16714E-1 35, ,318E-12 35, ,4339E , ,2615E-11 38, ,35181E-12 38, ,73889E , ,2757E-1 41, ,6355E-12 41, ,78864E , ,7657E-11 44, ,18181E-12 44, ,6174E , ,9337E-11 47, ,56937E-11 47, ,982E , ,84997E-1 51, ,6332E-12 51, ,4711E , ,76561E-11 54, ,79519E-13 54, ,53231E , ,9433E-11 57, ,634E-12 57, ,1211E , ,89777E-11 6, ,9797E-13 6, ,31973E , ,7681E-12 63, ,37779E-13 63, ,37911E , ,73683E-11 66, ,77145E-11 66, ,27814E , ,56765E-1 69, ,53499E-12 69, ,24324E , ,86432E-1 73, ,55229E-12 73, ,38299E , ,5632E-11 76, ,92761E-13 76, ,7434E , ,45961E-1 79, ,185E-12 79, ,77781E , ,42636E-1 82, ,9422E-12 82, ,5858E , ,95174E-1 85, ,4482E-12 85, ,97349E , ,48495E-11 88, ,5374E-13 88, ,27956E , ,36994E-1 91, ,45526E-1 91, ,14672E , ,3375E-1 95, ,71825E-11 95, ,45796E , ,7676E-1 98, ,77587E-12 98, ,445E , ,6391E-1 11, ,83982E-12 11, ,4568E , ,11E-1 14, ,58122E-13 14, ,4899E , ,43789E-1 17, ,19522E-12 17, ,45767E , ,34374E-1 11, ,6317E-12 11, ,281E , ,31552E-1 113, ,3315E , ,5222E , ,7822E-1 117, ,37743E , ,75355E , ,98346E-1 12, ,14735E-12 12, ,1859E , ,61334E-1 123, ,98541E , ,1916E

16 1. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,1122E-16, ,66134E-16, ,55112E , ,21885E-14 3, ,6581E-14 3, ,7285E , ,98792E-13 7, ,62883E-14 7, ,4994E , ,54543E-13 1, ,599E-14 1, ,8735E , ,56319E-13 13, ,16573E-14 13, ,27676E , ,1457E-13 16, ,44249E-14 16, ,3731E , ,99885E-13 19, ,56382E-14 19, ,2577E , ,4853E-12 22, ,52811E-14 22, ,449E , ,93623E-12 25, ,467E-14 25, ,85643E , ,66516E-11 29, ,72875E-13 29, ,45557E , ,11777E-12 32, ,89959E-13 32, ,3354E , ,518E-12 35, ,91429E-14 35, ,64746E , ,1167E-13 38, ,58762E-14 38, ,2696E , ,1486E-12 41, ,71418E-13 41, ,626E , ,29337E-11 44, ,37237E-13 44, ,2299E , ,5783E-11 47, ,6342E-13 47, ,574E , ,7848E-11 51, ,37139E-13 51, ,23193E , ,87E-12 54, ,25455E-13 54, ,875E , ,8398E-11 57, ,37996E-13 57, ,17166E , ,5187E-11 6, ,6577E-13 6, ,6898E , ,21982E-11 63, ,7335E-13 63, ,6762E , ,74794E-12 66, ,6213E-14 66, ,27676E , ,65592E-12 69, ,1463E-14 69, ,86496E , ,24336E-11 73, ,8869E-13 73, ,7113E , ,83222E-11 76, ,63567E-11 76, ,69864E , ,2415E-1 79, ,8629E-12 79, ,89571E , ,73399E-11 82, ,5915E-12 82, ,65322E , ,9833E-11 85, ,6545E-13 85, ,63E , ,18652E-11 88, ,71623E-13 88, ,99771E , ,222E-11 91, ,246E-13 91, ,15934E , ,4353E-12 95, ,599E-14 95, ,17562E , ,74438E-11 98, ,92539E-13 98, ,9968E , ,9459E-11 11, ,2931E-13 11, ,99285E , ,6814E-11 14, ,16135E-1 14, ,34823E , ,453E-11 17, ,8862E-11 17, ,1677E , ,17799E-11 11, ,91771E-12 11, ,4311E , ,6329E-1 113, ,68985E , ,442E , ,23483E , ,61933E , ,33435E , ,71978E-11 12, ,25642E-13 12, ,6494E , ,23483E , ,44169E , ,23512E

