Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval"

Átírás

1 Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka Tanszék 2 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszertechnológa és Környezetgazdálkodás Tanszék web: e-mal: Összefoglalás Szárítás során kalakuló hővezetés számolására alkalmas programot fejlesztettünk Fourer 2. törvényét megfogalmazó dfferencálegyenlet megoldásaként. Alaposan tanulmányoztuk a végtelen soros megoldások összefüggéset algortmus fejlesztés szempontjából. Tanulmányunkban a felmerült számítástechnka problémákat és azok elkerülését célzó megoldásokat smertetjük, valamnt bemutatjuk az elkészült programot, amely Excel VBA makrónyelven készült. Bevezetés Szárítás során kalakuló hővezetés számolására alkalmas programot fejlesztettünk Fourer 2. törvényét megfogalmazó dfferencálegyenlet megoldásaként: dt λ 2 = t. (1) dτ c ρ p Véges belső és külső hőellenállást tételeztünk fel, azaz mnd a test hővezetés együtthatója (λ), mnd a felület konvektív hőátadás tényező (α) értéke véges. Peremfeltételként a következő egyenlettel leírható egyenlőséget választottuk: f ( t t ) t λ = ± α k f, (2) x azaz a felületen hővezetéssel a testből klépő (belépő) hőáramsűrűség megegyezk a határrétegben tapasztalt hőáramsűrűséggel. A legegyszerűbb megoldás érdekében a közeghőmérsékletet (t k ) állandónak vettük. A három egyetlen mérettel jellemezhető testre (végtelen síklap, végtelen henger és tömör gömb) vonatkozó végtelen soros megoldások (VSM) egyenletet az rodalomból vettük (WONG 1983). Végtelen síklap esetén: 148

2 Végtelen henger esetén: Tömör gömb esetén: t t 4sn( ) 2 k β Y = = β t t k β Fo e cos( = 1 2β + sn(2β ) ( β ) = B l l ) (3) β tg (4) J1( β ) 2 ( β ) + J ( β ) t t 2 2 k Y = = β t tk β Fo e J 2 = 1 β J 1 ( β ) ( β ) l l (5) J β = B (6) J 1 Y = t tk = t t = k 1 [ sn( β ) β cos( β )] 4 2 β Fo 2β sn(2β ) e sn β l β l l l (7) ( ) = B β cot β 1 (8) Az alkalmazások során e három analtkus megoldás szuperpozícóját alkalmazzuk. Ez akkor megengedett, ha a peremfeltételek és a folyamatot leíró dfferencálegyenlet a hőmérséklet szempontjából lneársak, valamnt a termkus anyagállandók (λ, ρ, c p ) a hőmérséklettől függetlenek. A gyakorlat alkalmazhatóság matt a fent egyenletek alapján dagramokat készítettek, görbeseregként ábrázolva a megoldást (1. ábra). Y m=2 m=1 m= n= n=,5 n=1 n=1 n=,5 n= n=1 n=,5 n= Fo 1. ábra Y Fo dagramokon található görbesereg vázlatos rajza 149

3 Az 1. ábrán használt jelölések: t tk 1 l Y = = f Fo f to t,, k B l = 1 l a m = n = Fo = 2 B l l ( Fo, m, n) αl B = λ τ A dagramok előnye, hogy bárhol, bármkor, gyorsan és könnyen használhatók. Hátrányuk, hogy csak kevés görbesereg ábrázolható, mvel a vonalak egymásra kerülése meghúsítja felsmerésüket. Y = 1 és Fo = környezetében szntén nagy a vonalak átfedése, így ebben a tartományban a dagram nem használható. Nem használható nagy Fo értékek esetén sem. A dagramról leolvasott értékek csak 1-2%-os pontosságot bztosítanak, így gényesebb műszak feladatok megoldására nem alkalmasak. Ezért döntöttünk úgy, hogy könnyen kezelhető, felhasználóbarát programot fejlesztünk. Választásunk az Excel táblázatkezelőre esett, mvel annak bevtel felülete adott, ll. VBA makrójában tudományos gényességű feladatok s beprogramozhatók (RAJKÓ 2). test (9) Számítástechnka nehézségek és megoldásuk A (3), (5) és (7) egyenletek programozása nem jelentene problémát, ha smernénk a (4), (6) és (8) egyenletek alapján nyerhető β ι gyököket. A végtelen síklap esetében a (4) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Két függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e két függvény zérus helyet kell meghatároznunk: β tg ( β ) = B fvslap1= tg ( β ) fvslap2 = β tg B β ( β ) B (1) 15

4 fvslap1 fvslap β ábra A végtelen síklap esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált két függvénykapcsolat (fvslap1 és fvslap2) grafkonja A 2. ábrán a két függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvslap1 meredekebb lefutású, mnt a fvslap2 az első néhány (tehát a fontosabb) gyök közelében, bár a függvények meredeksége függ a B szám értékétől. Az 1-7. táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához. A gyökök megkereséséhez a Newton terácós formulát alkalmaztuk (VALKÓ és VAJDA 1987), amelyhez a függvény derváltját s fel kell használnunk: ( xm ) ( x ) f xm + 1 = xm x adott, m =,1,2,K (11) f m A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y s értéket. 151

5 1. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,77556E-17, ,93889E , ,81639E-17 3, ,17961E , ,26635E-16 6, ,97973E , ,5128E-16 9, ,25354E , ,72459E-17 12, ,21645E , ,19477E-16 15, ,1335E , ,46184E-16 18, ,21847E , ,1949E-16 21, ,84175E , ,58254E-16 25, ,158E , ,4666E-15 28, ,1453E , ,42642E-16 31, ,64719E , ,83481E-16 34, ,362E , ,9882E-16 37, ,87766E , ,37621E-15 4, ,37897E , ,8483E-15 43, ,24949E , ,78662E-15 47, ,31319E , ,9721E-15 5, ,5153E , ,98145E-15 53, ,59234E , ,77256E-15 56, ,239E , ,41341E-17 59, ,2376E , ,33248E-15 62, ,37247E , ,43139E-15 65, ,26381E , ,11745E-16 69, ,46341E , ,78968E-15 72, ,4691E , ,42264E-15 75, ,886E , ,27754E-15 78, ,57419E , ,75856E-15 81, ,88682E , ,77411E-15 84, ,2133E , ,8537E-15 87, ,46775E , ,43799E-15 91, ,86552E

6 2. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,E+, ,E+ 2 3, ,2245E-16 3, ,77156E , ,46945E-16 6, ,2245E , ,38378E-16 9, ,572E , ,8124E-16 12, ,1122E , ,6539E-16 15, ,99361E , ,8986E-16 18, ,1122E , ,3451E-15 22, ,87548E , ,42462E-16 25, ,8773E , ,43635E-15 28, ,6342E , ,8594E-15 31, ,41949E , ,65666E-15 34, ,72875E , ,16226E-16 37, ,38538E , ,7831E-16 4, ,56382E , ,89952E-15 43, ,35443E , ,21177E-15 47, ,425E , ,89913E-16 5, ,4742E , ,21871E-15 53, ,18572E , ,32546E-15 56, ,8872E , ,96464E-15 59, ,7697E , ,534E-15 62, ,261E , ,613E-15 65, ,421E , ,89986E-15 69, ,76952E , ,71831E-15 72, ,96398E , ,85376E-15 75, ,65985E , ,32647E-15 78, ,18332E , ,2136E-15 81, ,79856E , ,4464E-15 84, ,12757E , ,2216E-15 87, ,584E , ,6822E-15 91, ,35343E , ,1616E-15 94, ,92242E , ,59195E-16 97, ,4179E , ,16834E-15 1, ,17517E , ,4132E-15 13, ,61218E , ,8675E-15 16, ,6311E , ,57967E-15 19, ,3597E , ,73153E , ,48259E , ,89719E , ,8557E , ,37577E , ,311E , ,6969E , ,2455E

7 3. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1,8633 4,E+, ,1122E , ,66533E-16 3, ,66134E , ,3367E-16 6, ,2245E , ,27356E-16 9, ,173E , ,55112E-17 12, ,66134E , ,57967E-16 15, ,1543E , ,3739E-15 18, ,58682E , ,7431E-16 22, ,93179E , ,5128E-16 25, ,14353E , ,4912E-16 28, ,27596E , ,23273E-16 31, ,33227E , ,8115E-15 34, ,26166E , ,3715E-16 37, ,64313E , ,9624E-15 4, ,1581E ,52 5 2,2385E-15 44,52 5 9,81437E , ,16334E-16 47, ,9659E , ,92554E-15 5, ,68114E , ,87617E-15 53, ,53544E , ,34455E-15 56, ,89182E , ,3657E-15 59, ,2168E , ,4529E-15 62, ,5421E , ,88752E-15 65, ,56684E , ,374E-15 69, ,76779E ,2747 5,E+ 72,2747 5,E , ,1721E-15 75, ,14637E , ,6459E-15 78, ,76397E , ,64559E-15 81, ,79585E , ,3791E-16 84, ,6654E , ,71338E-15 87, ,9639E , ,98293E-15 91, ,62932E , ,82253E-16 94, ,55191E , ,95184E-15 97, ,79758E , ,7923E-15 1, ,79967E , ,46758E-15 13, ,5211E , ,45317E-15 16, ,89448E , ,11116E-15 19, ,32148E , ,33747E , ,51212E , ,19296E , ,19869E , ,9219E , ,46612E , ,49387E , ,73128E

