MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

Átírás

1 EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép MEGJEGYZÉSEK : Válaszoljon mind a négy kötelező kérdésre. Jelezze a megfelelő négyzetbe az erre a célra kiadott lapon, hogy melyik két feladatot választotta a három választható feladat közül. Minden feladatot külön lapon oldjon meg. 1/8 oldal

2 1. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS 1/1 oldal Pontok Legyen f az alábbi függvény : f ( x) = (1 x)e x. a) Elemezze az f függvényt a zérushely, aszimptota, monotonitás (mely intervallumon növekvő illetve csökkenő a függvény) valamint a szélsőértékek fajtája és koordinátái szempontjából. b) i. Ábrázolja az f függvény grafikonját. ii. Mutassa meg, hogy az F( x) = (2 x)e x az f primitív függvénye. iii. Számítsa ki a koordinátatengelyek és az f függvény grafikonja által bezárt területet az első síknegyedben. 6 pont 2/8 oldal

3 2. KÖTELEZŐ KÉRDÉS ANALÍZIS 1/1 oldal Pontok Egy korai 70-es években megalkotott modell szerint a rövidtávfutók sebessége (v, m/s-ban megadva) az idő (t, másodpercben kifejezve) függvényében az alábbi differenciálegyenlettel írható le: dv v = 12.2, dt k melyben k a sprinter egyénétől függő állandó. a) Határozza meg a differenciál egyenlet v megoldását t függvényeként. 6 pont b) A rövidtávú 100m-es síkfutás rajtból indul, ahol v = 0 és t = 0. i. Határozza meg v megoldását t függvényeként a fenti kezdőfeltételek mellett. ii. Az egyik sprinternél a k értéke 0.8. Számítsa ki, hogy mennyi idő múlva éri el a futó a 9 m/s sebességet. 3/8 oldal

4 3. KÖTELEZŐ KÉRDÉS GEOMETRIA 1/1 oldal Pontok Egy 0xyz tengelyekkel meghatározott ortonormált (derékszőgű) térben adottak a α és β síkok egyenletei: α :2x 3y+ z 2= 0 és β : 3x y 2z+ 4 = 0, és egy egyenes, : x = 2λ + 3 y = λ z = λ + 1, λ R. a) Mutassa meg hogy az alábbi egyenlet az α és a β síkok metszésvonalának egy egyenlete x 0 1 s : y = 0 + μ 1 z 2 1, μ R. 6 pont b) i. Mutassa meg, hogy az s és egymásra merőleges kitérő egyenesek. ii. Határozza meg a két egyenes közötti legrövidebb távolságot. 4/8 oldal

5 4. KÖTELEZŐ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 1/1 oldal Pontok Új üdítőt dob piacra a gyártó cég egy bizonyos országban. Minden üdítő kupakjának belsejére egy betűt nyomtat a cég, mely a promóció része. Az ország ábécéje 26 betűből áll. Minden egyes betű azonos valószínűséggel szerepelhet a kupakokon. Egy vásárló minden nap vasárol egyet ebből az új üdítőből. a) i. Számolja ki annak a valószínűségét, hogy a 14. napon egy olyan üdítőt vesz a vásárló, melyben nem P betű van a kupakon. ii. Mekkora annak a valószínűsége, hogy olyan üdítőt, melynek a kupajkában P betű szerepel először a harmadik nap sikerül vásárolnia a vevőnek. b) i. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első tíz napban legálabb egy P betűvel találkozik a vevő az üdítő vásárlások során. ii. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első négy napban vásárolt üdítők kupakjain szereplő betűkből sikerül kirakni az EURO szót. 5/8 oldal