17 11. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,4489E-16 1, ,E+ 1, ,E+ 2 4, ,77636E-15 4, ,88178E-16 4, ,1122E , ,17968E-13 7, ,21565E-15 7, ,996E , ,61853E-14 1, ,4489E-15 1, ,1122E , ,21725E-14 13, ,66294E-15 13, ,9921E , ,81188E-13 16, ,1122E-14 16, ,13718E , ,68434E-13 19, ,88658E-14 19, ,1929E , ,19744E-14 22, ,33227E-15 22, ,2245E , ,699E-13 25, ,725E-14 25, ,2466E , ,46727E-12 29, ,441E-14 29, ,46625E , ,4941E-12 32, ,74936E-14 32, ,882E , ,18447E-11 35, ,67977E-13 35, ,25375E , ,2376E-14 38, ,44249E-15 38, ,77556E , ,7387E-11 41, ,7483E-13 41, ,16254E , ,56319E-11 44, ,4954E-13 44, ,42643E , ,5382E-12 47, ,26454E-13 47, ,45578E , ,4758E-11 51, ,36762E-13 51, ,22797E , ,23857E-12 54, ,1519E-13 54,24 4 1,24761E , ,5289E-11 57, ,13398E-12 57, ,35981E , ,36646E-12 6, ,5138E-13 6, ,7969E , ,443E-11 63, ,2712E-13 63, ,2657E , ,7246E-11 66, ,5497E-13 66, ,48968E , ,61853E-12 69, ,6583E-14 69, ,352E , ,9317E-11 73, ,1346E-13 73, ,74561E , ,29319E-12 76, ,69864E-14 76, ,5443E , ,7575E-1 79, ,47522E-12 79, ,2854E , ,2955E-11 82, ,99458E-13 82, ,5118E , ,1454E-11 85, ,9619E-13 85, ,1433E , ,71712E-11 88, ,688E-13 88, ,59237E , ,38458E-11 91, ,5957E-13 91, ,15938E , ,7514E-11 95, ,39155E-13 95, ,23193E , ,5585E-11 98, ,59792E-13 98, ,9277E , ,5242E-11 11, ,43929E-13 11, ,1425E , ,38973E-11 14, ,218E-13 14, ,2871E , ,65397E-11 17, ,82387E-11 17, ,4762E , ,529E-11 11, ,7464E-12 11, ,13E , ,94134E-1 113, ,7464E , ,45317E , ,6466E , ,26152E , ,66672E , ,2757E-11 12, ,38982E-13 12, ,19467E , ,46727E , ,6768E , ,51642E

18 12. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,77636E-15 1, ,3367E-16 1, ,1122E , ,55271E-15 4, ,55431E-15 4, ,1122E , ,57572E-14 7, ,43769E-15 7, ,66134E , ,88178E-15 1, ,88178E-16 1, ,88178E , ,55271E-15 13, ,2245E-16 13, ,2245E , ,7516E-14 16, ,88578E-15 16, ,77476E , ,26326E-14 19, ,9984E-15 19, ,88738E , ,61853E-14 22, ,9984E-15 22, ,66533E , ,55271E-15 26, ,2245E-16 26, ,1122E , ,91847E-13 29, ,43929E-15 29, ,77396E , ,56319E-13 32, ,88498E-15 32, ,44169E , ,4161E-13 35, ,882E-14 35, ,1543E , ,84741E-13 38, ,66294E-15 38, ,1862E , ,18696E-13 41, ,17684E-14 41, ,1543E , ,6291E-13 44, ,173E-15 44, ,55271E , ,5195E-12 48, ,39249E-14 48, ,39568E , ,2423E-13 51, ,53211E-14 51, ,99281E , ,6617E-12 54, ,32587E-14 54, ,3367E , ,59872E-12 57, ,85327E-14 57, ,46549E , ,7348E-12 6, ,4591E-14 6, ,8457E , ,3687E-12 63, ,28786E-13 63, ,63123E , ,3171E-11 66, ,54543E-13 66, ,7781E , ,44427E-12 69, ,583E-14 69, ,65978E , ,75167E-12 73, ,11813E-14 73, ,39253E , ,89E-12 76, ,73115E-14 76, ,25455E , ,99325E-12 79, ,1821E-14 79, ,2482E , ,119E-12 82, ,8327E-14 82, ,3211E , ,29541E-12 85, ,37188E-14 85, ,16414E , ,84963E-12 88, ,7495E-14 88, ,2585E , ,29123E-11 91, ,58158E-13 91, ,235E , ,22355E-11 95, ,28786E-13 95, ,25691E , ,1795E-11 98, ,2126E-13 98, ,82947E , ,19371E-11 11, ,17684E-13 11, ,66294E , ,48361E-11 14, ,41998E-13 14, ,53446E , ,64562E-11 17, ,52989E-13 17, ,8738E , ,76E-12 11, ,4229E-14 11, ,21485E , ,35287E , ,18794E , ,43534E , ,71125E , ,43849E , ,74225E , ,4734E-11 12, ,71525E-14 12, ,16969E , ,3499E , ,64979E , ,9234E

19 13. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,66454E-15 2, ,33227E-15 2, ,9984E ,3321 5,E+ 5, ,77476E-15 5, ,21725E , ,9738E-14 7, ,21725E-15 7, ,882E , ,59872E-14 1, ,55431E-15 1, ,44249E , ,95399E-14 13, ,44329E-15 13, ,44249E , ,1543E-15 17, ,2245E-16 17, ,66134E , ,61853E-14 2, ,2245E-15 2, ,77476E , ,1134E-13 23, ,66294E-15 23, ,1543E , ,39488E-14 26, ,2245E-15 26, ,55271E , ,19744E-14 29, ,9921E-16 29, ,55431E , ,2792E-13 32, ,66374E-15 32, ,88498E , ,33431E-13 35, ,2141E-14 35, ,33227E , ,54223E-13 38, ,45439E-14 38, ,77636E , ,25278E-13 41, ,32117E-14 41, ,79856E , ,36424E-12 44, ,583E-14 44, ,6342E , ,49214E-12 48, ,89688E-14 48, ,39648E , ,98952E-13 51, ,33147E-15 51, ,44249E , ,4522E-13 54, ,86517E-14 54, ,9762E , ,4161E-12 57, ,92859E-14 57, ,4229E , ,27898E-12 6, ,9832E-14 6, ,13163E , ,1694E-12 63, ,73115E-14 63, ,36158E , ,59162E-12 66, ,35367E-14 66, ,29816E , ,94689E-12 7, ,77556E-14 7, ,6213E , ,19744E-12 73, ,3527E-14 73, ,311E , ,22213E-12 76, ,6982E-14 76, ,44329E , ,27374E-13 79, ,88658E-15 79, ,55351E , ,81375E-12 82, ,39728E-14 82, ,9754E , ,9424E-12 85, ,26565E-14 85, ,882E , ,11218E-12 88, ,4972E-14 88, ,95319E , ,25953E-12 91, ,44249E-14 91, ,3171E , ,4112E-12 95, ,19744E-14 95, ,692E , ,29692E-12 98, ,35287E-14 98, ,68674E , ,67386E-13 11, ,54952E-15 11, ,88418E , ,3739E-12 14, ,76996E-15 14, ,6654E , ,8478E-12 17, ,67644E-14 17, ,27676E , ,61329E-12 11, ,6262E-14 11, ,8327E , ,9646E , ,35127E , ,9857E , ,1399E , ,2425E , ,85247E , ,17799E-12 12, ,4861E-14 12, ,5221E , ,95586E , ,3988E , ,7974E