8 4. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,33227E-15 1, ,77636E , ,2245E-16 4, ,88178E , ,1122E-16 6, ,88178E , ,88178E-16 9, ,88178E , ,4369E-16 12, ,24345E , ,5391E-15 16, ,1862E , ,6982E-15 19, ,1981E , ,8247E-15 22, ,3988E , ,15934E-16 25, ,3988E , ,2696E-15 28, ,84217E , ,77636E-15 31, ,68434E , ,55431E-15 34, ,41789E , ,88578E-16 37, ,599E , ,16334E-17 4, ,77636E , ,96985E-15 44, ,3562E , ,2536E-15 47, ,42997E , ,1241E-15 5, ,59552E , ,31839E-15 53, ,1661E , ,1148E-15 56, ,753E , ,53964E-15 59, ,51879E , ,31759E-15 62, ,45661E ,49 5 5,55112E-16 66,49 5 3,7335E , ,3211E-16 69, ,1981E , ,77476E-15 72, ,73559E , ,17562E-15 75, ,66294E , ,21725E-15 78, ,88498E , ,5851E-15 81, ,38236E , ,92661E-15 84, ,18332E , ,67362E-16 88, ,63833E , ,1274E-15 91, ,58664E , ,25594E-15 94, ,1916E , ,4523E-15 97, ,4122E , ,34989E-15 1, ,37348E , ,8251E-15 13, ,94351E , ,64212E-15 16, ,96492E , ,17641E-15 11, ,69322E , ,21725E , ,3437E , ,49186E , ,73195E , ,11476E , ,91163E , ,72619E , ,56524E

9 5. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,21725E-15 1, ,88178E , ,77636E-15 4, ,1543E , ,4489E-16 7, ,77636E , ,66533E-15 1, ,77636E , ,22125E-15 13, ,59872E , ,9921E-16 16, ,59872E , ,2245E-15 19, ,26326E , ,27676E-15 22, ,84217E , ,4988E-15 25, ,9799E , ,44329E-15 28, ,8562E , ,83187E-15 31, ,86198E , ,5311E-15 34, ,6581E , ,77636E-15 37, ,7516E , ,77556E-17 41, ,77636E , ,9976E-15 44, ,33227E , ,44249E-15 47, ,15463E , ,498E-16 5, ,24345E , ,9921E-16 53, ,3297E , ,22125E-15 56, ,92779E , ,9984E-15 59, ,1916E , ,19269E-15 62, ,38556E , ,88338E-15 66, ,54747E , ,77236E-15 69, ,68958E , ,21725E-15 72, ,49418E , ,66214E-15 75, ,26326E , ,2536E-15 78, ,3832E , ,4988E-15 81, ,22569E , ,8317E-15 84, ,3988E , ,71445E-17 88, ,88178E , ,17961E-15 91, ,6581E , ,84575E-15 94, ,7483E , ,22125E-15 97, ,1916E , ,6699E-15 1, ,986E , ,8583E-15 13, ,1457E , ,38778E-17 16, ,77636E , ,27436E-15 11, ,68958E , ,16414E , ,5748E , ,32827E , ,35412E , ,173E , ,1167E , ,3291E , ,59E

10 6. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,52651E-14 1, ,353E , ,3297E-14 4, ,41585E , ,77636E-15 7, ,4219E , ,66454E-15 1, ,84217E , ,9968E-15 13, ,68434E , ,21725E-15 16, ,6581E , ,88178E-15 2, ,77636E , ,4489E-15 23, ,6581E , ,66294E-15 26, ,2792E , ,66454E-15 29, ,81597E , ,9921E-15 32, ,2685E , ,55431E-15 35, ,68434E , ,43769E-15 38, ,2685E , ,44249E-15 41, ,6581E , ,66454E-15 44, ,13687E , ,44249E-15 47, ,2792E , ,55112E-16 51, ,84217E , ,43929E-15 54, ,48166E , ,9968E-15 57, ,27374E , ,2185E-15 6, ,19744E , ,22125E-15 63, ,81597E , ,4361E-14 66, ,96332E , ,1122E-15 69, ,1543E , ,54872E-15 72, ,25278E , ,2141E-14 75, ,74492E , ,43849E-15 79, ,8975E , ,77316E-15 82, ,7664E , ,43929E-15 85, ,54223E , ,77476E-15 88, ,33955E , ,77636E-15 91, ,56319E , ,21965E-15 94, ,5533E , ,66533E-15 97, ,63425E , ,77636E-15 1, ,77636E , ,44249E-15 14, ,55795E , ,77156E-15 17, ,3844E , ,21725E-15 11, ,89226E , ,44329E , ,63425E , ,27516E , ,83693E , ,88658E , ,48166E , ,88338E , ,45546E

11 7. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvslap1 fvslap2 β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,41585E-13 1, ,69482E , ,49214E-13 4, ,96332E , ,2836E-14 7, ,68434E , ,77636E-15 1, ,4219E , ,3926E-14 13, ,2685E , ,68754E-14 17, ,84217E , ,86517E-14 2, ,69482E , ,13163E-14 23, ,83169E , ,9984E-14 26, ,2582E , ,33227E-14 29, ,9794E , ,2141E-14 32, ,2685E , ,4219E-14 35, ,9738E , ,73195E-14 38, ,6791E , ,2245E-15 42, ,52651E , ,8277E-14 45, ,2423E , ,46549E-14 48, ,1543E , ,55112E-15 51, ,84217E , ,77636E-15 54, ,9476E , ,65974E-15 57, ,9738E , ,32587E-15 6, ,68434E , ,55271E-15 63, ,27374E , ,2245E-16 66, ,4219E , ,55271E-15 7, ,41585E , ,39888E-14 73, ,2318E , ,882E-14 76, ,3844E , ,21725E-15 79, ,9738E , ,1122E-14 82, ,2376E , ,21725E-15 85, ,2582E , ,599E-14 88, ,33582E , ,3367E-15 91, ,98428E , ,1122E-14 95, ,516E , ,65974E-15 98, ,52651E , ,4361E-14 11, ,516E , ,44329E-15 14, ,56319E , ,16573E-14 17, ,26477E , ,54872E-15 11, ,37916E , ,1463E , ,2376E , ,55191E , ,412E , ,6654E-15 12, ,2376E , ,76996E , ,2792E

12 A végtelen henger esetében a (6) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Három függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e három függvény zérus helyet kell meghatároznunk: J β = B J fvheng1 = β B fvheng2 = 1 β fvheng3 = β J ( β ) ( β ) J ( β ) B J1( β ) J ( β ) J1( β ) ( β ) B J ( β ) J (.) és J 1 (.) az elsőfajú nulladrendű és másodrendű Bessel-függvények (ABRAMOWITZ and STEGUN 1972) (3. ábra). 1 1 (12) J(x) J1(x) x 3. ábra J (.) és J 1 (.) elsőfajú nulladrendű és elsőrendű Bessel-függvények grafkonja 159

13 A 4. ábrán a három függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvheng1 meredekebb lefutású, mnt a másk kettő, bár a függvények meredeksége most s függ a B szám értékétől. A táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához.. A gyökök megkereséséhez most s Newton terácós formuláját használtuk. A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y h értéket fvheng1 fvheng2 fvheng β 4. ábra A végtelen henger esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált három függvénykapcsolat (fvheng1, fvheng2 és fvheng3) grafkonja 16