6 I.VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS ANALÍZIS 1/1 oldal Pontok Legyen az F és a G az alábbi x f( x) = x+ 2 és gx= ( ) 2 2 függvények grafikonjai ugyanabban az ortonormált (derékszögű) koordináta rendszerben. a) i. Elemezze az f és a g függvényt zérushelyük, értelmezési tartományuk, valamint monotonitásuk (mely intervallumon növekvőek illetve csökkenőek a függvények) szempontjából. ii. Határozza meg az F és a G metszéspontjának koordinátáit. iii. Ábrázolja az F-et és a G-t közös koordináta rendszerben milliméterpapíron. 5 pont b) Legyen t 1 az F, és t 2 a G érintője a K (0, 2 ) pontban. i. Határozza meg a két érintő egyenletét és ábrázolja ezeket a fentiekkel közös koordináta rendszerben. ii. Számítsa ki két tizedesjegy pontossággal a t 1 és t 2 által bezárt α szöget. c) Legyen S az F, G és az x-tengely által bezárt terület. i. Számítsa ki, hogy mekkora az S terület. ii. Határozza meg annak a testnek a V térfogatát, mely az S alakzat x- tengely körüli megforgatásával keletkezett. 5 pont 6/8 oldal

7 II.VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 1/1 oldal Pontok Az alábbi táblázat az emberek számának arányát mutatja a négy vércsoport között nagyon nagy populáció esetén. Vércsoport O A B AB Arány a) Tizenöt embert véletlenszerűen kiválasztunk ebből a populációból. i. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 15 embertől származó mintában legfeljebb 10 A -s vérmintájú egyén lesz. ii. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 15 embertől származó mintában több mint 4, de kevesebb, mint 8 B -s vércsoportú ember lesz. b) Határozza meg, hogy mekkora az a legnagyobb minta, melyben kevesebb, mint 99% annak a valószínűsége, hogy legalább egy embernek B típusú vércsoportja van. c) Tételezzük fel, hogy a teljes populációból 100 véletlenszerűen kiválasztott egyén alkotja a mintát. i. Számítsa ki a nullás vércsoportú emberek számának átlagát és szórását. ii. Normál eloszlást alkalmazva számítsa ki, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy több mint 49 embernek a vércsoportja nullás. Igazolja a normál eloszlás alkalmazásának szükségességét. iii. Határozza meg azt a legalacsonyabb mintaszámot ( k ), melynél kisebb mintára érvényes az alábbi állítás: 95%-nál nagyobb annak a valószínűsége, hogy k-nál kevesebb ember nullás vércsoportú. iv. Különböző (, mint eddig a c) ii pontban) eloszlás segítségével határozza meg kettő tizedesjegy pontossággal, annak a valószínűségét, hogy pontosan három ember vércsoportja AB -s. 7/8 oldal

8 III.VÁLASZTHATÓ KÉRDÉS GEOMETRIA 1/1 oldal Pontok Egy 0xyz tengelyekkel meghatározott ortonormált (derékszőgű) térben adottak a következők: π 1 sík: 4x+ 3z+ 29= 0 S gömb: x + y + z + 2x 6y 15= 0 és d 1 egyenes: x = 3 + t y = 1 t z = 3, ahol t a) Határozza meg az S gömb M középpontjának koordinátáit, valamint R sugarának hosszát. b) i. Mutassa meg, hogy π 1 az S gömbnek egy érintősíkja. ii. Mutassa meg, hogy a π 1 sík az A( 5, 3, 3) pontban érinti az S gömböt. c) i. Mutassa meg, hogy a d 1 egyenes az A pontban metszi az S gömböt, valamint határozza meg a másik (E) metszéspont koordinátáit. ii. A ( 1, 1, 3) ponton átmenő, AM egyenesre merőleges sík és az S gömb metszete a C körvonal. Határozza meg a C körvonal sugarát (r) és középpontjának koordinátáit (F). d) Adott H ( 1,7,3) pont, mely rajta van az S gömbön. A π 2 érintő síkja az S gömbnek a H pontban. i. Határozza meg a π 2 sík egyenletét. ii. Számítsa ki a π 1, π 2 síkok által bezárt hegyesszögnek a nagyságát (az eredményt kerekítse a legközelebbi egész fokhoz). e) A B(3,3,3) pont egy olyan pontja az S-nek, hogy az A-val összekötve (AB) az S gömb átmérőjét alkotja. Írja fel a d 2 egyenes paraméteres egyenletét, mely a B pontban érinti az S gömböt, valamint metszi a d 1 egyenest. 6 pont 8/8 oldal