20 14. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,9984E-14 2, ,65974E-15 2, ,6581E , ,33227E-14 5, ,77476E-15 5, ,66294E , ,6581E-14 8, ,33227E-15 8, ,1862E , ,84217E-14 11, ,66454E-15 11, ,66134E , ,6581E-14 14, ,88178E-16 14, ,2245E , ,3297E-14 17, ,88658E-15 17, ,32587E , ,467E-14 2, ,55271E-15 2, ,1994E , ,6581E-14 23, ,4489E-16 23, ,77636E , ,4869E-14 26, ,9921E-16 26, ,55271E , ,81597E-14 3, ,44249E-15 3, ,76996E , ,2376E-14 33, ,66454E-15 33, ,6581E , ,12639E-13 36, ,65974E-15 36, ,3758E , ,84741E-13 39, ,88498E-15 39, ,9958E , ,68434E-14 42, ,55431E-15 42, ,3297E , ,4219E-14 45, ,4489E-16 45, ,88178E , ,19744E-13 48, ,66134E-16 48, ,66454E , ,84217E-13 51, ,2185E-15 51, ,2245E , ,67386E-13 54, ,1463E-15 54, ,24185E , ,53699E-13 58, ,14353E-14 58, ,52971E , ,4161E-13 61, ,55112E-15 61, ,2245E , ,12115E-13 64, ,5532E-15 64, ,53131E , ,6791E-13 67, ,9921E-15 67, ,9799E , ,9738E-13 7, ,1543E-15 7, ,75335E , ,9424E-12 73, ,4766E-14 73, ,72875E , ,9738E-13 76, ,5532E-15 76, ,4869E , ,83693E-13 79, ,88498E-15 79, ,86517E ,63 3 9,9495E-13 83,63 3 1,9912E-14 83,63 5 4,133E , ,37916E-13 86, ,882E-14 86, ,4121E , ,39488E-13 89, ,1543E-15 89, ,6213E , ,16529E-12 92, ,24345E-14 92, ,61853E , ,1543E-13 95, ,32747E-15 95, ,7894E , ,13687E-12 98, ,16573E-14 98, ,17444E , ,29319E-12 11, ,26565E-14 11, ,4853E , ,9495E-13 14, ,54872E-15 14,94 5-3,6422E , ,22213E-12 18, ,13243E-14 18, ,95239E , ,5256E , ,37668E , ,7735E , ,49214E , ,32117E , ,4853E , ,47793E , ,26565E , ,26326E , ,52651E-14 12, ,4489E-16 12, ,2245E , ,3216E , ,84297E , ,17284E

21 15. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,3297E-14 2, ,28786E-14 2, ,59872E , ,1134E-13 5, ,6822E-14 5, ,1122E , ,55271E-15 8, ,3367E-16 8, ,88178E , ,57252E-14 11, ,77316E-15 11, ,55431E , ,7415E-14 14, ,9952E-15 14, ,8277E , ,17124E-14 17, ,55191E-15 17, ,599E ,36 4 1,52767E-13 21,36 4 7,32747E-15 21,36 4 2,6213E , ,59872E-13 24, ,5532E-15 24, ,53131E , ,1543E-15 27, ,1122E-16 27, ,88178E , ,59233E-14 3, ,1862E-15 3, ,33227E , ,9476E-14 33, ,9976E-15 33, ,33227E , ,1543E-14 36, ,9984E-15 36, ,88178E , ,63425E-13 39, ,1783E-15 39, ,95399E , ,26326E-13 42, ,27676E-14 42, ,79616E , ,1543E-14 45, ,66533E-15 45, ,99361E , ,12639E-13 49, ,21725E-15 49, ,19744E , ,12115E-13 52, ,99361E-15 52, ,9968E , ,69482E-13 55, ,88338E-15 55, ,4639E , ,55271E-13 58, ,32827E-15 58, ,19744E , ,18696E-13 61, ,43769E-15 61, ,39488E , ,83693E-13 64, ,77316E-15 64, ,19744E , ,54747E-13 67, ,66134E-15 67, ,64153E , ,1167E-13 7, ,65974E-15 7, ,7735E , ,53699E-13 73, ,7776E-15 73, ,88498E , ,55271E-13 77, ,66294E-15 77, ,57572E , ,55271E-13 8, ,32987E-15 8, ,4869E , ,27898E-13 83, ,55431E-15 83, ,88178E , ,4219E-13 86, ,77636E-15 86, ,88178E , ,53699E-13 89, ,32747E-15 89, ,17444E , ,22213E-12 92, ,32117E-14 92, ,467E , ,4161E-13 95, ,55271E-15 95, ,4281E , ,66862E-13 98, ,7776E-15 98, ,9738E , ,52651E-13 12, ,43769E-15 12, ,7735E , ,84217E-14 15, ,2245E-16 15, ,88178E , ,52651E-13 18, ,77156E-15 18, ,4489E , ,9424E , ,9921E , ,5671E , ,55795E , ,1942E , ,24345E , ,26477E , ,882E , ,3961E , ,4687E-12 12, ,16573E-14 12, ,4837E , ,49214E , ,1994E , ,7516E