14 8. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,55112E-17, ,1122E-16 3, ,138E-2 2 3, ,6422E-14 3, ,54952E-15 3, ,49186E , ,86535E-12 7, ,5449E-13 7, ,61343E , ,16174E-12 1, ,14131E-13 1, ,42594E , ,43769E-13 13, ,3548E-14 13, ,92155E , ,49214E-12 16, ,5942E-14 16, ,89913E , ,17986E-12 19, ,6411E-13 19, ,37657E , ,17382E-11 22, ,1581E-13 22, ,3179E , ,523E-11 25, ,72999E-13 25, ,8359E , ,4694E-11 29, ,64E-13 29, ,7444E , ,99512E-11 32, ,55165E-12 32, ,988E , ,8829E-11 35, ,6335E-11 35, ,96558E , ,1888E-1 38, ,84617E-12 38, ,4579E , ,3544E-11 41, ,9392E-13 41, ,911E , ,73777E-1 44, ,8459E-12 44, ,27122E , ,3847E-1 47, ,37332E-11 47, ,66525E , ,22784E-1 51, ,1432E-11 51, ,43694E , ,77211E-1 54, ,11591E-12 54, ,77244E , ,9454E-1 57, ,3223E-12 57, ,7493E , ,69477E-1 6, ,76357E-12 6, ,98284E , ,15996E-11 63, ,11129E-13 63, ,5752E , ,87898E-1 66, ,23E-11 66, ,1587E , ,52E-11 69, ,44151E-13 69, ,736E , ,1334E-11 73, ,39773E-13 73, ,91961E , ,88E-1 76, ,364E-12 76, ,847E , ,1333E-1 79, ,3989E-12 79, ,2326E , ,9228E-1 82, ,18237E-12 82, ,15529E , ,96259E-1 85, ,96532E-12 85, ,324E , ,1946E-1 88, ,46825E-12 88, ,4526E , ,44745E-1 91, ,55233E-1 91, ,46721E , ,18125E-9 95, ,15883E-11 95, ,869E , ,77298E-11 98, ,84359E-13 98, ,54737E , ,5436E-1 11, ,5155E-12 11, ,95124E , ,6283E-1 14, ,23586E-12 14, ,21475E , ,36243E-1 17, ,12528E-12 17, ,219E , ,5891E-1 11, ,5868E-12 11, ,25525E , ,2428E-1 113, ,1687E , ,3588E , ,35935E-9 117, ,16163E , ,2839E , ,16833E-1 12, ,46889E-12 12, ,2624E , ,43E-9 123, ,65687E , ,95253E

15 9. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,E+, ,E+ 3, ,2759E-2 2 3, ,56763E-13 3, ,21485E-15 3, ,8124E , ,33227E-13 7, ,353E-13 7, ,4193E , ,27374E-13 1, ,24265E-14 1, ,58581E , ,53122E-12 13, ,14797E-13 13, ,5841E , ,29337E-12 16, ,62E-13 16, ,92741E , ,2556E-12 19, ,37268E-14 19, ,14839E , ,95941E-12 22, ,29785E-13 22, ,17187E , ,6791E-11 25, ,3428E-12 25, ,7833E , ,42144E-12 29, ,86517E-13 29, ,76168E , ,48539E-12 32, ,7419E-13 32, ,39565E , ,16714E-1 35, ,318E-12 35, ,4339E , ,2615E-11 38, ,35181E-12 38, ,73889E , ,2757E-1 41, ,6355E-12 41, ,78864E , ,7657E-11 44, ,18181E-12 44, ,6174E , ,9337E-11 47, ,56937E-11 47, ,982E , ,84997E-1 51, ,6332E-12 51, ,4711E , ,76561E-11 54, ,79519E-13 54, ,53231E , ,9433E-11 57, ,634E-12 57, ,1211E , ,89777E-11 6, ,9797E-13 6, ,31973E , ,7681E-12 63, ,37779E-13 63, ,37911E , ,73683E-11 66, ,77145E-11 66, ,27814E , ,56765E-1 69, ,53499E-12 69, ,24324E , ,86432E-1 73, ,55229E-12 73, ,38299E , ,5632E-11 76, ,92761E-13 76, ,7434E , ,45961E-1 79, ,185E-12 79, ,77781E , ,42636E-1 82, ,9422E-12 82, ,5858E , ,95174E-1 85, ,4482E-12 85, ,97349E , ,48495E-11 88, ,5374E-13 88, ,27956E , ,36994E-1 91, ,45526E-1 91, ,14672E , ,3375E-1 95, ,71825E-11 95, ,45796E , ,7676E-1 98, ,77587E-12 98, ,445E , ,6391E-1 11, ,83982E-12 11, ,4568E , ,11E-1 14, ,58122E-13 14, ,4899E , ,43789E-1 17, ,19522E-12 17, ,45767E , ,34374E-1 11, ,6317E-12 11, ,281E , ,31552E-1 113, ,3315E , ,5222E , ,7822E-1 117, ,37743E , ,75355E , ,98346E-1 12, ,14735E-12 12, ,1859E , ,61334E-1 123, ,98541E , ,1916E

16 1. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,1122E-16, ,66134E-16, ,55112E , ,21885E-14 3, ,6581E-14 3, ,7285E , ,98792E-13 7, ,62883E-14 7, ,4994E , ,54543E-13 1, ,599E-14 1, ,8735E , ,56319E-13 13, ,16573E-14 13, ,27676E , ,1457E-13 16, ,44249E-14 16, ,3731E , ,99885E-13 19, ,56382E-14 19, ,2577E , ,4853E-12 22, ,52811E-14 22, ,449E , ,93623E-12 25, ,467E-14 25, ,85643E , ,66516E-11 29, ,72875E-13 29, ,45557E , ,11777E-12 32, ,89959E-13 32, ,3354E , ,518E-12 35, ,91429E-14 35, ,64746E , ,1167E-13 38, ,58762E-14 38, ,2696E , ,1486E-12 41, ,71418E-13 41, ,626E , ,29337E-11 44, ,37237E-13 44, ,2299E , ,5783E-11 47, ,6342E-13 47, ,574E , ,7848E-11 51, ,37139E-13 51, ,23193E , ,87E-12 54, ,25455E-13 54, ,875E , ,8398E-11 57, ,37996E-13 57, ,17166E , ,5187E-11 6, ,6577E-13 6, ,6898E , ,21982E-11 63, ,7335E-13 63, ,6762E , ,74794E-12 66, ,6213E-14 66, ,27676E , ,65592E-12 69, ,1463E-14 69, ,86496E , ,24336E-11 73, ,8869E-13 73, ,7113E , ,83222E-11 76, ,63567E-11 76, ,69864E , ,2415E-1 79, ,8629E-12 79, ,89571E , ,73399E-11 82, ,5915E-12 82, ,65322E , ,9833E-11 85, ,6545E-13 85, ,63E , ,18652E-11 88, ,71623E-13 88, ,99771E , ,222E-11 91, ,246E-13 91, ,15934E , ,4353E-12 95, ,599E-14 95, ,17562E , ,74438E-11 98, ,92539E-13 98, ,9968E , ,9459E-11 11, ,2931E-13 11, ,99285E , ,6814E-11 14, ,16135E-1 14, ,34823E , ,453E-11 17, ,8862E-11 17, ,1677E , ,17799E-11 11, ,91771E-12 11, ,4311E , ,6329E-1 113, ,68985E , ,442E , ,23483E , ,61933E , ,33435E , ,71978E-11 12, ,25642E-13 12, ,6494E , ,23483E , ,44169E , ,23512E

17 11. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,4489E-16 1, ,E+ 1, ,E+ 2 4, ,77636E-15 4, ,88178E-16 4, ,1122E , ,17968E-13 7, ,21565E-15 7, ,996E , ,61853E-14 1, ,4489E-15 1, ,1122E , ,21725E-14 13, ,66294E-15 13, ,9921E , ,81188E-13 16, ,1122E-14 16, ,13718E , ,68434E-13 19, ,88658E-14 19, ,1929E , ,19744E-14 22, ,33227E-15 22, ,2245E , ,699E-13 25, ,725E-14 25, ,2466E , ,46727E-12 29, ,441E-14 29, ,46625E , ,4941E-12 32, ,74936E-14 32, ,882E , ,18447E-11 35, ,67977E-13 35, ,25375E , ,2376E-14 38, ,44249E-15 38, ,77556E , ,7387E-11 41, ,7483E-13 41, ,16254E , ,56319E-11 44, ,4954E-13 44, ,42643E , ,5382E-12 47, ,26454E-13 47, ,45578E , ,4758E-11 51, ,36762E-13 51, ,22797E , ,23857E-12 54, ,1519E-13 54,24 4 1,24761E , ,5289E-11 57, ,13398E-12 57, ,35981E , ,36646E-12 6, ,5138E-13 6, ,7969E , ,443E-11 63, ,2712E-13 63, ,2657E , ,7246E-11 66, ,5497E-13 66, ,48968E , ,61853E-12 69, ,6583E-14 69, ,352E , ,9317E-11 73, ,1346E-13 73, ,74561E , ,29319E-12 76, ,69864E-14 76, ,5443E , ,7575E-1 79, ,47522E-12 79, ,2854E , ,2955E-11 82, ,99458E-13 82, ,5118E , ,1454E-11 85, ,9619E-13 85, ,1433E , ,71712E-11 88, ,688E-13 88, ,59237E , ,38458E-11 91, ,5957E-13 91, ,15938E , ,7514E-11 95, ,39155E-13 95, ,23193E , ,5585E-11 98, ,59792E-13 98, ,9277E , ,5242E-11 11, ,43929E-13 11, ,1425E , ,38973E-11 14, ,218E-13 14, ,2871E , ,65397E-11 17, ,82387E-11 17, ,4762E , ,529E-11 11, ,7464E-12 11, ,13E , ,94134E-1 113, ,7464E , ,45317E , ,6466E , ,26152E , ,66672E , ,2757E-11 12, ,38982E-13 12, ,19467E , ,46727E , ,6768E , ,51642E

18 12. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,77636E-15 1, ,3367E-16 1, ,1122E , ,55271E-15 4, ,55431E-15 4, ,1122E , ,57572E-14 7, ,43769E-15 7, ,66134E , ,88178E-15 1, ,88178E-16 1, ,88178E , ,55271E-15 13, ,2245E-16 13, ,2245E , ,7516E-14 16, ,88578E-15 16, ,77476E , ,26326E-14 19, ,9984E-15 19, ,88738E , ,61853E-14 22, ,9984E-15 22, ,66533E , ,55271E-15 26, ,2245E-16 26, ,1122E , ,91847E-13 29, ,43929E-15 29, ,77396E , ,56319E-13 32, ,88498E-15 32, ,44169E , ,4161E-13 35, ,882E-14 35, ,1543E , ,84741E-13 38, ,66294E-15 38, ,1862E , ,18696E-13 41, ,17684E-14 41, ,1543E , ,6291E-13 44, ,173E-15 44, ,55271E , ,5195E-12 48, ,39249E-14 48, ,39568E , ,2423E-13 51, ,53211E-14 51, ,99281E , ,6617E-12 54, ,32587E-14 54, ,3367E , ,59872E-12 57, ,85327E-14 57, ,46549E , ,7348E-12 6, ,4591E-14 6, ,8457E , ,3687E-12 63, ,28786E-13 63, ,63123E , ,3171E-11 66, ,54543E-13 66, ,7781E , ,44427E-12 69, ,583E-14 69, ,65978E , ,75167E-12 73, ,11813E-14 73, ,39253E , ,89E-12 76, ,73115E-14 76, ,25455E , ,99325E-12 79, ,1821E-14 79, ,2482E , ,119E-12 82, ,8327E-14 82, ,3211E , ,29541E-12 85, ,37188E-14 85, ,16414E , ,84963E-12 88, ,7495E-14 88, ,2585E , ,29123E-11 91, ,58158E-13 91, ,235E , ,22355E-11 95, ,28786E-13 95, ,25691E , ,1795E-11 98, ,2126E-13 98, ,82947E , ,19371E-11 11, ,17684E-13 11, ,66294E , ,48361E-11 14, ,41998E-13 14, ,53446E , ,64562E-11 17, ,52989E-13 17, ,8738E , ,76E-12 11, ,4229E-14 11, ,21485E , ,35287E , ,18794E , ,43534E , ,71125E , ,43849E , ,74225E , ,4734E-11 12, ,71525E-14 12, ,16969E , ,3499E , ,64979E , ,9234E

19 13. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,66454E-15 2, ,33227E-15 2, ,9984E ,3321 5,E+ 5, ,77476E-15 5, ,21725E , ,9738E-14 7, ,21725E-15 7, ,882E , ,59872E-14 1, ,55431E-15 1, ,44249E , ,95399E-14 13, ,44329E-15 13, ,44249E , ,1543E-15 17, ,2245E-16 17, ,66134E , ,61853E-14 2, ,2245E-15 2, ,77476E , ,1134E-13 23, ,66294E-15 23, ,1543E , ,39488E-14 26, ,2245E-15 26, ,55271E , ,19744E-14 29, ,9921E-16 29, ,55431E , ,2792E-13 32, ,66374E-15 32, ,88498E , ,33431E-13 35, ,2141E-14 35, ,33227E , ,54223E-13 38, ,45439E-14 38, ,77636E , ,25278E-13 41, ,32117E-14 41, ,79856E , ,36424E-12 44, ,583E-14 44, ,6342E , ,49214E-12 48, ,89688E-14 48, ,39648E , ,98952E-13 51, ,33147E-15 51, ,44249E , ,4522E-13 54, ,86517E-14 54, ,9762E , ,4161E-12 57, ,92859E-14 57, ,4229E , ,27898E-12 6, ,9832E-14 6, ,13163E , ,1694E-12 63, ,73115E-14 63, ,36158E , ,59162E-12 66, ,35367E-14 66, ,29816E , ,94689E-12 7, ,77556E-14 7, ,6213E , ,19744E-12 73, ,3527E-14 73, ,311E , ,22213E-12 76, ,6982E-14 76, ,44329E , ,27374E-13 79, ,88658E-15 79, ,55351E , ,81375E-12 82, ,39728E-14 82, ,9754E , ,9424E-12 85, ,26565E-14 85, ,882E , ,11218E-12 88, ,4972E-14 88, ,95319E , ,25953E-12 91, ,44249E-14 91, ,3171E , ,4112E-12 95, ,19744E-14 95, ,692E , ,29692E-12 98, ,35287E-14 98, ,68674E , ,67386E-13 11, ,54952E-15 11, ,88418E , ,3739E-12 14, ,76996E-15 14, ,6654E , ,8478E-12 17, ,67644E-14 17, ,27676E , ,61329E-12 11, ,6262E-14 11, ,8327E , ,9646E , ,35127E , ,9857E , ,1399E , ,2425E , ,85247E , ,17799E-12 12, ,4861E-14 12, ,5221E , ,95586E , ,3988E , ,7974E

20 14. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,9984E-14 2, ,65974E-15 2, ,6581E , ,33227E-14 5, ,77476E-15 5, ,66294E , ,6581E-14 8, ,33227E-15 8, ,1862E , ,84217E-14 11, ,66454E-15 11, ,66134E , ,6581E-14 14, ,88178E-16 14, ,2245E , ,3297E-14 17, ,88658E-15 17, ,32587E , ,467E-14 2, ,55271E-15 2, ,1994E , ,6581E-14 23, ,4489E-16 23, ,77636E , ,4869E-14 26, ,9921E-16 26, ,55271E , ,81597E-14 3, ,44249E-15 3, ,76996E , ,2376E-14 33, ,66454E-15 33, ,6581E , ,12639E-13 36, ,65974E-15 36, ,3758E , ,84741E-13 39, ,88498E-15 39, ,9958E , ,68434E-14 42, ,55431E-15 42, ,3297E , ,4219E-14 45, ,4489E-16 45, ,88178E , ,19744E-13 48, ,66134E-16 48, ,66454E , ,84217E-13 51, ,2185E-15 51, ,2245E , ,67386E-13 54, ,1463E-15 54, ,24185E , ,53699E-13 58, ,14353E-14 58, ,52971E , ,4161E-13 61, ,55112E-15 61, ,2245E , ,12115E-13 64, ,5532E-15 64, ,53131E , ,6791E-13 67, ,9921E-15 67, ,9799E , ,9738E-13 7, ,1543E-15 7, ,75335E , ,9424E-12 73, ,4766E-14 73, ,72875E , ,9738E-13 76, ,5532E-15 76, ,4869E , ,83693E-13 79, ,88498E-15 79, ,86517E ,63 3 9,9495E-13 83,63 3 1,9912E-14 83,63 5 4,133E , ,37916E-13 86, ,882E-14 86, ,4121E , ,39488E-13 89, ,1543E-15 89, ,6213E , ,16529E-12 92, ,24345E-14 92, ,61853E , ,1543E-13 95, ,32747E-15 95, ,7894E , ,13687E-12 98, ,16573E-14 98, ,17444E , ,29319E-12 11, ,26565E-14 11, ,4853E , ,9495E-13 14, ,54872E-15 14,94 5-3,6422E , ,22213E-12 18, ,13243E-14 18, ,95239E , ,5256E , ,37668E , ,7735E , ,49214E , ,32117E , ,4853E , ,47793E , ,26565E , ,26326E , ,52651E-14 12, ,4489E-16 12, ,2245E , ,3216E , ,84297E , ,17284E