22 A tömör gömb esetében a (8) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Három függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e három függvény zérus helyet kell meghatároznunk: β cot ( β ) = 1 B π fvgömb1= tg + β 2 1 B β π fvgömb2 = β tg + β 2 fvgömb3 = ( 1 B) tg( β ) β ( 1 B) (13) fvgömb1 fvgömb2 fvgömb β 5. ábra Tömör gömb esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált három függvénykapcsolat (fvgömb1, fvgömb2 és fvgömb3) grafkonja A 4. ábrán a három függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvgömb2 meredekebb lefutású, mnt a másk kettő, bár a függvények meredeksége most s függ a B szám értékétől. A táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk 169

23 függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához.. A gyökök megkereséséhez most s Newton terácós formuláját használtuk. A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y g értéket. 16. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,4489E-16, ,1122E-16, ,E+ 2 4, ,32667E-17 4, ,4489E-16 4, ,55271E , ,77396E-15 7, ,77396E-15 7, ,4281E , ,3367E-16 1, ,66374E-15 1, ,55271E , ,2245E-16 14, ,9976E-15 14, ,1981E , ,1233E-15 17, ,6423E-14 17, ,52651E , ,2692E-15 2, ,86988E-14 2, ,88294E , ,8735E-16 23, ,4489E-15 23, ,91731E , ,245E-17 26, ,66533E-15 26, ,32871E , ,33227E-15 29, ,9635E-14 29, ,72511E , ,21431E-15 32, ,9968E-14 32, ,7554E , ,14412E-15 36, ,73825E-14 36, ,448E , ,67921E-15 39, ,59472E-14 39, ,39488E , ,63411E-15 42, ,92779E-14 42, ,3394E , ,66748E-16 45, ,4861E-14 45, ,41434E , ,73E-15 48, ,28226E-14 48, ,51941E , ,4715E-15 51, ,62723E-14 51, ,82121E , ,7478E-15 54, ,599E-13 54, ,2756E , ,89699E-15 58, ,68421E-13 58, ,2641E , ,45717E-16 61, ,88178E-15 61, ,3471E , ,498E-15 64, ,1267E-13 64, ,532E , ,2829E-15 67, ,5421E-13 67, ,13776E , ,47572E-15 7, ,57634E-13 7, ,2328E , ,3211E-15 73, ,17635E-13 73, ,5964E , ,2881E-15 76, ,7681E-13 76, ,7141E , ,16414E-15 8, ,53464E-13 8, ,81846E , ,314E-16 83, ,7692E-14 83, ,2736E , ,77649E-15 86, ,26295E-13 86, ,26761E , ,23286E-15 89, ,57998E-13 89, ,1543E , ,62717E-15 92, ,5768E-13 92, ,428E , ,3538E-15 95, ,29674E-13 95, ,51852E , ,5565E-15 98, ,53988E-13 98, ,9524E , ,6539E-16 12, ,17364E-14 12, ,472E , ,726E-15 15, ,12688E-13 15, ,53317E , ,8785E-15 18, ,29385E-13 18, ,17275E , ,91621E , ,48228E , ,1122E , ,95878E , ,8312E , ,96199E , ,76341E , ,25517E , ,83835E , ,98466E-15 12, ,81948E-13 12, ,16431E , ,2716E , ,99711E , ,7697E-11 17

24 17. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,88178E-16, ,2245E-16, ,E+ 2 4, ,38778E-16 4, ,55112E-16 4, ,4489E , ,32987E-15 7, ,32987E-15 7, ,77636E , ,32667E-17 1, ,9921E-16 1, ,55271E , ,5311E-16 14, ,4489E-15 14, ,34888E , ,84495E-15 17, ,3678E-14 17, ,69482E , ,74166E-15 2, ,55271E-14 2, ,26326E , ,37844E-15 23, ,43929E-14 23, ,5671E , ,3825E-15 26, ,79616E-14 26, ,19744E , ,6767E-15 29, ,2474E-13 29, ,5774E , ,2628E-15 32, ,467E-14 32, ,77298E , ,23886E-16 36, ,88738E-14 36, ,72662E , ,51882E-15 39, ,8929E-14 39, ,37845E , ,2426E-15 42, ,26246E-14 42, ,9461E , ,22125E-15 45, ,56222E-14 45, ,14397E , ,25514E-16 48, ,1122E-14 48, ,9159E , ,828E-16 51, ,6343E-14 51, ,342E , ,27249E-15 54, ,249E-13 54, ,86873E , ,32359E-15 58, ,69385E-14 58, ,4782E , ,5658E-15 61, ,87184E-13 61, ,57776E , ,2797E-15 64, ,4343E-13 64, ,9273E , ,54858E-15 67, ,4222E-13 67, ,1518E , ,8981E-15 7, ,144E-13 7, ,6654E , ,99E-15 73, ,4222E-13 73, ,71241E , ,58994E-15 76, ,99285E-13 76, ,84315E , ,25875E-15 8, ,41172E-13 8, ,5755E , ,25514E-16 83, ,87628E-14 83, ,32436E , ,8284E-15 86, ,57874E-13 86, ,95444E , ,5227E-15 89, ,34448E-13 89, ,13767E , ,3257E-15 92, ,5171E-13 92, ,56746E , ,4389E-15 95, ,37668E-13 95, ,3162E , ,942E-16 98, ,82787E-14 98, ,1137E , ,8659E-15 12, ,96714E-13 12, ,8225E , ,14786E-15 15, ,46927E-13 15, ,28839E , ,65773E-15 18, ,477E-13 18, ,43281E , ,8758E , ,1134E , ,81357E , ,5118E , ,2567E , ,74554E , ,93335E , ,27818E , ,3349E , ,41581E-15 12, ,54921E-13 12, ,9794E , ,62824E , ,74318E , ,3598E