21 15. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvheng1 fvheng2 fvheng3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,3297E-14 2, ,28786E-14 2, ,59872E , ,1134E-13 5, ,6822E-14 5, ,1122E , ,55271E-15 8, ,3367E-16 8, ,88178E , ,57252E-14 11, ,77316E-15 11, ,55431E , ,7415E-14 14, ,9952E-15 14, ,8277E , ,17124E-14 17, ,55191E-15 17, ,599E ,36 4 1,52767E-13 21,36 4 7,32747E-15 21,36 4 2,6213E , ,59872E-13 24, ,5532E-15 24, ,53131E , ,1543E-15 27, ,1122E-16 27, ,88178E , ,59233E-14 3, ,1862E-15 3, ,33227E , ,9476E-14 33, ,9976E-15 33, ,33227E , ,1543E-14 36, ,9984E-15 36, ,88178E , ,63425E-13 39, ,1783E-15 39, ,95399E , ,26326E-13 42, ,27676E-14 42, ,79616E , ,1543E-14 45, ,66533E-15 45, ,99361E , ,12639E-13 49, ,21725E-15 49, ,19744E , ,12115E-13 52, ,99361E-15 52, ,9968E , ,69482E-13 55, ,88338E-15 55, ,4639E , ,55271E-13 58, ,32827E-15 58, ,19744E , ,18696E-13 61, ,43769E-15 61, ,39488E , ,83693E-13 64, ,77316E-15 64, ,19744E , ,54747E-13 67, ,66134E-15 67, ,64153E , ,1167E-13 7, ,65974E-15 7, ,7735E , ,53699E-13 73, ,7776E-15 73, ,88498E , ,55271E-13 77, ,66294E-15 77, ,57572E , ,55271E-13 8, ,32987E-15 8, ,4869E , ,27898E-13 83, ,55431E-15 83, ,88178E , ,4219E-13 86, ,77636E-15 86, ,88178E , ,53699E-13 89, ,32747E-15 89, ,17444E , ,22213E-12 92, ,32117E-14 92, ,467E , ,4161E-13 95, ,55271E-15 95, ,4281E , ,66862E-13 98, ,7776E-15 98, ,9738E , ,52651E-13 12, ,43769E-15 12, ,7735E , ,84217E-14 15, ,2245E-16 15, ,88178E , ,52651E-13 18, ,77156E-15 18, ,4489E , ,9424E , ,9921E , ,5671E , ,55795E , ,1942E , ,24345E , ,26477E , ,882E , ,3961E , ,4687E-12 12, ,16573E-14 12, ,4837E , ,49214E , ,1994E , ,7516E

22 A tömör gömb esetében a (8) egyenlet gyökenek meghatározása a feladat. Három függvénykapcsolattá rendezhetjük át az egyenletet, és e három függvény zérus helyet kell meghatároznunk: β cot ( β ) = 1 B π fvgömb1= tg + β 2 1 B β π fvgömb2 = β tg + β 2 fvgömb3 = ( 1 B) tg( β ) β ( 1 B) (13) fvgömb1 fvgömb2 fvgömb β 5. ábra Tömör gömb esetén a transzcendens egyenlet gyökenek meghatározásához felhasznált három függvénykapcsolat (fvgömb1, fvgömb2 és fvgömb3) grafkonja A 4. ábrán a három függvény lefutását szemlélhetjük meg. Látható, hogy a fvgömb2 meredekebb lefutású, mnt a másk kettő, bár a függvények meredeksége most s függ a B szám értékétől. A táblázat különböző B szám értékek mellett kszámolt gyök értékeket, a számításhoz szükséges relatív dőket és a gyökhelyeken számított függvényértékeket tartalmazza. A táblázatok alapján az adott B értékhez kválasztható melyk 169

23 függvényt célszerű használn a gyökök meghatározásához.. A gyökök megkereséséhez most s Newton terácós formuláját használtuk. A gyökök smeretében a végtelen sor tagjaból az előírt pontosságnak megfelelő számú tagot felhasználva kapjuk az Y g értéket. 16. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,4489E-16, ,1122E-16, ,E+ 2 4, ,32667E-17 4, ,4489E-16 4, ,55271E , ,77396E-15 7, ,77396E-15 7, ,4281E , ,3367E-16 1, ,66374E-15 1, ,55271E , ,2245E-16 14, ,9976E-15 14, ,1981E , ,1233E-15 17, ,6423E-14 17, ,52651E , ,2692E-15 2, ,86988E-14 2, ,88294E , ,8735E-16 23, ,4489E-15 23, ,91731E , ,245E-17 26, ,66533E-15 26, ,32871E , ,33227E-15 29, ,9635E-14 29, ,72511E , ,21431E-15 32, ,9968E-14 32, ,7554E , ,14412E-15 36, ,73825E-14 36, ,448E , ,67921E-15 39, ,59472E-14 39, ,39488E , ,63411E-15 42, ,92779E-14 42, ,3394E , ,66748E-16 45, ,4861E-14 45, ,41434E , ,73E-15 48, ,28226E-14 48, ,51941E , ,4715E-15 51, ,62723E-14 51, ,82121E , ,7478E-15 54, ,599E-13 54, ,2756E , ,89699E-15 58, ,68421E-13 58, ,2641E , ,45717E-16 61, ,88178E-15 61, ,3471E , ,498E-15 64, ,1267E-13 64, ,532E , ,2829E-15 67, ,5421E-13 67, ,13776E , ,47572E-15 7, ,57634E-13 7, ,2328E , ,3211E-15 73, ,17635E-13 73, ,5964E , ,2881E-15 76, ,7681E-13 76, ,7141E , ,16414E-15 8, ,53464E-13 8, ,81846E , ,314E-16 83, ,7692E-14 83, ,2736E , ,77649E-15 86, ,26295E-13 86, ,26761E , ,23286E-15 89, ,57998E-13 89, ,1543E , ,62717E-15 92, ,5768E-13 92, ,428E , ,3538E-15 95, ,29674E-13 95, ,51852E , ,5565E-15 98, ,53988E-13 98, ,9524E , ,6539E-16 12, ,17364E-14 12, ,472E , ,726E-15 15, ,12688E-13 15, ,53317E , ,8785E-15 18, ,29385E-13 18, ,17275E , ,91621E , ,48228E , ,1122E , ,95878E , ,8312E , ,96199E , ,76341E , ,25517E , ,83835E , ,98466E-15 12, ,81948E-13 12, ,16431E , ,2716E , ,99711E , ,7697E-11 17

24 17. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1, ,88178E-16, ,2245E-16, ,E+ 2 4, ,38778E-16 4, ,55112E-16 4, ,4489E , ,32987E-15 7, ,32987E-15 7, ,77636E , ,32667E-17 1, ,9921E-16 1, ,55271E , ,5311E-16 14, ,4489E-15 14, ,34888E , ,84495E-15 17, ,3678E-14 17, ,69482E , ,74166E-15 2, ,55271E-14 2, ,26326E , ,37844E-15 23, ,43929E-14 23, ,5671E , ,3825E-15 26, ,79616E-14 26, ,19744E , ,6767E-15 29, ,2474E-13 29, ,5774E , ,2628E-15 32, ,467E-14 32, ,77298E , ,23886E-16 36, ,88738E-14 36, ,72662E , ,51882E-15 39, ,8929E-14 39, ,37845E , ,2426E-15 42, ,26246E-14 42, ,9461E , ,22125E-15 45, ,56222E-14 45, ,14397E , ,25514E-16 48, ,1122E-14 48, ,9159E , ,828E-16 51, ,6343E-14 51, ,342E , ,27249E-15 54, ,249E-13 54, ,86873E , ,32359E-15 58, ,69385E-14 58, ,4782E , ,5658E-15 61, ,87184E-13 61, ,57776E , ,2797E-15 64, ,4343E-13 64, ,9273E , ,54858E-15 67, ,4222E-13 67, ,1518E , ,8981E-15 7, ,144E-13 7, ,6654E , ,99E-15 73, ,4222E-13 73, ,71241E , ,58994E-15 76, ,99285E-13 76, ,84315E , ,25875E-15 8, ,41172E-13 8, ,5755E , ,25514E-16 83, ,87628E-14 83, ,32436E , ,8284E-15 86, ,57874E-13 86, ,95444E , ,5227E-15 89, ,34448E-13 89, ,13767E , ,3257E-15 92, ,5171E-13 92, ,56746E , ,4389E-15 95, ,37668E-13 95, ,3162E , ,942E-16 98, ,82787E-14 98, ,1137E , ,8659E-15 12, ,96714E-13 12, ,8225E , ,14786E-15 15, ,46927E-13 15, ,28839E , ,65773E-15 18, ,477E-13 18, ,43281E , ,8758E , ,1134E , ,81357E , ,5118E , ,2567E , ,74554E , ,93335E , ,27818E , ,3349E , ,41581E-15 12, ,54921E-13 12, ,9794E , ,62824E , ,74318E , ,3598E