25 18. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,66533E-16 1, ,3367E-16, 2,E+ 2 4, ,91434E-16 4, ,33227E-15 3, ,14159E+ 3 7, ,21645E-15 7, ,21645E-15 6, ,28319E+ 4 1, ,498E-16 1, ,77556E-15 9, ,42478E+ 5 14, ,8167E-16 14, ,9976E-15 12, ,25664E , ,483E-16 17, ,94289E-15 15, ,578E+1 7 2, ,14759E-15 2, ,186E-13 18, ,88496E , ,9134E-16 23, ,8547E-14 21, ,19911E , ,4697E-16 26, ,55112E-15 25, ,51327E , ,62557E-15 29, ,386E-13 28, ,82743E , ,29251E-15 32, ,858E-13 31, ,14159E , ,13478E-16 36, ,85962E-14 34, ,45575E , ,67147E-16 39, ,4916E-14 37, ,76991E , ,22312E-15 42, ,36668E-13 4, ,847E , ,21965E-15 45, ,46549E-13 43, ,39823E , ,4573E-15 48, ,6831E-13 47, ,71239E , ,4179E-15 51, ,7633E-13 5, ,2655E , ,48839E-15 54, ,18234E-14 53, ,3471E , ,4617E-15 58, ,7697E-13 56, ,65487E , ,5241E-15 61, ,1466E-13 59, ,9693E , ,94497E-15 64, ,47198E-13 62, ,28319E , ,6213E-15 67, ,1284E-13 65, ,59734E , ,93976E-15 7, ,9497E-13 69, ,9115E , ,6596E-15 73, ,9167E-13 72, ,22566E , ,56666E-15 76, ,51497E-13 75, ,53982E , ,81479E-15 8, ,65794E-13 78, ,85398E , ,81219E-15 83, ,83835E-13 81, ,16814E , ,1147E-15 86, ,69118E-13 84, ,4823E , ,62751E-15 89, ,93359E-13 87, ,79646E , ,1838E-15 92, ,969E-13 91, ,1162E , ,17114E-15 95, ,9968E-13 94, ,42478E , ,28657E-15 98, ,23137E-13 97, ,73894E , ,27249E-15 12, ,3237E-13 1, ,531E , ,365E-16 15, ,73746E-14 13, ,3673E , ,7318E-16 18, ,5471E-13 16, ,6814E , ,48533E , ,34888E-14 19, ,9956E , ,42968E , ,22835E , ,1397E , ,73673E , ,75848E , ,16239E , ,35669E-16 12, ,5787E , ,19381E , ,39559E , ,73195E , ,22522E+2 172

26 19. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,21629E-16 1, ,5213E-16 1,578,E+ 2 4, ,44921E-16 4, ,15416E-15 4,71239,E+ 3 7, ,88541E-15 7, ,88541E-15 7,85398,E+ 4 1, ,89843E-16 1, ,3861E-15 1,99557,E+ 5 14, ,1233E-16 14, ,65623E-15 14,13717,E+ 6 17, ,34764E-16 17, ,26958E-14 17,27876,E+ 7 2, ,4994E-15 2, ,525E-14 2,4235,E+ 8 23, ,79685E-16 23, ,3833E-14 23,56194,E+ 9 26, ,65486E-15 26, ,2431E-13 26,7354,E+ 1 29, ,22461E-15 29, ,65485E-14 29,84513,E , ,2565E-15 32, ,27571E-14 32,98672,E , ,46953E-15 36, ,3916E-14 36,12832,E , ,9673E-15 39, ,69975E-14 39,26991,E , ,71445E-15 42, ,27124E-14 42,4115,E , ,7158E-15 45, ,8162E-14 45,5539,E , ,95937E-15 48, ,5419E-14 48,69469,E , ,4788E-15 51, ,62451E-14 51,83628,E , ,2429E-15 54, ,21187E-13 54,97787,E , ,22596E-15 58, ,12522E-14 58,11946,E+ 2 61, ,44921E-15 61, ,541E-13 61,2616,E , ,814E-16 64, ,31816E-14 64,4265,E , ,41129E-15 67, ,97957E-13 67,54424,E+ 23 7, ,36931E-15 7, ,522E-13 7,68583,E , ,9396E-15 73, ,16983E-13 73,82743,E , ,91198E-16 76, ,787E-14 76,9692,E+ 26 8, ,92145E-15 8, ,1415E-13 8,1161,E , ,85915E-15 83, ,7139E-13 83,25221,E , ,4289E-15 86, ,96236E-13 86,3938,E , ,35525E-18 89, ,21343E-16 89,53539,E+ 3 92, ,43161E-15 92, ,1831E-13 92,67698,E , ,86186E-15 95, ,57494E-13 95,81858,E , ,91874E-15 98, ,87799E-13 98,9617,E , ,88487E-16 12, ,98754E-14 12,1176,E , ,94177E-15 15, ,961E-13 15,24335,E , ,3722E-15 18, ,9631E-13 18,38495,E , ,4858E , ,91674E ,52654,E , ,7833E , ,12183E ,66813,E , ,45192E , ,8886E ,8972,E , ,88218E-15 12, ,11457E-13 12,95132,E , ,89843E , ,786E ,9291,E+ 173