25 18. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,66533E-16 1, ,3367E-16, 2,E+ 2 4, ,91434E-16 4, ,33227E-15 3, ,14159E+ 3 7, ,21645E-15 7, ,21645E-15 6, ,28319E+ 4 1, ,498E-16 1, ,77556E-15 9, ,42478E+ 5 14, ,8167E-16 14, ,9976E-15 12, ,25664E , ,483E-16 17, ,94289E-15 15, ,578E+1 7 2, ,14759E-15 2, ,186E-13 18, ,88496E , ,9134E-16 23, ,8547E-14 21, ,19911E , ,4697E-16 26, ,55112E-15 25, ,51327E , ,62557E-15 29, ,386E-13 28, ,82743E , ,29251E-15 32, ,858E-13 31, ,14159E , ,13478E-16 36, ,85962E-14 34, ,45575E , ,67147E-16 39, ,4916E-14 37, ,76991E , ,22312E-15 42, ,36668E-13 4, ,847E , ,21965E-15 45, ,46549E-13 43, ,39823E , ,4573E-15 48, ,6831E-13 47, ,71239E , ,4179E-15 51, ,7633E-13 5, ,2655E , ,48839E-15 54, ,18234E-14 53, ,3471E , ,4617E-15 58, ,7697E-13 56, ,65487E , ,5241E-15 61, ,1466E-13 59, ,9693E , ,94497E-15 64, ,47198E-13 62, ,28319E , ,6213E-15 67, ,1284E-13 65, ,59734E , ,93976E-15 7, ,9497E-13 69, ,9115E , ,6596E-15 73, ,9167E-13 72, ,22566E , ,56666E-15 76, ,51497E-13 75, ,53982E , ,81479E-15 8, ,65794E-13 78, ,85398E , ,81219E-15 83, ,83835E-13 81, ,16814E , ,1147E-15 86, ,69118E-13 84, ,4823E , ,62751E-15 89, ,93359E-13 87, ,79646E , ,1838E-15 92, ,969E-13 91, ,1162E , ,17114E-15 95, ,9968E-13 94, ,42478E , ,28657E-15 98, ,23137E-13 97, ,73894E , ,27249E-15 12, ,3237E-13 1, ,531E , ,365E-16 15, ,73746E-14 13, ,3673E , ,7318E-16 18, ,5471E-13 16, ,6814E , ,48533E , ,34888E-14 19, ,9956E , ,42968E , ,22835E , ,1397E , ,73673E , ,75848E , ,16239E , ,35669E-16 12, ,5787E , ,19381E , ,39559E , ,73195E , ,22522E+2 172

26 19. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,21629E-16 1, ,5213E-16 1,578,E+ 2 4, ,44921E-16 4, ,15416E-15 4,71239,E+ 3 7, ,88541E-15 7, ,88541E-15 7,85398,E+ 4 1, ,89843E-16 1, ,3861E-15 1,99557,E+ 5 14, ,1233E-16 14, ,65623E-15 14,13717,E+ 6 17, ,34764E-16 17, ,26958E-14 17,27876,E+ 7 2, ,4994E-15 2, ,525E-14 2,4235,E+ 8 23, ,79685E-16 23, ,3833E-14 23,56194,E+ 9 26, ,65486E-15 26, ,2431E-13 26,7354,E+ 1 29, ,22461E-15 29, ,65485E-14 29,84513,E , ,2565E-15 32, ,27571E-14 32,98672,E , ,46953E-15 36, ,3916E-14 36,12832,E , ,9673E-15 39, ,69975E-14 39,26991,E , ,71445E-15 42, ,27124E-14 42,4115,E , ,7158E-15 45, ,8162E-14 45,5539,E , ,95937E-15 48, ,5419E-14 48,69469,E , ,4788E-15 51, ,62451E-14 51,83628,E , ,2429E-15 54, ,21187E-13 54,97787,E , ,22596E-15 58, ,12522E-14 58,11946,E+ 2 61, ,44921E-15 61, ,541E-13 61,2616,E , ,814E-16 64, ,31816E-14 64,4265,E , ,41129E-15 67, ,97957E-13 67,54424,E+ 23 7, ,36931E-15 7, ,522E-13 7,68583,E , ,9396E-15 73, ,16983E-13 73,82743,E , ,91198E-16 76, ,787E-14 76,9692,E+ 26 8, ,92145E-15 8, ,1415E-13 8,1161,E , ,85915E-15 83, ,7139E-13 83,25221,E , ,4289E-15 86, ,96236E-13 86,3938,E , ,35525E-18 89, ,21343E-16 89,53539,E+ 3 92, ,43161E-15 92, ,1831E-13 92,67698,E , ,86186E-15 95, ,57494E-13 95,81858,E , ,91874E-15 98, ,87799E-13 98,9617,E , ,88487E-16 12, ,98754E-14 12,1176,E , ,94177E-15 15, ,961E-13 15,24335,E , ,3722E-15 18, ,9631E-13 18,38495,E , ,4858E , ,91674E ,52654,E , ,7833E , ,12183E ,66813,E , ,45192E , ,8886E ,8972,E , ,88218E-15 12, ,11457E-13 12,95132,E , ,89843E , ,786E ,9291,E+ 173

27 2. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,4489E-16 2, ,4489E-16 2, ,4489E , ,77156E-16 5, ,4489E-15 5, ,3297E , ,88178E-16 8, ,88178E-16 8, ,55271E , ,1122E-16 11, ,33227E-15 11, ,77636E , ,88578E-16 14, ,3297E-15 14, ,4869E , ,94289E-16 17, ,55271E-15 17, ,24345E , ,22125E-15 2, ,3988E-14 2, ,39488E , ,4489E-15 23, ,83897E-14 23, ,56319E , ,2482E-15 26, ,35891E-13 26, ,88178E , ,9449E-15 29, ,92779E-14 29, ,24345E , ,16334E-17 33, ,88178E-16 33, ,68958E , ,34455E-15 36, ,21236E-13 36, ,96332E , ,5471E-15 39, ,133E-14 39, ,82E , ,8411E-16 42, ,99361E-15 42, ,96332E , ,1526E-15 45, ,43885E-13 45, ,19371E , ,13638E-15 48, ,52767E-13 48, ,3844E , ,6566E-15 51, ,38112E-13 51, ,87583E ,54 3-2,58127E-15 55,54 3-1,4219E-13 55,54 3-6,46594E , ,19189E-15 58, ,8673E-13 58, ,894E , ,7478E-15 61, ,6831E-13 61, ,51532E , ,71845E-16 64, ,1981E-14 64, ,1312E , ,3538E-15 67, ,14824E-14 67, ,63274E , ,3563E-15 7, ,49418E-13 7, ,12639E , ,38618E-15 73, ,5466E-13 73, ,75691E , ,15934E-16 77, ,1661E-14 77, ,66489E , ,86337E-15 8, ,69846E-13 8, ,8327E , ,9921E-16 83, ,3447E-14 83, ,64544E , ,19349E-15 86, ,3473E-13 86, ,84439E , ,27596E-15 89, ,3393E-13 89, ,31735E , ,38538E-15 92, ,6342E-13 92, ,18847E , ,54577E-15 95, ,4172E-13 95, ,21645E ,55 3 4,7672E-15 99,55 3 4,71623E-13 99, ,56319E , ,42622E-15 12, ,54223E-13 12, ,896E , ,89272E-15 15, ,9894E-13 15, ,16378E , ,52416E-15 18, ,9274E-13 18, ,2693E , ,5295E , ,2836E , ,17648E , ,33521E , ,2653E , ,2288E , ,3985E , ,8991E , ,9174E , ,6452E-15 12, ,3357E-13 12, ,56168E , ,73847E , ,12319E , ,19229E

28 21. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 2, ,77636E-15 2, ,3297E-15 2, ,88178E , ,1122E-15 5, ,3297E-15 5, ,4489E , ,4219E-14 8, ,4219E-14 8, ,4219E , ,88178E-16 11, ,6581E-14 11, ,24345E , ,3367E-15 14, ,4869E-14 14, ,77636E , ,1942E-15 17, ,7335E-14 17, ,1543E , ,82947E-15 2, ,1252E-13 2, ,1543E , ,82867E-15 23, ,68434E-14 23, ,13163E , ,66134E-16 27, ,95399E-14 27, ,9476E , ,4489E-16 3, ,59872E-14 3, ,56319E , ,88578E-16 33, ,24345E-14 33, ,76E , ,1862E-15 36, ,13687E-13 36, ,9799E , ,5847E-15 39, ,4219E-13 39, ,5533E , ,1122E-16 42, ,3297E-15 42, ,4161E , ,1122E-15 45, ,15143E-14 45, ,7516E , ,2536E-15 48, ,49214E-13 48, ,7516E , ,58127E-15 52, ,33227E-13 52, ,2389E , ,498E-16 55, ,4219E-14 55, ,4485E , ,96985E-15 58, ,7483E-13 58, ,61853E , ,63678E-15 61, ,61648E-13 61, ,69482E , ,19349E-15 64, ,81597E-14 64, ,98952E , ,88658E-15 67, ,95399E-13 67, ,11218E , ,88418E-15 7, ,17444E-13 7, ,71951E , ,63278E-16 73, ,68434E-14 73, ,789E , ,9853E-15 77, ,38236E-13 77, ,374E , ,42781E-15 8, ,75335E-13 8, ,93641E , ,48173E-15 83, ,583E-13 83, ,67164E , ,28744E-15 86, ,56524E-13 86, ,13687E , ,6496E-15 89, ,15668E-13 89, ,82272E , ,17881E-15 92, ,255E-13 92, ,12639E , ,13558E-15 95, ,96128E-13 95, ,33582E , ,52496E-15 99, ,48166E-13 99, ,89E , ,498E-16 12, ,66454E-14 12, ,59384E , ,39766E-15 15, ,7516E-13 15, ,19371E , ,6229E-15 18, ,84217E-13 18, ,6664E , ,35922E , ,6291E , ,381E , ,4948E , ,44294E , ,56319E , ,1543E , ,3844E , ,659E , ,625E , ,8345E , ,4161E , ,2482E , ,78888E , ,41434E