27 2. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,4489E-16 2, ,4489E-16 2, ,4489E , ,77156E-16 5, ,4489E-15 5, ,3297E , ,88178E-16 8, ,88178E-16 8, ,55271E , ,1122E-16 11, ,33227E-15 11, ,77636E , ,88578E-16 14, ,3297E-15 14, ,4869E , ,94289E-16 17, ,55271E-15 17, ,24345E , ,22125E-15 2, ,3988E-14 2, ,39488E , ,4489E-15 23, ,83897E-14 23, ,56319E , ,2482E-15 26, ,35891E-13 26, ,88178E , ,9449E-15 29, ,92779E-14 29, ,24345E , ,16334E-17 33, ,88178E-16 33, ,68958E , ,34455E-15 36, ,21236E-13 36, ,96332E , ,5471E-15 39, ,133E-14 39, ,82E , ,8411E-16 42, ,99361E-15 42, ,96332E , ,1526E-15 45, ,43885E-13 45, ,19371E , ,13638E-15 48, ,52767E-13 48, ,3844E , ,6566E-15 51, ,38112E-13 51, ,87583E ,54 3-2,58127E-15 55,54 3-1,4219E-13 55,54 3-6,46594E , ,19189E-15 58, ,8673E-13 58, ,894E , ,7478E-15 61, ,6831E-13 61, ,51532E , ,71845E-16 64, ,1981E-14 64, ,1312E , ,3538E-15 67, ,14824E-14 67, ,63274E , ,3563E-15 7, ,49418E-13 7, ,12639E , ,38618E-15 73, ,5466E-13 73, ,75691E , ,15934E-16 77, ,1661E-14 77, ,66489E , ,86337E-15 8, ,69846E-13 8, ,8327E , ,9921E-16 83, ,3447E-14 83, ,64544E , ,19349E-15 86, ,3473E-13 86, ,84439E , ,27596E-15 89, ,3393E-13 89, ,31735E , ,38538E-15 92, ,6342E-13 92, ,18847E , ,54577E-15 95, ,4172E-13 95, ,21645E ,55 3 4,7672E-15 99,55 3 4,71623E-13 99, ,56319E , ,42622E-15 12, ,54223E-13 12, ,896E , ,89272E-15 15, ,9894E-13 15, ,16378E , ,52416E-15 18, ,9274E-13 18, ,2693E , ,5295E , ,2836E , ,17648E , ,33521E , ,2653E , ,2288E , ,3985E , ,8991E , ,9174E , ,6452E-15 12, ,3357E-13 12, ,56168E , ,73847E , ,12319E , ,19229E

28 21. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,77636E-15 2, ,3297E-15 2, ,88178E , ,1122E-15 5, ,3297E-15 5, ,4489E , ,4219E-14 8, ,4219E-14 8, ,4219E , ,88178E-16 11, ,6581E-14 11, ,24345E , ,3367E-15 14, ,4869E-14 14, ,77636E , ,1942E-15 17, ,7335E-14 17, ,1543E , ,82947E-15 2, ,1252E-13 2, ,1543E , ,82867E-15 23, ,68434E-14 23, ,13163E , ,66134E-16 27, ,95399E-14 27, ,9476E , ,4489E-16 3, ,59872E-14 3, ,56319E , ,88578E-16 33, ,24345E-14 33, ,76E , ,1862E-15 36, ,13687E-13 36, ,9799E , ,5847E-15 39, ,4219E-13 39, ,5533E , ,1122E-16 42, ,3297E-15 42, ,4161E , ,1122E-15 45, ,15143E-14 45, ,7516E , ,2536E-15 48, ,49214E-13 48, ,7516E , ,58127E-15 52, ,33227E-13 52, ,2389E , ,498E-16 55, ,4219E-14 55, ,4485E , ,96985E-15 58, ,7483E-13 58, ,61853E , ,63678E-15 61, ,61648E-13 61, ,69482E , ,19349E-15 64, ,81597E-14 64, ,98952E , ,88658E-15 67, ,95399E-13 67, ,11218E , ,88418E-15 7, ,17444E-13 7, ,71951E , ,63278E-16 73, ,68434E-14 73, ,789E , ,9853E-15 77, ,38236E-13 77, ,374E , ,42781E-15 8, ,75335E-13 8, ,93641E , ,48173E-15 83, ,583E-13 83, ,67164E , ,28744E-15 86, ,56524E-13 86, ,13687E , ,6496E-15 89, ,15668E-13 89, ,82272E , ,17881E-15 92, ,255E-13 92, ,12639E , ,13558E-15 95, ,96128E-13 95, ,33582E , ,52496E-15 99, ,48166E-13 99, ,89E , ,498E-16 12, ,66454E-14 12, ,59384E , ,39766E-15 15, ,7516E-13 15, ,19371E , ,6229E-15 18, ,84217E-13 18, ,6664E , ,35922E , ,6291E , ,381E , ,4948E , ,44294E , ,56319E , ,1543E , ,3844E , ,659E , ,625E , ,8345E , ,4161E , ,2482E , ,78888E , ,41434E

29 22. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 3, ,54543E-13 3, ,83169E-13 3, ,88498E , ,E+ 6, ,E+ 6, ,66454E , ,84741E-13 9, ,84741E-13 9, ,7335E , ,99361E-15 12, ,9476E-14 12, ,84217E , ,88178E-16 15, ,4219E-14 15,4339 5,E+ 6 18, ,3297E-15 18, ,2376E-14 18, ,39488E , ,599E-14 21, ,25278E-13 21, ,26326E , ,76996E-15 24, ,41585E-13 24, ,4219E , ,1122E-15 27, ,84217E-14 27, ,59233E , ,66134E-15 3, ,68434E-13 3, ,4219E , ,54952E-15 33, ,55795E-13 33, ,2268E , ,33227E-15 37, ,9738E-14 37, ,2376E , ,21565E-15 4, ,33955E-13 4, ,27898E , ,173E-15 43, ,2268E-13 43, ,84217E , ,77636E-15 46, ,52651E-14 46, ,81597E , ,1122E-16 49, ,1543E-15 49, ,753E , ,88418E-15 52, ,5533E-13 52, ,41585E , ,22125E-15 55, ,1543E-14 55, ,76E , ,9921E-16 58, ,68434E-14 58, ,77112E , ,66294E-15 61, ,84217E-13 61, ,33955E , ,66214E-15 65, ,69482E-13 65, ,41585E , ,3297E-15 68, ,69482E-13 68, ,76E , ,77236E-15 71, ,83169E-13 71, ,13687E , ,77476E-15 74, ,77112E-13 74, ,4536E , ,77556E-15 77, ,2268E-13 77, ,82645E , ,88178E-16 8, ,1543E-14 8, ,9424E , ,21565E-15 83, ,82121E-13 83, ,412E , ,9921E-16 86, ,52651E-14 86, ,37916E , ,9952E-15 9, ,412E-13 9, ,2376E , ,77236E-15 93, ,32383E-13 93, ,119E , ,88178E-16 96, ,52651E-14 96, ,12266E , ,2245E-15 99, ,2268E-13 99, ,2376E , ,27676E-15 12, ,353E-13 12, ,1518E , ,27436E-15 15, ,47642E-13 15, ,47793E , ,5151E-15 18, ,54223E-13 18, ,4161E , ,77236E , ,6281E , ,52651E ,77 5-5,6663E ,77 5-6,39488E ,77 8 1,374E , ,16174E , ,24754E , ,26326E , ,82947E , ,82645E , ,66267E , ,1122E , ,4219E , ,93268E

30 23. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 3, ,13687E-13 3, ,55271E-13 3, ,73195E , ,3297E-14 6, ,2685E-13 6, ,4219E , ,9588E-13 9, ,9588E-13 9, ,99361E , ,3758E-14 12, ,26326E-13 12, ,3961E , ,2245E-14 15, ,55271E-13 15, ,86198E , ,14824E-14 18, ,17426E-12 18, ,353E , ,88178E-16 21, ,4219E-14 21, ,84741E , ,57252E-14 24, ,63425E-12 24, ,59872E , ,4853E-14 27, ,26477E-12 27, ,56319E , ,1764E-14 31, ,8478E-12 31, ,4219E , ,8277E-14 34, ,25278E-13 34, ,84217E , ,99361E-15 37, ,98428E-13 37, ,12639E , ,77636E-15 4, ,1543E-14 4, ,753E , ,77636E-15 43, ,52651E-14 43, ,41585E , ,33227E-14 46, ,25278E-13 46, ,62377E , ,39888E-14 49, ,96332E-13 49, ,4219E , ,88178E-15 52, ,68958E-13 52, ,55271E , ,43929E-15 56, ,69482E-13 56, ,33431E , ,22125E-14 59, ,1543E-13 59, ,12639E , ,54792E-15 62, ,96856E-13 62, ,353E , ,2876E-14 65, ,5635E-12 65, ,76E , ,599E-14 68, ,3739E-12 68, ,82645E , ,57652E-14 71, ,12266E-12 71, ,412E , ,21725E-15 74, ,54747E-13 74, ,3739E , ,43769E-15 77, ,53699E-13 77, ,9495E , ,55271E-15 8, ,84217E-13 8, ,13687E , ,13243E-14 84, ,66338E-13 84, ,96332E , ,4877E-14 87, ,29319E-12 87, ,98952E , ,55271E-15 9, ,12639E-13 9, ,96332E , ,46549E-14 93, ,36424E-12 93, ,76E , ,26565E-14 96, ,22213E-12 96, ,4219E , ,22125E-15 99, ,13687E-13 99, ,19371E , ,21965E-15 12, ,2685E-13 12, ,4353E , ,2141E-14 15, ,82E-12 15, ,4219E , ,2185E-15 19, ,68434E-13 19, ,33582E , ,66214E , ,39488E , ,26477E , ,2141E , ,1795E , ,13687E , ,88418E , ,96332E , ,29319E , ,66134E , ,119E , ,4161E , ,77156E , ,8549E , ,4219E