29 22. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 5 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 3, ,54543E-13 3, ,83169E-13 3, ,88498E , ,E+ 6, ,E+ 6, ,66454E , ,84741E-13 9, ,84741E-13 9, ,7335E , ,99361E-15 12, ,9476E-14 12, ,84217E , ,88178E-16 15, ,4219E-14 15,4339 5,E+ 6 18, ,3297E-15 18, ,2376E-14 18, ,39488E , ,599E-14 21, ,25278E-13 21, ,26326E , ,76996E-15 24, ,41585E-13 24, ,4219E , ,1122E-15 27, ,84217E-14 27, ,59233E , ,66134E-15 3, ,68434E-13 3, ,4219E , ,54952E-15 33, ,55795E-13 33, ,2268E , ,33227E-15 37, ,9738E-14 37, ,2376E , ,21565E-15 4, ,33955E-13 4, ,27898E , ,173E-15 43, ,2268E-13 43, ,84217E , ,77636E-15 46, ,52651E-14 46, ,81597E , ,1122E-16 49, ,1543E-15 49, ,753E , ,88418E-15 52, ,5533E-13 52, ,41585E , ,22125E-15 55, ,1543E-14 55, ,76E , ,9921E-16 58, ,68434E-14 58, ,77112E , ,66294E-15 61, ,84217E-13 61, ,33955E , ,66214E-15 65, ,69482E-13 65, ,41585E , ,3297E-15 68, ,69482E-13 68, ,76E , ,77236E-15 71, ,83169E-13 71, ,13687E , ,77476E-15 74, ,77112E-13 74, ,4536E , ,77556E-15 77, ,2268E-13 77, ,82645E , ,88178E-16 8, ,1543E-14 8, ,9424E , ,21565E-15 83, ,82121E-13 83, ,412E , ,9921E-16 86, ,52651E-14 86, ,37916E , ,9952E-15 9, ,412E-13 9, ,2376E , ,77236E-15 93, ,32383E-13 93, ,119E , ,88178E-16 96, ,52651E-14 96, ,12266E , ,2245E-15 99, ,2268E-13 99, ,2376E , ,27676E-15 12, ,353E-13 12, ,1518E , ,27436E-15 15, ,47642E-13 15, ,47793E , ,5151E-15 18, ,54223E-13 18, ,4161E , ,77236E , ,6281E , ,52651E ,77 5-5,6663E ,77 5-6,39488E ,77 8 1,374E , ,16174E , ,24754E , ,26326E , ,82947E , ,82645E , ,66267E , ,1122E , ,4219E , ,93268E

30 23. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B = 1 esetén fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 3, ,13687E-13 3, ,55271E-13 3, ,73195E , ,3297E-14 6, ,2685E-13 6, ,4219E , ,9588E-13 9, ,9588E-13 9, ,99361E , ,3758E-14 12, ,26326E-13 12, ,3961E , ,2245E-14 15, ,55271E-13 15, ,86198E , ,14824E-14 18, ,17426E-12 18, ,353E , ,88178E-16 21, ,4219E-14 21, ,84741E , ,57252E-14 24, ,63425E-12 24, ,59872E , ,4853E-14 27, ,26477E-12 27, ,56319E , ,1764E-14 31, ,8478E-12 31, ,4219E , ,8277E-14 34, ,25278E-13 34, ,84217E , ,99361E-15 37, ,98428E-13 37, ,12639E , ,77636E-15 4, ,1543E-14 4, ,753E , ,77636E-15 43, ,52651E-14 43, ,41585E , ,33227E-14 46, ,25278E-13 46, ,62377E , ,39888E-14 49, ,96332E-13 49, ,4219E , ,88178E-15 52, ,68958E-13 52, ,55271E , ,43929E-15 56, ,69482E-13 56, ,33431E , ,22125E-14 59, ,1543E-13 59, ,12639E , ,54792E-15 62, ,96856E-13 62, ,353E , ,2876E-14 65, ,5635E-12 65, ,76E , ,599E-14 68, ,3739E-12 68, ,82645E , ,57652E-14 71, ,12266E-12 71, ,412E , ,21725E-15 74, ,54747E-13 74, ,3739E , ,43769E-15 77, ,53699E-13 77, ,9495E , ,55271E-15 8, ,84217E-13 8, ,13687E , ,13243E-14 84, ,66338E-13 84, ,96332E , ,4877E-14 87, ,29319E-12 87, ,98952E , ,55271E-15 9, ,12639E-13 9, ,96332E , ,46549E-14 93, ,36424E-12 93, ,76E , ,26565E-14 96, ,22213E-12 96, ,4219E , ,22125E-15 99, ,13687E-13 99, ,19371E , ,21965E-15 12, ,2685E-13 12, ,4353E , ,2141E-14 15, ,82E-12 15, ,4219E , ,2185E-15 19, ,68434E-13 19, ,33582E , ,66214E , ,39488E , ,26477E , ,2141E , ,1795E , ,13687E , ,88418E , ,96332E , ,29319E , ,66134E , ,119E , ,4161E , ,77156E , ,8549E , ,4219E

31 Érdekes eredményt mutat a 18. táblázat, ugyans B =,5 esetén a fvgömb3 függvény teljesen használhatatlan eredményt adott. Ennek magyarázata, hogy a fvgömb3 = ( 1 B) tg( β ) függvénynek B < 1 esetén mnmuma van a zérus hely előtt (6. ábra), így a Newton algortmus a másk rányba tévedett rossz gyököket találva. β fvgömb β 6. ábra A fvgömb3 függvény mnmuma a zérus hely előtt B < 1 esetén A módosított program által szolgáltatott eredmények már megfelelőek (24. táblázat). 178

32 24. táblázat Gyökök értéke, a számításhoz szükséges dő és a függvényértékek B =,5 esetén (a módosított programmal számolva, vesd össze 18. táblázattal) fvgömb1 fvgömb2 fvgömb3 I β dő f(β ) β dő f(β ) β dő f(β ) 1 1, ,66533E-16 1, ,3367E-16 1, ,2245E , ,91434E-16 4, ,33227E-15 4, ,599E , ,21645E-15 7, ,21645E-15 7, ,24345E , ,498E-16 1, ,77556E-15 1, ,467E , ,8167E-16 14, ,9976E-15 14, ,86198E , ,483E-16 17, ,94289E-15 17, ,5568E , ,14759E-15 2, ,186E-13 2, ,59348E , ,9134E-16 23, ,8547E-14 23, ,16174E , ,4697E-16 26, ,55112E-15 26, ,32347E , ,62557E-15 29, ,386E-13 29, ,1375E , ,29251E-15 32, ,858E-13 32, ,43192E , ,13478E-16 36, ,85962E-14 36, ,13349E , ,67147E-16 39, ,4916E-14 39, ,46221E , ,22312E-15 42, ,36668E-13 42, ,79465E , ,21965E-15 45, ,46549E-13 45, ,258E , ,4573E-15 48, ,6831E-13 48, ,2494E , ,4179E-15 51, ,7633E-13 51, ,6866E , ,48839E-15 54, ,18234E-14 54, ,93552E , ,4617E-15 58, ,7697E-13 58, ,58238E , ,5241E-15 61, ,1466E-13 61, ,41611E , ,94497E-15 64, ,47198E-13 64, ,55467E , ,6213E-15 67, ,1284E-13 67, ,82983E , ,93976E-15 7, ,9497E-13 7, ,87867E , ,6596E-15 73, ,9167E-13 73, ,38272E , ,56666E-15 76, ,51497E-13 76, ,3775E , ,81479E-15 8, ,65794E-13 8, ,85683E , ,81219E-15 83, ,83835E-13 83, ,16946E , ,1147E-15 86, ,69118E-13 86, ,39639E , ,62751E-15 89, ,93359E-13 89, ,51577E , ,1838E-15 92, ,969E-13 92, ,1295E , ,17114E-15 95, ,9968E-13 95, ,5354E , ,28657E-15 98, ,23137E-13 98, ,9269E , ,27249E-15 12, ,3237E-13 12, ,36495E , ,365E-16 15, ,73746E-14 15, ,997E , ,7318E-16 18, ,5471E-13 18, ,49484E , ,48533E , ,34888E , ,5271E , ,42968E , ,22835E , ,27457E , ,73673E , ,75848E , ,5592E , ,35669E-16 12, ,5787E-14 12, ,67518E , ,39559E , ,73195E , ,8971E-1 179