31 Érdekes eredményt mutat a 18. táblázat, ugyans B =,5 esetén a fvgömb3 függvény teljesen használhatatlan eredményt adott. Ennek magyarázata, hogy a fvgömb3 = ( 1 B) tg( β ) függvénynek B < 1 esetén mnmuma van a zérus hely előtt (6. ábra), így a Newton algortmus a másk rányba tévedett rossz gyököket találva. β fvgömb β 6. ábra A fvgömb3 függvény mnmuma a zérus hely előtt B < 1 esetén A módosított program által szolgáltatott eredmények már megfelelőek (24. táblázat). 178

32 24. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén (a módosított programmal számolva, vesd össze 18. táblázattal) fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,66533E-16 1, ,3367E-16 1, ,2245E , ,91434E-16 4, ,33227E-15 4, ,599E , ,21645E-15 7, ,21645E-15 7, ,24345E , ,498E-16 1, ,77556E-15 1, ,467E , ,8167E-16 14, ,9976E-15 14, ,86198E , ,483E-16 17, ,94289E-15 17, ,5568E , ,14759E-15 2, ,186E-13 2, ,59348E , ,9134E-16 23, ,8547E-14 23, ,16174E , ,4697E-16 26, ,55112E-15 26, ,32347E , ,62557E-15 29, ,386E-13 29, ,1375E , ,29251E-15 32, ,858E-13 32, ,43192E , ,13478E-16 36, ,85962E-14 36, ,13349E , ,67147E-16 39, ,4916E-14 39, ,46221E , ,22312E-15 42, ,36668E-13 42, ,79465E , ,21965E-15 45, ,46549E-13 45, ,258E , ,4573E-15 48, ,6831E-13 48, ,2494E , ,4179E-15 51, ,7633E-13 51, ,6866E , ,48839E-15 54, ,18234E-14 54, ,93552E , ,4617E-15 58, ,7697E-13 58, ,58238E , ,5241E-15 61, ,1466E-13 61, ,41611E , ,94497E-15 64, ,47198E-13 64, ,55467E , ,6213E-15 67, ,1284E-13 67, ,82983E , ,93976E-15 7, ,9497E-13 7, ,87867E , ,6596E-15 73, ,9167E-13 73, ,38272E , ,56666E-15 76, ,51497E-13 76, ,3775E , ,81479E-15 8, ,65794E-13 8, ,85683E , ,81219E-15 83, ,83835E-13 83, ,16946E , ,1147E-15 86, ,69118E-13 86, ,39639E , ,62751E-15 89, ,93359E-13 89, ,51577E , ,1838E-15 92, ,969E-13 92, ,1295E , ,17114E-15 95, ,9968E-13 95, ,5354E , ,28657E-15 98, ,23137E-13 98, ,9269E , ,27249E-15 12, ,3237E-13 12, ,36495E , ,365E-16 15, ,73746E-14 15, ,997E , ,7318E-16 18, ,5471E-13 18, ,49484E , ,48533E , ,34888E , ,5271E , ,42968E , ,22835E , ,27457E , ,73673E , ,75848E , ,5592E , ,35669E-16 12, ,5787E-14 12, ,67518E , ,39559E , ,73195E , ,8971E-1 179

33 A program felépítése és használata A programot MS EXCEL VBA makró nyelven fejlesztettük, mvel a Vsual Basc programnyelv könnyen elsajátítható és az Excel nyújtotta fejlesztő környezet felhasználóbarát felület kalakítását tesz lehetővé (KOVALCSIK 2). A program beolvasása után üdvözl a felhasználót (7. ábra). 7. ábra A program üdvözlő képernyője Ezután a program egy új menüpontot helyez el a fő menüsorban Y-Fo névvel. Rákattntva (vagy Alt + Y bllentyűkombnácót lenyomva) az almenüpontok érhetők el: Indítás és Klépés. Az Indítás almenüpontra kattntva (vagy Alt + I bllentyűkombnácót lenyomva) elndíthatjuk a programot és megjelenk az adatbevtel modul (8. ábra). A bevtel felületet úgy alakítottuk k, hogy azt a mezőt kell ktöltetlenül hagyn, amelykhez tartozó fzka mennységet számoln szeretnénk. A Számolás felratú gomb megnyomásával a program kszámolja és megjelenít az eredményt. Újabb számolás előtt az adatokat módosítan kell, majd annak a mezőnek a tartalmát ktöröln amelyket szeretnénk újraszámoln. 18

34 8. ábra Az adatbevtel modul Köszönetnylvánítás Jelen munkát az OTKA T35125 és T3748 számú pályázata támogatta. Irodalom ABRAMOWITZ, M. and I.A. STEGUN (1972): Handbook of Mathematcal Functons wth Formulas, Graphs, and Mathematcal Tables. Dover Publcatons, New York. KOVALCSIK Géza (2): Excel 97 programozása. ComputerBooks Kadó, Budapest. RAJKÓ, R. (2): Spreadsheet applcatons n chemstry usng Mcrosoft Excel by D. Damond and V.C.A. Hanratty. Book revew. Journal of Chemometrcs, 14, VALKÓ Péter és VAJDA Sándor (1987): Műszak-tudományos feladatok megoldása személy számítógéppel. Műszak Könyvkadó, Budapest. WONG, H.Y. (1983): Hőátadás zsebkönyv. Műszak Könyvkadó, Budapest. 181