33 A program felépítése és használata A programot MS EXCEL VBA makró nyelven fejlesztettük, mvel a Vsual Basc programnyelv könnyen elsajátítható és az Excel nyújtotta fejlesztő környezet felhasználóbarát felület kalakítását tesz lehetővé (KOVALCSIK 2). A program beolvasása után üdvözl a felhasználót (7. ábra). 7. ábra A program üdvözlő képernyője Ezután a program egy új menüpontot helyez el a fő menüsorban Y-Fo névvel. Rákattntva (vagy Alt + Y bllentyűkombnácót lenyomva) az almenüpontok érhetők el: Indítás és Klépés. Az Indítás almenüpontra kattntva (vagy Alt + I bllentyűkombnácót lenyomva) elndíthatjuk a programot és megjelenk az adatbevtel modul (8. ábra). A bevtel felületet úgy alakítottuk k, hogy azt a mezőt kell ktöltetlenül hagyn, amelykhez tartozó fzka mennységet számoln szeretnénk. A Számolás felratú gomb megnyomásával a program kszámolja és megjelenít az eredményt. Újabb számolás előtt az adatokat módosítan kell, majd annak a mezőnek a tartalmát ktöröln amelyket szeretnénk újraszámoln. 18

34 8. ábra Az adatbevtel modul Köszönetnylvánítás Jelen munkát az OTKA T35125 és T3748 számú pályázata támogatta. Irodalom ABRAMOWITZ, M. and I.A. STEGUN (1972): Handbook of Mathematcal Functons wth Formulas, Graphs, and Mathematcal Tables. Dover Publcatons, New York. KOVALCSIK Géza (2): Excel 97 programozása. ComputerBooks Kadó, Budapest. RAJKÓ, R. (2): Spreadsheet applcatons n chemstry usng Mcrosoft Excel by D. Damond and V.C.A. Hanratty. Book revew. Journal of Chemometrcs, 14, VALKÓ Péter és VAJDA Sándor (1987): Műszak-tudományos feladatok megoldása személy számítógéppel. Műszak Könyvkadó, Budapest. WONG, H.Y. (1983): Hőátadás zsebkönyv. Műszak Könyvkadó, Budapest. 181

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

A hő terjedése szilárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén

A hő terjedése szilárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén A hő terjedése szlárd test belsejében szakaszos tüzelés esetén Snka Klára okl. kohómérnök, doktorandusz hallgató Mskol Egyetem Anyag- és Kohómérnök Kar Energahasznosítás Khelyezett anszék Bevezetés Az

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

3515, Miskolc-Egyetemváros

3515, Miskolc-Egyetemváros Anyagmérnök udományok, 37. kötet, 1. szám (01), pp. 49 56. A-FE-SI ÖVÖZERENDSZER AUMÍNIUMAN GAZDAG SARKÁNAK FEDOGOZÁSA ESPHAD-MÓDSZERRE ESIMAION OF HE A-RIH ORNER OF HE A-FE-SI AOY SYSEM Y ESPHAD MEHOD

Részletesebben

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI BMEGEENAMHT. Név: Azonosító: Helyszám: K -- Munkaidő: 90 perc I. 30 II. 40 III. 35 IV. 15 ÖSSZ.: Javította:

HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI BMEGEENAMHT. Név: Azonosító: Helyszám: K -- Munkaidő: 90 perc I. 30 II. 40 III. 35 IV. 15 ÖSSZ.: Javította: HŐKÖZLÉS ZÁRTHELYI dja meg az Ön képzési kódját! Név: zonosító: Helyszám: K -- BMEGEENMHT Munkaidő: 90 perc dolgozat megírásához szöveges adat tárolására nem alkalmas számológépen, a Segédleten, valamint

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont)

Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont) Égés és oltáselmélet I. (zárójelben a helyes válaszra adott pont) 1. "Az olyan rendszereket, amelyek határfelülete a tömegáramokat megakadályozza,... rendszernek nevezzük" (1) 2. "Az olyan rendszereket,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.

Részletesebben

A csoport. Statika ZH feladat. Határozza meg az erőrendszer nyomatékát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m

A csoport. Statika ZH feladat. Határozza meg az erőrendszer nyomatékát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m Stata ZH-1. 215. 1. 14. A csoport 1. feladat Határozza meg az erőrendszer nyomatéát a F pontra! a = 3 m b = 4 m c = 4 m F 1 = 5 N F 2 = 1 N M = 5 Nm M = + 4 + 3 4 F 1 = 2 = + 12 16 + 9 + 16 3 + 4 F 2 =

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

LOGISZTIKAI ADATBÁZIS RENDSZEREK EXCEL ALAPOK

LOGISZTIKAI ADATBÁZIS RENDSZEREK EXCEL ALAPOK LOGISZTIKAI ADATBÁZIS RENDSZEREK EXCEL ALAPOK Lénárt Balázs tanársegéd TANTERV Hét Dátum Előadó Előadások Időpont: szerda 8:30-10:00, helye: LFSZÁMG Dátum Gyakvezető 1. 9. 11. Tokodi Adatbázis kezelés

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis 14. előadás: Enzimkatalízis 1/24 Alapfogalmak Enzim: Olyan egyszerű vagy összetett fehérjék, amelyek az élő szervezetekben végbemenő reakciók katalizátorai. Szubsztrát: A reakcióban

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben

Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14. Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2 FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia.

4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia. 4 Lneárs csllapíalan szabad rezgés Lneárs csllapío szabad rezgés Gyenge csllapíás Ger-jesze rezgés Aplúdó rezonanca Lneárs csllapíalan szabad rezgés: Téelezzük fel hogy a öegponra a kvázelaszkus vagy közel

Részletesebben

Mechanika I-II. Példatár

Mechanika I-II. Példatár Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 5.

Matematikai geodéziai számítások 5. Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Ellenáramú hőcserélő

Ellenáramú hőcserélő Ellenáramú hőcserélő Elméleti összefoglalás, emlékeztető A hőcserélő alapvető működésével és az egyszerűsített számolásokkal a Vegyipari műveletek. tárgy keretében ismerkedtek meg. A mérés elvégzéséhez

Részletesebben

A kerék-sín között fellépő Hertz-féle érintkezési feszültség vizsgálata

A kerék-sín között fellépő Hertz-féle érintkezési feszültség vizsgálata A keréksín között fellépő Hertzféle érintkezési feszültség vizsgálata közúti vasúti felépítmények esetében Dr. Kazinczy László PhD. egyetemi docens i Műszaki és Gazdaságtudományi gyetem, Út és Vasútépítési

Részletesebben

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés)

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás.

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Nem villamos jelek mérésének folyamatai. Érzékelők, jelátalakítók felosztása. Passzív jelátalakítók. 1.Ellenállás változáson alapuló jelátalakítók -nyúlásmérő ellenállások

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

NYOMÁS ÉS NYOMÁSKÜLÖNBSÉG MÉRÉS. Mérési feladatok

NYOMÁS ÉS NYOMÁSKÜLÖNBSÉG MÉRÉS. Mérési feladatok Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék Készítette:... kurzus Elfogadva: Dátum:...év...hó...nap NYOMÁS ÉS NYOMÁSKÜLÖNBSÉG MÉRÉS Mérési feladatok 1. Csővezetékben áramló levegő nyomásveszteségének mérése U-csöves

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 3. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc. Mérés dátuma: 28... Leadás dátuma: 28.. 8. . Mérések ismertetése A Peltier-elemek az. ábrán látható módon vannak elhelyezve

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Egy másik érdekes feladat. A feladat

Egy másik érdekes feladat. A feladat Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

Fa rudak forgatása II.

Fa rudak forgatása II. Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás Elemi programok Definíció Az S A A program elemi, ha a A : S(a) { a, a, a, a,..., a, b b a}. A definíció alapján könnyen látható, hogy egy elemi program tényleg program. Speciális elemi programok a kövekezők:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17 Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc.

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc. Vllamosságtan Dr. adács László főskola docens A3 épület,. emelet, 7. ajtó Telefon: -3 e-mal: Honlap: elkrad@un-mskolc.hu www.un-mskolc.hu/~elkrad Ajánlott rodalom Demeter Károlyné - Dén Gábor Szekér Károly

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben. Gambár Katalin, Márkus Ferenc. Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola

A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben. Gambár Katalin, Márkus Ferenc. Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben Gambár Katalin, Márkus Ferenc Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola Miről szeretnék beszélni: A kutatás motivációi A fizikai egyenletek (elméleti modellek)

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22. TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!

Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! 1. példa Vasúti kocsinak a 6. ábrán látható ütközőjébe épített tekercsrugóban 44,5 kn előfeszítő erő ébred. A rugó állandója 0,18

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők

Passzív és aktív aluláteresztő szűrők 7. Laboratóriumi gyakorlat Passzív és aktív aluláteresztő szűrők. A gyakorlat célja: A Micro-Cap és Filterlab programok segítségével tanulmányozzuk a passzív és aktív aluláteresztő szűrők elépítését, jelátvitelét.

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 8. MÉRÉS Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 12. Szerda délelőtti csoport

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben